Schrödinger-Gleichung Hamilton-Operator Orts

Quantenmechanik
#1
Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik
Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik
#3
Orts- und Impulsoperator
#2
Schrödinger-Gleichung
Hamilton-Operator
Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik
#4
Lösung der Schrödinger-Gleichung
Schrödinger-Gleichung
#2
Antwort
#1
Der Hamilton-Operator Ĥ entsteht aus der klassischen Hamilton-Funktion H(r, p, t), typischerweise von
der Form
Ĥ =
π̂ 2
+ V (r),
2m
V (r) = qΦ,
π̂ = p̂ − q
[c]
A
c
Antwort
Die (zeitunabhängige) Schrödinger-Gleichung
Ĥψ(r, t) = Êψ(r, t)
(2)
(1)
ist eine heuristische Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen.
(Masse m, Ladung q), indem man die Variablen Ort und Zeit durch Operatoren ersetzt.
#4
Antwort
Die Wellenfunktion ψ(r, t) als Lösung der Schrödinger-Gleichung ist ein Skalarfeld, analog zum Skalarfeld
des elektrischen Skalarpotentials Φ(r).
Die Kopenhagener Deutung der Wellenfunktion ψ(r, t) ist die einer Wahrscheinlichkeitsamplitude.
Normierung
Die physikalische Randbedingung ist die Normierung der Wahrscheinlichkeitsaplitude
Z
|ψ(r, t)|2 d3 r = 1.
(5)
R3
#3
Antwort
Die Ersetzung ist (vorerst, in der Ortsdarstellung)
r̂ → r,
Kanonische Vertauschungsrelation
tauschungsrelationen
[xi , pj ] = i~δij ,
p̂ → −i~∇,
Ê → i~∂t .
(3)
Für den Orts- und den Impulsoperator gelten die kanonischen Ver[xi , xj ] = [pi , pj ] = 0,
i, j ∈ {1, 2, 3} .
(4)
Quantenmechanik
#5
Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik
Kontinuitätsgleichung
Quantenmechanik
#7
#6
Schrödinger- und Heisenberg-Bild
Schrödinger-Bild
Schrödinger- und Heisenberg-Bild
Heisenberg-Bild (Matrizenmechanik)
Quantenmechanik
#8
Schrödinger- und Heisenberg-Bild
Erwartungswert im Schrödinger- und im Heisenbergbild
#6
Antwort
#5
Das Schrödinger-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Es gelten folgenden Annahmen:
Antwort
Die Wahrscheinlichkeitsdichte n(r, t) gehorcht einer Kontinuitätsgleichung
ṅ + ∇ · j = 0,
1. Zustände sind im allgemeinen zeitabhängig: |ψ, ti = |ψ(t)i.
2. Operatoren können höchstens explizit von der Zeit abhängen:
Zeitentwicklungsoperator.
(6)
2
dÂ
dt
=
∂ Â
.
∂t
Einzige Ausnahme ist der
n(r, t) = |ψ(r, t)| ,
(7)
1
(ψ ∗ π̂ψ + ψ(π̂ψ)∗ ) .
j(r, t) =
2m
(8)
3. Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Schrödinger-Gleichung
i~
d
|ψ, ti = Ĥ |ψ, ti .
dt
Wellenpaket
(11)
Ĥφn (r) = En φn (r),
Z
X
ψ(r, t) =
An ψn (r, t),
Zeitentwicklungsoperator Der zeitabhängige Zustand |ψ(t)i ist gegeben durch den Zustand |ψ(t0 )i zu
einem festen Zeitpunkt t0 und den unitären Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 )
|ψ(t)i = Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i .
#8
ψn (r, t) = φn (r)e−
iEn t/~
.
(10)
n
(12)
Antwort
#7
Der Erwartungswert hAi des Operators  muss in allen Bildern gleich sein. Dazu bezeichnen wir mit ÂH
den Operator im Heisenberg-Bild und mit ÂS den Operator im Schrödinger-Bild. Es gilt
ÂH (t) = Û † (t)ÂS (t)Û (t),
(9)
(14)
Antwort
Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen.
Es gelten folgenden Annahmen:
1. Zustände sind nicht zeitabhängig: |ψi = const.
2. Operatoren sind zeitabhängig: Â = Â(t).
und damit auch
D
E
hAi = ψS (t)|ÂS (t)|ψS (t) =
D
E
= ψS (t)|Û (t)Û † (t)ÂS (t)Û (t)Û † (t)|ψS (t) =
D
E
= Û † (t)ψS (t)|Û † (t)ÂS (t)Û (t)|Û † (t)ψS (t) ,
D
E
hAi = ψS (0)|Û † (t)ÂS (t)Û (t)|ψS (0) =
D
E
= ψH |ÂH (t)|ψH .
3. Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung
i
d
∂
i h
Â(t) =
Â(t) +
Ĥ(t), Â(t) .
dt
∂t
~
(15)
(16)
(13)
Quantenmechanik
#9
Ehrenfest-Theorem
Quantenmechanik
Ehrenfest-Theorem
Quantenmechanik
# 11
Impulsoperator im Ehrenfest-Theorem
# 10
Ehrenfest-Theorem
Ortsoperator im Ehrenfest-Theorem
Ehrenfest-Theorem
Quantenmechanik
# 12
Ehrenfest-Theorem
Übergang zur klassischen Mechanik im Ehrenfest-Theorem
# 10
Antwort
#9
Da der Ortsoperator nicht explizit zeitabhängig ist, folgt mit dem Ehrenfest-Theorem für dessen Zeitentwicklung
2
d
i
i
p
hxi = h[H, x]i =
+ V (x), x
=
dt
~
~
2m
i 1 2 i 1
=
p ,x =
hp[p, x] + [p, x]pi =
~ 2m
~ 2m
1
i 1
hp · (−i~) + (−i~) · pi =
hpi .
(18)
=
~ 2m
m
# 12
Antwort
d
hxi = hpi ,
dt
Das Ehrenfest-Theorem, stellt innerhalb der Physik einen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die klassischen
Bewegungsgleichungen für die Mittelwerte der Quantenmechanik gelten, d. h. die klassische Mechanik ist
also in gewissem Maße in der Quantenmechanik enthalten (Korrespondenzprinzip).
Mathematische Form Die vollständige Zeitableitung des Erwartungswertes eines quantenmechanischen
Operators O steht mit dem Kommutator dieses Operators und des Hamilton-Operators H wie folgt in
Zusammenhang
d
i
∂O
hOi = h[H, O]i +
.
(17)
dt
~
∂t
# 11
Mit den beiden vorhergehenden Ergebnissen gilt
m
Antwort
d
hpi = − h∇V (x)i ,
dt
(22)
und damit
Antwort
Für den Impulsoperator, der ebenfalls nicht explizit zeitabhängig ist, folgt mit dem Ehrenfest-Theorem
2
d
i
p
i
hpi =
+ V (x), p
= h[V (x), p]i .
(19)
dt
~
2m
~
Mit p = −i~∇ gilt weiterhin
2
m
d
hxi = − h∇V (x)i = hF (x)i .
dt2
[V, −i~∇] ψ = −i~V ∇ψ − (−i~∇(V ψ)) =
(23)
Hier wurde die Kraft F (x) als negativer Gradient des Potentials eingesetzt. Die Erwartungswerte der
Orts- und Impulsoperatoren genügen also aus der Newtonschen Mechanik gewohnten Gleichungen, wobei
wir allerdings statt des zu erwartenden F (hxi) den Ausdruck hF (x)i vorfinden. Das leitet zur sogenannten
klassischen Näherung über.
= −i~V ∇ψ + i~(∇V )ψ + i~V (∇ψ) =
= i~(∇V )ψ,
(20)
und damit gilt
i
d
hpi = hi~(∇V (x))i = − h∇V (x)i .
dt
~
(21)
Quantenmechanik
# 13
Freies Teilchen
Quantenmechanik
Hamiltonfunktion des Freien Teilchens
Quantenmechanik
# 15
Eigenlösungen des Freien Teilchens
# 14
Freies Teilchen
Schrödinger-Gleichung des Freien Teilchens
Freies Teilchen
Quantenmechanik
# 16
Problematik beim Freien Teilchen
Freies Teilchen
# 14
Antwort
# 13
Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung
−
~2
2m
Antwort
Der Hamilton-Operator für ein freies Teilchen (also V = 0) lautet
∇2 φ = Eφ,
(25)
Ĥ =
~2
p̂2
=−
∆.
2m
2m
(24)
die mit dem Ansatz
φ(r) = Aeikr
(26)
gelöst werden kann.
# 16
Antwort
# 15
Bei Ek handelt sich um einen uneigentlichen Zustand. Es gibt keine Wahl von A 6= 0, die zu
Z
|φk (r)|2 d3 r = 1
Die Eigenlösungen (d. h. die Eigenwerte und Eigenfunktionen) des freien Teilchens sind also
(30)
führt, weil
Z
R3
|φk (r)|2 d3 r = |A|2
Z
d3 r
(31)
R3
divergiert. Abhilfe schafft die δ-Normierung
Z
Orthogonalität:
R3
Z
Vollständigkeit:
R3
Antwort
d3 r φ∗k (r)φk0 (r) = δ(k − k0 ),
(32)
d3 r φk (r)φ∗k (r0 ) = δ(r − r0 ).
(33)
~2 k2
= ~ωk ,
2m
1
φk (r) =
eikr ,
(2π)3/2
1
ψk (r, t) =
ei(kr−ωk t) .
(2π)3/2
Ek =
(27)
(28)
(29)
Quantenmechanik
# 17
Freies Teilchen
Quantenmechanik
Eigenfunktion des Freien Teilchens
Quantenmechanik
# 19
Dreidimensionales Gauß’sches Wellenpaket
# 18
Freies Teilchen
Wellenpaket
Freies Teilchen
Quantenmechanik
# 20
Harmonischer Oszillator
Harmonischer Oszillator
# 18
Antwort
# 17
Die Beschreibung eines freien Teilchens durch periodische Randbedingungen oder durch den Einschluss
in ein endliches Volumen V macht die Rechnung zwar bequem, aber weder ein Kasten mit undurchdringlichen Wänden, noch periodischen Randbedingungen scheint einem realen freien Teilchen angemessen.
Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, ist mit jeder Eigenlösung ψk der zeitabhängigen SchrödingerGleichung auch die Überlagerung dieser Eigenlösungen eine Lösung
Z
ψ(r, t) =
d3 k A(k)ψk (r, t) =
Z
1
d3 k A(k)ei(kr−ωk t) .
(37)
=
(2π)3/2
Mit δ-Normierung:
ψk (r, t) =
# 20
Antwort
1
ψn (r, t) = √ ei(kn r−ωn t) ,
V
1
V (r) = V (r0 ) + (r − r0 )V (r0 ) + (r − r0 )2 V 00 (r0 ) + . . .
2
0
1
V (x) = kx2 .
2
kα,nα =
π
nα ,
Lα
nα ∈ N0 .
(35)
1
ψn (r, t) = √ ei(kn r−ωn t) ,
V
kα,nα =
2π
nα ,
Lα
nα ∈ Z.
(36)
Diskrete Energieeigenwerte
s. o.
Bei periodischen Randbedingungen erhält man diskrete Energieeigenwerte,
Antwort
Weil der Hamilton-Operator des freien Teilchens im R3 als Summe geschrieben werden kann
H = Hx + Hy + Hz =
(43)
Der Energie-Nullpunkt kann beliebig gewählt werden V (r0 ) = 0. In der Minimumslage r0 verschwindet
die Kraft V 0 (r0 ) = 0. Der Entwicklungskoeffizient des harmonischen Terms wird oft als Kraftkonstante
V 00 (r0 ) = k beziechnet. Die höheren, anharmonischen Terme werden gegenüber dem harmonischen Term
vernachlässigt. Wählt man schließlich noch r0 = 0, d. h. x = r − r0 , setzt, ist die potentielle Energie eine
um den Urpsrung symmetrische Parabel
(44)
Abbildung 1: (l.) Interatomares Molekül-Potential (ausgezogen) und Näherung durch ein harmonisches
Potential (gestrichelt),
(r.) Harmonisches Potential in der Standard-Konfiguration
(34)
Mit periodischen Randbedingungen, V = Lx Ly Lz :
# 19
Der harmonische Oszillator ist ein idealisiertes System für verschiedene Anwendungen. Im Beispiel eines
zweiatomigen Moleküls ist die potentielle Energie V (r) eine Funktion des Abstandes r der beiden Atome,
und bei kleinen Auslenkungen aus dem Potentialminimum r0 kann man um r0 entwickeln
1
ei(kr−ωk t) .
(2π)3/2
Im Kasten V = Lx Ly Lz :
φ(r) und A(k) sind Fourier-Transformierte von einander. Das entspricht einer sog. Darstellung im Ortsraum bzw. im Impulsraum.
Eindimensionales Gauß’sches Wellenpaket Ein Beispiel für ein Wellenpaket ist das Gauß’sche Wellenpaket, bei welchem die Wellenvektoren eine Gauß-förmige Verteilung um den Wellenvektor k0 haben
r
a
(k−k0 )2 a2/2
A(k) =
,
(38)
√ e−
π
1
2
x2
φ(x) = p √ e− /2a eik0 x .
(39)
a π
Antwort
3
X
p2α
2m
α=1
(40)
mit Hα wie im Fall des freien Teilchens im R1 , kann man die Eigenfunktionen im R3 als Produkt der
Eigenfunktionen im R1 schreiben
A(k) =
3
Y
Aα (kα ) =
α=1
φ(r) =
3
Y
α=1
φα (α) =
a
√
π
3/2
(k−k0 )2 a2/2
e−
1
2
r2
√ 3/2 e− /2a eik0 r .
(a π)
,
(41)
(42)
Quantenmechanik
# 21
Harmonischer Oszillator
Quantenmechanik
Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators
Quantenmechanik
# 23
Stufenoperator
Harmonischer Oszillator
# 22
Harmonischer Oszillator
Rekursionsmethode beim harmonischen Oszillator
Quantenmechanik
# 24
Harmonischer Oszillator
Stufenoperatoren: Rückkehr zu den ursprünglichen Operatoren
# 22
Antwort
# 21
Die Lösung des Eigenwertproblems mit der Rekursionsmethode besteht aus mehreren Schritten:
Antwort
Der Hamilton-Operator für ein Teilchen in einem harmonischen Potential ist
1. Bestimmung des asymptotischen Verhaltens φas (x) am Rand des Definitionsbereichs. Die Wellenfunktion φ(x) lässt sich dann in der Form φ(x) = φas (x)φP (x) schreiben.
P
2. Potenzreihenentwicklung von φP (x) = ν cν xν .
3. Untersuchung des Konvergenzverhaltens der Potenzreihe. Im Allgemeinen wird die Potenzreihe,
abhängig von der Energie E bzw ε als Parameter, divergieren.
4. Die Normierbarkeitsbedingung erfordert das Abbrechen der Potenzreihe nach dem Term mit ν = n
(für verschiedene n) und macht aus der Potenzreihe ein Polynom. Die Abbruchbedingung stellt sich
als eine Bedingung an die Energie E bzw. ε dar.
Die Eigenwerte sind dann
εn = n +
1
,
2
En = ~ω0
n+
1
2
n ∈ N0 ,
,
(49)
H=
Schrödinger-Gleichung
p2
1
p2
mω 2 x2
+ kx2 =
+
.
2m
2
2m
2
Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung
~2 d2
1 2
−
kx
φ(x) = Eφ(x).
+
2m dx2
2
Es ist geschickt, die Schrödinger-Gleichung durch eine Koordinatentransformation
r
E
mω0
ε=
,
ξ = αx,
α=
~ω0
~
φn (x) =
(46)
(47)
auf die folgende Form zu bringen
und die Eigenfunktionen sind
r
(45)
α
α2 x2/2
,
√ Hn (αx)e−
π
2n n!
(50)
d2
− ξ 2 + 2ε φ̃(ξ) = 0.
2
dξ
(48)
mit den Hermite-Polynomen
Hn (ξ) =
n
X
aν ξ ν ,
aν+2 = aν
ν=0
# 24
2(ν − n)
.
(ν + 1)(ν + 2)
(51)
Antwort
# 23
Die Umkehrung ist
Mit den bereits angesprochenen Koordinatentransformationen kann man den Hamilton-Operator für den
harmonischen Oszillator auch folgendermaßen darstellen
s
~ a + a† ,
2mω0
r
~mω0 p = −i
a − a† .
2
x=
Kommutator-Relation
Die Operatoren a und a† erfüllen die Kommutator-Relation
h
i
a, a† = 1
Antwort
(55)
(56)
(57)
mω02 x2
p2
kx2
~2 d2
+
=−
+
=
2
2m
2
2m dx
2
~ω0
~ω0
d2
d
d
=
ξ2 − 2 =
ξ−
ξ+
+1 .
2
dξ
2
dξ
dξ
H=
Nun führt man geschickterweise neue Operatoren, dei sog. Leiter-, bzw. Stufenoperatoren ein
s
r
1
mω0
1
d
a= √
ξ+
=
·x+i
· p,
dξ
2~
2m~ω0
2
s
r
1
d
mω0
1
a† = √
ξ−
=
·x−i
· p.
dξ
2~
2m~ω0
2
(52)
(53)
(54)
Quantenmechanik
# 25
Harmonischer Oszillator
Quantenmechanik
Hamilton-Operator mit Stufenoperatoren
Quantenmechanik
# 27
# 26
Harmonischer Oszillator
Eigenschaften der Leiteroperatoren
Harmonischer Oszillator
Anwednung der Stufenoperatoren: Erwartungswerte
Quantenmechanik
# 28
Harmonischer Oszillator
Zeichnung der Wellenfunktionen und Energien des harmonischen
Oszillators
# 26
Antwort
Für die Stufenoperatoren gelten folgenden Gleichungen
√
aφn = nφn−1 ,
aφ0 = 0,
√
†
a φn = n + 1φn+1 ,
1 † n
φn = √
a
φ0 .
n!
# 28
# 25
(59)
(60)
Antwort
Der Hamilton-Operator nimmt mit den Stufenoperatoren die folgende Form an
1
.
H = ~ω0 a† a +
2
(58)
(61)
(62)
Antwort
Die Wellenfunktion φn hat n Knoten. Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit kommt hier als Grenzfall für hohe Quantenzahlen heraus und stellt ein Beispiel für das Korrespondenzprinzip dar.
Abbildung 2: (l.) Potential, Energieniveaus und Wellenfunktionen der niederenergetischen Zustände des
harmonischen Oszillators,
(r.) Klassische (gestrichelte) und quantenmechanische (ausgezogene) Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Zustandes mit der Quantenzahl n = 10
Im quantenmechanischen Grundzustand ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Gaußförmig verteilt. Das
Maximum ist bei x = 0 (wo klassisch das Minimum ist) und nicht an den klassischen Umkehrpunkten.
Auch in den klassisch verbotenen Gebieten x mit E < V (x), also außerhalb der klassischen Umkehrpunkte,
ist die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit ungleich Null.
# 27
Antwort
Die Verwendung der Stufenoperatoren erleichtert die Berechnung von Erwartungswerten ungemein.
2
x n = φn |x2 |φn =
2
~
=
φn | a + a† |φn =
2mω0
E
~ D
=
φn |a2 + aa† + a† a + (a† )2 |φn =
2mω0
~
=
[0 + (n + 1) + n + 0] =
2mω0
~
=
(2n + 1).
(63)
2mω0
2
~mω0
(2n + 1) = (mω0 )2 x2 n .
(64)
p n=
2
Quantenmechanik
# 29
Stückweise konstante Potentiale
Quantenmechanik
Konstantes eindimensionales Potential
Quantenmechanik
# 31
Stückweise konstante Potentiale
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialstufe
# 30
Stückweise konstante Potentiale
Die eindimensionale Potentialstufe
Quantenmechanik
# 32
Streuung (eindimensional)
Stückweise konstante Potentiale
# 30
Antwort
Anschlussbedingungen
# 29
Es werde eine Potentialstufe an der Stelle x = 0 betrachtet. Es sei
(
V1 x < 0
V (x) =
.
V2 x > 0
Antwort
Die Eigenlösungen der Schrödinger-Gleichung
(68)
p2
φ(x) = (E − Vi )φ(x),
2m
für konstante Potentiale sind ebene Wellen
φi (x) = ai eiki x + bi e−iki x ,
q
 2m
(E − Vi )
~2 q
ki =
iκi = i 2m (Vi − E)
~2
x ∈ Xi
x ∈ Xi
E > Vi
.
(65)
(66)
(67)
E < Vi
Wenn die Energie E kleiner ist als das Minimum des Potentials für asymptotisch große Abstände (d. h.
Vi < E < V∞ und Vi < E < V−∞ für mindestens ein i im eindimensionalen Fall), erhält man eigentliche
Zustände mit diskreten, aus der Normierbarkeitsbedingung bestimmten Eigenwerten E.
Wenn E größer ist als eines der asymptotischen Vi (d. h. E > V∞ oder E > V−∞ im eindimensionalen
Fall), dann erhält man uneigentliche Zustände mit kontinuierlichen Werten E.
Abbildung 4: Die eindimensionale Potentialstufe
Abbildung 3: Ein (fast) willkürlich gewähltes eindimensionales Potential und der Charakter der Zustände
Das Problem ist es, die Wellenfunktionen der verschiedenen Bereiche Xi aneinander anzuschließen. Die
allgemeine (normierbare) Lösung ist dann die Überlagerung der Eigenlösungen.
# 32
Antwort
# 31
Der erste Fall ist V1 < V2 < E. Man erhält mit b2 = 0 und in Abhängigkeit der vorgegebenen Amplitude
a1
2k1
a2 =
a1 ,
k1 + k2
k1 − k2
b1 =
a1 .
k1 + k2
Antwort
Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind von der Form
φi (x) = ai eiki x + bi e−iki x
q
 2m
(E − Vi )
~2 q
ki =
iκi = i 2m (Vi − E)
~2
(74)
Das Verhältnis der Amplituden reflektierten bzw. der transmittierten Welle relativ zur einfallenden ist
t21 =
a2
2k1
=
,
a1
k1 + k2
r21 =
b1
k1 − k2
=
.
a1
k1 + k2
(75)
(69)
E > Vi
,
(70)
E < Vi
wie wir sie bereits im vorhergehenden Abschnitt behandelt haben.
Da der Sprung endlich ist, lauten die Anschlussbedingungen
φ1 (0) = φ2 (0)
⇒
a1 + b1 = a2 + b2 ,
(71)
φ01 (0) = φ02 (0)
⇒
ik1 (a1 − b1 ) = ik2 (a2 − b2 ).
(72)
Liegt die Stufe bei x = a statt bei x = 0, so setzt man
a1
a1 eik1 a
→
,
−ik
a
1
b1
b1 e
a2
a2 eik2 a
.
→
−ik
a
2
b2
b2 e
Man unterscheidet zwei Fälle:
V1 < V2 < E
⇒
k1 und k2 reell,
V1 < E < V2
⇒
k1 reell und k2 imaginär.
(73)
Quantenmechanik
# 33
Stückweise konstante Potentiale
Quantenmechanik
Tunneln
Quantenmechanik
# 35
# 34
Stückweise konstante Potentiale
Stromdichten
Stückweise konstante Potentiale
Reflexions- und Transmissionsvermögen
Quantenmechanik
# 36
Potentialbarriere
Potentialbarriere, Potentialtopf
# 34
Antwort
# 33
Mit b2 = 0 erhält man die Stromdichten
~k1
|a1 |2 − |b1 | = je + jr ,
m
~k1
je =
|a1 |2 ,
m
2
b1 k1 − k2 2
~k1
,
jr = −
|b1 |2 = −je = −je m
a1
k1 + k2 4k1 k2
~k2
|a2 |2 =
je .
jt =
m
(k1 + k2 )2
2
j1 =
# 36
(76)
(78)
(79)
# 35
Gegeben sei ein Potential
x < x1
x1 < x < x 2 .
x2 < x
(83)
Die Anschlussbedingungen für die erste Stufe ist bereits aus dem vorher behandelten Fall bekannt. Die
für die zweite Stufe ist ähnlich. Der Übersicht halber behandeln wir lediglich folgenden Spezialfall.
Symmetrischer Potentialtopf
Das Potential ist dann
V (x) =
0
V0
|x| > a = 1/2L
,
|x| < a = 1/2L
(84)
und es gilt
r
k1 = k3 =
2mE
,
~2
(85)
r
2m(E − V0 )
,
~2
2m
k12 − k22 = 2 V0 .
~
k2 =
Antwort
Das Reflexions- und Transmissionsvermögen ist
jt k ∈R
4k1 k2
T = 2=
,
je
(k1 + k2 )2
jt k ∈R (k1 − k2 )2
R = 2=
,
je
(k1 + k2 )2
R + T = 1.
(80)
(81)
(82)
Im klassischen Fall wird ein Teilchen mit Energie E < V2 total reflektiert. Auch im quantenmechanischen
Fall verschwindet die Stromdichte im Gebiet x > 0. Allerdings ist im quantenmechanischen Fall im
Gegensatz zum klassischen Fall die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Gebiet x > 0 ungleich Null.
Es sei nun V1 = V3 = 0 und x1,2 = ∓a = ∓1/2L.
(
Im zweiten Fall V1 < E < V2 kann es im Gegensatz zum ersten behandelten Fall keine aus dem Gebiet
x > 0 einfallende Welle geben, sondern nur eine von der Grenzfläche weg exponentiell abklingende Welle
mit k2 = iκ2 . Die zweite Lösung mit exponentiell ansteigender Amplitude muss aus Normierungsgründen
ausgeschlossen werden (b2 = 0).
(77)
Antwort


V1
V (x) = V2


V3
Antwort
(86)
(87)
Quantenmechanik
# 37
Potentialbarriere, Potentialtopf
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialbarriere
Quantenmechanik
# 39
Potentialbarriere, Potentialtopf
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialbarriere Außerhalb des Kastens
Quantenmechanik
# 38
Potentialbarriere, Potentialtopf
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialbarriere Innerhalb des Kastens
Quantenmechanik
# 40
Potentialbarriere, Potentialtopf
Gebundene Eigenzustände im Potentialtopf: Energien
# 38
Antwort
# 37
Die stationäre Schrödinger-Gleichung entspricht innerhalb des Kastens der eines freien Teilchens. Man
erhält für die Energien
E=
~2 k2
.
2m
(92)
Antwort
Der Hamilton-Operator des eindimensionalen Problems lautet in Ortsdarstellung
(
~2 d2
0
0≤x≤L
H=−
+ V (x),
V (x) =
.
∞ x < 0, x > L
2m dx2
(88)
Die Schrödinger-Gleichung
i~
∂
ψ(x, t) = Hψ(x, t)
∂t
(89)
geht mit dem Ansatz
ψ(x, t) = φ(x)e−
iEt/~
(90)
in die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung
Hφ(x) = Eφ(x)
(91)
über, welche im Folgenden zu lösen sein wird (Eigenwertproblem des Hamilton-Operators).
# 40
Antwort
# 39
Antwort
Weil Teilchen innerhalb eines Potentialkastens nur in bestimmten einzelnen Zuständen n existieren
können, können sie auch nur bestimmte diskrete, von n abhängige Energiewerte haben. Dies gilt auch bei
endlich hohen Wänden.
Außerhalb des Kastens muss die Wellenfunktion aufgrund des unendlich hohen Potentials identisch Null
sein. Da die Wellenfunktion jedoch überall stetig sein muss, werden somit Randbedingungen an die
Wellenfunktion im Kasten gestellt, nämlich dass die Wellenfunktion ? an den Wänden gleich 0 ist
Für die Energie eines Teilchens in Abhängigkeit von n gilt damit mit den bereits berechneten Beziehungen:
φ(0) = φ(L) = 0.
En =
2
~2 kn
2m
=
~2 π 2
2mL2
=
h2
8mL2
n2 ,
n ∈ N.
(97)
Daraus lassen sich drei Schlussfolgerungen ziehen, die das Teilchen im Potentialkasten qualitativ beschreiben:
1. Die Energie des Teilchens ist proportional dem Quadrat der Quantenzahl n: E ∝ n2 .
(93)
Aus der ersten Randbedingung folgt für die Wellenfunktion innerhalb des Kastens
φ(x) = A sin(kx).
(94)
Mit der zweiten Randbedingung folgt, dass die Wellenzahl k nur diskrete Werte kn annehmen darf. Es
gilt
2. Je länger der Potentialkasten, desto kleiner ist die Energie des Teilchens: E ∝ L−2 .
0 = φ(L) = A sin(kL)
3. Je länger der Potentialkasten, desto geringer ist die Differenz zwischen zwei Energieniveaus En und
En+1 .
Normierung
⇒
k = kn =
π
n,
L
n ∈ N.
(95)
Durch die Normierungsbedingung lässt sich die Amplitude A bestimmen. Man erhält
r
2
A=
.
(96)
L
Quantenmechanik
# 41
Potentialbarriere, Potentialtopf
Quantenmechanik
Dreidimensionaler Potentialtopf: Entartung
Quantenmechanik
# 43
Endlich hoher Potentialtopf
Potentialbarriere, Potentialtopf
# 42
Potentialbarriere, Potentialtopf
Entartung beim Dreidimensionalen Potentialtopf
Quantenmechanik
# 44 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Schwerpunkts- und Relativbewegung
# 42
Antwort
# 41
Man spricht von Entartung, wenn unterschiedliche Wellenfunktionen dieselbe Energie besitzen. Das bedeutet für den Quader, dass unterschiedliche Quantenzahlen ni zu derselben Summe führen.
Antwort
Im dreidimensionalen Kasten (Quader) sieht der Hamilton-Operator wie folgt aus
So ist z. B. der Grundzustand nicht entartet, der 1. angeregte Zustand jedoch bereits dreifach entartet
E(2,1,1) = E(1,2,1) = E(1,1,2) = 6
~2 π 2
2mL2
H=
3 X
i=1
.
−
~2 d2
(x
)
.
+
V
i
i
2m dx2i
(98)
(102)
Separationsansatz
Ein Separationsansatz
φ(r) = φ1 (x2 )φ2 (x2 )φ3 (x3 )
(99)
separiert das Problem in drei eindimensionale Probleme, da die eindimensionalen Hamiltonoperatoren Hi
jeweils nur auf eine der Funktionen φi (xi ) wirken.
Quader
# 44
Antwort
# 43
Das übliche Potential in einem Zweiteilchen-Problem hängt nur vom Abstand der beiden Teilchen ab
V (r1 , r2 ) = V (r1 − r2 ) = V (r) = V (r).
(103)
Die Gesamtlösung ist für den Spezialfall L = L1 = L2 = L3 ist
n2
n2
~2 π 2 n21
En1 ,n2 ,n3 =
+ 22 + 32 =
2
2m
L
L
L
~2 π 2
=
n21 + n22 + n23 ,
2mL2
p
(Q
3
2/L sin (ni πxi/L)
0 ≤ xi ≤ L
i=1
.
φ(r) =
0
sonst
(100)
(101)
Antwort
Im unendlich hohen Potentialtopf ist die Wellenfunktion außerhalb des Topfes gleich Null. Im endlich
hohen Potentialtopf ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Teilchen außerhalb des Potentialtopfes
(= klassisch verbotenes Gebiet) ungleich Null.
Der Hamilton-Operator ist dann von der Form
H=
p21
p2
+ 2 + V (r1 − r2 ).
2m2
2m2
(104)
Es ist geschickt für die Betrachtung dieses Problems analog zur Mechanik die Schwerpunkts- und die
Relativkoordinaten einzuführen
m1 r1 + m2 r2
m1 r1 + m2 r2
R=
=
,
(105)
m1 + m2
M
r = r1 − r2 .
(106)
Abbildung 5: Die endlich hohe, eindimensionale Potentialstufe
mit der Gesamtmasse M und der Umkehrung
r1
r2
1
µ
m2
=R+
r=R+
M
m1
r=R−
=R−
M
1
1
=
+
.
m1
m2
µ
r,
m1
µ
r,
m2
(107)
(108)
(109)
mit der reduzierten Masse µ. Man kann auch die entsprechenden Impulse P bzw. p einführen
~
∇R ,
i
m1
µ
m2
µ
~
p=
p1 −
p2 =
p1 −
p2 = ∇r .
M
M
m1
m2
i
P = p1 + p2 =
(110)
(111)
Beim Übergang vom unendlich hohen Potentialtopf zum endlich hohen Potentialtopf rücken die Energien
näher zusammen.
Quantenmechanik
# 45 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
Separationsansatz beim Zweiteilchen-Problem
Quantenmechanik
# 47 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Zentralpotential: Radial- und Winkelbewegung: Energie
# 46 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Schwerpunktsbewegung beim Zweiteilchen-Problem
Quantenmechanik
# 48 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Zentralpotential: Radial- und Winkelbewegung: Schrödinger-Gleichung
# 46
Antwort
# 45
Der Hamilton-Operator des des Schwerpunkts und damit die Bewegung des Schwerpunkts ist der bzw.
die eines freien Teilchens mit der Gesamtmasse M mit den bereits bekannten Eigenlösungen
φSP
K (R)
SP
EK
Antwort
Daraus folgt eine Separation des Hamilton-Operators in der Form
H(R, r, P, p) =
1
=
eiKR ,
(2π)3/2
(119)
~2 K 2
.
=
2M
(120)
P2
p2
+
+ V (r) =
2M
2µ
= H SP (R, P) + H rel (r, p),
(112)
P2
,
H SP (R, P) =
2M
2
p
H rel (r, p) =
+ V (r).
2µ
(113)
(114)
Da jeder dieser beiden Operatoren von genau den Koordinaten eines Teilchens abhängt, kann auch die
Schrödingergleichung des Gesamtproblems separiert werden und man erhält
Φ(R, r) = φSP (R)φrel (r),
SP
SP
(115)
SP
φ (R) = 0,
H −E
rel
rel
φrel (r) = 0,
H −E
(116)
(117)
E SP + E rel = E.
# 48
Antwort
µr2
Es bezeichnet I =
damit in der Form
das Trägheitsmoment des Moleküls im Abstand r. Die Schrödinger-Gleichung kann
~2
L2
− ∆r +
+
V
(r)
−
E
φ(r, ϕ, θ) = 0
2µ
2µr2
geschrieben werden.
# 47
(118)
Antwort
Die kinetische Energie kann wie im klassischen Fall in einen Radial- und einen Winkelanteil aufgespalten
werden. Im klassischen Fall hat man
T + Rrad + T rot =
(130)
µṙ2
L2
+
,
2
2µr2
(121)
und im quantenmechanischen Fall ist der Operator der kinetischen Energie unter sphärischen Polarkoordinaten
T =−
~2
∆,
2µ
(122)
∆ = ∆r + ∆θ,ϕ ,
1 ∂ 2 ∂
2 ∂
r
=
+
,
r2 ∂r ∂r
∂r2
r ∂r
1 ∂
∂
1
∂2
=
sin θ
+
.
2
sin θ ∂θ
∂θ
sin θ ∂ϕ2
∆r =
∆θ,ϕ
(123)
∂2
(124)
(125)
Damit ist
T rad = −
~2
∆r ,
2µ
~2
∆θ,ϕ =
2µ
2 ~
1
L2 =
i
sin θ
~ ∂
Lz =
.
i ∂ϕ
T rot = −
(126)
1 L2
,
2 µr2
(127)
∂
∂
1
∂2
sin θ
+
,
∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
(128)
(129)
Quantenmechanik
# 49 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
Separation der Radial- und Winkelbetrachtung
Quantenmechanik
# 51 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Eigenschaften des Drehimpulsoperators
# 50 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Starrer Rotator
Quantenmechanik
# 52 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Algebraische Behandlung des Drehimpulsoperators
# 50
Antwort
# 49
Wir sprechen vom starren Rotator, wenn wir das Trägheitsmoment als zeitlich konstant annehmen und
die kinetische Energie nur aus dem Rotationsanteil besteht
H = T rot =
L2
.
2I
(134)
Mit dem Separationsansatz
l ≥ 0,
(135)
Lz Ylm = ~mYlm ,
− l ≤ m ≤ l.
(136)
φ(r, ϕ, θ) = R(r)Y (ϕ, θ)
(131)
2
L − λ Y (ϕ, θ) = 0,
~2
λ
− ∆r +
+ V (r) − E R(r) = 0.
2µ
2µr
(132)
erhält man die beiden Gleichungen
Eigenlösungen zum Drehimpuls Die Eigenlösungen, also die Eigenwerte und Eigenfunktionen zum Operator L2 und zum Operator Lz der z-Komponente des Drehimpulses sind die Kugelflächenfunktionen mit
den Eigenwertgleichungen
L2 Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm ,
Antwort
(133)
Dabei ist λ eine Separationskonstante, die durch die Lösung von Gleichung (132) festgelegt wird.
Damit genügen die Eigenlösungen der Schrödinger-Gleichung
L2
~2 l(l + 1)
Ylm (ϕ, θ) =
Ylm (ϕ, θ) = El Ylm (ϕ, θ).
(137)
2I
2I
Die Ganzzahligkeit der Quantenzahlen l rührt von der Normierbarkeit der Kugelflächenfunktion her, die
Ganzzahligkeit der Quantenzahl m von der Eindeutigkeit der Kugelflächenfunktion.
Die Quantenzahl l wird als Drehimpulsquantenzahl bezeichnet und steht für den Betrag des Drehimpulses
als Erhaltungsgröße. Ohne ausgezeichnete Richtung sind die Energie unabhängig von der Quantenzahl m.
Zeichnet man eine Richtung z. B. durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes aus, dann sind die Energien
auch von der Quantenzahl m abhängig, woher der Name Magnetquantenzahl herrührt.
Die Abstände benachbarter Energie sind
∆El = El+1 − El =
# 52
~2
l.
I
(138)
Antwort
# 51
Weiterhin gilt
Antwort
Mit der Definition
J 2 |jmi = j(j + 1) |jmi ,
Jz |jmi = m |jmi ,
p
J± |jmi = j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1i .
(153)
Lα = αβγ xβ pγ,
(139)
(154)
L± = Lx ± iLy ,
(140)
L = ~J.
(155)
(141)
gelten folgende Eigenschaften
Ji† = Ji ,
2
J =
Jx2
+
Jy2
+
†
J±
Jz2 =
(142)
= J∓ ,
(143)
= J− J+ + Jz + Jz2 .
(144)
Drehimpuls-Vertauschungsrelationen
Es gelten die folgenden Kommutatoren
Jα , Jβ = iαβγ Jγ ,
J± , J 2 = Jα , J 2 = 0,
[J+ , J− ] = 2Jz ,
(145)
(146)
(147)
[Jz , J± ] = ±J± ,
2
J , J± J∓ = 0,
(148)
[Jz , J± J∓] = 0,
(150)
(149)
[Lα , xβ] = i~αβγ xγ ,
(151)
[Lα , pβ] = i~αβγ pγ .
(152)
Quantenmechanik
# 53 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
Radialbewegung im zentralsymmetrischen Potential
Quantenmechanik
# 55
Teilchen im elektro-magnetischen Feld
Vektorpotential eines homogenen Magnetfeldes
# 54 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Teilchen im Coulomb-Potential
Quantenmechanik
# 56
Teilchen im elektro-magnetischen Feld
Hamilton-Operator des elektro-magnetischen Feldes
# 54
Antwort
# 53
Die Eigenenergien für ein Teilchen im Coulomb-Potential
V (r) = −
1 Ze2
[4πε0 ] r
(158)
sind
µ
En = −
2
e2
[4π0 ]~
2
Antwort
Schrödinger-Gleichung Mit der Separationskonstante λ = ~2 l(l + 1) aus der Lösung der Winkelbewegung
erhält man für die Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung
~2
~2 l(l + 1)
− ∆r +
+
V
(r)
−
E
R(r) = 0.
(156)
2µ
2µr2
~2 l(l+1)
Z2
.
n2
(159)
Wie im klassischen Fall wird der zweite Term 2µr2 auch Zentrifugalpotential genannt. Die Summe
aus dem zweiten und dem dritten Term stellt ein effektives Potential für die Radialbewegung dar
Veff (r) = V (r) +
~2 l(l + 1)
.
2µr2
(157)
Die Magnetquantenzahl m kommt in der Gleichung nicht vor. Weil die Magnetquantenzahl 2l + 1 verschiedene Werte annehmen kann, ist im Fall zentralsymmetrischer Potential der Zustand mit der Drehimpulsquantenzahl l daher (2l + 1)-fach entartet.
Wegen [H, L] = [H, L2 ] = [Lα , L2 ] = 0 kann man ein gemeinsames System von Eigenfunktionen für
die Operatoren H, L2 und Lα wählen. Allerdings gibt es wegen [Lα , Lβ ] = i~αβγ Lγ kein gemeinsames
System für verschiedene Komponenten des Drehimpulses.
# 56
Antwort
# 55
Man kann den Effekt eines Magnetfeldes durch die sog. minimale Ersetzung
p → π = p − qA,
A=
[c]
A
c
Antwort
Es sei die z-Richtung in Richtung des Magnetfeldes gewählt, B = (0, 0, B). Das zum Magnetfeld gehörige
Vektorpotential A kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden
(165)
A = B(−γy, (1 − γ)x, 0).
(160)
berücksichtigen. Man erhält dann für den Hamilton-Operator eines Teilchens im Magnetfeld
π2
+ V (r) =
2m
1
=
(p − qA)2 + qΦ.
2m
Landau-Eichung
Die Wahl γ = 0 oder γ = 1 nennt man Landau-Eichung
H=
A = B(0, x, 0),
(166)
A = B(−y, 0, 0),
(161)
weil sie eine bequeme Eichung bei der Berechnung der Landau-Niveaus eines freien Teilchens im Magnetfeld darstellt.
Symmetrische Eichung
Die Wahl γ = 1/2 nennt man die symmetrische Eichung
A=
Coulomb-Eichung
1
B × r.
2
(162)
Für alle Formen von Gleichung (160) ist die Coulomb-Eichung erfüllt
∇ · A = 0.
(163)
Deshalb vertauscht der Operator des kanonischen Impulses mit dem Vektorpotential
p · A = A · p.
(164)
Quantenmechanik
# 57
Wasserstoffatom
Quantenmechanik
Quantenmechanische Betrachtung des Wasserstoffatoms
Quantenmechanik
# 59
Kugelflächenfunktionen
Wasserstoffatom
# 58
Wasserstoffatom
Schrödinger-Gleichung des Wasserstoffproblems
Quantenmechanik
# 60
Eigenwerte des Wasserstoffatoms
Wasserstoffatom
# 58
Antwort
# 57
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffproblem heißt
Eφ(r) = −
~2
2m
∆φ(r) −
e2
1
φ(r).
4πε0 r
(167)
Die Separation dieser Gleichung in Kugelkoordinaten führt zu drei Gleichungen, die von jeweils nur einer
der Koordinaten r, θ, ϕ abhängen. Eine vollständige Lösung φ(r) ergibt sich als das Produkt der Lösungen
dieser drei Gleichungen
φnlm (r, θ, ϕ) = Rnl (r)Ylm (θ, ϕ).
Mit dem bereits bekannten Separationsansatz ergibt sich die radiale Schrödingergleichung
~2 d2
e2
~2 l(l + 1)
−
−
+
−
E
R(r) = 0.
2me dr2
4πε0 r
2me r2
# 60
Energieeigenwerte
(168)
En = −
Drehimpulseigenwerte
1
.
8πε0 a0 n2
Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustände und Energiewerte des Elektrons im Wasserstoffatom;
es ist üblich, die verschiedenen diskreten Energiewerte über die Hauptquantenzahl n als En zu bezeichnen.
Der tiefste Energiezustand ist E1 .
Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhängigkeit (Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische Quantenzahl).
(169)
# 59
Die Energieeigenwerte sind
e2 Z 2
Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung kann aufgrund der Kugelsymmetrie der elektromagnetischen
Wechselwirkung in drei unabhängige Gleichungen separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann
mathematisch exakt gelöst werden.
Das Wasserstoffproblem ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, die sich exakt berechnen
lassen.
Antwort
Hφnlm = En φnlm .
Antwort
(172)
(173)
Antwort
Dabei sind Ylm (θ, ϕ) die Kugelplächenfunktionen
s
2l + 1 (l − m)! m
Ylm (θ, ϕ) =
P (cos θ)eimϕ
4π (l + m)! l
und Pl (z) die zugeordneten Legendre-Polynome
Die Drehimpulseigenwerte sind
L2 φnlm = ~2 l(l + 1)φnlm .
Magnetische Eigenwerte
Pl (z) =
(174)
Die magnetischen Eigenwerte sind
Lz φnlm = ~mφnlm .
(170)
(175)
1 dl 2
(z − 1)l .
2l l! dz l
(171)
Quantenmechanik
# 61
Wasserstoffatom
Quantenmechanik
Entartung des Wasserstoffatoms
Quantenmechanik
# 63 Kontinuitätsgleichung in der Quantenmechanik
Kontinuitätsgleichung in der Quantenmechanik
# 62
Wasserstoffatom
Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms
Quantenmechanik
# 64
Quantenmechanische Messprozesse
Messung
# 62
Antwort
Die niedrigsten Orbitale sind gegeben durch die Gleichungen
s
r
4 −r/a0
1
,
φ100 =
e
·
a30
4π
s
r
r
1
1
−r/2a0
−
φ200 =
+
2
e
·
,
8a30
a0
4π
s
r
1
r
3
−r/2a0
φ210 =
e
·
cos θ,
24a30 a0
4π
s
r
1
r
3
−r/2a0
φ2,1,±1 = ∓
e
·
sin θ · e±iϕ .
24a30 a0
8π
# 64
# 61
Antwort
Alle Lösungen mit gleichem n besitzen die gleiche Energie. Man sagt daher, sie sind entartet bezüglich
der Quantenzahlen l und m.
(176)
Die Entartung bezüglich m gilt für alle kugelsymmetrischen Potentiale, weil dann die Energie eines
Eigenzustandes nicht von der Orientierung des Drehimpulses bezüglich der z-Achse abhängen kann. Die
Entartung bezüglich l hingegen ist eine Besonderheit von 1/r-Potentialen.
(177)
(178)
(179)
Antwort
# 63
Weil die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude deterministisch ist, ist nur die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang eines Messprozesses (nicht der Ausgang des Messprozesses selbst) deterministisch.
Antwort
Mit Wellenfunktion ψ(r, t) ist die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
~ = −
Mögliche Messwerte einer Observablen F bei einer einzigen Messung sind die Eigenwerte des zugehörigen
selbstadjungierten Operators F̂ = F (r̂, p̂, t). Das Eigenwertproblem lautet
ı~
(ψ ∗ grad ψ − ψ grad ψ ∗ )
2m
(180)
und mit dem Betragsquadrat der Wellenfunktion ρ(~
r, t) = |ψ(~
r, t)|2 gilt die Kontinuitätsgleichung
F̂ φn (r) = Fn φn (r).
Für eigentliche Zustände gilt die Orthonormalität hφn |φm i = δm,n und die Vollständigkeit
Z
X
φ(r) =
φn (r) hφn |ψi .
n
(182)
∂ρ
+ div~ = 0.
∂t
(183)
Warum steht Masse m im Nenner?
Impuls?
(181)
Quantenmechanik
# 65
Messung
Quantenmechanik
Mittelwert
Quantenmechanik
# 67
Zustandsänderung durch Messung: Projektionspostulat
# 66
Messung
Unschärfe
Messung
Quantenmechanik
# 68
Kanonischer und generalisierter Impuls
Kanonischer und generalisierter Impuls
# 66
Antwort
# 65
Befindet sich das System in einem Eigenzustand einer Observablen, dann ist der Messwert scharf, Eigenwert, Messwert und Erwartungswert sind gleich, und die Unschärfe
s
2 ∆Fψ =
F̂ − hF iψ
.
(185)
Antwort
Der statistische Mittelwert vieler identischer Messungen an identischen Systemen ist der Erwartungswert
D
E
P
2
ψ|F̂ ψ
n | hφn |ψi | Fn
.
(184)
hF iψ =
= P
|
hφ
|ψi
|2
hψ|ψi
n
n
ψ
Mit dem Mittelwert ist eine mittlere quadratische Abweichung = Varianz verknüpft.
verschwindet.
Zwei Observablen sind genau dann gleichzeitig messbar, wenn ihre zugehörigen Operatoren kommutieren.
# 68
Antwort
# 67
Als Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit ist der generalisierte Impuls die Ableitung der LagrangeFunktion L nach der Geschwindigkeit q̇
pj =
∂L
.
∂ q̇j
Ein Quantenobjekt im Zustand |ψi ist mit der Wahrscheinlichkeit hψ|ER (A)|ψi nach der Projektion auf
eine Teilmenge A von möglichen Messergebnissen der Observablen R im Zustand
0
ψ = ÊR (A) |ψi .
kER (A)ψk
(189)
Beim Übergang zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls durch den Impulsoperator ersetzt
pj → p̂j = −~i
Antwort
∂
.
∂xj
(186)
Der Zustandsvektor des Objektes wird dabei auf den vorgesehenen Teilbereich des Hilbertraums projiziert
und anschließend normiert.
(190)
Beispiel: Wasserstoffatom
Ein Wasserstoffatom befinde sich im Zustand
√
6
|ψi = 1/
· (2|ψ100 i − |ψ210 i + |ψ211 i) .
(187)
Eine Messung von E liefert das Ergebnis E = −ER = E1 . Der Zustand nach der Messung wird von der
Projektion von |ψi auf den zu n = 1 gehörigen Eigenraum beschrieben, also auf |ψ100 i. Der normierte
Zustandsvektor nach der Messung ist also |ψ100 i.
Bei einer Messung von Lz erhält man das Ergebnis Null. Der Zustand nach der Messung ist die Projektion
von |ψi auf den zu m = 0 gehörigen Eigenraum. Der normierte Zustandsvektor nach der Messung ist also
√
1/ 5
· (2|ψ100 i − |ψ210 i) .
(188)
Quantenmechanik
# 69
Kanonischer und generalisierter Impuls
Quantenmechanik
Generalisierter Impuls bei Klassischen Bewegungen
Quantenmechanik
# 71
Bestimmung der Störterme
# 70
Störungstheorie
Zeitunabhängige Störungstheorie nach Schrödinger
Störungstheorie
Quantenmechanik
# 72
Stark-Effekt
Störungstheorie
# 70
Antwort
# 69
Anwendbar bei Systemen, bei denen der Hamilton-Operator aus einem diagonalisierbaren Anteil und
genau einer Störung besteht, die beide zeitunabhängig sind
H = H0 + λH1 .
En =
+
1
λEn
+λ
2
2
En
+ ...
Bei der Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential V (x, t) ohne Zwangsbedingung in
kartesischen Koordinaten
(197)
Es seien zum ungestörten Hamilton-Operator H0 die orthonormalen Eigenvektoren n0 und Eigenwerte
0 bekannt und nicht entartet. Man setzt für die gestörten Eigenwerte und -zustände eine Potenzreihe
En
in λ an
(198)
|ni = n0 + λ n1 + λ2 n2 + . . .
0
En
Antwort
L=
(191)
ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls
p = mẋ.
(192)
Bei der Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential V (r, ϕ, z, t)
(199)
Konvergiert diese Reihe, so erhält man den Eigenzustand |ni des gestörten Systems und dessen Energie
En , bzw. durch Abbruch der Reihe eine Approximation der entsprechenden Ordnung an diese. Einsetzen
der Potenzreihe liefert
(H0 + λH1 ) n0 + λ n1 + λ2 n2 + . . . =
0
1
2
= (En
+ λEn
+ λ2 En
+ . . .) n0 + λ n1 + λ2 n2 + . . . .
(200)
1
mẋ2 − V (x, t)
2
L=
1
m ṙ2 + r2 ϕ̇2 + ż 2 − V (r, ϕ, z, t)
2
(193)
ist in Zylinderkoordinaten der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse
pϕ̇ =
∂L
= mr2 ϕ̇.
∂ ϕ̇
(194)
Bei Bewegung einer Punktladung q der Masse m im elektromagnetischen Feld
Zusammenfassen von Gliedern gleicher Potenz in λ liefert die Folge von Gleichungen
0 0
H0 |n0 i = En
n ,
(201)
1
0
0 1
1 0
H0 n + H1 n = En n + En n ,
(202)
0 2
1 1
2 0
H0 n2 + H1 n1 = En
n + En
n + En
n .
(203)
k und nk aufgelöst werden, der Term k = 0 steht für die
Diese Gleichungen können iterativ nach En
ungestörte Schrödinger-Gleichung.
hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des
Feldes
# 72
# 71
Antwort
Der Stark-Effekt ist der Effekt, den ein homogenes elektrisches Feld E auf die Zustände eines Systems
hat. Wenn man ein einzelnes Teilchen mit der Ladung q betrachtet, ist der Störoperator
H1 = −qEr,
(211)
und wenn man die z-Richtung eines Koordinatensystems in Richtung des elektrischen Feldes legt, hat
man E = Eez und
H1 = −qEz = −qEr cos θ.
denn die Energiekorrektur in erster Ordnung der Störung ist
Z
1
E±
∝ hφ± |r|φ± i =
d3 r r|φ± (r)|2 = 0.
1
mẋ2 − qφ(t, x) + q ẋ · A(t, x)
2
p = mẋ + qA(t, x).
(195)
(196)
Antwort
Eine geeignete zusätzliche Annahme zur eindeutigen Bestimmung der Störterme ist die Definition
0 n |n = 1.
(204)
0
Da der ungestörte Zustand n normiert sein soll, folgt sofort
n0 |n = n0 | n0 + λ n1 + λ2 n2 + . . . = 1,
⇒ λ n0 |n1 + λ2 n0 |n2 + . . . = 0
(212)
Der lineare Stark-Effekt verschwindet normalerweise für ungestörte Zustände irgend eines Systems in
irgend einem nicht-entarteten Zustand mit definierter Parität
φ± (r) = ±φ± (−r),
L=
(205)
(206)
und daraus
D
n0 |nk
E
= δ0,k .
(207)
(213)
(214)
Dies bedeutet, dass alle Korrekturen aus dem orthogonalen Komplement zu n0 stammen. Man erhält
in erster Ordnung die Korrektur
1
En
= n0 |H1 |n0 ,
(208)
X m0 |H1 |n0
1
n =
m0
,
(209)
0 − E0
En
m
m6=n
und für die Korrektur der Energie in zweiter Ordnung
X m0 |H1 |n0 2
2
En =
= n0 |H1 |n1 .
0 − E0
E
n
m
m6=n
(210)
Quantenmechanik
# 73
Störungstheorie
Quantenmechanik
Beispiel: Linearer Stark-Effekt am Wasserstoff-Atom
Quantenmechanik
# 75
# 74
Störungstheorie
Variationsrechnung als Alternative
Störungstheorie
Beispiel: Wechselwirkung der Elektronen im Helium-Atom: Teil 1
Quantenmechanik
# 76
Störungstheorie
Beispiel: Wechselwirkung der Elektronen im Helium-Atom: Teil 2
# 74
Antwort
# 73
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Grundzustand sei
H |φ0 i = E0 |φ0 i .
(220)
Es sei |φ̃i ein beliebiger Zustandsvektor, dann gilt
hφ̃|H|φ̃i
hφ̃|φ̃i
≥ E0 ,
(221)
und Gleichheit gilt für den exakten Grundzustand.
Variationsverfahren Man wählt eine Funktion φ̃ = φ(p) mit Parameter p = {pi } geschickterweise so,
dass sie der richtigen Funktion vermutlich nahe kommt. Dann variiert man die Parameter derart, dass
die Energie
E(p) =
hφ(p)|H|φ(p)i
hφ(p)|φ(p)i
(222)
minimal wird
∂E
= 0.
∂pi
(223)
Bei der Wahl der Variationsfunktion wählt man die korrekte Symmetrie und das richtige asymptotische
Verhalten.
Antwort
Die Situation ist eine andere, wenn es sich um entartete Zustände handelt, wie z. B. um den ersten
angeregten, vierfach entarteten Zustand des Wasserstoff-Atoms mit der Hauptquantenzahl n = 2. Dann
muss man entartete Störungstheorie treiben. Wenn man die vier Zustände 2px , 2py , 2pz , 2s mit k =
1, 2, 3, 4 durchzählt, ist die Störmatrix


0 0 0 0

0 0 0 0

k|H1 |k0 = 3a0 qE 
(215)
0 0 0 1 ,
0 0 1 0
denn die benötigten Matrixelemente sind
2lm|H1 |2l0 m0 = −qE 2lm|z|2l0 m0 ,
und die meisten davon verschwinden, weil der Integrand ungerade ist. Die Lösungsbedingung ist dann


−E 1
0
0
0
1
 0
−E
0
0 
 = 0,
det 
(217)
 0
0
−E 1
3a0 qE 
0
0
3a0 qE
0
und als Lösungen ergeben sich die Energiekorrekturen
(
0
κ = k = 1, 2 = 2px , 2py
Ek1 =
,
1 = ±3a qE
E±
κ=±
0
mit den zugehörigen normierten Eigenvektoren
0
1
1
0
,
,
0
0
0
# 76
Antwort
1
√
2
0
# 75
Diese Wellenfunktion ist Eigenfunktion zum Hamilton-Operator
X p2
Ze2 1
i
H0 =
−
.
2m
[4πε0 ] |ri |
i
0
0
1
1
,
(233)
H = H1 + H2 + V12 ,
V12 =
(234)
Die Energie wird minimal für
p2i
2m
−
e2
Z0
1
,
]4πε0 |ri |
e2
1
.
[4πε0 ] |r1 − r2 |
0 0
.
1
−1
(219)
Z = Z0 − 5/16.
(235)
(224)
(225)
(226)
Im Grundzustand werden sich die beiden Elektronen in 1s-ähnlichen Zuständen befinden. Die Wellenfunktion ist dann
Φ(r1 , r2 ) = φZ0 (r1 )φZ0 (r2 ),
(227)
φZ0 (ri ) = N e− 0 i/a0 ,
3/2
1
Z
.
N = √
π a0
(228)
Z r
⇒
1
√
2
Antwort
Hi =
Man fasst jetzt Z als Variationsparameter auf. Man erhält dann mit den Wellenfunktionen
Z
Φ |H|ΦZ
EZ =
= 2Z 2 − 4Z0 Z + 5/4Z E0 .
hΦZ |ΦZ i
dE
= (4Z − 4Z0 + 5/4) E0
dZ
(218)
Der Hamilton-Operator für das He-Atom mit der Kernladungszahl Z0 = 2 ist
Für V12 = 0 wäre Gleichung (227) die exakte Lösung.
0=
(216)
(229)
Weil jetzt aber jedes Elektron den abschirmenden Einfluss des anderen spürt, kann man davon ausgehen,
dass die Wellenfunktion durch eine abgeschirmte Ladung Z bestimmt wird
ΦZ (r1 , r2) = φZ (r1 )φZ (r2 ),
(230)
φZ (r) = N e− /a0 ,
3/2
1
Z
N = √
.
π a0
(231)
Zr
(232)
Quantenmechanik
# 77
Kohärente und inkohärente Zustände
Quantenmechanik
Kohärente und inkohärente Zustände
Mechanik
# 79
1. Newton’sches Axiom (Trägheitssatz)
# 78
Kohärente und inkohärente Zustände
Eigenschaften Kohärenter Zustände
Newton’sche Mechanik
Mechanik
# 80
2. Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip)
Newton’sche Mechanik
# 78
Antwort
# 77
• Normierung: Der Vorfaktor des kohärenten Zustandes dient also der Normierung hα|αi = 1.
Antwort
In Fock-Raum-Schreibweise ergibt sich der kohärente Zustand |αi als unendliche Linearkombination von
Zuständen fester Teilchenzahl |ni nach
• Orthogonalität: Kohärente Zustände sind nicht orthogonal hβ|αi 6= δ(α − β).
• Eigenzustände: Der kohärente Zustand ist ein rechtsseitiger Eigenzustand des Vernichtungsoperators a und es gilt a |αi = α |αi. Der Bra-Vektor ist ein linksseitiger Eigenzustand des Erzeugungsoperators mit komplex-konjugiertem Eigenwert hα| a† = α∗ hα|.
• Unschärfe: Kohärente Zustände besitzen minimale Unschärfe 1/4| hα|[p, x]|αi |2 = ~2/4.
• Harmonischer Oszillator: In einer wechselwirkungsfreien Theorie (im harmonischen Oszillator)
bleiben kohärente Zustände kohärent. Sie sind jedoch nicht Eigenzustände des freien HamiltonOperators. Vielmehr rotiert die Phase von α mit der Oszillatorfrequenz ω, d. h. ein kohärenter
Zustand geht in einen anderen kohärenten Zustand über.
|α|2/2
|αi = e−
∞
X
αn
√ |ni .
n!
n=0
(236)
Dabei ist α eine beliebige, nicht-verschwindende komplexe Zahl, die den kohärenten Zustand vollständig
definiert. Die Wahrscheinlichkeit, eine Besetzung von genau n Teilchen zu messen, ist
P (n) = | hn|αi |2 =
|α|2n −|α|2
e
.
n!
(237)
Die Verteilung entspricht also der Poisson-Verteilung. Demnach ist |α|2 der Erwartungswert der Besetzungszahl des kohärenten Zustandes.
Anschauliche Erklärung Der kohärente Zustand entspricht einem gauß’schen Wellenpaket, das im harmonischen Oszillator hin- und herläuft, ohne Orts- und Impulsunschärfe zu verändern.
# 80
Antwort
# 79
Antwort
Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch
einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.
~
Bzw.: In einem Inertialsystem wird die Änderung des Impulses eines Massenpunktes durch eine Kraft F
hervorgerufen, sodass gilt:
Bzw.: In einem Inertialsystem ist der Impuls eines freien Massenpunktes, d. h. eines Massenpunktes, auf
den keine Kraft wirkt, erhalten.
p
~ = d~
F
.
dt
(239)
~ =0
F
⇔
p
~(t) = const .
(238)
Mechanik
# 81
Newton’sche Mechanik
Mechanik
3. Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip)
Mechanik
# 83
Impulserhaltung
Erhaltungssätze und Kräfte
# 82
Newton’sche Mechanik
4. Newton’sches Axiom (Superpositionsprinzip)
Mechanik
# 84
Drehimpulserhaltung
Erhaltungssätze und Kräfte
# 82
Antwort
# 81
~1 , . . . , F
~n so addieren sich diese
Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfe F
vektoriell zu einer resultierenden Kraft
~ =
F
n
X
~i
F
(241)
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio),
so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).
~ji , die zwei Massenpunkte i und j aufeinander ausüben, gilt
~ij und F
Bzw.: Für die Kräfte F
~ij = −F
~ji .
F
i=1
auf.
# 84
Antwort
(240)
Somit sind die Kräfte dem Betrage nach gleich groß und einander entgegengesetzt gerichtet (Actio =
Reactio).
Antwort
# 83
Falls Kraft zentral, also nur vom Betrag des Richtungsvektors abhängt und in dessen Richtung zeigt
~ (~
F
r) = F (r) · ~er .
Falls Kraft verschwindet
(244)
~ = 0.
F
(242)
d~
p
d
~ = 0.
=
(m~v ) = m~a = F
dt
dt
(243)
Die Impulserhaltung folgt dann aus
Beweis. Die Drehimpulserhaltung folgt dann aus
~
dL
d ~ = 0.
=
m~
r×~
r˙ = m ~
r˙ × ~
r˙ + ~
r×~
r¨ = ~
r×F
dt
dt
Antwort
(245)
Mechanik
# 85
Erhaltungssätze und Kräfte
Mechanik
Energieerhaltung
Mechanik
# 87
Trägheitstensor
# 86
Scheinkräfte
Scheinkräfte
Trägheitstensor
Mechanik
# 88
Lagrangefunktion
Lagrangeformalismus
# 86
Antwort
# 85
Bei Bewegungen im Nicht-Inertialsystem gilt
m~
r¨ = −
Falls Kraft konservativ, also
∂V
r¨0 − mω
~˙ × ~
r − 2m(~
ω × ~v ) − m~
ω × (~
ω ×~
r).
− m~
∂~
r
~ ×F
~ = 0.
∇
(250)
(246)
~ (~
Bzw. F
x) ist als Gradient eines skalaren Feldes, dem Potential V (~
x), darstellbar, und es gilt
Dabei ist
# 88
Antwort
Trägheitskraft der Translation:
− m~
r¨0 ,
(251)
Trähgheitskraft bzgl. Rotation:
− mω
~˙ × ~
r,
(252)
Corioliskraft
− 2m(~
ω × ~v ),
(253)
Zentrifugalkraft
− m~
ω × (~
ω ×~
r).
(254)
Antwort
Konservative Kräfte sind vorausgesetzt, wenn man mit L = T − V arbeiten will. Ansonsten konstruiert
man ein verallgemeinertes Potential und bringt die Kraft in die Bewegungsgleichung ein.
~ (~
~ (~
F
x) = −∇V
x).
(247)
Beweis. Die Energieerhaltung folgt dann aus
1
m~v 2 + V (r),
2
dE
dV (r)
dV (r) d~
r
= m~
r¨ · ~
r˙ +
= m~
r¨ · ~
r˙ +
=
dt
dt
d~
r dt
~ (~
~ (~
~ (~
=F
r) · ~
r˙ + ∇V (r) · ~
r˙ = F
r) · ~
r˙ − F
r) · ~
r˙ = 0.
E=
# 87
(248)
(249)
Antwort
Der Trägheitstensor ist definiert als
ϑjk =
X
mi ~
ri2 δjk − rijrik .
(255)
i
Steiner’scher Satz
Für die Verschiebung des Trägheitstensors mit Hilfe des Steiner’schen Satzes gilt
ϑ0ij = ϑij + M δij ~a2 − ai aj .
(256)
Mechanik
# 89
Lagrangeformalismus
Mechanik
Langrange-Bewegungsgleichung
Mechanik
# 91
Gravitationskraft
Kinematik der Keplerbewegung
# 90
Lagrangeformalismus
Erhaltungssätze
Mechanik
# 92
Wer kreist um wen?
Kinematik der Keplerbewegung
# 90
Antwort
Zyklische Koordinaten Ist φ eine zyklische Koordinate, d. h.
pulskomponente Lz erhalten.
# 89
dL/dφ
= 0, so ist die zugehörige Drehim-
Antwort
Bewegungsgleichungen
0=
Erhaltung der Hamiltonfunktion
tonfunktion
Ist die Lagrangefunktion nicht explizit zeitabhängig, so ist die Hamil-
H=
X
j
q̇j
∂L
−L
∂ q̇j
d ∂L
∂L
.
−
dt ∂ φ̇
∂φ
(257)
Kanonische Impulse
(262)
px =
erhalten.
H=
∂L
∂ ẋ
n
X
(258)
pxj ẋj − L.
(259)
j=1
Energieerhaltung Ist die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeiten, bzw. die Zwangsbedingung skleronom, d. h. die Zwangsbedingung hängt nicht explizit von der Zeit ab, so ist die Hamiltonfunktion gleich der Energie.
Leistung
P =
~ d~
dW
F
r
~ ·~
=
=F
r˙.
dt
dt
(260)
Effektives Potential Ein Teilchen beschreibt eine Kreisbahn, wenn die Energie gleich dem Minimum des
effektiven Potentials
Veff (~
r) = E(~
r) − T (~
r)
(261)
ist.
# 92
Antwort
Bei der Bewegung der Erde um die Sonne kreisen beide Himmelskörper um den gemeinsamen Schwerpunkt. Das Inertialsystem im 1. Axiom ist also das Schwerpunktsystem.
# 91
Antwort
Zwischen zwei Punktmassen m1 und m2 herrscht die Gravitationskraft.
~G = −∇V
~ G (|~
F
x|),
Diese ist eine Zentralkraft.
VG (|~
x|) = VG (r) = −G
m1 m2
.
r
(263)
Mechanik
# 93
Kepler’sche Gesetze
Mechanik
1. Kepler’sches Gesetz (Ellipsensatz)
Mechanik
# 95
3. Kepler’sches Gesetz
# 94
Kepler’sche Gesetze
2. Kepler’sches Gesetz (Flächensatz)
Kepler’sche Gesetze
Mechanik
# 96
Zwei-Körper-Problem
Kepler’sche Gesetze
# 94
Antwort
# 93
In gleichen Zeiten überstreicht die gedachte Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet gleiche Flächen.
Antwort
Jeder Planet unseres Sonnensystems bewegt sich auf einer Ellipsenbahn, in deren einem Brennpunkt die
Sonne steht.
Beweis. Da die Gravitationskraft eine Zentralkraft ist, gilt die Drehimpulserhaltung L = const . und
damit lässt sich der Flächensatz beweisen.
Die Fläche eines infinitesimalen Sektors (also ist r dort zeitlich konstant) ist
1 2
r · dϕ,
2
dϕ
L
dA
= r2
= r2 ω =
= const .
2
dt
dt
m
dA =
(264)
Abbildung 6: 1. Kepler’sches Gesetz: Der Ellipsensatz
(265)
Abbildung 7: 2. Kepler’sches Gesetz: Der Flächensatz
# 96
Antwort
# 95
Im folgenden werden die Gleichungen zunächst im Allgemeinen Fall aufgestellt und schließlich für den
Fall m1 = m2 = m näher betrachtet.
Schwerpunktmasse
M = m1 + m2 = 2m,
m1 m2
m
µ=
=
,
m1 + m2
2
r1 − ~
r2
~ = ~
,
R
2
~
r=~
r1 − ~
r2 .
Reduzierte Masse
Schwerpunktskoordinaten
Relativkoordinaten
(270)
(271)
(272)
(273)
Und damit gilt für die beiden einzelnen Koordinaten
~ + ~r/2,
~
r1 = R
(274)
~ − ~r/2.
~
r2 = R
(275)
Antwort
Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 , T2 verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen der Bahnen
a1 , a2 zweier Planeten
T1
T2
2
=
a1
a2
3
·
M + m2
.
M + m1
(266)
Beweis. Für Kreisbeweggungen gilt FG = FZ , also
m1 m2
v2
= m1 ,
r2
r
Gm2
(2πr)2
4π 2 r2
⇒
=
=
,
2
r
T
T2
T2
4π 2
.
⇒ 3 =
r
Gm2
G
(267)
(268)
(269)
Mechanik
# 97
Kepler’sche Gesetze
Elektrodynamik
Lösung des Kepler-Problems
Elektrodynamik
# 99
Differentielle Form
# 98
Maxwell Gleichungen
Integrale Form
Maxwell Gleichungen
Elektrodynamik
# 100
Maxwell Gleichungen
Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungs- und Stromdichten
# 98
Antwort
# 97
Antwort
Es gelten die Energie- und Drehimpulserhaltung
Z
Z
~ · d~s = µ0 ε0 ∂
~ · dA
~ + µ0
~
~j · dA,
B
E
∂t A
A
Z
I
~ · dA,
~
~ · d~s = − ∂
B
E
∂t A
Z
Z
~ · dA
~= 1
E
% dV,
ε0 V
ZA
~ · dA
~ = 0.
B
I
1 ˙2
m ~
r + r2 ϕ̇2 + V (r) =
2
L2
1 ˙2
= m~
r +
+ V (r),
2
2mr2
L2
+ V (r).
Veff (r) =
2mr2
(279)
E =T +V =
(280)
(281)
(282)
A
(276)
(277)
auf. Separation der Variablen löst die Differentialgleichung und liefert die BeweLöse (276) nach ṙ = dr
dt
gungsgleichung für ~
r(t).
Die Bewegungsgleichung für ϕ(t) ergibt sich aus
dϕ
dϕ dt
1
L 1
=
= ϕ̇ =
.
dr
dt dr
ṙ
mr2 ṙ
# 100
Antwort
# 99
~ ·E
~ =0
∇
(287)
~ ·B
~ =0
∇
(288)
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ×B
~ = 1 ∂E .
∇
ε0 µ0 ∂t
(289)
(290)
(278)
Antwort
~
~ = µ0 ε0 ∂ E + µ0~j,
rot B
∂t
~
~ = − ∂B ,
rot E
∂t
~ = 1 %,
div E
ε0
~ = 0.
div B
(283)
(284)
(285)
(286)
Elektrodynamik
# 101
Maxwell Gleichungen
Elektrodynamik
Grundgleichungen der Elektrostatik
Elektrodynamik
# 103
Oersted- und Faraday-Experiment
# 102
Maxwell Gleichungen
Maxwell-Hertz’sche Wellengleichungen
Maxwell Gleichungen
Elektrodynamik
# 104
Maxwell Gleichungen
Anschauliche Erklärung der Maxwellgleichungen
# 102
Antwort
# 101
Antwort
Differentielle Form
~
∂2E
∂x2
= µ0 ε0
~
∂2B
∂t2
~
∂2B
,
∂x2
= µ0 ε0
~
∂2E
∂t2
.
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
~ ×E
~ =0
∇
(297)
(291)
(292)
~ = −∇ϕ.
~
E
(293)
Integrale Form
I
∂V
~ df~ = 1
E
ε0
Z
ρ d3 r
(294)
V
I
~ d~s = 0
E
Z
~ d~
r.
ϕ=− E
(295)
dF
# 104
Erste Maxwell’sche Gleichung
Antwort
Ein Magnetisches Wirbelfeld entsteht auf zwei Arten:
# 103
(296)
Antwort
Die Wurzeln der ersten beiden Maxwell’schen Gleichungen sind der Oersted und der Faraday-Versuch.
1. Durch die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses.
2. Durch einen Leitungsstrom I.
Zweite Maxwell’sche Gleichung Ein elektrisches Wirbelfeld wird durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses erzeugt. Diese stammt aus dem Faraday’schen Induktionsgesetz. Der Urpsrung der
Induktion ist die Lorentzkraft.
Vierte Maxwell’sche Gleichung Es gibt keine magnetischen Monopole. ∇ ist ein Maß für die Quellenstärke
~
eines Feldes, aber das B-Feld
hat keine Quelle.
Abbildung 8: (l.) Oersted-Versuch: Das Magnet eines geraden Leiters,
(r.) Faraday-Versuch: Das Faraday’sche Induktionsgesetz
Oersted-Versuch
Das Magnetfeld eines geraden Leiters ist
B=
Faraday-Versuch
µ0 I
.
2πr
(298)
Das Farada’sche Induktionsgesetz lautet
U =−
~ · B)
~
dΦ
d(A
=−
.
dt
dt
(299)
Elektrodynamik
# 105
Mathematische Sätze
Elektrodynamik
Satz von Stokes
Elektrodynamik
# 107
Transversale Felder
# 106
Mathematische Sätze
Satz von Gauß
Elektromagnetische Felder
Elektrodynamik
# 108
Dispersionsrelation
Elektromagnetische Felder
# 106
Antwort
I
∂V
# 108
1
~
df~ · E(r)
=
ε0
# 105
Z
d3 r %(r).
Antwort
Z
(301)
Φ=
V
~ =
df~ · B
Z
F
Antwort
I
~ ×A
~ =
df~ · ∇
F
# 107
~
d~s · A.
(300)
∂F
Antwort
Es gilt
ω
B0 ,
k
ω
k= .
c
E0 =
Dabei nennt man die zweite Gleichung Dispersionsrelation.
~ r, t) = E
~ 0 · ei(~k~r−ωt)
E(~
(306)
~ r, t) = B
~0 · e
B(~
(307)
Ausbreitungsrichtung
Energiedichte
i(~
k~
r −ωt)
(302)
.
Wellen breiten sich entlang von ~k aus. Ihre Geschwindigkeit ist c = ω/k.
Die Energiedichte ist
1
~2 + 1 B
~2 ,
u=
ε0 E
2
µ0
Energiestromdichte
(303)
hui =
1 ~2
ε0 E0 .
2
(304)
Die Energiestromdichte ist
%
~=
1 ~
~
E × B,
µ0
h~
%i =
c ~ 2 ~k
.
ε0 E0
2
|~k|
(305)
Elektrodynamik
# 109
Kontinuitätsgleichung
Thermodynamik
Kontinuitätsgleichung
Thermodynamik
# 111
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Erster Hauptsatz: Mathematische Formulierung
# 110
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Erster Hauptsatz: Anschauliche Formulierung
Thermodynamik
# 112
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Erster Hauptsatz: Spezialfälle
# 110
Antwort
Ableitung der Energieerhaltung Jedes System besitzt eine innere Energie U (= extensive Zustandsgröße).
Diese kann sich nur durch den Transport von Energie in Form von Arbeit W und/oder Wärme Q über
die Grenze des Systems ändern.
# 109
Antwort
Die Kontinuitätsgleichung
−
∂
%(~
r, t) = ∇~j(~
r, t)
∂t
(308)
entspricht der Ladungserhaltung. Eine Stromdichte heißt stationär, wenn gilt
∂~
j = 0.
∂t
# 112
Antwort
# 111
(309)
Antwort
• Für isolierte Systeme (mikrokanonisches Ensemble): dU = 0.
• Für geschlossene Systeme (kanonisches Ensemble): dU = ∂Q + ∂W .
• Offene Systeme (großkanonisches Ensemble): dU = ∂Q+∂W +∂EC , mit Teilchenaustauschkontakt.
Dabei ist U eine Zustandsgröße, die von anderen unabhängigen Variablen abhängt. Für ein ideales Gas
gilt z. B. U = U (T ).
dU = ∂Q + ∂W.
(310)
Thermodynamik
# 113
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Thermodynamik
Zweiter Hauptsatz: Anschauliche Formulierung
Thermodynamik
# 115
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Zusammenfassung der Aussagen des zweiten Hauptsatzes
# 114
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Zweiter Hauptsatz: Mathematische Formulierung
Thermodynamik
# 116
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Dritter Hauptsatz: Anschauliche Formulierung
# 114
Antwort
# 113
Antwort
Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art.
∂Q
dS ≥
.
T
(311)
Wgesamt
,
Qzugeführt
(312)
Clausius’sche Aussage Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nur einen kälteren Wärmebad
Wärme entzieht und diese einem heißen zuführt.
Wirkungsgrad
η=
ηCarnot = 1 −
Reversible Kreisprozesse
∆Q2
T2
=1+
.
T1
∆Q1
(313)
Ein Kreisprozess ist genau dann reversibel, wenn gilt
n
X
∂Qi
= 0.
Ti
i=1
(314)
Die Entropie ist im Gleichgewichtszustand maximal.
# 116
Antwort
Es ist nicht möglich, ein System bis zum absoluten Nullpunkt abzukühlen.
# 115
Antwort
1. Wärme kann nicht von selbst von einem Körper niedriger Temperatur auf einen Körper höherer
Temperatur übergehen.
2. Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden. Dies wäre eine Realisierung eines
Perpetuum Mobile zweiter Art.
3. Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses kann nicht übertroffen werden.
4. Alle spontan (in eine Richtung) ablaufenden Prozesse sind irreversibel.
5. Alle Prozesse, bei denen Reibung stattfindet, sind irreversibel.
6. Ausgleichs- und Mischungsvorgänge sind irreversibel.
7. In einem geschlossenen adiabaten System kann die Entropie nicht geringer werden.
8. Das Gleichgewicht isolierter thermodynamischer Systeme ist durch ein Maximalprinzip der Entropie
ausgezeichnet.
Thermodynamik
# 117
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Thermodynamik
Dritter Hauptsatz: Mathematische Formulierung
Thermodynamik
# 119
Innere Energie
Thermodynamische Potentiale
# 118
Thermodynamische Potentiale
Maxwell-Relationen
Thermodynamik
# 120
Freie Enthalpie
Thermodynamische Potentiale
# 118
Antwort
# 120
∂T
∂V
=−
S,N
∂p
∂S
# 117
,
V,N
∂T
∂Ni
=
V,S,Nj
∂µi
∂S
.
Antwort
S(T = 0) = 0.
(316)
(315)
V,N
Antwort
# 119
Antwort
G = U − T S + pV
(319)
U = T S − pV
(317)
dG(S, V ) = −S dT + V dp.
(320)
dU (T, V ) = δQ + δA = T dS − p dV.
(318)
Thermodynamik
# 121
Thermodynamische Potentiale
Thermodynamik
Freie Energie
Thermodynamik
# 123
Arbeit
# 122
Thermodynamische Potentiale
Enthalpie
Thermodynamische Potentiale
Thermodynamik
# 124
Postulate zur Entropie
Entropie
# 122
Antwort
# 124
# 121
Antwort
H = U + pV
(323)
F = U − TS
(321)
dH(T, p) = T dS + V dp.
(324)
dF (S, p) = −S dT − p dV.
(322)
Antwort
# 123
1. Ein Gleichgewichtszustand wird vollständig durch (extensive) U, N, X beschreiben. Dabei ist X = V
~ für magnetische Systeme.
für kompressible Systeme und X = M
• Isochore: dV = 0, ∂A = 0.
2. Es existiert eine Funktion S, genannt die Entropie, der extensiven Parameter. Die extensiven Parameter nehmen im Gleichgewicht solche Werte an, welche S maximieren.
• Isotherme: dT = 0, ∂A = −p(T0 , V ) dV .
3. Die Entropie S ist additiv, kontinuierlich, differenzierbar und eine monoton steigende Funktion der
inneren Energie.
4. Es gilt
S=0
für
T :=
∂U
∂S
= 0.
N,X
(325)
• Isobare: dp = 0, ∂A = −p0 dV .
• Adiabate: dS = 0, ∂A = p(T (V ), V ) dV .
Antwort
Thermodynamik
# 125
Entropie
Thermodynamik
Definition der Entropie
Thermodynamik
# 127
Wärme
# 126
Wärmekapazität
Wärmekapazität
Wärmekapazität
Thermodynamik
# 128
Beispiel: Ideales Gas
Wärmekapazität
# 126
Antwort
CV =
∂Q
∂T
=T
V
∂S
∂T
# 125
=
V
∂U
∂T
Antwort
.
(327)
dS =
V
Gibt an, mit welcher Temperaturänderung ein System auf die Wärmezufuhr ∂Q reagiert.
∂Q
CX =
.
∂T X
∂S
∂T
dT +
V
∂S
∂V
dV.
T
(328)
Dabei ist X eine Zustandsgröße, also eine Konstante bei der Wärmezufuhr. Weiter ist U = U (T, q1 , . . . , qm ),
wobei qi generalisierte Koordinaten sind und es gilt
∂Q = dU − ∂W = dU −
m
X
Fi dqi =
i=1
=
∂Q =
# 128
∂U
∂T
∂U
∂T
dT +
q
dT +
q
∂U
∂qi
m
X
i=1
dqi −
T,qj
∂U
∂qi
m
X
Fi dqi
(329)
i=1
!
− Fi
dqi .
(330)
T,qj
Antwort
# 127
Für ein ideales Gas gilt
Antwort
∂Q = T dS.
Cp − CV = nR = N kB .
(331)
• Adiabate: ∂Q = 0
• Isotherme: ∂Q = T0 dS = T0
∂S
∂V
• Isochor: ∂Q = T dS = CV dT .
h
∂S
• Isobar: ∂Q = T dS = T
∂T
P
T
dV = T0
dT +
∂S
∂p
T
∂p
∂T
V
dV.
i
dp = Cp dT .
(326)
Thermodynamik
# 129
Boltzmann-Verteilung
Boltzmann-Verteilung
# 129
Antwort
Die Boltzmann-Verteilung
E
,
F (E) ∝ exp −
kT
beschreibt die Verteilung des Betrags v = |~v | der Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas.
(332)