Studentisches Skriptum zu diesem Teil

Zweite Projektarbeit Quantenmechanik, SS
2008
Gruppe Heisenberg
Allmer Philipp
Blatnik Matthias
Hölzl Bernhard
Kuhness David
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Schrödingers Wellengleichung
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Schrödingers Wellengleichung
Einleitung
Teilchen (bzw. physikalische Systeme) in Zeit und Raum werden in der Quantenmechanik als Zustände beschrieben. Je nach Perspektive (diese entspricht
der Basis, in der ein Zustand betrachtet wird) gibt es verschiedene Beschreibungen des selben Zustandes. Nach Schrödinger werden diese Zustände durch
Wellenfunktionen beschrieben. Diese Wellenfunktionen kann man aber nur
als Wahrscheinlichkeitswellen angemessen interpretieren. Realen Ergebnissen
aus Messungen und Beobachtungen entsprechen dann konkrete Energiewerte,
verteilt nach Wahrscheinlichkeiten, die dem Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitswellen entsprechen.
Die Schrödingergleichung ist eine Wellengleichung für Materiewellen, die
die Rolle der Maxwellgleichungen für die elektromagnetischen Wellen bei den
Materiewellen übernimmt.
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a) Zeitabhängige Schrödingergleichung
In der Bra - Ket Schreibweise nach P.A.M. Dirac sieht die Darstellung eines
Zustands in einer bestimmten Basis (hier: der Basis in x (Ortsbasis)) so aus:
hx|α, ti
Dabei identifizieren wir nun die Bra - Ket Kombination hx|αi mit einer Funktion, die von x abhängt. Diese Interpretation eines Zustandes als eine Funktion des Raumes und der Zeit (wichtig, da im Schrödingerbild der Quantenmechanik Zustände im Allgemeinen zeitabhängig sind) ist genau Schrödingers
Interpretation der Quantenmechanik als Theorie der Funktionen und nicht
der Matrizen.
Mathematisch formuliert sieht das so aus:
hx|α, ti = ψ(x, t)
Im letzten Abschnitt wurde außerdem der Hamiltonoperator als Generator der zeitlichen Transformation eines allgemeinen Zustandes |α, ti eingeführt.
Über die Forderung der Wahrscheinlichkeitserhaltung, der Erkenntnis der
Unitarität von U , der Hermitizität des eingeführten Hamiltonoperators und
der Darstellung des Transformationsoperators U als Taylorreihe in dt:
i
U (t + dt, t) = 1 − Hdt + O((dt)2 )
h̄
und durch eine Betrachtung der Einheiten, bei der beachtet werden muss,
dass U die Dimension 1 besitzt, wird ersichtlich, dass die Dimension des
Hamilton - Operators der der Energie gleicht. Damit ist schon der Hinweis auf
die Form des H - Operators gegeben, den man quantenmechanisch schließlich
folgendermaßen schreiben kann:
H=
p2
+ V (x)
2m
3
Hierbei muss beachtet werden, dass das Potential V(x) lokal sein muss; d.h.:
hx0 |V (x)|xi = δ(x − x0 )V (x)
(Als schwierige Potentiale gelten nicht lokale, separable oder zeitabhängige)
Wenn man die Zeitentwicklungsgleichung für den Operator U betrachtet,
erhält man die Darstellung des Hamilton im Ortsraum
H = ih̄
∂
∂t
Jetzt verwendet man die Gleichung aus dem letzten Abschnitt (Schrödingers
Gleichung für Operatoren) und lässt die linke wie rechte Seite auf einen allgemeinen Zustand wirken, wodurch man die Schrödingergleichung für Zustände
erhält; Wenn man nun von links auf die Gleichung einen x - Bra multipliziert,
stellt man diese Schrödingergleichung sozusagen im Ortsraum dar.
ih̄
∂
hx|α, ti = hx|H|α, ti
∂t
Da man den Hamilton - Operator kennt und dieser nur aus P und X besteht,
deren Wirkung im Ortsraum man kennt, kann man auf der rechten Seite der
Gleichung das H herausziehen, muss dabei aber beachten, dass die Operatoren eine Wirkung im Ortsraum besitzen:
∂
∂x
In Diracs Klammern bleibt links wie rechts nur mehr der x - Bra, der
auf den allgemeinen α Zustand wirkt, stehen. Durch Ersetzen der Bra - Ket
Notation durch die als Wellenfunktion identifizierte ψ - Funktion erhält man
die eindimensionale zeitabhängige Schrödingergleichung:
X :→ x,
ih̄
P :→ −ih̄
∂
h̄2 ∂ 2
ψ(x, t) = −
ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t)
∂t
2m ∂x2
4
und für mehrere Dimensionen
ih̄
∂
h̄2 ~ 2
ψ(~x, t) = [−
∇ + V (~x)]ψ(~x, t).
∂t
2m
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b) Zeitunabhängige Schrödingergleichung
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung folgt aus der zeitabhängigen SchrödingerGleichung
∂
ih̄ ψ(~x, t) = Hψ(~x, t)
∂t
2
~ 2 + V (~x)],
mit einem zeitunabhängigen Hamiltonoperator H = [− h̄ ∇
2m
∂
H = 0.
∂t
der im Wesentlichen durch ein zeitunabhängiges Potential V (x) gegeben ist.
Unter Verwenden des Lösungsansatzes
ψE (~x, t) =
e|−iωt
{z }
i
·ψE (~x, t = 0) = e− h̄ Ea t · uE (~x).
P hasenf aktor
mit
ω=
Ea
h̄
und
ψE (~x, t = 0) = uE (~x)
ergibt sich nach Einsetzen in die zeitabhängige Schrödingergleichung:
i
e− h̄ Ea t · ih̄
i
∂
h̄2 ~ 2
uE (~x) = e− h̄ Ea t · [−
∇ + V (~x)]uE (~x)
∂t
2m
i
h̄2 ~ 2
ih̄(− Ea )uE (~x) = [−
∇ + V (~x)]uE (~x)
h̄
2m
Wir erhalten die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
[−
h̄2 ~ 2
∇ + V (~x)]uE (~x) = Ea uE (~x)
2m
HuE (~x) = Ea uE (~x)
Es handelt sich hier um ein Eigenwertproblem. Diese Eigenwertgleichung des
Hamiltonoperators entspricht einer Differentialgleichung vom Sturm-LiouvilleTyp.
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Da es sich bei H um einen selbstadjungierten Operator handelt ist sein
Eigensystem orthogonal und seine Eigenwerte sind reell.
Da die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zustandes der Form
i
ψE (~x, t) = e− h̄ Ea t · uE (~x).
durch
i
|ψE (~x, t)|2 = |e− h̄ Ea t · uE (~x)|2 = |uE (~x)|2
i
gegeben ist, spielt der Phasenfaktor e− h̄ Ea t keine Rolle und die Lösungen der
Differentialgleichung sind zeitunabhängig. Sie heißen stationäre Lösungen.
Die stationären Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung haben
zeitlich konstante Gesamtenergie E.
Die Unschärfe der Energie ist null, da
hHi = E, h(H − E)2 i = (∆E)2 = 0.
Die stationären Lösungen haben in der Physik eine besondere Bedeutung,
da sie zeitunabhängige Zustände eines Systems beschreiben. Ein Beispiel
wäre der Grundzustand und die angeregten Zustände eines Atoms, die sich
für den Hamiltonoperator ergeben. Tatsächlich haben angeregte Zustände
aber eine begrenzte Lebensdauer τ , da sie durch Emission eines Photons
zerfallen können. Insofern beschreibt der betrachtete Hamiltonoperator nicht
den Zerfall des Zustands und ist insofern unvollständig.
Um die Definition des Sturm-Liouville-Differentialoperator zu vervollständigen,
brauchen wir Randbedingungen.
Bei den Randbedingungen unterscheidet man zwei Fälle:
1) E < lim|~x|→∞ V (~x)
Für eine solche Energie wird
lim|~x|→∞ uE (~x) = 0.
Somit ist |uE (~x)|2 auf ein endliches Gebiet beschränkt bzw. schnell abfallend.
Dies ist ein typisches Beispiel für ein Sturm-Liouville-Problem. Man spricht
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von einem gebunden System. Es ergeben sich diskrete Energiezustände bzw.
Bindungszustände (diskretes Spektrum).
2) E > lim|~x|→∞ V (~x)
Dabei kommt es zu keiner Lokalisierung (freies Teilchen). Man spricht deshalb von Streulösungen mit kontinuierlichem Spektrum (nicht gequantelt).
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Kontinuitätsgleichung
Wir betrachten zunächst die Wahrscheinlichkeit P eines Teilchens sich zur
Zeit t um den Ort ~x im Intervall d3 x aufzuhalten, und die entsprechende
Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~x, t)
dP = |ψ(~x, t)|2 d3 x = ρ(~x, t)d3 x.
ψ(~x, t) sollte normiert sein, d.h.
Z
Z
dP =
d3 xρ(~x, t) = 1.
Konstruktion der Kontinuitätsgleichung: Als nächstes betrachten
wir einmal die Schrödingergleichung und einmal die komplex konjugierte
Schrödingergleichung.
ih̄
h̄2 ~ 2
∂
ψ(~x, t) = [−
∇ + V (~x)]ψ(~x, t)
∂t
2m
∂
h̄2 ~ 2
ψ(~x, t) = [−
∇ + V (~x)]ψ(~x, t)
∂t
2m
Wir gehen weiters davon aus, dass ein reelles Potential vorliegt, und somit
−ih̄
V (~x) = V (~x).
Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit ψ(~x, t) und der zweiten
mit ψ(~x, t) von links erhalten wir
∂
h̄2 ~ 2
∇ + V (~x)]ψ(~x, t)
ih̄ψ(~x, t) ψ(~x, t) = ψ(~x, t)[−
∂t
2m
∂
h̄2 ~ 2
ψ(~x, t) = ψ(~x, t)[−
∇ + V (~x)]ψ(~x, t)
∂t
2m
Wir ziehen beide Gleichungen voneinander ab und mit
−ih̄ψ(~x, t)
ih̄[ψ(~x, t)
∂
∂
∂
ψ(~x, t) + ψ(~x, t) ψ(~x, t)] = ih̄ (ψ(~x, t)ψ(~x, t))
∂t
∂t
∂t
9
erhalten wir
ih̄
∂
h̄2
~ 2 ψ(~x, t) − ψ(~x, t)∇
~ 2 ψ(~x, t)).
(ψ(~x, t)ψ(~x, t)) = −
(ψ(~x, t)∇
∂t
2m
Umformung und Vereinfachung von ψ(~x, t) = ψ ergibt
∂
ih̄ ~ 2
~ 2 ψ] = 0.
(ψψ) −
[ψ ∇ ψ − ψ ∇
∂t
2m
Da
~
~
~
~ ∇
~ + ψ∇
~ 2ψ − ψ∇
~ 2 ψ − ∇ψ
~ ∇
~ = ψ∇
~ 2ψ − ψ∇
~ 2ψ
∇[ψ(
∇ψ)
− (∇ψ)ψ]
= ∇ψ
~ 2ψ − ψ∇
~ 2 ψ] einen Gradienten herausheben und
kann man aus dem Term [ψ ∇
erhält:
∂
ih̄ ~
~
~
(ψψ) −
∇[ψ(∇ψ)
− (∇ψ)ψ]
= 0.
∂t
2m
Mit Einführung des Wahrscheinlichkeitsstroms j(~x, t) mit der Definition
j(~x, t) =
ih̄
~
~
[ψ(∇ψ)
− (∇ψ)ψ]
2m
und der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~x, t)
|ψ|2 = (ψψ) = ρ(~x, t).
erhalten wir die so genannte Kontinuitätsgleichung:
∂
~ x, t) = 0.
ρ(~x, t) + ∇j(~
∂t
Das heißt, dass die zeitliche Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte gleich
der Änderung des Wahrscheinlichkeitsflusses ist.
Forderungen an ρ(~x, t) und j(~x, t): Da ein Zustand durch die Anfangsbedingung ψ(~x, t = 0) für jeden beliebigen Zeitpunkt ψ(~x, t) durch die
Schrödingergleichung bestimmt ist, muss auch die Normierung der Wellen10
funktion zu jedem Zeitpunkt gegeben sein. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte zeitlich und der Wahrscheinlichkeitsstroms örtlich stetig sein
müssen, d. h. es existieren die
zeitl. Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte ∃∂t ρ
~
örtl. Ableitung des Wahrscheinlichkeitsstroms ∃∇j
Es muss also ψ und ψ 0 stückweise stetig differenzierbar sein. D. h. im
Plot müssen die Randpunkte zusammenpassen.
V (x)
Streulösungen (E > V0 )
x3
V0
Bindungszustände (E < V0 )
x2
x0
x
x1
Figure 1: Potentialkurve
Für stückweise gegebene oder stückweise genäherte Potenziale ergeben
sich an den Berührungspunkten der einzelnen Potenziale die Übergangsbedingungen:
ψ(xi + ) = ψ(xi − )
ψ 0 (xi + ) = ψ 0 (xi − )
Wenn das Potential reell ist drückt die Kontinuitätsgleichung also eine
Wahrscheinlichkeitserhaltung aus. Ist das Potential imaginär, gibt es keine
Wahrscheinlichkeitserhaltung, sondern es findet ein Zerfallsprozess statt.
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Allgemeine Lösungen
a)Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Aus dem Superpositionsprinzip für Wellengleichungen folgt, dass jeder allgemeine Zustand in der Quantenmechanik als Linearkombination aller stationären Lösungen darstellbar ist.
Darstellung in Braket-Schreibweise:
|ψ; ti =
X
cE |φ; ti =
X
E
i
cE e− h̄ Ea t · |φE i.
E
Wenn man auf diese Gleichung von links ein hx| multpliziert, erhält man
ψ(~x, t) =
X
i
cE e− h̄ Ea t · φE (~x).
E
Die Koeffizienten cE erhalten wir mit den Anfangsbedingungen ψ(~x, t = 0).
b)Allgemeine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
Ein stationärer Zustand beschreibt ein zeitlich konstantes Verhalten.
φ(~x) =
X
φE (~x).
E
Jeder stationären Lösung ist eine eigene Energie E zugeordnet.
Als Beispiel betrachten wir ein freies Teilchen mit V = 0. Die freie,
eindimensionale Schrödingergleichung lautet
h̄2 ∂ 2
∂
ψ(x,
t)
=
ih̄
ψ(x, t).
−
2m ∂x2
∂t
Die daraus resultierenden Eigenfunktionen
ψk (x, t) = ak exp(i(kx − ω(k)t))
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entsprechen ebenen Wellen. Daraus erhält man mit
h̄2 k 2
ψk (x, t) = ih̄(−iω(k))ψk (x, t)
2m
nach
p
p2
−→ E =
h̄
2m
die Spektralbeziehung (oder auch Dispersionsbeziehung)
k=
ω(k) =
h̄k 2
E(k)
=
.
2m
h̄
k kann alle Werte von −∞ bis +∞ annehmen. Damit wird die Summe zu
einem Integral über k.
Z
+∞
dk a(k)exp(i(kx − ω(k)t))
ψ(x, t) =
−∞
Dies ist ein Wellenpacket als Summe von ebenen Wellen mit Entwicklungskoeffizienten a(k).
ψ(x, t) entspricht somit der Fouriertransformierten von a(k).
Aber Vorsicht! Für eine ebene Welle gilt:
a(k) = δ(k) −→ ψ = e−iω(0)t
oder
a(k) = δ(k − k0 ) −→ ψ = e−ik0 x−iω(k0 )t .
Für beide Fälle ist |ψ|2 = 1.
Da aber
Z
+∞
dx|ψ|2 → ∞
−∞
nicht normierbar ist, ist eine ebene Welle nicht Teil der Quantenmechanik.
Erst die Superposition von Wellen, die ein Wellenpacket entstehen lässt,
kann normiert werden.
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Verwendete Quellen
• eigene Vorlesungsmitschriften,
• Fließbach, Thorsten, (2005) ”Quantenmechanik, Lehrbuch zur theoretischen Physik” Band III, Springer-Verlag,
• Script von Florian Hebenstreit.
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