Kräfte

Experimentalphysik für ET
Aufgabensammlung
1. Kräftegleichgewicht
Ein geostationärer Satellit der Masse m hält seine Position in konstantem Abstand Rs vom Erdmittelpunkt ortsfest
über dem Äquator der rotierenden Erde. Auf den Satelliten
wirken zwei Kräfte: die Gravitationskraft FG der Erde und
die Zentrifugalkraft FZ .
Konstanten: Erdmasse Me = 5.98 ∙ 1024 kg, Erdradius Re =
6370 km, Gravitationskonstante G = 6, 67 ∙ 10−11 m3 /(kg s2 )
w
Re
Me
Rs
m
a) Geben Sie allgemein die Gravitationskraft zwischen zwei punktförmigen Massen im Abstand
r an.
b) Geben Sie den Ausdruck für die Zentrifugalkraft an, die auf den Satelliten wirkt.
c) Leiten Sie mit Hilfe der Ausdrücke aus a) und b) die Formel für die Flughöhe des Satelliten
ab und geben Sie den Zahlenwert an. Rs = 42.25 ∙ 106 m
d) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit bei einer ortsabhängigen Kraft an.
e) Berechnen Sie die Arbeit, die notwendig ist, um einen Satelliten der Masse m = 300 kg von
der Erdoberfläche in eine geostationäre Umlaufbahn zu heben. (W = 1.055 ∙ 1011 J)
2. Kräftegleichgewicht
Ein Satellit der Masse ms soll auf Höhe des Marsäquators
in eine geostationäre “Umlaufbahn gebracht werden. In der
”
Umlaufbahn wirken auf den Satelliten zwei Kräfte: die Gravitationskraft FG des Mars und die Zentrifugalkraft FZ .
Konstanten: Marsmasse Mm = 6, 67 ∙ 1023 kg, Marsradius Rm = 3325 km, Gravitationskonstante G = 6, 67 ∙
10−11 m3 /(kg s2 )
a) Geben Sie allgemein die Gravitationskraft zwischen zwei punktförmigen Massen im Abstand
r an.
b) Geben Sie den Ausdruck für die Zentrifugalkraft an, die auf den Satelliten wirkt.
c) Leiten Sie mit Hilfe der Ausdrücke aus a) und b) die Formel für die Flughöhe hs des Satelliten
ab. Geben Sie auch den Zahlenwert an. (hs = 17.028 ∙ 106 m)
d) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit bei einer ortsabhängigen Kraft an.
e) Berechnen Sie den Betrag der Arbeit, die notwendig ist, um einen Gegenstand der Masse
ms = 103 kg von der Marsoberfläche in die Höhe der Umlaufbahn des Satelliten zu heben.
(W = 10.5 GJ)
3. Kräftegleichgewicht
Ein Raumschiff mit der Masse mr umkreist den Mars in einer
Höhe von h = 23000 km. Auf das Raumschiff wirken zwei
Kräfte: die Gravitationskraft FG des Mars und die Zentrifugalkraft FZ .
Konstanten: Marsmasse Mm = 6, 67 ∙ 1023 kg, Marsradius Rm = 3325 km, Gravitationskonstante G = 6, 67 ∙
10−11 m3 /(kg s2 )
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Gravitationskraft zwischen zwei punktförmigen
Massen im Abstand r an.
b) Geben Sie den Ausdruck für die Zentrifugalkraft an, die auf das Raumschiff wirkt.
c) Leiten Sie mit Hilfe der Ausdrücke aus a) und b) die Formeln für die Bahngeschwindigkeit
und die Umlaufzeit des Raumschiffs ab und geben Sie die Zahlenwerte an. (v = 1.3∙103 m/s,
T = 1.272 ∙ 105 s)
d) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit bei einer ortsabhängigen Kraft an.
e) Berechnen Sie die Arbeit, die notwendig ist, um ein Landemodul der Masse
ms = 4, 5 ∙ 103 kg von der Marsoberfläche in die Umlaufbahn h zu heben.(W = 52.6 GJ)
4. Kräftegleichgewicht
Ein Orbiter der Masse mo hält seine Position in konstantem
Abstand Ro vom Mittelpunkt des Mondes. Seine Umlaufzeit
beträgt T = 20 h. Auf den Orbiter wirken zwei Kräfte: die
Gravitationskraft FG des Mondes und die Zentrifugalkraft
FZ .
Konstanten: Mondmasse Mm = 7, 3 ∙ 1022 kg Mondradius Rm = 3476 km, Gravitationskonstante G = 6, 67 ∙
10−11 m3 /(kg s2 )
a) Geben Sie allgemein die Gravitationskraft zwischen zwei punktförmigen Massen im Abstand
r an.
b) Geben Sie den Ausdruck für die Zentrifugalkraft an, die auf den Orbiter wirkt.
c) Leiten Sie mit Hilfe der Ausdrücke aus a) und b) die Formel für die Flughöhe des Orbiters
ab und geben Sie den Zahlenwert an. Ro = 8.61 ∙ 106 m
d) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit bei einer ortsabhängigen Kraft an.
e) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit, die ein Landemodul der Masse m = 350 kg
hätte, wenn es aus der Höhe Ro auf die Mondoberfläche fallen würde. (ve = 1.291 ∙ 103 m/s)
5. Kräftegleichgewicht
Ein Satellit der Masse ms soll in eine Umlaufbahn mit dem
Radius Rs geschossen werden. In der Umlaufbahn wirken
auf den Satelliten zwei Kräfte: die Gravitationskraft FG der
Erde und die Zentrifugalkraft FZ .
Konstanten:Erdmasse Me = 5, 98 ∙ 1024 kg, Erdradius Re =
6370 km, Gravitationskonstante G = 6, 67 ∙ 10−11 m3 /(kg s2 )
a) Geben Sie allgemein die Gravitationskraft zwischen zwei punktförmigen Massen im Abstand
r an.
b) Geben Sie den Ausdruck für die Zentrifugalkraft an, die auf den Satelliten wirkt.
c) Leiten Sie mit Hilfe der Ausdrücke aus a) und b) die Formel für die Bahngeschwindigkeit des
Satelliten ab.
d) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit bei einer ortsabhängigen Kraft an.
e) Berechnen Sie den Betrag der Arbeit, die notwendig ist, um den Satelliten von der Erdoberfläche in die Umlaufbahn zu heben.
f ) Berechnen Sie den Wert der Abschussgeschwindigkeit v0 und des Winkels zur Horizontalen,
die notwendig sind, um den Satelliten in seine Umlaufbahn zu schießen. Der Satellit habe
eine Masse von m = 1000 kg und soll eine Umlaufbahn in der Höhe Rs = Re + 4000 km
erreichen. (v0 = 9.01 ∙ 103 m/s, α = 50.5◦ )
6. Kräftegleichgewicht
Betrachtet werden soll der Looping in einer Achterbahn. Der Wagen mit der Masse m starte auf
der Höhe hs mit der Geschwindigkeit vs
a) Geben Sie, unter Vernachlässigung der Reibung, einen Ausdruck für die Geschwindigkeit des
Wagens an der tiefsten Stelle des Abschnittes an.
b) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Zentrifugalkraft an.
2
c) Welchen Radius darf der Looping maximal haben? R = 15 ( vgs + 2h)
Hinter dem Looping steige die Bahn an. Der Winkel zur Horizontalen sei α. In diesem Abschnitt werde der Wagen durch eine Reibungskraft gebremst. Nehmen Sie an, es handelt sich
um Gleitreibung mit dem Gleitreibungskoeffizienten μR .
d) Geben Sie die allgemeine Definition der Arbeit an
e) Geben Sie ausgehend von der Definition in d) einen Ausdruck f ür die vom Wagen geleistete
Arbeit an, wenn er die h erreicht hat?
f ) Wie hängt die maximale Höhe he , die der Wagen erreichen kann, von den gegebenen Parametern ab?
7. Kräftegleichgewicht
Zwei kleine, geladene Kugeln mit gleichen Massen m = 0, 5 g sind an zwei massenlosen Fäden
der Länge l = 40 cm am gleichen Punkt aufgehängt. Die Kugeln tragen die gleiche Ladung
Q und stoßen sich gegenseitig ab. Der gemessene Winkel zwischen den beiden Fäden beträgt
2α = 16, 4 ◦ .
a
Q,m
l
Q,m
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Coulomb-Kraft FC zwischen zwei Punktladungen
q1 und q2 im Abstand r an.
b) Beide Kugeln sind in Ruhe, d.h. die Gesamtkraft auf jede Kugel ist Null. Zeichnen Sie ein
Kräftediagramm mit den Richtungen der drei auf jede Kugel wirkenden Kräfte. Geben Sie
den Winkel α im Diagramm an.
c) Wie groß ist die Kraft FF auf den Faden? Gesucht sind Ausdruck und Zahlenwert. (FF =
5 ∙ 10−3 N)
d) Wie hängt die Ladung Q auf den Kugeln von den gegebenen Größen ab? Geben Sie auch
den Zahlenwert an. (Q = ±3.2 ∙ 10−8 C)
8. Kräftegleichgewicht
Zwei Kugeln mit gleicher Masse und gleicher Ladung
seien entsprechend der Abbildung angeordnet. Eine
der Kugeln sei am Ende eines Stabes fixiert. Die andere sei an einem masselosen Faden befestigt.
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen q im
Abstand s an.
p
b) Zeigen Sie, dass sich im vorliegenden Fall für den Abstand s = R 2(1 − cos(α)) ergibt.
Legt man die fixierte Kugel an den Punkt (0, −R) des Koordinatensystems, kann die Position
der Kugel am Faden durch den Vektor f~ = R(sin(α); − cos(α)) angegeben werden. Dieser Vektor
gibt zugleich die Richtung des Fadens vor.
c) Ermitteln Sie den Ausdruck für den Vektor ~s, der die Richtung der Coulombkraft angibt.
d) Geben Sie einen Ausdruck für den Winkel δ zwischen den Vektoren f~ und ~s an.
e) Welcher Ausdruck ergibt sich für die Komponente der Coulombkraft, die senkrecht auf f~
steht?
f ) Geben Sie den Ausdruck für die Komponenten der Gewichtskraft an, die auf die Kugel am
Faden wirkt und die gleichfalls senkrecht auf f~ steht.
g) Setzen Sie die Beträge der beiden Kraftkomponenten aus e) und f) gleich und geben Sie
die Ladung q auf den Kugeln als Funktion ihrer Masse und des Winkels α an. Welcher
Zahlenwert ergibt sich für m = 10 mg und α = 20◦ ? (q = ±2.1 ∙ 10−8 C)
9. Kräftegleichgewicht
Drei freie, gleich große, positive Punktladungen q befinden sich an den Punkten eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge a.
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Coulomb-Kraft FC zwischen zwei Punktladungen
q1 und q2 im Abstand r an.
b) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm für Kugel 1. Es sollten die angreifenden Kräfte und die
resultierende Kraft enthalten sein. Geben Sie außerdem den Einheitsvektor entlang der
Verbindungslinie von Ladung 2 nach 1 an.
c) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft. FR =
√
3q 2
4πε0 a2
d) Wie groß müsste eine vierte Ladung Q sein, die in den Schwerpunkt des Dreiecks gesetzt
wird, um die Ladungsverteilung zu stabilisieren, wenn gilt q = 10−15 C. Wie vielen Elementarladungen entspricht die Ladung auf jeder der kleinen Kugeln? (Tipp: Der Schwerpunkt ist im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und teilt diese im Verh ältnis 2:1.)
(Q = −5.77 ∙ 10−16 C)
10. Kräftegleichgewicht
Vier freie, gleich große, positive Punktladungen e befinden sich an den Eckpunkten eines Quadrates mit der Seitenlänge a.
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Coulomb-Kraft FC zwischen zwei Punktladungen
q1 und q2 im Abstand r an.
b) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm für eine der Kugeln.
c) Berechnen Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft. (F~R =
√
e2 2∗ 2+1
2
2
4πε0 a
1
N)
1
d) Welche Ladung müsste im Mittelpunkt des Quadrates√angeordnet werden, damit das System
aller Ladungen im Gleichgewicht ist? (Q = 4e (1 + 2 2))
11. Kräftegleichgewicht
Vier kleine, geladene Kugeln mit gleichen Massen m = 5 mg sind an massenlosen Fäden der
Länge l = 60 cm am gleichen Punkt aufgehängt. Die Kugeln tragen die gleiche Ladung Q und
stoßen sich gegenseitig ab. Der gemessene Winkel zwischen den Fäden und der Vertikalen beträgt
α = 5, 0 ◦ .
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Coulomb-Kraft FC zwischen zwei Punktladungen
q1 und q2 im Abstand r an.
b) Alle Kugeln sind in Ruhe, d.h. die Gesamtkraft auf jede Kugel ist Null. Zeichnen Sie zwei
Kräftediagramme für eine der Kugeln in der Seitenansicht und in der Draufsicht mit den
Richtungen der auf die Kugel wirkenden Kräfte. Geben Sie den Winkel α im Diagramm an,
wo dies möglich ist.
c) Wie groß ist die Kraft FF auf den Faden? Gesucht sind Ausdruck und Zahlenwert. FF =
4.9 ∙ 10−5 N
d) Wie hängt die Ladung Q auf den Kugeln von den gegebenen Größen ab? Geben Sie auch
den Zahlenwert für Q an. (Q = ±1.16 ∙ 10−9 C)
12. Kräftegleichgewicht
Eine homogene Linienladungen der Länge ` und der Gesamtladung Q befinde sich auf der xAchse. Im Abstand d befinde sich eine zweite identische Linienladung.
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für das Elektrische Feld E einer Ladung q im Abstand
x an.
b) Nutzen Sie den Ausdruck aus a), um zu zeigen, dass das elektrische Feld der linken Linienladung entlang der x-Achse für x > ` gegeben ist durch E = Q/(4πε0 x(x − `)).
c) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus
R b) den Betrag der resultierenden Kraft, die auf die
rechte Linienladung wirkt. (Tipp: dx/(x(x − `)) = 1/` ln((x − `)/x) )
d) Zeigen Sie, dass die Kraft für d ` in das erwartete Ergebnis F = Q2 /(4πε0 d2 ) übergeht.
(Tipp: ln(1 + x) ≈ x − x2 /2 für kleine x)
13. Kräftegleichgewicht
Auf die Oberfläche eines langen, geraden Metalldrahtes werden Ladungen mit der Linienladungsdichte Q/` gebracht.
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für den Satz von Gauß an.
b) In welche Richtung zeigt das elektrische Feld? Was bedeutet das f ür den elektrischen Fluss
in a)?
c) Berechnen Sie ausgehend von dem Ausdruck aus a) das elektrische Feld des Drahtes in seiner
Q/`
~
Umgebung. Zeigen Sie, dass gilt E(r)
= 2πε
~er .
0r
d) Geben Sie den allgemeinen Zusammenhang zwischen Feldstärke- und Potentialverlauf an.
e) Geben Sie den Ausdruck für den Verlauf des Potentials des Drahtes an.
f ) Geben Sie den Ausdruck für die Arbeit an, die notwendig ist, um eine Ladung q vom Abstand
R1 auf den Abstand R2 an den Draht heranzuführen.
g) Es wird eine Arbeit von W = 5 mJ benötigt, um eine Ladung von q = 5 ∙ 10−10 C von R1 =
2, 59 m auf R2 = 0, 01 m an den Draht heranzuführen. Wie groß ist die Linienladungsdichte
Q/` des Drahtes? (Q/` = 10−4 C/m)