Der Winkelsummensatz für Vierecke

Inhalt
1 Sachanalyse .......................................................................................................................................... 1 1.1 Beweis 1 .................................................................................................................................. 2 1.2 Beweis 2 .................................................................................................................................. 2 2 Didaktischen Überlegungen ................................................................................................................. 3 2.1 Wiederholung ................................................................................................................................ 4 2.2 Einführung des Themas „Winkelsumme im Viereck“ .................................................................... 5 2.2.1 Hinleiten ................................................................................................................................. 6 2.2.2 Erarbeiten ............................................................................................................................... 7 2.2.3 Sicherung ................................................................................................................................ 8 3 Reflexion ............................................................................................................................................... 8 4 Literatur .............................................................................................................................................. 10 1 Sachanalyse
Winkelsummensatz für Vierecke
In jedem Viereck sind die Innenwinkel zusammen
360° groß
+ + + = 360° Es gibt verschiedene Wege diesen Satz zu beweisen.
Hier sind zwei Beispielbeweise.
1.1
Beweis 1
Wir zerlegen das Viereck ABCD durch die Diagonale BD
in zwei Dreiecke (siehe Figur 1)
Dann gilt:
α+
β +γ +
δ
= α + (β1 + β2) + γ + (δ1 + δ2)
=360°
Figur 1
1.2
Beweis 2
Beweis der Winkelsumme im Viereck mit der
Parallelenmethode:
Wir zeichnen zwei „Hilfsparallelen“. Eine Gerade
„D1DD2“ zeichnen wir durch den Punkt „D“ und die
zweite „A1AA2“ durch den Punkt „A“, und zwar so dass
die beiden Geraden zu „BC“ parallel sind. Wir können
wieder die Figur 1 benutzen. Der Winkel α wurde somit
in zwei Winkel aufgeteilt „BAA2“ und „A2AD“.
Jetzt werden die Eigenschaften der Winkel an Parallelen
zu Nutze gezogen, „Wechselwinkeln“:
„A2AD“=”ADD1“, „CBA“=“A1AB“und „BCD“=”BDD2”
Betrachten wir die Ecken:
Ecke D: „D1DA“ + „ADC“ + „BDD2“ = 180°
Ecke A: „A1AB“ + „BAA2“ = 180°
• „BAD“(„BAA2“ + „A2AD“) + „ADC“ + „DCB“ +
“CBA”(“BAA1”) = 360°
(jeder Schritt wird an der Zeichnung ergänzt, und farblich
kenntlich gemacht)
2 Didaktischen Überlegungen
Bevor man eine Unterrichtsstunde beginnt zu planen,
sollen die Lernziele dieser erst klar formuliert werden.
Die Schüler sollen am Ende der Themeneinheit:
• Ihre Kenntnisse über Winkel vertiefen
• Die geometrische Gesetzmäßigkeiten der
Winkelsummen erkennen
• Allgemeingültige geometrische Beweise erarbeiten
• Besonderheiten verschiedenflächiger Vierecken
(Rechteck, Parallelogramm, Trapez) erkennen
• Fertigkeiten in Winkelmessen erweitern
• Ihre Kenntnisse anwenden
Im Folgenden wird eine der Ideen bezüglich der
Unterrichtsgestaltung zur Themeneinführung der
Winkelsumme im Viereck vorgestellt:
2.1 Wiederholung
Wiederholung des Erlernten zu Beginn der Stunde und
Verbalisierung der Erkenntnisse sichert und gleichzeitig
kontrolliert den Wissensstand. Vor allem wichtig durch
die Wiederholung der, für das neue Thema relevanten
Sachverhalte. Dies erleichtert den Transfer zwischen
Bekanntem und dem Neuem. Vor allem haben die
„Experten“ es wesentlich leichter neue Informationen in
den vorhandenen Wissensstand zu integrieren,
nachzuvollziehen und entsprechend in die richtige
Domänen abzuspeichern.
Für das selbständige Erarbeiten des Satzes und des
allgemeingültigen Beweises für Winkelsumme in
Vierecken, ist die vorab Wiederholung der folgenden
Themen relevant:
• Der Winkelsummensatz für Dreiecke
Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°
α + β + γ = 180°
Beweis:
(Gleich weite Winkel werden als gleich bezeichnet.)
Die Winkel α bei den Punkten A und C
sind als Stufenwinkel gleich.
Die Winkel β bei den Punkten B und C
sind als Wechselwinkel gleich.
Beim Punkt C sieht man:
α + β + γ = gestreckter Winkel
α + β + γ = 180°
• Die Eigenschaften der Winkeln an den Geraden:
Wechselwinkeln, Stufenwinkeln, entgegengesetzt
liegende Winkeln, sich ergänzende Winkeln
2.2
Einführung des Themas „Winkelsumme im Viereck“
(hier ist eine der Möglichkeiten der Einführung des
Themas)
Motivation nach (Robert Storz, in „Mathematik Lehren“
158 (2010)):
Nach dem die relevanten Sachverhalte widerholt
wurden, „hält der Lehrer einen Verkehrsschild
„Vorfahrtstraße“ hoch und fragt: „Was habe ich euch
mitgebracht? Könnt ihr euch denken wieso ich das
mitgebracht habe?“ In einem fragend-entwickelndem
Unterrichtsgespräch wird die Winkelsumme im Quadrat
erarbeitet. Dann zeigt der Lehrer eine Keramik Fliese
und einen Papierdrachen. Er nennt das Thema der
Stunde: Winkelsumme von Vierecken“(Storz R., 2010)
2.2.1 Hinleiten
„ Wie können wir herausfinden, wie groß die
Winkelsumme in diesem Drachen und dieser Fliese
ist?“(Storz R., 2010)
Vermutungen werden geäußert. Kinder vermessen die
Winkel mit dem Geodreieck und addieren auf.
Schließlich wird herausgefunden, dass die Summe der
Winkeln 360° beträgt. Es wird den Kindern verkündet
dass genau diesen Satz es jetzt zu beweisen gilt. Der
Satz wird erst als Vermutung an der Tafel notiert.
2.2.2 Erarbeiten
Für die Phase der Erarbeitung des Beweises, werden
die Kinder in die Gruppen aufgeteilt. Jede Gruppe
beschäftigt sich mit einer der Möglichkeiten den Satz zu
beweisen (Zerlegung in Dreieck, Parkettierung mit
Kongruenten Vierecken oder Ecken abreißen und
aneinanderlegen). Materialien aus farbigen Karton
würden den Schülern bereitgestellt (evtl. Hilfskärtchen
auf dem Lehrerpult). Die Schülerformulierungen genau
wie Beweisideen der Schüler werden präsentiert und es
wird zusammen darüber diskutiert. Erste stabilisierende
Übungen werden durchgeführt.
Zum Beispiel:
• Bei den unterschiedlichsten Vierecken die Messung
durchführen und die Erkenntnisse notieren.
• Aus Trapezen ein lückenloses Muster ohne
Überlappungen legen. Ob dies auch mit den
anderen Vierecken möglich? Wenn ja worauf soll
geachtet werden?
• In einer Tabelle die fehlenden Winkel eingeben.
2.2.3 Sicherung
Um das neue Thema abschließen zu können, sollte das
erst im Lösen der geeigneten Aufgaben gefestigt
werden. Aufgaben aus dem Lehrbuch oder Arbeitsblatt
sollten im Unterricht in Einzelarbeit und als Hausaufgabe
für die Sicherung bearbeitet werden. In der nächsten
Stunde werden die Ergebnisse besprochen und eine
gemeinsame Merkregel wird notiert.
3 Reflexion
Ich finde dass diese Methode und der Ablauf erlauben
den individuellen Zugang zu gestallten. Schüler haben
die Möglichkeit ihren Weg zum Wissen selbst zu wählen.
Sei es Kognition durch Interaktion mit physikalischen
Objekten und selbst erarbeitete Wege mit Hilfe der
Materialien oder die Verbalisierung des
Gedankenganges während der Erarbeitungsphase und
Kognition in der sozialen Interaktion. Aber auch die
Möglichkeit einen der Beweise für sich zu sichern bieten
den Raum für den individuellen Weg zum Wissen. Ich
denke, dass es in einem ähnlich gestaltenden Unterricht
das Kriterium „Lernen vor Belehrung“ erfüllt ist.
Wissenswert
Was macht guten Klassenunterricht aus? („Mathematik
Lehren , 158(2010))
• Individuelles Lernen geht vor Belehrung
• Erst wenn die individuellen Lernchancen von
einzelnen Schülern nicht genutzt werden konnten,
folgen für diese instruierende Phasen
• Mehrere parallele Wege werden zugelassen
• Handlungschancen werden genutzt
• Medien veranschaulichen so gut wie nötig und so
wenig wie möglich
• Sozialformen werden Zielführend eingesetzt
• Neugelerntes wird unmittelbar durch elementare
Übungen gesichert
• Erkenntnisse und Handlungen werden verbalisiert
• Merkregeln dienen lediglich dazu, eine spätere
Reaktivierung des gelerntes zu ermöglichen
• Grundlegende Übungen orientieren sich an allen
Schülern
• Weiterführende Übungen für leistungsstärkere
werden eingeplant
• Sachlich richtige Formulierungen der Schüler
werden bevorzugt verwendet.
4 Literatur
• Mathematik Lehren, 158(2010)
• Ehrenwirth Hauptschulmagazin 2(1982)
• Schulbuch: Mathematik heute (8, Realschule)