Höhere Quantenmechanik

TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
PD Dr. M. Buballa
Institut für Kernphysik
Höhere Quantenmechanik
WS 2008/2009,
1. Übungsblatt
21./22. Oktober 2008
Präsenzübungen:
Aufgabe 1:
2 Φ(x) = 0 für ein skalares
Zeigen Sie, dass die freie Klein-Gordon Gleichung + mc
~
Feld Φ(x) forminvariant unter Lorentz-Transformationen ist.
Aufgabe 2:
Zeigen Sie, dass für Lösungen der Klein-Gordon Gleichung im elektromagnetischen Feld der
Strom
q ∗
i~
(Φ∗ ∂ µ Φ − Φ ∂ µ Φ∗ ) −
Φ Φ Aµ
jµ =
2m
mc
die Kontinuitätsgleichung ∂µ j µ = 0 erfüllt.
Aufgabe 3:
Bei einer Eichtransformation gehen das Klein-Gordon Feld Φ und das Viererpotential Aµ
in
Aµ → A′µ = Aµ + ∂ µ α
iq
′
Φ → Φ = Φ exp − α
~c
über. Hierbei ist α eine beliebige gegebene Funktion.
a) Zeigen Sie, dass Φ′ die Klein-Gordon Gleichung im elektromagnetischen Feld A′µ
erfüllt, wenn Φ eine Lösung der Klein-Gordon Gleichung im elektromagnetischen Feld
Aµ ist.
b) Wie transformiert sich der Strom aus Aufgabe 2?
Hausübungen:
Aufgabe 4:
Betrachten Sie eine allgemeine Lorentz-Transformation x′ µ = Λµν xν und deren Rücktransformation xν = x′ µ Λµν .
a) Zeigen Sie:
(i) Λµν Λλν = gµλ
(ii)
Λµν Λσν = gµσ
b) Zeigen Sie, dass der metrische Tensor (gµν ) und der Tensor (Λµν ) unter der Transformation unverändert bleiben.
1
Aufgabe 5:
Seien {Φn (x)} quadratintegrable Lösungen der freien Klein-Gordon Gleichung und das
Funktional F [Φn , Φm ] gegeben als
Z
∂Φ∗n
i~
3
∗ ∂Φm
.
−
Φ
d
x
Φ
F [Φn , Φm ] =
m
n
2mc2
∂t
∂t
a) Zeigen Sie, dass das Funktional F [Φn , Φm ] auf dem von {Φn (x)} aufgespannten Raum
sesquilinear und hermitesch ist.1
Jede reelle Lösung der Klein-Gordon Gleichung lässt sich durch ihre Fourierzerlegung in der
Form
Z
Z
d3 p a(~
d3 p a(~
p) −i(Ep~ t−~p·~x)/~
p)∗ i(Ep~ t−~p·~x)/~
Φ(x) =
+
e
e
3
3
(2π~) 2Ep~
(2π~) 2Ep~
|
{z
}
|
{z
}
def
def
= Φ(+) (x)
darstellen, wobei Ep~ =
p
= Φ(−) (x)
p~ 2 c2 + m2 c4 .
b) Beweisen Sie die Aussagen:
(±)
(±)
(±)
(±)
(−)
(+)
1. ±F [Φn , Φn ] ≥ 0,
2.
F [Φn , Φn ] = 0
3.
F [Φn , Φm ] = 0.
⇔
(±)
Φn
= 0,
Der Lösungsraum lässt sich also mit Hilfe von F [Φn , Φm ] in ein direktes Produkt von zwei
Hilberträumen zerlegen.
R 3 −i(~p−~q)·~x/~
Hinweis:
d xe
= (2π~)3 δ3 (~
p − ~q)
Aufgabe 6:
Die Funktion Φ(+) (x) aus Aufgabe 5 können wir auch in der Form
Z
d3 p a(~
p) −ip·x/~
(+)
Φ (x) =
e
3
(2π~) 2p0 c
p
E
schreiben, wobei p0 ≡ cp~ = p~ 2 + m2 c2 .
Auf Grund der Lorentz-Invarianz der Klein-Gordon-Gleichung ist Φ(+) (x) ein skalares Feld,
d.h. unter Lorentz-Transformationen x′ µ = Λµν xν gilt
Z 3 ′
d p a′ (~
p ′ ) −ip′ ·x′ /~ ! (+)
(+) ′ ′
(x ) ≡
Φ
= Φ (x) .
e
(2π~)3 2p′0 c
Betrachten Sie konkret einen Lorentz-Boost entlang der x-Achse:
Wie muss sich a(~
p) transformieren, damit Φ(+) (x) die richtigen Transformationseigenschaften hat? Welche Rolle spielt dabei der Faktor 2p10 c ?
1
Eine Abbildung F : V × V → C heißt sesquilinear, wenn
F (v, λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 F (v, w1 ) + λ2 F (v, w2 ) ,
F (ν1 v1 + ν2 v2 , w) = ν1∗ F (v1 , w) + ν2∗ F (v2 , w) .
Die Abbildung heißt hermitesch, wenn F (v, w) = F (w, v)∗ .
2