4. Elektrizitätslehre

4. Elektrizitätslehre
Elektrotechnik & Elektronik allgegenwärtig:
Beleuchtung, Heizung, E-Motore, Haushaltsgeräte, Computer...
Vielfältige Anwendungsmöglichkeiten sind (prinzipiell) schon
durch wenige physikalische Gesetze zu verstehen.
Zunächst einige grundlegende Erfahrungen:
• Körper aus Glas oder Hartgummi üben nach Reibung Kräfte auf andere Körper aus.
Sie sind dann elektrisch geladen.
• Es gibt zwei Arten von Ladungen, die man (willkürlich) positiv (Glas)
und negativ (Hartgummi) nennt.
• Gleiche Polarität wirkt abstoßend,
• ungleiche Polarität wirkt anziehend.
• Elektrische Ladung ist an stoffliche Materie gebunden.
• Für die Ladung gibt es einen Erhaltungssatz; sie kann nicht einfach entstehen
oder verschwinden.
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140
Elektrische Ladung kommt nur in ganzzahligen Vielfachen der
kleinsten je beobachteten Ladung e vor:
q = n·e
n=...-2, -1, 0, 1, 2, ...
e = Elementarladung = 1.602·10-19 C
C=Coulomb
Elementarteilchen können Ladung tragen:
Ladung
Teilchen
–1e
Elektron
e-
Atomhüllen
+1e
Proton
p
Atomkerne
0
Neutron
n
Atomkerne
+1e
Positron
e+
Streuexperimente
–1e
Antiproton
p
Streuexperimente
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Symbol Vorkommen
141
Leiter:
Bewegung von Ladungsträgern führt zu elektrischem Strom.
Mikroskopisch im FK: Atome bleiben ortsfest, lediglich einzelne
Elektronen bewegen sich.
In Metallen sind die Elektronen besonders leicht beweglich, diese
Stoffe haben daher einen geringen elektrischen Widerstand.
Bsp: Kupfer, Aluminium, Eisen, Gold
Halbleiter:
Ladungsträger müssen zunächst eine Energieschwelle überschreiten,
bevor sie an der Ladungsbewegung teilnehmen können.
Schwelle ist abhängig von der Temperatur und kann durch
äußere Spannung beeinflusst werden. Widerstand kann durch
„Dotierung“ kontrolliert werden.
Bsp: Silizium, Germanium, Galliumarsenid
Isolator:
Energieschwelle höher als bei Halbleitern ➔ keine freien Ladungen.
Ladungen nur leicht verschiebbar (→ Polarisation)
Bsp: Glas, Gummi, Plastik, Keramik
142
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4.1 Elektrostatik
... wir betrachten also nur ruhende
Ladungen, keine Ströme
Elektrisch aufgeladene Körper üben Kräfte aufeinander aus;
Nachweis durch Versuch mit geriebenen Glas oder Hartgummikörpern
Was geschieht dabei? Wir entziehen dem Glas Elektronen
→ Glas lädt sich positiv auf.
Analog: Elektronen ‚haften‘ an dem Hartgummi → negative Aufladung
Hilfsvorstellung: Richtung der Feldlinien gibt den Verlauf der
Kraftrichtung auf eine Probeladung an.
Probeladung ist nach Definition immer
so klein, dass sie das zu untersuchende
Feld nicht verzerrt.
V: Feldlinien
Der Richtung der Feldlinien ist
von (+) nach (-) festgelegt, um
die Kraftrichtung auf eine
positive Probeladung anzugeben.
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143
Feldlinien zwischen Ladungen
+
+
Abstoßung
+
Anziehung
Allgemein: q1 · q2 > 0 ➯ Abstoßung
q1 · q2 < 0 ➯ Anziehung
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–
Aufnahme Metallspäne
V: Feldlinien
144
Gleiche Ladungen stoßen sich ab...
Bsp: „Haare stehen zu Berge“
V: Bandgenerator
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145
Aufladung von Körpern (1)
1.) Durch elektrische Leitung:
Bringt man einen ungeladenen Leiter mit einem
geladenen Körper in Berührung, so wird die ursprüngliche
Ladung zwischen den beiden Körpern aufgeteilt.
Das Vorzeichen der Ladung des auf diese Weise aufgeladenen
Körpers und das des ursprünglich geladenen sind identisch.
V: TT-Ball
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Aufladung von Körpern (2)
2.) Durch Influenz:
Bringe positiv geladenen Glasstab nahe an ein isoliertes Stück Metall
ohne dieses zu berühren
V: Elektrometer
➔ freie Elektronen des Metalls werden vom positiv geladenen Glasstab
angezogen und sammeln sich auf der dem Glasstab am nächsten
gelegenen Stelle des Metalls.
Das dem Glasstab abgewandte Stück des metallischen Körpers hat nun
weniger Elektronen und ist positiv geladen. Metall bleibt aber immer
noch insgesamt neutral! Es erfolgt lediglich eine Ladungstrennung.
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Feldlinien zwischen unterschiedlich geladenen Platten
Rohr ist innen Feldfrei
Zwischen den Platten herrscht ein
elektrisches Feld,
Feldlinien beginnen/enden immer
d.h. es liegt eine Spannung an
senkrecht an der Oberfläche
V: Feldlinien
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148
Faraday-Käfig
Da Elektronen in Leitern frei beweglich sind und sich gegenseitig
abstoßen, sind Überschussladungen stets auf Außenflächen anzutreffen.
Der Innenraum von Leitern ist feldfrei.
Effekt ist von Bedeutung bei der Abschirmung von elektronischen
Geräten, Faraday-Käfig, Blitzschutz im Auto, etc.
Styroporkugeln im Plastikbehälter ... im Metallbehälter
bei 30 000 Volt
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Faraday-Käfig (2)
Kollege W. Bauer im
Affenkäfig...
... auch das macht ihm nichts!
V: Faraday-Käfig
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150
Elektrisches Feld (1)
Wir hatten beobachtet: Zwischen geladenen Platten herrscht ein
elektrisches Feld, d.h. es liegt eine Spannung an
Elektrisches Feld E verursacht eine Kraftwirkung
auf eine Probeladung q, die in Richtung des Feldes wirkt:
r
r
F = q⋅E
Einheit des
N
N
Nm   Ws   VA s   V 
F
=
=
= 
E = =   =   = 



el. Feldes:
q  C   As   Asm   Asm   Asm   m 
Die Kraftwirkung zwischen zwei Punktladungen q1, q2 im Abstand r
wird beschrieben durch das Coulombsche Gesetz (1785):
Für das elektr.
1
q
1
q1 ⋅ q2 vgl.:
Feld
einer
PunktE=
⋅ 2
F=
⋅ 2 Gravitationskraft
4π ⋅ ε r
4π ⋅ ε
r
Ladung können wir
0
0
daher auch schreiben:
darin ist ε0 = 8.85⋅10–12
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C
Vm
die elektrische Feldkonstante
151
Elektrisches Feld (2)
Die Stärke eines elektrischen Feldes kann z.B. bestimmt werden, indem
man die Kraft auf eine Probeladung misst.
Verschieben wir eine Probeladung im elektrischen Feld, so leisten wir
also Arbeit:
2
2
r r
r r
W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ q ⋅ E ⋅ dr
1
1
r r 3 r r
W23 = ∫ F ⋅ dr = ∫ q ⋅ E ⋅ dr
3
2
W12 + W23 = 0
2
für (3)=(2)
Längs eines geschlossenen Weges ist die Arbeit gleich Null.
Weitere Besonderheit: Die Arbeit ist jeweils unabhängig vom Weg.
(Konservative Kräfte)
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(Bem.: Reibungskräfte sind i.allg. nicht konservativ) 152
Elektrisches Potential, Spannung
Obige Überlegungen sind analog zur Betrachtung einer
Massenverschiebung im Gravitationsfeld. Wir definieren daher analog
zum Gravitationspotential (potentielle Energie pro Masse)
ein elektrisches Potential (potentielle Energie pro Ladung):
2
r r
W12
∆ϕ12 = ϕ1 − ϕ 2 =
= ∫ E ⋅ dr = Potentialdifferenz zwischen (1) und (2)
q
1
Diese Potentialdifferenz bezeichnen wir als Spannung U.
r r
∆ϕ = U = ∫ E ⋅ dr
(1)
Das elektrische Potential j beschreibt daher die potentielle Energie
der Ladung q in dem elektrischen Feld E.
Versuch
Zusammenhang zwischen Betrag der elektr. Feldstärke E
ϕ
und dem Potential ϕ im Feld einer Punktladung:
E=
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r
Überschläge
an Spitzen !
HV
153
Bsp. Plattenkondensator
W12 =
(2)
(2)
(1)
(1)
∫ F ⋅ ds = q ⋅ ∫ E ⋅ ds = q ⋅ E ⋅ d(nach Gl. 1,
W = q ⋅U
= q ⋅U
S. 153)
U
E=
d
W  J
Zu den Einheiten: [U ] = [ E ⋅ d ] =   = = V (Volt)
q C
Spannung ist integrierte Feldstärke
Zum Vorzeichen: W > 0
da die Kraft zeigt in Wegrichtung zeigt, d.h.
die Verschiebung der Probeladung q leistet (nutzbare) mechanische
Arbeit.
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154
Flächenladung und elektrischer Fluss
Elektrisches Feld wurde bisher durch seine Kraftwirkung beschrieben,
es kann aber auch durch die von ihm influenzierte Flächenladungsdichte s beschrieben werden:
Q
dQ Ladung konstante
σ=
=
Flächenladungsdichte: σ =
A
dA Fläche
Ladungsverteilung:
Q
Q
Für eine freistehende Kugel mit
σ= =
Radius r und Ladung Q finden wir:
A 4 ⋅ π ⋅ r2
1
Q
⋅ 2
Vergleich mit E =
4π ⋅ ε 0 r
σ
bzw. σ = ε 0 ⋅ E
a E=
ε0
Flächenladungsdichte ist also proportional zum elektrischen Feld.
Da E ein Vektor und s ein Skalar, benötigen wir neue Vektorgröße:
r
r
r
As
Elektrische Flussdichte
[ D] =
D =σ
(Verschiebungsdichte)
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D = ε0 ⋅ E
m2
155
Kraft zwischen zwei gleichen geladenen Platten
Beachte: keine Punktladungen ➠ kein Coulombgesetz !
Bei der Kraftwirkung auf eine Probeladung
beeinflussen sich die Felder beider Platten gegenseitig
r
Platte mit Ladung +Q erzeugt im Innenraum Feld E1
r
Platte mit Ladung -Q erzeugt im Innenraum Feld E2
r r
Feldstärken sind gleich groß mit: E1 = E2
r
r r
Gesamtfeldstärke: E = E1 + E2 r
r
r
⇔ E1 = E2 = E / 2
Auf die Ladung +Q wirkt somit das Feld der Ladung -Q mit der Kraft:
r
r
F = Q⋅ E / 2
1
1
2
Mit D= ε0·E=Q/A folgt: Q=ε0·E·A und damit: F = ε 0 ⋅ E ⋅ A= D ⋅ E ⋅ A
2
2
2
ε
⋅
U
⋅A
Mit E=U/d können wir auch schreiben: F = 0
2 ⋅ d2
156
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Bsp : Kraft auf plangeschliffene Platten
Betrachte plangeschliffene Platten im Abstand d = 0.01 mm
Angelegte Spannung sei: U = 200 V
Fläche der Platten jeweils: A = 1 m 2
ε 0 ⋅ U 2 ⋅ A 8.85 ⋅ 10 −12 C Vm × 200 2 V 2 × 1m 2
F=
=
2
−5 2
2⋅d
2 ⋅ (10 ) m 2
CV
= 1770
m
= 1770 N
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Zu den Einheiten:
V 

F = E ⋅ Q =  C = [N]
m 
157
Plattenkondensator
Wir hatten zwischen zwei gleichen geladenen Platten folgenden
Zusammenhang zwischen Ladung Q und Feldstärke E gefunden:
A
U
Q = ε0 ⋅ A ⋅ E = ε0 ⋅ A ⋅ = ε0 ⋅ ⋅ U
d
d
Q
A
C = = ε0 ⋅
U
d
Einheit der Kapazität:
C
[C] = = F (Farad)
V
⇒ Q = C ⋅U
Gerätekonstante;
Kapazität C
... nicht zu Verwechseln mit
Einheit der Ladung: C = Coulomb
Q Q⋅d
U= =
C ε0 ⋅ A
V: Plattenkondensator
(Funktionsprinzip von Computertasten)
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158
Schaltung von Kondensatoren (1)
Kondensatoren spielen sehr große Rolle in Schaltkreisen,
dabei werden Kondensatoren u.a. in Reihe und Parallel geschaltet.
Reihenschaltung (Serienschaltung)
Im Gleichgewicht ist die Ladung auf jedem
Kondensator gleich groß:
Q = C1·U1 = C2·U2 = C3·U3 = ...
Die Spannungen addieren sich:
U = U1 + U 2 + U3 ...
Q Q Q Q
- =- + - + Cges C 1 C2 C3 ...
1
Teilspannungen ∝
Teilkapazitäten
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;
1
1
⇒
=∑
Cges
i Ci
Ui C j
=
U j Ci
159
Schaltung von Kondensatoren (2)
Parallelschaltung
An jedem Kondensator liegt die gleiche Spannung:
U = U1 = U 2 = U 3 ...
Die Ladungen addieren sich: also genau umgekehrt
Q = Q1 + Q 2 + Q3
zur Reihenschaltung...
...
Damit erhalten wir:
Cges·U = C1U + C2U + C3U
...
⇒ Cges = ∑ Ci
i
Ladungen verhalten sich wie
;
die zugehörigen Kapazitäten
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Qi Ci
=
Qj C j
160
Kugelkondensator
Plattenabstand dr sei zunächst á R
R2
4πR2
A
= 4πε 0 ⋅
= ε0 ⋅
⇒ C = ε0 ⋅
dr
dr
d
Wenn r sich deutlich von R
unterscheiden, kann man anschaulich den Zwischenraum mit vielen
dünnen Schalen ausfüllen:
Entspricht:
Einsetzen von C und
Summieren, bzw. Integrieren:
R
1
1
1 1 1
1
dρ
⇒
=∑ =
=
−
2
∫
C
Ci 4πε 0 r ρ
4πε 0  r R 
Kapazität einer freien Kugel: Rض fl C = 4pÿε0 ÿ r
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161
Bsp:
Wieviel Ladung kann man auf einer Kugel mit 5 cm Durchmesser
speichern, wenn man sie mit 1000 V auflädt ?
Q = C·U = 4·p · ε0 · r · U
= 4·p · 8.85·10-12 · 0.05/2 · 1000 (C/Vm)·m·V
= 2.8·10-9 C
= 2.8 nC
Kapazität der Erdkugel:
CErde = 4·p · ε0 · r = 710 µF
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162
Energie des elektrischen Feldes (1)
Aufladung eines Kondensators bedeutet Bewegung von Ladungen,
d.h. es wird Arbeit geleistet, um die Ladungen gegen das Feld zu bewegen
➯ ein Kondensator kann Energie speichern
Benutze zuvor abgeleitete Beziehung:
Q
Q=CU
dW = U ⋅ dQ = ⋅ dQ
C
Q
1
1 1 2 1
⇒ W = ⋅ ∫ q' ⋅dq' = ⋅ Q = ⋅ CU 2 = Eelektr.
C 0
2
C 2
Elektrische Feldenergie
eines geladenen Kondensators
Eelektr.
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1
= ⋅ Q ⋅U
2
163
Energie- und Energiedichte des elektr. Feldes
Eelektr.
1
1 A 2 2 1
2
= CU = ε 0 ⋅ E ⋅ d = ε 0 ⋅ A ⋅ d ⋅ E 2
2
2 d
2
Feldvolumen V
1
= ε0 ⋅ V ⋅ E2
2
1
Eelektr. = ⋅ E ⋅ D ⋅ V
2
D = ε0 ⋅ E
Eelektr . 1
1
welektr . =
= D ⋅ E = ε0 ⋅ E2
V
2
2
Elektrische Energiedichte Allgemeingültig, nicht nur
für Plattenkondensator !
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Dielektrika
Bisher nur Kondensatoren im Vakuum betrachtet,
jetzt werde ein Isolator eingeschoben:
V: Diel. im Kondensator
Ergebnis: Spannung sinkt...
und erreicht wieder den ursprünglichen Wert,
sobald man den Isolator entfernt.
Das elektrische Feld greift offensichtlich durch den Isolator hindurch
➯ Dielektrikum Dia = durch (Griechisch)
Was geschieht hierbei? Ladungsverschiebung im Dielektrikum
➥Gegenfeld in Inneren entsteht ➥ äußeres E-Feld wird geschwächt
➥Spannung U=E·d am Kondensator sinkt,
Ladung am Kondensator bleibt aber konstant ➥ C=Q/U steigt
Dielektrizitätszahl ε = C
r
C0
(Permittivitätszahl)
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C0: Kapazität im Vakuum
165
Stoff
Dielektrizitätszahl
εr
Wenn kein Vakuum vorliegt,
ist in allen Formeln εo durch
εo ⋅ εr zu ersetzen
Vakuum
1
Luft
1.0006
Permittivität
Bernstein
2.8
Quarz
3.8 - 5.0
A
Bsp: C = ε 0 ⋅ ε r ⋅
d
dest. Wasser
82
BaTi2
10 000
χe = εr−1 : elektr. Suszeptibilität
Hohe Kapazitäten haben eine wichtige technische Bedeutung.
Können erzielt werden durch a) Dielektrika, b) geringe Plattenabstände,
c) große Flächen
Bsp: „Elko“ (Elektrolytkondensatoren)
Anode: z.B. Al, Oberfläche durch Ätzprozess um Faktor 20-100 vergrößert,
Anodenseitig: Al2O3 (εr=12) ; Kathodenseitig: flüssiges Elektrolyt
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