+ R

4.2 Gleichstromkreise
Werden Ladungen transportiert, so fließt ein elektrischer Strom I
Bei 1 A fließen etwa
C
dQ
6·1018 Elektronen
[I] = = A
I (t ) =
s
pro Sekunde !
dt
Einfachster Fall: Gleichstrom; Strom fließt in gleicher Richtung
mit konstanter Stärke.
Q
I (t ) = const =
t
Stromleiter setzen dem Ladungstransport einen Widerstand entgegen.
Das Ohmsche Gesetz verknüpft diesen elektrischen Widerstand mit
dem Strom und der Spannung.
Charakteristische Größen zur Beschreibung von Stromkreisen:
• Stromstärke I
• Spannung U
• Ohmscher Widerstand R
• Kapazität C
• Induktivität L
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167
Definition der Stromrichtung
Technische Definition der Stromrichtung:
Stromrichtung ist definiert als Bewegungsrichtung des Flusses der
positiven Ladungen.
Strom fließt von „+“ nach „-“
Beachte: In Metalldrähten bewegen sich nur die Elektronen;
d.h. die gewöhnliche Stromrichtung ist entgegengesetzt zur
Bewegungsrichtung der Ladungen, in diesem Fall die Elektronen.
(Physikalische Definition der Stromrichtung ist daher umgekehrt!)
U
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+
-
R
Gleichstromkreis
mit Stromrichtung und
Widerstand;
Widerstand der Zuleitung
wird vernachlässigt.
168
Das Ohmsche Gesetz
U
+
-
U
I=
R
R
I
Man findet experimentell folgenden
Zusammenhang zwischen der
Stromstärke I und dem
Spannungsabfall U am Widerstand R
Einheit des el. Widerstands: [R] = W (Ohm)
= V/A
Eselsbrücke: U=RI (Schweizer Kanton)
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169
Spezifischer Widerstand & Leitf ähigkeit
Der elektrische Widerstand eines Körpers ist abhängig vom
Material und seiner Geometrie.
A
l
R= ρ⋅
A
l
r
: spezifischer elektrischen Widerstand (Resistivität)
s=1/r: spezifische elektrischen Leitfähigkeit (Konduktivität)
m2
[ρ] = Ω ⋅ m = Ω ⋅ m
Bsp:
Kupfer:
Eisen:
dest. Wasser:
Bernstein:
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mm 2
allg. in Tabellen: [ ρ ] = Ω ⋅
m
r = 0.017 Ω·mm2/m
r = 0.1 Ω·mm2/m
r = 5·105 Ω·mm 2/m
r = 1016 Ω·mm2/m
170
In Analogie zum spezifischen Widerstand definiert man die
elektrische Stromdichte:
A
I
Strom

j= =
A
Querschnittsfläche  m 2 
Temperaturabhängigkeit des elektr . Widerstands
Elektrische Widerstände sind i. allg. Temperaturabhängig.
Als Bezugspunkt wählt man die Raumtemperatur T 0 = 20 ° C
→ R(T ) = R0 ⋅ (1 + α ⋅ (T − T0 ))
mit R0 = R(T0 )
α = Temperaturkoeffizient
Bei den meisten Metallen steigt der Widerstand unterhalb ~ 200 °C
linear mit der Temperatur an.
Für noch höhere Temperaturen findet man:
R(T ) = R0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆T + β ⋅ ∆T 2 )
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
a
b
Ag, Cu 0.004 0.7·10-6
Fe
0.007
6·10-6
171
T-Abh ängigkeit des elektr . Widerstands (2)
Bsp: Wird Kupfer von 20°C nach 60°C erwärmt, so steigt der
Widerstand um 16 % an.
Beachte: Das Ohmsche Gesetz gilt streng nur für Metalle und
Elektrolyte bei konstanter Temperatur!
Übersicht: Temperaturkoeffizient a für verschiedene Materialien
r
r
r
Halbleiter
Supraleiter
Metalle
T
T
T
→ R(T ) = R0 ⋅ (1 + α ⋅ (T − T0 ))
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172
Strom- Spannungs Kennlinie
Nach dem Ohmschen Gesetz U = R·I finden wir:
NTC
Metalle (I=U/R)
I
PTC
Gasentladung
Das Ohmsche Gesetz ist
also nur ein einfacher
Spezialfall !
U
dU
Differentieller Widerstand: r =
dI
V: T-Abh. von Widerständen
NTC: Widerstand nimmt mit
zunehmender Temperatur ab
PTC: Widerstand nimmt mit
zunehmender Temperatur zu
Gasentladung: Spannungsabfall
nimmt mit zunehmender
Stromstärke ab
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173
Parallel und Serienschaltung von Widerständen
(Kirchhoffsche Gesetze)
Grundidee der Kirchhoffschen Gesetze folgt aus der
(a) Ladungserhaltung und (b) Energieerhaltung
(a) Ladungserhaltung ➜ Knotenregel:
Die einem Stromknoten zugeführten Ladungen
sind gleich den abgeführten Ladungen.
n
∑ Ii = 0
i =1
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zufließender Strom: I > 0
abfließender Strom: I < 0
174
Kirchhoffsche Gesetze (2)
(b) Energieerhaltung ➜ Maschenregel:
In einem geschlossenen Stromkreis ist
die Summe aller treibenden Spannungen
Ui gleich der Summe aller
Spannungsabfälle URi
n
∑U
i =1
Qi
m
= ∑ URj
j =1
D.h.: In einem geschlossenen Stromkreis
ist die Summe aller Spannungen Null
Vorzeichen der Spannungsquellen ist hierbei zu beachten !
Zeichnung
oben:
UQ1 − UQ2 + U R1 + U R2 = 0
UQ1 − UQ 2 + I ⋅ R1 + I ⋅ R2 = 0
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I=
UQ1 − UQ2
R1 + R2
175
Parallel- und Serienschaltung von Widerständen
Aus den Kirchhoffschen Gesetzen kann man die Gesetze für
Parallel- und Serienschaltungen von Widerständen und
Spannungsquellen ableiten:
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176
Parallelschaltung
I = I1 + I2 (Knotenregel)
U = R1 ⋅ I1 → I1 = U / R1
= R2 ⋅ I2 → I2 = U / R2
= R⋅ I → I = U / R
= R ⋅ ( I1 + I2 )
= R ⋅ (U / R1 + U / R2 )
1 1
1
⇒
=
+
R R1 R2
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Serienschaltung
I =U / R
U1 = R1 ⋅ I
U2 = R2 ⋅ I
U = U1 + U2 (Maschenregel)
U U1 + U2 R1 ⋅ I + R2 ⋅ I
⇒ I= =
=
R
R
R
⇔ R = R1 + R2
177
Parallelschaltung
I = I1 + I2 (Knotenregel)
U = R1 ⋅ I1 → I1 = U / R1
= R2 ⋅ I2 → I2 = U / R2
= R⋅ I → I = U / R
I1 ⋅ R1 = I2 ⋅ R2
⇔
I1 R2
=
I2 R1
Ströme verhalten
sich umgekehrt
zu den
Widerständen
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Serienschaltung
I =U / R
U1 = R1 ⋅ I
U2 = R2 ⋅ I
U1 / R1 = U2 / R2
U1 R1
⇔
=
U2 R2
Spannungsabfälle
verhalten sich wie die
Widerstände
178
Parallel- und Serienschaltung von Spannungsquellen
Obige Überlegungen gelten auch für Spannungsquellen (z.B. Batterien)
Serienschaltung von Batterien
bewirkt Spannungserhöhung:
U
Parallelschaltung von Batterien
bewirkt Stromerhöhung:
U
U
U
2·U
R
2·I
U U
U U
2U
R
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2·I
Spannungs- und
Stromverdoppelung
179
Bsp . einer komplexen Schaltungen
A: Reihenschaltung von 7, 8
RA = R7 + R8
B: Parallelschaltung von 9, A
1
1
1
=
+
⇔
RB RA R9
RB =
RA ⋅ R9
RA + R9
C: Parallelschaltung von 1,2,3,4
1
1
1
1
1
=
+
+
+
RC R1 R2 R3 R4
Einfachster Fall:
Alle Widerstände sind gleich
RA = 2 R
2
RB = R
3
1
RC = R
4
Rges
2

= 2+ +

3
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D: Reihenschaltung von B, 6, 5, C
RD = Rges = RB + R6 + R5 + RC
11
1
⋅R =2 ⋅R

12
4
180
Reale Spannungsquellen und Innenwiderstand
Bei Belastung mit einem äußeren Widerstand R a wird die Spannungsquelle
vom gleichen Strom I durchflossen wie der äußere Stromkreis.
➥der Innenwiderstand R i der Spannungsquelle muss
bei der Berechnung des Stroms berücksichtigt werden
I
Ra
UK
Rges = Ri + Ra
UQ
Ri
Reale Spannungsquelle:
UQ: Quellenspannung
(Spannung ohne Stromfluss)
R i : Innenwiderstand
UK : Klemmenspannung
(verfügbare Spannung am
Verbraucherwiderstand R a)
Innenwiderstand R i von Batterien kann also bestimmt
UK = UQ − I ⋅ Ri
werden, wenn R a, UQ, UK, oder UQ, UK, I bekannt.
UQ
UK
=
I=
UQ − UK
 UQ 
Ri + Ra
Ra
Ri =
Ri = Ra 
− 1
I
 UK

181
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Bsp: Innenwiderstand einer Batterie
Aus einer 9 V Batterie werden bei Belastung mit einem
Arbeitswiderstand 20 mA Strom entnommen.
Die Spannung an der Batterie sinkt dabei auf 8.8 Volt.
Innenwiderstand:
UQ − UK
Ri =
I
9 V − 8.8 V
=
20 ⋅ 10 −3 A
= 10 Ω
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
182
Strom- und Spannungsmessger äte
Auch hier spielen Innenwiderstände eine sehr wichtige Rolle.
Strommessung
Innenwiderstand Ri des Strommessgerätes
I sollte möglichst klein sein, damit die
volle Spannung über R abfallen kann.
R
I
R iA ` R
Spannungsmessung
I
R
U
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Innenwiderstand Ri des Spannungsmessgerätes sollte möglichst groß sein,
damit möglichst wenig Strom durch das
Voltmeter, und damit der ganze Strom
über R fließt.
R iU p R
183
Bei sehr genauen Messungen von Widerständen:
Wheatsonsche Br ücke
V: Wheatst. Brücke
R x: zu bestimmender Widerstand
R N: bekannter Normwiderstand
K: Kontakt auf einem homogenen
Messwiderstand
Verschiebung von K ändert R 1, R2
mit R1 + R2 = const.
Verhältnis der Widerstände ist durch
die rechts- und linksseitigen
Drahtlängen gegeben.
Vorgehensweise:
Verschiebe K solange, bis
A: empfindliches Strommessgerät
kein Strom mehr über
(Eichung nicht erforderlich!)
A fließt.
R
R
R
D.h. gleicher Spannungsabfall Das heißt: X = 2
RX = RN ⋅ 2
RN R1
R1
zwischen RX und R N wie
l
Draht mit homogenem
RX = RN ⋅ 2
zwischen R2 und R1.
spezifischen Widerstand:
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
l1
184
Bei sehr genauen Messungen von Widerständen:
Wheatstonsche Br ücke
V: Wheatst. Brücke
R x: zu bestimmender Widerstand
R N: bekannter Normwiderstand
K: Kontakt auf einem homogenen
Messwiderstand
Verschiebung von K ändert R 1, R2
mit R1 + R2 = const.
Verhältnis der Widerstände ist durch
die rechts- und linksseitigen
Drahtlängen gegeben.
Vorgehensweise:
Verschiebe K solange, bis
A: empfindliches Strommessgerät
kein Strom mehr über
(Eichung nicht erforderlich!)
A fließt.
R
R
R
D.h. gleicher Spannungsabfall Das heißt: X = 2
RX = RN ⋅ 2
RN R1
R1
zwischen RX und R N wie
l
Draht mit homogenem
RX = RN ⋅ 2
zwischen R2 und R1.
spezifischen Widerstand:
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
l1
185
Potentiometer
Obiger Draht kann auch als Potentiometer benutzt werden:
UX
R1
X R2
R2
U X = U0 ⋅
R1 + R2
U0
V: Potentiometer
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186
Quasistationärer Stromkreis:
Entladung eines Kondensators
Kondensator sei zu Beginn aufgeladen mit
der Ladung: Q0=CU 0
Unmittelbar nachdem der Schalter geschlossen
wird, fließt ein Strom:
I0 =
Q
U0
= 0
R C⋅R
Ladung auf dem Kondensator nimmt nun ab.
Messbarer Strom I entspricht der Ladung, die über den Widerstand R von
der einen Platte zur anderen Platte des Kondensators fließt.
I (t ) = −
dQ
dt
Maschenregel: Summe aller Spannungen ist zu jedem Zeitpunkt Null
➜
Q(t )
Q(t ) dQ
dQ
1
− I (t ) ⋅ R = 0 →
+
⋅R=0 ⇔
=−
Q(t )
C
C
dt
dt
R⋅C
Differentialgleichung 1. Ordnung
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187
Entladung eines Kondensators (2)
dQ
1
=−
Q(t )
dt
R⋅C
Lösung: Q(t ) = Q0 exp −
t 
 RC 
τ = RC ; Zeitkonstante
t 
Q(t ) = C ⋅ U (t ) → U (t ) = U0 exp −
 RC 
I (t ) = −Q˙ (t ) →
t 
I (t ) = I0 exp −
 RC 
V: Kondensatorentladung
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188
Elektrische Leistung
Erinnere: Verschiebung von Ladungen im elektrischen Feld
erfordert Arbeit: W = U·Q ñ U=W/Q
Zwischen zwei Punkten eines metallischen Leiters liegt eine
Spannung von 1 Volt, wenn beim Transport der Ladung
1 Coulomb eine Energie von 1 Joule umgesetzt wurde.
Für die Leistung P erhält man daher:
W U ⋅Q
=U⋅I
P=
=
t
t
= R ⋅ I2
U2
=
R
K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
U = R⋅ I
U
I=
R
Kap. 4.3
189