Scheinwiderstand
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4.5 Wechselstromkreise Wechselstrom in vielen Punkten praktischer: • Transformatoren • Elektromotoren • Frequenz als Referenz • ... Prinzip der Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung: V: Wechselstromgenerator K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 229 Φ mag = B ⋅ A⊥ = B ⋅ A ⋅ cosθ (A ist die Fläche der Leiterschleife) θ = ω ⋅t +δ (d Startwinkel) Φ mag = B ⋅ A ⋅ cos(ω ⋅ t + δ ) ➥ Induktionsspannung: Uind = − dΦ mag 2π ω = 2πf = T Kreisfrequenz dt = + B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t + δ ) = U0 ⋅ sin(ω ⋅ t + δ ) K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 230 Wechselspannung, Wechselstrom Technische Wechselspannung in Deutschland: U0 @ 325 V ; f = 50 Hz U0 Beachte: U 0 ist nicht der Effektivwert Ueff = ≅ 230 V 2 (siehe kommenden Abschnitt) U ⇒ I (t ) = I0 ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ ) I= R Beachte: Strom und Spannung können relativ zueinander in der Phase verschoben sein ! K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 231 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten (1) 1) Einfacher zeitlicher Mittelwert T ⟨U⟩ U = ∫ U (t )dt 0 T =0 ∫ dt 0 Die gleichgroßen positiven und negativen Beiträge heben sich auf. K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 232 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten (2) 2) Gleichrichtwert U T /2 U= ∫ U (t ) dt 0 T /2 ∫ dt 0 K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 T 2 Alle negativen Anteile werden zuerst positiv gerichtet und erst dann wird gemittelt. T 2 2 2U0 − cos(ω t) 2 = U0 = ∫ U0 sin(ω t)dt = T ω T0 0 π = 0.637 U0 233 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten (3) 3) Effektivwert Der Effektivwert eines Wechselstroms erzeugt in einem Ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Wärmeleistung wie ein Gleichstrom mit I = Ieff T 2 2 U (t )dt ∫ U 2 2 0 2 mit U = Ueff = P =U⋅I = I ⋅R= T R ∫0 dt T Ueff = U0 2 ⋅ ∫ sin 2 (ω t )dt 0 T U0 2 ⋅ T / 2 = T U0 2 = 2 K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 234 Zeitliche Mittelungsmöglicheiten (4) 3) Effektivwert (Fortsetzung) Ergebnis: Ueff U0 = ≅ 0.707 U0 2 Haushaltsstrom: U0 @ 325 V 325 V → Ueff = ≅ 230 V 2 Analog: I 2 eff I0 2 = 2 K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 Ieff I0 = ≅ 0.707 I0 2 235 Widerst ände im Wechselstromkreis (1) Im Wechselstromkreis schwingen U und I i.allg. nicht gleichphasig. Je nach Bedeutung der relativen Phasen zwischen Strom und Spannung unterscheiden wir drei Kategorien von Widerständen: (1) Wirkwiderstand: Im Wirkwiderstand wird die elektrische Energie vollständig in nichtelektrische Energie (Wärme) umgewandelt. Da Stromrichtung hierbei keine Rolle spielt, gelten für den Wirkwiderstand im Wechselstromkreis die Gesetze des Gleichstromkreises: U (t ) U0 ⋅ sin ωt U0 Ueff RΩ = = = = I (t ) I0 ⋅ sin ωt I0 Ieff Strom und Spannung sind in Phase. K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 236 Widerst ände im Wechselstromkreis (2) (2) Induktiver Blindwiderstand: Betrache Spule mit Induktivität L und vernachlässigbarem Ohmschen Widerstand R Ω U(t) Beim Anlegen einer Gleichspannung würde es also zum Kurzschluss kommen. Beim Anlegen einer Wechselspannung entsteht durch die Selbstinduktionsspannung ein induktiver Widerstand: dI d ( I0 ⋅ sin ωt ) = L ⋅ I0 ⋅ ω ⋅ cos ωt UL = L ⋅ = L⋅ dt dt π = L ⋅ I0 ⋅ ω ⋅ sin ωt + 2 Folgerungen: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus. U L,max = ω ⋅ L ⋅ I0 Ueff = RL = ω ⋅ L Ueff = ω ⋅ L ⋅ Ieff Ieff K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 237 Widerst ände im Wechselstromkreis (3) (2) Induktiver Blindwiderstand (Fortsetzung): Wie groß ist die Wirkleistung des induktiven Widerstands? M.a.W.: Wieviel Energie wird in Wärme umgewandelt ? U0 ⋅ I0 T 1 T PL = ⋅ ∫ U (t ) ⋅ I (t ) ⋅ dt = ⋅ ∫ sin ωt ⋅ cos ωt ⋅ dt = 0 T T 0 0 Induktive Wirkleistung ist Null ! K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 238 Widerst ände im Wechselstromkreis (4) (3) Kapazitiver Blindwiderstand Betrache Kondensator mit Kapazität C U(t) Anlegen einer Gleichspannung ➔ Ladestrom, bis I = 0; D.h.: Zu Beginn zeigt der Kondensator einen endlichen Widerstand, der langsam auf ∞ ansteigt. Wechselspannung ➔ ständige Umladung, d.h. ständiger Strom Es scheint, als habe der Kondensator einen endlichen Widerstand dQ(t ) d (C ⋅ U (t )) dU (t ) d sin ωt I (t ) = = = C⋅ = C ⋅ U0 ⋅ dt dt dt dt = ω ⋅ C ⋅ U0 ⋅ cos ωt π = ω ⋅ C ⋅ U0 ⋅ sin ωt + 2 K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 239 Widerst ände im Wechselstromkreis (5) (3) Kapazitiver Blindwiderstand (Fortsetzung) U (t ) = U0 ⋅ sin ωt U(t) π I (t ) = ω ⋅ C ⋅ U0 ⋅ sin ωt + 2 Folgerungen: Strom eilt der Spannung um 90° voraus. Ueff Ieff 1 U0 = RC = = ω ⋅ C ⋅ U0 ω ⋅ C 1 RC = ω ⋅C Kapazitive Wirkleistung ist Null, da auch hier keine elektrische Energie in Wärme umgewandelt wird. K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 240 Frequenzverhalten von Spulen und Kondensatoren RL = ω ⋅ L → ∞ für w → ∞ d.h. hohe Frequenzen werden blockiert → 0 für w → 0 d.h. lässt Gleichstrom ungehindert hindurch 1 RC = ω ⋅C → 0 für w → ∞ d.h. lässt Höchstfrequenzen ungehindert hindurch → ∞ für w → 0 d.h. blockiert Gleichstrom K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 241 Widerst ände im Wechselstromkreis (6) (4) Scheinwiderstand (Impedanz): Sei nun der Ohmsche Widerstand der Spule nicht vernachlässigt (in der Realität ist das immer so): U U Ω L RL I(t) RΩ RL I(t) Ersatzschaltbild Spannungsabfall an R Ω ist phasengleich mit dem Strom I(t) Spannungsabfall an R L eilt dem gemeinsamen Strom I(t) um 90° voraus, damit auch dem Spannungsabfall an R Ω . K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 242 Widerst ände im Wechselstromkreis (7) (4) Scheinwiderstand (Fortsetzung): Veranschaulichung von Strom und Spannung im Zeigerdiagramm: U Ges UL UΩ RL RΩ I(t) UL=I·w·L UGes j I(t) UΩ =I·R Ω Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 243 Widerst ände im Wechselstromkreis (8) U Ges (4) Scheinwiderstand (Fortsetzung): UL=I·w·L UGes j I(t) UL UΩ RL RΩ I(t) UΩ =I·R Ω Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick 2 2 U0 = UΩ, + U L, 0 = 0 ( I0 ⋅ RΩ ) + ( I0 ⋅ ωL) 2 = I0 ⋅ RΩ 2 + ω 2 L2 U0 Ueff = = RΩ 2 + ω 2 L2 = Z I0 Ieff K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 2 Quotient Z ist konstant und gleich dem Scheinwiderstand (Impedanz) der Spule mit dem Ohmschen Widerstand R Ω 244 Widerst ände im Wechselstromkreis (9) (4) Scheinwiderstand (Fortsetzung): UL=I·w·L UGes j I(t) U Ges UL UΩ RL RΩ I(t) UΩ =I·R Ω Phasenverschiebung j zwischen Strom und Spannung: U L , 0 I0 ⋅ ω ⋅ L ω ⋅ L tan ϕ = = = UΩ, 0 RΩ I0 ⋅ RΩ K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 245 Widerst ände im Wechselstromkreis (10) (4) Scheinwiderstand - allg. Serienschaltung: UL=I·w·L UC=I/w·C UΩ =I·R Ω I(t) j UGes Scheinwiderstand (Impedanz): UL U Ges UΩ RL RΩ UC I(t) 2 1 Z = RΩ2 + ωL − ωC Wirkwiderstand Blindwiderstand 1 ωL − ωC Phasenverschiebung zwischen UGes und I: tan ϕ = RΩ K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 246 Widerst ände im Wechselstromkreis (11) (4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung: IL hinkt U nach IΩ gleichphasig U(t) j IGes 2 IGes = IΩ2 + ( IC − I L ) 2 Jetzt ist die Spannung an allen Bauelementen gleich ! IΩ IC eilt U voraus IL IC IGes = IΩ2 + ( IC − I L ) 2 2 2 1 1 = U ⋅ + ωC − ωL RΩ Y = Scheinleitwert = 1/Z K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 247 Widerst ände im Wechselstromkreis (12) (4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung: IC eilt U voraus IL hinkt U nach IΩ gleichphasig U(t) j IGes Jetzt ist die Spannung an allen Bauelementen gleich ! Phasenschiebung zwischen der Gesamtstromstärke I und U : 1 ωC − 1 IC − I L ω L = RΩ ⋅ ωC − = tan ϕ = 1 ωL IΩ RΩ V: Phasenschiebung K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 248 Zusammenfassung & Resonanz Reihenschaltung von R, L, C: Phasenverschiebung: Scheinwiderstand: 1 2 ωL − 1 2 ωC Z = RΩ + ωL − tan ϕ = ωC RΩ Parallelschaltung von R, L, C: Scheinleitwert: 2 2 1 1 1 Y = = + ωC − Z ωL RΩ Scheinwiderstand (Impedanz) und Scheinleitwert jeweils minimal für K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 Phasenverschiebung: 1 tan ϕ = RΩ ⋅ ωC − ωL 1 ωr L = ω rC ⇔ ωr = 1 LC 249 Resonanz Reihenresonanz Parallelresonanz Z: Scheinwiderstand wird minimal, I =U/Z ➔ I wird maximal bei Resonanz, und hängt dann nur noch von RΩ ab Y: Scheinleitwert minimal I =U·Y ➔ I wird minimal bei Resonanz, und hängt dann nur noch von RΩ ab Hohe Teilspannungen an L,C Hohe Teilsströme an L,C (heben sich nach außen gegenseitig auf) ➥ Gefahr für Bauelemente, Maximale Leistung wird umgesetzt K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 250 Resonanzversuch w klein ➜ L1 & L3 leuchten w groß ➜ L2 & L3 leuchten V: Resonanz/Sperrkreis w=wr ➜ L3 aus, L1 und L2 leuchten gleich hell (Sperrkreis) Schaltung wirkt als Filter, d.h.: Der Durchgang von Störfrequenzen wird gesperrt K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 251 Resonanz - Ein Beispiel L=2H C = 1 µF R = 50 Ω U0 = 100 V Res.-Frequenz: ωr = Res.-Stromstärke: 1 1 -1 -1 = s = 707 s LC 2 ⋅ 10 −6 = 2π ⋅ f ⇒ f = 112 s −1 U0 U0 100 V = = Ir = = 2 A (maximal) R 50 Ω Zr Einzelspannungen im Resonanzfall: 2A Ir UC, r = = = 2828 V ! −6 ωC 707 ⋅ 10 Ω K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 U L, r = Ir ⋅ ωL = 2 ⋅ 707 ⋅ 2 V = 2828 V ! UΩ, r = Ir ⋅ R = 2 ⋅ 50 = 100 V 252 Leistung im Wechselstromkreis - Blindleistung, Scheinleistung, Leistungsfaktor Gleichstromkreis: P=U·I Nur in einem Ohmschen Widerstand wird elektrische Energie in Wärme umgesetzt → Wirkwiderstand Momentanleistung im Wechselstromkreis: a) Ohmscher Widerstand: P( t ) = U ( t ) ⋅ I ( t ) 1T → P = ∫ U0 sin ωt ⋅ I0 sin ωt ⋅ dt T0 U0 I0 T 2 = sin ωt ⋅ dt ∫ T 0 U I = 0 0 = Ueff ⋅ Ieff 2 K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 Strom und Spannung gleichphasig 253 Leistung im Wechselstromkreis (2) Momentanleistung im Wechselstromkreis: b) Kapazitiver Widerstand: P( t ) = U ( t ) ⋅ I ( t ) ∫P(t)dt = 0 , d.h.: keine Wirkleistung Strom eilt der Spannung 90° voraus c) Induktiver Widerstand: ∫P(t)dt = 0 , d.h.: keine Wirkleistung Ideale Spule und Kondensator verbrauchen keine Wirkleistung K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 Strom hinkt der Spannung 90° nach 254 Leistung im Wechselstromkreis (3) Ideale Spulen und Kondensatoren verbrauchen also keine elektrische Leistung, trotzdem können wir im Wechselstromkreis einen endlichen Strom messen... Definiere daher: Blindleistung eines reinen kapazitiven oder induktiven Widerstands: Q = U·I Blindleistung tritt nach außen nicht in Erscheinung, „Energie pendelt zwischen Kondensator, bzw. Spule und der Spannungsquelle hin und her“ K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 255 Leistung im Wechselstromkreis (4) Betrachte nun Kombination aus d) Wirk- und Blindwiderstand: IWirk=I · cosj IBlind=I · sinj I IBlind j IWirk Wirk- und Blindstromstärke U PWirk (t ) = U (t ) ⋅ IWirk (t ) = U (t ) ⋅ I (t ) ⋅ cos ϕ Integration wie auf S. 251 (Leistung eines Wirkwiderstands) liefert analog: PWirk = Ueff ⋅ Ieff ⋅ cos ϕ Wirkleistung für beliebige Wechselstromkreise K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 256 Leistung im Wechselstromkreis (5) P = Ueff ⋅ Ieff ⋅ cos ϕ P λ = cos ϕ = Ueff ⋅ Ieff heißt Leistungsfaktor =1 : rein Ohmscher Widerstand =0 : rein kapazitiver oder induktiver Widerstand Am Haushaltsstromzähler bezahlen wir: Welek = Ueff ⋅ Ieff ⋅ cos ϕ ⋅ t d.h. nur die wirklich erbrachte Leistung. Dennoch ist auch die Ermittlung der Blindleistung Q=Ueff·Ieff·sinj wichtig. Blindleistung sollte möglichst klein sein, um das Stromnetz nicht unnötig zu belasten. K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 257 Leistung im Wechselstromkreis (6) Bsp: Ein Elektromotor mit großen Magnetfeldwicklungen führt leicht zu einem Leistungsfaktor cosj = 0.6. Die Leistungsaufnahme betrage 2208 Watt. PWirk = Ueff ⋅ Ieff ⋅ cos ϕ Ieff 2208 W PWirk = = = 16 A Ueff ⋅ cos ϕ 230 V ⋅ 0.6 Ein besserer Motor mit gleicher Leistungsaufnahme habe einen Leistungsfaktor cosj = 0.8. Wie groß ist der Strom jetzt ? 2208 W PWirk Ieff ' = = = 12 A Ueff ⋅ cos ϕ 230 V ⋅ 0.8 Dieser Motor belastet das Netz also um 25% weniger ! K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 258 Leistung im Wechselstromkreis (6) Wie kann man die Beschaltung des Elektromotors modifizieren, um die Blindleistung zu reduzieren, d.h. den Leistungsfaktor zu erhöhen ? Bei dem Elektromotor handelt es sich (elektrotechnisch gesehen) im wesentlichen um eine Spule mit einer Induktivität L und einem (seriellen) Ohmschen Widerstand R Ω Motor: L + R Phasenschiebung zwischen I und U um so größer, je größer L K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 Motor: L + R Parallelschaltung von Kapazität C reduziert die Phasenschiebung und verbessert den Leistungsfaktor 259 Transformator Windungszahl der Primärspule: N1 Windungszahl der Sekundärspule: N2 U 1~ V: Transformator U1~ + Uind U1~ − N1 ⋅ φ̇ Primärspule: I = = RΩ RΩ ⇔ I ⋅ RΩ = U1~ − N1 ⋅ φ̇ Sei R Ω ≈ 0: → U1~ = N1 ⋅ φ̇ Der gleiche magnetische Fluss durchsetzt die Sekundärspule: → U2 ~ = − N2 ⋅ φ̇ U1~ U2 ~ ⇒ =− N1 N2 bzw.: („-“ wenn gleichsinnig gewickelt) U1~ N1 I2 =− ≈− U2 ~ N2 I1 Damit ist die Primärseitig aufgenommene Wirkleistung ≈ der sekundärseitig abgegebenen. (P /P ≈ 0.96-0.98 für gute Transf.) sek prim 260 K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 Dreiphasenwechselstrom Zweckmäßig zur Übertragung großer elektrischer Leistungen und für größere Motoren (P > 2.5 kW) Prinzip der Erzeugung: 3 Spulenpaare je um 120° versetzt R T S Umax gleich für alle drei Phasen ➜ 3 ∑ Ui (t ) = 0 Wenn Belastung für alle drei Phasen gleich ➜ K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 i =1 3 120° 240° ∑ Ii (t ) = 0 i =1 261 Durch geschickte Verkettung müssen für den Stromtransport nicht 3 Leitungspaare mit 6 Drähten verwirklicht werden: Dreieckschaltung Knotenregel an jedem Punkt: IR = I1 - I2 ; IS = I2 - I 3 ; IT = I3 - I1 Ströme jeweils um 120° phasenverschoben: Leitungsstromstärke: IR = IS = IT = √ 3·IStrang I2 120° 60° Leiterspannung: URS = U ST = URT = UStrang –I2 I1 IR = √ 3·I1 Also nur drei Leitungen nötig ! K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 262 Sternschaltung Leitungsstromstärke: IR = IS = IT = IStrang Wie groß ist z.B. die Spannung zwischen T& S? US 120° 60° –US Mittelpunktsleiter MP („Nullleiter“) führt bei gleicher Belastung der drei Phasen R,S,T keinen Strom. K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 UT UST = √3·US Leiterspannung: URS = U ST = URT = √3·UStrang 263 Ö ffentliches Stromnetz Öffentliches Stromnetz = Sternschaltung (4-Leiter System) Strangspannungen: UT=UR=US = 230 V (effektiv) Jeweils: ein Strang gegen Nulleiter (Steckdosen-Schaltung) Werden höhere Spannungen benötig, z.B. für einen starken E-Motor ➯ verwende Leiterspannungen URS , oder UST , oder URT , jeweils 230 V ·√3 ≈ 400 V Stern-Dreieck-Schaltung für „Drehstrommotoren“: Anlaufen des Motors: jeweils MP gegen Strang an die 3 Spulen des Motors; je 230 V K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001 Betrieb des Motors: jeweils Leiterspannungen... je 400 V 264
