10. Grassmannsche Vektoren und die Drehungen im Raum.

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10. Grassmannsche Vektoren und die
Drehungen im Raum.
Wir haben in der vorigen Vorlesung gesehen wie man
Gegenstände im Raum vermöge der Zentralprojektion
als Figuren in der Ebene perspektivisch genau darstellen kann. Dies wird etwa bei CAD/CAM Anwendungen, d.h. bei dem Computer Aided Design verwendet. Also z.B. beim design von neuen Autokarosserien. Infolge der Schnelligkeit von heutigen Rechnern
kann man aber auch die Gegenstände bewegen und
etwa im Raum drehen. Wir wollen uns hier die mathematischen Hintergründe beim Drehen von räumlichen
Gegenständen ansehen. Die Grundidee ist, dass DrehKlaus Johannson, Geometrie (L2)
2
. Geometrie (L2)
ungen von Gegenständen am besten von Transformationen des ganzen Raumes beschrieben werden die auf
Gegenstände. Statt also einen Gegenstand im Raum
zu drehen ist es mathematisch einfacher den Gegenstand festzuhalten und besser den ganzen Raum zu
drehen. Um dies zu beschreiben braucht man Vektoren
und lineare Abbildungen, die auf ihnen operieren.
Vektorrechnung.
Ein Vektor hat eine Länge und eine Richtung. Es gibt
zwei Typen von Vektoren - den Ortsvektor und den
Richtungsvektor. Beides sind Pfeile in der Ebene
oder im Raum mit dem Unterschied, daß der Anfangspunkt eines Ortsvektors immer im Nullpunkt liegt und
der Konvention, daß zwei Richtungsvektoren gleich
sind, wenn sie parallel sind:
Zwei Ortsvektoren
Ein Richtungsvektor
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§10 Drehungen
3
Definition. Ein zwei-dimensionaler Vektor ist
ein geordnetes Paar a = [a1 , a2 ] von reellen Zahlen.
Ein drei-dimensionaler Vektor ist ein geordnetes
Tripel a = [a1 , a2 , a3 ] von reellen Zahlen. Die Zahlen
a1 , a2 , a3 heißen die Komponenten des Vektors.
Eine Darstellung eines Vektors [a1 , a2 ] ist ein Pfeil
(d.h. eine gerichtete Strecke) von einem Punkt P (x, y)
zum Punkt P (x + a1 , y + a2 ). Ist P (x, y) = P (0, 0),
dann heißt t diese Darstellung ein Ortsvektor. Entsprechendes gilt im Raum.
Die Länge eines Vektor v ist die Länge eines seiner
Darstellungen und wird mit |v| bezeichnet. Mit Hilfe
der Abstandsformel läßt sich die Länge berechnen:
Tatsache. Die Länge des zwei-dimensionalen Vektors a = [a1 , a2 ] ist gegeben durch die Formel:
|a| =
q
a21 + a22 .
Die Länge des drei-dimensionalen Vektors
[a1 , a2 , a3 ] ist gegeben durch die Formel:
|a| =
q
a =
a21 + a22 + a23 .
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
4
. Geometrie (L2)
Man kann Vektoren addieren und mit reellen Zahlen
(Skalaren) multiplizieren gemäß der folgenden Regeln:
Vektor Addition. Wenn a = [a1 , a2 ] und b =
[b1 , b2 ], dann ist a + b definiert durch
a + b := [a1 + b1 , a2 + b2 ].
Ebenso für drei-dimensionale Vektoren
a + b := [a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ].
Man kann die Vektor Addition geometrisch auf zwei
Weisen illustrieren:
b
a+b
b
a+b
a
Triangle Gesetz
a
Parallelogramm Gesetz
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§10 Drehungen
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Es ist möglich die Länge eines Vektors zu verändern.
Dies geschieht durch die Multiplikation mit einem Skalar.
Multiplikation mit einem Skalar. Sei c ein
Skalar (d.h. eine reelle Zahl). dann ist der Vektor
ca definiert durch:
ca := c[a1 , a2 ] = [ca1 , ca2 ]
Entsprechend für drei-dimensionale Vektoren
ca := c[a1 , a2 , a3 ] = [ca1 , ca2 , ca3 ]
Man verifiziert leicht, daß dem eine Längenveränderung um den Faktor c entspricht, denn
p
|ca| = |c[a1 , a2 ]| = |[ca1 , ca2 ]| = (ca1 )2 + (ca2 )2
q
q
√
= c2 a21 + c2 a22 = c2 · a21 + a22 = c · |a|.
Entsprechendes gilt für drei-dimensionale Vektoren.
Das Skalarprodukt.
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6
. Geometrie (L2)
Definition. Das Skalarprodukt zweier Vektoren
a, b ist die Zahl
a · b := |a||b| cos(θ)
wobei θ der Winkel zwischen a und b ist (0 ≤
θ ≤ π).
Zwei Vektoren a und b sind senkrecht oder orthogonal, wenn der Winkel zwischen ihnen θ = π2
ist. Für solche Vektoren gilt:
π
a · b = |a||b| cos( ) = 0.
2
und umgekehrt, denn a · b = 0, dann ist cos(θ) = 0
und so θ = π2 . Also haben wir:
Satz. Zwei Vektoren a und b sind orthogonal,
wenn das Skalarprodukt a · b = 0.
Das Skalarprodukt in Komponentenform. Seien
zwei Vektoren
a = [a1 , a2 , a3 ] und b = [b1 , b2 , b3 ]
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§10 Drehungen
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gegeben. Nach dem Kosinus Satz gilt
|a − b|2 = |a|2 + |b|2 − 1|a||b| cos(θ)
= |a|2 + |b|2 − 2a · b
Damit gilt für das Skalarprodukt:
1
(|a|2 + |b|2 − |a − b|2 )
2
1
= (a21 + a22 + a23 + b21 + b22 + b23
2
− (a1 − b1 )2 − (a2 − b2 )2 − (a3 − b3 )2 )
a·b=
= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Also haben wir:
Satz. Das Skalarprodukt von a = [a1 , a2 , a3 ] und
[b1 , b2 , b3 ] ist gegeben durch
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
Vektoren in Aktion.
Satz. Sei ∆ABC ein Dreieck. Die Senkrechten
von den Ecken, A, B, C, auf die gegenüberliegenden
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. Geometrie (L2)
Seiten, BC, AC, AB, des Dreiecks schneiden sich alle
drei in einem Punkt.
C = [b,c]
k
h
g
B = [a,0]
A = [0,0]
Lote treffen sich in einem Punkt
Beweis. Wir bezeichnen die Eckpunkte mit Koordinatenvektoren wie folgt:
0
a
b
A=
, B=
, C=
.
0
0
c
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§10 Drehungen
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Dann gelten für die Senkrechten g, h, k die folgenden
Formeln:
x
b
0
g:
=
+α
,
y
c
−a
x
0
c
h:
=
+β
,
y
0
a−b
x
a
c
k:
=
+γ
y
0
−b
Wir berechnen den Schnitt g ∩ h der Senkrechten g
und h wie folgt:
b − βc = 0
b
0
c
+α
=β
⇒
c
−a
a−b
c − αa − β(a − b) = 0
⇒ β = b/c
Eingesetzt in h liefert den folgenden Ausdruck für
den Schnittpunkt:
b
0
c
b
c
0
m=
+β
= b2 −ab
=
+
0
a−b
0
c a−b
c
Es bleibt zu zeigen, daß m nicht nur auf der Senkrechten g, sondern auch auf den Senkrechten h und k
liegt.
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10
. Geometrie (L2)
Setze α :=
b2 −ab−c2
,
ac
dann gilt
2
2
b − ba − c 0
b
0
b
+α
=
+
a
c
a
c
ac
b
2
= c2
b −ab−c2
+
c
c
b
= b2 −ab = m
c
Setze γ :=
b−a
c ,
dann gilt
b−a c
b
a
= b2 −ab = m
+
b
0
c
c
Dies beweist den Satz. ♦
Matrizen.
Definition. Eine (zwei-dimensionale) Matrix ist ein
Block
a b
G=
c d
von rellen Zahlen a, b, c, d ∈ R.
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§10 Drehungen
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Die Determinante einer Matrix ist gegeben durch
a b
det
= ad − bc
c d
Das Produkt einer Matrix mit einem Vektor ist
gegeben durch
a b
x
ax + by
·
=
c d
y
cx + dy
Das Produkt einer Matrix mit einer Matrix ist
gegeben durch
a b
x y
ax + bu ay + bv
·
=
c d
u v
cx + du cy + dv
Satz (Determinanten Satz).
Matrizen. Dann ist
Seien G, H
zwei
det(G · H) = det(G) · det(H).
Beweis. Nachrechnen. ♦
Korollar. Seien G, H zwei Matrizen mit det(G) =
det(H) = 1. Dann ist
det(G · H) = det(G) · det(H)
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12
. Geometrie (L2)
Beweis. klar. ♦
a b
x y
und H =
Mac d
u v
trizen mit det G = 1. Dann gibt es eine Matrix X
mit det(X) = 1, die die Matrix Gleichung
Satz. Seien G =
H =G·X
löst
Beweis. Definiere
G−1 :=
d −b
−c
a
Dann ist
det G−1 = da − bc = det G = 1
und
G · G−1
a b
d −b
1
=
·
=
c d
−c
a
0
0
1
Weiter setze
X := G−1 · H
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§10 Drehungen
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Dann ist nach dem Determinanten Satz
det X = det(G−1 · H) = det(G−1 ) · det(H) = 1.
Schließlich rechnet man leicht nach
G · X = G · (G−1 H) = (G · G−1 ) · H = H.
Dies beweist den Satz. ♦
Lineare Abbildungen.
Sei G eine Matrix mit det(G) = 1. Dann definiert
die Zuordnung
v 7→ G · v
eine bijektive Transformation der Ebene. Manche dieser Matrizen erhalten den Abstand. Beispielsweise alle
Matrizen der Form
cos α sin α
− sin α cos α
Diese Matrizen modellieren Drehungen.
Welche Bedeutung diese Matrizen für die Geometrie
haben sieht man besten an ihrer geometrischen Dynamik, d.h. daran was die Potenzen Gn mit einem
beliebig aber fest gewählten Vektor machen:
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. Geometrie (L2)
2 1
Hyperbolische Matrix G =
:
1 1
Elliptische Matrix G =
Drehung um 300 .
1
2√
− 12 3
1
2
√ 3
.
1
2
o
30
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§10 Drehungen
1 1
Parabolische Matrix G =
:
0 1
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Drehungen.
Drehungen in der Ebene (um den Winkel α) sind
gegeben durch Matrizen der Form
cos α sin α
− sin α cos α
und für Drehungen im Raum um die Koordinatenachsen (mit Winkel α) gibt es die folgenden Drehmatrizen:
Dx :=

1
0
 0 cos α
0 − sin α
Dy :=
 
cos α
0
sin α  ,  0
− sin α
cos α
0
1
0

sin α
0 ,
cos α
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. Geometrie (L2)
Dz :=

cos α
 − sin α
0
sin α
cos α
0

0
0
1
Der nächste Satz zeigt, dass diese Drehungen genügen
um alle Drehungen im Raum zu bechreiben.
Definition. Eine allgemeine Drehung des Raumes
ist eine lineare Abbildung (Matrix) des Raumes, die die
Einheitssphäre auf sich abbildet.
Satz. Jede Drehung im Raum ist Produkt der Drehmatrizen Dx , Dy , Dz .
Beweis. Übung. ♦
Drehungen und Perspektive.
Man kann nun Drehungen und Zentralprojektion kombinieren um ein rechnergestütztes Design Programm
zu entwerfen.
Literatur.
Archimedes, Quadratur der Parabel
R. Descartes, Geometrie
Klaus Johannson, Geometrie (L2)
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