Elektrodynamik

Elektrodynamik
Dr. E. Fromm - SS 2007
c 2007 Tobias Doerffel
Copyright Diese privaten Mitschriften der o.g. Vorlesung erheben weder den Anspruch auf
Vollständigkeit noch auf Fehlerfreiheit. Die Verwendung der hier vorliegenden
Informationen geschieht auf eigene Gefahr! Korrekturhinweise an
[email protected] werden dankend entgegengenommen.
Weitere Informationen auf http://www.tu-chemnitz.de/˜doto/
Chemnitz, 4. Juli 2008
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Elektrische Felder ruhender Ladungen
1.1 Kraft und Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Kontinuierliche Ladungsverteilung . . . . . . . .
1.1.3 Kraftdichte und Ladungsdichte . . . . . . . . .
1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder . . . . . .
1.2.1 Quellbegriff, Ladungen als Quellen . . . . . . .
1.3 Berechnung elektrostatischer Felder . . . . . . . . . . .
1.3.1 Felder kugelsymmetrischer Ladungsverteilungen
1.4 Energien des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . .
1.4.1 Wechselwirkungsenergie . . . . . . . . . . . . .
1.5 Elektrische Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
5
5
6
6
9
10
11
12
13
2 Magnetfeld stationärer Ströme
2.1 Beschreibung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder . . . . . . . . . . . . .
2.3 Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme . . . . . . . . . .
2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole
2.4.1 Wechselwirkungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Zusammenstellung/Vergleich elektro- und magnetostat. Felder
2.4.3 Magnetische Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
19
21
22
22
22
3 Zeitabhängige Felder
3.1 Verschiebungsströme . . .
3.2 Induktion . . . . . . . . .
3.3 Transformator . . . . . . .
3.4 Elektromagnetische Wellen
24
24
25
25
27
2
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Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
1. Elektrische Felder ruhender Ladungen
1 Elektrische Felder ruhender Ladungen
1.1 Kraft und Feld
1.1.1 Punktladungen
• Punktladung ist eine Punktmasse (Idealisierung)
• Verwendung, wenn die Ausdehnung der Kugeln sehr klein ist gegenüber dem
Abstand der Kugeln
~r = ~r2 − ~r1
Experimente führen zur Formulierung des Couloumb-Gesetzes
q1 q2
~r
F~21 =
·
2
4πε0 r r
⇒ F21 = Kraft, die Ladung 2 durch die Anwesenheit der Ladung 1 erfährt
1
Vm
≈ 9 · 109
4πε0
As
2
(As) V m
V As
Ws
N ·m
[F ] =
=
=
=
=N
2
m As
m
m
m
Einheitensystem:
q1 q2 > 0 ⇒ abstoßende Kräfte
q1 q2 < 0 ⇒ abziehende Kräfte
Nahwirkungstheorie der elektromagnetischen Wechselwirkung:
~ 1 elektrisches Feld der Punktladung q1 am Ort der Punktladung
F~21 = q2 E
q2
~ 1 = q1~r
E
4πε0 r 3
~
allgemein: F~ = q E
~ r) =
E(~
q~r
4πε0 r 3
elektrisches Feld der Punktladung q am Ort ~r
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
3
1.1 Kraft und Feld
Verallgemeinerung: N Punktladungen qi wechselwirken mit der Probeladung q
Experimente:
X
X
X
~i = q
~ i ⇒ Prinzip der ungestörten Superposition (d.h.
F~ =
F~i =
qE
E
i
i
i
~ r) linear!)
Differentialgleichung zur Bestimmung von E(~
~ r) =
E(~
X qi (~r − ~ri )
4πε0 |~r − ~ri |3
i
Rückblick auf die Mechanik:
Couloumb-Kraft ist eine Zentralkraft mit Potential, also
~r
F~ (~r) = F (r)
r
ˆ r
V (r) = V0 −
dr ′F (r ′ )
r0
Behauptung:
q
≡ qϕ(r)
4πε0 r
q
ϕ(r) =
4πε0r
V (r) = q ·
Beweis:
q
~r
~ r ) = − ∂ ϕ(r) = − ∂ϕ · ∂~r =
E(~
·
2
∂~r
∂r ∂~r
4πε0 r r
Potentialflächen sind Kugelflächen
jetzt N Punktladungen:
Behauptung:
X
qi
ϕ(~r) =
4πε0 |~r − ~ri |
i
4
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
1.1 Kraft und Feld
~ r)
Beweis: E(~
=
−
∂
ϕ(~r)
∂~r
=
−
X qi
1
~r − ~ri
2
4πε0 |~r − ~ri | |~r − ~ri |
i
X qi
∂
1
∂
|~r − ~ri |
4πε0 ∂|~r − ~ri | |~r − ~ri | ∂~r
i
=
1.1.2 Kontinuierliche Ladungsverteilung
bestimmte Fläche bzw. Wolke im Raum - zur Veranschaulich/Vereinfachung aufge∆Q
teilt in viele kleine Zellen mit der Ladung ∆q = ̺∆V (̺ = ∆V
) ⇒ dq = ̺(~r)dV
Q=
ˆ
dq =
V
ˆ
̺(~r)dV
Beispiele:
• homogen geladene Kugel mit Radius R und Ladung Q:
̺=
3Q
4πR3
• homogen gelandener Vollzylinder mit Radius R, Höhe h und Ladung Q:
̺=
Q
πR2 h
1.1.3 Kraftdichte und Ladungsdichte
X
´
aus
qi wird dV ′ ̺(~r′ )
i
dV ′ ̺(~r′ )(~r − ~r′ )
4πε0 |~r − ~r′ |3
ˆ
dV ′ ̺(~r′ )
ϕ(~r) =
4πε0 |~r − ~r′ |
~ r) =
E(~
ˆ
~ = ̺(~r)E(~
~ r )dV = ̺(~r)E(~
~ r)dV = f~dV
Kraftdichte: dF~ = Edq
~
f~ = ̺E
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1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder
1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder
1.2.1 Quellbegriff, Ladungen als Quellen
Quellenbegriff: Abbildung: Feldlinien mit vielen einzelnen Ladungen → Tangenten
an Ladungen (unterschiedliche Längen)
• Tangente gibt Richtung des Vektorfeldes an
• Dichte der Feldlinien (pro Flächeneinheit - ⊥ zu den FL messbar) - ist Maß
für die Stärke des Feldes
Quelle: FL beginnen
Senke: FL enden (negative Quelle)
I∼
−
N↑↑
|{z}
Zahl austret. FL
Fälle:
N↓↓
|{z}
Zahl eintret. FL
• I = 0: es treten so viele FL ein wie aus → quellfrei
• I > 0: Feld enthält Quellen
~
beliebiges Volumen V : einzelne kleine Oberflächenteile dA:
‹
~ E(~
~ r)
∼ N↑↑ − N↓↓
dA
{z
}
|
~ r)
Quellstärke des Vektorfeldes E(~
Quellstärke=
‚
~ · E(~
~ r)
dA
Ladungen als Quellen (Kugel mit einzelner Punktladung im Mittelpunkt):
q~r
4πε0r 3
‹
˛
‹
‹
q
dA
~r
q
q
q
~
~
~
dΩ =
·
dA 3 =
=
dA · E(~r) =
2
4πε0
r
4πε0
r
4πε0
ε0
‹
dA⊥ Hinweis:
dA = r 2 dΩ ⇒ 4πR2
r 2 = dΩ
~ r) =
E(~
⇒Quellstärke unabhängig von Radius der Kugel, die die Punktladung enthält
6
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1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder
beliebiges Gebiet mit Punktladung (wie oben, nur ohne Symmetrie)
‹
~ E(~
~ r) =
dA
q
4πε0
‹
~ ~r
dA
q
r
=
2
r
4πε0
‹
dA⊥
q
=
2
r
4πε0
˛
dΩ =
q
ε0
~ ~r sowohl
beliebiges Gebiet mit Punktladung außerhalb - in diesem Fall dA⊥ = dA·
r
positiv wie negativ
‹
~E
~ =0
dA
Grund: Punktladung ist außerhalb der Fläche
N Punktladungen:
~ r) =
E(~
X
~ i (~r)
E
i
‹
~E
~ =
dA
X‹
~E
~i =
dA
i
X qk
ε0
q in V
k
Kontinuierliche Ladungsverteilung:
Man sucht sich einen Punkt x in V , von dem aus man den Vektor ~r aufspannt.
‹
ˆ
~ E(~
~ r ) = Qein =
ε0
dA
dV ̺(~r)
A
V
⇒ integrale Kenngröße
‹
ˆ
ˆ
ˆ
∂
~ E(~
~ r ) = ε0 dV E(~
~ r ) = ε0 dV divE(~
~ r) = dV ̺(~r)
Gaußscher Satz: ε0
dA
∂~r
A
~ r) = ∂ E(~
~ r ) = ̺(~r)
divE(~
∂~r
ε0
Rechnen mit Divergenzen:
∂
∂
∂
∂ ~
· (~ex Ex + ~ey Ey + ~ez Ez )
E(~r) = ~ex
+ ~ey
+ ~ez
∂~r
∂x
∂y
∂z
=
∂
∂
∂
Ex +
Ey + Ez
∂x
∂y
∂z
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1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder
Beispiele:
div~r = 3
div~r3 = 5r 2
div(~a~r)~r = 4(~a~r)
div(~a × ~r) = 0
~ r ) → Quellen ja, Wirbel?
E(~
• Wirbelbegriff:
~ 1 (~r) - klassisches Wirbelfeld
A
~
homogenes Feld
¸ mit Leiterschleife: A2 (~r) - ebenfalls Wirbelfeld
~ r) > 0 für inhomogenes Feld (Beträge der Feldlinien
Wirbelstärke: d~rA(~
oben größer als unten), = 0 für homogenes Feld
~ r) =
• Feld der Punktladung: E(~
˛
C
8
~ r) =
d~rE(~
q
4πε0
˛
C
q ~r
4πε0 r 2 r
d~r~er
r2
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1.3 Berechnung elektrostatischer Felder
Zerlegung von d~r in d~r|| + d~r⊥
q X
4πε0 i
ˆ
rio
riu
dr
=0
r2
Das Umlaufintegral über einen beliebigen Weg beim elektrostatischen Feld einer Punktladung ist 0.
Verallgemeinerung auf beliebige ̺(~r) → elektrostatische Felder sind
wirbelfrei
• Wirbeldichte: Umformung mit Satz von Stokes
˛
¨
∂
~ r) = ~0
~ r) =
~
× E(~
dA
d~rE(~
∂~r
(C)
bel. Flächemit Rand C
~ = ∂ × E(~
~ r) = ~0
rot E
∂~r
1.3 Berechnung elektrostatischer Felder
~ =? → elektrostatisches Potential als Hilfsmittel zur Feldberechnung - jedes
E
Gradientenfeld ist wirbelfrei
~ r ) = − ∂ ϕ(~r) ⇐ rot E
~ =0=−∂ × ∂ ϕ
E(~
∂~r
∂~r ∂~r
∂ ∂
∂ ~
= −ε0
ε0 E
ϕ = −ε∆ϕ(~r) = ̺(~r) (Poisson-Gl.)
∂~r
∂~r ∂~r
∂2
(∂~
r )2
=∆=
∂2
∂2
∂2
+ ∂y
2 + ∂z 2
∂x2
Lösung ˆder Poisson-Gleichung:
̺(~r′ )
ϕ(~r) = dV ′
4πε0 |~r − ~r′ |
ˆ
∂
̺(~r′ )(~r − ~r′ )
~
⇒ E(~r) = − ϕ = dV ′
∂~r
4πε0 |~r − ~r′ |3
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1.3 Berechnung elektrostatischer Felder
1.3.1 Felder kugelsymmetrischer Ladungsverteilungen
Kugelsymmetrie: ̺ hängt nur vom Betrag des Vektors r ab.
̺(~r) = ̺(r)
• auf Kugelflächen wirkt eine konstante Ladungsdichte
• elektrisches Feld senkrecht zur Kugeloberfläche:
~ r) = E(r) ~r
E(~
r
• Feldberechnung durch direkte Auswertung der Quellgleichung
‹
ˆ
~ E(~
~ r) =
ε0
dA
dV ′ ̺(r ′ )
V
‹
ˆ r
˛
~
r
2
~ E(r) = ε0 E(r)
dA = ε0 4πr E(r) =
dV ′ ̺(r ′ )
ε0 dA
r
0
ˆ r
′ ′2
′
4π
dr r ̺(r )
0
´ r ′ ′2 ′
dr r ̺(r )
E(r) = 0
ε0 r 2
=
Beispiel: elektrostatisches Feld und Potential/homogen geladene Kugel
(
4Q
r≤R
3
̺(r) = 4πR
0
r>R
E(r) =
(
r 3
R
Q
4πε0 r 2
Q
4πε0 r 2
̺(r) = ̺(∞) −
| {z }
0
ˆ
r≤R
r>R
r
E(r ′ )dr ′
∞
r
Q
Q
Q =
r > R : ̺(r) = −
dr
=
′2
′
4πε0 r
4πε0 r ∞ 4πε0 r
∞
ˆ r
ˆ r
Q
Qr ′
′
′
r < R : ̺(r) = ̺(R) −
E(r )dr =
−
dr ′
4πε0 R3
R
R
4πε0R
2
′2 r
2
Q
Q
Q
1r r
R
=
−
·
−
+
3
eπε0 R
4πε0 R 2 R2 R 4πε0 R3
2
2
10
ˆ
r
′
=
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
1.4 Energien des elektrostatischen Feldes
1.4 Energien des elektrostatischen Feldes
N Punktladungen der Stärke qi befinden sich im Unendlichen ⇒ kräftefrei, keine
Energie (sie sind alle voneinander ∞ weit entfernt) ⇒ jetzt werden die Punktladungen ins Endliche gebracht ⇒ Potential der Couloumb-Kraft tritt auf.
Vnm =
qn qm
4πε0 |~rn − ~rm |
⇒ die gesamte potentielle Energie der Ladungsverteilung erhalten wir durch Summation aller Paare:
X
X
qn qm
1X X
qn qm
Epot =
Vnm =
=
n6=m 4πε0 |~
4πε0 |~rn − ~rm |
2
rn − ~rm |
P aare
P aare
qn = ̺(~r)dV
n 6= m
Kontinuum:
qm = ̺(~r′ )dV ′
Epot
1
=
2
¨
dV dV ′ ̺(~r)̺(~r′ )
4πε0 |~r − ~r′ |
Feldtheorie: statisches Feld hat eine gewisse Energie ⇒ potentielle Energie
der Ladungsverteilung ist gleich Feldenergie Epot = EF
Umformungen (analoge Schreibweisen), um besser rechnen zu können:
ˆ
1
EF =
dV ̺(~r)ϕ(~r) (=Lösung der Poisson-Gleichung)
2
~
̺(~r) = ε0 divE
ˆ
ˆ
∂
∂ ~
ε0
∂
ε0
~ ϕ
dV
dV
E(~r) ϕ(~r) =
(Eϕ) − E
EF =
2
∂~r
2
∂~r
∂~r
‹
ˆ
ˆ
ε0 ~ 2
ε0
~ · Eϕ
~ + ε0 dV E
~ 2 = dV w(~r)
dA
mit w(~r) = E
=
2
2
2
|
{z
}
0
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
11
1.4 Energien des elektrostatischen Feldes
Feldenergie einer homogen geladenen Kugel: Selbstenergie
Q
·r r ≤R
4πε0 R3
Q
r≥R
Eaußen (r) =
4πε0 r 2
ˆ
ˆ
ε0 R 2
ε0 ∞ 2
EF =
Einnen (r)dV +
Eaußen (r)dV
2 0
2 R
2 ˆ R ˆ ∞
ε0
Q
1 2
r 2 2
=
r dr
4π
r dr +
4
2 4πε0
R3
0
R r
∞ !
R
1 1 r 5 Q2
− =
8πε0 5 R6 0
r
R
2
Q
1
1
=
+
8πε0 5R R
3 Q2
=
20 4πε0 R
Einnen (r) =
1.4.1 Wechselwirkungsenergie
̺(~r) = ̺1 (~r) + ̺2 (~r)
(1+2)
(1)
(2)
EW ≡ EF
− EF − EF
¨
(̺1 + ̺2 )(̺′1 + ̺′2 ) − ̺1 ̺′1 − ̺2 ̺′2
1
dV dV ′
=
2
4πε0 |~r − ~r′ |
¨
̺1 ̺′2 + ̺′1 ̺2
1
dV dV ′
=
2
4πε0 |~r − ~r′ |
¨
̺1 (~r)̺2 (~r′ )
=
dV dV ′
4πε0|~r − ~r′ |
ˆ
EW = dV ̺1 (~r)̺2 (~r)
ˆ
~ 1 (~r)E
~ 2 (~r)
EW = ε0 dV E
12
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
1.5 Elektrische Dipole
1.5 Elektrische Dipole
• ̺(~r): lokalisierte Ladungsverteilung (alle Ladungen sind innerhalb eines begrenzten Gebietes)
• wann sind nicht alle Einzelheiten dieser Verteilung wichtig?
1. für das Feld in großem Abstand
2. für die Verteilung in einem sich nur schwach ändernden äußeren Feld
• einfache integrale Kerngrößen:
´
1. Gesamtladung Q = dV ̺(~r) - für die Fälle 1. und 2. verhält sich dann
die lokalisierte Ladungsverteilung mit Q 6= 0 wie eine Punktladung
aber: Systeme mit Q = 0 sehr häufig!
trotzdem im allgemeinen keine Kompensation der positiven und
negativen Ladungen in ihren Wirkungen → unterschiedliche Verteilungen! → so können Ladungen im Mittel gegeneinander verschoben sein
→ ein solches System heißt elektrischer Dipol
2. elektrisches Dipolmoment: p~ =
´
dV ̺(~r)~r
– Verschiebung des Bezugspunkts: ~r → ~r − ~a ⇒ p~ → ~p − ~aQ
→ Invarianz von ~p für Q = 0
– getrennte Betrachtung positiver und negativer Ladungen → dann
wird die Betrachtung des Dipolmoments klarer:
̺+
̺−
̺ = ̺+ + ̺−
Q = Q+ + Q− = 0
ˆ
ˆ
~p = dV ̺+~r + dV ̺−~r
´
´
dV ̺+~r
dV ̺−~r
= Q+ ´
− ´
dV ̺+
dV ̺−
= Q+ (~r+ − ~r− )
Beispiele: Dipolmomente einfacher Ladungsverteilungen
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
13
1.5 Elektrische Dipole
• Potential des elektrischen Dipols:
lokalisierte Ladungsverteilung, Feld in großem Abstand - je weiter man weg
1 ~er ~r′
1
≈
+ 2 + ...
ist:
|~r − ~r′ |
r
r
ˆ
ˆ
dV ′ ̺(~r) ∼
Q
~er p
dV ′ ̺(~r′ ) 1 ~er ~r′
⇒ ϕ(~r) =
+ 2 =
+
=
′
4πε0|~r − ~r |
4πε0
r
r
4πε0r 4πε0 r 2
• Feldstärke des Dipolfeldes
~
r
~
p
1
∂
1
∂
1
∂
1
∂
~ r ) = − ϕ(~r) = −
E(~
=−
(~rp~) + (~rp~)
∂~r
4πε0 ∂~r r 3
4πε0 r 3 ∂~r
∂~r r 3
p~ − (~rp~) 3r ~rr
3(~er p~)~er − ~p
=
=−
3
4πε0 r
4πε0 r 3
• Dipol im äußeren Feld
EW =
´
dV ̺(~r)ϕ(~r)
̺(~r) 6= 0 :
∆ϕ = 0
Die felderzeugenden Ladungen befinden sich an anderen Orten als die
Ladungen, deren Wechselwirkung wir betrachten wollen.
∂
Taylor-Reihe: ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) + ~r
̺(~r)
∂~r
ˆ
~ 0 ~p = ϕ0 Q
~ − E0 ~p ⇒ −~pE
~0
EW = ϕ0 dV ̺ − E
• Kraft, Drehmoment
F~ =
ˆ
~ =
dV ̺E
ˆ
0
∂
∂
′
~ + ... = p~
~
~ 0 + ~r
E
E
E
∂~r
∂~r
0
0
dV ̺
ˆ
ˆ
~
~
~ = p~E
~
M = dV ~r × f = dV ~r × ̺~E
14
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
2. Magnetfeld stationärer Ströme
2 Magnetfeld stationärer Ströme
2.1 Beschreibung elektrischer Ströme
→ Strom=Änderung der Ladung in einer bestimmten Zeit
→ Stromdichte: Ladungen bewegen sich im Raum
I=
dq
dt
durch Fläche A
⇒ welcher Strom fließt durch welches Flächenelement?
Einführung einer Stromdichte: Richtung=Strömungsrichtung
dI
|~j| = j =
dA⊥
~ = dI
~j(~r) · dA
¨
~~j(~r) = I
dA
Q=
ˆ
dV ̺(~r)
anschauliche Darstellung der elektrischen Stromdichte ⇒ strömende Ladungen ̺(~r, t) bewegen sich mit Geschwindigkeit ~v (~r, t)
dq - Ladungen im Volumen bewegt sich innerhalb einer kleinen Zeit dt durch die
Fläche dA:
~
dq
̺~v dtdA
dI =
=
= ̺~v dA
dt
dt
X
X P qi~vi
X
~ji =
̺i~vi =
̺i P
⇒ ~j = ̺~v =
= ̺~v
̺
i
i
i
i
Zusammenfassung: Die Stromdichte hat die Bedeutung eines auf die Fläche
bezogenen Stroms (eine flächenhafte Dichte)
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
15
2.1 Beschreibung elektrischer Ströme
Ladungserhaltung: globale Formulierung: es gibt keine physikalische Prozesse, die
die Gesamtladung ändern können → die Ladung im gesamten Raum ist konstant
(Q∞ =konst.) → für ein endliches von einer geschlossenen Oberfläche begrenztes
Raumgebiet gilt: Q(t) in V i.a. zeitabhängig:
ˆ
Q(t) =
dV ̺(~r, t)
V
I(t) =
‹
Q̇ +
~~j(~r, t)
dA
˛
I=0
ˆ
‹
d
~~j(~r, t)
dV ̺(~r, t) +
dA
dt
ˆ
∂̺
+ divj = 0
⇒ Satz von Gauß: dV
∂t
∂
∂̺
+ div~j = ̺˙ + ~j = 0
∂t
∂~r
(Kontinuitätsgleichung)
Statische Probleme: Ladungsdichte ̺ unabhängig: ̺˙ = Q̇ = 0, dann gilt
‚
~~j = 0 bzw. ∂~j = 0 → Strömungsfeld ist quellfrei, meistens ~j dann auch
dA
∂~
r
zeitunabhängig → stationäre Strömung
‹
X
X¨
~~j =
~
~
dA
In = 0
Knotensatz:
dAj =
n
16
An
n
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
2.2 Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder
2.2 Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder
Experiment:
I1
I2
a
→ Anziehung bei gleichsinnigen Strömen
→ Abstoßung bei ungleichsinnigen Strömen
F
I1 I2
Vs
= µ0
µ0 = 4π · 10−7
L
2πa
Am
Energie
VAs
Kraft
[µ0 ] =
2 =
2 =
Strom
mA2
Länge(Strom)
Einführung eines magnetischen Feldes
~ → Rechtsschraube (Pseudovektor)
B
Vergleich
Kräfte zwischen Ladungen
q1 q2
= E1 q2
Fel =
4πε0 r 2
q1
→ F = qE
E1 =
4πε0 r 2
Kräfte zwischen Strömen
I1 I2 L
Fmag = µ02πa
= B1 I2 L
B1 =
µI1
2πa
~
→ F = BIL → F~ = IL~h × B
Wirbel eines elektromagnetischen Feldes
~ r) =
B(~
µ0 I ~e×~
r
2π |~
e×~
r |2
→ Magnetfeld eines sehr dünnen Drahtes
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
17
2.2 Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder
Untersuchung der Wirbel
˛
~ =
d~rB
˛
a) spezieller Weg längs einer Feldlinie:
|d~r|B = B · 2πa = µ0 I
˛
˛
˛
d~r ~e × ~r
d~r(~e × ~r)
µI
µI
~
=
b) beliebiger Weg
d~rB =
2
2π C |~e × ~r|
2π
|~e × ~r| |~e × ~r|
˛
˛C
µI
d~r
µI
dϕ = µ0 I
~eϕ =
2π
|~e × ~r|
2π
˛
X
1
~ =
c) mehrere gerade Ströme: d~rB
µ0 Ik
0 k
k
X
c=
µ0 In
=
n
Verallgemeinerung:
˛
~ = µ0
d~rB
¨
~~j
dA
A
Durchflutungssatz → muss für beliebige Flächen über gleiche Randkurve
gleichen Wert haben
¨
¨
~ 2~j
~ 1~j =
dA
dA
A1
A2
Der Durchflutungssatz gilt nur streng für statische Magnetfelder und damit für
stationäre Ströme.
˛
¨
¨
∂
~
~
~
~~j
Stokes’scher Satz:
d~rB =
dA
× B = µ0
dA
∂~r
C
Quellen eines elektromagnetischen Feldes:
‹
~ B(~
~ r) = 0 divB(~
~ r ) = ∂ B(~
~ r) = 0 → magnetisches Feld immer quellfrei
dA
∂~r
‹
ˆ
∂ ~
~
~
differentielle Formulierung:
dAB =
dV B
=0
∂~r
V
Quellfreiheit nachrechnen:
~e × ~r
−y~ex
x~ex
y
∂
∂
∂
∂
= ~ex
+ ~ey
= −
+
∂~r |~e × ~r|2 ∂x x2 + y 2
∂y x2 + y 2
∂x x2 + y 2
x
2xy − 2yx
∂
= 2
=0
2
2
∂y x + y
(x + y 2)2
18
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
2.3 Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme
Kraftdichte:
´
˜
~ ⇒ dV ~j × B
~ = L dA~j = L · I~e
F~mg = IL~e × B
´
~ = F~mg =
dV ~j × B
~
f~mg = ~j × B
~
f~el = ̺E
´
dV f~mg
~ ⇒ F~mg =
~j = ̺~v ⇒ f~mg = ̺~v × B
´
~ = q~v × B
~
dV ̺~v × B
~
F~el = q E
2.3 Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme
Vektorpotential
Ausgangsgleichungen:
∂ ~
∂
~ = µ0~j
B=0
×B
∂~r
∂~r
∂
∂
∂
∂
~ =
~ =
~ r) →
~ r ) = div rotA
~
Ansatz: B
B
× A(~
× A(~
∂~r
∂~r
∂~r ∂~r
→ ein reines Wirbelfeld hat niemals Quellen!
~ r ) - sogenanntes Vektorpotential aus 1. Gleichung berechenbar, nicht einA(~
~ r ) → A(~
~ r ) + ∂ f (~r)
deutig: A(~
∂~
r
~ r) =
B(~
∂
∂~
r
~→
×A
∂
∂~
r
~+
×A
∂
∂
× f
|∂~r {z∂~r }
=0 - Eichtransformation
~
∂A
=0
Nebenbedingung:
∂~r
∂
∂
~ = µ0~j
×
×A
∂~r
∂~r
∂ ~
∂
~ = µ0~j
A − ∆A
∂~r ∂~r
ˆ
dV ′~j(~r′ )
~
A(~r) = µ0
4π|~r − ~r′ |
→ magnetische Poisson-Gleichung“
”
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
19
2.3 Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme
∂
~ r ) = µ0
× A(~
B(~r) =
∂~r
4π
ˆ
dV
′
1
|~r − ~r′ |
× ~j(~r′ )
∂ 1
∂
1 ~r
1
1
~r − ~r′
=− 2 ⇒
=
−
∂~r r
r
∂~r |~r − ~r′ |
|~r − ~r′ |2 |~r − ~r′ |
ˆ
µ0
dV ′~j(~r′ )
~r − ~r′
B(~r) =
×
⇒ Gesetz von Biot-Savart
4π
|~r − ~r′ |2
|~r − ~r′ |
NR:
Feld stromdurchflossender Drähte
⇒ dann Vereinfachungen möglich (Drähte sollen dünn“ sein)
”
ˆ
dV ′~j(~s′ )
~ r ) = µ0
⇒ d~s ist ein gerichtetes Linienelement d. Drahtes
A(~
4π|~r − ~s|
~ F l · d~s
d~s||~j(~s) ⇒ dV ′ = dA
ˆ
′~
dV j(~s) ⇒
ˆ ˆ ˆ
~
~
~
~
dAF l · d~s j(~s) ⇒
dAF l · j d~s = I d~s
~ r ) = µ0 I
A(~
ˆ
d~s
4π|~r − ~s|
~ r ) = µ0 I
B(~
ˆ
d~s × (~r − ~s)
|~r − ~s|3
~ ~0) = µ0 I
B(
R3
ˆ
d~s × (−~s)
Felder einfacher Stromverteilungen (Felder mit Zylindersymmetrie)
~j(~r) = ~j(r⊥ )~e
~ r ) = B(r⊥ ) ~e × ~r
B(~
|~e × ~r|
˛
‹
~ r ) = µ0
~~j(~r)
d~rB(~
dA
20
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole
ˆ
r⊥
′
′
′
2πr⊥ · B(r⊥ ) = µ0 2π
dr⊥
· r⊥
j(r⊥
)
0
ˆ
µ 0 r⊥ ′
′
dr⊥ · r⊥
· j(r⊥ )
B(r⊥ ) =
r⊥ 0
Beispiel: Draht mit Dicke 2R, Strom I, konstante Stromdichte (j =
Draht
′2 r⊥
µ 0 I r⊥
= µ0 Ir⊥
B(r⊥ ) =
r⊥ < R
2
r⊥ πR 2 0
2πR2
B(r⊥ ) =
µ0 I
2πr⊥
I
)
πR2
im
r⊥ > R
2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und
magn. Dipole
ˆ
analog zum elektrischen Fall: EF =
ˆ
∂ ~ ~
∂ ~ ~
1
dV
A×B −
A×B
2µ0
∂~r
∂~r
‹
1
=
2
~ r)
dV ~j(~r)A(~
µ0
=
2
‹
ˆ
~
dV B
∂
~ =
×A
∂~r
ˆ
1
∂
~
~
~
~
~
dAF A × B +
dV A
×B
2µ0
∂~r
1
=
2µ0
ˆ
1 ~2
1
dV
B (~r) ⇒
2µ0
2µ0
dV dV ′~j(~r)~j(~r′ )
4π|~r − ~r′ |
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
21
2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole
2.4.1 Wechselwirkungsenergie
(1)
(2)
2 Felder ~j1 (~r) und ~j2 (~r) ⇒ EF = EF + EF + EW = µ0
´
´
~ 1 (~r)B
~ 2 (~r)
~ 2 (~r) = 1 dV B
dV ~j1 (~r)A
µ0
‚
r )~j2 (~
r′ )
dV dV ′~j1 (~
4π|~
r−~
r′ |
=
2.4.2 Zusammenstellung/Vergleich elektro- und magnetostat. Felder
erzeugt von
statisch elektrisches Feld
̺(~r) (Ladung)
Quellen
∂ ~
E=̺
ε ∂~
r
∂
∂~
r
Wirbel:
statisches magnetisches Feld
~j(~r) (Ströme)
∂ ~
B
∂~
r
~ = ~0
×E
∂
∂~
r
=0
~ = µ0~j
×B
Kräfte:
~
f~el = ̺E
~ = ̺~v × B
~
f~mg = ~j × B
Potentialansatz:
~ =−∂ϕ
E
∂~
r
−ε0 ∆ϕ = ̺
~ = ∂ ×A
~
B
∂~
r
~ = µ0~j
−∆A
Lösung
ϕ(~r) =
´
dV ′ ̺(~
r′ )
4πε0 |~
r−~
r′ |
~ r ) = µ0
A(~
´
r′ )
dV ′~j(~
4π|~
r −~
r′ |
2.4.3 Magnetische Dipole
2 Voraussetzungen müssen erfüllt sein
a) Stationarität
b) Lokalisiertheit
Untersuchung einfacher integraler Kenngrößen
ˆ
˛
~
(1) dV j ⇒ ∆I d~s = ~0
ˆ
˛
~
(2) dV j(~r)~r ⇒ ∆I d~s · ~s
ˆ
ˆ
1
1
~
~
(3)
dV ~r × j ⇒ I ~s × d~s = m
~ = IA
2
2
22
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole
Dipolfeld: völlige Analogie zu den Überlegungen beim elektrischen Dipol:
~ Dipol (~r) ≈ µ0 (m
~ × ~er )
A
4πr 2
~ er ) − m
~
~ r) = ∂ × A
~ Dipol (~r) ≈ 3~er (m~
B(~
−1
3
∂~r
4πr µ0
~ =m
~
Dipol im äußeren Feld: M
~ ×B
∂
~
F~ = m
~
B
∂~r
0
~
EW = +m
~ B = −Epot
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
23
3. Zeitabhängige Felder
3 Zeitabhängige Felder
3.1 Verschiebungsströme
Ladungserhaltung (2.1) + Durchflutungssatz (2.2)
~˙
Bestimmung des Verschiebungsstroms“ ~jv = ε0 E
”
‹
~ ~j + ~jv ] = 0
es gilt:
dA[
ˆ
‹
d
~~j(~r, t) = 0
andererseits: Ladungserhaltungssatz:
dV ̺(~r, t) +
dA
dt V
A
ˆ
~˙
~˙ ‹
∂E
∂E
~~j = 0
ε0
= ̺˙ = ε0 dV
+
dA
∂~
r
∂~
r
−−‹
−−−−→h
i
~ ε0 E
~˙ + ~j = 0
=
dA
verallgemeinerter Durchflutungssatz:
˛
¨
~
~ ~j + ε0 E
~˙
d~rB = µ0
dA
C
∂
˙
~
~
~
× B = µ0 j + ε0 E
∂~r
Beispiel: Kondensatoraufladung als Beispiel für die Existenz des Verschiebungsstroms
einfacher Plattenkondensator am Stromkreis
linke Platte: Q̇+ = I = −Q̇−
‹
~E
~ = Q+ = ε0 AE
Quellgleichung: ε0
dA
Ladungserhaltungssatz: Q̇+ = I = ε0 ĖA
Berechnung des Verschiebungsstroms: Iv =
¨
24
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
~~jv =
dA
¨
~ E
~˙ = ε0 ĖA
dAε
3.2 Induktion
3.2 Induktion
Induktion bei fester Leiterschleife
~
Wir erzeugen ein zeitabhängiges Magnetfeld, indem wir ein inhomogenes B-Feld
ständig räumlich verschieben.
In diesem zeitabhängigen Magnetfeld befindet sich eine feste Leiterschleife, an
deren Ende die feste Spannung U gemessen wird. Für diese induzierte Spannung
~
ist offensichtlich nicht das B-Feld
sondern die zeitliche Änderung der magnetischen
Feldlinienzahl (Feldfluß) verantwortlich.
˛
‹
~+
~B
~˙ = 0
dE
dA
A
Umformung mit dem Integralsatz von Stokes:
¨
∂
∂
˙
~
~
~ = −B
~˙
~
×E+B =0→
×E
→
dA
∂~r
∂~r
Konsistenz-Bedingung:
‹
~B
~˙ = 0 → ∂ B
~ =0
~˙ = 0 erfüllt wegen ∂ B
dA
∂~r
∂~r
→ Experiment zeigt, dass es für den Induktionseffekt gleichgültig ist, ob die
Feldspule oder die Induktionsspule bewegt wird.
3.3 Transformator
...
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
25
3.3 Transformator
Zusammenfassung
~ r, t)
E(~
~ r, t)
B(~
Quellen
∂ ~
̺
E=
∂~r
ε0
∂ ~
B=0
∂~r
Wirbel
∂
~ +B
~˙ = ~0
×E
∂~r
∂
~ = µ0~j + µ0 ε0 E
~˙
×B
∂~r
Lorentz-Konvention:
~
1
∂A
ϕ̇
+
=0
c2
∂~r
∂
~˙ = µ0~j
~ − 1E
×B
∂~r c2 ∂
1 ~¨ ∂ ϕ̇
∂
= µ0~j
×
×A + 2 A+
∂~r
∂~r
c
∂~r
|
{z
}
∂ ~
∂
~
A
−∆·
A
)
(
∂~
r ∂~
r
"
#
2
~
1 ∂
∂
ϕ̇
∂
A
~+
= µ0~j
−∆ A
+
c2 ∂t2
∂~r c2
∂~r
{z
}
|
0
~ r, t) = µ0~j(~r, t)
A(~
ϕ(~r, t) = ϕ(~r, t)ε0
26
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007
3.4 Elektromagnetische Wellen
3.4 Elektromagnetische Wellen
• Wellengleichungen im Vakuum (homogene Wellengleichung) ̺(~r) = 0, ~j(~r) = ~0
∂
~ =0
~ = −B
~ , (3) ∂ E
×E
∂~r
∂~r
∂
~ =0
~ = µ0 ε0 E
~ , (4) ∂ B
(2)
×B
∂~r
∂~r
~˙ + ∂ E
~ =0
B
∂~r
~¨ + ∂ × E
~ =0
B
∂~r
1
∂
∂
¨
~ =0
~+
×
×B
B
∂~r
µ0 ε0 ∂~r
h
i
~
~
~
~a × (b × ~c) = b(~a~c) − ~c(~ab)
(1)
1
∂2 ~
∂
∂ ~
¨
~
B+
B − 2B
µ0 ε0 ∂~r ∂~r
∂~r
2
1
∂
¨
2
~ − c ∆B
~ = ~0,
~ = ~0
B
−∆ B
c2 ∂t2
1 ∂2
≡ 2 2 −∆
c ∂t
~ = ~0
B
das Gleiche fürs E-Feld
(2) nach t ableiten
~˙ = 0
~¨ − ∂ × B
µ0 ε0 E
∂~r
(1) einsetzen
1 ~¨
∂
∂
~ = ~0
E+
×
×E
c2
∂~r
∂~r
∂
∂
1 ~¨
~ − ∆E
~ = ~0
E+
×E
c2
∂~r ∂~r
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27
3.4 Elektromagnetische Wellen
mit (3):
1 ∂2 ~
~ =0
E − ∆E
c2 ∂t2
~ = ~0 und B
~ = ~0 sind homogene Wellengleichungen. Als nächstes
→ E
Untersuchung der Lösungen für den einfachsten Fall.
• skalare ebene Wellen
∂2
1 ∂2
f − 2f = 0
f = 0 ⇔
c2 ∂t2
∂x
Was wissen wir über die Gleichung?
einache Differentialgleichungen
homogen
keine Dämpfung
Superpositionsprinzip
1∂
1∂
∂
∂
(5)
f =0
+
+
c ∂t ∂x
c ∂t ∂x
–
–
–
–
⇒ f = 0 ist erfüllt für
1∂
∂
f =0
±
c ∂t ∂x
⇒ allgemeine Lösung: f (x, t) = f (x ± ct)
Probe:
1∂
1∂
1 df du
∂
∂
df du
f (x − ct) =
f (u(x, t)) =
+
+
+
=
c ∂t ∂x
c ∂t ∂x
c du dt
du dx
1 ′
f (−c) + f ′ (1) = −f ′ + f ′ = 0
c
⇒ Superposition ist ebenfalls Lösung
f (x, t) = f1 (x − ct) + f2 (x + ct)
[f (x, t) = (f1 + f2 ) = f1 + f2 = 0]
28
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3.4 Elektromagnetische Wellen
f1 (x − ct) ist eine nach rechts laufende Welle
2
1
f1 (x)
−2
−1
f2 (x − ct)
0
1
2
3
4
Flächen gleicher Phase bewegen sich mit Geschwindigkeit c nach rechts
• periodisch ebene Wellen
f1 (x − ct) = A cos(kx − ωt)
⇒ ω = ck (Dispersionsrelation)
ω - Kreisfrequenz
k - reziproke Wellenlänge, Wellenzahl
→ Untersuchung periodischer Wellen
x =const, fx (t) ∼ cos(ωt) + αx )
festem Ort
→ zeitliche Erscheinung der Welle an
t =const, ft (x) ∼ cos(kx + αt )
bei fester Zeit
→ räumliche Erscheinung der Welle
Verallgemeinerung: Ausbreitungsrichtung e
x → ~e · ~r, (x = ~ex · ~r)
f = 0 ⇒ f = f (~e · ~r − ct) ist eine ebene Welle in ~e-Richtung
Lösung der homogenen Wellengleichung
Wleche Eigenschaften haben ebene elektromagnetiosche Wellen? Dazu
Lösungen der homogenen Wellengleichungen in Maxwell-Gleichungen einsetzen:
~˙ + ∂ × E
~ = ~0, u = ~e~r − ct
B
∂~r
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29
3.4 Elektromagnetische Wellen
~ du
~
dB
dE
+ ~e ×
= ~0
du dt
du
~ ′ + ~e × E
~ ′ = ~0
− cB
∂
1 ~˙
~ = ~0
E−
×B
2
c
∂~r
1 ~′
~′ = 0
− E
− ~e × B
c
30
Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 2007