Mikrowellen - Bauelemente und stehende Wellen in Koaxialkabeln

- Institut für Angewandte Physik -
Experiment:
Mikrowellen - Bauelemente und
stehende Wellen in Koaxialkabeln
Janis Benscheidt – Version 1.0
Jörg Imbrock – Version 1.1
26. Oktober 2010
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Hochfrequenztechnik zu Hause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ein wenig Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Hilfseinheit Bel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundlagen der Leitungstheorie
2.1 Die stationären Leitungsgleichungen . . . . . .
2.2 Wellenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Reflexionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Mehrfachreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Bauteile der Hochfrequenztechnik . . . . . . . .
2.6.1 Verschiedene homogene Doppelleitungen
2.6.2 Richtkoppler . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Zirkulator . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Isolator (Richtleitung) . . . . . . . . . .
2.6.5 Diode bzw. Detektor . . . . . . . . . . .
3 Das
3.1
3.2
3.3
3
3
3
4
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5
5
6
6
7
8
10
10
12
13
14
14
Experiment
Equipment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorausgesetzte Kenntnisse . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Das Messequipment (Diode / Detektor) . .
3.3.2 Bauteile der Hochfrequenztechnik . . . . . .
3.3.3 Messen der stehenden Wellen / Resonanzen
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15
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16
16
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19
4 Quellenverzeichnis
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22
2
1.1 Hochfrequenztechnik zu Hause
1 Einleitung
1.1 Hochfrequenztechnik zu Hause
Die Datenübertragung ist heute wohl jedem ein Begriff, vor allem bei Telefon, Internet und Fernsehen. Dies alles sind klassisch kabelgebundene Medien, die heute auch kabellos funktionieren.
Wir beschäftigen uns hier mit der kabelgebundenen Variante, denn auch bei der Datenübertragung im Kabel steigen die Anforderungen immer weiter. Heute gilt es auch im Konsumerbereich
immer mehr Daten, immer schneller und weiter zu übertragen. Begnügte man sich einst beim
Internet mit einem 28k- oder 56k-Modem, muss es heute schon mindestens die 6 MBit/s oder
besser die 50 MBit/s Internet-Leitung sein. Aber dies sind nicht die größten Datenmengen, welche heute in Haushalten übertragen werden. Als aktuelles Beispiel ist hier nur HDMI zu nennen,
der neue Übertragungsstandard in der Unterhaltungsindustrie für Bild und Ton. In seiner aktuellen Version, HDMI 1.4, erlaubt er auf drei seriellen Übertragungskanälen eine Datenrate von
10,2 GBit/s, also pro Kanal eine Übertragungsrate von 3,4 GBit/s. Und dies ist sicher nicht das
Ende. Selbstverständlich ist die Übertragung solch großer Datenmengen auch nur mit entsprechend hohen Trägerfrequenzen möglich. Somit wandert die Hoch-bzw. Höchstfrequenztechnik
aus Industrie und Forschung zunehmends immer mehr in die Haushalte und gewinnt auch für
den Anwender immer mehr an Bedeutung.
1.2 Ein wenig Geschichte
Die Entdeckung von Christian Oerstedt (1820 ), dass die Elektrizität mit dem Magnetismus eng
in Zusammenhang steht, erweiterte der Engländer Michael Faraday (1836/37 ) um die Theorie
des elektrischen und des magnetischen Feldes. Er schaffte es allerdings nicht diese Theorie in eine
Mathematische Form zu bringen. Dies gelang erst dem schottischen Mathematiker und Physiker
James Clerk Maxwell (1864/65 ). Er entwickelte zu Beginn der 60er Jahre des 19. Jahrhunderts
Abbildung 1.1: Die vier Maxwell-Gleichungen in differentieller Form auf einem T-Shirt
einen Satz von Differentialgleichungen, welche heute als die "Maxwell-Gleichungen" bekannt
sind. Diese beschreiben den Elektromagnetismus in seiner Gänze. Aus diesen Gleichungen sagte
Maxwell auch die Existenz elektromagnetischer Wellen, welche sich im freien Raum (damals:
3
1.3 Hilfseinheit Bel
im Äther) ausbreiten können, voraus. Diese konnte der deutsche Heinrich Hertz 22 Jahre später
auch experimentell nachweisen. Hierzu sei nur das Stichwort "Hertz’scher Oszillator" genannt.
Außerdem erkannte Maxwell an seinen Gleichungen, dass sich eine elektromagnetische Welle wie
das Licht verhält. Er schloss daraus, dass das Licht auch eine elektromagnetische Welle ist. Dies
zeigte Heinrich Hertz anhand von Reflexions- und Polarisationsexperimenten.
1.3 Hilfseinheit Bel
In der Leitungstheorie geht es oft nicht um absolute sondern um relative Größen. Zudem haben
sich logarithmische Einheiten hier oft als übersichtlicher bewährt. So wird das Relativmaß R in
der Einheit Bel (B) angegeben. Sie ist nach Alexander Graham Bell benannte, der bei den ersten
Schritten des Telefons maßgeblich beteiligt war. Das Bel gibt ein Verhältnis zweier Energiegrößen
(hier meist die elektrische Leistung P ) im dekadischen Logarithmus an. Gebräuchlich ist heute
das zehntel Bel, das Dezibel (dB).
R = log10
P2
P1
P2
B = 10 · lg
P1
dB
(1.1)
Mit P = U · I und U = Z · I gilt dem zufolge:
R = 10 · lg
U2
U1
2
dB = 20 · lg
U2
U1
dB .
(1.2)
In Bel werden auch absolute Pegel (L) angegeben, um einen großen Bereich übersichtlich zu
erfassen. Damit nun einen feste Größe mit einem Bel verbunden werden kann ist P2 eine feste
Referenzgröße (Pref ):
L = 10 · lg
P
Pref
!
dB = 20 · lg
U
Uref
!
dB .
(1.3)
So wird zum Beispiel auch der Leistungspegel in dBm angegeben, wie er an vielen wissenschaftlichen Geräten verwendet wird. Die Referenzgröße ist beim dBm genau 1 mW:
LP
= 10 · lg
P
= 10
P
1 mW
LP
10 dBm
· 1 dBm ,
(1.4)
· 1 mW .
(1.5)
Tabelle 1.2 gibt eine Übersicht über typische Leistungspegel.
Leistung in dBm
15 dBm
10 dBm
3 dBm
0 dBm
-3 dBm
-10 dBm
-15 dBm
-20 dBm
Leistung
ca. 31,6
10
ca. 2,0
1
ca. 0,50
0,10
ca. 0,03
0,01
in mW
mW
mW
mW
mW
mW
mW
mW
mW
Abbildung 1.2: Leistungspegel in dBm und in mW
4
2.1 Die stationären Leitungsgleichungen
2 Grundlagen der Leitungstheorie
Folgende Theorie ist den Maxwell-Gleichungen entnommen. Mit ihnen werden die Mikrowellen
als elektromagnetische Wellen mit ihrem E- und B-Feld betrachtet. Für diese Felder müssen an
Grenzflächen gewisse Bedingungen erfüllt sein. Die Größen des E- und B-Feldes lassen sich so auf
die aus der Elektrotechnik bekannten Größen der Spannung U und der Stromstärke I reduzieren.
Dies ist jedoch nur bei den hier behandelten transversalelektromagnetischen Leitern (TEMLeitern) möglich. TEM-Leiter erfordern immer einen Hin- und einen Rückleiter (=Doppelleiter).
Betrachtet wird im folgenden also immer ein homogener Doppelleiter. Des Weiteren wird von
stationären Zuständen ausgegangen. Einschwingvorgänge werden also vernachlässigt, so dass wir
Strom und Spannung mit einer einfachen Zeitabhängigkeit darstellen können:
I(x, t) = I(x) · eiωt
U (x, t) = U (x) · eiωt .
(2.1)
Dies führt dazu, dass zeitliche Ableitungen von Spannung und Strom nur den Vorfaktor iω
hinzufügen und somit die Lösungen stark vereinfachen. Des Weiteren fällt der Term eiωt in
Berechnungen häufig heraus, so dass die Zeitabhängigkeit in den meisten Fällen nicht explizit
betrachtet werden muss.
2.1 Die stationären Leitungsgleichungen
Ein homogener Leiterabschnitt der Länge ∆x wird durch das Ersatzschaltbild aus Abbildung 2.1
beschrieben. Ein Leiterabschnitt lässt sich danach durch vier komplexe Widerstände (Impedanzen) beschreiben. Diese werden als längenbezogene Größen (Beläge) definiert. Bei verlustlosen
R' x
L' x
C' x
G' x
x
x+ x
Abbildung 2.1: Das Ersatzschaltbild eines Leitungsabschnittes der Länge ∆x
Leitungen ist dies der Induktivitätsbelag L’ (in H/m) und der Kapazitätsbelag C’ (in F/m). Bei
verlustbehafteten Leitungen kommt der Widerstandsbelag R’ (in Ω /m) und der Ableitungsbelag G’ (in S/m = 1/Ωm) hinzu. Die Ersatzschaltung stellt somit ein lineares zeitinvariantes
System (LTI-System) dar. Somit ist die Übertragungsfunktion eine ausreichende Beschreibung.
Die Übertragungsfunktion erhält man mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln, wobei zu beachten
ist, dass G0 ∆x das inverse eines Widerstandes ist:
Maschenregel ⇒ U (x + ∆x) − U (x) = −(R0 + iωL0 ) · I(x)∆x ,
0
0
Knotenregel ⇒ I(x + ∆x) − I(x) = −(G + iωC ) · U (x)∆x .
(2.2a)
(2.2b)
5
2.2 Wellenwiderstand
Durch den Übergang zu infinitesimalen Kabelstücken (∆x → 0) folgen zwei gekoppelte Differentialgleichungen erster Ordnung, welche stationäre Leitungsgleichungen genannt werden:
dU (x)
dx
dI(x)
dx
= −(R0 + iωL0 ) · I(x) ,
(2.3a)
= −(G0 + iωC 0 ) · U (x) .
(2.3b)
Diese können durch den Ansatz einer hin- (Uh ) und einer rücklaufenden (Ur ) Welle gelöst werden:
U (x)
I(x)
mit
=
=
γ :=
Uh · e−γx + Ur · eγx ,
Ih · e
q
−γx
(2.4a)
γx
− Ir · e
(2.4b)
(R0 + iωL0 )(G0 + iωC 0 ) = α + iβ .
Der Exponent γ ist der Ausbreitungskoeffizient und beschreibt die Ausbreitung der Welle. Dabei
ist α ∈ R≥0 der Dämpfungskoeffizient, welcher oft in Dezibel pro Meter (dB/m) angegeben wird:
α̃ = 20 · lg(eα ) dB = α · 20 · lg(e) dB .
(2.5)
2.2 Wellenwiderstand
An den Leitungsgleichungen (Gleichungen 2.3) sieht man, dass Spannung und Strom voneinander
abhängen. Der Zusammenhang wird deutlich, wenn man Gleichung 2.3a nach I(x) auflöst und
die Ableitung der Lösung 2.4a einsetzt:
I(x) =
Uh e−γx Ur eγx
γ
−γx
γx =
−
.
U
e
−
U
e
r
h
R0 + iωL0
ZL
ZL
(2.6)
Vergleicht man Gleichung 2.6 mit Gleichung 2.4b sieht man, dass zwischen Strom und Spannung
nur ein frequenzabhängiger Faktor liegt. Dieser ist definiert als der Wellenwiderstand der Leitung
oder auch als der Leitungswellenwiderstand:
U (x)
ZL :=
=
I(x)
γ
0
R + iωL0
s
−1
=
R0 + iωL0
.
G0 + iωC 0
(2.7)
Somit ist der Leitungswellenwiderstand nur von den Belägen der Leitung, also der Geometrie und
dem Material des Leiters abhängig. Häufig werden der Einfachheit halber verlustlose Leitungen
betrachtet. Dann vereinfacht sich der Leitungswellenwiderstand mit R0 = G0 = 0 zu
s
ZL =
iωL0
=
iωC 0
s
L0
.
C0
(2.8)
2.3 Reflexionskoeffizient
Es war bisher häufig die Rede von hin- und rücklaufenden Wellen. Die hinlaufende Welle ist
dann das Signal, welches übertragen werden soll. Die rücklaufende Welle jedoch ist eine meist
unerwünschte Welle, welche durch Reflexionen entsteht. Bei einer homogenen Leitung können
Reflexionen nur an Leitungsenden auftreten. Um die Reflexionen genauer beschreiben zu können,
definiert man den Reflexionskoeffizient r:
r(x) :=
Ur · eγx
.
Uh · e−γx
(2.9)
6
2.4 Stehende Wellen
Nun legen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit das Ende des Leiters an die Stelle x = 0,
da nur die Reflexionen am Leitungsende auftreten. Dann folgt aus Gleichung 2.4a und 2.6:
U (0) = Uh + Ur
und
I(0) = Ih − Ir =
Uh − Ur
.
ZL
(2.10)
Zusätzlich gilt an dem Abschlusswiderstand Za , welcher an der Stelle x = 0 liegt, nach dem
komplexen Ohm’schen Gesetz
U (0) = Za · I(0) .
(2.11)
Nun liefert Gleichung 2.11, wenn man die Gleichungen 2.10 einsetzt und entsprechend umformt,
folgende Beziehung für den Reflexionskoeffizienten am Kabelende (x = 0):
r=
Ur
Za + ZL
.
=
Uh
Za − ZL
(2.12)
Der Reflexionskoeffizient ist im Allgemeinen eine komplexe Größe. Ein Kabel gilt als korrekt
abgeschlossen, wenn keine Reflexion entsteht. Dazu muss nach Gleichung 2.12 Za = ZL gelten.
Bei einem offenen Leiterende geht Za gegen ∞ und der Reflexionsfaktor geht somit gegen 1 und
bei einem kurzgeschlossenen Leiterende geht ZA gegen 0 und der Reflexionsfaktor gegen −1.
2.4 Stehende Wellen
Eine stehende Welle entsteht durch die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz, welche
sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten. Diese geschieht in einem Leiter durch Reflexion.
Die Amplitude der reflektierten Welle hängt dabei von dem Reflexionskoeffizienten r ab. Bei
Abbildung 2.2: Die Überlagerung der einlaufwenden Welle (blau) und der reflektierten Welle
(rot) mit r = −1 = 1 · eiπ am rechten Ende, also einem Phasensprung von 180◦ ,
bildet eine stehende Welle (schwarz) mit festen Knotenpunkten (rot).
einer idealen stehenden Welle muss vollständige Reflexion auftreten, d.h. es gilt |r| = 1. Ist
die Reflexion nicht vollständig, ergeben sich Wanderwellen und keine stehenden Wellen. Eine
stehende Welle ist in Abbildung 2.2 dargestellt. Dies ist eine stehende Welle, da die rot eingezeichneten Knotenpunkte sich mit der Zeit nicht von der Stelle bewegen. Da der Reflexionsfaktor
7
2.5 Mehrfachreflexion
im Allgemeinen komplex ist, sorgt er für unterschiedliche Phasensprünge an der Reflexionsstelle.
In Abbildung 2.2 liegt ein Phasensprung von 180◦ (bzw. π) vor, was dazu führt, dass ein Knoten
der stehenden Welle direkt am Reflexionspunkt liegt. Andere Phasensprünge sorgen für eine
Verschiebung der Knotenpunkt in x-Richtung.
Ist die Reflexion nicht vollständig (d.h. |r| < 1) bleiben die Knoten nicht auf einer Stelle, sie
wandern genau wie Minimum und Maximum. Es handelt sich dann um die bereits kurz angesprochenen Wanderwellen, welche fälschlicherweise oft zu den stehenden Wellen gezählt werden.
[Veranschaulicht wird dies gut durch folgendes Applet: www.pk-applets.de/phy/interferenz/
interferenz.html]
2.5 Mehrfachreflexion
Wenn Mehrfachreflexionen auftreten, kommt es zu Interferenzerscheinungen mehrerer Wellen
derselben Frequenz. Interferieren diese Wellen phasenrichtig, kommt es zur Resonanz. Mehrfachreflexion kann durch fehlerhaft angepasste Leitungen an zwei Stellen (z. B. eine Leitung mit
falschen Leitungswellenwiderstand zwischen zwei Geräten) oder aber auch durch Defekte an der
Leitung selbst entstehen. In Abbildung 2.3 ist eine Leitung mit zwei Störstellen (bei x = 0
Uh
Z1
Z2
0
l
Za
x
Abbildung 2.3: Die Darstellung einer Situation mit Mehrfachreflexion
und x = l) dargestellt. Nun wird ein Teil der einlaufenden Welle an der Stelle x = 0 transmittiert. Dieser Teil wird an der Stelle x = l zu einem gewissen Teil reflektiert und so weiter. Dies
sieht mathematisch wie folgt aus, wenn r bzw. t die entsprechenden komplexen Reflexions- bzw.
Transmissionskoeffizienten an der 1. (x = 0) und 2. Reflexionsstelle (x = l) in der Abbildung
2.3) ist:
Uh (0) = t1 · Uh
Uh (l) = t1 · Uh · e−γl
Ur (l) = r2 t1 · Uh · e−γl
Ur (0) = r2 t1 · Uh · e−2γl
Uh2 (l) = r1 r2 t1 · Uh · e−2γl
..
.
Dieser Vorgang wiederholt sich immer wieder und die Gesamtamplitude ist dann die Addition
aller dieser Umläufe:
Uges (x) = t1 Uh · 1 + r1 r2 e−2γl + · · · · e−γx .
Auf diese unendliche Folge lässt sich die Geometrische Reihe
x = r1 r2 e−2γl anwenden:
Uges (x) =
t1 Uh
· e−γx .
1 − r1 r2 e−2γl
P∞
n=0 x
n
=
1
1−x
für |x| < 1 mit
(2.13)
8
2.5 Mehrfachreflexion
Für die Transmission an der Stelle x = l bedeutet dies:
Utrans (l) = t2 · Uges (l) =
t2 t1 Uh · e−γl
.
1 − r1 r2 e−2γl
(2.14)
2
(l)|
Um der transmittierten Leistung (Pt = |Utrans (l)| · |Itrans (l)| = |Utrans
) nun sinnvolle InforZL
mationen zu entnehmen, werden folgende Definitionen eingeführt: rj = |ri |eiφj für j = 1,2 ,
R = |r1 ||r2 | , T = |t1 ||t2 |:
Pt =
T 2 |e−γl |2
|Uh |2
·
.
ZL 1 − R ei(ϕ1 +ϕ2 ) e−2γl 2
Betrachtet man γ = α + iβ und berücksichtigt, dass |eix | = 1 ∀x ∈ R gilt, kann man den
Verlustfaktor V = e−2αl einführen. β lässt sich auch als die Wellenzahl k interpretieren:
Pt =
|Uh |2
T2 V
·
.
ZL 1 − RV ei(ϕ1 +ϕ2 −2kl) 2
Mit φ = ϕ1 + ϕ2 − 2kl, der eulerschen Formel und dem Additionstheorem cos(2x) = 1 − 2 sin2 (x)
lässt sich diese Gleichung vereinfachen:
Pt =
|Uh |2
T2 V
·
.
ZL (1 − RV )2 + 4RV sin2 ( φ2 )
(2.15)
Betrachten wir nun wieder die verlustlose Leitung für die α = 0 und somit V = 1 gilt, folgt
Pt =
=
T2
|Uh |2
·
ZL (1 − R)2 + 4R sin2 φ
2
|Uh |2
·
ZL
T
1−R
2
·
1
1 + F sin2
(2.16)
φ
2
mit dem Finesse-Faktor: F =
4R
.
(1 − R)2
Die Gleichung 2.16 bezeichnet man auch als Airy-Funktion. Sie beschreibt z. B. auch das Transmissionsverhalten eines optischen Resonators wie er in Lasern oder in einem Fabry-PerotInterferometer Verwendung findet (siehe auch Versuch "Optische Resonatoren"). Nun ist zu
erkennen, dass bei festem Reflexions- und Transmissionskoeffizienten die maximale Leistung
übertragen wird, wenn der Sinus in Gleichung 2.16 verschwindet:
φ
2
sin
=0 ⇔
φ
= πn ⇔ φ = 2πn mit n ∈ Z .
2
(2.17)
Demnach wird die meiste Leistung transmittiert, wenn die Resonanzbedingung
2kn l − ϕ1 − ϕ2 = 2πn
(2.18)
erfüllt ist. Hier sind ϕj mit j = 1,2 die Phasen der Reflektionskoeffizienten, d.h. die Phasensprünge, welche die Welle bei der Reflexion an der jeweiligen Stelle erfährt. Die Bedingung 2.18
ist also erfüllt, wenn ein Umlauf im Resonator genau den Phasendurchgang von 2πn herbeiführt.
Dies hat zur Folge das am wenigsten Leistung reflektiert wird.
9
2.6 Bauteile der Hochfrequenztechnik
2.6 Bauteile der Hochfrequenztechnik
2.6.1 Verschiedene homogene Doppelleitungen
Lecherleitung
Der erste Gedanke einen Leiter annähernd homogen zu bekommen ist die symmetrische Doppelleitung (Lecherleitung), welche nach ihrem Erfinder Ernst Lecher (1856 - 1926 ) benannt
ist. Sie besteht einfach aus zwei identischen parallelen Drähten. Meistens sind die Drähte in
einem Kunststoffmantel eingeschmolzen, um einen konstanten Abstand zu garantieren. Wie in
Abbildung 2.4: Das elektromagnetische Feld einer Lecherleitung (Quelle: [2], S.41)
Abbildung 2.4 zu sehen ist, reicht das elektromagnetische Feld weit in den Raum außerhalb des
Leiters. Dadurch muss sich das Feld zwangsläufig in unterschiedlichen Materialien ausbreiten
und dies führt mitunter zu starken Abweichungen in der Ausbreitung der Leitungswelle, also
auch dem Leitungswellenwiderstand. Zudem können andere äußere elektromagnetische Felder in
das Kabel einkoppeln. Somit ist der Einsatzbereich typischerweise auf Frequenzen bis höchstens
100 MHz begrenzt. Die einzigen Vorteil sind die einfache Herstellung und die Möglichkeit relativ
hohe Leistungen übertragen zu können.
Koaxialleitung
Die Koaxialleitung (oder auch das Koaxialkabel) ist wohl der am häufigsten verwendete TEMLeiter. Eine Koaxialleitung besteht aus einem Innenleiter und einem Außenleiter, welcher den
H
E
di
da
Abbildung 2.5: Der Aufbau und das Feld einer Koaxialkabels (Querschnitt)
Innenleiter umschließt. So schirmt der Außenleiter den Innenleiter nach außen hin ab. Zwischen
diesen beiden befindet sich ein Dielektrikum. Aus diesem Aufbau folgt, dass sich das elektromagnetische Feld nur innerhalb des Leiters befindet (siehe Abbildung 2.5). Dies macht ihn sehr
viel unempfindlicher gegen äußere Einflüsse und stellt eine viel größere Homogenität der Leitung
10
2.6 Bauteile der Hochfrequenztechnik
sicher. Wenn neben der relativen Permittivität r des Dielektrikums die Maße di (Außenradius
des Innenleiters) und da (Innenradius des Außenleiters) eines Koaxialkabels bekannt sind, lassen sich der Kapazitäts- und der Induktivitätsbelag berechnen. Die Kapazität ist definiert als
C = Q/U . Die Spannung zwischen Innen- und Außenleiter eines Koaxialkabels ist über das
E-Feld definiert. Beim Koaxialkabel nimmt man der Einfachheit halben den direkten Weg vom
Innen- zum Außenleiter, also den Weg genau entlang der Feldlinien:
Z da /2
Z da /2
Z
U=
E ds =
E(r) dr =
di /2
di /2
Q
da
Q
· ln
dr =
2π∆x0 r r
2π∆x0 r
di
.
Daraus folgt dann für C 0 = C/∆x:
C 0 = 2π0 r
1
ln
.
da
di
(2.19)
Um den Induktivitätsbelag zu berechnen, nimmt man an, dass bei den zu betrachtenden Frequenzen aufgrund des Skin-Effektes die magnetischen Energien innerhalb der beiden Leiter zu
vernachlässigen sind. Die Induktion ist definiert durch L = dΦ/dI :
Z
Φ=
B dA = µ0 µr ·
Z
H dA = µ0 µr ·
Z da /2
I
di /2
2πr
µ0 µ r
da
I ∆x · ln
2π
di
∆x dr =
.
Für den Induktivitätsbelag (L0 = L/∆x) gilt demnach:
µ0 µ r
da
L =
· ln
2π
di
0
.
(2.20)
Für eine verlustlose Leitung lässt sich nun der Leitungswellenwiderstand an Hand der Abmessungen des Leiters und des Materials vom Dielektrikum (r , µr ) berechnen. In einem Dielektrikum
ist µr meist sehr nah an 1 und somit zu vernachlässigen:
s
ZL =
L0
1
=
C0
2π
r
µ0 µr
da
· ln
0 r
di
.
(2.21)
Mikrostreifenleitung
Um Mikrowellenleiter auch auf Platinen verbauen zu können, sind Koaxialleiter nicht geeignet.
Dazu benutzt man meistens den Mikrostreifenleiter (Abbildung 2.6). Ein Mikrostreifenleiter
besteht aus einem schmalen metallischem Streifen, welcher durch ein Dielektrikum von einer
metallischen Fläche getrennt wird. Durch diesen Aufbau lässt er sich sehr einfach auf eine Platine
ätzen. Doch auch hier befindet sich das elektromagnetische Feld, wie in Abbildung 2.6 zu sehen
H
Leiter
Dielektrikum
E
Abbildung 2.6: Der Aufbau eines Mikrostreifenleiters (Querschnitt)
ist, zum Teil wieder im Raum außerhalb des Dielektrikums (r ), allerdings sehr viel weniger
als bei der Lecherleitung. Ein weiterer Nachteil der Mikrostreifenleiter ist der höhere Verlust
gegenüber der Koaxialleitung.
11
2.6 Bauteile der Hochfrequenztechnik
2.6.2 Richtkoppler
Ein Richtkopplers ermöglicht es, Wellen mit verschiedenen Ausbreitungsrichtung voneinander
zu trennen, um diese z. B. einzeln messen zu können. Weitere Anwendungsbereiche sind der
Einsatz als Leistungsteiler, Frequenzweiche und Mischer. Ein Richtkoppler ist ein sogenanntes
Viertor (bzw. Achtpol), d.h. er hat vier Ein- bzw. Ausgänge. Diese teilen sich in die Hauptund in die Nebenleitung auf (siehe Abbildung 2.7). Bei einem Richtkoppler sind die beiden
Leitungen so miteinander gekoppelt, dass die Leistungen auf den Ausgängen 3 und 4 von der
Ausbreitungsrichtung der Welle in der Hauptleitung (Tor 1 und 2) abhängen. Auf den Ausgang
Kopplung 2
3
Hauptleitung
Kopplung 1
1
/4
Nebenleitung
2
4
Abbildung 2.7: Schematische Darstellung des Grundprinzips eines Richtkopplers
3 koppelt ein Teil der Leistung der Welle, welche von Tor 2 nach Tor 1 läuft. Die Welle, welche
von Tor 1 zu Tor 2 läuft, wird zum Teil auf Tor 4 gekoppelt. Ist dieses mit einem angepasstem
Abschlusswiderstand versehen, wird Leistung im Abschlusswiderstand in Wärme umgewandelt.
Wie viel Leistung der Hauptleitung auf die Nebenleitung übertragen wird, hängt von der Stärke
der Kopplung ab und wird durch die Koppeldämpfung (oder auch Direktivität) beschrieben:
P1
dB .
(2.22)
Koppeldämpfung = 10 · lg
P4
Eine weitere Kenngröße, welche bei Richtkopplern von Bedeutung ist, ist die Isolation. Sie gibt
an wie viel Leistung der Welle von Tor 1 ungewollt an Tor 3 ausgegeben wird:
P2
Isolation = 10 · lg
dB .
(2.23)
P4
Außerdem ist die Einfügedämpfung bei Richtkopplern eine weitere Kenngröße. Sie gibt die
Dämpfung auf der Hauptleitung an:
P1
Einfügedämpfung = 10 · lg
dB .
(2.24)
P2
Das Grundprinzip eines Richtkopplers beruht auf destruktiver und konstruktiver Interferenz.
Dazu werden Haupt- und Nebenleitung an zwei Stellen im Abstand von λ/4 gekoppelt. Nun
läuft eine Welle an Tor 1 ein und wird am ersten Kopplungspunkt auf die Nebenleitung übertragen, wo sie sich in beide Richtungen hin ausbreitet. Selbiges geschieht nach einer Strecke von
λ/4 auf der Hauptleitung am zweiten Kopplungspunkt. Da sich die Wellen in der Nebenleitung
jeweils in beide Richtungen ausbreiten, überlagern sie sich dort. Die Welle, welche von Tor 1
nach Tor 4 fließt legt über beide Wege dieselbe Strecke zurück. Diese haben also dieselbe Phase
und interferieren konstruktiv, d.h. eine Leistung wird übertragen. Die Welle, welche sich von
Tor 1 nach Tor 3 ausbreitet, legt jedoch zwei unterschiedliche Wege zurück, nämlich einmal den
direkten Weg über den ersten Kopplungspunkt und zum anderen den Umweg über den zweiten
Kopplungspunkt. Dies ergibt eine zusätzliche Strecke von λ/2. Somit interferieren diese destruktiv und es wird keine Leistung übertragen. Für eine Welle, die in Tor 2 einläuft, gelten analoge
Überlegungen. So funktioniert ein Richtkoppler allerdings streng genommen nur für ein sehr
schmales Frequenzband bzw. nur für eine Frequenz. Nun werden noch diverse Tricks verwendet,
um die Bandbreite zu erhöhen. So kommt es bauartbedingt dazu, dass bei Richtkopplern für
Koaxialleitungen Tor 3 und Tor 4 meist vertauscht sind.
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2.6 Bauteile der Hochfrequenztechnik
2.6.3 Zirkulator
Ein Zirkulator ist meist ein Dreitor, welches einlaufende Wellen nach dem Prinzip aus Abbildung
2.8 weiterleitet. Sind alle Tore ideal angepasst, tritt die gesamte Energie der in Tor 1 einlaufenden
2
1
3
Abbildung 2.8: Das Prinzip eines Zirkulators mit 3 Toren
Welle durch Tor 2 aus. Die gesamte Energie, welche in Tor zwei einläuft, tritt durch Tor 3 aus
und die gesamte Energie, welche in Tor 3 einläuft, tritt durch Tor 1 aus. Wichtige Kenngrößen
eines Zirkulators sind zum einen die Bandbreite und zum anderen die Durchlassdämpfung:
P1
Durchlassdämpfung = 10 · lg
P2
dB
(2.25)
sowie die Sperrdämpfung
P1
dB .
(2.26)
Sperrdämpfung = 10 · lg
P3
Diese Dämpfungen werden für alle der drei Eingänge angegeben. Ein Zirkulator funktioniert
aufgrund des Faraday-Effektes. Er beschreibt die Drehung der Polarisationsrichtung einer elektromagnetischen Welle beim Durchgang durch ein dielektrisches Medium unter Einfluss eines
Magnetfeldes in Ausbreitungsrichtung. Dieser Effekt lässt sich erklären, da die Elektronenspins
in dielektrische Materialien unter dem Einfluss eines Magnetfeldes mit der Lamorfrequenz um
die Richtung des Magnetfeldes präzidieren. Wodurch das dielektrische Material zirkular doppelbrechend wird, d.h. es liegen verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten für links- und rechtszirkular polarisierte Wellen vor. Da sich linear polarisierte Wellen in eine links- und eine rechts
Abbildung 2.9: Der Aufbau eines Y-Zirkulators aus Mikrostreifenleitern (Quelle: [6], S.89)
zirkular polarisierte Welle zerlegen lassen und der Faraday-Effekt nicht reziprok ist, gelingt der
Bau eines Zirkulators. Sie sind nun so konstruiert, dass an den Ausgängen die beiden zirkular
polarisierten Teilwellen konstruktiv bzw. destruktiv interferieren.
Der am meisten verwendete Zirkulator ist der sogenannte Y-Zirkulator, welcher auf Basis von
Mikrostreifenleitern nach Abbildung 2.9 aufgebaut ist. Bei ihm sind die drei Tore als Mikrostreifenleiter ausgeführt und laufen in einer kleinen Scheibe (meist aus demselben Material wie die
Leiter) unter einem Winkel von 120◦ zusammen. Unter bzw. über dieser Scheibe befindet sich
nun eine Scheibe aus einem Ferrit (dielektrisch), welche für den angesprochenen Faraday-Effekt
sorgt, da sich dort durch Permanentmagneten verursacht ein stationäres Magnetfeld senkrecht
zur Leiterebene befindet.
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2.6 Bauteile der Hochfrequenztechnik
2.6.4 Isolator (Richtleitung)
Versieht man einen Zirkulator an Tor 3 mit einem angepassten Abschlusswiderstand, so erhält
man eine Richtleitung (meist nur Isolator genannt). Er lässt die Welle in einer Richtung (von Tor
1 zu Tor 2) nahezu ungehindert passieren während sie in der anderen Richtung fast vollständig
absorbiert wird. Isolatoren werden benötigt, um zum Beispiel Mikrowellengeneratoren vor Reflexionen zu schützen. Ein Isolator wird durch das frequenzabhängige Dämpfungsmaß in beiden
Richtungen beschrieben. Zur Steigerung der Rückflussdämpfung werden auch 4-Tor-Zirkulatoren
benutzt an denen zwei hintereinanderliegende Tore mit einem angepassten Abschlusswiderstand
versehen sind.
2.6.5 Diode bzw. Detektor
Für die meisten Messgeräte ist es notwendig Mikrowellen vor dem messen gleichzurichten. Dies
geschieht mit gleichrichtenden Detektoren, im deutschen meist nur Dioden (eigentliche Bedeutung: "Zweipol") genannt. Dioden sind nichtlineare elektrische Bauelemente, deren elektrische
Leitfähigkeit zum großen Teil von der Stromrichtung abhängt.
Durchlassrichtung
Abbildung 2.10: Das Schaltsymbol einer Diode
Halbleiter-Halbleiter-Diode (p-n-Diode): Am bekanntesten sind die Halbleiter-Halbleiter
Dioden, welche mit einem p-n-Übergang arbeiten. In einem Halbleiter sind alle Elektronen gebunden, somit kostet es viel Energie ein Elektron vom Valenzband ins Leitungsband anzuheben.
Um dies zu vereinfachen, werden die Halbleiter dotiert. Man unterscheidet zwischen p- und nDotierung. Um eine p-Dotierung zu erhalten, versetzt man den Halbleiter mit einem Akzeptor,
p
n
Elektron
p
Elektronen-Loch
n
Veramungszone
(durch Rekombination)
Abbildung 2.11: Der p-n-Übergang einer Diode
welcher einen freien Elektronenplatz (Loch) mit nur geringfügig mehr Energie wie die Elektronen des Halbleiters mitbringt. Um dagegen eine n-Dotierung zu erhalten, versetzt man den
Halbleiter mit einem Donator, welcher ein fast freies Elektron mitbringt. Genutzt wird nun
ein p-n-Übergang, welcher eine Verarmungszone (Sperrschicht) erzeugt, indem die fast freien
Elektronen mit den Löchern rekombinieren (siehe Abbildung 2.11). Wenn man nun eine äußere Spannung in Durchlassrichtung, d.h. den Pluspol am p-dotierten Halbleiter anlegt, kann
ein Strom fließen. Liegt jedoch eine äußere Spannung in Sperrrichtung, d.h. der Pluspol am
n-dotierten Halbleiter an, vergrößert dies die Verarmungszone und es kann kein Strom fließen.
Schottky-Diode: In der Hochfrequenztechnik reagieren solche p-n-Dioden häufig zu langsam,
deshalb benutzt man meist Metall-Halbleiter-Dioden. Diese reagieren wesentlich schneller, vertragen aber im Allgemeinen weniger Leistung. Der bekannteste Vertreter unter diesen ist die
Schottky-Diode. Vom Grundprinzip funktioniert diese ähnlich wie die p-n-Diode, nur tritt anstelle des p-dotierten Halbleiters eine Metallelektrode. Es existieren also nur fast freie Elektronen
und keine Elektronenlöcher. Diese bilden nun alleine die Sperrschicht.
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3.1 Equipment
3 Das Experiment
In diesem Experiment wird die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen mit MikrowellenFrequenzen in Koaxialkabeln untersucht. Koaxialkabel werden bei den meisten Experimenten
zum Übertragen der Daten vom Messobjekt zum Messgerät bzw. zur Messauswertung benutzt.
Somit ist es für jedes Experiment von Vorteil, grundlegende Kenntnisse von der Datenübertagung zu haben, da diese unter Umständen auch die Messergebnisse verfälschen kann. Zuerst wird
das Messequipment, also das Verhalten der Diode (bzw. in engl. Detector), analysiert. Mit Hilfe
der Eigenschaften der Diode lassen sich dann verschieden Bauteile der Hochfrequenztechnik,
welche zur Datenübertragung benutzt werden, untersuchen. Durch alle diese Erkenntnisse ist es
nun möglich, das Phänomen der stehenden Wellen in Koaxialkabeln messtechnisch zu ergründen und mit Hilfe dieser die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Mikrowellen in Koaxialkabeln zu
bestimmen.
3.1 Equipment
• Mikrowellengenerator: Wiltron 6759B
• Digitalmultimeter: TTi 1906
• 2 x GPIB Kabel
• Windows Computer mit GPIB-Karte und LabVIEW
• Detector Diode: Agilent Technologies / HP - 33330B negativ
• Adapter BNC-Stecker auf 2x Bananenstecker
• Adapter SMC-Stecker auf BNC-Stecker
• Koaxialkabel mit BNC-Buchsen
• Isolator: narda 60583
• Richtkoppler: narda 4226-10 (mit zweiter Gruppe teilen)
• Zirkulator: AEROTEK F61-1FFF
• Zirkulator: AEROTEK H60-1FFF
• Kopplungsstück (Selbstanfertigung)
• diverse Koaxialkabel mit SMC-Steckern
• 2 x Adapter SMA-Buchse auf SMA-Buchse
• 2 x 50 Ohm Abschlusswiderstand SMA-Stecker
• Kalibriertes offenes und geschlossenes Kabelende mit SMA-Stecker
15
3.2 Vorausgesetzte Kenntnisse
3.2 Vorausgesetzte Kenntnisse
Für dieses Experiment sind Kenntnisse der Leitungstheorie, wie sie unter Grundlagen beschrieben werden, vorausgesetzt. Dies beinhaltet neben der grundlegenden Idee zur Ausbreitung
elektromagnetischer Wellen also im wesentlichen folgende Punkte: stationäre Telegraphengleichung, Wellenwiderstand, Reflexionskoeffizient, Stehende Wellen, Mehrfachreflexion, Koaxialleiter, Streifenleiter, Richtkoppler, Zirkulator, Isolator (Richtleitung), Diode bzw. Detektor.
3.3 Aufgaben
Für sämtliche Messungen benutzen Sie den Mikrowellengenerator Wiltron 6759B und das Digitalmultimeter TTi 1906. Beide sind per GPIB-Schnittstelle mit dem Computer zu verbinden. So
Abbildung 3.1: Das hier benutzte Digitalmultimeter TTi 1906 und der hier benutzte Mikrowellengenerator Wiltron 6759B sind im Versuchseinsatz zu sehen.
können sie komplett über den Computer bedient und ausgelesen werden. Auf dem Computer sind
dazu die LabVIEW-Programme "Messungen Frequenz" und "Messungen Leistung" vorhanden.
Diese geben die Spannung am Multimeter in Abhängigkeit von der Frequenz der Mikrowellen
bzw. von der Leistung der Mikrowellen des Mikrowellengenarators aus.
3.3.1 Das Messequipment (Diode / Detektor)
Nehmen Sie die Kennlinie (Ausgangsspannung in Abhängigkeit der Eingangsleistung) ihrer Messdiode auf. Verbinden Sie dazu den "RF OUTPUT" des Mikrowellengenerators direkt per Koaxialkabel (SMA-Stecker) mit der Messdiode. Von der Messdiode gehen Sie über geeignete Adapter
GPIB
Mikrowellengenerator
Multimeter
RF-OUT
Koaxialkabel
GPIB-Kabel
GPIB
GPIB
IN
Computer
Messdiode
Abbildung 3.2: Messaufbau zur Messung der Diodenkennlinie
16
3.3 Aufgaben
und einem Koaxialkabel mit BNC-Steckern direkt in den Spannungseingang des Digitalmultimeters. Der Messaufbau ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Achten Sie darauf, dass das Eingangssignal
am Digitalmultimeter positiv ist. Ist dies nicht der Fall, müssen sie die beiden Pole am Eingang
Abbildung 3.3: Die hier benutzte Messdiode (evtl. mit anderem Aufkleber).
des Digitalmultimeters vertauschen. Die korrekte Anschlussweise ist in Abbildung 3.1 gezeigt.
Der Ausgang der Diode ist der SMC Stecker (der kleinere der beiden). Das LabVIEW Programm "Messungen Leistung" zeichnet dann die Ausgangsspannung der Messdiode bei variabler
Ausgangsleistung des Mikrowellengenerators auf. Überlegen Sie sich bei der Messauswertung,
welchen Einfluss die gemessene Kennlinie auf die folgenden Messungen hat. Beachten Sie dabei,
dass nicht der gesamte Energiebereich bei den folgenden Messungen benötigt wird.
Abbildung 3.4: Die zu verwendende Software mit einer gemessenen Diodenkennlinie
3.3.2 Bauteile der Hochfrequenztechnik
Die hier behandelten Bauteile der Hochfrequenztechnik werden durch Dämpfungsfaktoren beschrieben. Dämpfungen werden aus dem Verhältnis zweier Leistungen errechnet. Um nun bei 3
GPIB
Mikrowellengenerator
Multimeter
RF-OUT
Koaxialkabel
GPIB-Kabel
GPIB
GPIB
IN
IN
Computer
OUT
Messobjekt
Abbildung 3.5: Messaufbau zur Messung einer Dämpfung (ACHTUNG: Alle nicht verwendeten
Anschlüsse mit angepasstem Abschlusswiderstand (50 Ω) versehen!)
oder mehr Toren keine zusätzlichen Reflexionen zu messen, ist es nötig, alle nicht zur Messung
17
3.3 Aufgaben
verwendeten Tore mit einem angepassten Abschlusswiderstand (50 Ω) zu versehen. Dämpfungen sind im Allgemeinen frequenzabhängig und somit können sie nicht Allgemein sondern nur
in Abhängigkeit der Frequenz angegeben werden. Aus dieser Frequenzabhängigkeit lässt sich
eine sinnvolle Bandbreite des Bauteils ermitteln. Die Eingangsleistung der Messung ist die Ausgangsleistung des Mikrowellensenders, welche in dem zur Messung zu verwendenden LabVIEW
Programm "Messungen Frequenz" eingestellt werden kann. Zur Bestimmung der Dämpfung, ist
die Ausgangsleistung im Verhältnis zur Eingangsleistung zu messen. Die Eingangsleistung ist mit
Abbildung 3.6: Das Messprogramm inkl. einer Beispielleistungsmessung
dem Messaufbau aus Kapitel 3.3.1 zu bestimmen. Die Ausgangsleistung des Tors OUT des Messobjekts von der am Tor IN anliegende Leistung ist mit dem Messaufbau aus Abbildung 3.5 zu
messen. Mehr zu den einzelnen Dämpfungen steht im Kapitel "Grundlagen der Leitungstheorie"
unter "Bauteile der Hochfrequenztechnik" (Kapitel 2.6).
Isolator (Richtleitung)
Bestimmen sie das frequenzabhängige Dämpfungsmaß des Isolator (Richtleitung) in beiden Richtungen und überlegen sie sich daraus eine sinnvolle Bandbreitenangabe.
Abbildung 3.7: Der zu vermessende Isolator (Richtleitung)
Der Richtkoppler
Bestimmen sie folgende frequenzabhängigen Größen des Richtkopplers:
• Koppeldämpfung
• Einfügedämpfung
• Richtdämpfung (wenn möglich)
18
3.3 Aufgaben
Abbildung 3.8: Der zu vermessende Richtkoppler
Zirkulator
Bestimmen sie folgende frequenzabhängigen Größen der beiden Zirkulatoren und überlegen Sie
sich damit jeweils eine sinnvolle Bandbreitenangabe:
• Durchlassdämpfung
• Sperrdämpfung
Diese beiden Dämpfungen sind für jedes der drei Tore pro Zirkulator zu messen.
Abbildung 3.9: Die beiden zu vermessenden Zirkulatoren
3.3.3 Messen der stehenden Wellen / Resonanzen
Nach dem Kennenlernen der zur Messung der Resonanzfrequenzen benötigten Bauteile, sollen
diese bei verschiedenen Kabeln mit unterschiedlichen Abschlusswiderständen bestimmt werden.
Dazu muss auf beiden Seiten des Koaxialkabels ein genügend großer Anteil der Welle reflek-
Abbildung 3.10: Das kapazitive Koppelstück für die Resonanzmessungen
tiert werden. Somit kann das Kabel nicht direkt mit dem Zirkulator verbunden werden. Um
eine genügend hohen Reflexionskoeffizienten an beiden Kabelenden zu erreichen, ist ein Mikrostreifenleiter entsprechend präpariert und mit Steckern versehen worden. Die beiden Anschlüsse
19
3.3 Aufgaben
des angefertigten Bauteils (Abbildung 3.10) sind kapazitiv (über einen Kondensator) gekoppelt.
Zum Messen der Resonanzen ist der Aufbau aus Abbildung 3.11 zu verwenden.
GPIB
Mikrowellengenerator
GPIB
GPIB
Multimeter
RF-OUT
IN
Computer
Abschlusswiderstand
Messleitung
Koppler
Koaxialkabel
GPIB-Kabel
Abbildung 3.11: Messaufbau zu den Messungen in Kapitel 3.3.3
Unterschiedliche Abschlusswiderstände
Bestimmen sie Frequenzen der Resonanzen mit unterschiedlichen Abschlusswiderständen und
vergleichen sie diese Resonanzfrequenzen miteinander. Dazu stehen ein kalibriertes offenes Ka-
Abbildung 3.12: Der kalibrierte Kabelabschlusswiderstand (offen und kurzgeschlossen)
belende und ein kalibriertes kurzgeschlossenes Kabelende zur Verfügung. Diese beiden befinden
sich in einem Bauteil mit 2 SMA-Steckern (Abbildung 3.12). Natürlich bleibt auch die Möglichkeit das Kabel ohne Abschlusswiderstand (also ein unkalibriertes offenes Kabelende) zu nehmen.
Achten Sie bei den Messungen darauf, genügend Messpunkte aufzunehmen, damit Ihnen keine
Peaks entgehen. Achten Sie außerdem darauf, dass nur innerhalb der Bandbreite des verwen-
Abbildung 3.13: Messprogramm inkl. einer Resonanzmessung als Beispiel
deten Zirkulators eine vernünftige Messung durchgeführt werden kann. Bestimmen Sie zum
20
3.3 Aufgaben
einen jeweils ∆f = fn+1 − fn , also den Frequenzabstand zweier Resonanzen bei gleichem Abschlusswiderstand und zum anderen den Frequenzabstand der benachbarten Resonanzen bei
unterschiedlichen Abschlusswiderständen. Um diese Frequenzabstände hinreichend genau zu bestimmen, bilden Sie den Mittelwert aus 5-10 verschiedenen Frequenzabständen. Wie verändern
sich die Resonanzfrequenzen, wenn die beiden kalibrierten Abschlusswiderstände (offenes und
kurzgeschlossenes Kabelende) verwendet wird?
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit
Ermitteln Sie aus zwei Resonanzfrequenzen die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen in einem
der vorliegenden Koaxialkabeln. Die Länge l des Koaxialkabels ist dabei mit einem normalen
Maßband (Zollstock, Lineal,...) möglichst genau zu vermessen. Um die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu ermitteln, folgt aus Gleichung 2.18 für zwei benachbarte Resonanzen:
[2kn+1 l − ϕ1 − ϕ2 ] − [2kn l − ϕ1 − ϕ2 ] = [2π(n + 1)] − [2πn]
2kn+1 l − 2kn l = 2π(n + 1) − 2πn
2(kn+1 − kn )l = 2π
mit kn =
2π
(fn+1 − fn )l = π
c
c = 2l(fn+1 − fn )
(3.1)
(3.2)
2π
2πfn
=
λn
c
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Eine elektromagnetische Welle breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Doch ist hier nicht
die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums entscheidend sondern die des Dielektrikums des Koaxialkabels in der die Welle sich ausbreitet. Da dies ein nicht ferromagnetisches Material ist, gilt
näherungsweise für die Permeabilitätszahl µr = 1. Demnach lässt sich aus der Ausbreitungsgeschwindigkeit der EM-Welle im Koaxialkabel die Permittivitätszahl (r ) bestimmen:
c =
√
r =
c0
c0
=√
µr r
r
c0
c
(3.6)
2
.
(3.7)
Bestimmen Sie auch die Permittivitätszahl des Dielektrikums. Sollte noch genügend Zeit sein,
bestimmen Sie zusätzlich die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Permittivitätszahl eines zweiten Koaxialkabels und vergleichen sie diese Ergebnisse mit denen des ersten Koaxialkabels.
21
3.3 Aufgaben
4 Quellenverzeichnis
[1] Bächtold, Werner: "Lineare Elemente der Höchstfrequenztechnik", 2. überarb. Auflage,
1994, vdf Hochschulverlag AG, Zürich
[2] Detlefsen, Prof. Dr.-Ing. Jürgen; Siart, Dr.-Ing. Uwe: "Grundlagen der Hochfrequenztechnik", 3. akt. und erw. Auflage, 2009, Oldenbourg Verlag, München
[3] Kniestedt, Dipl.Ing. Joachim: "Heinrich Hertz: Entdecker der elektromagnetischen Wellen",
www.seefunknetz.de/hhertz1.htm (15.02.2010)
[4] Lange, Wulfhard: "Angewandte Physik I" Vorlesungsskript WS 2005/06, WWU Münster
[5] Nibler, Ferdinand; u.a.: "Hochfrequenzschaltungstechnik. Funktionen und Anwendung von
Halbleitern und Leitungen in Hochfrequenzschaltungen", 2. verb. und erw. Auflage, 1990,
Expert Verlag, Ehningen bei Böblingen
[6] Nimtz, Günter: "Mikrowellen. Einführung in Theorie und Anwendung", 2.Auflage, 1999,
BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim
[7] Nolting, Wolfgang: "Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik", 8. Auflage, 2007,
Springer-Verlag, Berlin
[8] Petermann, Prof. Dr.-Ing. Klaus: "Hochfrequenztechnik I: Vorlesungsskript", überarb. unter Hilfe von Bunge, Dr.-Ing. Christian-Alexander, 2009, Technische Universität Berlin,
http://www.hft.tu-berlin.de/menue/lehre/hochfrequenztechnik_i (19.02.2010)
[9] Raith, Wilhelm: "Bergmann/Schäfer - Lehrbuch der Experimentalphysik Band 2. Elektromagnetismus", 9.überarb. Auflage, 2006, Walter de Gruyter, Berlin
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