Reflexion und Brechung an Grenzflächen - KIT

Gerken
WS 2006/07
Vorlesung: Optische Systeme
Reflexion und Brechung an Grenzflächen
1. Lichtausbreitung im homogenen Medium
1.1. Licht als elektromagnetische Welle
Licht hat sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter und alle Eigenschaften können quantenmechanisch beschrieben werden. Um die Reflexion und Brechung von Licht an Grenzflächen zu berechnen, reicht jedoch die Betrachtung von Licht als elektromagnetischer Welle und die Ableitung
der Eigenschaften aus den Maxwell Gleichungen. Eine elektromagnetische Welle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit des elektrischen Feldes E und des magnetischen Feldes H (Beachten Sie,
dass nur der Realteil physikalische Bedeutung hat!):
E(r, t ) = E(r ) exp( jω t )
(1)
H(r, t ) = H(r )exp( jω t )
(2)
Hierbei ist r der Vektor der x,y,z-Koordinate im Raum, t die Zeit und ω = 2πf = 2πc M / λ M die
Kreisfrequenz (f: Frequenz, λM: Wellenlänge im Medium, cM: Lichtgeschwindigkeit im Medium).
Die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen wird durch die Maxwell Gleichungen ( 3 ) bis
( 6 ) beschrieben.
∇ × E(r, t ) = −B (r, t )
(3)
(r, t )
∇ × H (r, t ) = J (r, t ) + D
(4)
∇ ⋅D(r, t ) = ρ (r, t )
(5)
∇⋅ B(r, t ) = 0
(6)
Weiterhin sind die Materialgleichungen durch ( 7 ) bis ( 9 ) gegeben.
D(r, t ) = ε (r ) E(r, t )
(7)
H (r, t ) =
(8)
1
B(r, t )
µ (r )
J (r, t ) = κ (r ) E(r, t )
(9)
µ = µ0 µ r ist die Permeabilität des Materials, ε = ε 0ε r die Dielektrizität, κ die Leitfähigkeit und n
der komplexe Brechungsindex.
1.2. Herleitung der Helmholtz-Gleichung
Aus den Maxwell Gleichungen lässt sich die Helmholtz-Gleichung für das elektrische Feld E einer
elektromagnetischen Welle in isotropen, linearen, zeitunabhängigen, homogenen Materialien ohne
Raumladungen herleiten.
1
Durch Bilden der Rotation von ( 3 ) and ( 4 ) und Einsetzen der Maxwell Gleichungen ( 5 ) und ( 6 )
sowie der Materialgleichungen ( 7 ) bis ( 9 ), erhält man ( 10 ) und ( 11 ).
(r, t ) − µε E
(r, t )
∇ × ∇ × E(r, t ) = −∇ × B (r, t ) = − µ κ E
{
}
(r, t ) = − µ κ H
(r, t ) − µε H
(r, t )
∇ × ∇ × H(r, t ) = ∇ × J (r, t ) + D
( 10 )
( 11 )
Unter Berücksichtigung der Vektoridentität ( 12 )
∇ × ∇ × A = ∇(∇A ) − ∇ 2 A
( 12 )
sowie Gleichungen ( 5 ), ( 6 ) und ρ =0 (keine Raumladungen), ergeben sich aus ( 10 ) and ( 11 ) die
Gleichungen ( 13 ) and ( 14 ).
(r, t ) + µε E
(r, t )
∇ 2 E(r, t ) = µ κ E
( 13 )
(r, t ) + µε H
(r, t )
∇ 2 H (r, t ) = µ κ H
( 14 )
Gleichungen ( 13 ) and ( 14 ) werden als Telegrafen- bzw. Wellengleichungen bezeichnet. ( 13 )
und ( 14 ) sind nicht unabhängig voneinander, sondern können ineinander umgewandelt werden.
Für ein zeitharmonisches elektrisches Feld gilt (Beachten Sie, dass nur der Realteil physikalische
Bedeutung hat!):
E(r, t ) = E(r ) exp( jω t )
( 15 )
Einsetzten von ( 15 ) in ( 13 ), ergibt ( 16 ).
{
}
∇ 2 E(r, t ) + µε ω 2 − jµκ ω E(r, t ) = 0
( 16 )
Mit Definition ( 17 ) für k erhalten wir also ( 18 ).
k = µε ω 2 − jµκ ω =
ω
c
µrε r − j
µ r κ ω n 2π
=
=
ω ε0
c
λM
∇ 2 E(r, t ) + k 2 E(r, t ) = 0
( 17 )
( 18 )
Gleichung ( 18 ) heißt Helmholtz-Gleichung. n ist der komplexe Brechungsindex. k wird als Wellenvektor bezeichnet und zeigt in die Ausbreitungsrichtung mit Einheitsvektor ek.
k = k ek
( 19 )
Da das H-Feld mit Hilfe von ( 3 ) aus dem E-Feld berechnet werden kann, führen wir im Folgenden
alle Berechnung am E-Feld durch. Die Feldamplituden sind verküpft über ( 20 ).
H (r ) =
E (r ) n (r )
Z0
( 20 )
Dabei ist Z0 = 376.7 Ω die Vakuumimpedanz.
1.3. Ebene Wellen als Lösungen im homogenen Medium
Zwei mögliche Lösungen von Gleichung ( 18 ) in einem homogenen Medium sind die vorwärtslaufende (f: forward) und die rückwärtslaufende (b: backward) ebene Welle:
E f (r, t ) = E f exp[ j (ω t − kr )] e ⊥k
( 21 )
E b (r, t ) = Eb exp[ j (ω t + kr )] e ⊥k
( 22 )
Das E-Feld zeigt in beiden Fällen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
2
2. Lichtausbreitung über Grenzflächen
2.1. Konstanz der x-Komponente des Wellenvektors k
Betrachten wir nun die Reflexion und die Brechung an einer Grenzfläche zwischen zwei Materialien. Die Materialien haben die Brechungsindizes ni und ni+1 (siehe Abbildung 1). Wir wählen das
Koordinatensystem so, dass die Grenzfläche sich in die x- und die y-Richtung unendlich ausdehnt.
Das E-Feld kann Komponenten in beliebiger Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung haben.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass das E-Feld in der x-z-Ebene liegt.
Mathematisch lassen sich Rechnungen am einfachsten ausführen, wenn der TM- und der TE-Fall
getrennt berechnet werden und die Lösungen anschließend addiert werden. Diese getrennt Behandlung ist für lineare Materialien erlaubt.
p-Polarisation (TM)
ni
ni+1
x
Eb,i
s-Polarisation (TE)
ni
ni+1
x
Hb,i
Ef,i+1
kb,i
kb,i
Hb,i
kf,i+1
Eb,i
θi+1 Hf,i+1
θi
Ef,i
Ef,i+1
θi
z
kf,i
θi+1
kf,i+1
Hf,i+1
z
kf,i
Ef,i
Hf,i
Hf,i
Vektor zeigt aus Ebene heraus
Vektor zeigt in Ebene hinein
Abbildung 1. Konvention für die positive Richtung von k, E, and H im Fall von p-Polarisation (TM) and
s-Polarisation (TE).
Die Grenzfläche befinde sich an der Position z=0. Die Wahl der Position kann keinen Einfluss auf
das Ergebnis haben und würde nur zu einer anderen Phase des einfallenden E-Feldes an der Grenzfläche führen. Die relativen Phasen zum reflektierten und transmittierten Feld werden dadurch nicht
beeinflusst.
Nach den Maxwell Gleichungen müssen die tangentialen Komponenten des E- und des H-Feldes
über die Grenzfläche hinweg kontinuierlich sein. Für TE-Polarisation ergibt sich daraus z.B. die
Randbedingung ( 23 ):
[
]
E||,f,i exp j (ω t − k f , x ,i x ) + E||,b,i exp[ j (ω t + k b , x ,i x )] =
[
]
E||,f,i +1 exp j (ω t − k f , x ,i +1 x )
( 23 )
Diese Randbedingung kann nur dann für alle Zeiten t und alle Positionen x entlang der Grenzfläche
erfüllt sein, wenn ω für alle Schichten gleich ist und für die Wellenvektoren gilt:
k f , x ,i = −k b , x ,i = k f , x ,i +1 = β
( 24 )
Weiterhin gilt nach ( 17 ), dass der Betrag des Wellenvektor der vorwärts- und der rückwärtslaufenden Welle in einer gegebenen Schicht gleich sein muss.
Die konstante x-Komponente des Wellenvektors k wird oft als β bezeichnet:
3
β = kx =
ω
c
ni sin (θ i )
( 25 )
Hieraus folgt direkt das Snelliussche Brechungsgesetz ( 26 ):
ni sin (θ i ) = ni +1 sin (θ i +1 )
( 26 )
2.2. Amplitudenreflexions- und Transmissionskoeffizienten
Da die E-Feld Komponente E|| parallel zur Grenzfläche konstant ist, setzen wir die folgenden Rechnungen für die parallelen Komponenten E||,f der vorwärts- und E||,b der rückwärtslaufenden Wellen
auf. Wie in Anhang 2 gezeigt, sind die Amplitudenreflexionskoeffizienten ri,i+1 und Transmissionskoeffizienten ti,i+1 für TE-Polarisation gegeben durch:
rTE ,i ,i +1 =
E y,b,i
tTE ,i ,i +1 =
E y,f,i+1
E y,f,i
E y,f,i
=
ni cos(θ i ) − ni +1 cos(θ i +1 )
ni cos(θ i ) + ni +1 cos(θ i +1 )
=
2ni cos(θ i )
ni cos(θ i ) + ni +1 cos(θ i +1 )
( 27 )
( 28 )
Entsprechend erhalten wir für TM-Polarisation die Koeffizienten:
rTM ,i ,i +1 =
E x,b,i ni / cos(θ i ) − ni +1 / cos(θ i +1 )
=
E x,f,i ni / cos(θ i ) + ni +1 / cos(θ i +1 )
( 29 )
tTM ,i ,i +1 =
E x,f,i+1
2ni / cos(θ i )
=
E x,f,i
ni / cos(θ i ) + ni +1 / cos(θ i +1 )
( 30 )
2.3. Reflexionsgrad und Durchlässigkeit
Der Reflexionsgrad R und die Durchlässigkeit T der Grenzfläche sind in ( 31 ) und ( 32 ) definiert.
R=
Leistung, die von der Grenzfläche reflektiert wird
Leistung, die auf die Grenzfläche auftrifft
( 31 )
T=
Leistung, die durch die Grenzfläche durchgelassen wird
Leistung, die auf die Grenzfläche auftrifft
( 32 )
Der zeitabhängige Leistungsfluss einer elektromagnetischen Welle ist durch den Poynting-Vektor S
gegeben:
S( x, z , t ) = Re(E( x, z , t )) × Re(H ( x, z , t ))
( 33 )
Dies ist der Leistungsfluss durch eine Einheitsfläche, deren Normale parallel zum Poynting-Vektor
steht. Die Durchschnittsenergie, die die Fläche pro Zeiteinheit durchquert, ist die Bestrahlungsstärke I und diese ist für eine harmonische Zeitabhängigkeit gegeben durch ( 34 ).
I ( x, z ) =
(
1
∗
Re E( x, z, t ) × H( x, z, t )
2
)
( 34 )
Um den Transmissionsgrad durch eine Grenzfläche zu berechnen, müssen wir berücksichtigen, dass
der Leistungsfluss je nach Brechungsindex in einem anderen Winkel verglichen zur Grenzfläche
erfolgt (siehe Abbildung 2).
4
Abbildung 2. Reflexion und Brechung eines einfallenden Strahlenbündels [E. Hecht: „Optik”, AddisonWesley (1989)].
Für eine gegebene Einheitsfläche A auf der Grenzfläche ist der zeitgemittelte Leistungsfluss durch
A gegeben durch:
I ⊥ ( x, z ) =
(
1
∗
Re E|| ( x, z, t ) H || (x, z, t )
2
)
( 35 )
Wir müssen also die einfallende, reflektierte und transmittierte Bestrahlungsstärke senkrecht zur
Fläche A berechnen. Um gleich den allgemeinen Fall von mehreren Grenzflächen hintereinander zu
betrachten, bezeichnen wir hier die Feldstärken im einfallenden Medium mit inc und im Austrittsmedium mit trans. Für TM-Polarisation erhalten wir:
2
1 E f , x ,inc ninc
I ⊥ ,TM ,inc ( x, z ) =
2 cos(θ inc ) Z 0
( 36 )
2
1 Eb , x ,inc ninc
I ⊥ ,TM ,refl ( x, z ) =
2 cos(θ inc ) Z 0
( 37 )
2
1 E f , x ,trans ntrans
I ⊥ ,TM ,trans (x, z ) =
2 cos(θ trans ) Z 0
( 38 )
Für TE-Polarisation gilt:
1 E f , y ,inc ninc cos(θ inc )
I ⊥ ,TE ,inc ( x, z ) =
2
Z0
( 39 )
1 Eb , y ,inc ninc cos(θ inc )
I ⊥ ,TE ,refl ( x, z ) =
2
Z0
( 40 )
1 E f , y ,trans ntrans cos(θ trans )
I ⊥ ,TE ,trans (x, z ) =
2
Z0
( 41 )
2
2
2
5
Daraus erhalten wir für die Durchlässigkeit:
E f , x ,trans (β , ω ) ntrans cos(θ inc )
2 n
cos(θ inc )
TTM (β , ω ) =
= t i ,i +1 trans
E f , x ,inc (β , ω ) ninc cos(θ trans )
ninc cos(θ trans )
( 42 )
E f , y ,trans (β , ω ) ntrans cos(θ trans )
2 n
cos(θ trans )
TTE (β , ω ) =
= t i ,i +1 trans
E f , y ,inc (β , ω )
ninc cos(θ inc )
ninc cos(θ inc )
( 43 )
2
2
Der Reflexionsgrad ist unabhängig von der Polarisation gegeben durch:
R (β , ω ) =
E||,b ,inc (β , ω )
E||, f ,inc (β , ω )
2
= ri ,i +1
2
( 44 )
Ohne Absortion gilt:
R +T =1
( 45 )
6
Anhang 1. Kleine Mathematik-Wiederholung
Für drei-dimensionale kartesische Koordinaten gilt:
⎛ ∂ ∂x ⎞
⎜
⎟
Nabla Operator : ∇ = ⎜ ∂ ∂y ⎟
⎜ ∂ ∂z ⎟
⎝
⎠
( 46 )
Laplace Operator : ∆ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
( 47 )
⎛ ∂f ∂x ⎞
⎜
⎟
grad f = ∇f = ⎜ ∂f ∂y ⎟
⎜ ∂f ∂z ⎟
⎝
⎠
( 48 )
∂v y ∂v z
G
G ∂v
+
div v = ∇ ⋅ v = x +
∂z
∂y
∂x
( 49 )
∂v y ⎞
⎛ ∂v
∂v ⎞
∂v ⎞
G
G ⎛ ∂v
⎛ ∂v
⎟⎟e x + ⎜ x − z ⎟e y + ⎜⎜ y − x ⎟⎟e x
rot v = ∇ × v = ⎜⎜ z −
∂y ⎠
∂x ⎠
∂z ⎠
⎝ ∂z
⎝ ∂x
⎝ ∂y
( 50 )
∆f =
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
( 51 )
G ⎛ ∂2vx ∂2vx ∂2vx
∆v = ⎜⎜
+
+
2
∂y 2
∂z 2
⎝ ∂x
2
2
⎛ ∂2vy ∂2vy ∂2vy ⎞
⎞
⎛ 2
⎟e y + ⎜ ∂ v z + ∂ v z + ∂ v z
⎟⎟e x + ⎜
+
+
⎜ ∂x 2
⎜ ∂x 2
∂y 2
∂z 2 ⎟⎠
∂y 2
∂z 2
⎠
⎝
⎝
⎞
⎟⎟e x
⎠
( 52 )
1
0.9
0.8
0.7
0.6
⎛ π ⎞
0.5
cos ⎜ θ ⋅
⎝ 180 ⎠
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ
Abbildung 3. cos(θ) als Funktion von θ.
7
Anhang 2. Berechnung der Amplitudenreflexions- und Transmissionskoeffizienten
Hier berechnen wir den Amplitudentransmissions- und Reflexionskoeffizienten für Lichteinfall von
links. Betrachten wir zunächst den Fall der TE-Polarisation. Aus den Randbedingungen erhalten wir
unter Berücksichtigung von Abschnitt 2.1.:
E y,f,i + E y,b,i = E y,f,i+1
( 53 )
− H x,f,i + H x,b,i = − H x,f,i+1
( 54 )
H-Feld und E-Feld hängen zusammen über:
E n
Ef,i ni
cos(θ i ) = y,f,i i cos(θ i )
Z0
Z0
H x,f,i = H f,i cos(θ i ) =
( 55 )
Entsprechendes gilt für Hx,b,i und Hx,f,i+1. Einsetzen von ( 55 ) in ( 54 ) ergibt:
−
E y,f,i ni
Z0
E y,b,i ni
cos(θ i ) +
Z0
cos(θ i ) = −
E y,f,i+1ni +1
Z0
cos(θ i +1 )
( 56 )
Um den Amplitudenreflexionskoeffizienten zu berechnen, setzen wir ( 53 ) in ( 56 ) ein:
−
E y,f,i ni
Z0
E y,b,i ni
cos(θ i ) +
Z0
cos(θ i ) = −
(E
y,f,i
+ E y,b,i ) ni +1
Z0
cos(θ i +1 )
( 57 )
Auflösen ergibt den gewünschten Amplitudenreflexionskoeffizienten für TE-Polarisation:
rTE ,i ,i +1 =
E y,b,i
E y,f,i
=
ni cos(θ i ) − ni +1 cos(θ i +1 )
ni cos(θ i ) + ni +1 cos(θ i +1 )
( 58 )
Der Amplitudentransmissionskoeffizient berechnet sich entsprechend durch Einsetzen von Ey,b,i aus
( 53 ) in ( 56 ):
−
E y,f,i ni
Z0
cos(θ i ) +
(E
y,f,i+1
− E y,f,i ) ni
Z0
cos(θ i ) = −
E y,f,i+1ni +1
Z0
cos(θ i +1 )
( 59 )
Auflösen ergibt:
tTE ,i ,i +1 =
E y,f,i+1
E y,f,i
=
2ni cos(θ i )
ni cos(θ i ) + ni +1 cos(θ i +1 )
( 60 )
Die Randbedingungen für TM-Polarisation lauten entsprechend:
E x,f,i + E x,b,i = E x,f,i +1
( 61 )
H y,f,i − H y,b,i = H y,f,i+1
( 62 )
H-Feld und E-Feld hängen wieder zusammen über:
H y,f,i = H f,i =
Ef,i ni
Z0
=
E x,f,i ni
Z 0 cos(θ i )
( 63 )
Entsprechendes gilt für Hy,b,i und Hy,f,i+1. Einsetzen von ( 63 ) in ( 62 ) ergibt:
8
E x,f,i ni
Z 0 cos(θ i )
−
E x,b,i ni
Z 0 cos(θ i )
=
E x,f,i+1ni +1
Z 0 cos(θ i +1 )
( 64 )
Um den Amplitudenreflexionskoeffizienten zu berechnen, setzen wir ( 61 ) in ( 64 ) ein:
(E + E x,b,i )ni+1
E x,f,i ni
E x,b,i ni
−
= x,f,i
Z 0 cos(θ i ) Z 0 cos(θ i )
Z 0 cos(θ i +1 )
( 65 )
Auflösen ergibt:
rTM ,i ,i +1 =
E x,b,i ni / cos(θ i ) − ni +1 / cos(θ i +1 )
=
E x,f,i ni / cos(θ i ) + ni +1 / cos(θ i +1 )
( 66 )
Entsprechend erhalten wir den Amplitudentransmissionskoeffizient durch Einsetzen von Ex,b,i aus
( 61 ) in ( 65 ):
E x,f,i ni
Z 0 cos(θ i )
−
(E
x,f,i +1
− E x,f,i )ni
Z 0 cos(θ i )
=
E x,f,i +1ni +1
Z 0 cos(θ i +1 )
( 67 )
Auflösen ergibt:
tTM ,i ,i +1 =
E x,f,i +1
2ni / cos(θ i )
=
E x,f,i
ni / cos(θ i ) + ni +1 / cos(θ i +1 )
( 68 )
9