Topologie

Topologie
Anton Deitmar
1
Inhaltsverzeichnis
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
7
9
10
11
13
14
15
16
2
Fundamentalgruppe und Ueberlagerungen
2.1
Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Die universelle überlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18
21
23
3
Mannigfaltigkeiten und CW-Komplexe
3.1
Mannigfaltigkeiten . . . . . . . .
3.2
CW-Komplexe . . . . . . . . . .
3.3
Einhängung . . . . . . . . . . . .
3.4
Homotopie-Äquivalenz . . . . .
3.5
Simplizialkomplexe . . . . . . .
3.6
Klassifizierende Räume . . . . .
4
5
6
7
Grundlagen
1.1
Definitionen . . . . . . .
1.2
Faserprodukte . . . . .
1.3
Hausdorff-Räume . . .
1.4
Kompaktheit . . . . . .
1.5
Finaltopologien . . . . .
1.6
Verklebung . . . . . . .
1.7
Initialtopologie . . . . .
1.8
Der Satz von Tychonov
1.9
Lokalkompakte Räume
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
30
33
33
35
36
Homologie
4.1
Simpliziale Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Singuläre Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Deformationsretrakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Die Raumpaar-Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6
Relative Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7
Raumpaarabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8
Ausschneidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9
Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie
4.10
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11
Abbildungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12
Mayer-Vietoris Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13
Homologie und Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
41
45
50
51
52
55
56
60
63
64
65
66
Kategorien und Funktoren
5.1
Kategorien . . . . . . . . . . . .
5.2
Epis und Monos . . . . . . . .
5.3
Produkte und Coprodukte . .
5.4
Faser- und Cofaserprodukte .
5.5
Funktoren . . . . . . . . . . . .
5.6
Natuerliche Transformationen
5.7
Aequivalenz von Kategorien .
5.8
Abelsche Kategorien . . . . . .
70
70
72
74
75
77
79
80
81
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kohomologie
6.1
Motivation: de Rham Kohomologie
6.2
Singuläre Kohomologie . . . . . . .
6.3
Der universelle Koeffizientensatz .
6.4
Homotopie-Invarianz . . . . . . . .
6.5
Die Raumpaar-Sequenz . . . . . . .
6.6
Die Mayer-Vietoris Sequenz . . . . .
6.7
Das Cup-Produkt . . . . . . . . . . .
6.8
Die Künneth-Formel . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
86
. 86
. 87
. 87
. 93
. 94
. 97
. 98
. 103
Garben
7.1
Praegarben . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Halme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4
Garbifizierung . . . . . . . . . . . . . . .
7.5
Etalgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6
Äquivalenz von Garben und Etalgarben
7.7
Direkte und inverse Bilder . . . . . . . .
7.8
Lokalkonstante Garben . . . . . . . . . .
7.9
Der Schnittfunktor . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
110
110
111
113
118
120
122
125
126
130
Topologie
7.10
7.11
7.12
7.13
8
Abgeleitete Funktoren
Garbenkohomologie .
Feine Garben . . . . .
Gruppenkohomologie
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
132
144
145
149
Vergleich verschiedener Kohomologietheorien
152
8.1
De Rham Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.2
Singuläre Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.3
Cech-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Topologie
1
4
Grundlagen
1.1
Definitionen
Zur Erinnerung: ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O) bestehend aus einer Menge
X und einem System O ⊂ P(X) von Teilmengen von X mit
• ∅, X ∈ O.
• A, B ∈ O ⇒ A ∩ B ∈ O,
• Ai ∈ O ∀i ∈ I ⇒
S
i∈I
Ai ∈ O.
Das System O heißt Topologie und die Elemente von O heißen offene Mengen.
n
o
Beispiele 1.1.1.
• die triviale Topologie O = ∅, X ,
• die diskrete Topologie O = P(X).
Definition 1.1.2. Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung d : X × X → [0, ∞)
mit
• d(x, y) = d(y, x)
Symmetrie
• d(x, y) = 0 ⇔ x = y
Definitheit
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
Dreiecksungleichung
Ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Metrik d auf X heißt metrischer
Raum. Sei ein solcher gegeben und für x ∈ X und r > 0 sei
def
Br (x) =
n
y ∈ X : d(x, y) < r
o
der offene Ball um x vom Radius r. Sei O ⊂ P(X) die Menge aller Vereinigungen offener
Bälle. Aus der Dreiecksungleichung folgt, dass
n
o
O = U ⊂ X : x ∈ U ⇒ Br (x) ⊂ U für ein r > 0 .
Hieraus ergibt sich, dass O eine Topologie ist.
Topologie
5
Beispiel 1.1.3. Die Topologie von R und die von C sind gegeben durch die Metrik
d(x, y) = |x − y|.
Lemma 1.1.4. Sei X eine Menge und E ⊂ P(X). Dann gibt es eine kleinste Topologie OE , die
E enthält, diese heißt die von E erzeugte Topologie.
Man kann OE explizit konstruieren wie folgt: Sei S die Menge aller endlichen Schnitte von
Mengen aus E, also
n
o
S = A1 ∩ · · · ∩ An : A j ∈ E
Dann ist OE die Menge deren Elemente neben X beliebige Vereinigungen von Mengen aus S
sind.
Beweis. Man setzt
[
OE =
O
O⊃E
O Topologie
dann ist dies eine Topologie, die offensichtlich jede Topologie enthält, die ihrerseits E
umfasst. Nun zur Konstruktion. Sei O0 das im Lemma konstruierte Mengensystem.
Da OE eine Topologie ist, enthält es S und also auch O0 . Andererseits ist O0 selbst auch
eine Topologie, also folgt O0 ⊃ OE .
Definition 1.1.5. Ist X ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge, so
installiere auf A die Teilraumtopologie:
def
OA =
n
o
U ∩ A : U offen in X .
Beispiel 1.1.6. Die Topologie von R ist die Teilraumtopologie von R ⊂ C.
Definition 1.1.7. Sind X, Y topologische Räume, so ist die Produkttopologie auf X × Y
die Topologie, die erzeugt wird von allen offenen Rechtecken U × V, wobei U ⊂ X und
V ⊂ Y offen sind.
Lemma 1.1.8. Die offenen Mengen in X × Y sind genau die Vereinigungen offener Rechtecke.
Beweis. Dies ergibt sich aus Lemma 1.1.4.
Definition 1.1.9. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt
stetig, falls für jede offene Menge U ⊂ Y das Urbild f −1 (U) ⊂ X offen ist.
Topologie
6
Beispiel 1.1.10. Für eine Abbildung f : R → R stimmt diese Definition mit der
Definition aus der Analysis überein, wie das ε − δ-Kriterium zeigt.
Sind f : X → Y und g : Y → Z stetig, so ist auch g ◦ f stetig.
Lemma 1.1.11. Ist f : X → Y eine Abbildung und sind Ai ⊂ Y für i ∈ I, dann gilt


[  [



f −1 (Ai )
f −1  Ai  =
 i∈I  i∈I
\  \ −1
f (Ai )
f −1  Ai  =
i∈I
i∈I
Beweis. Klar.
Lemma 1.1.12. (a) Sind X und Y topologische Räume und ist X × Y mit der
Produkttopologie versehen, so sind die Projektionen p1 : X × Y → X und p2 : X × Y → Y
stetig.
(b) Ist A ⊂ X und X ein topologischer Raum. Sei A versehen mit der Teilraumtopologie und
sei Z ein topologischer Raum. Dann ist eine Abbildung f : Z → A genau dann stetig,
f
i
wenn die Komposition Z −→ A −→ X stetig ist, wobei i : A → X die Inklusion
bezeichnet.
(c) Ist die Topologie auf Y von E ⊂ P(Y) erzeugt, dann ist eine Abbildung f : X → Y von
einem topologischen Raum X genau dann stetig, wenn f −1 (E) offen ist für jedes E ∈ E.
Beweis. (a) Sei U ⊂ X offen, dann ist p−1
(U) = U × Y offen in X × Y. Daher ist p1 stetig.
1
Der Beweis für die zweite Projektion geht ebenso.
(b) Sei f : Z → A stetig und sei U ⊂ X offen. Dann ist (i ◦ f )−1 (U) = f −1 (U ∩ A) offen in
Z, also ist i ◦ f stetig. Sei andersherum i ◦ f stetig und sei V ⊂ A offen, dann existiert
U ⊂ X offen mit V = U ∩ A. Dann ist f −1 (V) = f −1 (U ∩ A) = (i ◦ f )−1 (U) offen in Z, also
ist f stetig.
(c) Ist f stetig, so sind die f −1 (E) offen. Seien umgekehrt alle f −1 (E) offen. Da die
Abbildung f −1 mit Schnitten und Vereinigungen vertauscht, ist f −1 (U) offen für jedes
offene U.
Definition 1.1.13. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen, die
bijektiv ist so dass f und f −1 beide stetig sind, heißt Homöomorphismus. Existiert ein
Homöomorphismus zwischen X und Y, so heißen die Räume X und Y homöomorph.
Sie sind dann topologisch nicht mehr unterscheidbar.
Topologie
1.2
7
Faserprodukte
Definition 1.2.1. Seien α : X → Z und β : Y → Z stetige Abbildungen. Definiere das
Faserprodukt:
n
o
def
X ×Z Y = (x, y) ∈ X × Y : α(x) = β(y) .
Diese Menge wird mit der Teilraumtopologie von X ×Z Y ⊂ X × Y versehen. Man
erhält ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen;
p1
X ×Z Y
p2
/
X
α
β
Y
/
Z
mit der folgenden universellen Eigenschaft: Ist T ein topologischer Raum mit stetigen
Abbildungen f : T → X und g : T → Y so dass das Diagramm
f
T
g
β
Y
/
X
α
/Z
kommutiert, dann existiert genau eine stetige Abbildung ψ : T → X ×Z Y so dass das
Diagramm
T
#
)/
X ×Z Y
Y
β
/
X
α
Z
kommutiert. Zum Beweis dieser Eigenschaft setze ψ(t) = ( f (t), g(t)). Man sieht leicht,
dass ψ in der Tat die einzige Abbildung ist, die das Diagramm kommutativ macht.
Man nennt X ×Z Y das Faserprodukt von X und Y über Z. Genauer heißt jeder
topologische Raum mit der universellen Eigenschaft Faserprodukt. Durch die
universelle Eigenschaft ist er allerdings eindeutig festgelegt bis auf Homöomorphie.
Satz 1.2.2. Die universelle Eigenschaft bestimmt den Raum X ×Z Y bis auf
Homöomorphie eindeutig.
Topologie
8
Beweis. Seien A, B topologische Räume, die beide die universelle Eigenschaft des
Faserproduktes besitzen. Dann existieren eindeutig bestimmte Abbildungen
φ : A → B und ψ : B → A so dass die Diagramme
A
Yo
/
A_
φ
XO
und
Yo
B
/
ψ
XO
B
kommutieren. Dann kommutiert auch das Diagramm
/
A
XO
ψ◦φ
Yo
A
Dies letzte Diagramm kommutiert allerdings auch mit der Identität an Stelle von
ψ ◦ φ. Da aber nach der universellen Eigenschaft von A es nur eine Abbildung geben
kann, so dass das letzte Diagramm kommutiert, folgt
ψ ◦ φ = IdA .
Ebenso ergibt sich φ ◦ ψ = IdB . Damit ist φ ein Homöomorphismus.
Definition 1.2.3. Eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen Raumes heißt
abgeschlossen, falls das Komplement X r A offen ist. Es gilt
• ∅, X sind abgeschlossen,
• A, B abgeschlossen ⇒ A ∪ B abgeschlossen,
• Ai abgeschlossen für jedes i ∈ I ⇒
T
i∈I
Ai abgeschlossen.
Lemma 1.2.4. Sei A ⊂ X beliebig. Dann gibt es eine kleinste abgeschlossene Menge A, die A
enthält. Diese heißt der Abschluss von A.
Beweis. Setze
def
A =
\
S⊃A
S abgeschlossen
S
Topologie
9
Da beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, ist A
abgeschlossen. Ferner enthält es A und es enthält jede abgeschlossene Menge, die A
enthält.
Definition 1.2.5. Sei x ∈ X. Eine offene Menge U ⊂ X, die x enthält, heißt offene
Umgebung von x. Eine Umgebung von x ist eine Menge A, die eine offene Umgebung
enthält.
Ebenso definiert man für eine Teilmenge S ⊂ X eine offene Umgebung von S als eine
offene Menge U, die S umfasst, U ⊃ S.
Beispiele 1.2.6.
• (−1, 1) ist eine offene Umgebung von 0 ∈ R.
• (−1, 1] ist eine Umgebung von 0 ∈ R.
Lemma 1.2.7. Sei A ⊂ X. Ein gegebenes x ∈ X liegt genau dann in A, wenn für jede offene
Umgebung U von x gilt U ∩ A , ∅.
Beweis. Sei x ∈ A und sei V eine offene Menge mit V ∩ A = ∅, dann ist S = X r V eine
abgeschlossene Menge, die A enthält, also auch A und es folgt x ∈ S, damit ist V keine
Umgebung von x. Es folgt also U ∩ A , ∅ für jede offene Umgebung U von x.
Sei andersrum x < A, dann ist V = X r A eine offene Umgebung von x, die A nicht
trifft. Trifft also jede offene Umgebung von x die Menge A, so folgt x ∈ A.
1.3
Hausdorff-Räume
Definition 1.3.1. Ein topologischer Raum X heißt separiert oder Hausdorff-Raum, falls
die Diagonale
n
o
∆ = (x, y) ∈ X × X : x = y
abgeschlossen ist in X × X.
Lemma 1.3.2. X ist genau dann ein Hausdorffraum, wenn je zwei Punkte durch disjunkte
Umgebungen getrennt werden können, also wenn gilt
x , y ⇒ ∃U, V ⊂ X offen mit
x∈U
,
y∈V
U ∩ V = ∅.
Beweis. Sei X hausdorffsch und seien x , y in X. Dann ist (x, y) < ∆, also gibt es eine
offene Umgebung S ⊂ X × X von (x, y) mit S ∩ ∆ = ∅. Da S eine Vereinigung von
Topologie
10
offenen Rechtecken ist, gibt es ein offenes Rechteck U × V mit (x, y) ∈ U × V, also
x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅, da U × V ∩ ∆ = ∅.
Sei andersherum die Bedingung des Lemmas erfüllt, dann folgt, dass X × X r ∆ eine
Vereinigung offener Rechtecke ist, also ist ∆ abgeschlossen.
Beispiele 1.3.3.
• Ein metrischer Raum ist hausdorffsch, denn für x , y in X gilt
r = d(x, y) > 0, also sind U = Br/2 (x) und V = Br/2 (y) disjunkte offene
Umgebungen von x und y.
• Hat X mindestens 2 Elemente, dann ist die triviale Topologie auf X nicht
hausdorffsch.
1.4
Kompaktheit
Definition 1.4.1. Eine Familie (Ui )i∈I heißt Überdeckung von X, falls X ⊂
heißt offene Überdeckung, falls alle Ui offen sind.
S
i∈I
Ui . Sie
Beispiel 1.4.2. Die Familie aller offenen Intervalle (a, b) mit a, b ∈ Q ist eine offene
Überdeckung von R.
Definition 1.4.3. Eine Teilüberdeckung von (Ui )i∈I ist eine Überdeckung (U j ) j∈J , wobei J
eine Teilmenge von I ist. Der Raum X heißt kompakt, falls jede Überdeckung eine
endliche Teilüberdeckung hat.
Beispiel 1.4.4. Eine Teilmenge K ⊂ Rn ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt
und abgeschlossen ist.
Lemma 1.4.5. Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn für jede Familie
(Ai )i∈I abgeschlossener Mengen gilt: Ist
\
Ai , ∅
i∈E
für jede endliche Teilmenge E ⊂ I, so ist
\
Ai , ∅.
i∈I
Man sagt hierzu auch: Das System der abgeschlossenen Mengen eines kompakten
Raums erfüllt die endliche Schnitteigenschaft.
Topologie
11
Beweis. Sei X kompakt und sei (Ai )i∈I eine Familie abgeschlossener Mengen mit
T
i∈I Ai = ∅. Dann bilden die Mengen Ui = X r Ai eine offene Überdeckung von X. Da
X kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung, also eine endliche Teilmenge
T
E ⊂ I mit i∈E Ai = ∅. Die Umkehrung folgt analog.
Lemma 1.4.6. (a) Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist kompakt (in der
Teilraumtopologie).
(b) Ist X ein Hausdorff-Raum, dann ist jede kompakte Teilmenge K ⊂ X abgeschlossen.
Beweis. (a) Sei X kompakt und A ⊂ X abgeschlossen. Sei (Ui )i∈I eine offene
Überdeckung von A. Das heißt, jedes Ui ist offen in A, es existiert also ein Vi ⊂ X, das
n
o
offen ist in X mit Ui = A ∩ Vi . Dann ist (Vi )i∈I ∪ X r A eine offene Überdeckung von
S
X, also existiert eine endliche Menge E ⊂ I mit X = (X r A) ∪ i∈E Vi . Dann ist (Ui )i∈E
eine endliche Teilüberdeckung von (Ui )i∈I .
(b) Sei X hausdorffsch und K ⊂ X kompakt. Sei a ∈ X r K. Nach der
Hausdorffeigenschaft existieren zu jedem x ∈ X zwei offene Mengen Ux , Vx mit x ∈ Ux ,
a ∈ Vx und Ux ∩ Vx = ∅. Die Familie (Ux )x∈K ist dann eine Ueberdeckung von K, also
gibt es nach der Kompaktheit von K Elemente x1 , . . . , xn ∈ K so dass
K ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn =: U. Sei V = Vx1 ∩ · · · ∩ Vxn , dann ist V eine offene Umgebung von
a so dass K ∩ V = ∅. Daher liegt a nicht im Abschluss K von K. Da dies fuer jedes a < K
gilt, folgt K = K, also ist K abgeschlossen.
1.5
Finaltopologien
Lemma 1.5.1. Sei X eine Menge und ( fi )i∈I eine Familie von Abbildungen fi : Ti → X, wobei
(Ti , Ti ) ein topologischer Raum ist. Dann gibt es eine größte Topologie O auf X, mit der
Eigenschaft, dass alle fi stetig sind.
Diese heißt die durch die fi induzierte Finaltopologie.
Eine Teilmenge U von X ist genau dann offen in der Finaltopologie, wenn alle Urbilder fi−1 (U)
offen sind.
Beweis. Definiere
n
o
O = U ⊂ X : fi−1 (U) ist offen in Ti ∀i∈I .
Dann ist O eine Topologie auf X, denn
Topologie
12
• ∅ = fi−1 (∅) ∈ Ti , also ist ∅ ∈ O,
• Ti = fi−1 (X) ∈ Ti , also ist X ∈ O,
• A, B ∈ O ⇒ fi−1 (A ∩ B) = fi−1 (A) ∩ fi−1 (B) ∈ Ti also folgt A ∩ B ∈ O.
Die Abgeschlossenheit unter Vereinigungen beweist man ebenso. Damit ist O eine
Topologie. Ist nun O0 eine Topologie auf X, so dass alle fi stetig sind, also fi−1 (U) ∈ Ti
gilt für jedes U ∈ O0 und jedes i ∈ I, dann folgt O0 ⊂ O.
Proposition 1.5.2. Sei X versehen mit der Finaltopologie der fi : Ti → X. Fuer eine
Abbildung φ : X → Y gilt dann:
φ ist stetig
⇔
fuer jedes i ∈ I ist φ ◦ fi : Ti → Y stetig.
Beweis. Ist φ stetig, so auch alle Kompositionen φ ◦ fi . Umgekehrt sei φ ◦ fi stetig für
jedes i. Sei dann U ⊂ Y offen. Dann ist für jedes i die Menge (φ ◦ fi )−1 (U) = fi−1 (φ−1 (U))
offen in Ti , also ist φ−1 (U) offen in X.
Definition 1.5.3. Ein wichtiges Beispiel für Finaltopologien liefern
Äquivalenzklassenräume. Sei T ein topologischer Raum und sei ∼ eine
Äquivalenzrelation auf T. Sei X = T/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen, also
n
o
X = [t] : t ∈ T ,
n
o
wobei [t] = s ∈ T : s ∼ t die Äquivalenzklasse von t ∈ T bezeichnet. Man versieht X
dann mit der Finaltopologie der Projektion p : T → X mit p(t) = [t] und nennt diese
Topologie die Quotiententopologie.
Beispiel 1.5.4. Auf der Kreisscheibe
def
D2 =
n
o
x ∈ R2 : ||x|| ≤ 1
definiere die Äquivalenzrelation
x∼y
⇔




x = y oder



||x|| = ||y|| = 1.
Topologie
13
n o
Dann gibt es die Äquivalenzklassen [x] = x falls ||x|| < 1 und die Klasse
n
o
S1 = x ∈ R2 : ||x|| = 1 . Der Raum D2 / ∼ ist dann homöomorph zur 2-Sphäre
n
o
S2 = x ∈ R3 : ||x|| = 1 .
Definition 1.5.5. Sei allgemeiner A ⊂ X eine Teilmenge, so definiere eine
Äquvalenzrelation auf X durch
x∼y



x=y






oder





x, y ∈ A.
⇔
Schreibe X/A für den Quotienten X/ ∼. Der Teilraum A kollabiert in X/A zu einem
Punkt.
1.6
Verklebung
Seien α : Z → X und β : Z → Y stetige Abbildungen. Wir definieren die Verklebung von
X und Y entlang Z durch
a
.
def
·
Y
X
∪Y
∼,
X
=
Z
wobei x ∼ y ⇔ α(z) = x, β(z) = y für ein z ∈ Z.
Beispiel 1.6.1. Ist Z ein Punkt und X = Y = S1 , dann ist X
Kreise mit einem gemeinsamen Punkt.
`
Z
Y eine Acht, also zwei
Satz 1.6.2. Die Verklebung hat folgende universelle Eigenschaft: Zu jedem kommutativen
Diagramm stetiger Abbildungen
α /
Z
X
β
g
Y
existiert genau eine stetige Abbildung ψ : X
Z
β
Y
α
g
/
/
`
Z
f
P
Y → P so dass das Diagramm
/
X
f
Pc
ψ
(
X
`
Z
Y
Topologie
14
kommutiert. Hierbei sind die Abbildungen von X und Y nach X
Inklusionen induziert.
`
Z
Y von den
Diese universelle Eigenschaft ist dual zu der des Faserproduktes in dem Sinne, dass
alle Pfeile umgedreht sind. Deshalb nennt man die Verklebung auch das
Co-Faserprodukt.
Beweis. Sei P wie im Satz. Dfiniere
· → P
ψ̃ : X∪Y
durch ψ̃|X = f und ψ̃|Y = g. Dann ist ψ̃ stetig und aus x = α(z) und y = β(z) folgt
`
ψ̃(x) = ψ̃(y). Daher faktorisiert ψ̃ über X Z Y, definiert also eine Abbildung
`
ψ : X Z Y → P. Kommutativität des Diagramms und Eindeutigkeit von ψ sind
klar.
1.7
Initialtopologie
Lemma 1.7.1. Sei X eine Menge und für i ∈ I sei gi : X → Ti eine Abbildung in einen
topolgischen Raum Ti . Dann gibt es eine kleinste Topologie O auf X, die alle gi stetig macht.
Sie heißt die Initialtopologie der Familie ( fi )i∈I .
Beweis. Sei O die Topologie, die von allen Mengen der Form g−1
(U) erzeugt wird,
i
wobei U ⊂ Ti offen ist. Dann macht O alle gi stetig und es enthält jede Topologie, die
alle gi stetig macht.
Proposition 1.7.2. Sei X versehen mit der Initialtopologie einer Familie gi : X → Ti . Dann
ist eine Abbildung f : Z → X von einem topologischen Raum Z genau dann stetig, wenn alle
Kompositionen gi ◦ f : Z → Ti stetig sind.
Beweis. Ist f stetig, dann auch alle Kompositionen. Seien umgekehrt alle gi ◦ f stetig
und sei U ⊂ Ti offen. Dann ist g−1
(U) offen in X und die Topologie wird erzeugt von
i
diesen Mengen. Ferner ist f −1 (g−1
(U)) = (gi ◦ f )−1 (U) offen, daher ist f stetig.
i
Topologie
1.8
15
Der Satz von Tychonov
Sei I eine Indexmenge und fuer jedes i ∈ I sei ein topologischer Raum Xi , ∅ gegeben.
Q
Die Produkttopologie auf X = i∈I Xi ist die Initialtopologie der Projektionen
pi : X → Xi . Sie wird erzeugt von allen Mengen der Form
p−1
i (Ui ) = Ui ×
Y
X j,
j,i
wobei Ui eine offene Teilmenge von Xi ist. Damit ist jede offene Menge eine
Vereinigung von Mengen der Form
Ui1 × · · · × Uin ×
Y
Xi ,
i,i1 ,...,in
die ja endliche Schnitte von den obengenannten sind.
Satz 1.8.1 (Tychonov). X =
kompakt sind.
Q
i∈I
Xi ist genau dann kompakt ist, wenn alle Faktoren Xi
Beweis. Da die Projektion pi : X → Xi stetig ist, so ist jedes Xi kompakt, falls X
kompakt ist. Die schwierige Richtung ist die Umkehrung. Seien also alle Xi kompakt.
Sei F = (Fν )ν∈N eine Familie abgeschlossener Mengen in X mit der endlichen
Schnitteigenschaft (jeweils endlich viele haben nichtleeren Schitt), wobei N irgendeine
Indexmenge ist. Es gibt dann eine maximale Familie F ∗ = (Fν )ν∈N∗ mit F ∗ ⊃ F , die die
endliche Schnitteigenschaft hat. Dies folgt leicht aus dem Lemma von Zorn, da man
aus einer linear geordnete Mengen von Familien mit endlicher Schnitteigenschaft
durch Vereinigung eine obere Schranke gewinnt, die wieder die endliche
Schnitteigenschaft hat.
(A) Sind F1 , . . . , Fn ∈ F ∗ , so ist auch F1 ∩ · · · ∩ Fn in F ∗ wie aus der Maximalität von F ∗
folgt.
(B) Ist S ⊂ X irgendeine Teilmenge mit der Eigenschaft S ∩ Fν , ∅ fuer jedes Fν ∈ F ∗ ,
dann ist S ∈ F ∗ , wie aus der Maximalität folgt.
Sei i ∈ I. Die Familie abgeschlossener Mengen (pi (Fν ))ν∈N∗ hat die endliche
Topologie
16
Schnitteigenschaft, also gibt es ein zi in deren Schnitt. Sei
U = Ui1 × · · · × Uin ×
Y
Xi
i,i1 ,...,in
n
o
eine offene Umgebung von z = (zi )i∈I . Sei k ∈ 1, . . . , n . So gibt es zu jedem Fν ∈ F ∗ ein
f ∈ Fν mit pik ( f ) ∈ Uik , also gilt mit Sk = p−1
(Uik ), dass Sk ∩ Fν , ∅ ist. Nach (B) ist
ik
∗
Sk ∈ F . Nach (A) ist dann U = S1 ∩ · · · ∩ Sn ∈ F ∗ . Insbesondere hat U also nichtleeren
Schnitt mit jedem F ∈ F ∗ , also auch mit jedem F ∈ F . Da die Umgebungen U dieser
Form eine Umgebungbasis bilden, liegt z im Abschluss von Fν also in Fν fuer jedes
T
ν ∈ N. Damit ist n∈N Fn nichtleer und X ist kompakt.
1.9
Lokalkompakte Räume
Definition 1.9.1. Ein topologischer Raum X heißt lokalkompakt, falls jeder Punkt x ∈ X
eine kompakte Umgebung besitzt.
Beispiele 1.9.2.
• Rn ist lokalkompakt, da der Abschluss von B1 (x) eine kompakte
Umgebung von x ∈ Rn ist.
• Ein Banachraum ist genau dann lokalkompakt, wenn er endlichdimensional ist
(ohne Beweis).
Definition 1.9.3. Eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen Raumes heißt relativ
kompakt, falls der Abschluss A kompakt ist.
Beispiel 1.9.4. Das Intervall (0, 1) ⊂ R ist relativ kompakt in R.
Satz 1.9.5. Sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum, K ⊂ X kompakt und A ⊂ X
abgeschlossen mit A ∩ K = ∅.
(a) Ist x ∈ X r K, dann existieren relativ kompakte offene Umgebungen U von x und V
von K mit U ∩ V = ∅.
(b) Es existiert eine relativ kompakte offene Umgebung U von K mit
K ⊂ U ⊂ U ⊂ (X r A).
(c) Es existiert eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit f ≡ 0 auf K und f ≡ 1 auf A.
Topologie
17
Beweis. (a) Für jedes k ∈ K existieren relativ kompakte offene Umgebungen Uk,x von x
und Vk von k mit Uk,x ∩ Vk = ∅. Die Vk bilden eine offene Überdeckung von K, also gibt
S
T
es k1 , . . . kn ∈ K mit K ⊂ nj=1 Vk j = V. Sei U = nj=1 Uk j ,x . Dann erfüllen U und V die
Behauptung (a).
(b) Nach Teil (a) existiert eine offene, relativ kompakte Umgebung V von K. Dann ist
L = V ∩ A ebenfalls kompakt. Für jedes k ∈ K existieren eine offene, relativ kompakte
Umgebung Uk von k und Vk von L mit Uk ∩ Vk = ∅. Die Uk bilden eine offene
Überdeckung von K, also reichen endlich viele Uk1 , . . . , Ukn . Sei
U = V ∩ Uk1 ∪ · · · ∪ Ukn .
Dann ist U eine offene, relativ kompakte Umgebung von K und es gilt
U ∩ A ⊂ L ∩ Uk1 ∪ · · · ∪ Ukn = ∅.
Teil (b) ist bewiesen.
(c) wähle U wie in (b) und nenne diese Menge U 21 . Nach (b) existiert eine relativ
kompakte offene Umgebung U 14 von K mit
K ⊂ U 14 ⊂ U 14 ⊂ U 21 .
Ferner existiert U 34 mit
U 12 ⊂ U 43 ⊂ U 34 ⊂ (X r A).
Sei R die Menge aller Zahlen der Form 2kn mit k, n ∈ N im Intervall (0, 1). Durch
Iteration erhalten wir offene Mengen Ur für r ∈ R mit
K ⊂ Ur ⊂ Ur ⊂ Us ⊂ X r A
falls r < s in R. Wir definieren f wie folgt
 n
o



inf
r
∈
R
:
x
∈
U
falls das Infimum endlich ist.
r

f (x) = 


1
sonst.
Dann ist f ≡ 0 auf K und f ≡ 1 auf A. Für r < s in R gilt
f (r, s) =
−1
[
r<r0 <s0 <s
Us0 r Ur0 ,
Topologie
18
diese Menge ist offen. Also ist f stetig.
2
Fundamentalgruppe und Ueberlagerungen
2.1
Fundamentalgruppe
Definition 2.1.1. Das Einheitsintervall [0, 1] werde fortan auch mit I bezeichnet. Sei X
wegzusammenhängend. Ein Weg γ : [0, 1] → X heißt geschlossen, falls γ(0) = γ(1). Sei
x0 ∈ X ein Punkt und sei G(x0 ) die Menge aller geschlossenen Wege mit Endpunkt x0 ,
also die Menge aller stetigen Abbildungen γ : [0, 1] → X mit γ(0) = γ(1) = x0 . Zwei
Wege γ, τ : [0, 1] → X heißen homotop mit festen Enden, wenn es eine stetige Abbildung
h : [0, 1] × [0, 1] → X gibt mit
• h(0, t) = γ(t)
• h(1, t) = τ(t)
• h(s, 0) = γ(0) = τ(0)
• h(s, 1) = γ(1) = τ(1).
Weg 1
Weg 2
Homotopie von Wegen
Lemma 2.1.2. (a) Homotopie mit festen Enden ist eine Äquivalenzrelation ' auf G(x0 ).
def
(b) Die Menge der Äquivalenzklassen π1 (X, x0 ) = G(x0 )/ ' ist eine Gruppe mit der
Hintereinanderschaltung von Wegen als Verknüpfung. Die Inversion wird gegeben durch
Topologie
19
Rückwärtsgehen eines Weges. Also mit




0 ≤ t ≤ 21
γ(2t)
γ.τ(t) = 


τ(2t − 1) 12 < t ≤ 1
γ̌(t) = γ(1 − t)
wird π1 (X, x0 ) eine Gruppe mit der Verknüpfung [γ][τ] = [γ.τ]. Für die Inverse gilt
[γ]−1 = [γ̌]. Wir nennen diese Grupe die Fundamentalgruppe von X im Punkt x0 .
Beweis. (a)
• γ ' γ ist klar.
• γ ' τ ⇒ τ ' γ: Sei hierzu h : [0, 1] × [0, 1] → X eine Homotopie mit festen
Enden von γ nach τ. Dann ist h̃(s, t) = h(1 − s, t) eine Homotopie mit festen
Enden von τ nach γ.
• γ ' τ, τ ' η ⇒ γ ' η: Seien hierzu h1 eine Homotopie von γ nach τ und h2 eine
von τ nach η. Dann ist




0 ≤ s ≤ 12
h1 (2s, t)
h(s, t) = 


h2 (2s − 1, t) 12 < s ≤ 1
eine Homotopie von γ nach η.
(b) Für die Wohldefiniertheit ist zu zeigen, dass aus γ ' γ0 und τ ' τ0 folgt γ.τ ' γ0 .τ0 .
Sei hierzu h1 eine Homotopie von γ nach γ0 und h2 eine von τ nach τ0 . Setze




0 ≤ t ≤ 12
h1 (s, 2t)
h(s, t) = 


h2 (s, 2t − 1) 12 < t ≤ 1.
Dann ist h eine Homotopie von γ.τ nach γ0 .τ0 .
Damit ist die Gruppenverknüpfung wohldefiniert. Es ist leicht zu sehen, dass der
konstante Weg x0 ein neutrales Element ist. Wir zeigen noch γ.γ̌ ' x0 . Eine Homotopie
ist gegeben durch




0 ≤ t ≤ 12
γ(2t(1 − s))
h(s, t) = 


γ̌((2t − 1)(1 − s)) 21 < t ≤ 1
Topologie
20
Das Assoziativgesetz sei dem Leser zur Übung überlassen.
Notation Sind γ1 , . . . , γn Wege in X mit
Endpunkt von γ j
=
Anfangspunkt von γ j+1 .
Dann sei γ = γ1 .γ2 . · · · .γn der Weg



γ1 (nt)
0 ≤ t ≤ n1





1


< t ≤ n2
γ2 (nt − 1)
n
γ(t) = 
.


..





γn (nt − (n − 1)) n−1 < t ≤ 1.
n
Lemma 2.1.3. Sei X wegzusammenhängend. Sind x0 , x1 ∈ X, so sind die Gruppen π1 (X, x0 )
und π1 (X, x1 ) isomorph. Genauer liefert jeder Weg γ von x0 nach x1 einen Isomorphismus
φγ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 ). Sind γ und τ zwei Wege von x0 nach x1 , so gilt
γ ' τ ⇒ φγ = φτ . Allgemeiner gilt: φγ ist konjugiert zu φτ via γ.τ̌ ∈ π1 (X, x0 ), d.h., es gilt
φγ (x) = φτ ((γ.τ̌)x(γ.τ̌)−1 ).
Beweis. Der Isomorphismus φγ ist gegeben durch
φγ (η) = γ̌.η.γ.
Die Eigenschaften sind klar.
n
o
Beispiel 2.1.4. Sei X = T = z ∈ C : |z| = 1 S1 . Dann gilt für jedes z0 ∈ T:
π1 (X, z0 ) Z.
Für z0 = 1 ist ein Isomorpismus Z → π1 (X, 1) gegeben durch
k 7→ [γk ],
wobei γk (t) = e2πikt .
Zum Beweis betrachte die Abbildung π : R → T; t 7→ e2πit . Eine stetige Abbildung
γ : [0, 1] → T lässt sich in eindeutiger Weise zu einer stetigen Abbildung γ̃ : [0, 1] → R
Topologie
21
liften mit γ̃(0) = 0, so dass γ = π ◦ γ̃. Die Abbildung γ 7→ γ̃(1) ist eine Inverse zu
k 7→ [γk ].
Definition 2.1.5. Ein Raum X , ∅ heißt einfach zusammenhängend, wenn
• X wegzusammenhängend ist und
• die Fundamentalgruppe π1 (X, x0 ) trivial ist.
Lemma 2.1.6. Rn ist einfach zusammenhängend für jedes n ≥ 0. Ist n ≥ 2, so ist
n
o
Sn = x ∈ Rn+1 : ||x|| = 1 einfach zusammenhängend.
Beweis. Sei γ : [0, 1] → Rn mit γ(0) = γ(1) = 0. Dann ist h(s, t) = (1 − s)γ(t) eine
Homotopie mit festen Enden zum konstanten Weg 0.
Für Sn wähle einen Punkt x ∈ Sn mit x , x0 . Jeder Weg γ in Sn mit γ(0) = γ(1) = x0 ist
n o
homotop zu einem Weg γ̃ mit x < γ̃([0, 1]). Der Raum Sn r x ist aber homöomorph zu
n o
Rn via der stereographischen Projektion, also kann man jeden Weg in Sn r x zu
einem Punkt zusammenziehen.
2.2
Überlagerungen
Definition 2.2.1. Eine Überlagerung eines Raumes X ist eine stetige Abbildung
π : E → X,
so dass ein diskreter Raum D , ∅ existiert und zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung
U, so dass das Diagramm stetiger Abbildungen
π−1 (U)
/
π
#
X
|
U×D
p1
kommutiert, wobei der waagrechte Pfeil ein Homöomorphismus ist, p1 ist die
Projektion auf die erste Koordinate ist. Der Raum U × D trägt die Produkttopologie.
Da D diskret ist, ist das Produkt U × D homöomorph zur disjunkten Vereinigung
`
d∈D U von Kopien von U.
Eine Umgebung U von x mit dieser Eigenschaft heißt trivialisierende Umgebung.
Topologie
22
Der Grad der überlagerung ist die Kardinalität der Menge D.
Beispiele 2.2.2.
• Die triviale überlagerung p1 : X × D → X.
• Die Abbildung p : T → T gegeben durch p(z) = z2 ist eine nichttriviale
überlagerung des Torus T vom Grad 2. Diese ist im naechsten Bild dargestellt.
• Die Abbildung π : R → T, gegeben durch t 7→ e2πit ist eine nichttriviale
überlagerung vom Grad ∞. (Eigentlich ist der Grad ℵ0 , man unterscheidet
unendliche Grade aber nicht.)
Definition 2.2.3. Ein Homomorphismus von überlagerungen von E → X nach F → X ist
eine stetige Abbildung ψ : E → F so dass das Diagramm
ψ
E
X
/
F

kommutiert. Ein Isomorphismus ist ein Homomorphismus mit einem Inversen
Homomorphismus.
Lemma 2.2.4 (Liftung von Wegen). Sei π : E → X eine überlagerung. Sei γ : [0, 1] → X
eine stetige Abbildung. Dann gibt es zu jedem y ∈ π−1 (x0 ) mit x0 = γ(0) genau einen Weg
γ̃ y : [0, 1] → E mit γ̃ y (0) = y und π ◦ γ̃ y = γ.
Jedes solche γ̃ y heißt ein Lift von γ. Die Abbildung y 7→ γ̃ y (1) ist eine Bijektion von π−1 (x0 )
nach π−1 (x1 ), wobei x1 = γ(1).
Sind γ und τ Wege in X mit γ ' τ, dann gilt auch γ̃ y ' τ̃ y .
Beweis. Sei y ∈ π−1 (x0 ). Sei U ⊂ X eine trivialisierende Umgebung von x0 , d.h.,
π−1 (U) U × D. Dann existiert eine Umgebung U y von y so dass π|Uy ein
Topologie
23
Homöomorphismus von U y nach U ist. Sei t0 > 0 so dass γ([0, t0 )) ⊂ U, dann lässt sich
γ auf [0, t0 ) eindeutig liften zu einem Weg γ̃ mit γ̃(0) = y. Sei nun t1 > 0 das Supremum
aller t0 > 0 so dass γ|[0,t0 ) einen eindeutigen Lift γ̃ mit γ̃(0) = y besitzt. Sei V eine
trivialisierende Umgebung von γ(t1 ). In dieser Umgebung setzt sich der Lift eindeutig
fort, falls t1 < 1, also folgt t1 = 1.
Die Abbildung y 7→ γ̃ y (1) ist bijektiv, denn die entsprechende Abbildung für γ̌ ist eine
Inverse.
Seien γ ' τ in X und sei h : [0, 1] × [0, 1] → x eine Homotopie mit festen Enden. Wie
oben sieht man, dass man auch h eindeutig zu einer stetigen Abbildung
h̃ : [0, 1] × [0, 1] → E liften kann mit π ◦ h̃ = h und h̃(0, 0) = y. Dann liefert h̃ die
gewünschte Homotopie.
Proposition 2.2.5. Sei X wegzusammenhängend. Sei π : E → X eine überlagerung. Dann ist
jede Zusammenhangskomponente C von E wieder eine überlagerung von X. Ferner ist C offen
in E und wegzusammenhängend.
Also zerfüllt jede überlagerung eines wegzusammenhängenden Raums disjunkt in
wegzusammenhängende überlagerungen. Jede zusammenhängende überlagerung eines
wegzusammenhängenden Raumes ist wegzusammenhängend.
Beweis. Sei y0 ∈ E und sei x0 = π(y0 ). Sei W(y0 ) die Menge aller Punkte z ∈ E, die durch
einen Weg in E mit y0 verbunden werden können. Dies ist die
Wegzusammenhangskomponente oder Wegkomponente von y0 . Sei D = π−1 (x0 ) ∩ W(y0 ).
Sei x1 ∈ X und sei γ ein Weg von x0 nach x1 . Zu jedem z ∈ D gibt es genau einen Lift γ̃z
von γ nach E, der in z startet. Dann liegt γ̃z (1) in W(y0 ) und die Abbildung z 7→ γ̃z (1)
ist eine Bijektion von D nach D0 = π−1 (x1 ) ∩ W(y0 ). Es ist also W(y0 ) eine überlagerung.
Ferner ist W(y0 ) eine Vereinigungen von Mengen der Form U × DC , wobei U eine
trivialisierende Umgebung ist. Damit ist W(y0 ) offen und E zerfüllt in die
Wegkomponenten, die offen sind, also mit den Zusammenhangskomponenten
übereinstimmen.
2.3
Die universelle überlagerung
Satz 2.3.1. (a) Sei x0 ∈ X. Seien πE : E → X und πF : F → X wegzusammenhängende
überlagerungen und sei E einfach zusammenhängend. Wähle e ∈ π−1
(x0 ) und
E
Topologie
24
(x0 ) fest. Dann existiert genau ein Homomorphismus von Überlagerungen
f ∈ π−1
F
ψ : E → F mit ψ(e) = f .
(b) Insbesondere folgt: hat X eine einfach zusammenhängende überlagerung, so ist diese
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, wir nennen sie die universelle überlagerung
und schreiben sie als X̃ → X.
Beweis. (a) Sei y ∈ E und sei γ y ein Weg in E von e nach y. definiere
ψ(y) = (π]
E ◦ γ y ) f (1).
Das heißt, wir projizieren γ y zuerst nach X, liften es dann nach F und werten bei 1 aus.
Da E einfach zusammenhängend ist, ist γ y eindeutig bestimmt durch y bis auf
Homotopie mit festen Enden. Damit ist die Projektion πE ◦ γ y eindeutig bis auf
Homotopie mit festen Enden und also ist auch der Lift eindeutig bestimmt bis auf
Homotopie mit festen Enden, die Abbildung ψ ist also wohldefiniert. Da πE und πF
lokale Homöomorphismen sind, ist ψ stetig. Die Kommutativität des Diagramms ist
klar. Die Eindeutigkeit ist auch klar, denn ein gegebener Homomorphismus von
überlagerungen von E nach F muss den Weg γ y auf den eindeutigen Lift von πE ◦ γ y
werfen.
(b) Sind E und F zwei einfach zusammenhängende überlagerungen, und sind e, f wie
oben, dann gibt es eindeutig bestimmte Homöomorphismen ψ : E → F und φ : F → E
mit ψ(e) = f und φ( f ) = e. Dann ist φ ◦ ψ der eindeutig bestimmte Homöomorphismus
E → E der e auf e wirft, also ist φ ◦ ψ = Id. Ebenso folgt ψ ◦ φ = Id.
Definition 2.3.2. Ein Raum X heißt lokal-wegzusammenhängend, wenn jeder Punkt eine
Umgebungsbasis aus offenen wegzusammenhängende Mengen besitzt.
Lemma 2.3.3. Ein zusammenhängender Raum X, der lokal wegzusammenhängend ist, ist
wegzusammenhängend.
Beweis. Sei X wie im Lemma und sei x ∈ X. Sei W(x) die Wegkomponente von x. Dann
ist W(x) offen, denn für y ∈ W(x) gilt U ⊂ W(y), wobei U eine
wegzusammenhängende Umgebung von y ist. Damit zerfüllt X disjunkt in seine
offenen Wegkomponenten. Da X zusammenhängend ist, gibt es nur eine.
Definition 2.3.4. Ein Raum X heißt lokal einfach zusammenhängend, wenn jeder Punkt
eine einfach zusammenhängende Umgebung besitzt.
Topologie
25
Satz 2.3.5. Sei X zusammenhängend und lokal einfach zusammenhängend. Dann hat X
eine universelle überlagerung p : X̃ → X.
Die Fundamentalgruppe Γ = π1 (X, x0 ) operiert durch Homöomorphismen auf X̃, so dass
X Γ\X̃. Zu jeder überlagerung E → X gibt es ein Untergruppe Σ von Γ, so dass
E Σ\X̃.
Beweis. Wir konstruieren X̃ wie folgt: wähle einen Basispunkt x0 ∈ X und definiere X̃
als die Menge aller Wege τ mit Anfangspunkt x0 modulo Homotopie bei festen
Enden. Die Projektion p : X̃ → X ist
p([τ]) = τ(1).
Die Fundamentalgruppe Γ = π1 (X, x0 ) operiert auf X̃ durch
[γ][τ] = [γ.τ]
für [γ] ∈ Γ und [τ] ∈ X̃. Wir konsturieren die Topologie auf X̃ wie folgt: Sei [τ] ∈ X̃. Sei
x = τ(1) und U eine einfach zusammenhängende offene Umgebung von x in X. Für
jedes y ∈ U wähle einen Weg σ y von x nach y, der ganz in U verläuft. Dann ist σ y bis
auf Homotopie bei festen Enden eindeutig bestimmt. Sei
n
o
Ũ = [τ.σ y ] : y ∈ U
Dann ist p|Ũ eine Bijektion Ũ → U. Auf Ũ installieren wir die durch diese Bijektion
induzierte Topologie. Wir versehen X̃ schließlich mit der Finaltopologie der
Inklusionsabbildungen Ũ ,→ X̃, wobei U über alle einfach zusammenhängenden
offenen Teilmengen von X läuft. Wir zeigen nun: Ist γ ∈ Γ und γŨ ∩ Ũ , ∅, so folgt
γ = 1. Sei also γŨ ∩ Ũ , ∅. Dann gibt es y, z ∈ U mit γ.τ.σ y ' τ.σz . Durch Auswertung
bei 1 sieht man y = z, also γ.τ.σ y ' τ.σ y . Damit folgt
x0 ' γ.τ.σ y .σ̌ y .τ̌.
Es ist σ y .σ̌ y ' x0 und also τ.σ y .σ̌ y .τ̌ ' x0 und daher γ ' x0 , was bedeutet, dass γ das
Topologie
26
triviale Element von Γ repräsentiert. Wir zeigen weiter
p−1 (U) =
a
γŨ Ũ × Γ U × Γ.
γ∈Γ
Sei hierzu [η] ∈ p−1 (U), also η(1) = y ∈ U, dann ist γ = [η.σ̌ y .τ̌] ∈ Γ und es gilt
[η] = γ[τ.σ y ] ∈ γŨ. Damit ist p eine überlagerung.
X̃ ist wegzusammenhängend, denn sei [τ] ∈ X̃, dann gibt es einen Weg σ in X̃, der [τ]
mit dem konstanten Weg verbindet, nämlich
σ(s) = [t 7→ τ((1 − s)t)].
Sei π : E → X eine zusammenhängende Überlagerung. Nach Lemma 2.3.3 ist E
wegzusammenhängend. Wähle f ∈ π−1 (x0 ). Definiere η : X̃ → E durch
η([τ]) = τ̃ f (1),
wobei τ̃ f der eindeutige Lift des Weges τ nach E ist mit τ̃ f (0) = f . Da π ◦ τ̃ f = τ ist,
kommutiert das Diagramm
X̃
η

E
π
X.
Die Abbildung η ist surjektiv, denn sei e ∈ E und sei τ ein Weg in E von f nach e, dann
gilt wegen der Eindeutigkeit des Lifts: e = η([π ◦ τ]). Dann ist η eine überlagerung. Sei
n
o
Σ = λ ∈ X̃ : η(λ) = f
Dann ist Σ ⊂ Γ und η induziert einen Homöomorphismus Σ\X̃ → E.
Es bleibt zu seigen, dass X̃ einfach zusammenhängend ist. Dafür sei σ ein
geschlossenener Weg in X̃ mit Anfangspunkt y0 . Dann ist σ der eindeutig bestimmte
Lift des Weges p ◦ σ. Für t ∈ [0, 1] sei τt der Weg in X gegeben durch
τt (s) = p ◦ σ((1 − s)t).
Dann ist σ̃(t) = τt (1) ebenfalls ein Lift von p ◦ σ mit Anfangspunkt y0 , also ist σ = σ̃.
Topologie
27
Daher können wir eine Homotopie h : [0, 1] × [0, 1] → X̃ definieren:
h(s, t) = τt (1 − s),
wobei wir τt (1 − s) interpretieren als τs,t (1), wobei τs,t der Weg τs,t (r) = τt ((1 − s)r) ist.
Dann ist h eine Homotopie auf den konstanten Weg.
Beispiel 2.3.6. Für n ∈ N sei Kn ⊂ R2 der Kreis mit Radius n1 und Mittelpunkt ( n1 , 0).
Sei X ⊂ R2 die Vereinigung aller Kreise Kn für n ∈ N. Der Raum X ist nicht lokal
einfach zusammenhängend, da keine Umgebung des Punktes (0, 0) einfach
zusammenhängend ist. Dieser Raum besitzt keine universelle Überlagerung, da jede
überlagerung das homöomorphe Bild einer Umgebung des Punktes (0, 0) enthalten
muss, aber keine Umgebung dieses Punktes einfach zusammenhängend ist.
Beispiele 2.3.7.
• Die Abbildung R → T gegeben durch t 7→ e2πit ist die
universelle Überlagerung von T S1 .
• Rn → Rn /Zn ist die universelle Überlagerung.
n o
• Wir schreiben R× für R r 0 . Sei n ≥ 2 und sei P(Rn ) der n- dimensionale
projektive Raum, d.h.:
n o.
Pn (R) = (Rn+1 r 0 ) R× = Sn / ± 1.
Dann ist π : Sn → Pn (R) eine zweifache Überlagerung und Sn ist einfach
zusammenhängend, also ist Sn die universelle überlagerung von Pn (R).
Lemma 2.3.8. Seien τ, σ Wege in X von x0 nach x1 . Ist τ.σ̌ ' x0 , dann ist τ ' σ.
Beweis. Aus τ.σ̌ ' x0 folgt τ ' τ.σ̌.σ ' σ.
Definition 2.3.9. Eine Gruppe Γ operiert frei oder fixpunktfrei auf einer Menge M, falls
für jedes m ∈ M und jedes γ ∈ Γ gilt
γm = m
⇒
γ = 1,
also wenn alle Stabilisatorgruppen trivial sind.
Sei nun Y ein topologischer Raum. Eine Gruppe Γ operiert diskontinuierlich auf Y,
wenn jeder Punkt y ∈ Y eine offene Umgebung U besitzt mit
γU ∩ U , ∅
→
γ = 1.
Topologie
28
Operiert Γ diskontinuierlich, so operiert Γ auch frei.
Wir sagen, dass eine Gruppe Γ auf einem Raum X stetig operiert, wenn für jedes γ ∈ Γ
die Abbildung x 7→ γx stetig ist. Diese Abbildung ist dann automatisch ein
Homöomorphismus.
Lemma 2.3.10. Sei G eine endliche Gruppe, die stetig und frei auf einem vollständigen
metrischen Raum (X, d) operiert. Dann operiert G diskontinuierlich.
Beweis. Angenommen, G operiert nicht diskontinuierlich, dann existiert ein Punkt
x ∈ X so dass es für jedes Un = B1/n (x), n ∈ N ein gn ∈ G gibt mit gn , 1 und
gn Un ∩ Un , ∅. Da G endlich ist, kann man gn = g für ein g ∈ G annehmen. Das heißt,
für jedes n gibt es xn , yn ∈ Un mit xn = gyn . Die Folgen xn und yn konvergieren beide
gegen x, also folgt aus der Stetigkeit, dass gx = x. Widerspruch!
Definition 2.3.11. Eine Gruppe Γ operiert transitiv auf einer Menge M, wenn M nur
aus einem einzigen Orbit besteht, wenn also gilt
m, n ∈ M
∃ γ ∈ Γ : γm = n.
⇒
Sei X wegzusammenhängend und π : E → X eine überlagerung. Eine
Decktransformation ist ein Homöomorphismus d : E → E derart, dass das Diagramm
/
d
E
π
X

E
π
kommutiert. Sei Γ(π) die Gruppe aller Decktransformationen.
Proposition 2.3.12. Sei X wegzusammenhängend und π : E → X eine überlagerung.
(a) Ist E zusammenhängend und d eine Decktransformation mit d(e) = e für ein e ∈ E, dann
ist d = IdE . Insbesondere folgt: Ist π die universelle Überlagerung, so ist Γ(π) π1 (X).
(b) Ist Y einfach zusammenhängend und operiert eine Gruppe Γ diskontinuierlich und stetig
auf Y, so gilt Y = X̃ mit X = Γ\Y, sowie Γ π1 (X).
Beweis. (a) Sei d(e) = e und sei f ∈ E. Dann existiert ein Weg α von e nach f in E. Sei
γ = π ◦ α. Dann ist α der eindeutig bestimmte Lift von γ nach E mit α(0) = e, also
Topologie
29
α = γ̃e . Andererseits ist d ◦ α ebenfalls ein Lift von γ mit d ◦ α(0) = d(α(0) = d(e) = e,
also folgt d ◦ α = α und somit d( f ) = d ◦ α(1) = α(1) = f , das heißt, d = Id.
Ist π universell, so operiert Γ = π1 (X, x0 ) diskontinuierlich auf X̃ durch
Decktransformationen, also Γ ,→ Γ(π). Nun operiert Γ auch transitiv auf der Faser
F = π−1 (x0 ). Sei also d eine Decktransformation und e ∈ F. Dann existiert ein γ ∈ Γ mit
d(e) = γ(e), also γ−1 d(e) = e, also γ−1 d = Id oder γ = d.
(b) Sei Y einfach zusammenhängend und Γ operiere diskontinuierlich. Wir zeigen,
def
dass die Projektion π : Y → X = Γ\Y eine überlagerung ist. Sei hierzu x ∈ Γ\Y, etwa
x = Γy. Sei V eine offene Umgebung von y mit γV ∩ V , ∅ ⇒ γ = 1. Dann ist
U = π(V) eine offene Umgebung von x und das Diagramm
π−1 (U) =
`
γ∈Γ
γV
π
/
'
U
x
V×ΓU×Γ
p1
kommutiert. Damit ist π eine überlagerung. Da Y einfach zusammenhängend ist, folgt
Y X̃.
3
Mannigfaltigkeiten und CW-Komplexe
3.1
Mannigfaltigkeiten
Definition 3.1.1. Ein Raum X heißt lokal euklidisch der Dimension n, falls jeder Punkt
x ∈ X eine offene Umgebung U besitzt, die homöomorph ist zum Rn . Eine
Mannigfaltigkeit ist ein lokal euklidischer Hausdorffraum, dessen Topologie abzählbar
erzeugt ist.
Beispiele 3.1.2.
• Rn , Sn , Rn /Zn .
• Möbiusband.
Definition 3.1.3. Eine Fläche ist eine zweidimensionale zusammenhängende
Mannigfaltigkeit.
Beispiele 3.1.4.
• Der Torus R2 /Z2 .
• Die Projektive Ebene P2 (R) = S2 /±1.
Topologie
30
Definition 3.1.5. Die Summe M#N zweier Flächen M und N erhält man, indem man in
jeder eine Kreisscheibe entfernt und die beiden Ränder verklebt. Es folgt also:
S2 #M M.
Satz 3.1.6. Jede kompakte Fläche gehört zu einer der folgenden Familien:
1. S2
2. Summe von g-Tori g ≥ 1,
3. Summe von k projektiven Ebenen k ≥ 1.
Beweis. Ohne Beweis.
3.2
CW-Komplexe
Definition 3.2.1. Sei X ein topologischer Raum und sei f : Sn−1 → X eine stetige
n
o
Abbildung. Sei Dn = x ∈ Rn : ||x|| ≤ 1 . Dann ist Sn−1 eine Teilmenge von Dn . Sei
`
Y = X Sn−1 Dn die Verklebung von X und Dn . Wir sagen, Y ist gleich X erweitert um
eine n-Zelle. Die Zelle ist das Innere von Dn . Ebenso kann man X simultan um eine
ganze Familie von n-Zellen erweitern, es seien dazu für jedes i ∈ I der Raum Dni eine
Kopie von Dn und es seien fi : Sn−1
→ X stetige Abbildungen, dann sei D = ∪· i∈I Dni ,
i
`
ferner S = ∪· i∈I Sn−1
. Dann ist X S D die Erweiterung von X um die n-Zellen Dni .
i
Ein CW-Komplex ist ein topologischer Raum X mit einer Folge von abgeschlossenen
Teilmengen (Xn )n≥0 so dass
• X=
S
n≥0
Xn ,
• X0 ist diskret.
• Xn entsteht aus Xn−1 durch Erweiterung um eine Familie von n-Zellen.
• X trägt die Finaltopologie der Einbettungen Xn ,→ X.
Topologie
31
Es folgt, dass eine Abbildung X → Y genau dann stetig ist, wenn Xn → Y stetig ist für
jedes n. Ferner ist U ⊂ X genau dann offen/abgeschlossen, wenn U ∩ Xn
offen/abgeschlosen ist für jedes n.
Ist X = Xn für ein n und ist n minimal mit dieser Eigenschaft, dann sagt man X hat die
Dimension n. Also ein 1-dimensionaler CW-Komplex ist ein Multigraph.
Ein CW-Komplex X heißt regulär, wenn für jede n-Zelle die Verklebungsabbildung
f : Sn−1 → Xn−1 ein Homöomorphismus aufs Bild ist. Beispiel: Ein Multigraph ohne
Schleifen.
Die Menge Xn wird das n-dimensionale Skelett von X genannt.
Proposition 3.2.2. Jeder CW-Komplex ist ein Hausdorffraum.
S
Beweis. Sei X = n Xn ein CW-Komplex und seien x , y in X. Sei n der kleinste Index
mit x, y ∈ Xn . Liegen x, y in derselben Zelle e, so gibt es in e offene Umgebungen, die x
und y trennen. Liegt x ∈ e und y ∈ Xn \ e, so gibt es offene Umgebungen, die x und
Xn \ e trennen. In jedem Fall gibt es offenen Teilmengen Un , Vn von Xn mit x ∈ Un ,
y ∈ Vn und Un ∩ Vn = ∅. Beim Anfügen einer (n + 1)-Zelle e gibt es offene Mengen
Un (e), Vn (e) ⊂ Xn ∪ e mit Un (e) ∩ Xn = Un , Vn (e) ∩ Xn = Vn und Un (e) ∩ Vn (e) = ∅. Durch
Vereinigung dieser Mengen über alle (n + 1)-Zellen erhalte offene Mengen
Un+1 , Vn+1 ⊂ Xn+1 , die x und y trennen und Un+1 ∩ Xn = Un , sowie Vn+1 ∩ Xn = Vn
erfüllen. Induktiv erhält man eine Folge solcher Mengen und setzt
U=
[
Un ,
V=
n
[
Vn .
n
Dies sind offenen Mengen, die x und y trennen.
Definition 3.2.3. Eine stetige Abbildung f : X → Y zwischen CW- Komplexen heißt
zellulär, falls f (Xn ) ⊂ Yn gilt für jedes n ≥ 0.
Ein Unterkomplex eines CW-Komplexes ist eine abgeschlossenen Teilmenge, die
Vereinigung von Zellen ist. Ist A ⊂ X ein Unterkomplex, so hat X/A eine natürliche
CW-Struktur.
Satz 3.2.4. Sei K eine kompakte Teilmenge eines CW- Komplexes X. Dann trifft K nur
endlich viele Zellen von X.
Umgekehrt ist eine abgeschlossene Teilemenge, die nur endlich viele Zellen trifft, kompakt.
Topologie
32
Beweis. Die Umkehrung ist trivial, da der Abschluss einer Zelle kompakt ist.
Sei A ⊂ X eine Teilmenge so dass für jede Zelle e der Schnitt A ∩ e höchstens einen
Punkt hat. Wir zeigen: A ist abgeschlossen. Sei An = Xn ∩ A. Die Menge A0 ist
abgeschlossen. Sei induktiv An bereits als abgeschlossen erkannt. Sei Bn+1 = An+1 \ An ,
· n+1 . Es ist zu zeigen, dass Bn+1 in Xn abgeschlossen ist. Nun ist
also An+1 = An ∪B
S
Xn+1 \ Bn+1 = Xn ∪ e e· , wobei die Vereinigung über alle (n + 1)-Zellen e läuft und e· ist
entweder gleich e oder gleich e minus ein Punkt. Damit ist Xn+1 \ Bn+1 eine offene
Umgebung von Xn in Xn+1 , also ist Bn+1 abgeschlossen in Xn+1 , und ist An+1
abgeschlossen. Insgesamt folgt, dass A abgeschlossen ist. Da dies ebenso für jede
Teilmenge von A gilt, ist A auch diskret.
Sei nun K ⊂ X kompakt. Wähle für jede Zelle e, die K trifft ein Element von K ∩ e und
sei A die Menge all dieser Punkte. Dann ist A ⊂ K abgeschlossen und diskret, also
endlich.
Satz 3.2.5. Ein CW-Komplex ist lokal einfach zusammenhängend.
S
Beweis. Sei X = n Xn ein CW-Komplex, sei x ∈ X und sei V eine offene Umgebung
von x in X. Wir zeigen: es gibt eine einfach zusammenhängende offene Umgebung
U ⊂ V von x. Sei n0 die kleinste Zahl mit x ∈ Xn0 , dann liegt x in einer n0 -Zelle e und
V ∩ e enthält eine einfach zusammenhängende Umgebung von x.
Induktiv sei Un eine einfach zusammenhängende Umgebung von x in V ∩ Xn . Wir
zeigen, dass es eine einfach zusammenhängende offene Umgebung Un+1 von x in
V ∩ Xn+1 gibt, mit Un+1 ∩ Xn = Un . Sei hierzu e eine (n + 1)-Zelle und sei f : Sn → Xn die
Verklebungsabbildung, die e definiert. Sei
e
Un+1










y



n+1
n
  ∈ Un 
.
=
y
∈
D
\
S
:
y
,
0,
f

 




y
Dann existiert ein ε > 0, so dass
n
o
def
e
e
Ũn+1
U
∩
x
:
>
1
−
ε
⊂ V,
||x||
n+1
=
Topologie
33
da Un ⊂ V. Setze
def
Un+1 =
[
e
Ũn+1
∩ Un ,
e
wobei die Vereinigung über alle (n + 1)- Zellen e läuft. Dann ist jeder geschlossene
Weg in Un+1 mit Enden in Un homotop (mit festen Enden) zu einem Weg in Un . Da Un
einfach zusammenhängend und Un+1 zusammenhängend, ist also Un+1 einfach
S
zusammenhängend. Dann ist aber auch U = n Un einfach zusammenhängend.
3.3
Einhängung
Sei X ein topologischer Raum. Die Einhängung von X ist
def
ΣX = X × [0, 1]/(x, 0) ∼ (x0 , 0), (x, 1) ∼ (x0 , 1).
Beispiel: ΣSn = Sn+1 für n ≥ 0.
3.4
Homotopie-Äquivalenz
Definition 3.4.1. Zwei stetige Abblidungen f, g : X → Y heißen frei homotop oder
einfach nur homotop, wenn es eine stetige Abbildung
h : [0, 1] × X → Y
gibt mit
h(0, x) = f (x),
h(1, x) = g(x)
für jedes x ∈ X. Wir schreiben in diesem Fall f ∼ g.
Beispiel 3.4.2. Jeder Weg ist frei homotop zu einem konstanten Weg.
Denn: sei γ : [0, 1] → X stetig, dann ist h(s, t) = γ((1 − s)t) eine Homotopie zum
konstanten Weg γ(0).
Definition 3.4.3. Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt Homotopie-Äquivalenz, falls es
eine stetige Abbildung g : Y → X gibt mit
f g ∼ IdY
und
g f ∼ IdX .
Topologie
34
Gibt es eine Homotpie-Äquivalenz zwischen X und Y, so heißen X und Y homotopieäquivalent, geschrieben X ∼ Y.
Beispiele 3.4.4.
• Sind X und Y homöomorph, dann sind sie
homotopie-äquivalent.
• Rn ist homotopie-äquivalent zum Punkt, denn die Abbildung φ : Rn → Rn ,
x 7→ 0 ist homotop zur Identität via der Homotopie
h(s, x) = sx.
Definition 3.4.5. Ein Raum X, der homotopie-äquivalent ist zu einem Punkt, heißt
zusammenziehbar.
Sei f : X → Y eine stetige Abbildung wegzusammenhängender Räume. Wir
definieren die Abbildung
π( f ) : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, f (x0 ))
durch
def
π( f )[γ] = [ f ◦ γ].
Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn γ ' τ ⇒ f ◦ γ ' f ◦ τ. Asserdem gilt
[ f ◦ (γ.τ)] = [( f ◦ γ).( f ◦ τ)],
so dass die Abbildung π( f ) ein Gruppenhomomorphismus ist.
Satz 3.4.6. Sind die zusammenhängenden Räume X und Y homotopie-äquivalent, dann
gilt
π1 (X) π1 (Y).
Beweis. Sei f : X → Y eine Homotopie-äquivalenz mit Homotopie-Inverser g : Y → X.
Dann bildet π1 (g f ) die Gruppe π1 (X, x0 ) auf π1 (X, g f (x0 )) ab. Sei nun h : [0, 1] × X → X
eine Homotopie von g f nach IdX , also h(0, x) = g( f (x)) und h(1, x) = x. Die Abbildung
h ◦ γ : [0, 1] × [0, 1] → X, wirft (s, t) auf h(s, γ(t)) und ist eine freie Homotopie zwischen
g f γ und γ, die aber durch geschlossene Wege verläuft. Sei σ(t) = h(1 − t, x0 ), dann
Topologie
35
verbindet der Weg σ die Punkte x0 = γ(0) und g f (x0 ). Dann ist σ.γ.σ̆ homotop mit
festen Enden zu g f γ, also ist [γ] 7→ [g f γ] 7→ [σ̆.g f γ.σ] die identische Abbildung auf
der Gruppe π1 (X, x0 ). Diese Abbildung ist aber gleich [γ] 7→ σ̆.π(g)π( f )[γ].σ. Also hat
der Gruppenhomomorphismus π( f ) die Linksinverse σ̆.π(g).σ̆. ähnlich zeigt man,
dass diese Abbildung auch rechtsinvers ist.
3.5
Simplizialkomplexe
Definition 3.5.1. Ein n-Simplex ist die konvexe Hülle von (n + 1) affin unabhängigen
Punkten im RN , wobei N ∈ N ist mit N ≥ n.


n


X


X

∆ = conv(v0 , . . . , vn ) = 
λ
v
:
λ
≥
0,
λ
=
1
.

j j
j
j




j=0
j
Sei X ein CW-Komplex. Die Menge der Ecken einer Zelle e ist die Menge
e ∩ X0 .
Der CW-Komplex X heisst Simplizialkomplex, wenn
• er regulär ist,
• jede n-Zelle genau n + 1 Ecken hat und
• zwei Zellen mit gleichen Ecken übereinstimmen, d.h.:
e ∩ X0 = f ∩ X0 ⇒ e = f.
Definition 3.5.2. Ein kombinatorischer Simplizialkomplex über einer Menge S ist ein
System E ⊂ P(S) von nichtleeren endlichen Teilmengen, so dass aus E ⊂ F ∈ E folgt
E ∈ E.
Proposition 3.5.3. Ist X ein Simplizialkomplex , so bildet das System der Eckenmengen von
Simplizes einen kombinatorischen Simplizialkomplex über X0 . Ist umgekehrt ein
kombinatorischer Simplizialkomplex (S, E) gegeben, so gibt es bis auf zelluläre Homöomorphie
genau einen Simplizialkomplex X so dass S X0 und E ist das System der Eckenmengen von
X. Mann nennt X die geometrische Realisierung des kombinatorischen Komplexes (S, E).
Topologie
36
Beweis. Der erste Teil ist klar. Zum zweiten sei (S, E) ein kombinatorischer
n
o
Simplizialkomplex. Zu jedem E = x0 , . . . , xn mit (n + 1) Elementen wähle einen
n-Simplex ∆E ⊂ RN . Setze
a
def
∆e / ∼,
X =
E∈E
wobei ∼ die Äquivalenzrelation ist, die für E ⊂ F den Simplex ∆E mit der
entsprechenden Seite von ∆F identifiziert. Die Proposition folgt.
Beispiel 3.5.4. Sei S eine Menge. Der volle kombinatorische Simplizialkomplex über S ist
die Menge E aller endlichen Teilmengen von S.
Proposition 3.5.5. Sei S , ∅ eine Menge und sei X die geometrische Realisierung des vollen
Simplizialkomplexes über S. Dann ist X zusammenziehbar.
Beweis. Sei s0 ∈ S ein fest gewählter Punkt. Für jeden Simplex ∆, der s0 als Ecke hat,
gibt es eine kanonische Homotopie h∆ : I × ∆ → ∆, die ∆ auf s0 zusammenzieht,
nämlich:
h∆ (t, x) = ts0 + (1 − t)x.
Insbesondere gilt: Ist ∆0 eine Seite von ∆, die s0 enthält, dann ist h0∆ = h∆ |I×∆0 . Man kann
also die h∆ zusammensetzen zu einer Homotopie, die die Vereinigung aller ∆ mit
s0 ∈ ∆ auf s0 zusammenzieht. Diese Vereinigung ist im Falle des vollen Komplexes
aber schon ganz X.
3.6
Klassifizierende Räume
Definition 3.6.1. Sei Γ eine Gruppe. Ein zusammenhängender CW-Komplex BΓ heißt
klassifizierender Raum von Γ, falls
• π1 (BΓ) Γ und
• die universelle Überlagerung B̃Γ ist zusammenziehbar.
Satz 3.6.2. Zu jeder Gruppe Γ existiert ein klassifizierender Raum.
Topologie
37
Beweis. Sei Γ eine Gruppe. Sei S = N × Γ. Sei E das System aller endlichen Teilmengen
E von S mit der Eigenschaft
n o
|E ∩ ( n × Γ)| ≤ 1
für jedes n ∈ N. Dann ist E ein kombinatorischer Simplizialkomplex über S. Die
Gruppe Γ operiert auf E durch Linkstranslation, also
n
o n
o
γ (k1 , γ1 ), . . . , (kn , γn ) = (k1 , γγ1 ), . . . , (kn , γγn ) .
Nach Konstruktion gilt
γE ∩ E , ∅ ⇒ γ = 1.
Sei X die geometrische Realisierung. Dann operiert Γ auf der Eckenmenge X0 und
diese Operation kann durch Konvexkombinationen auf alle Simplizes, also auf ganz X
ausgedehnt werden, so dass Γ durch zelluläre Homöomorphismen operiert. Wir
behaupten, dass X zusammenziehbar ist und dass Γ diskontinuierlich auf X operiert.
Sei A der Unterkomplex bestehend aus allen Simplizes, die keine Ecke der Gestalt
(1, γ) enthalten. In einem ersten Schritt geben wir eine Homotopie h1 : I × X → X and,
so dass h1 (s, a) = a für jedes a ∈ A, h1 (0, x) = x und h1 (1, x) ∈ A für jedes x ∈ X. Hierfür
sei x ∈ X. Ist x ∈ A, setze h1 (s, x) = x für alle s. Ist x < A, dann wähle einen Simplex ∆,
der x enthält. Dann gilt x = λ(1, γ) + (1 − λ)a für ein a ∈ A. Setze h1 (s, x) = (1 − s)x + sa.
Diese Homotopie hängt nicht von der Wahl des Simplex ab, liefert also die
gewünschte Homotopie. Als nächtes definieren wir eine Homotopie, die A innerhalb
von X auf einen Punkt zusammenzieht. Genauer sei h2 : I × A → X definiert durch
h2 (s, a) = (1 − s)a + sx0 ,
n o
wobei x0 ein festes Element von 1 × Γ ist, etwa (1, 1). Durch
Hintereinanderausführen dieser Homotopien erhält man eine Homotopie, die X auf
einenPunkt zusammenzieht, X ist also zusammenziehbar.
Um zu zeigen, dass Γ diskontinuierlich operiert, zeigen wir zunächst, dass für
gegebenes n die Gruppe Γ frei auf der Menge aller n-Simplizes operiert. Dies ist aber
genau äquivalent zu der oben beschriebenen Eigenschaft der freien Operation auf E.
Sei nun x ∈ X und sei n0 der kleinste Index mit x ∈ Xn0 . Wir konstruieren für jedes
n ≥ n0 eine offene Umgebung Un von x in Xn so dass gilt
γUn ∩ Un , ∅ ⇒ γ = 1,
und
Un+1 ∩ Xn = Un .
Topologie
38
Für n = n + 0 sei Un = e die n0 -Zelle, in der x liegt. Da Γ frei auf der Menge der
n0 -Zellen operiert, folgt die Eigenschaft. Nun sei n ≥ n0 und Un bereits konstruiert.
Fier jeden (n + 1)-Simplex ∆ wähle einen festen Punkt x∆ im Inneren von ∆ und setze
n
o
V∆ = tx∆ + (1 − t)y : 0 < t < 1, y ∈ ∆ ∩ Un .
S
Dann setze Un+1 = Un ∪ ∆ V∆ , wobei die Vereinigung über alle (n + 1)-Simplices läuft.
Die geforderten Eigenschaften ergeben sich. Setze schließlich
U=
[
Un .
n
Dann ist U eine offene Umgebung von x in X mit
γU ∩ U , ∅ ⇒ γ = 1.
Also operiert Γ diskontinuierlich und da X zusammenziehbar, also einfach
zusammenhängend ist, folgt
Γ π1 (Γ\X),
def
sowie dass X die universelle Überlagerung von BΓ = Γ\X ist.
Topologie
4
4.1
39
Homologie
Simpliziale Homologie
Definition 4.1.1. Sei S eine Menge. Die Gruppe
n
o
Fr(S) = Z(S) = f : S → Z : f (s) = 0 für fast alle s
heißt freie abelsche Gruppe zur Basis S. Für s ∈ S sei δs : S → Z gegeben durch




1
δs (x) = 


0
x = s,
x , s.
Dann ist (δs )s∈S eine Basis des Z-Moduls Z(S) . Es ist üblich, δs mit s zu identifizieren
und die Elemente der Gruppe in der Form
X
cs s
s∈S
zu schreiben, wobei cs ∈ Z, fast alle Null.
Sei (X0 , E) ein kombinatorischer Simplizialkomplex mit geometrischer Realisierung X.
Wir wählen eine lineare Ordnung ≥ auf der Menge X0 . Dann induziert ≥ eine
Ordnung ≥E auf jeder endlichen Teilmenge E. Sei Sn die Menge aller Zellen der
Dimension n, also der Elemente e ∈ E mit |e| = n + 1. Sei Cn (X) die freie abelsche
Gruppe über Sn . Ein Element von Sn kann man schreiben als [v0 , . . . , vn ] mit
v0 ≤ · · · ≤ vn . Definiere eine Z-lineare Abbildung
∂n : Cn (X) → Cn−1 (X),
den Randoperator, durch
∂n [v0 , . . . , vn ] =
n
X
i=0
Lemma 4.1.2. Es gilt ∂n−1 ∂n = 0.
(−1)i [v0 , . . . v̂i . . . , vn ].
Topologie
40
Beweis. Wir rechnen
n
X
(−1)i [. . . v̂i . . . ]
∂n−1 ∂n [v0 , . . . , vn ] = ∂n−1
X i=0
=
(−1)i+j [. . . v̂ j . . . v̂i . . . ]
j<i
+
X
(−1)i+j+1 [. . . v̂i . . . v̂ j . . . ] = 0.
j>i
Insbesondere folgt
Bild ∂n+1 ⊂ ker ∂n .
Definition 4.1.3. Wir definieren die simpliziale Homologie von X als
def
Hn (X) =
ker ∂n / Bild ∂n+1 .
Hierbei ist ∂0 die Nullabbildung.
Lemma 4.1.4. Die simpliziale Homologie hängt nicht von der wahl der Ordnung auf X0 ab.
Ist ≥0 eine weitere Ordnung mit Homologie Hn0 (X), dann gibt es einen kanonischen
Isomorphismus abelscher Gruppen
Hn (X) → Hn0 (X).
Beweis. Die Änderung der Ordnung induziert auf jeder endlichen Teilmenge E ⊂ X0
n
o
eine Permutation σE : E → E. Sei E = v0 , . . . , vn , so definiere
σ([v0 , . . . , vn ]) = [σ(v0 ), . . . , σ(vn )].
Dies induziert eine lineare Abbildung σ : Cn (X) → C0n (X) die bijektiv ist. Man rechnet
nach, dass
σ∂n = ∂0n σ
gilt. Daraus folgt die Behauptung.
Beispiele 4.1.5.
• Ist X ein Punkt, dann gilt




Z
Hn (X) = 


0
n=0
n ≥ 1.
Topologie
41
• Ist X Graph mit den Ecken v0 , v1 , v2 , wobei alle drei möglichen Kanten
vorhanden sind, dann gilt




Z
Hn (X) = 


0
n = 0, 1
n ≥ 2.
Beweis. Die zweite Aussage wird bewiesen: Es gilt Cn (X) = 0 für n ≥ 2, deshalb ist
Hn (X) = 0 für n ≥ 2. Ferner gilt
C0 = Z[v0 ] ⊕ Z[v1 ] ⊕ Z[v2 ]
C1 = Z[v0 , v1 ] ⊕ Z[v0 , v2 ] ⊕ Z[v1 , v2 ]
und
∂1 [vi , v j ] = [v j ] − [vi ].
Hieraus folgt
Bild ∂1 = Z([v1 ] − [v0 ]) ⊕ Z([v2 ] − [v0 ]).
Damit ist die Abbildung δ : H0 (X) → Z, gegeben durch
δ(a[v0 ] + b[v1 ] + c[v2 ]) = a + b + c ein Isomorphismus, also H0 (X) Z. Schließlich:
H1 (X) = ker ∂1 = Z([v1 , v2 ] − [v0 , v2 ] + [v0 , v1 ]) Z.
4.2
Singuläre Homologie
Definition 4.2.1. Der standard n-Simplex ist die Menge
∆n = conv(e0 , . . . , en ) ⊂ Rn+1 ,
wobei e0 , . . . , en die Standard-Basis des Rn+1 bezeichnet.
Sei X ein topologischer Raum. Ein singulärer n-Simplex ist eine stetige Abbildung
σ : ∆n → X.
Sei Cn (X) die freie abelsche Gruppe erzeugt von allen singulären n-Simplices in X. Da
ein 0-Simplex eine Abbildung des Einpunktraums nach X ist, kann C0 (X) auch mit der
Topologie
42
freien abelschen Gruppe über X identifiziert werden.
Ferner liefert die Abbildung t 7→ (1 − t)e0 + te1 einen Homöomorphismus [0, 1] → ∆1 .
Identifizieren wir auf diese Weise ∆1 mit dem Einheitsintervall, dann ist ein singulärer
1-Simplex nichts anderes als ein Weg in X.
Wir schreiben die konvexe Hülle von (e0 , . . . , en ) ab jetzt als [e0 , . . . , en ]. Sei
[e0 , . . . ê j . . . , en ] = [e0 , . . . , e j−1 , e j+1 , . . . , en ], dann kann man diesen Untersimplex mit
dem Standard (n − 1)-Simplex ∆n−1 identifizieren via der eindeutig bestimmten affinen
Abbildung S j : ∆n−1 → ∆n gegeben durch




ei
S j (ei ) = 


ei+1
i< j
i ≥ j.
Diese Abbildung nennt man auch die j-te Seitenabbildung.
Sei ∂n : Cn (X) → Cn−1 (X) die lineare Abbildung gegeben durch
∂n (σ) =
n
X
(−1)i σ|[e0 ,...êi ...,en ] .
i=0
Man nennt ∂n den Randoperator.
Lemma 4.2.2. Es gilt ∂n−1 ∂n = 0.
Beweis. Wir rechnen
n
X
∂n−1 ∂n (σ) = ∂n−1
(−1)i σ|[...êi ... ]
X i=0
=
(−1)i+j σ|[...ê j ...êi ... ]
j<i
+
X
(−1)i+j+1 σ|[...êi ...ê j ... ] = 0.
j>i
Definition 4.2.3. Die singuläre Homologie des Raums X ist definiert als
Hn (X) = Ker ∂n / Bild ∂n+1 .
Hierbei ist ∂0 die Nullabbildung.
Topologie
43
Proposition 4.2.4. (a) Ist X =
`
α
Xα die Zerlegung von X in Weg-Komponenten, dann gilt
Hp (X) =
M
Hp (Xα ).
α
(b) Ist X , ∅ und wegzusammenhängend, dann ist H0 (X) Z.
(c)



n o

Z p = 0,
Hp ( x0 ) = 


0 p ≥ 1.
Beweis. Da ein singulärer Simplex stets in einer Zusammenhangskomponente liegt, ist
L
Cn (X) =
C (Xα ). Ferner bildet ∂n den Raum Cn (Xα ) nach Cn−1 (Xα ) ab. Daher folgt
α n
(a).
Für (b) betrachte die Abbildung deg : C0 (X) → Z gegeben durch
X
X
deg(
ki xi ) =
ki .
i
i
Da X , ∅, ist deg surjektiv. Wir müssen zeigen, dass für wegzusammenhängendes X
der Kern von deg mit dem Bild von ∂1 übereinstimmt. Sei hierzu σ : [0, 1] → X ein
singulärer 1-Simplex. Sei x0 = σ(0) und x1 = σ(1). Dann folgt ∂1 σ = x0 − x1 ∈ C0 (X).
Also ist deg(∂1 σ) = 1 − 1 = 0, also Bild ∂1 ⊂ Ker deg. Sei umgekehrt f ∈ Ker deg. Dann
P
P
folgt f = N
i ki = 0. Dann lässt sich f schreiben in der Form
i=1 ki xi mit
f =
M
X
(a j − b j )
j=1
für geeignete Elemente a j , b j von X. Sei σ j ein Weg von a j nach b j , dann ist σ j ein
singulärer 1- Simplex, also ist
f =
X
X
∂1 (σ j ) = ∂1 (
σ j ) ∈ Bild ∂1 .
j
j
Schließlich für (c) sei X ein Punkt. Dann gibt es für jedes n genau einen singul ären
n-Simplex σn und es gilt
∂n σn =
n
X
i=0
(−1)i σn−1




σn−1
=


0
n gerade,
n ungerade.
Topologie
44
Also bilden die Cn (X) den Komplex
0
0
0
· · · −→ Z −→ Z −→ Z −→ Z −→ Z → 0.
Die Behauptung folgt.
Beispiele 4.2.5.




Z p = 0, n
n
• Sei n ≥ 1, dann ist Hp (S ) = 


0 sonst.
 n

()


Z p
n
n
• Hp (R /Z ) = 


0
0≤p≤n
sonst.
Beweis später.
Für spätere Argumente brauchen wir eine größere Flexibilität in der Beschreibung der
singulären Simplizes. Sind v0 , . . . , vn affin unabhängige Punkte im RN , so gibt es eine
eindeutig bestimmte affine Bijektion φ : ∆ = conv(v0 , . . . , vn ) → ∆n mit
φ(v j ) = e j
j = 0, . . . , n.
Durch Vorschalten von φ kann man also einen singulären n-Simplex σ auch als
Abbildung von ∆ nach X auffassen. Beachte, dass der Isomorphismus φ eine
Reihenfolge der Ecken des Simplex ∆ festlegt. In der Tat ist eine Reihenfolge der
Ecken erforderlich, um den Randoperator zu definieren. Wir schreiben also
σ : [v0 , . . . , vn ] → X für einen singulären n-Simplex, wobei wir σ ◦ φ meinen. Die
Schreibweise [v0 , . . . , vn ] deutet an, dass wir uns die Reihenfolge der Ecken des
Simplex ∆ merken.
Beachte, dass wir dann zwei Simplices σ : [v0 , . . . , vn ] → X und τ : [w0 , . . . , wn ] → X als
gleich betrachten müssen, wenn gilt




n
n
X

X





σ 
λ j v j  = τ 
λ j w j 




j=0
j=0
für jedes Tupel (λ j ) reeller Zahlen mit λ j ≥ 0 und
P
j
λ j = 1.
Topologie
4.3
45
Homotopie
Definition 4.3.1. Allgemeine Sprechweise: Eine Folge von Homomorphismen
abelscher Gruppen
∂n+1
∂n
· · · → Cn+1 −→ Cn → Cn−1 −→ . . .
heißt Kettenkomplex, falls
∂n ∂n+1 = 0
für jedes n gilt. Die Homologie des Komplexes ist dann
Hp (C) = Ker ∂n / Bild ∂n+1 .
Die Elemente von Ker ∂n heißen auch n-Zykel. man schreibt:
Zn (C) = Ker ∂n .
Die Elemente von Bild ∂n+1 heißen n-Ränder. Man schreibt:
Bn (C) = Bild ∂n+1 .
Also:
Hn (C) = Zn (C)/Bn (C).
Der Komplex ist exakt, oder eine exakte Sequenz, falls Hp (C) = 0 für jedes p gilt.
Definition 4.3.2. Sind (An , ∂n )n∈Z und (Bn , ∂n )n∈Z zwei Kettenkomplexe, so ist ein
Homomorphismus von Kettenkomplexen φ• : A• → B• gegeben durch eine Familie von
Gruppenhomomorphismen φn : An → Bn so dass fuer jedes n das Diagramm
An
∂n
/A
φn
Bn
∂n
/
n−1
φn−1
Bn−1
kommutiert. (Streng genommen muessten wir ∂An und ∂Bn schreiben, da es aber jeweils
klar ist, um welchen Randoperator es sich handelt, lassen wir den Index weg.)
Da ein Homomorphismus von Kettenkomplexen stets den Kern von ∂A auf den Kern
von ∂B wirft und ebenso fuer das Bild, induziert φ• stets Homomorphismen auf der
Topologie
46
Homologie:
φ∗ : Hp (A) → Hp (B).
Definition 4.3.3. Ein Homomorphismus von Kettenkomplexen φ• : A• → B• heisst
ketten-nullhomotop, falls es Gruppenhomomorphismen Pn : An → Bn+1 gibt, so dass
φn = ∂Pn + Pn−1 ∂
fuer jedes n ∈ Z gilt.
Wir verdeutlichen diese Situation durch das (nichtkommutative!) Diagram
An+1
φn+1
|
Bn+1
∂
/
Pn
∂
An
∂
/
φn
|
Bn
/
An−1
Pn−1
∂
/
φn−1
Bn−1 .
Lemma 4.3.4. Sei φ• : A• → B• ein Homomorphismus von Kettenkomplexen. Ist φ
algebraisch nullhomotop, dann ist φ∗ jeweils die Nullabildung, also
φ∗ = 0.
Beweis. Es gelte φn = ∂Pn + Pn−1 ∂. Sei dann α ∈ An mit ∂α = 0, so ist
φn (α) = ∂(Pn α) + Pn−1 ( ∂α ) = ∂(Pn α).
|{z}
=0
Damit liegt φn (α) im Bild von ∂, ist also Null in der Homologie, es folgt φ∗ = 0.
Definition 4.3.5. Seien X und Y topologische Raeume und f : X → Y stetig. Sei
f# : Cn (X) → Cn (Y) definiert durch
f# (σ) = f ◦ σ.
Lemma 4.3.6. Es gilt
f# ∂ = ∂ f# .
Also ist f# ein Homomorphismus von Kettenkomplexen.
Topologie
47
Beweis.
n
X
(−1)i σ|[...êi ... ]
f# ∂(σ) = f#
Xi=0
=
(−1)i f# (σ|[...êi ... ] )
i
X
=
(−1)i f ◦ σ|[...êi ... ]
i
X
=
(−1)i f# (σ)|[...êi ... ]
i
= ∂( f# σ).
Aus der trivialen Beobachtung ( f g)# = f# g# folgt sofort
( f g)∗ = f∗ g∗ .
Klar ist auch
Id∗ = Id.
Definition 4.3.7. Zwei stetige Abbildungen f, g : X → Y heissen (frei) homotop, falls es
eine stetige Abbildung h : [0, 1] × X → Y gibt so dass
h(0, x) = f (x),
h(1, x) = g(x)
fuer jedes x ∈ X gilt. Wir schreiben in diesem Fall f ∼ g.
Eine Homotopie-Aequivalenz ist eine stetige Abbildung f : X → Y so dass eine stetige
Abbildung k : Y → X existiert so dass
f ◦ k ∼ IdY und
k ◦ f ∼ IdX .
Satz 4.3.8. Sind f, g : X → Y homotop, dann gilt
f∗ = g∗ .
Insbesondere folgt, dass eine Homotopie- Äquivalenz f einen Isomorphismus auf der
Topologie
48
Homologie induziert.
Beweis. Sei ∆ ein n-Simplex. Wir teilen I × ∆ ⊂ RN+1 in (n + 1) Simplices wie folgt. Ist
n o
0 × ∆ = [v0 , . . . , vn ] und
n o
1 × ∆ = [w0 , . . . , wn ],
Dann ist I × ∆ Vereinigung der Simplices
[v0 , . . . , vi , wi , . . . , wn ]
Für i = 0, . . . , n. Sei nun h : I × X → Y eine Homotopie von f nach g, also
h(0, x) = f (x).
h(1, x) = g(x).
Definition 4.3.9. Definiere den Prisma Operator:
P : Cn (X) → Cn+1 (Y)
durch
n
X
P(σ) =
(−1)i h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...,vi ,wi ,...,wn ] ,
i=0
wobei h ◦ (1 × σ) die Abbildung
h
1×σ
I × ∆ −→ I × X −→ Y
bezeichnet.
Wir haben folgendes i.A. nicht kommutative Diagramm:
Cn+1 (X)
∂
/
Cn (X)
P
y
Cn+1 (Y)
∂
∂
/
Cn−1 (X)
/
P
y
Cn (Y)
∂
/
Cn−1 (Y)
Wir wollen zeigen:
g# − f# = ∂P + P∂.
Topologie
49
Hierzu berechnen wir:

 n

X
∂P(σ) = ∂  (−1)i h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...,vi ,wi ,...,wn ] 
Xi=0
=
(−1)i+j h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...,v̂ j ,...,vi ,wi ,...,wn ]
j≤i
+
X
(−1)i+j+1 h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...,vi ,wi ,...ŵ j ...,wn ]
j≥i
und


n

X


P∂(σ) = P  (−1) j σ|[v0 ,...v̂ j ...,vn ] 


j=0
X
=
(−1)i+j h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...,vi ,wi ,...ŵ j ...,wn ]
j>i
+
X
(−1)i+j+1 h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...v̂ j ...,vi ,wi ,...,wn ] .
j<i
Es folgt
∂P + P∂(σ) =
X
h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...,v̂ j ,w j ,...,wn ] −
j
X
h ◦ (1 × σ)|[v0 ,...,v j ,ŵ j ,...,wn ] .
j
Diese Terme heben sich weg bis auf
h ◦ (1 × σ)|[w1 ,...,wn ] − h ◦ (1 × σ)|v0 ,...,vn ] = g# − f# (σ).
Wir haben also gezeigt, dass der Homomorphismus von Kettenkomplexen g# − f#
ketten-nullhomotop ist. Nach Lemma 4.3.4 ist dann g∗ − f∗ auf der Homologie die
Nullabbildung, also f∗ = g∗ wie verlangt.
Beispiel 4.3.10.




Z p = 0
n
Hp (R ) = 


0 p ≥ 1.
Begründung: Rn ist homotopie-äquivalent zum Punkt.
Topologie
4.4
50
Deformationsretrakte
Definition 4.4.1. Sei A ⊂ X eine abgeschlossenen Teilmenge des Topologischen
Raums X. Dann ist A ein Deformationsretrakt von X, falls es eine stetige Abbildung
h : I × X → X, genannt Deformation, gibt mit
h(0, x) = x
x ∈ X,
h(1, x) ∈ A
x ∈ X,
h(t, a) = a
a ∈ A.
n o
Beispiel 4.4.2. S1 ∨ S1 ist ein Deformationsretrakt von C \ 0, 1 .
Definition 4.4.3. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt regulär abgeschlossen, falls A
abgeschlossen in X ist und es eine offene Umgebung U von A gibt, so dass A ein
Deformationsretrakt von U ist.
Beispiele 4.4.4.
• Eine eingebettete glatte Untermannigfaltigkeit M in X = RN ist
regulär abgeschlossen, denn es gibt eine Umgebung, die von Normalenfeldern
aufgespannt wird.
o n o
n
• Die Menge n1 : n ∈ N ∪ 0 ist abgeschlossen in R, aber nicht regulär
abgeschlossen.
Proposition 4.4.5. Ist X ein regulärer CW-Komplex, dann ist jeder Unterkomplex regulär
abgeschlossen.
S
S
Beweis. Sei X = n Xn ein regulärer CW- Komplex und Y = n Yn ein Unterkomplex.
Wir zeigen: Für jedes n gibt es eine offene Menge Un ⊂ Xn , so dass Yn ein
Deformationsretrakt von Un ist und dass gilt
Un+1 ∩ Xn = Un .
Ferner zeigen wir, dass es eine Deformation hn : I × Un → Un gibt, so dass hn+1 |I×Un = hn .
Da X0 diskret ist, kann man U0 = Y0 = Y ∩ X0 wählen, sowie h0 (t, x) = x.
Für den Induktionsschritt seien Un und hn bereits konstruiert. Es reicht, Un+1 ∩ e zu
definieren für eine (n + 1)-Zelle e. Ist e ⊂ Y, so definiere Un+1 ∩ e = e. Andernfalls sei
f : Sn → Xn die Verklebungsabbildung. Dann ist f ein Homöomorphismus und e kann
mit dem Inneren Dn+1 identifiziert werden. Sei V = Un ∩ Sn (oder V = f −1 (Un )).
Topologie
51
Definiere
n
o
Un+1 ∩ e = tx : 0 < t ≤ 1, x ∈ V .
Definiere ferner
hn+1 (s, tx) = ((1 − s)t + s)hn (s, x).
Dann gilt
hn+1 (0, tx) = thn (0, x) = tx,
hn+1 (1, tx) = hn (1, x) ∈ Yn
hn+1 (s, y) = hn (s, y) = y,
y ∈ Yn .
Also definiert hn+1 eine Deformation von Un+1 auf Yn+1 . Ferner gilt hn+1 |I×Un = hn . Somit
S
definieren die hn eine Deformation h von U = Un nach Y.
4.5
Die Raumpaar-Sequenz
Satz 4.5.1. Sei X wegzusammenhängend und A ⊂ X regulär abgeschlossen. Dann gibt es
eine exakte Sequenz:
i∗
π∗
δ
i∗
· · · → Hp (A) −→ Hp (X) −→ Hp (X/A) −→ Hp−1 (A) −→ . . .
δ
· · · → H1 (X/A) −→ H0 (A) → Z → 0.
Hierbei ist i die Inklusion A ,→ X und π die Projektion X → X/A.
Bevor wir den Satz beweisen, einige Anwendungen.
Korollar 4.5.2. (a) Es gilt


2


Z
0
Hp (S ) = 


0
p=0
p ≥ 1.
(b) Sei n ≥ 1, dann gilt




Z
n
Hp (S ) = 


0
p = 0, n
sonst.
Topologie
52
Beweis. Die 0-Sphäre S0 ist diskret und besteht aus zwei Punkten. Damit ist die erste
Behauptung klar. Die zweite beweisen wir per Induktion nach n. Sei X = Dn , A = Sn−1 ,
dann ist X/A = Sn . Da Hp (X) = Hp (Dn ) = 0 für p ≥ 1, ist für p ≥ 2 die Sequenz
0 → Hp (Sn ) → Hp−1 (Sn−1 ) → 0
exakt. Für p = 1 ist
0 → H1 (Sn ) → H0 (Sn−1 ) → Z → 0
exakt. Hieraus folgt die Behauptung.
Korollar 4.5.3 (Fixpunktsatz von Brouwer).
Jede stetige Abbildung f : Dn → Dn hat einen Fixpunkt.
Beweis. Für n = 1 folgt die Behauptung aus dem Zwischenwertsatz der Analysis,
denn sei f : [−1, 1] → [−1, 1] stetig, dann ist h(x) = x − f (x) ebenfalls stetig und es gilt
h(−1) ≤ 0, sowie h(1) ≥ 0, also hat h eine Nullstelle.
Sei nun also n ≥ 2. Angenommen, f hat keinen Fixpunkt, also f (x) , x für jedes
x ∈ Dn . Für x ∈ Dn sei dann h(x) der Punkt von Sn−1 , an dem der Strahl von f (x) nach x
den Rand Sn−1 trifft. Die Abbildung h : Dn → Sn−1 ist stetig und es gilt h|Sn−1 = Id. Sei
i : Sn−1 ,→ Dn die Inklusion. Dann ist h ◦ i = Id, also ist h∗ ◦ i∗ = Id|Hp (Sn−1 ) . Für p = n − 1
haben wir also ein kommutatives Diagramm
Hn−1 (Sn−1 ) = Z
i∗
/
Hn−1 (Dn ) = 0
Id
)
h∗
Hn−1 (Sn−1 ) = Z.
Dies ist ein Widerspruch! Damit folgt die Behauptung.
4.6
Relative Homologie
Definition 4.6.1. Ein Raumpaar ist ein Paar (X, A), wobei X ein topologischer Raum
und A eine Teilmenge von X ist. Sei (X, A) ein Raumpaar. Definiere
def
Cn (X, A) = Cn (X)/Cn (A).
Topologie
53
Wegen ∂Cn (A) ⊂ Cn−1 (A) induziert ∂ eine Abbildung
∂ : Cn (X, A) → Cn−1 (X, A).
Es gilt ∂2 = 0, da dies schon auf Cn (X) gilt. Die relativen Homologiegruppen sind
def
Hp (X, A) =
Ker ∂|Cn (X,A) /∂(Cn+1 (X, A)).
Sprechweise:
• α ∈ Cn (X, A) mit ∂α = 0 heißt relativer Zykel.
• α ∈ Cn (X, A) mit α = ∂β für ein β heißt relativer Rand.
Es gilt: α ∈ Cn (X, A) = Cn (X)/Cn (A) ist genau dann ein relativer Zykel, wenn es einen
Vertreter α in Cn (X) gibt mit ∂α ∈ Cn−1 (A).
Ebenso ist α genau dann ein relativer Rand, wenn es ein β ∈ Cn+1 (X) gibt mit
∂β − α ∈ Cn (A).
Proposition 4.6.2. Es gibt eine exakte Sequenz
δ
j∗
i∗
· · · → Hp (A) −→ Hp (X) −→ Hp (X, A) −→ Hp−1 (A) → . . .
· · · → H0 (X, A) → 0,
wobei i : A ,→ X die Inklusion ist und j die Kettenabbildung
Cp (X) → Cp (X)/Cp (A) = Cp (X, A).
Beweis. Die Abbildungen i und j induzieren kommutative Diagramme mit exakten
Zeilen:
j
/ C (A) i / C (X)
/ C (X, A)
/0
0
p+1
p+1
p+1
/
0
0
/
∂
Cp (A)
/
i
∂
Cp−1 (A)
i
/
∂
Cp (X)
j
/C
p (X, A)
∂
Cp−1 (X)
j
∂
/
/0
∂
Cp−1 (X, A)
/0
Topologie
54
Lemma 4.6.3. Seien (Ap ), (Bp ), (Cp ) Kettenkomplexe und i : (Ap ) → (Bp ) sowie
j : (Bp ) → (Cp ) Kettenabbildungen, so dass für jedes p die Sequenz
0 → Ap → Bp → Cp → 0
exakt ist. Dann existiert ein Gruppenhommomorphismus δ : Hp (C) → Hp−1 (A) so dass die
Sequenz
i∗
j∗
δ
· · · → Hp (A) −→ Hp (B) −→ Hp (C) −→ Hp−1 (A) → . . .
· · · → H0 (C) → 0
exakt ist.
Beweis. Wir konstruieren δ : Hp (C) → Hp−1 (A). Sei hierzu α ∈ Cp (C) ein Zykel, also
∂α = 0. Sei β ∈ Cp (B) ein Urbild von α, also jβ = α. Es ist 0 = ∂α = ∂jβ = j∂β, also liegt
∂β im Kern von j = Bild von i. Sei also γ ∈ Cp−1 (A) mit iγ = ∂β. Setze
δ([α]) = [γ],
wobei [α] die Homologieklasse von α bezeichnet. Zur Wohldefiniertheit muss man
zeigen, dass [α] = 0 ⇒ [γ] = 0 gilt. Sei also [α] = 0, d.h. α = ∂η. Sei τ ein Urbild von η
in Cp+1 (B), also jτ = η. Dann gilt j∂τ = α = jβ, also β − ∂τ ∈ Ker( j) = Bild(i). Sei
γ̃ ∈ Cp (C) mit iγ̃ = β − ∂τ. dann folgt γ = ∂γ̃, also ist γ ein Rand und δ wohldefiniert.
Wir zeigen jetzt die behauptete Exaktheit.
Bild i∗ ⊂ Ker j∗ ist klar, denn ji = 0 ⇒ j∗ i∗ = 0.
Bild j∗ ⊂ Ker δ folgt aus der Konstruktion von δ, denn wenn α im Bild der Zykeln
von Cp (B) liegt, heißt das, dass man β als einen Zykel wählen kann, also mit ∂β = 0,
was bedeutet, dass γ = 0 ist.
Bild δ ⊂ Ker i∗ ist ebenfalls nach Definition klar.
Bild i∗ ⊃ Ker j∗ Sei α ∈ Zp (B), so dass die Homologieklasse von α im Kern von j∗ liegt,
also jα = ∂η für ein η ∈ Cp+1 . Sei τ ∈ Bp+1 ein Urbild von η, also jτ = η. Dann ist
α − ∂τ ∈ Ker j = Bild i, damit existiert ein γ ∈ Ap mit iγ = α − ∂τ. Also ist i∗ [γ] = [α].
Bild j∗ ⊃ Ker δ Sei [α] ∈ Ker δ, also mit jβ = α und iγ = ∂β gilt γ ∈ Bild ∂, es existiert
also ein η ∈ Ap mit ∂η = γ. Dann ist ∂β = iγ = i∂η, also β − iη ∈ Ker ∂ und es folgt
[ j(β − iη)] = [α].
Bild δ ⊃ Ker i∗ Sei γ ∈ Ap−1 mit ∂γ = 0 und iγ = ∂β für ein β ∈ Bp . Setze dann α = jβ,
Topologie
55
dann ist α ein Zykel, denn ∂α = ∂jβ = i∂β = jiγ = 0. Nach Konstruktion folgt
δ([α]) = [γ]. Das Lemma ist bewiesen. Die Anwendung des Lemmas auf die
Komplexe Cn (A), Cn (X), Cn (X, A) liefert die Proposition.
Beispiel 4.6.4. Betrachte das Paar (X, A) = (Dn , Sn−1 ). Aus der Proposition erhält man




Z p = n
n
n−1
Hp (D , S ) = 


0 sonst.
4.7
Raumpaarabbildungen
Definition 4.7.1. Seien (X, A) und (Y, B) Raumpaare. Eine Paar-Abbildung
f : (X, A) → (Y, B) ist eine stetige Abbildung f : X → Y mit f (A) ⊂ B. Zwei
Paar-Abbildungen f, g : (X, A) → (Y, B) heißen homotop, falls es eine stetige Abbildung
h : I × X → Y gibt mit
h(0, x) = f (x),
h(1, x) = g(x),
h(I × A) ⊂ B.
Eine Paar-Abbildung f : (X, A) → (Y, B) induziert einen Gruppenhomomorphismus
f∗ : Hp (X, A) → Hp (Y, B)
durch f∗ [σ] = [ f ◦ σ].
Proposition 4.7.2. Seien f, g : (X, A) → (Y, B) homotop. Dann gilt
f∗ = g∗ .
Beweis. Der Prisma-Operator P bildet Cn (A) nach Cn+1 (B) ab, induziert also einen
relativen Prisma-Operator P : Cn (X, A) → Cn+1 (Y, B). Beim Übergang zum Quotienten
bleibt die Gleichung ∂P + P∂ = g∗ − f∗ erhalten, also ist g∗ − f∗ die Nullabbildung.
Lemma 4.7.3. Sei X wegzusammenhängend.
(a) Sei x0 ∈ X ein Punkt. Dann gilt
Hp (X, x0 ) Hp (X),
H0 (X, x0 ) = 0.
p≥1
Topologie
56
(b) Sei A ⊂ X ein Deformationsretrakt von X. Dann gilt für jedes p:
Hp (X, A) = 0.
Beweis. Die lange exakte Sequenz von Proposition 4.6.2 liefert eine exakte Sequenz
Hp (x0 ) → Hp (X) → Hp (X, x0 ) → Hp−1 (x0 ).
Für p ≥ 2 sind die beiden äußeren Gruppen gleich Null, der mittlere
Homomorphismus also ein Isomorphismus. Für p = 1 erhält man eine exakte Sequenz
a
b
c
d
0 → H1 (X) −→ H1 (X, x0 ) −→ H0 (x0 ) −→ H0 (X) −→ H0 (X, x0 ) → 0.
Die Abbildung c ist ein Isomorphismus, also ist b die Nullabbildung und damit ist a
ein Isomorphismus. Ferner ist d die Nullabbildung und H0 (X, x0 ) = 0.
Für den zweiten Teil sei h : I × X → X eine Deformation nach A. Sei f : X → X,
f (x) = h(1, x). Dann ist die Paar-Abbildung f : (X, A) → (X, A) homotop zur Identität,
also folgt f∗ = Id. Andererseits ist f (X) ⊂ A und damit ist f∗ die Nullabbildung. Es
folgt Id = 0 auf Hp (X, A), das geht nur, wenn Hp (X, A) = 0.
Lemma 4.7.4. Sei X ein topologischer Raum und B ⊂ A ⊂ X. Dann gibt es eine exakte
Sequenz
· · · → Hp (A, B) → Hp (X, B) → Hp (X, A) → Hp−1 (A, B) → . . .
Beweis. Diese Sequenz ergibt sich mit Lemma 4.6.3 aus der exakten Sequenz
0 → Cp (A, B) → Cp (X, B) → Cp (X, A) → 0.
4.8
Ausschneidung
Sei τ : ∆k → X ein singulärer Simplex der Dimension k. Sei ∆ = [w0 , . . . , wn ] ein ndimensionaler Simplex, wobei n < k. Sei ψ : conv(w0 , . . . , wn ) → ∆k die affine
Abbildung mit ψ(w j ) = v j ∈ ∆k , also


n
n
X
 X


ψ 
λ j w j  =
λ jv j.


j=0
j=0
Topologie
57
Dann nennt man σ = τ ◦ ψ einen degenerierten singulären Simplex und schreibt ihn als
σ : [v0 , . . . , vn ] → X.
Satz 4.8.1. Sei X ein topologischer Raum und Z ⊂ A ⊂ X Teilmengen mit Z ⊂ Å. dann
induziert die Inklusion (X − Z, A − Z) ,→ (X, A) Isomorphismen
Hp (X − Z, A − Z) −→ Hp (X, A),
p ≥ 0.
Beweis. Wir brauchen die baryzentrische Teilung. Sei ∆ = [v0 , . . . , vn ] ein geordneter
Simplex und sei v ein Punkt im Inneren von ∆. Dann ist ∆ die Vereinigung der
Untersimplizes:
[v, v1 , . . . , vn ], [v, v0 , v2 , . . . , vn ], . . . , [v, v1 , . . . , vn−1 ] .
| {z } |
{z
}
|
{z
}
=∆0
=∆1
=∆n
Sei nun σ : ∆ → X ein singulärer Simplex. Wir behaupten, dass
σ−
n
X
(−1) j σ|∆ j ∈ Bild ∂n+1 .
j=0
Sei hierzu w ∈ RN affin unabhängig von v0 , . . . , vn . Sei φ : conv(w, v0 , . . . , vn ) → ∆ die
affine Abbildung gegeben durch
φ(w) = v,
φ(v j ) = v j ,
j = 0, . . . , n.
Sei τ : [w, v0 , . . . , vn ] → X gegeben durch τ = σ ◦ φ. Dann ist τ ∈ Cn+1 (X) und
∂τ = τ|[v0 ,...,vn ] −
n
X
(−1) j τ[w,v0 ,...v̂ j ...,vn ]
j=0
=σ−
n
X
(−1) j σ|∆ j
j=0
wie behauptet. Diese Rechnung funktioniert formal ebenso, wenn man v als einen
Randpunkt von ∆ wählt. Dann sind allerdings manche der ∆ j keine n-Simplices mehr,
also muss man degenerierte Simplices zulassen. So betrachtet behält die Rechnung
Topologie
58
Gültikeit, wenn v auf dem Rand liegt. Liegt v auf einer Kante, erhält man Simplices, in
denen diese Kante nur als Teil vorkommt. Iteriert man den Vorgang, kann man alle
Kanten halbieren und erhält eine Teilung von ∆ in Simplices deren Kannten alle
höchstens halb so lang sind wie die von ∆, also so dass der Durchmesser
def
sup x − y
diam(S) =
x,y∈S
gegen Null geht.
Lemma 4.8.2. Sei X = U ∪ V, wobei U und V offen sind. Dann gilt
Cn (X) = Cn (U) + Cn (V) + ∂Cn+1 (X).
Beweis. Nach der obigen Argumentation erhalten wir eine Folge von Zerlegungen
von ∆ in Untersimplices mit Durchmessern, die gegen Null gehen. D.h. es gibt eine
Folge (∆kj )k wobei für jedes k die ∆kj für j = 0, . . . nk eine Zerlegung von ∆ in
Untersimplices bilden mit
max diam(∆kj ) → 0
j
für k → ∞. Sei nun ein singulärer Simplex σ : ∆ → X gegeben. Es gilt dann für
geeignete Vorzeichen ε j,k = ±1:
σ−
nk
X
ε j,k σ|∆k ∈ Bild(∂n+1 ).
j
j=0
Zum Beweis des Lemmas reicht es nun zu zeigen, dass es ein k gibt, so dass für jedes j
gilt
σ(∆kj ) ⊂ U oder σ(∆kj ) ⊂ V.
Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt es für jedes k ein jk mit
σ(∆kjk ) /⊂U
und σ(∆kjk ) /⊂V.
wähle in jedem Simplex ∆kjk einen Punkt xk . Die Folge der xk hat in der Kompakten
Menge ∆ einen Häufungspunkt v. Das Bild σ(v) muss in U oder V liegen, sagen wir, es
liegt in U. Dann ist σ−1 (U) eine offen Umgebung von v. Es gibt daher unendlich viele k
mit ∆kjk ⊂ σ−1 (U), was aber bedeutet dass σ(∆kjk ) ⊂ U, ein Widerspruch! Das Lemma ist
bewiesen.
Topologie
59
Nun zum Beweis von Satz 4.8.1. Sei ψ : Cn (X − Z, A − Z) → Cn (X, A) die durch die
Inklusion induzierte Abbildung. Sei U = X − Z und V = Å, so gilt U ∪ V = X. Mit dem
Lemma folgt
Cn (X, A) = Cn (X − Z, A − Z) + ∂Cn+1 (X, A)
und damit ist ψ∗ : Hn (X − Z, A − Z) → Hn (X, A) surjektiv. Für die Injektivität sei
α ∈ Cn (X − Z) ein Repräsentant einer Klasse im Kern von ψ∗ . Dann gilt
∂α ∈ Cn−1 (A − Z) und α = ∂β + γ, wobei β ∈ Cn+1 (X − Z) und γ ∈ Cn (A − Z). Ferner kann
man α um ein Element aus Cn (A − Z) abändern, also kann man γ = 0 annehmen. Nach
dem Lemma kann man β zerlegen als
β = βX−Z + βÅ + ∂η,
wobei βX−Z ∈ Cn+1 (X − Z) und βÅ ∈ Cn+1 (Å), sowie η ∈ Cn+2 (X). Es folgt
α = ∂βX−Z + ∂βÅ .
Aus dieser Gleichung folgt, dass ∂ηÅ in Cn (A − Z liegt. α kann also abgeändert
werden, so dass
α = ∂βX−Z .
Damit induziert α die Null in Hn (X − Z, A − Z) und die Injektivität ist bewiesen.
Wir beenden nun den Beweis von Satz 4.5.1.
Lemma 4.8.3. Sei A ⊂ X regulär abgeschlossen. Dann induziert die Quotientenabbildung
q : (X, A) → (X/A, A/A) Isomorphismen:
q∗ : Hn (X, A) −→ Hn (X/A, A/A).
Beweis. Sei U eine offenen Umgebung von A, so dass A ein Deformationsretrakt von U
ist. Wir haben ein kommutatives Diagramm:
Hn (X, A)
/H
a
q∗
n (X, U)
Hn (X/A, A/A)
c
/
o
b
e
Hn (X/A, U/A) o
d
Hn (X − A, U − A)
f
Hn (X/A − A/A, U/A − A/A)
Die Abbildung b ist ein Isomorphismus nach dem Ausschneidungssatz für relative
Homologie, Satz 4.8.1.
Topologie
60
Die Abbildung a ist ein Isomorphismus, denn in der exakten Sequenz von Lemma
4.7.4 zum Tripel A ⊂ U ⊂ X sind die Gruppen Hn (U, A) alle Null nach Lemma 4.7.3.
Aus denselben Gründen sind c und d Isomorphismen.
Da q auf dem Komplement von A ein Homöomorphismus ist, ist f ein
Isomorphismus. Aus der Kommutativität des Diagramms folgt dann dann e und
schließlich q∗ Isomorphismen sind. Das Lemma ist bewiesen.
Mit Lemma 4.7.3 (a) ergibt sich Satz 4.5.1 nun aus Proposition 4.6.2.
4.9
Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie
Sei X ein Simplizialkomplex mit einer linearen Ordnung ≤ auf X0 . Sei ∆ = [v0 , . . . , vn ]
ein Simplex von X, also die Reihenfolge der Ecken entspricht der linearen Ordnung
von X. Zu ∆ definiere einen singulären Simplex σ : [v0 , . . . , vn ] → X gegeben durch die
simp
Inklusion von ∆ in X. Sei Cn (X) die freie abelsche Gruppe erzeugt von den
n-Simplices von X. Die Zurdnung ∆ 7→ σ∆ liefert einen Gruppenhomomorphismus
simp
ψ : Cn
(X) → Cn (X).
Lemma 4.9.1. Es gilt ∂ψ = ψ∂.
Beweis.
∂ψ([v0 , . . . , vn ]) = ∂σ[v0 ,...,vn ]
n
X
=
(−1)i σ|[v0 ,...v̂i ...,vn ]
=
i=0
n
X
(−1)i σ[v0 ,...v̂i ...,vn ]
i=0
= ψ∂([v0 , . . . , vn ]).
simp
Damit induziert ψ eine Abbildung ψ∗ : Hp
simp
Satz 4.9.2. ψ∗ ist ein Isomorphismus Hp
(X) → Hp (X).
(X) Hp (X).
Topologie
61
Beweis. Für p = 0 ist die Behauptung klar. Wir zeigen sie also für p ≥ 1. Für einen
Unterkomplex A ⊂ X sei
simp
Cp
simp
(X, A) = Cp
simp
(X)/Cp
(A).
simp
Wie im singulären Fall definiert man die relativen Homologiegruppen Hp
exakte Sequenz
simp
simp
simp
0 → Cp (A) → Cp (X) → Cp (X, A) → 0
(X, A). Die
induziert nach Lemma 4.6.3 eine lange exakte Sequenz
simp
simp
· · · → Hp+1 (X, A) → Hp
simp
(A) → Hp
simp
(X) → Hp
simp
(X, A) → Hp−1 (A) → . . .
Wir ersetzen X durch das n-Skelett Xn und setzen A = Xn−1 und erhalten ein
kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:
simp
Hp+1 (Xn , Xn−1 )
/
simp
Hp
Hp+1 (Xn , Xn+1 )
simp
Hp
/
(Xn )
/
simp
Hp
(Xn , Xn−1 )
γ
β
α
/
(Xn−1 )
/
Hp (Xn−1 )
Hp (Xn )
/
/
simp
Hp−1 (Xn−1 )
ε
δ
Hp (Xn , Xn−1 )
/
Hp−1 (Xn−1 )
simp
Wir zeigen, dass α und δ Isomorphismen sind. Es ist Cp (Xn , Xn−1 ) = 0 für p , n und
simp
simp
Cn (Xn , Xn−1 ) Cp (X) ist die freie abelsche Gruppe erzeugt von den n-Simplizes.
Damit ist


simp


Cp (X) p = n
simp
Hp (Xn , Xn−1 ) 


0
p , n,
denn dieHomologie eines Kettenkomplexes (Cn ) mit C j = 0 fur j , n ist



Cn j = n
Hp (C) = 


0
sonst.
Für die singulären Homologiegruppen betrachte die Abbildung
a
φ:
(∆nα , ∂∆nα ) → (Xn , Xn−1 )
α
gegeben durch die Inklusionsabbildungen der n-Simplices ∆nα . Die Abbildung φ
induziert einen Homöomorphismus
a
α
∆nα
.a
α
∂∆nα Xn /Xn−1 .
Topologie
62
Da Xn−1 regulär abgeschlossen ist in Xn , folgt
Hp (Xn , Xn−1 ) Hp (Xn /Xn−1 , Xn−1 /Xn−1 )


a n . a n a n . a n 
∂∆α 
∂∆α ,
∂∆α
∆α
Hp 
α
α
α
α


a n a n 
∆α ,
∂∆α 
Hp 
α
M α
Hp (∆nα , ∂∆nα ).
α
Dies ist die freie abelsche Gruppe erzeugt von den Inklusionen ∆nα ,→ X der
n-Simplices. Also sind α und δ Isomorphismen.
Nach Induktion (in n) kann man außdem annehmen, dass β und ε ebenfalls
Isomorphismen sind.
Lemma 4.9.3 (Fünfer-Lemma). Sei ein kommutatives Diagramm abelscher Gruppen mit
exakten Zeilen gegeben:
/
A
α
A0
/
B
β
B0
/
C
γ
/ C0
/
/
D
δ
/ D0
/
E
ε
E0
Sind α, β, δ und ε Isomorphismen, dann ist auch γ ein Isomorphismus.
Beweis. Diagrammjagd zur Übung!
simp
Mit dem fünfer-Lemma folgt nun ψ∗ : Hp (Xn ) → Hp (Xn ) ist ein Isomorphismus für
jedes n. Es bleibt, diese Aussage für X an Stelle von Xn zu zeigen. Sei hierzu
[α] ∈ Hp (X) eine Homologieklasse mit Repräsentant α ∈ Cp (X). Dann ist α eine
Linearkombination von singulären Simplices, jeder von diesen hat ein kompaktes
Bild, da ein Simplex kompakt ist. Also trifft jeder Simplex nur endlich viele Zellen in
X, es folgt, dass α schon in Cp (Xn ) liegt für ein n ∈ N. Da ψ∗ auf Xn surjektiv ist, gibt es
simp
simp
β ∈ Zp (Xn ) ⊂ Cp (X) mit ψβ − α ∈ ∂(Cp (Xn )) ⊂ ∂(Cp (X)). Es folgt ψ∗ [β] = [α], also ist
ψ∗ surjektiv.
Für die Injektivität beachte, dass für n ≥ p + 1 die Inklusion Xn ,→ X einen
simp
simp
simp
Isomorphismus Hp (Xn ) Hp (X) induziert. Sei [α] ∈ Hp (X) im Kern von ψ∗ .
simp
Dann liegt [α] schon in Hp (Xn ) für ein n ≥ p + 1 und also ist [α] = 0 in
Topologie
simp
Hp
4.10
63
simp
(Xn ) Hp
(X). Der Satz ist bewiesen.
Anwendungen
Satz 4.10.1. Seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offene Teilmengen. Sind U und V homöomorph,
dann gilt m = n.
Beweis. Sei h : U → V ein Homöomorphismus. Ist n = 1, so kann man annehmen, dass
n o
U ein Intervall ist. Dann hat für x ∈ U die Menge U − x zwei
n
o
Zusammenhangskomponenten. Dasselbe gilt für V − h(x) , also muss auch m = 1 sein
da sonst eine zusammenhängende offene Menge zusammenhängend bleibt, wenn
man einen Punkt entfernt.
Sei also m, n ≥ 2 und sei x ∈ U. Nach dem Ausschneidungssatz für relative Homologie
ist
n o
n o
Hp (U, U − x ) Hp (Rn , Rn − x ).
n o
Die lange exakte Sequenz des Paars (Rn , Rn − x ) liefert für p ≥ 2 Isomorphismen
n o
n o
Hp (Rn , Rn − x ) Hp−1 (Rn − x ).
Ferner liefert sie eine exakte Sequenz
n o a
n o b
n o
c
0 → H1 (Rn , Rn − x ) −→ H0 (Rn − x ) −→ H0 (Rn ) −→ H0 (Rn , Rn − x ) → 0.
n o
n o
Die Abbildung b ist ein Isomorphismus, also ist H1 (Rn , Rn − x ) = 0 = H0 (Rn , Rn − x ).
n o
Nun ist Rn − x homotopie-äquivalent zur Sphäre Sn−1 , also ist



n o

Z
Hp (U, U − x ) 


0
p=n
sonst.
Der Homöomorphismus h induziert Isomorphismen
n o
n
o
h∗ : Hp (U, U − x ) → Hp (V, V − h(x) ), also folgt m = n.
Topologie
4.11
64
Abbildungsgrad
Sei f : Sn → Sn stetig. Dann ist F∗ : Hn (Sn ) → Hn (Sn ) eine Selbstabbildung einer Gruppe
Z, also gibt es eine Zahl deg( f ) ∈ Z mit
f∗ α = deg( f )α
für α ∈ Hn (Sn ). Diese Zahl deg( f ) heißt der Abbildungsgrad von f .
Proposition 4.11.1. (a) Ist f homotop zu g, dann ist deg( f ) = deg(g).
(b) Es gilt immer deg( f g) = deg( f ) deg(g).
(c) Ist f eine Spiegelung an einer Hyperebene, dann ist deg( f ) = −1.
(d) Die Antipodenabbildung x 7→ −x hat Grad (−1)n+1 .
(e) Hat f keinen Fixpunkt, dann ist deg( f ) = (−1)n+1 .
Beweis. (a) folgt aus f∗ = g∗ wenn f und g homotop sind.
(b) folgt aus ( f g)∗ = f∗ g∗ .
(c) Die Hyperebene teilt Sn in zwei Hemisphären. Wir betrachten jede Hemisphäre als
einen n- Simplex, also erhalten wir Sn , indem wir zwei n-Simplices ∆1 und ∆2 an ihren
Rändern identifizieren, was wir so tun, dass die Reihenfolge der Ecken erhalten bleibt.
Die Differenz ∆1 − ∆2 ist dann ein Zykel in Cn (Sn ). Wir behaupten, dass die
Kohomologieklasse dieses Zykels die Gruppe Hn (Sn ) erzeugt. Betrachte hierzu die
Isomorphismen
Hn (Sn ) −→ Hn (Sn , ∆2 ) −→ Hn (Sn /∆2 , ∆2 /∆2 ) −→ Hn (∆1 /∂∆1 ).
Der erste Isomorphismus kommt von der langen Sequenz zum Paar (Sn , ∆2 ), der
zweite von Lemma 4.8.3. Der dritte schließlich aus der natürlichen Identifikation
Sn /∆2 ∆1 /∂∆1 . Die lange Sequenz zum Raumpaar (∆1 , ∂∆1 ) idetifiziert ∆1 als
Erzeuger von Hn (∆1 /∂∆1 ) durch die Kette der isomorphismen wird ∆1 − ∆2 auf diesen
Erzeuger geworfen. Die Spiegelung f vertauscht nun gerade ∆1 und ∆2 , induziert also
−Id auf Hn (Sn ).
(d) Die Antipode kann als Produkt von n + 1 Spiegelungen geschrieben werden.
Topologie
65
(e) Sei f : Sn → Sn ohne Fixpunkt. Dann trifft die Gerade durch f (x) und −x nicht die
Null. Insbesondere ist (1 − t) f (x) − tx niemals Null für 0 ≤ t ≤ 1. Also definiert
(1 − t) f (x) − tx
h(t, x) = (1 − t) f (x) − tx
eine Homotopie von f zur Antipode.
Definition 4.11.2. Ein Vektorfeld auf S1 ist eine Abbildung F : Sn → Rn+1 so dass f (x)
senkrecht steht auf x, also dass gilt
f (x), x = 0
für jedes x ∈ Sn .
Satz 4.11.3 (Igelsatz). Ist n gerade, so hat jedes stetige Vektorfeld auf Sn eine Nullstelle.
Beweis. Sei f : Sn → Rn+1 ein stetiges Vektorfeld ohne Nullstelle. Ersetze f (x) durch
f (x)/ f (x) und nimm also f (x) = 1, d.h. f (x) ∈ Sn an. Dann geht die Gerade von f (x)
nach x nicht durch die Null, also ist
(1 − t) f (x) + tx
h(t, x) = (1 − t) f (x) + tx
eine Homotopie von f : Sn → Sn zur Identität. Damit folgt deg( f ) = 1. Andererseits
hat f keinen Fixpunkt, also ist 1 = deg( f ) = (−1)n+1 und daher ist n ungerade.
4.12
Mayer-Vietoris Sequenz
Seien A, B Teilmengen von X mit X = Å ∪ B̊. Sei Cp (A + B) das Bild von Cp (A) ⊕ Cp (B) in
Cn (X). Nach Lemma 4.8.2 ist Cp (X) = Cp (A + B) + ∂Cp+1 (X). Ferner ist
∂Cp+1 (A + B) ⊂ Cp (A + B), so dass die Cp (A + B) selbst einen Kettenkomplex bilden.
Lemma 4.12.1. Die Inklusion Cp (A + B) ,→ Cp (X) induziert einen Isomorphismus
η : Hp (C• (A + B)) −→ Hp (X).
Topologie
66
Beweis. Aus Cp (X) = Cp (A + B) + ∂Cp+1 (X) folgt die Surjektivität von η. Für die
Injektivität sei [α] eine Homologieklasse, die auf Null geht, also ist α ∈ Cp (A + B) mit
∂α = 0 und α = ∂β für ein β ∈ Cp+1 (X). Schreibe dieses β als γ + ∂τ mit γ ∈ Cp+1 (A + B)
und τ ∈ Cp+2 (X). Dann folgt α = ∂β = ∂γ ∈ ∂Cp+1 (A + B). Damit ist [α] = 0, also η
injektiv.
Sei φ : Cp (A ∩ B) → Cp (A) ⊕ Cp (B) definiert durch φ(α) = α ⊕ α, wobei wir α jeweils als
Element von Cp (A) oder Cp (B) auffassen. Sei ψ : Cp (A) ⊕ Cp (B) → Cp (X) definiert durch
ψ(α ⊕ β) = α − β. Dann sind φ und ψ Kettenabbildungen, also ∂φ = φ∂ und ebenso für
ψ, induzieren also Abbildungen φ∗ und ψ∗ auf der Homologie.
Satz 4.12.2. Seien A, B ⊂ X Teilmengen so dass X = Å ∪ B̊. Dann gibt es eine exakte
Sequenz
φ∗
ψ∗
δ
· · · → Hp (A ∩ B) −→ Hp (A) ⊕ Hp (B) −→ Hp (X) −→ Hp−1 (A ∩ B) → . . .
→ H0 (X) → 0.
Beweis. Betrachte die exakte Sequenz
φ
ψ
0 → Cp (A ∩ B) −→ Cp (A) ⊕ Cp (B) −→ Cp (A + B) → 0,
wobei φ(α) = α ⊕ α und ψ(α ⊕ β) = α = β. Es gilt φ∂ − ∂φ und ∂ψ = ψ∂, also ist dies
eine exakte Sequenz von Kettenkomplexen, so dass Lemma 4.6.3 die exakte Sequenz
im Satz liefert.
4.13
Homologie und Fundamentalgruppe
Für eine Gruppe G sei [G, G] die Kommutatorgruppe, d.h., die Untergruppe von G
erzeugt von allen Kommutatoren
[a, b] = aba−1 b−1
Wegen c[a, b]c−1 = [cac−1 , cbc−1 ] ist [G, G] ein Normalteiler in G.
Topologie
67
Proposition 4.13.1. Der Quotient Gab = G/[G, G] ist der maximale abelsche Quotient von
G, d.h. Gab ist abelsch und für jeden Homomorphismus φ : G → A in eine abelsche Gruppe A
gibt es genau einen Homomorphismus φab : Gab → A mit φ = φab ◦ p, wobei
p : G → Gab = G/[G, G] die natürliche Projektion ist.
Beweis. Für a, b ∈ G gilt
[p(a), p(b)] = p([a, b]) = 1.
Daher ist Gab abelsch.
Sei φ : G → A ein Homomorphismus in eine abelsche Gruppe. Da A abelsch ist, gilt
für a, b ∈ G:
φ([a, b]) = [φ(a), φ(b)] = 1.
Also faktorisiert φ in eindeutiger Weise über Gab .
Sei γ : I → X ein geschlossener Weg mit Anfangspunkt x0 . Dann kann man γ als einen
singulären 1- Simplex auffassen. Dieser ist ein Zykel, denn ∂γ = γ(1) − γ(0) = 0. Also
definiert γ eine Homologieklasse in H1 (X).
Satz 4.13.2 (Kleiner Satz von Hurewicz). Indem man geschlossene Wege als Zykel
auffasst erhält man einen Gruppenhomomorphismus ψ : Γ = π1 (X, x0 ) → H1 (X). Der
Kern von ψ ist die Kommutatorgruppe [Γ, Γ].
Ist X wegzusammenhängend, dann ist ψ surjektiv, stiftet also einen Isomorphismus
π1 (X)ab H1 (X).
Beweis. Für geschlossene Wege schreiben wir γ ' τ, wenn die Wege homotop sind mit
festen Enden. Wir schreiben γ ∼ τ, wenn γ − τ ein Rand ist.
(a) Ist γ konstant, dann ist γ ein Rand.
n o
Dies ist klar, denn H1 ( x0 ) = 0, also ist γ schon im Bild von
n o
n o
∂ : C2 ( x0 ) → C1 ( x0 ) ⊂ C1 (X).
(b) γ ' τ ⇒ γ ∼ τ
Sei hierzu h : I × I → X eine Homotopie mit festen Enden. Seien
v0 = (0, 0), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (1, 1) die Ecken des Quadrats I × I. Wir
Topologie
68
zerlegen I × I in zwei Simplices [v0 , v1 , v3 ] und [v0 , v2 , v3 ] und erhalten durch
Einschränkung von h zwei singuläre Simplices σ1 , σ2 . Dann ist
∂(σ1 − σ2 ) = h|[v1 ,v3 ] − h|[v0 ,v3 ] + h|[v0 ,v1 ] − h|[v1 ,v3 ] + h|[v0 ,v3 ] − h|[v0 ,v2 ]
= h|[v1 ,v3 ] + h|[v0 ,v1 ] − h|[v1 ,v3 ] − h|[v0 ,v2 ] .
Die Wege h|[v0 ,v1 ] und h|[v2 ,v3 ] sind konstant, also Ränder. Damit ist
τ − γ = h|[v1 ,v3 ] − h|v0 ,v2 ]
ein Rand.
(c) γ.τ ∼ γ + τ
Sei σ : ∆2 → X die Komposition der Orthogonalprojektion von [v0 , v1 , v2 ] nach
[v0 , v2 ] gefolgt von γ.τ : [v0 , v2 ] → X, dann ist ∂σ = γ − γ.τ + τ.
Damit ist ψ : π1 (X, x0 ) → H1 (X) ein Gruppenhomomorphismus. Da H1 (X) abelsch ist,
folgt [Γ, Γ] ⊂ Ker ψ. Wir müssen zeigen, dass [Γ, Γ] ⊃ Ker ψ. Sei [γ] im Kern von ψ.
P
Dann ist γ der Rand einer 2-Kette i ni σi . Indem wir ggf Simplices mehrfach
hinschreiben, können wir ni = ±1 annehmen. Seien τi0 , τi1 , τi2 die drei Randsimplices
von σi , so dass ∂σi = τi0 − τi1 + τi2 . und also
γ=∂
X
ni σi =
i
X
(−1) j ni τi j .
i, j
Das bedeutet, dass alle τi j in Paaren geordnet werden können, dass sich jeweils zwei
mit den Vorzeichen aufheben bis auf ein τi j , das gleich γ ist. Betrachte eine Kante
τ = τi j , die x0 als einen Endpunkt hat, aber nicht beide Enden gleich x0 . Diese kann
man homotop zu dem konstanten Weg x0 deformieren und diese Deformation dehnt
aus auf die 2-Simplices σi , in denen τ als Rand auftitt, wobei γ gleich bleibt. Diesen
Vorgang iteriert man, bis alle Kanten τi j beide Enden in x0 haben, also als Elemente
P
von Γ betrachtet werden können. Aus der Gleichung γ = i, j (−1) j ni τi j in C1 (X) folgt in
P
π1 (X)ab die Gleichung [γ] = i, j (−1) j ni τi j , der Grund hierfür ist die Tatsache, dass die
τi j sich paarweise aufheben. Es folgt
[γ] =
X
ni [∂σi ],
i
wobei ∂σi = [τi0 ] − [τi1 ] + [τi2 ]. Nun stifted σi eine Nullhomotopie für dieses Element
Topologie
69
der Fundamentalgruppe, also [γ] = 0 in π(X)ab . Damit ist der Kern von ψ die
Kommutatorgruppe [Γ, Γ].
P
Sei schließlich X wegzusammenhängend. Sei i ni σi ein 1-Zykel, der ein Element h
von H1 (X) repräsentiert. Wieder kann ni = ±1 angenommen werden. Da σ̌i = −σi in
H1 (X) gilt, kann man jetzt sogar ni = 1 annehmen. Falls ein σi kein geschlossener Weg
P
ist, dann muss wegen ∂( i σi ) = 0 ein j existieren, so dass σi .σ j existiert. Wir können
diese zwei zu einem Ausdruck zusammenfassen und iterieren dies, bis alle Wege
geschlossen sind. Da X wegzusammenhängend ist, gibt es einen Weg γi der von x0
zum Basispunkt von σi läuft. Da σi ∼ γi .σi .γ̌i , können wir annehmen, dass alle Wege in
x0 starten und enden. Diese kann man durch Hintereinanderschalten zu einem
einzigen geschlossenen Weg σ machen. Es folgt h = ψ(σ) und damit ist ψ surjektiv. Topologie
5
70
Kategorien und Funktoren
5.1
Kategorien
Definition 5.1.1. Eine Kategorie ist ein Tripel (Ob, Mor, ◦) wobei Ob eine Klasse ist,
deren Elemente werden Objekte der Kategorie genannt. Mor ist eine Familie von
Mengen (Mor(X, Y))X,Y∈Ob . Die Elemente von Mor(X, Y) werden Morphismen von X
nach Y genannt. Schließlich ist ◦ eine Familie von Abbildungen fuer je drei Objekte
X, Y, Z:
Mor(X, Y) × Mor(Y, Z) → Mor(X, Z)
( f, g) 7→ g ◦ f.
So dass gilt:
• g ◦ ( f ◦ h) = (g ◦ f ) ◦ h wenn die Morphismen komponiert werden können.
• Zu jedem Objekt X gibt es einen Morphismus 1X ∈ Mor(X, X) mit f ◦ 1X = f und
1X ◦ g = g für alle f, g für die die jeweilige Komposition existiert.
Die Eins ist durch diese Eigenschaft eindeutig festgelegt, denn sei 10X eine weitere,
dann gilt
1X = 1X 10X = 10X .
Beispiele 5.1.2.
• Set ist die Kategorie der Mengen und Abbildungen mit der
üblichen Komposition.
• Ab ist die Kategorie der abelschen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
• Top ist die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen.
• Top0 ist die Kategorie der punktierten Räume, d.h., die Objekte sind Paare (X, x0 )
wobei X ein topologischer Raum ist und x0 ∈ X ein Punkt. Ein Morphismus von
(X, x0 ) nach (Y, y0 ) ist eine stetige Abbildung f : X → Y mit f (x0 ) = y0 .
• Sei C eine Kategorie, dann ist Copp die entgegengesetzte Kategorie in der alle Pfeile
umgedreht werden. Die Kategorie Copp hat dieselben Objekte wie C, nur
MorCopp (X, Y) = MorC (Y, X).
Topologie
71
• Eine Gruppe kann als Kategorie mit nur einem Objekt betrachtet werden. Ist
also G eine Gruppe, so definiert man eine Kategorie G mit einem Objekt X und
MorG (X, X) := G. Die Komposition ◦ dieser Kategorie ist durch die
Gruppenmultiplikation gegeben.
• Sei (A, ≥) partiell geordnet. Dann kann man eine Kategorie definieren mit
Ob = A, indem man sagt, dass Mor(x, y) aus genau einem Element, wenn x ≤ y
und sonst leer ist.
• Die Homotopie-Kategorie [Top]: Die Objekte sind die topologischen Räume, aber
die Morphismen sind Homotopieklassen von stetigen Abbildungen.
Definition 5.1.3. Zwei stetige Abbildungen f, g : X → Y zwischen topologischen
Raeumen X, Y heissen homotop, falls es eine stetige Abbildung h : [0, 1] × X → Y gibt,
so dass
h(0, x) = f (x), h(1, x) = g(x)
fuer jedes x ∈ X.
Definition 5.1.4. Ein Morphismus f : X → Y in einer Kategorie heißt Isomorphismus,
wenn es ein g : Y → X gibt mit
g ◦ f = 1X
und
f ◦ g = 1Y .
Beispiele 5.1.5.
• Die Isomorphismen in der Kategorie der Mengen sind die
Bijektionen.
• Die Isomorphismen in der Kategorie der Gruppen sind die
Gruppenisomorphismen.
• Die Isomorphismen in der Kategorie Top sind die Homöomorphismen.
• Die Isomorphismen in der Homotopiekategorie heissen
Homotopie-äquivalenzen.
In der moderneren Literatur schreibt man auch HomC (X, Y) oder einfach nur
Hom(X, Y) statt MorC (X, Y).
Definition 5.1.6. Sei A eine Kategorie. Eine Unterkategorie ist eine Kategorie B so dass
Ob(B) ⊂ Ob(A) und
HomB (X, Y) ⊂ HomA (X, Y)
Topologie
72
fuer alle X, Y ∈ B gilt. Die Unterkategorie B heißt volle Unterkategorie, falls fuer je zwei
X, Y ∈ B schon gilt HomB (X, Y) = HomA (X, Y). Jede Teilklasse von Ob(A) definiert
also genau eine volle Unterkategorie.
Beispiele 5.1.7.
• Die Kategorie der endlichen Mengen und Abbildungen ist eine
volle Unterkategorie der Kategorie Set aller Mengen.
Definition 5.1.8. Eine volle Unterkategorie A0 ⊂ A heißt dicht, falls es zu jedem X ∈ A
ein X0 ∈ A0 gibt, so dass X0 in A zu X isomorph ist.
Beispiel 5.1.9. Sei K ein Koerper und A die Kategorie der endlich-dimensionalen
Vektorraeume. Dann ist die volle Unterkategorie A0 , deren Objekte genau die Kn ,
n ∈ N0 sind, dicht in A.
5.2
Epis und Monos
Definition 5.2.1. Ein Morphismus f : X → Y heißt surjektiv oder Epimorphismus, falls
für je zwei Morphismen α, β : Y → Z gilt:
α◦ f =β◦ f
⇒
α = β.
Mit anderen Worten: f ist ein Epi, wenn aus der Kommutativität des Diagramms
X
f
Y
f
β
/Y
/
α
Z
folgt α = β.
Beispiele 5.2.2.
• In Set sind die Epis genau die surjektiven Abbildungen.
• In der Kategorie der Hausdorff-Räume und stetigen Abbildungen sind die Epis
genau die dominanten stetigen Abbildungen, d.h., die mit dichtem Bild.
• In der Kategorie der Gruppen sind die Epis genau die surjektiven
Gruppenhomomorphismen.
Beweis. Es ist klar, dass jeder surjektive Gruppenhomomorphismus ein Epi ist.
Fuer die umgekehrte Richtung sei f : G → H ein Epi. Sei H0 ⊂ H das Bild von f .
n o
Sei X = ω ∪ H/H0 . Dann ist X gleich der Nebenklassenmenge H/H0 erweitert
Topologie
73
um einen neuen Punkt ω. Sei x0 = 1H0 die triviale Nebenklasse. Sei
α : H → Per(X) der Gruppenhomomorphismus, der sich aus der
Translationsoperation von H auf H/H0 ergibt, also




hx,
α(h)(x) = 


ω
x ∈ H/H0 ,
x = ω.
Man beachte, dass jedes h0 ∈ H0 den Punkt x0 sytabilisiert. Sei τ ∈ Per(X) die
Permutation, die gerade ω und x0 vertauscht, also




ω



τ(x) = 
x0





x
x = x0 ,
x = ω,
sonst.
Sei dann β : H → Per(X) der Gruppenhomomorphismus gegeben durch
β(h) = τα(h)τ−1 .
Ist nun h0 ∈ H0 , dann ist sowohl α(h0 )ω = ω als auch α(h0 )x0 = x0 , so dass folgt
α(h0 ) = β(h0 ).
Was soviel bedeutet wie α f = β f . Da f ein Epi, folgt α = β und damit H0 = H,
also ist f surjektiv.
• In der Kategorie der Ringe ist der Ringhomomorphismus Z → Q ein Epi.
Definition 5.2.3. Ein Morphismus f : X → Y heißt injektiv oder Monomorphismus, falls
für je zwei Morphismen g, τ : V → X gilt
f ◦g= f ◦τ
g = τ.
⇒
Das heißt f ist ein Mono, wenn aus der Kommutativität des Diagramms
V
τ
X
schon γ = τ folgt.
g
f
/
/
X
Y
f
Topologie
Beispiele 5.2.4.
74
• In Set ist f genau dann ein Mono, wenn f injektiv ist.
• In Copp ist f genau dann ein Mono, wenn es in C ein Epi ist.
5.3
Produkte und Coprodukte
Definition 5.3.1. Seien X, Y Objekte einer Kategorie C. Ein Produkt von X und Y ist ein
Objekt P zusammen mit Morphismen p1 : P → X und p2 : P → Y und folgender
universeller Eigenschaft: Für jedes Objekt Z und Morphismen p : Z → X und
q : Z → Y existiert genau ein Morphismus Z → P, so dass das Diagramm
PO
X_

∃!
?Y
Z
kommutiert. Falls es existiert, ist das Produkt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Wir schreiben dann P = X × Y. Man beachte, dass die universelle Eigenschaft eine
Bijektion
Hom(Z, X × Y) Hom(Z, X) × Hom(Z, Y)
liefert.
Definition 5.3.2. Ein Coprodukt von X und Y ist ein Objekt C zusammen mit
Morphismen i1 : X → C und i2 : Y → C und folgender universeller Eigenschaft: Für
jedes Objekt Z und Morphismen p : X → Z und q : Y → Z existiert genau ein
Morphismus C → Z, so dass das Diagramm
?C_
X
∃!
Y

Z
kommutiert. Falls es existiert, ist das Coprodukt bis auf Isomorphie eindeutig
`
bestimmt. Wir schreiben dann C = X Y oder auch C = X ⊕ Y. Die universelle
Topologie
75
Eigenschaft liefert:
Hom(X ⊕ Y, Z) Hom(X, Z) ⊕ Hom(Y, Z).
Beispiele 5.3.3.
• In der Kategorie der Mengen ist das Produkt durch das
kartesische Produkt von Mengen gegeben. Das Coprodukt ist die disjunkte
Vereinigung.
• In der Kategorie der Gruppen ist das Produkt ebenfalls das kartesische Produkt.
Das Coprodukt ist das freie Produkt von Gruppen.
5.4
Faser- und Cofaserprodukte
Definition 5.4.1. Ein kommutatives Diagramm
/
F
X
Y
α
β
/
Z
heißt kartesisch, falls für jedes kommutative Diagramm
/
P
Y
β
/
X
α
Z
genau ein Pfeil von P nach F existiert so dass das Diagramm
P
'/
F
Y
β
/
X
α
Z
kommutiert. In diesem Fall heißt F das Faserprodukt von X und Y ueber Z. Ein
Faserprodukt ist, wenn es existiert, eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie. Man
schreibt dann F = X ×α,β Y oder, wenn klar ist, welche Abbildungen α,β man benutzt,
auch F = X ×Z Y.
Topologie
76
Ein Diagramm heißt co-kartesisch, wenn es in Copp kartesisch ist. Ein Cofaserprodukt in C
ist ein Faserprodukt in Copp . Faserprodukte existieren nicht immer.
Beispiele 5.4.2.
durch
• In der Kategorie der Mengen ist das Faserprodukt gegeben
n
o
X ×α,β Y = (x, y) ∈ X × Y : α(x) = β(y) .
Die Abbildungen nach X und Y sind durch die Projektionen des kartesischen
Produktes gegeben.
• Sei ein Diagramm von Mengen und Abbildungen
YO
g
f
Xo
Z
gegeben. Dann ist das Cofaserprodukt C in Set gegeben durch
· / ∼,
C = (X∪Y)
wobei ∼ die Aequivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung ist, gegeben
durch
x ∼ x, y ∼ y, f (z) ∼ g(z)
fuer alle x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z.
Lemma 5.4.3. Ist das Diagramm
F
A
g
/
B
/C
f
kartesisch und ist f injektiv, so auch g. Ist das Diagramm
C
B
δ
γ
/
A
/P
co-kartesisch und ist δ surjektiv, so auch γ.
Beweis. Seien α, β : Z → F zwei Morphismen so dass gilt h = gα = gβ. Wir muessen
Topologie
77
zeigen, dass α = β ist. Betrachte das Diagramm
Z
α
h0
h
β
'
F
" g
η
A
f
/
B
/C
Aus gα = gβ folgt f ηα = f ηβ und da f injektiv ist, erhalten wir h0 = ηα = ηβ, das
Diagramm kommutiert also. Da das Anfangsdiagramm kartesisch ist, gibt es zu h und
h0 genau einen Morphismus von Z nach F, der das Diagramm kommutativ macht,
also folg α = β.
Die Aussage fuer cokartesische Diagramme folgt durch Uebergang zur
entgegengesetzten Kategorie.
5.5
Funktoren
Definition 5.5.1. Ein Funktor von einer Kategorie A zu einer Kategorie B ist ein Paar
(F, F ), wobei F : Ob(A) → Ob(B) eine Abbildung ist und F ist eine Familie von
Abbildungen FX,Y : MorA (X, Y) → MorB (F(X), F(Y)) so dass gilt:
• FX,X (1X ) = 1F(X) ,
• F( f ◦ g) = F( f ) ◦ F(g), hier haben wir die Indizes bei F weggelassen.
Beispiele 5.5.2.
• Der Vergiss-Funktor F : Ab → Set, der jede Gruppe auf die
unterliegende Menge wirft und die Gruppenhomomorphismen auf die
unterliegenden Mengenabbildungen.
• Der Homotopie-Funktor F von der Kategorie Top zur Homotopiekategorie. Er
Wirft jeden topologischen Raum X auf sich und jede stetige Abbildung f auf die
Homotopieklasse [ f ].
• Fasst man Gruppen als Kategorien auf, so sind Funktoren auf ihnen gerade
Gruppenhomomorphismen.
Definition 5.5.3. Ein Funktor F : C → Dopp wird auch manchmal kontravarianter
Funktor auf C genannt. Die Definition ist dieselbe wie bei Funktoren, nur dass sich bei
Topologie
78
Morphismen die Reihenfolge umdreht, also FX,Y : MorC (X, Y) → MorD (F(Y), F(X)) und
F( f ◦ g) = F(g) ◦ F( f ).
Beispiel 5.5.4. Sei K ein Körper und Vekt(K) die Kategorie der K-VektorRäume und
linearen Abbildungen. Die Dualisierung V 7→ V ∗ = Hom(V, K) ist ein kontravarianter
Funktor von Vekt(K) in sich, denn man definiert für eine lineare Abbildung
T : V → W die duale Abbildung als
T∗ (α) = α ◦ T.
Dann gilt (TS)∗ = S∗ T∗ .
Für einen topologischen Raum X betrachte die Kategorie CX mit
n
o
Ob(CX ) = U ⊂ X offen
wobei Mor(V, U) leer ist, falls V /⊂U und andernfalls enthält Mor(V, U) genau ein
Element, die Inklusionsabbildung V ,→ U.
Definition 5.5.5. Ein Funktor F : A → B ist ein Isomorphismus von Kategorien, falls es
einen Funktor G : B → A gibt, so dass
FG = IdB
und GF = IdA .
Definition 5.5.6. Ein Funktor F : A → B heißt treu, falls fuer je zwei X, Y ∈ A die
Abbildung
F : HomA (X, Y) → HomB (F(X), F(Y))
injektiv ist.
Der Funktor F heißt voll, falls fuer je zwei X, Y ∈ A die Abbildung
F : HomA (X, Y) → HomB (F(X), F(Y))
surjektiv ist.
Schliesslich heißt er volltreu, falls es voll und treu ist.
Beispiel 5.5.7. Der Vergiss-Funktor Ab → Set, der jeder abelschen Gruppe ihre Menge
zuordnet, ist treu aber nicht voll.
Topologie
5.6
79
Natuerliche Transformationen
Definition 5.6.1. Seien F, G : A → B Funktoren. Eine natuerliche Transformation
t : F → G ist eine Familie (tX )X∈A von Morphismen
tX : F(X) → G(X),
so dass fuer jeden Pfeil f : X → Y in A das Diagramm
F(X)
tX
G(X)
F( f )
G( f )
/
F(Y)
tY
/ G(Y)
kommutiert. Man kann natuerliche Transformationen t : F → G und s : G → H
hintereinanderschalten und erhaelt st : F → H. Eine natuerliche Transformation
t : F → G ist ein natuerlicher Isomorphismus, wenn es eine natuerliche Transforma tion
s : G → F gibt, so dass st = IdF und ts = IdG . Ist t ein natuerlicher Isomorphismus,
dann ist insbesondere jeder Pfeil tX : F(X) → G(X) ein Isomorphismus.
Beispiele 5.6.2.
Gruppe.
• Jede Gruppe ist natuerlich isomorph zu ihrer Entgegengesetzten
Sei G eine Gruppe. Ihre entgegengesetzte Gruppe Gopp besteht aus derselben
Menge mit der neuen Verknuepfung
a ·opp b = ba.
Sei F der Funktor F : Grp → Grp der Kategorie der Gruppen in sich, der jede
Gruppe G auf ihre entgegengesetzte Gruppe abbildet. Die obige Aussage ist nun
so zu verstehen: Es gibt einen natuerlichen Isomorphismus t : Id −→ F.
Beweis. Fuer jede Gruppe G ist
tG : G → Gopp ,
x 7→ x−1
ein Isomorphismus. Ist φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, dann folgt
φ(tG (x)) = φ(x−1 ) = φ(x)−1 = tH (φ(x)).
Topologie
80
Damit definiert t eine natuerliche Transformation von Id nach F, aber auch von F
nach Id und wegen
tGopp tG = IdG
ist t ein Isomorphismus.
• Sei K ein Koerper und sei F : Vekt(K) → Vekt(K) der Funktor, der jedem
Vektorraum V sein Bidual F(V) = V ∗∗ zuordnet. Dann definiert die kanonische
Abbildung
tV : V → V ∗∗
v 7→ δv ,
mit δv (α) = α(v) eine natuerliche Transformation t : Id → F.
5.7
Aequivalenz von Kategorien
Definition 5.7.1. Ein Funktor F : A → B ist eine Aequivalenz von Kategorien, falls es
einen Funktor G : B → A gibt, so dass
FG IdB
und GF IdA .
Jede Isomorphie von Kategorien ist eine Aequivalenz von Kategorien.
Beispiel 5.7.2. Sei K ein Koerper und sei A die Kategorie der endlich-dimensionalen
K-Vektorraeume. Dann ist F : A → A, V 7→ V ∗∗ eine Aequivalenz von Kategorien.
Satz 5.7.3. (a) Ein Funktor F : A → B ist genau dann eine Aequivalenz von Kategorien,
wenn er volltreu ist und dichtes Bild hat.
(b) Zwei Kategorien A, B sind genau dann aequivalent, wenn es dichte Unterkategorien
A0 ⊂ A und B0 ⊂ B gibt, die isomorph sind, d.h. es gilt A0 B0 .
Erinnerung: Eine Unterkategorie B0 ⊂ B heißt dicht, wenn es zu jedem Z ∈ B ein
Z0 ∈ B0 gibt, das isomorph ist zu Z.
Topologie
81
Beweis. (a) Sei F eine Aequivalenz mit Quasi-Inversem G : B → A und sei
t : IdA → GF die natuerliche Isomorphie. Dann ist fuer je zwei X, Y ∈ A die Abbildung
GF
t−1
◦·◦tX
Y
Hom(X, Y) −→ Hom(GF(X), GF(Y)) −→ Hom(X, Y)
gleich der Identitaet, woraus sich ergibt, dass F treu ist. Da ferner t−1
und tX
Y
Isomorphismen sind, folgt auch, dass G voll ist. Durch Vertauschen von F und G folgt,
dass auch F voll ist. Sei s : IdB → FG die natuerliche Isomorphie. Ist Z ∈ B, so ist
sX : X → F(G(Z)) ein Isomorphismus, daher hat F dichtes Bild.
Sei nun umgekehrt F : A → B volltreu mit dichtem Bild. Fuer jedes Z ∈ B waehle ein
X ∈ A, so dass und einen Isomorphismus νZ : Z −→ Z0 = F(X), wobei wir verlangen,
dass Z0 = Z und νZ = IdZ , falls Z im Bild liegt. Setze dann G(Z) = X. Z, W ∈ B definiere
G : Hom(Z, W) → Hom(G(Z), G(W)) durch
νW ◦·◦ν−1
Z
F−1
Hom(Z, W) −→ Hom(Z0 = F(X), W 0 = F(Y)) −→ Hom(X = G(Z), Y = G(W)).
Dann folgt, dass G ein Funktor ist, der Quasi-invers zu F ist.
Der Beweis von (b) sei dem Leser zur Uebung gelassen.
5.8
Abelsche Kategorien
Für eine Kategorie C schreibt man oft auch X ∈ C für X ∈ Ob(C). Ein Objekt T einer
Kategorie heißt terminales Objekt, wenn es zu jedem X ∈ C genau einen Morphismus
X → T gibt. Wenn es existiert ist es eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie, denn für
jedes weitere terminale Objekt T0 gibt es genau einen Morphismus α : T → T0 und
genau ein β : T0 → T, dann ist αβ der eindeutig bestimmte Endomorphismus T0 → T0 ,
also gleich 1T0 . Ebenso gilt βα = 1T , also sind α und β zueinander inverse
Isomorphismen.
• In Ab ist die triviale Gruppe ein terminales Objekt.
n o
• In Top ist der Einpunktraum x0 ein terminales Objekt.
Beispiele 5.8.1.
Definition 5.8.2. Ein Objekt I von C heißt initiales Objekt, wenn es zu jedem X ∈ C
genau einen Morphismus I → X gibt. Ein initiales Objekt ist eindeutig bestimmt bis
auf Isomorphie, wenn es existiert.
Beispiele 5.8.3.
• In Ab ist die triviale Gruppe auch initial.
Topologie
82
• In Top gibt es kein initiales Objekt. In Top0 ist der Einpunktraum ein initiales
Objekt.
• In der Kategorie der Ringe ist Z ein initiales Objekt.
Definition 5.8.4. Ein Nullobjekt einer Kategorie ist ein Objekt X0 das sowohl initial als
auch terminal ist. Für je zwei Objekte X, Y ∈ C gibt es dann genau einen Morphismus
0, der über das Nullobjekt faktorisiert, man nennt ihn den Nullmorphismus.
/
0
X
?Y
X0
Ein Nullobjekt schreibt man auch selbst als 0. Eine Kategorie, die ein Nullobjekt
enthält, heißt punktierte Kategorie. Sei f : X → Y ein Morphismus in einer punktierten
Kategorie. Ein Kern zu f ist ein Morphismus α : K → X so dass folgendes gilt:
• f α = 0 und
• jeder Morphismus g : Z → X mit f g = 0 faktorisiert eindeutig über α, d.h. es gibt
genau einen Morphismus ψ : Z → K mit g = αψ.
Z
∃!ψ
0
g
K
 α
/X
f
/Y
Beispiel 5.8.5. In Ab ist für f : A → B die Einbettung der Untergruppe f −1 (0) in A ein
Kern.
Sei weiter C punktiert, dann ist ein Kokern zu f : X → Y ein Morphismus γ : Y → C so
dass folgendes gilt
• γ f = 0 und
• jeder Morphismus g : Y → Z mit g f = 0 faktorisiert in eindeutiger Weise über γ,
d.h. es gibt genau einen Morphismus φ : C → Z mit g = φγ.
? ZO _
0
X
∃!φ
g
f
/
Y
γ
/C
Topologie
83
Lemma 5.8.6. Sei C eine punktierte Kategorie. Ein Kern ist stets ein Monomorphismus, ein
Cokern ist stets ein Epi.
Proof. Sei k : K → X ein Kern zu f : X → Y. Seien dann α, β : Z → K Morphismen mit
kα = kβ. Wir muessen zeigen, dass α = β gilt. Wir haben also das kommutative
Diagram
β
α
/
k
K
O O
?X
f
/
Y
F
Z
Der Pfeil F := kα = kβ hat die Eigenschaft, dass f F = 0, also faktoriesiert er eindeutig
ueber k, was soviel bedeutet, dass α = β sein muss. Die zweite Aussage folgt durch
Dualisieren, weil ein Kern in Copp ein Cokern in C ist.
Definition 5.8.7. Eine additive Kategorie ist:
• eine punktierte Kategorie C mit Nullobjekt 0 und
• einer abelschen Gruppenstruktur auf MorC (X, Y) für jedes Paar (X, Y) von
Objekten, so dass die Komposition
◦ : Mor(X, Y) × Mor(Y, Z) → Mor(X, Z)
bilinear ist.
• Ferner soll zu je zwei Objekten X, Y das Produkt X × Y und das Coprodukt X ⊕ Y
existieren.
In einer additiven Kategorie ist der Nullmorphismus 0 ∈ Mor(X, Y) stets gleich der
Null in der additiven Gruppe Mor(X, Y), denn der Nullmorphismus ist ja das einzige
Element des Bildes der bilinearen Abbildung ◦ : Mor(X, 0) × Mor(0, Y) → Mor(X, Y).
Eine additive Kategorie C heißt abelsche Kategorie, falls
• Zu jedem Morphismus existieren Kern und Cokern.
• Ist Ker( f ) = 0, dann ist f der Kern seines Cokerns. Ist coker( f ) = 0, dann ist f
Cokern seines Kerns. Ein Morphismus f mit Ker( f ) = 0 = coker( f ) ist ein
Isomorphismus.
Topologie
84
Beispiel 5.8.8. Sei R ein Ring und sei Mod(R) die Kategorie der R-Moduln und
R-linearen Abbildungen. Dann ist Mod(R) eine abelsche Kategorie, wobei die Summe
zweier Homomorphismen durch die punktweise Summe erklaert ist.
Lemma 5.8.9. Sei A eine abelsche Kategorie.
(a) Ein Pfeil f ist genau mono, wenn Ker( f ) = 0 gilt. Ein Pfeil g ist genau dann epi, wenn
coker(g) = 0 gilt.
(b) Die duale Kategorie Aopp ist ebenfalls abelsch.
(c) Zu zwei Objekten X, Y ist das Produkt X × Y isomorph zum Coprodukt X ⊕ Y.
(d) Zu zwei Morphismen f : A → C und g : B → C existiert das Faserprodukt. Zu zwei
Morphismen C → A und C → B existiert das Cofaserprodukt.
(e) Ist das Diagramm
F
A
g
/
B
/C
f
kartesisch und ist f surjektiv, so auch g. Ist das Diagramm
C
B
δ
γ
/
A
/P
co-kartesisch und ist δ injektiv, so auch γ.
Beweis. (a) Ist Ker( f ) = 0, dann ist f der Kern seines Cokerns, also mono nach Lemma
5.8.6. Ist andersrum f ein Monomorphismus, und α ein Kern, dann ist f 0 = 0 = f α,
also folgt α = 0. Die epi-Aussage folgt analog.
(b) ist leicht einzusehen.
α
β
(c) Sind Z −→ X und Z −→ Y Morphismen, so schreiben wir den durch die universelle
Eigenschaft induzierten Morphismus Z → X × Y als α × β. Die Morphismen
1×0
0×1
X −→ X × Y und Y −→ X × Y induzieren dann nach der universellen Eigenschaft der
Topologie
85
Summe einen Morphismus φ : X ⊕ Y → X × Y, der das Diagramm
/X
Id
X
#
X< ⊕ Y
φ
/
;
X×Y
"
Id
Y
/
Y
kommutativ macht. Wir definieren die Komposition
ψX : X × Y → X → X ⊕ Y
und
ψY : X × Y → Y → X ⊕ Y.
Sei dann
ψ : ψX + ψY .
Man stellt fest, dass ψ invers ist zu φ und damit ist φ ein Isomorphismus.
(d) Seien f : A → C und g : B → C gegeben. Sei α : A × B → C gegeben durch als
f
Komposition A × B → A −→ C und β : A × B → B → C ebenso. Sei dann
K = Ker(α − β), dann ist K ein Faserprodukt. Cofaserprodukte sind Faserprodukte in
der Kategorie Aopp .
(e) sei zur Uebung.
Definition 5.8.10. In einer abelschen Kategorie definieren wir für einen Morphismus
f:
Bild( f ) := Ker(coker( f )).
Eine Sequenz von Morphismen
di−1
di
· · · → Ai−1 −→ Ai −→ Ai+1 → . . .
heißt exakt an der Stelle i, falls Bild(di−1 ) = Ker(di ) gilt. Die Sequenz heisst exakt
schlechthin, wenn sie an jeder Stelle exakt ist.
Ein Funktor F : C → D additiver Kategorien heißt additiver Funktor, falls für je zwei
Objekte X, Y die induzierte Abbildung F : Mor(X, Y) → Mor(F(X), F(Y)) ein
Gruppenhomomorphismus ist.
Topologie
86
Ein Funktor F : C → D abelscher Kategorien heißt exakter Funktor, falls er additiv ist
und exakte Sequenzen in exakte Sequenzen überführt.
6
6.1
Kohomologie
Motivation: de Rham Kohomologie
Definition 6.1.1. Sei M eine glatte Manngifaltigkeit und sei Ωp (M) der reelle
Vektorraum der p- Differentialformen. Das Äußere Differential dp : Ωp → Ωp+1 erfüllt
dp+1 dp = 0, also kann man die de Rham Kohomologie von M definieren als
p
def
HdR (M) =
Ker(dp )/ Bild(dp−1 ).
p
Sei nun C∞
p (M) die freie Gruppe erzeugt von allen p-Simplizes σ : ∆ → M, die glatt
sind. Dann kann man eine p-Form ω ∈ Ωp (M) mit σ zurückziehen und definiert
def
hσ, ωi =
Z
Z
σω=
∗
∆
σ(∆)
ω.
p
Dies definiert eine bilineare Paarung auf C∞
p (M) × Ω (M). Mit anderen Worten, man
∗
erhält eine lineare Abbildung ψ : Ωp → C∞
n (M) . Der Stokessche Integralsatz besagt:
h∂σ, ωi = hσ, dωi .
Dies kann man lesen als
ψ(dω) = ∂∗ ψ(ω),
∗
∞
∗
wobei ∂∗ : C∞
p (M) → Cp+1 (M) der zum Randoperator duale Operator ist. Das heißt, ψ
ist eine Kokettenabbildung und man kann zeigen, dass die induzierte Abbildung auf
der Kohomologie für kompaktes M ein Isomorphismus ist.
Topologie
6.2
87
Singuläre Kohomologie
Definition 6.2.1. Sei G eine abelsche Gruppe und X ein topologischer Raum. Die
Menge der singulären Koketten mit Koeffizienten in G ist definiert als
Cn (X, G) = Hom(Cn (X), G).
Die Korandabbildung d : Cn (X, G) → Cn+1 (X, G) ist definiert als die duale Abbildung
zum Randoperator, also
dφ(σ) = φ(∂σ).
Was soviel heißt wie
dφ(σ) =
n+1
X
(−1)i φ(σ|[v0 ,...v̂i ...,vn+1 ] ).
i=0
Da d2 der duale zu ∂2 = 0 ist, folgt d2 = 0, also kann man die singuläre Kohomolohie
Hp (X, G) mit Koeffizienten in G definieren als Ker d/ Bild d im Grad p. Also
.
Hp (X, G) = Ker d ∩ Cp (X, G) d(Cn−1 (X, G)).
Man schreibt
Zp (X, G) = Ker d ∩ Cp (X, G)
und nennt die Elemente Kozykel. Man schreibt
Bp (X, G) = d(Cn−1 (X, G))
und nennt die Elemente Koränder. Die Kohomologie ist
.
Hp (X, G) = Zp (X, G) Bp (X, G).
6.3
Der universelle Koeffizientensatz
∂
∂
Definition 6.3.1. Sei · · · → Cn+1 −→ Cn −→ Cn−1 → . . . ein Kettenkomplex freier
abelscher Gruppen. Für eine gegebene abelsche Gruppe G sei Cn (G) = Hom(Cn , G) die
duale Gruppe. Ferner sei d : Cn → Cn+1 der duale Operator zu ∂, also dφ( f ) = φ(∂ f )
d
d
fuer φ ∈ Cn (G). Dann ist · · · → Cn−1 −→ Cn −→ Cn+1 → ein Kokettenkomplex. Die
Kohomologiegruppe Hp (C, G) von C mit Koeffizienten in G ist dann definiert als die
Kohomologie des Kokettenkomplexes (Cn ).
Topologie
88
Sei H eine abelsche Gruppe. Eine exakte Sequenz der Form
· · · → F2 → F1 → F0 → H → 0
mit freien abelschen Gruppen F j heißt freie Auflösung von H. Dann ist
F
. . . F1 → F0 → 0
≡
ein Kettenkomplex freier abelscher Gruppen. Also ist die Kohomologie Hp (F, G)
definiert wie oben. Beachte, dass F der abgeschnittene Komplex ist! Man schreibt das
auch so, dass F → H eine freie Auflösung von H ist. Es gilt z.B.:
H0 (F, G) = Ker(Hom(F0 , G) → Hom(F0 , G))
= Hom(F0 /F1 , G) = Hom(H, G).
Also hängt H0 (F, G) nicht von der Wahl der Auflösung ab!
Lemma 6.3.2.
(a) Seien F, F0 freie Auflösungen der abelschen Gruppen H, H0 . Dann kann jeder
Gruppenhomomorphismus α : H → H0 fortgesetzt werden zu einer Kettenabbildung
F → F0 , also gibt es ein kommutatives Diagramm:
...
...
f2
/F
2
α2
/ F0
2
f20
/
F1
f1
α1
/ F0
1
f10
/
F0
f0
α0
/H
/ F0
0
f00
/
/
0
α
H0
/
0.
Je zwei verschiedene Fortsetzungen von α sind kettenhomotop.
(b) Für je zwei freie Auflösungen F, F0 von H gibt es kanonische Isomorphismen
Hp (F, G) Hp (F0 , G).
Beweis. Da F0 frei ist, kann man den Homomorphismus α ◦ f0 : F0 → H nach F00 liften,
das definiert α0 . Sei αn−1 bereits definiert. Der Homomorphismus αn−1 ◦ fn : Fn → F0n−1
0
0
erfüllt fn−1
◦ (αn−1 ◦ fn ) = 0, das Bild liegt also im Kern von fn−1
, welcher gleich dem
0
Bild von fn ist. Da Fn frei ist, kann dieser Homomorphismus zu einem
Homomorphismus αn : Fn → F0n geliftet werden.
Um zu zeigen, dass zwei Fortsetzungen von α kettenhomotop sind, reicht es zu
Topologie
89
zeigen, dass im Fall α = 0 jede Fortsetzung nullhomotop ist, denn die Differenz zweier
Fortsetzungen ist eine Fortsetzung der Null.
Sei also α = 0 und die αn eine Fortsetzung. Wir suchen Gruppenhomomorphismen
Pn : Fn → F0n+1 so dass
0
αn = fn+1
Pn + Pn−1 fn .
Setze P−1 : H → F00 gleich Null. Die verlangte Relation ist dann α0 = f10 P0 . Ein solches
P0 existiert, denn das Bild von α0 liegt im Kern von f00 , also im Bild von f10 und F0 ist
frei.
0
Pn .
Induktiv sei Pn−1 bereits definiert. Wir suchen dann Pn so dass αn − Pn−1 fn = fn+1
Damit ein solches existiert, reicht es zu zeigen, dass das Bild von αn − Pn−1 fn im Bild
0
von fn+1
, also im Kern von fn0 liegt. Wegen αn−1 = fn0 Pn−1 + Pn−2 fn−1 ist
fn0 (αn − Pn−1 fn ) = fn0 αn − ( fn0 Pn−1 ) fn
= fn0 αn − (αn−1 − Pn−2 fn−1 ) fn
= fn0 αn − αn−1 fn = 0.
Also existiert Pn und damit ist Teil (a) bewiesen.
Teil (b) folgt nun leicht. Da kettenhomotope Abbildungen die gleiche Abbildung auf
der Homotopie induzieren, induziert jeder Homomorphismus α : H → H0 einen
eindeutigen Homomorphismus auf der Homotopie. Für zwei verschieden
Auflösungen derselben Gruppe H wenden wir dies auf α = Id : H → H an und
erhalten eindeutige Homomorphismen auf der Homologie, die dann wegen der
Eindeutigkeit mit dem üblichen Schluss Isomorphismen sein müssen.
Es folgt, dass bis auf kanonische Isomorphie Hp (F, G) nur von H und G anhängt, nicht
aber von der Auflösung. Wir nennen diese Gruppe
Extp (H, G).
Lemma 6.3.3. Für eine gegebene abelsche Gruppe H gibt es eine exakte Sequenz
0 → F1 → F0 → H → 0.
Beweis. Sei S irgendeine Erzeugermenge von H. Sei F0 eine freie abelsche Gruppe mit
Erzeugermenge S0 von gleicher Kardinalität wie S. Eine Bijektion f : S0 → S dehnt aus
zu einem surjektiven Gruppenhomomorphismus f : F0 → H. Sei F1 der Kern von f .
Topologie
90
Da F1 eine Untergruppe einer freien abelschen Gruppe ist, ist F1 eine freie abelsche
Gruppe (Lang, Algebra). Also erfüllt die Sequenz F1 → F0 → H die Forderung.
Dies impliziert, dass für abelsche Gruppen G, H immer gilt Extp (H, G) = 0 für p ≥ 2.
Ferner haben wir berechnet, dass gilt
Ext0 (H, G) = Hom(H, G).
Die einzig interessante Gruppe ist also Ext1 (H, G).
Lemma 6.3.4. (a) Ext1 (H ⊕ H0 , G) Ext1 (H, G) ⊕ Ext1 (H0 , G),
(b) Ext1 (H, G) = 0 falls H frei ist,
(c) Ext(Z/nZ, G) G/nG.
Beweis. (a) folgt aus der Tatsache, dass die direkte Summe von freien Auflösungen
von H und H0 eine freie Auflösung von H ⊕ H0 ist.
(b) ist klar, da dann 0 → H → H → 0 eine freie Auflösung ist.
n
(c) kommt von der Auflösung 0 → Z −→ Z → Z/nZ → 0.
Lemma 6.3.5. Sei
β
α
0 → A −→ B −→ C → 0
eine exakte Sequenz abelscher Gruppen. Dann sind äquivalent:
(a) Es gibt einen Gruppenhomomorphismus s : C → B mit βs = IdC .
(b) Es gibt einen Gruppenhomomorphismus t : B → A mit tα = IdA .
(c) Es gibt einen Isomomorphismus ψ : B → A ⊕ C so dass das Diagramm
<
0
/
B
"
A⊕C
kommutiert.
"
ψ
A
<
p2
C
/
0
Topologie
91
Definition 6.3.6. Sind diese gleichwertigen Bedingungen erfüllt, dann sagen wir, die
Sequenz 0 → A → B → C → 0 ist spaltend oder sie spaltet.
Beweis. (c) ⇒ (a) und (c) ⇒ (b) sind klar.
(a) ⇒ (c): Sei s : C → B mit βs = IdC gegeben. Für b ∈ B gilt b − sβ(b) ∈ Bild α, denn
Bild α = Ker β und
β(b − sβ(b)) = β(b) − βsβ(b) = β(b) − β(b) = 0.
Also kann man ψ : B → A ⊕ C definieren:
ψ(b) = α−1 (b − sβ(b)) ⊕ β(b).
Ist a ∈ A, so gilt ψ(α(a)) = α−1 α(a) ⊕ 0 = a ⊕ 0. Ist b ∈ B, so gilt p2 ψ(b) = β(b), also
kommutiert das Diagramm.
(b) ⇒ (c): Sei t : B → A gegeben mit tα = IdA , dann definiere
ψ(b) = α(t(b)) ⊕ β(b).
Die Kommutativität des Diagramms ist klar.
Satz 6.3.7 (Universeller Koeffizientensatz). Es gibt eine kanonische spaltende exakte
Sequenz:
h
0 → Ext1 (Hn−1 (C), G) → Hn (C, G) −→ Hom(Hn (C), G) → 0.
Ist f : C → C0 eine Kettenabbildung, so induziert f ein kommutatives Diagramm
/
0
/ Hn (C, G)
O
Ext1 (Hn−1
(C), G)
O
f∗
0
/
/
h
f∗
Ext1 (Hn−1 (C0 ), G)
/
Hn (C0 , G)
/
0
/
0
Hom(HO n (C), G)
f∗
h
/
Hom(Hn (C0 ), G)
Beweis. Wir definieren den Homomorphismus
h : Hn (C, G) → Hom(Hn (C), G)
Topologie
92
wie folgt: Sei [φ] ∈ Hn (C, G), also φ : Cn → G mit φ ◦ ∂ = dφ = 0. Das bedeutet
φ(Bn ) = 0, wobei Bn = Bild(∂n+1 ). damit induziert die Einschränkung von φ auf
Zn = Ker ∂n einen Homomorphismus φ : Zn /Bn → A, also ein Element von
Hom(Hn (C), G). Dann definieren wir h([φ]) = φ.
Lemma 6.3.8. Der Gruppenhomomorphismus h ist surjektiv. Genauer gibt es eine spaltende
exakte Sequenz
h
0 → Ker h → Hn (C, G) −→ Hom(Hn (C), G) → 0.
Beweis. Da Bn−1 eine Untergruppe der freien Gruppe Cn−1 ist, ist Bn−1 selbst eine freie
Gruppe. Also zerfüllt die exakte Sequenz
∂
0 → Zn → Cn −→ Bn−1 → 0.
Also gibt es eine Projektion p : Cn → Zn mit p|Zn = Id. Sei nun η ∈ Hom(Hn (C), G), also
η : Zn /Bn → G. Definiere η̂ = η ◦ p : Cn → G. Ferner gilt dη̂ = η̂ ◦ ∂ = η ◦ p ◦ ∂ = 0, also
definiert η̂ eine Kohomologieklasse [η̂] mit h([η̂]) = η, damit ist h surjektiv und die
Sequenz des Lemmas wird von der Abbildung η 7→ [η̂] gespaltet.
Wir betrachten das kommutative Diagramm mit spaltenden exakten Zeilen:
0
0
/
Zn+1
/
/
Cn+1
Zn
/
/
Cn
∂
/
/
0
/
0
Bn
∂
0
∂
0
Bn−1
Da die Zeilen gespalten sind, hat das duale Diagramm ebenfalls exakte Zeilen:
0o
Z∗n+1 o
O
0
0o
Z∗n o
C∗n+1 o
O
d
C∗n o
d
B∗n o
O
0
0
B∗n−1 o
0
Das bedeutet, wir erhalten eine exakte Sequenz von Kokettenkomplexen:
0 ← Z∗ ← C∗ ← B∗ ← 0. Die entsprechende exakte Sequenz von Kohomologiegrupen
hat die Form
· · · ← B∗n ← Z∗n ← Hn (C, G) ← B∗n−1 ← Z∗n−1 ← . . .
Die Verbindungshomomorphismen δ : Z∗n → B∗n in dieser Sequenz sind genau die dualen
zu den Inklusionen in : Bn → Zn , denn man erhält δ(z) ja, indem man für z ∈ Z∗n ein
Topologie
93
Urbild in C∗n wählt, dann d anwendet und das Urbild in B∗n nimmt. Im ersten Schritt
wird der Homomorphismus z : Zn → G nach Cn ausgedehnt, im zweiten wird er mit ∂
komponiert und im dritten wird diese Komposition wieder aufgehoben bei
Restriktion nach Bn , im Endeffekt wird also z nur nach Bn eingeschränkt. Damit gilt
δ = i∗n , also hat man die exakte Sequenz
i∗n
i∗n−1
· · · ← B∗n ←− Z∗n ← Hn (C, G) ← B∗n−1 ←− Z∗n−1 ← . . .
Woraus man die kurze exakte Sequenz
0 ← Ker(i∗n ) ← Hn (C, G) ← coker(i∗n−1 ) ← 0
extrahiert. Elemente von Ker(i∗n ) sind Homomorphismen Zn → G, die auf Bn
verschwinden, also genau die Homomorphismen von Bn /Zn → G, in anderen Worten:
Ker(i∗n ) = Hom(Hn (C), G). Die Abbildung Hn (C, G) → Ker(i∗n ) = Hom(Hn (C), G) ist
gerade die Abbildung h. Also gibt es einen kanonischen Isomorphismus
Ker h coker i∗n−1 . Die Sequenz
in−1
0 → Bn−1 −→ Zn−1 → Hn−1 (C) → 0
ist eine freie Auflösung von Hn−1 (C), also gibt es einen kanonischen Isomorphismus
Ker h coker i∗n−1 Ext1 (Hn−1 (C)). Damit ist der Satz bewiesen.
6.4
Homotopie-Invarianz
Sei H eine fest gewählte abelsche Gruppe. Für einen topologischen Raum X sei
Cn (X, G) = Hom(Cn (X), G). Sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Die Abbildung
f# : Cn (X) → Cn (Y) dualisiert zu
f # : Cn (Y) → Cn (X).
Auf diese Weise wird Cn : Top → Ab ein kontravarianter Funktor. Es gilt: f # ist eine
Kokettenabbildung, d.h. es ist
d f # = f #d
Topologie
94
Dies folgt leicht aus der Tatsache, dass f# eine Kettenabbildung ist. Denn sei α ∈ Cn (Y),
so gilt
d f # (α) = d( f # (α)) = d(α ◦ f# ) = α ◦ f# ◦ ∂ = α ◦ ∂ ◦ f# = f # (α ◦ ∂) = f # d(α).
Analog zur Homologie definiert f damit eine Abbildung f ∗ : Hn (Y, G) → Hn (X, G).
Damit wird die Kohomologie Hn (·, G) zu einem kontravarianten Funktor von Top
nach Ab.
Satz 6.4.1. Seien f, g : X → Y stetige Abbildungen. Sind f und g homotop, so gilt
f ∗ = g∗ .
Beweis. Sind f und g homotop, dann sind die Kettenabbildungen f# und g#
kettenhomotop, d.h. es gilt
f# − g# = ∂P + P∂.
Dies dualisiert zu
f # − g# = P∗ d + dP∗ .
Damit folgt f ∗ − g∗ = 0 nach Lemma ??, wobei man nur die Nummerierung umdrehen
muss, da das Lemma fuer Kettenabbildungen statt Cokettenabbildungen formuliert
wurde.
6.5
Die Raumpaar-Sequenz
Sei G eine feste abelsche Gruppe. Für eine abelsche Gruppe A schreiben wir A∗ für
Hom(A, G). Für einen Homomorphismus f : A → B definieren wir f ∗ : B∗ → A∗ durch
f ∗ (α) = α ◦ f . Es folgt ( f ◦ g)∗ = g∗ ◦ f ∗ Zusammengefasst heißt das: A 7→ A∗ definiert
einen kontravarianten Funktor Hom(·, G) von Ab nach Ab.
α
β
Lemma 6.5.1. Ist 0 → A −→ B −→ C → 0 eine exakte Sequenz, dann ist
β∗
α∗
0 → C∗ −→ B∗ −→ A∗
exakt. Ist die erste Sequenz spaltend, dann ist α∗ auch surjektiv. Im Allgemeinen ist α∗ aber
nicht immer surjektiv.
Topologie
95
Beweis. Sei f : C → G in C∗ mit β∗ ( f ) = 0, d.h. f ◦ β = 0, also verschwindet f auf dem
Bild von β. Da β surjektiv ist, ist f = 0 und damit ist β∗ injektiv.
Es gilt λ∗ β∗ = (βα)∗ = 0∗ = 0.
Sei f ∈ B∗ mit α∗ ( f ) = 0, d.h. f ◦ α = 0, also verschwindet f auf dem Bild von α. Dies ist
der Kern von β. Damit faktorisiert f über B/ Ker β C, es gibt also ein g : C → G mit
f = g ◦ β = β∗ (g).
Ist die erste Sequenz spaltend, also etwa B B1 ⊕ B2 , dann zerfüllt diese Sequenz in
zwei Isomorphismen A −→ B1 und B2 −→ C, welche dualisieren zu Isomorphismen
der dualen Gruppen.
Für den Zusatz betrachten wir folgendes Gegenbeispiel. Sei G = Z und sei n ∈ N. Da
Hom(Z/nZ, Z) = 0 ist, dualisiert die exakte Sequenz
n
0 → Z −→ Z → Z/nZ → 0
zu
n
0 → 0 → Z −→ Z.
Sei nun (X, A) ein Raumpaar. Wir definieren Cn (X, G) = Cn (X)∗ und dualisieren die
exakte Sequenz
j
i
0 → Cn (A) −→ Cn (X) −→ Cn (X, A) → 0
zur exakten Sequenz
j∗
i∗
0 → Cn (X, A, G) −→ Cn (X, G) −→ Cn (A, G) → 0.
Die dualisierte Sequenz ist exakt bis zur Null, denn sei F die freie abelsche Gruppe
erzeugt von allen singulären Simplices σ in X, deren Bild nicht in A liegt, dann ist
Cn (X) Cn (A) ⊕ F und die obige Sequenz spaltet.
Man definiert die relative Corandabbildung d : Cn (X, A, G) → Cn+1 (X, A, G) durch
Restriktion der absoluten d : Cn (X, G) → Cn+1 (X, G) und definiert so die relative
Kohomologie Hn (X, A, G) = Zn (X, A, G)/Bn (X, A, G).
Lemma 6.5.2. Man hat eine exakte Sequenz
0 → H0 (X, A, G) → . . .
Topologie
96
j∗
δ
i∗
· · · → Hp (X, A, G) −→ Hp (X, G) −→ Hp (A, G) −→ Hp+1 (X, A, G) → . . .
Beweis. In der Sequenz
j∗
i∗
0 → Cn (X, A, G) −→ Cn (X, G) −→ Cn (A, G) → 0
sind j∗ und i∗ Kokettenabbildungen, d.h. i∗ d = di∗ und j∗ d = dj∗ , denn i und j sind
Kettenabbildungen und daher
i∗ d(α) = i∗ (α ◦ ∂) = α ◦ ∂ ◦ i = α ◦ i ◦ ∂ = d(α ◦ i) = di∗ (α)
und ebenso für j. Daher ergibt sich die Behauptung aus Lemma 4.6.3.
Wenn die Gruppe G feststeht, schreiben wir oft statt Hp (X, G) auch einfach Hp (X).
Satz 6.5.3. (a) Sind A, Z ⊂ X Teilmengen mit Z ⊂ Å, dann induziert die Inklusion
i : (X − Z, A − Z) ,→ (X, A) Isomorphismen
Hp (X, A) −→ Hp (X − Z, A − Z).
(b) Ist X wegzusammenhängend und A ⊂ X regulär abgeschlossen, dann gibt es eine
exakte Sequenz:
δ
0 → Z → H0 (A) −→ H1 (X/A) → . . .
π∗
δ
i∗
· · · → Hp (X/A) −→ Hp (X) −→ Hp (A) −→ Hp+1 (X/A) → . . .
wobei i : A ,→ X die Inklusion und π : X → X/A die Projektion ist.
Beweis. (a) Die Inklusion i induziert eine Kettenabbildung
i# : Cn = Cn (X − Z, A − Z) → C0n = Cn (X, A). Nach dem Universellen Koeffizientensatz
liefert diese ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:
/
0
/ Hn (C, G)
O
Ext1 (Hn−1
(C), G)
O
α
0
/
Ext1 (Hn−1 (C0 ), G)
h
Hn (C0 , G)
/
0
/
0
Hom(HO n (C), G)
β
i∗
/
/
h/
Hom(Hn (C0 ), G)
Topologie
97
In diesem Diagramm sind α und β induziert durch die Abbildungen
i∗ : Hn (C) → Hn (C0 ), die nach dem Ausschneidungssatz *** 5.20 Isomorphismen sind.
Daher sind auch α und β Isomorphismen. Nach dem fünfer-Lemma ist dann auch i∗
ein Isomorphismus.
Der Beweis von (b) ist analog zur Herleitung der Raumpaar-Sequenz für die
Homologie.
Proposition 6.5.4. (a) Sei X wegzusammenhängend und x0 ∈ X ein Punkt. Dann gilt
Hp (X, x0 ) Hp (X),
p≥1
H0 (X, x0 ) = 0.
(b) Sei A ⊂ X ein Deformationsretrakt von X. Dann gilt für jedes p:
Hp (X, A) = 0.
(c) Sei A ⊂ X regulär abgeschlossen. Dann induziert die Quotientenabbildung
q : (X, A) → (X/A, A/A) Isomorphismen:
q∗ : Hn (X/A, A/A) −→ Hn (X, A).
Beweis. Analog zu den entsprechenden Aussagen für die Homologie.
6.6
Die Mayer-Vietoris Sequenz
Satz 6.6.1. Seien A, B Teilmengen von X mit X = Å ∪ B̊. Dann gibt es eine exakte Sequenz
ψ
0 → H0 (X) −→ H0 (A) ⊕ H0 (B) → . . .
ψ
φ
δ
· · · → Hp (X) −→ Hp (A) ⊕ Hp (B) −→ Hp (A ∩ B) −→ Hp+1 (X) → . . .
Beweis. Die exakte Sequenz von Kettenkomplexen:
0 → Cp (A ∩ B) → Cp (A) ⊕ Cp (B) → Cp (A + B) → 0
Topologie
98
Dualisiert, da Cp (A + B) frei ist, zu einer exakten Sequenz von Kokettenkomplexen:
φ
ψ
0 → Cp (A + B, G) −→ Cp (A, G) ⊕ Cp (B, G) −→ Cp (A ∩ B, G) → 0.
Diese induziert eine lange exakte Sequenz in der Kohomologie, die mit der im Satz
übereinstimmt bis auf den Term Hp (X), der durch die Kohomologie des Komplexes
Cp = Cp (A + B) ersetzt ist. Sei D der Komplex Dp = Cp (X), dann induziert die Inklusion
i : Cp (A + B) ,→ Cp (X) eine duale Abbildung i# : Cp (X) → Cp (A + B). Seien i∗ und i∗ die
induzierten Abbildungen auf der (Ko-)Homologie. Dann ist i∗ nach Lemma ***5.29 ein
Isomorphismus. Der Universelle Koeffizientensatz liefert ein kommutative Diagramm
mit exakten Zeilen:
/ Hn (C, G)
O
/ Ext1 (H
(C), G)
n−1
O
0
α
0
/
h
/
/
Hn (D, G)
0
β
i∗
Ext1 (Hn−1 (D), G)
/
Hom(HO n (C), G)
h
/ Hom(H
n (D), G)
/
0
Die Abbildungen α und β sind Isomorphismen, so auch i∗ .
6.7
Das Cup-Produkt
Definition 6.7.1. Ab jetzt sei die Koeffizientengruppe G ein kommutativer Ring R,
etwa Z, Z/nZ oder Q. Dann kann man Abbildungen mit Werten in R nicht nur
addieren, sondern auch multiplizieren. Für zwei Koketten α ∈ Cp (X, R) und
β ∈ Cq (X, R) definieren wir das Cup- Produkt α ` β ∈ Cp+q (X, R) durch
(α ` β)(σ) = α(σ|[v0 ,...,vp ] )β(σ|[vp ,...,vp+q ] ),
wobei σ : [v0 , . . . , vp+q ] → X ein singulärer Simplex ist und das Produkt rechts die
Multiplikation in R ist. Das Produkt wird als bilineare Abbildung von
Cp (X, R) × Cq (X, R) nach Cp+q (X, R) fortgesetzt.
Lemma 6.7.2. (a) Das Cup-Produkt ist assoziativ, d.h. für α ∈ Cp (X, R), β ∈ Cq (X, R) und
γ ∈ Cr (X, R) gilt
(α ` β) ` γ = α ` (β ` γ).
(b) Für α ∈ Cp (X, R) und β ∈ Cq (X, R) gilt
d(α ` β) = dα ` β + (−1)p α ` dβ.
Topologie
99
Beweis. (a) folgt aus der Assoziativität der Multiplikation in R.
(b) Sei σ : [v0 , . . . , vp+q+1 ] → X ein singulärer p + q + 1 Simplex in X. Dann gilt
d(α ` β)(σ) =
p+q+1
X
(−1) j (α ` β)(σ|[v0 ,...v̂ j ...,vp+q+1 ] )
j=0
p
X
=
(−1) j α(σ|[v0 ,...v̂ j ...,vp+1 ] )β(σ|[vp+1 ,...,vp+q+1 ] )
j=0
+
p+q+1
X
(−1) j α(σ[v0 ,...,vp ] )β(σ|[vp ,...v̂ j ...,vp+q+1 ] )
j=p+1
p+1
X
=
(−1) j α(σ|[v0 ,...v̂ j ...,vp+1 ] )β(σ|[vp+1 ,...,vp+q+1 ] )
j=0
+
p+q+1
X
(−1) j α(σ[v0 ,...,vp ] )β(σ|[vp ,...v̂ j ...,vp+q+1 ] )
j=p
= dα ` β(σ) + (−1)p α ` dβ(σ).
Definition 6.7.3. Aus dem Lemma folgt
Zp ` Zq ⊂ Zp+q
und
Zp ` Bq , Bp ` Zq ⊂ Bp+q .
Da Hq = Zq /Bq , folgt, dass das Cup-Produkt eine assoziative und distributive
Multiplikation
Hp (X, R) × Hq (X, R) → Hp+q (X, R)
induziert, die
H (X, R) =
∗
∞
M
Hp (X, R)
p=0
zu einem Ring macht. Diesen nennt man den Kohomologiering von X mit Koeffizienten
in R.
Proposition 6.7.4. Sei f : X → Y stetig, dann ist die induzierte Abbildung
f ∗ : H∗ (Y, R) → H∗ (X, R)
Topologie
100
ein Ringhomomorphismus, d.h. es gilt f ∗ (α ` β) = f ∗ α ` f ∗ β.
Beweis. Es gilt schon auf Kokettenniveau: f # (α ` β) = f # α ` f # β. Dies rechnen wir
nach:
f # (α ` β)(σ) = (α ` β)( f ◦ σ)
= α(( f ◦ σ)|[v0 ,...,vp ] )β(( f ◦ σ)|[vp ,...,vp+q ] )
= f # (α)(σ|[v0 ,...,vp ] ) f # (β)(σ|[vp ,...,vp+q ] )
= f # α ` f # β(σ).
Definition 6.7.5. Eine R-Algebra ist ein (nicht notwendig kommutativer) Ring A, der
gleichzeitig ein R-Modul ist, so dass gilt
r(ab) = (ra)b = a(rb)
für r ∈ r und a, b ∈ A.
Beispiele 6.7.6.
• A = Matn (R) ist eine R-Algebra.
• Der Polynomring A = R[X] ist eine kommutative R-Algebra.
Definition 6.7.7. Ein Algebrenhomomorphismus ist eine Abbildung φ : A → B zwischen
R-Algebren, so dass φ gleichzeitig ein R- Modulhomomorphismus und ein
Ringhomomorphismus ist.
Beispiele 6.7.8.
• Sei α ∈ R, dann ist φα : R[X] → R gegeben durch f (X) 7→ f (α) ein
Algebrenhomomorphismus.
• Ist S eine invertierbare Matrix in Matn (R), dann ist A 7→ SAS−1 ein
Algebrenhomomorphismus von Matn (R) in sich.
Definition 6.7.9. Eine R-Algebra A heißt graduierte Algebra, falls es R-Untermoduln An
L∞
gibt für n = 0, 1, . . . , so dass A =
A mit
n=0 n
An Am ⊂ An+m .
Ein Element a ∈ An heißt homogen. Ein beliebiges Element von A ist eine Summe von
homogenen Elementen. Sei etwa a = a0 + · · · + an mit a j ∈ A j . Ist dann an , 0, so sagen
wir, der Grad von a ist n,
deg(a) = n.
Topologie
101
Ist a selbst homogen und gilt deg(a) = n, so folgt a ∈ An
.
Beispiele 6.7.10.
• Der Polynomring A = R[x] ist graduiert mit An = R · xn
• Der Kohomologiering A = H∗ (X, R) ist graduiert mit An = Hn (X, A).
Eine graduierte Algebra A heißt graduiert kommutativ, falls für a ∈ Ap und b ∈ Aq gilt
ab = (−1)pq ba.
Satz 6.7.11. Der Kohomologiering eines Raumes X ist graduiert kommutativ. Also, sei
α ∈ Hp (X, R) und β ∈ Hq (X, R). dann gilt:
α ` β = (−1)pq β ` α.
Beweis. Für einen n-Simplex σ : [v0 , . . . , vn ] → X sei σ der n-Simplex σ : [vn , . . . , v0 ] → X
mit der umgekehrten Reihenfolge der Ecken, d.h. die Umkehr der Reihenfolge liefert
eine affine Abbildung A : ∆n → ∆n und σ = σ ◦ A. Dann gilt σ(vi ) = σ(vn−i ). Die
Umkehr der Reihenfolge ist eine Komposition von n + (n − 1) + · · · + 1 = n(n + 1)/2
Transpositionen benachbarter Ecken. Sei εn = (−1)n(n+1)/2 . Definiere eine lineare
Abbildung ρ : Cn (X) → Cn (X) durch ρ(σ) = εn σ.
Wir behaupten dass ρ eine Kettenabbildung ist, die kettenhomotop zur Identität ist.
Hieraus folgt der Satz, denn aus
(ρ∗ φ ` ρ∗ ψ)(σ) = φ(εp σ|vp ,...,v0 ] )ψ(εσ |[vp+q ,...,vp ] )
ρ∗ (ψ ` φ)(σ) = εp+q ψ(σ|[vp+q ,...,vp ] )φ(σ|[vp ,...,v0 ] )
folgt εp εq (ρ∗ φ ` ρ∗ ψ) = εp+q ρ∗ (ψ ` φ), da R kommutativ ist. Es gilt
εp+q = (−1)
(p+q)(p+q+1)
2
= (−1)
p2 +2p+q2 +p+q
2
= (−1)pq+
p(p+1)+q(q+1)
2
Da ρ∗ = Id auf der Kohomologie, folgt φ ` ψ = (−1)pq ψ ` φ.
= (−1)pq εp εq .
Topologie
102
Wir müssen zeigen dass ∂ρ = ρ∂ gilt. Hierzu sei σ ein n-Simplex. Wir rechnen
∂ρ(σ) = εn
X
(−1)i σ|[vn ,...v̂n−i ...,v0 ]

 i

X
i
ρ∂(σ) = ρ  (−1) σ|[v0 ,...v̂i ...,vn ] 
i
X
= εn−1
(−1)n−i σ|[vn ,...v̂n−i ...,v0 ] .
i
Es gilt εn = (−1)
ist.
n(n+1)
2
= (−1)
n(n−1)
2 +n
= εn−1 (−1)n . Damit folgt, dass ρ eine Kettenabbildung
Wir konstruieren nun die Kettenhomotopie zur Identität. Sei ∆ ein n-Simplex. Wie bei
der Kontruktion des Prisma-Operators teilen wir I × ∆ ⊂ RN + 1 in (n + 1) Simplices
wie folgt. Ist
n o
0 × ∆ = [v0 , . . . , vn ] und
n o
1 × ∆ = [w0 , . . . , wn ],
Dann ist I × ∆ Vereinigung der Simplices
[v0 , . . . , vi , wi , . . . , wn ]
Für i = 0, . . . n. Sei π : ∆ × I → ∆ die Projektion. Wir definieren P : Cn (X) → Cn+1 (X)
durch
n
X
P(σ) =
(−1)i εn−i (σ ◦ π)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wi ] .
i=0
Wir wollen zeigen ∂P + P∂ = ρ − Id. Hierzu rechnen wir


X

∂P(σ) = ∂  (−1)i εn−i σπ|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wi ] 
Xi
=
(−1)i+j εn−i σπ|[v0 ,...v̂ j ...,vi ,wn ...,wi ]
j≤i
X
+
(−1)n−j+1 εn−i σπ|[v0 ,...,vi ,wn ,...ŵ j ...,wi ] .
j≥i
Topologie
103
Die Terme mit i = j ergeben
εn σπ|[wn ,...,w0 ] +
X
εn−i σπ|[v0 ,...,vi−1 ,wn ,...,wi ]
i>0
+
X
(−1)n+i+1 εn−i σπ|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wi+1 ] − σπ|[v0 ,...,vn ] .
i<n
Ersetzt man in der zweiten Summe i durch i − 1, sieht man wegen (−1)n+i εn−i+1 = −εn−i ,
dass sich die beiden Summen aufheben. Die beiden verbleibenden Terme liefern
ρ(σ) − σ. es bleibt daher zu zeigen, dass die Terme mit i , j genau −P∂ geben. Aus den
Definitionen erhält man
P∂(σ) =
X
(−1)i+j εn−i−1 σπ|[vo ,...,vi ,wn ,...ŵ j ...,wi ]
i<j
+
X
(−1)i+j−1 εn−i σπ|[v0 ,...v̂ j ...,vi ,wn ,...,wi ]
i>j
Wegen εn−i = (−1)n−i εn−i−1 folgt hieraus die Behauptung.
6.8
Die Künneth-Formel
Definition 6.8.1. Das Tensorprodukt zweier abelscher Gruppen A, B ist die Gruppe mit
Erzeugern a ⊗ b für a ∈ A und b ∈ B und Relationen (a + a0 ) ⊗ b = a ⊗ b + a0 ⊗ b sowie
a ⊗ (b + b0 ) = a ⊗ b + a ⊗ b0 . Es ist stets A ⊗ B B ⊗ A via a ⊗ b 7→ b ⊗ a.
Beispiele 6.8.2.
• Für jede abelsche Gruppe gilt Z ⊗ A A.
• Q ⊗ Z/nZ = 0.
Ist R ein kommutativer Ring mit Eins und sind M, N Moduln, so definiert man den
R-Modul M ⊗R N als den Quotienten von M ⊗ N modulo der Untergruppe erzeugt
von allen Elementen der Form rm ⊗ n − m ⊗ rn für r ∈ R. Die Gruppe M ⊗R N wird ein
R-Modul durch
def
r(m ⊗ n) = rm ⊗ n.
Beispiele 6.8.3.
• Für jeden R-Modul M gilt R ⊗R M M.
√
• Ist R = Q( 2), dann ist R ⊗ R R, aber R ⊗ R ist ein vierdimensionaler
Q-Vektorraum.
Topologie
104
Sind A, B Algebren über R, so kann man A ⊗ B zu einer R-Algebra machen mit Produkt
(a ⊗ b)(a0 ⊗ b0 ) = aa0 ⊗ bb0 .
Beispiel 6.8.4. Mit diesem Produkt ist die Algebra Matm (R) ⊗ Matn (R) isomorph zu
Matmn (R).
Definition 6.8.5. Sind die Algebren A und B allerdings graduiert, dann gibt es noch
ein anderes Produkt, das graduierte Produkt, definiert durch
0
(a ⊗ b)(a0 ⊗ b0 ) = (−1)deg(b) deg(a ) aa0 ⊗ bb0 ,
wobei die Elemente b und a0 als homogen vorausgesetzt werden. Für beliebige
Elemente wird diese Formel bilinear in b und a0 fortgesetzt. Man nennt die so
entstehende Algebra die graduierte Tensorprodukt-Algebra.
Das externe Cup-Produkt ist definiert als Abbildung
×
Hp (X, R) × Hq (Y, R) −→ Hp+q (X × Y, R)
durch (a, b) 7→ a × b = p∗1 (a) ` p∗2 (b), wobei p1 und p2 die Koordinatenprojektionen von
X × Y sind. Die gleiche Formel definiert die relative Version
×
Hp (X, A, R) × Hq (Y, B, R) −→ Hp+q (X × Y, A × B, R).
Das externe Produkt ist R-bilinear, definert also ein R-lineare Abbildung
ψ : H∗ (X, R) ⊗R H∗ (Y, R) → H∗ (X × Y, R).
Satz 6.8.6. Seien X und Y topologische Räume. Versieht man H∗ (X, R) ⊗R H∗ (Y, R) mit
der Struktur der graduierten Tensorprodukt- Algebra, dann ist das externe Cup-Produkt
ein Algebrenhomomorphismus.
Sind X und Y zusammenhängende CW-Komplexe und ist Hp (Y, R) für jedes p ≥ 0 ein
freier R-Modul, dann ist das externe Cup- Produkt ein Isomorphismus. Also insbesondere
gilt dann
M
Hn (X × Y, R) Hp (X, R) ⊗R Hq (Y, R).
p+q=n
Topologie
105
Beweis. Seien a, a0 ∈ H∗ (X, R) und b, b0 ∈ H∗ (Y, R) homogene Elemente. Dann gilt
0
ψ ((a ⊗ b)(a0 ⊗ b0 )) = (−1)deg(b) deg(a ) ψ(aa0 ⊗ bb0 )
0
= (−1)deg(b) deg(a ) p∗1 (aa0 ) ` p2 (bb0 )
0
= (−1)deg(b) deg(a ) p∗1 (a) ` p∗1 (a0 ) ` p2 (b) ` p∗2 (b0 )
= p∗1 (a) ` p2 (b) ` p∗1 (a0 ) ` p∗2 (b0 )
= ψ(a ⊗ b)ψ(a0 ⊗ b0 ).
Damit ist ψ ein Algebrenhomomorphismus.
Seien F, G : A → B Funktoren. Eine natürliche Transformation von F nach G ist eine
Abbildung t, die jedem X ∈ A einen Morphismus tX : F(X) → G(X) zuordnet, so dass
für jeden Morphismus f : X → Y in A das Diagramm
F(X)
tX
G(X)
F( f )
G( f )
/
F(Y)
tY
/ G(Y)
kommutiert.
Beispiel 6.8.7. Sei A die Kategorie der Raumpaare (X, A) und Raumpaarabbildungen.
Eine natürliche Transformation vom Funktor Hp (X, R) zum Funktor Hp (X, A, R) ist
gegeben durch ψ∗ , wobei ψ die natürliche Projektion von Cp (X) nach Cp (X, A) ist.
Definition 6.8.8. Sei CW die Kategorie der CW-Komplexe und der zellulären stetigen
Abbildungen. Eine Kohomologietheorie auf CW ist eine Folge von kontravarianten
Funktoren hp : CW → Ab mit folgenden Eigenschaften:
• Homotopie-Axiom. Sind f, g : X → Y homotop, dann ist f ∗ = g∗ , wobei wir f ∗
für hp ( f ) schreiben.
• Raumpaar-Axiom. Für jedes CW-Paar (X, A), wobei X zusammenhängend ist
und A , ∅ hat man eine lange exakte Sequenz
pt∗
δ
0 → h0 (pt) −→ h0 (A) −→ h1 (X/A) → . . .
δ
· · · → hp (X/A) → hp (X) → hp (A) −→ hp+1 (X/A) → . . .
Hierbei steht pt sowohl für den Einpunktraum als auch für die Abbildung
A → pt.
Topologie
106
`
• Vereinigungs-Axiom. Für eine disjunkte Vereinigung α Xα induzieren die
`
natürlichen Abbildungen Xα → α Xα Isomorphismen


a  Y



hp (Xα ).
Xα  −→
hp 
α
α
• überflüssiges Axiom. Für jedes p gibt es ein n ∈ N so dass für jeden CW
Komplex X die Inklusion Xn ,→ X einen Isomorphismus hp (X) −→ hp (Xn )
induziert.
Lemma 6.8.9. Für jede Kohomologietheorie gilt hp (pt) = 0 für p ≥ 1.
Beweis. Betrachte das CW-Paar (X, A) = (pt, pt). Dann ist A = X = X/A und die exakte
j∗
i∗
Sequenz hp (X/A) −→ hp (X) −→ hp (A) für p ≥ 1 besteht aus Isomorphismen. Das kann
aber nur sein wenn hp (X) = 0.
Seien h und k zwei Kohomologietheorien. Eine natürliche Transformation von
Kohomologietheorien ist eine Folge von natürlichen Transformationen t : hp → kp , so dass
für jedes CW-Paar (X, A), wobei X zusammenhängend ist und A , ∅ jedes Diagramm
hp (A)
tA
kp (A)
δ
δ
/ hp+1 (X/A)
tX/A
/ kp+1 (X/A)
kommutiert.
Proposition 6.8.10. Seien h und k zwei Kohomologietheorien auf CW und sei t eine
natürliche Transformation von h nach k so dass tpt : h0 (pt) → k0 (pt) ein Isomorphismus ist.
Dann ist tX : hp (X) → kp (X) für jedes X und jedes p ein Isomorphismus.
Beweis. Sei X ein CW-Komplex. Wir zeigen per Induktion, dass t einen Isomorphismus
induziert hp (Xn ) → kp (Xn ) für jedes n-Skelett Xn . Für n = 0 ist X0 eine disjunkte
Vereinigung von Punkten und die Behauptung folgt aus dem Vereinigungsaxiom.
Sei nun n ≥ 1. Wir schreiben
Xn /Xn−1
a .a
eα
∂eα ,
α
α
Topologie
107
wobei die eα die abgeschlossenen n- Zellen sind, bzw. deren Urbilder, also eα Dn . Da
jedes eα zusammenziehbar ist, folgt, dass t Isomorphismen induziert:


Y
a  Y
a 


eα .
hp (eα ) hp (pt) kp
eα  hp 
α
α
α
Nach Induktionsvoraussetzung können wir ebenfalls annehmen, dass t
Isomorphismen gibt:




a
a







∂eα  .
∂eα  kp 
hp 
α
α
`
`
Aus der exakten Sequenz für das Raumpaar ( α eα , α ∂eα ) folgt dann mit dem
fünfer-Lemma, dass t Isos liefert hp (Xn /Xn−1 ) kp (Xn /Xn−1 ). Die exakte Sequenz des
Paares (Xn , Xn−1 ) liefert dann mit dem fünfer-Lemma, dass t : hp (Xn ) kp (Xn ) gilt für
alle p, n. Mit dem letzten Axiom folgt dann die Behauptung.
Nun zum Beweis der Künneth-Formel. Zunächst kann man annehmen, dass X und Y
wegzusammenhängend sind, da man sonst die Kohomologien jeweils als direkte
L i
Produkte der Wegkomponenten schreiben kann. Sei hp (X) =
H (X, R) ⊗R Hp−i (Y, R),
i
sowie kp (X, R) = Hp (X × Y, R). Die natürliche Transformation t : h → k sei gegeben
durch das externe Cup-Produkt. Wir müssen jetzt zunächst nachweisen, dass h und k
wirklich Kohomologietheorien sind. Homotopie-Invarianz ist klar.
Für die Raumpaar-Sequenz von h sei (X, A) ein CW-Paar mit A , ∅. Dann haben wir
eine exakte Sequenz
Hi (X/A, R) → Hi (X, R) → Hi (A, R) → Hi+1 (X/A)
Wir tensorieren jeden Term mit dem freien Modul Hn−i (Y, R), was wieder eine exakte
Sequenz ergibt. Summieren wir dies über i, so erhalten wir die gewünschte exakte
n o
Sequenz für h. Für k wählen wir einen Punkt y0 ∈ Y, setzen B = A × y0 und
betrachten die exakte Sequenz zum Raumpaar (X × Y, B). Die disjunkten
Vereinigungen sind jeweils klar. Für das letzte Axiom beachte folgendes Lemma.
Lemma 6.8.11. Für p < n induziert die Inklusion Xn ,→ X einen Isomorphismus
Hp (Xn ) Hp (X).
Beweis. Wir betrachten zunächst die Inklusion Xn ,→ Xn+1 . Sei U ⊂ Xn+1 die offene
Menge, die entsteht, wenn man aus dem Inneren jeder (n + 1)-Zelle einen Punkt
entfernt. Sei V die Vereinigung aller offenen (n + 1)- Zellen. Dann ist X = U ∪ V, die
Topologie
108
Menge V ist homotopie-äquivalent zu einer Vereinigung von EinpunktRäumen und
U ∩ V ist homotopie- äquivalent zu einer disjunkten Vereinigung von n-Sphären Sn .
Aus dem Mayer-Vietoris-Satz erhalten wir die exakte Sequenz






a n 
a 
a n 
S  .
pt → Hp (Xn+1 ) → Hp−1 
S  → Hp (Xn ) ⊕ Hp 
Hp 
α
α
α
Damit ist der durch die Einbettung induzierte Homomorphismus Hp (Xn ) → Hp (Xn+1 )
in der Tat ein Isomorphismus. Durch Iteration erhält man, dass Hp (Xn ) → Hp (Xn+k ) ein
Iso ist für jedes k ∈ N. Betrachte nun die Abbildung ψ : Hp (Xn ) → Hp (X). Sei
[α] ∈ Ker ψ, dann existiert ein β ∈ Cp+1 (X) mit α = ∂β. da β nur endlich viele Zellen
trifft, existiert ein k mit β ∈ Cp+1 (Xn+k ). Nach dem obigen folgt damit [α] = 0, also ist ψ
injektiv. Ebenso ist jede Klasse in Hp (X) schon in einem Cp (Xn+k ) realisert und damit ist
ψ surjektiv.
Mit dem universellen Koeffizientensatz und (wieder einmal) dem fünfer-Lemma folgt
dann, dass h und k Kohomologietheorien sind. Wir müssen zeigen, dass t eine
natürliche Transformation von Kohomologietheorien ist. Die einzige nichttriviale
Aussage ist die Vertauschung mit dem Verbindunghomomorphismus δ, also die
Kommutativität des Diagramms
Hp (A) × Hq (Y)
δ×1
×
Hp+q (A × Y)
δ
/
Hp+1 (X/A) × Hq (Y)
/
×
n o
Hp+q+1 (X × Y/A × y0 ).
Um diese Kommutativität zu zeigen seien φ ∈ Cp (A) und ψ ∈ Cq (Y) Kozykel. Man
dehnt φ aus zu einer Kokette φ ∈ Cp (X). Der Pfeil nach rechts bildet das Paar auf
(dφ, ψ) ab und dann abwärts auf p#1 (dφ) ` p#2 (ψ). Geht man zuerst abwärts nach
p#1 (φ) ` p#2 (ψ) und dann nach rechts auf d(p#1 (φ) ` p#2 (ψ)) = p#1 (dφ) ` p#2 (ψ), denn dψ = 0.
Das ist die verlangte Kommutativität.
Zum Schluss ist klar, dass t ein Isomorphismus ist, falls X = pt, also folgt der Satz.
Beispiel 6.8.12. Sei Rn /Zn Tn der n=dimensionale Torus. Sei α ein Erzeuger des
freien R-Moduls H1 (T, R) und sei α j = p∗j (α) ∈ H1 (Tn , R), wobei p j : Tn → T die
Projektion auf den j-ten Faktor ist. Wir behaupten, dass Hp (Tn , R) der freie R-Modul
ist, erzeugt von der Elementen αi1 ` . . . ` αip , wobei 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n. Insbesondere
Topologie
 
 n 
ist also Hp (Tn , R) RN mit N =  . Dies folgt aus der Künneth-Formel per
p
Induktion nach n.
109
Topologie
7
110
Garben
7.1
Praegarben
Definition 7.1.1. Sei X ein topologischer Raum. Eine Praegarbe ist eine Abbildung
n
o
n
o
F : U ⊂ X offen → abelsche Gruppen
zusammen mit Gruppenhomomorphismen, den sogenannten Restriktionsabbildungen:
resU
V : F (U) → F (V),
V ⊂ U,
so dass gilt F (∅) = 0 und
resU
U = IdF (U) ,
U
resVW ◦ resU
V = resW
falls W ⊂ V ⊂ U ⊂ X offen sind.
Ist s ∈ F (U) und ist V ⊂ U offen, so schreiben wir auch s|V statt resU
(s).
V
Definition 7.1.2. Die Elemente von F (U) werden auch Schnitte ueber U der Garbe F
genannt. Diese Sprechweise wird klarer, wenn wir zu den Etalgarben kommen. Ein
Element s ∈ F (X) wird insbesondere ein globaler Schnitt genannt.
Beispiele 7.1.3.
• Sei A eine abelsche Gruppe und A(U) die Menge aller
Abbildungen von U nach A. Dann ist A eine Prägarbe mit resU
( f ) = f |V .
V
• (Konstante Garbe) Sei A eine gegebene abelsche Gruppe und sei KA (U) die
Menge aller Abbildungen f : U → A, die lokalkonstant sind. Hierbei heißt f
lokalkonstant, falls es zu jedem x ∈ U eine offene Umgebung V ⊂ U gibt, so dass
f |V konstant ist.
(Eine Abbildung f : U → A ist genau dann lokalkonstant, wenn f stetig ist,
wobei A mit der diskreten Topologie versehen wird.)
Dann ist KA eine Prägarbe auf X.
• (Wolkenkratzergarbe) Sei A eine abelsche Gruppe und sei x0 ∈ X ein Punkt. Setze




A falls x0 ∈ U
F (U) = 


0 sonst.
Topologie
111
Dann ist F eine Prägarbe.
• Sei X beliebig und für U ⊂ X offen sei F (U) eine beliebige abelsche Gruppe.
Setzt man resU
= Id und resU
= 0 falls V , U, dann definieren diese Daten eine
U
V
Prägarbe auf X.
Lemma 7.1.4. Eine Prägarbe ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie CX in die
Kategorie der R-Moduln. Umgekehrt ist jeder solche Funktor eine Prägarbe.
Beweis. Die Axiome einer Prägarbe stimmen genau mit der Definition eines
kontravarianten Funktors überein.
Definition 7.1.5. Ein Morphismus von Prägarben φ : F → G ist eine Familie von
Gruppenhomomorphismen, also für jede offene Menge U ⊂ X ein
Gruppenhomomorphismus φU : F (U) → G(U) so dass für jede Inklusion offener
Mengen V ⊂ U das Diagramm
F (U)
φU
/
resU
V
G(U)
F (V)
φV
/
resU
V
G(V)
kommutiert.
7.2
Garben
Definition 7.2.1. Sei F eine Praegarbe über X. Wir nennen F eine Garbe, wenn die
folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind.
• (Lokale Eindeutigkeit) Sei U ⊂ X offen und sei (Ui )i∈I eine offene Überdeckung
S
von U, also U = i∈I Ui , sei dann s ∈ F (U) und es gelte s|Ui = 0 für jedes i ∈ I.
Dann ist s = 0.
• (Globale Existenz) Sei U ⊂ X offen und (Ui )i∈I eine offene Überdeckung von U.
Für jedes i ∈ I sei si ∈ F (Ui ) gegeben so dass für je zwei i, j ∈ I gilt
si |Ui ∩U j = s j |Ui ∩U j ,
dann existiert ein s ∈ F (U), so dass si = s|Ui für jedes i ∈ I.
Topologie
112
Beispiele 7.2.2.
• Sei A eine abelsche Gruppe und sei A(U) die Menge aller
Abbildungen von U nach A, dann ist A eine Garbe.
• Jede konstante Garbe ist eine Garbe.
• Jede Wolkenkratzergarbe ist eine Garbe.
• Sei A eine abelsche Gruppe, X = R und F (U) = A falls U = X, aber F (U) = 0
andernfalls. Dann ist F eine Prägarbe, die zwar das Prinzip der globalen
Existenz erfüllt, nicht aber das der lokalen Eindeutigkeit.
• Sei A , 0 eine abelsche Gruppe, X = R und sei F (U) = 0 falls der Durchmesser
von U größer ist als 1, andernfalls sei F (U) = A. Die Restriktionsabbildungen
seien immer die natürlichen Einbettungen. Dann ist F eine Prägarbe, die zwar
das Prinzip der lokalen Eindeutigkeit, nicht aber das der globalen Existenz
erfüllt.
Setzt man in diesem Beispiel die Restriktionsabbildungen alle gleich Null, so
erhält man eine Prägarbe, die keines der Garbenaxiome erfüllt.
Lemma 7.2.3. Eine Prägarbe ist genau dann eine Garbe, wenn für jede offene Überdeckung
(Ui )i∈I einer offenen Menge U ⊂ X die Sequenz
α
0 → F (U) −→
Y
i
β
F (Ui ) −→
Y
F (Ui ∩ U j )
i, j
exakt ist. Hierbei laufen die Produkte über I und I × I und α(s)i = s|Ui , sowie
β(s∗ )i,j = si |Ui ∩U j − s j |Ui ∩U j .
Beweis. Die Injektivität von α ist äquivalent zur lokalen Eindeutigkeit. Die Aussage
β ◦ α = 0, also Ker β ⊃ Bild α ist für jede Prägarbe erfüllt. Schließlich ist die Aussage
Ker β ⊂ Bild α äquivalent zur globalen Existenz.
Definition 7.2.4. Ein Garbenhomomorphismus ist dasselbe wie ein
Prägarbenhomomorphismus, nur eben zwischen Garben.
Die direkte Summe zweier Garben F und G über X ist definiert als die Garbe
U 7→ F (U) ⊕ G(U).
Man macht sich leicht klar, dass es sich in der Tat um eine Garbe handelt.
Topologie
113
Definition 7.2.5. Eine Untergarbe H einer gegebenen Garbe F ist eine Garbe, so dass
fuer jede offene Menge U die Gruppe H(U) eine Untergruppe von F (U) ist und die
Restriktionsabbildungen von H und F auf diesen Untergruppen uebereinstimen.
Die letzte Bedingung bedeutet, dass fuer je zwei offene Mengen V ⊂ U das Diagramm
H(U) 
/
F (U)
resH
H(V)

/
resF
F (V)
kommutiert.
Beispiele 7.2.6.
• Die Praegarbe P auf R, die jeder offenen Menge die Gruppe Z
zuordnet, ist keine Garbe, denn: ist U = (0, 1) ∪ (2, 3), dann muesste es nach der
globalen Existenz ein s ∈ P(U) geben mit s = 0 auf (0, 1) und s = 1 auf (2, 3).
• Die Garbe O der holomorphen Funktionen auf C ist eine Garbe von Ringen.
7.3
Halme
Definition 7.3.1. Sei (I, ≥) eine partiell geordnete Menge. I heißt eine gerichtete Menge,
falls es zu je zwei a, b ∈ I eine obere Schranke gibt, also ein c ∈ I mit c ≥ a, b.
Beispiele 7.3.2.
• N ist gerichtet.
• Sei S eine Menge und I sei die Menge aller endlichen Teilmengen E ⊂ S. Dann ist
I durch die Inklusion gerichtet, denn für E, F ∈ I ist E ∪ F wieder endlich, also in I
und es gilt
E ∪ F ≥ E, F.
• Sei x ∈ X und X ein topologischer Raum. Sei I die Menge aller offenen
Umgebungen von x mit der umgekehrten Inklusion als Ordnung, also
U≤V
⇔
U ⊃ V.
Dann ist I gerichtet, denn mit U und V ist auch U ∩ V wieder eine offene
Umgebung von x und es gilt
U ∩ V ≥ U, V,
also U ∩ V ⊂ U, V.
Topologie
114
Definition 7.3.3. Ein gerichtetes System von abelschen Gruppen ist ein Paar
j
((Mi )i∈I , (φi )i≤j ), wobei I eine gerichtete Menge ist, (Mi )i∈I eine Familie von abelschen
Gruppen und für i ≤ j ein Gruppenhomomorphismus
j
φi : Mi → M j ,
so dass gilt
φii = IdMi ,
j
φkj ◦ φi = φki
falls i ≤ j ≤ k.
Beispiele 7.3.4.
• Fixiere eine Primzahl p. Sei I = N und Mi = Z, ferner sei
j
φi : Z → Z gegeben durch x 7→ p j−i x. Dann ist durch diese Daten ein gerichtetes
System gegeben.
In diesem Fall ist die gerichtete Menge gleich N, also ist das gerichtete System
vollständig durch die Abbildungen φii+1 gegeben, da sich alle weiteren durch
Iteration dieser ergeben. Im Falle dieses Beispiels ist φi+1
immer gleich der
i
p-Multiplikation auf Z, wir schreiben das System dann als Sequenz:
p
p
Z −→ Z −→ Z → . . .
• Sei z0 ∈ C. Die Menge I sei die Menge aller offenen Umgebungen von z0 in C mit
der umgekehrten Inklusion als Ordnung. Für U ∈ I sei MU die Menge der in U
holomorphen Funktionen f : U → C. Für V ⊂ U sei φVU : MU → MV gegeben
durch die Restriktion, also φVU ( f ) = f |V . Dies ist das gerichtete System aller
Funktionskeime in z0 .
j
Definition 7.3.5. Der direkte Limes eines gerichteten Systems (Mi , φi ) ist definiert als
lim
Mi =
→
i
a
.
Mi ∼
i∈I
wobei die Äquivalenzrelation ∼ auf der disjunkten Vereinigung wie folgt definiert ist:
a ∈ Mi und b ∈ M j heißen äquivalent, falls es ein k ≥ i, j gibt mit φki (a) = φkj (b). Der
Nachweis, dass es sich tatsaechlich um ein Aequivalenzrelation handelt ist leicht, der
`
schwierigste Punkt ist die Transitivitaet: Seien also a ∼ b und b ∼ c in i∈I Mi . Sagen
wir etwa a ∈ Mi , b ∈ M j und c ∈ Mk . Dann gibt es ein l ∈ I so dass l ≥ i, j, k und dann ist
a ∼ φli (a), b ∼ φlj (b) und c ∼ φlk (c). Dann gibt es ein l ≥ i, j so dass φli (a) = φlj (b) und es
gibt ein m ≥ j, k so dass φmj (b) = φmj (c). Sei n ≥ l, m dann ist φni (a) = φnj (b) = φnk (c) alsi
Topologie
115
folgt a ∼ c.
j
Beachte, dass für a ∈ Mi und j ≥ i stets gilt a ∼ φi (a). Daher kann man für α, β ∈ lim
Mi
−→
i
stets Vertreter a, b finden , die in derselben Gruppe Mk liegen, denn ist α = [a] und
β = [b] mit a ∈ Mi und b ∈ M j , dann gibt es ein k ≥ i, j und also ist a ∼ φki (a), sowie
b ∼ φkj (b), wir können also a und b durch φki (a) und φkj (b) ersetzen.
Lemma 7.3.6. Durch die Vorschrift
def
[a] + [b] = [a + b]
a, b ∈ Mk
wird M = lim
Mi zu einer abelschen Gruppe mit folgender universellen Eigenschaft: Es gibt
→
i
Gruppenhomomorphismen φi : Mi → M, die mit den Strukturmorphismen kommutative
Diagramme bilden:
Mj
φj
O
/
>M
i≤ j
j
φi
φi
Mi
so dass für jede abelsche Gruppe Z mit einer Familie von Gruppenhomomorphismen
j
ηi : Mi → Z, die ebenfalls η j ◦ φi = ηi erfüllt, ein eindeutig bestimmter
Gruppenhomomorphismus ψ : M → Z existiert, so dass für jedes i ∈ I das Diagramm
Mi
φi
ηi
/M
∃!ψ
Z
kommutiert.
Beweis. Es ist zunächst die Wohldefiniertheit zu zeigen. Seien also a ∼ a0 und b ∼ b0 ,
also etwa φlk (a) = φli (a0 ) und φlk (b) = φi (b0 ), dann gilt
φlk (a + b) = φlk (a) + φlk (b) = φli (a0 ) + φli (b0 ) = φli (a0 + b0 ), also ist auch (a + b) ∼ (a0 + b0 ) und
damit [a + b] = [a0 + b0 ], was die Wohldefiniertheit der Addition zeigt. Die
Abbildungen φi sind die Hintereinanderschaltungen der natuerlichen Abbildungen
`
`
Mi → i Mi → i Mi / ∼. Um die universelle Eigenschaft zu zeigen definiert man
ψ([a]) = ηk (a), wenn a ∈ Mk . Die Wohldefiniertheit ist wieder Routine und ebenso die
Kommutativität der Diagramme. Die Eindeutigkeit von ψ folgt aus der
Topologie
116
Kommutativität der Diagramme, denn sei ψ0 eine zweite solche Abbildung und sei
[a] ∈ M, etwa a ∈ Mk , so gilt ψ([a]) = ηk (a) = ψ0 ([a]).
Beispiele 7.3.7.
• Nimm an, die Mi sind alle Untergruppen einer gegebenen
j
Gruppe M, es gilt Mi ⊂ M j für i ≤ j und die Strukturmorphismen φi sind durch
die Inklusion gegeben. Dann dann ist die Vereinigung N aller Mi ebenfalls eine
Untergruppe und es gibt einen natürlichen Isomorphismus
lim
Mi −→ N.
→
i
• Wir betrachten das erste Beispiel aus 7.3.4
p
p
Z −→ Z −→ Z → . . .
Wir ergänzen dies zu einem kommutativen Diagramm
p
Z
1
Q
Id
/
p
Z
/Z
1
p
/Q
Id
/
p
/
1
p2
Q
Id
p
/
...
Id
/
...
Z
/
1
p3
Q
Die Vereinigung aller Bilder in Q ist der Z-Modul
(
)
a
Z[1/p] = k ∈ Q : a ∈ Z, k ∈ N .
p
Gemäß dem letzten Beispiel ist der direkte Limes dieses Systems isomorph zu
Z[1/p].
Definition 7.3.8. Sei nun F eine Prägarbe auf dem topologischen Raum X und sei
x ∈ X. Sei I die Menge aller offenen Umgebungen U ⊂ X von x. Mit der umgekehrten
Inklusion ist I eine gerichtete Menge und die Zuordnung U 7→ F (U) bildet mit den
Restriktionsabbildungen ein gerichtetes System. Der Halm über x ist die Gruppe
Fx = lim
F (U).
−→
U3x
Beispiele 7.3.9.
• Sei X ein topologischer Raum mit der diskreten Topologie, M
eine abelsche Gruppe und A(U) die Menge aller Abbildungen von U nach M.
Für x ∈ X liefert die Abbildung A(U) 3 f 7→ f (x) ∈ M einen Isomorphismus
Ax → M. Die Halme dieser Garbe sind also alle gleich M.
Topologie
117
• Sei M eine abelsche Gruppe und K die konstante Garbe zu M. Für x ∈ X liefert
die Abbildung f 7→ f (x) einen Isomorphismus Kx → M. Also sind auch für die
konstante Garbe alle Halme gleich.
• Sei M eine abelsche Gruppe, x ∈ X und sei F die Wolkenkratzergarbe mit
F (U) = M ⇔ x ∈ U. Sei X ein Hausdorffraum, dann gibt es für y , x eine offene
Umgebung V mit F (V) = 0, daher ist also der Halm F y = 0. Der Halm über x ist
M. Daher der Name “Wolkenkratzergarbe”.
• Sei X = R und für eine offene Menge U ⊂ X sei F (U) eine beliebige abelsche
Gruppe. Sind alle Restriktionsabbildungen gleich Null (außer resU
), dann sind
U
auch alle Halme gleich Null. Dies liegt daran, dass es für jede offene Umgebung
U eines Punktes x eine zweite Umgebung V von x gibt mit V ⊂ U und V , U.
Sei U ⊂ X offen und x ∈ U. Ein Schnitt s ∈ F (U) induziert ein Element des Halmes Fx ,
welches wir s(x) schreiben.
Lemma 7.3.10. Sei F eine Garbe. Wenn ein Schnitt in allen Halmen verschwindet, ist er
Null. Genauer: Sei U ⊂ X offen und s ∈ F (U). Gilt s(x) = 0 für jedes x ∈ U, dann ist s = 0.
Beweis. Die Gleichung s(x) = 0 heißt, dass es eine offene Umgebung Ux ⊂ U gibt mit
s|Ux = 0. Diese Ux bilden eine offene Überdeckung von U, auf der s lokal verschwindet.
Nach der lokalen Eindeutigkeit folgt s = 0.
Sei φ : F → G ein Prägarbenmorphismus. Nach der universellen Eigenschaft
induziert φ über jedem Punkt x ∈ X einen Gruppenhomomorphismus der Halme
φx : Fx → Gx . Für komponierbare Morphismen gilt (φψ)x = φx ψx und es gilt Idx = Id.
Proposition 7.3.11. Ein Morphismus von Garben φ : F → G ist genau dann ein
Isomorphismus, wenn alle induzierten Abbildungen auf den Halmen φx : Fx → Gx
Isomorphismen sind.
Beweis. Ist φ ein Isomorphismus, dann existiert ψ : G → F so dass ψφ = Id und
φψ = Id. Für jedes x ∈ X gilt dann Id = (φψ)x = φx ψx und Id = ψx φx , also ist ψx invers
zu φx , welcher letztere damit ein Isomorphismus ist.
Sei umgekehrt φx ein Isomorphismus für jedes x. Wir wollen zeigen, dass φ ein
Isomorphismus ist. dafür reicht es, zu zeigen dass φU : F (U) → G(U) ein
Isomorphismus ist für jedes offene U ⊂ X, denn dann setzt man ψU = φ−1
und sieht,
U
Topologie
118
dass ψ eine Inverse zu φ ist. Wir zeigen also zunächst, dass φU injektiv ist. Sei hierzu
s ∈ F (U) mit φU (s) = 0. Dann gilt für jedes x ∈ U, dass 0 = φU (s)(x) = φx (s(x)), damit ist
s(x) = 0 für jedes x ∈ U, nach Lemma 7.3.10 ist also s = 0 und damit ist φ injektiv.
Für die Surjektivität sei s ∈ G(U). Für jedes x ∈ U ist φx : Fx → Gx surjektiv, es existiert
also ein fx ∈ Fx mit φx ( fx ) = s(x). Es gibt daher eine offene Umgebung Ũx ⊂ U von x so
dass fx = tx (x) für einen Schnitt tx ∈ F (Ũx ). Das bedeutet, dass die beiden Schnitte
φ(Ũx )(tx ) und s|Ũx dasselbe Element im Halm Gx induzieren. Also gibt es eine offene
Umgebung Ux ⊂ Ũx , so dass
φUx (tx |Ux ) = s|Ux
gilt. Offensichlich bilden die Ux eine offene Überdeckung von X. Wir wollen zeigen,
dass tx = t y auf Ux ∩ U y gilt. Dann können wir wegen der Globalen Existenz folgern,
dass alle tx von einem Schnitt in F (U) kommen, der dann ein Urbild zu s ist.
Zu diesem Zweck sei z ∈ Ux ∩ U y . Dann gilt tx (z) = t y (z), also gibt es eine Umgebung
Vz von z so dass tx |Vz = t y |Vz . Die Vz bilden eine offene Überdeckung von Ux ∩ U y auf
der lokal gilt tx − t y = 0, nach der lokalen Eindeutigkeit gilt es also auch auf Ux ∩ U y
wie verlangt.
Nach der globalen Existenz gibt es also einen Schnitt t ∈ F (U) mit t|Ux = tx für jedes x.
Die beiden Schnitte s und φU (t) stimmen in jedem Halm überein, sind also nach
Lemma 7.3.10 gleich, damit ist φU surjektiv und die Proposition bewiesen.
7.4
Garbifizierung
Sei φ : F → G ein Prägarbenmorphismus. Wir definieren den Kern und Cokern als
die Prägarben
U 7→ Ker φ(U),
U 7→ coker φ(U),
zusammen mit den sich ergebenden Prägarben homomorphismsn
Ker(φ) → F ,
G → coker(φ).
Lemma 7.4.1. Ist φ : F → G ein Morphismus von Garben, so ist Ker φ eine Garbe, aber
coker φ ist Allgemeinen keine Garbe.
S
Beweis. Für die lokale Eindeutigkeit sei U = i Ui und sie s ∈ Ker φU mit s|Ui = 0 für
jedes i ∈ I. Dann ist s = 0 da Ker φU ⊂ F (U) und F die lokale Eindeutigkeit erfüllt.
Topologie
119
Für die globale Existenz sei si ∈ Ker φUi mit si |Ui ∩U j = s j |Ui ∩U j für alle i, j ∈ I. Da F die
globale Existenz erfüllt, existiert ein s ∈ F (U) mit s|Ui = si . Wir müssen zeigen:
s ∈ Ker φU . Nun ist aber φU (s)|Ui = φUi (s|Ui ) = φUi (si ) = 0, also φU (s) = 0 wegen der
lokalen Eindeutigkeit auf G.
Wir konstruieren ein Beispiel, in dem coker φ keine Garbe ist. Hierzu sei X = R/Z, es
sei 0 < ε < 41 und
1
U1 = −ε, + ε + Z,
2
1
U2 =
− ε, 1 + ε + Z.
2
Für eine offene Teilmenge U von X sei F (U) die Menge der lokalkonstanten
Funktionen von U → R und G(U) die Menge der stetigen Funktionen U → R. Es sei
φU : F (U) ,→ G(U) die Inklusion. Es sei s1 (x) = x für −ε < x < 12 + ε, sowie s2 (x) = x für
1
− ε < x < 1 + ε. Dann definieren s1 , s2 Elemente von G(U1 ) bzw G(U2 ). Die Differenz
2
s1 − s2 ist lokalkonstant auf U1 ∩ U2 , also gilt s1 ≡ s2 mod φU1 ∩U2 . Es gibt aber keinen
Schnitt s ∈ G(U1 ∪ U2 ) = G(X) mit s|Ui ≡ si mod φUi , da jeder Schnitt in G(X) bei 0 und
1 denselben Wert annehmen muss.
Proposition 7.4.2. Sei F eine Prägarbe. Dann existiert eine Garbe F + und ein
Prägarbenhomomorphismus θ : F → F + mit der Eigenschaft, dass jeder
Prägarbenhomomorphismus φ : F → G, wobei G eine Garbe ist, eindeutig über θ faktorisiert,
also gibt es zu φ einen eindeutig bestimmten Garbenhomomorphismus ψ so dass das
Diagramm
θ
F
φ
/
F+
∃! ψ
G
kommutiert. Das Paar (F + , θ) ist eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie. Man nennt F + die
Garbifizierung von F . Es gilt also für jede Garbe G,
Hom(F , G) Hom(F + , G).
Beweis. Wir konstruieren die Garbe F + wie folgt. Für eine offene Menge U ⊂ X sei
`
F + (U) die Menge aller Abbildungen s von U in die disjunkte Vereinigung x∈U Fx so
dass
• für jedes x ∈ U ist s(x) ∈ Fx und
• für jedes x ∈ U gibt es eine offene Umgebung V ⊂ U und ein t ∈ F (V), so dass
Topologie
120
für jedes y ∈ V gilt t(y) = s(y).
Die Eigenschaften von F + folgen sofort. Die Eindeutigkeit folgt formal aus der
universellen Eigenschaft. Beachte, dass für x ∈ X der Halm Fx natürlich isomorph ist
zum Halm Fx+ . Ist F selbst schon eine Garbe, dann ist θ ein Isomorphismus.
Definition 7.4.3. Wir definieren den Garbenkokern eines Garbenmorphismus φ als die
Garbifizierung des Prägarbenkokerns und schreiben diesen auch als coker φ. Ebenso
definieren wir die Bildgarbe eines Garbenmorphismus φ : F → G als die
Garbifizierung der Prägarbe U 7→ Bild φU und schreiben diese Garbe als Bild(φ).
Proposition 7.4.4. Der Kern k : K → F eines Garbenhomomorphismus φ : F → G hat
folgende universelle Eigenschaft: Sei ψ : H → F ein Garbenhomomorphismus mit φ ◦ ψ = 0,
dann existiert ein eindeutig bestimmter Garbenhomomorphismus θ : H → K , so dass das
Diagramm
K`
∃! θ
k
/F
O
ψ
φ
/
?
G
0
H
kommutiert. Der Cokern hat die analoge Eigenschaft mit umgedrehten Pfeilen.
Beweis. Sei (H, θ) wie in der Proposition. Für jedes offene U ⊂ X ist dann
φU ◦ ψU : H(U) → G(U) der Nullmorphismus, also faktorisiert ψU über einen
eindeutig bestimmten Morphismus θU : H(U) → K (U). Da ψ ein Garbenmorphismus
ist, also ψV ◦ resU
= resU
θ gilt, und k dieselbe Eigenschaft hat, folgt
V
V U
U
U
kV resV θU = kV θV resV . Da kV injektiv ist, ist auch θ ein Garbenhomomorphismus.
Dies beweist die Aussage über den Kern. Der Fall des Cokerns sei dem Leser zur
Übung gelassen.
7.5
Etalgarben
Definition 7.5.1. Eine Etalgarbe über einem topologischen Raum X ist eine stetige
Abbildung π : F → X so dass
• π ist ein lokaler Homöomorphismus, d.h., zu jedem Punkt f ∈ F existiert eine
offene Umgebung U, so dass π(U) offen in X und π|U ein Homöomorphismus
aufs Bild ist.
Topologie
121
• Für jedes x ∈ X ist π−1 (x) eine abelsche Gruppe.
• Die Strukturabbildungen sind stetig.
Die letzte Eigenschaft bedeutet folgendes. Sei S die Menge aller ( f, g) ∈ F × F mit
π( f ) = π(g), dann sind die Abbildungen
S → F
(x, y) 7→ x + y
F → F
x 7→ −x
stetig.
Die Abbildung π heißt die Projektion der Garbe, für x ∈ X heißt π−1 (x) der Halm über x.
Beispiele 7.5.2.
• (Die konstante Garbe) Sei A eine abelsche Gruppe und sei
F = X × A, wobei π : F → X die Projektion auf die erste Koordinate ist. Wir
versehen A mit der diskreten Topologie und F mit der Produkttopologie. Dann
ist π eine Garbe, wobei alle Halme gleich sind, nämlich A.
• (Wolkenkratzergarbe) Sei A , 0 eine abelsche Gruppe und sei x ∈ X ein
n o
abgeschlossener Punkt, d.h. die Menge x ist abgeschlossen. (In einem
n o
· Sei
Hausdorff-Raum ist jeder Punkt abgeschlossen.) Sei F = (X − x )∪A.
n o
π : F → X definiert durch π(y) = y für y ∈ X − x und π(a) = x für a ∈ A. Es gibt
dann genau eine Topologie auf F, so dass π ein lokaler Homöomorphismus ist.
Wir beschreiben diese Topologie durch die Angabe von Umgebungsbasen für
alle Punkte. Für a ∈ A ⊂ F ist eine Umgebungsbasis gegeben durch die Mengen
n o
n o
der Form a ∪ (U − x ), wobei U ⊂ X eine offene Umgebung von x ist. Ist
n o
y ∈ X − x , so ist eine Umgebungsbasis von y gegeben durch alle Mengen der
n o
Form U − x , wobei U eine offene Umgebung von y in X ist.
π
Sei eine Etalgarbe F −→ X gegeben. Für eine offene Menge U ⊂ X sei F (U) die Menge
aller lokalen Schnitte von π, also die Menge aller stetigen Abbildungen s : U → F mit
π ◦ s = IdU . Dann ist F (U) eine abelsche Gruppe.
Proposition 7.5.3. Die Zuordnung U 7→ F (U) ist eine Garbe: Für offene Mengen V ⊂ U ist
die Einschränkung resU
: F (U) → F (V) ein Gruppenhomomorphismus. Für W ⊂ V ⊂ U gilt
V
resU
U = IdF (U) ,
U
resVW ◦ resU
V = resW .
Ist (Ui )i∈I eine offene Überdeckung der offenen Teilmenge U von X, dann gilt
Topologie
122
• (Lokale Eindeutigkeit) Ist s ∈ F (U) und gilt s|Ui = 0 für jedes i ∈ I, dann ist s = 0.
• (Globale Existenz) Für jedes i ∈ I sei si ∈ F (Ui ) gegeben so dass für je zwei i, j ∈ I gilt
si |Ui ∩U j = s j |Ui ∩U j ,
dann existiert ein s ∈ F (U), so dass si = s|Ui für jedes i ∈ I.
Beweis. Da resU
eine Einschränkungsabbildung von Funktionen ist, sind alle diese
V
Eigenschaften trivial.
Definition 7.5.4. Seien π : F → X und π0 : F0 → X Etalgarben. Ein
Etalgarbenhomomorphismus von π nach π0 ist eine stetige Abbildung φ : F → F0 mit
• π0 ◦ φ = π, das heißt, das Diagramm
φ
F
π
X

/ F0
π0
kommutiert,
• φ|π−1 (x) ist ein Gruppenhomomorphismus von π−1 (x) nach (π0 )−1 (x).
Ist φ : F → F0 ein Etalgarbenhomomorphismus, so erhält man für jede offene Menge
U ⊂ X einen Gruppenhomomorphismus
φU : F (U) → F 0 (U)
definiert durch φU (s)(x) = φ(s(x)).
7.6
Äquivalenz von Garben und Etalgarben
Definition 7.6.1. Sei F eine Garbe über X. Wir definieren den Etalraum zu F als
`
F = x∈X Fx . Wir definieren die Projektion π : F → X durch π( f ) = x wenn f ∈ Fx . Wir
konstruieren eine Topologie, die π : F → X zu einer Etalgarbe macht. Für jede offene
Menge U ⊂ X definiert jeder Schnitt s ∈ F (U) eine Abbildung s : U → F mit
π ◦ s = IdU , nämlich die Abbildung x 7→ s(x). Dann ist das Bild s(U) eine offene
Teilmenge von F und die Topologie auf F ist die von diesen Mengen erzeugte
Topologie
123
Topologie. Es folgt, dass s und damit auch π ein lokaler Homöomorphismus ist und
dass die Strukturabbildungen stetig sind, kurz, dass F eine Etalgarbe ist
.
Satz 7.6.2. Sei Ψ die Abbildung, die einer Garbe F die Etalgarbe (F, π) zuordnet und sei
Φ die Abbildung, die jeder Etalgarbe F die Garbe ihrere Schnitte F zuordnet. Für jede
Etalgarbe F ist ΨΦF natürlich isomorph zu F und fuer jede Garbe F ist ΦΨF natuerlich
isomorph zu F .
Für je zwei Etalgarben F, G über X liefert Φ einen Isomorphismus von Gruppen
HomX (F, G) −→ HomX (ΦF, ΦG).
Ebenso liefert Ψ für zwei Garben F , G einen Isomorphismus
HomX (F , G) −→ HomX (ΨF , ΨG).
Man fasst diese Aussagen auch so zusammen: Φ ist eine Äquivalenz von Kategorien
von der Kategorie der Etalgarben in die Kategorie der Garben. Ψ ist eine Quasiinverse zu
Φ. Wir haben also eine Äquivalenz von Kategorien:
n
o
n
o
Etalgarben über X ↔ Garben überX .
Beweis. Sei F = ΨF die Garbe der Schnitte von F. Dann ist ΦΨF = ΦF die Menge der
Halme von F . Wir definieren eine Abbildung uF : ΦF → F wie folgt. Sei f ∈ ΦF , dann
liegt f in einem Halm Fx = lim→
F (U). Es existiert dann also ein offene Umgebung U
U3x
von x und ein Schnitt s ∈ F (U) mit f = [U, s]. Wir definieren dann uF ( f ) = s(x). Die
Abbildung uF ist injektiv, denn aus uF ( f ) = 0 folgt, dass es eine offene Umgebung U
von x gibt mit f = [U, 0], woraus f = 0 folgt. Sie ist surjektiv, denn für f ∈ F gibt es
eine offene Umgebung V von f so dass π|V ein Homöomorphismus aufs Bild, nennen
wir es U, ist. Sei s : U → F die Umkehrabbildung zu π|V , dann ist s ein stetiger Schnitt,
liegt also in F (U), definiert also ein Element s von Fx mit uF (s) = s(x) = f .
Umgekehrt konstruieren wir eine Abbildung vF : ΨΦF → F wie folgt. Sei U ⊂ X
offen, dann ist jedes s ∈ ΦΨF (U) ein Schnitt der Etalgarbe ΨF , also eine Abbildung
Topologie
124
`
s : U → x∈U Fx , die lokal durch Schnitte von F gegeben ist und wegen der globalen
Existenz damit selbst ein Schnitt von F also ein Element von F (U) ist. Die Abbildung
vF wirft s auf dieses Element. Dann ist vF ein Isomorphismus. Die Aussagen über die
Homomorphismenmengen sind leicht einzusehen.
Definition 7.6.3. Wir nennen eine Sequenz von Garbenhomomorphismen
f
g
F −→ G −→ H
exakt, falls der induzierte Homomorphismus Bild( f ) → Ker(g) ein Isomorphismus
von Garben ist.
Korollar 7.6.4. Eine Sequenz von Garbenhomomorphismen
f
g
F −→ G −→ H
ist genau dann exakt, wenn fuer jedes x ∈ X die induzierte Sequenz der Halme
fx
gx
Fx −→ Gx −→ Hx
exakt ist.
Beweis. Indem man sich F (U) als Menge von Schnitten in die Etalgarbe realisiert,
wird klar, dass
g f = 0 ⇔ gx fx = 0 ∀x∈X .
fet
get
Es gelte also g f = 0. Sei F −→ G −→ H die entsprechende Sequenz von Etalgarben.
Die Halme von Bild( f ) sind gerade
Bild( f )x = lim f (F (U)) = fx (Fx ).
U3x
n
o
Dann ist also fet (F) die Etalgarbe zu Bild( f ). Ebenso ist Ker(get ) := x ∈ G : get (x) = 0
die Etalgarbe zu ker(g). Der induzierte Homomorphismus Bild( f ) → Ker(g)
entspricht dann in den Etalgarben der Inklusion und die Exaktheit bedeutet gerade
die Gleichheit von fet (F) und Ker(get ). Damit folgt die Behauptung.
Topologie
7.7
125
Direkte und inverse Bilder
Definition 7.7.1. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen
Räumen. Für eine Garbe F über X definiere das direkte Bild als die Garbe f∗ F über Y
gegeben durch
f∗ F (V) = F ( f −1 (V)).
Es ist anhand der Definitionen leicht einzusehen, dass f∗ F in der Tat wieder eine
Garbe ist.
n o
Beispiel 7.7.2. Ist X = x0 ein Punkt und F die konstante Garbe mit Faser M (was in
diesem Fall dasselbe ist wie die Wolkenkratzergarbe), dann ist f∗ F die
Wolkenkratzergarbe im Punkt f (x0 ). Generell gilt: direkte Bilder von Wolkenkratzern
sind Wolkenkratzer.
Ist G eine Garbe über Y, so ist das inverse Bild die Garbe f −1 G, die durch
Garbifizierung aus der Prägarbe
U 7→ lim G(V)
−−→
V⊃ f (U)
entsteht.
Beispiel 7.7.3. Ist f (x) = y0 die konstante Abbildung, dann ist f −1 G die konstante
Garbe mit Faser F y0 .
Satz 7.7.4. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Sei F eine Garbe über X und G eine
Garbe über Y. Dann gibt es eine natürliche Bijektion
HomX ( f −1 G, F ) −→ HomY (G, f∗ F ).
Definition 7.7.5. Ist Garb(X) die Kategorie der Garben über X und der
Garbenhomomorphismen, dann sind f −1 : Garb(Y) → Garb(X) und
f∗ : Garb(X) → Garb(Y) Funktoren. Für die Eigenschaft des Satzes sagt man: der
Funktor f −1 ist rechtsadjungiert zum Funktor f∗ oder f∗ ist linksadjungiert zu f −1 .
Beweis. Da f −1 G die Garbifizierung der Prägarbe f ∼ G : U 7→ lim→
G(V) ist, gibt es
V⊃ f (U)
Topologie
126
eine natürliche Bijektion
HomX ( f −1 G, F ) HomX ( f ∼ G, F ).
Es reicht also, eine natürliche Bijektion Φ : HomX ( f ∼ G, F ) → HomY (G, f∗ F ) zu
konstruieren. Sei α : f ∼ G → F ein Prägarbenhomomorphismus. Für ein offenes U ⊂ X
haben wir dann einen Gruppenhomomorphismus
αU : →lim G(V) → F (U).
V⊃ f (U)
Ist V ⊂ Y offen, so ist U = f −1 (V) offen in X und G(V) lim→0 −1 G(V 0 ), da V in der
V ⊃ f ( f (V)
Indexmenge als größtes Element auftaucht. Wir definieren also
βV : G(V) → F ( f −1 (V)) = f∗ F (V) durch βV = α f −1 (V) . Dann ist β ein
Prägarbenhomomorphismus und wir setzen Φ(α) = β.
Für die umgekehrte Richtung sei β : G → f∗ F ein Garbenhomomorphismus, als für
jedes offene V ⊂ Y ist
βV : G(V) → f∗ F (V) = F ( f −1 V)
ein Gruppenhomomorphismus, der verträglich ist mit den Restriktionsabbildungen.
Für offenes U ⊂ X und V ⊃ f (U) gilt U ⊂ f −1 V) und daher erhält man einen
res
Morphismus G(V) → F ( f −1 V) −→ F (U). Nach der universellen Eigenschaft des
direkten Limes setzen sich diese Morphismen zusammen zu einem
αU : →lim G(V) → F (U).
V⊃ f (U)
Diese Morphismen definieren ein Element α ∈ HomX ( f −1 G, F ). Setze Ψ(β) = α. Es gilt
dann Ψ ◦ Φ = Id und Φ ◦ Ψ = Id.
7.8
Lokalkonstante Garben
Lemma 7.8.1. Sei X zusammenhängend. Eine Garbe F über X ist genau dann konstant,
wenn für jeden Punkt x ∈ X die Abbildung F (X) → Fx , s 7→ s(x) ein Isomorphismus ist.
Beweis. Ist F konstant, dann ist die Etalgarbe F = M × X. Sei s : X → F = M × X ein
globaler Schnitt. Dann ist s(x) = (ms (x), x) für jedes x und die so entstehende
S
Abbildung ms : X → M ist stetig. Dann ist X = m∈M m−1
s (m) eine disjunkte Zerlegung
Topologie
127
von X in offene Mengen. Da X zusammenhängend ist, ist ms eine konstante
Abbildung. Damit ist F (X) M und F (X) → Fx stets ein Isomorphismus.
Sei umgekehrt rx : F (X) → Fx für jedes x ein Isomorphismus. Sei M = F (X). Wir
wollen zeigen, dass F isomorph ist zur konstanten Garbe KM mit Faser M. Sei U ⊂ X
offen und sei s ∈ F (U) ein Schnitt. Sei s̃ : U → M definiert durch s̃(x) = r−1
x (s(x)). Wir
zeigen, dass s̃ lokalkonstant ist. Sei dafür x ∈ U. Dann ist s(x) ∈ Fx und es gibt einen
eindeutig bestimmten globalen Schnitt t ∈ F (X) mit rx (t) = s(x). Sei tU die Restriktion
von t nach U. Dann stimmen die beiden Schnitte s und t im Punkte x überein, also gibt
es eine offene Menge V ⊂ U mit s|V = t|V , das heißt aber gerade, dass s̃ auf diesem V
konstant ist.
Wir haben damit jedem lokalen Schnitt s einen Schnitt s̃ der konstanten Garbe
zugeordnet, also einen Garbenhomomorphismus F → KM definiert. Dieser ist ein
Isomorphismus in jedem Halm, also ein Isomorphismus.
Definition 7.8.2. Eine Garbe F über X heißt lokalkonstante Garbe, falls es zu jedem
x ∈ X eine offene Umgebung U gibt, so dass F |U konstant ist.
Beispiel 7.8.3. Über dem Raum X = S1 lässt sich eine Garbe abelscher Gruppen mit
Faser G = Z/2 × Z/2 herstellen, die lokalkonstant, aber nicht konstant ist.
(Der Trick ist, dass G über genau drei nichttriviale Elemente verfügt und jede
Permutation dieser drei Elemente einen Gruppenhomomorphismus definiert.)
Proposition 7.8.4. Sei F eine lokalkonstante Garbe über dem topologischen Raum X. Ist X
zusammenhängend, dann ist die Etalgarbe π : F → X eine überlagerung. Insbesondere lassen
sich dann Wege von X nach F liften.
Beweis. Sei x ∈ X und U eine offene Umgebung, auf der F konstant ist. Dann ist der
Etalraum von F |U homöomorph zu M × U, wobei M die Faser ist. Dann ist M mit der
diskreten Topologie versehen und nach Lemma 7.8.1 hängt die Faser M nicht von x
ab. Also insgesamt ist F eine Überlagerung.
Definition 7.8.5. Sei G eine Gruppe. Der Gruppenring Z[G] ist die Menge aller
formalen Linearkombinationen




X




k
g
:
k
∈
Z,
fast
alle
Null
.
Z[G] := 

g
g




g∈G
Topologie
128
Dies wird eine abelsche Gruppe durch

 
 


 X  X
X

 
 

(k
+
l
)g
:=
l
g
+
k
g




g
g 
g 
g 
 .

 
 
g∈G
g∈G
g∈G
Diese abelsche Gruppe ist auch als die freie abelsche Gruppe in den Erzeugern g ∈ G
bekannt. Jetzt machen wir die Menge Z[G] zu einem Ring indem wir eine
Multiplikation definieren durch



X
 X 
X


k g lh (gh),
lh h :=
k g g 



g∈G
g,h∈G
h∈G
wobei gh das Produkt in G bezeichnet. Es gilt dann



X
 X  X


k g g 
lh h =
mτ τ



g∈G
h∈G
τ∈G
mit
mτ =
X
k g lh .
g,h∈G
gh=τ
Ein Modul M unter dem Ring Z[G] ist gegeben durch eine abelsche Gruppe
(= Z-Modul) M, auf dem G durch Gruppenhomomorphismen operiert.
Sei nun X ein wegzusammenhängender Raum, der lokal einfach zusammenhaengend
ist und F eine lokalkonstante Garbe über X. Sei x0 ∈ X ein fest gewählter Punkt und
sei G = π1 (X, x0 ) die Fundamentalgruppe. Sei [γ] ∈ G und sei m ∈ M = Fx0 . Dann liftet
der Weg γ zu einem eindeutig bestimmten Weg γm : [0, 1] → F mit γm (1) = m.
Schreibe γ.m = γm (0).
Lemma 7.8.6. Die Vorschrift [γ]m = γ.m definiert eine Operation von G auf der Gruppe M.
Jedes γ ∈ G operiert durch einen Gruppenhomomorphismus, damit wird M also zu einem
Z[G]- Modul.
Beweis. Die Aussage (γ.τ).m = γ.(τ.m) für zwei geschlossene Wege mit Endpunkt x0 ist
nach Defintion klar.
Seien γ, τ Vertreter desselben Elements von G und sei h : I2 → X eine Homotopie mit
festen Enden, dann liftet h zu einer Homotopie mit festen Enden von γ̃ nach τ̃.
Topologie
129
Insbesondere gilt dann h̃(0, 1) = γ.m und h̃(1, 1) = τ.m und es ist h̃(s, 1) ∈ Fx0 = M für
jedes s ∈ [0, 1]. Damit ist s 7→ h̃(s, 1) ein Weg in M, der γ.m und τ.m verbindet. Da M
diskret ist, ist dieser Weg konstant, also γ.m = τ.m und die Operation damit
wohldefiniert.
Ist r ∈ R, so ist der Weg rγm der Eindeutige Lift von γ mit Anfangspunkt rm, also mit
anderen Worten, es gilt rγm = γrm , was gerade bedeutet r[γ]m = [γ]rm.
Sei umgekehrt M eine abelsche Gruppe mit einer Operation von G. Sei X̃ die
universelle überlagerung von X und setze
F = G\(M × X̃),
wobei G auf M × X̃ diagonal operiert, also γ(m, x) = (γm, γx). Wir versehen M mit der
diskreten Topologie, M × X̃ mit der Produkttopologie und F mit der
Quotiententopologie. Definiere π : F → X durch π(G(m, x)) = Gx.
Lemma 7.8.7. π : F → X ist eine lokalkonstante Etalgarbe.
Beweis. Sei x ∈ X und sei U eine Umgebung, die die universelle überlagerung
p : X̃ → X trivialisiert. Das Urbild Ũ = p−1 (U) ist dann eine disjunkte Vereinigung von
offenen Mengen, die alle homöomorph sind zu U, und die von G permutiert werden.
Fixiere eine solche Ũ0 und einen Homöomorphismus φ : U → Ũ0 , dann ist die
natürliche Abbildung
1×φ
M × U −→ M × Ũ0 ,→ M × Ũ → G\M × Ũ = F |U
ein Homöomorphismus, der die Garbe F lokal trivialisiert.
Wir haben nun zwei Konstruktionen. Lemma 7.8.6 liefert einen Funktor Φ von der
Kategorie aller lokalkonstanten Garben zu der Kategorie der Z[G]-Moduln.
Umgekehrt liefert Lemma 7.8.7 einen Funktor Ψ von der Kategorie der Z[G]- Moduln
in die Kategorie der lokalkonstanten Garben.
Satz 7.8.8. Die Funktoren Φ und Ψ sind quasiinvers zueinander. Für einen
wegzusammenhängenden Raum X, der lokal einfach zusammenhengend ist haben wir also
Topologie
130
eine Äquivalenz von Kategorien:
n
o
n
o
lokalkonstante Garben ↔ G-Moduln
wobei G = π1 (X) die Fundamentalgruppe ist.
Beweis. Sei F eine lokalkonstante Garbe. Wir konstruieren einen natürlichen
Etalgarbenisomorphismus
τ : F → ΨΦF = G\Fx0 × X̃.
Sei f ∈ F und sei x = π( f ). wähle einen Weg η in X von x0 nach x. Dann hat η einen
eindeutigen Lift ηF nach F mit ηF (1) = f . Sei f0 = ηF (0) ∈ Fx0 . Die Homotopieklasse
(mit festen Enden) von γ definiert ein Element [η] von X̃ mit p([η]) = x. Wir definieren
dann
τ( f ) = G( f0 , [η]).
Diese Konstruktion hängt a priori von der Wahl des Weges η ab, jedenfalls modulo
Homotopie mit festen Enden. Eine andere Wahl liefert modulo Homotopie einen Weg
der Form γ.η für ein [γ] ∈ G. In diesem Fall wird auch f0 ersetzt durch [γ] f0 , also ist τ
eine wohldefinierte Abbildung.
Die Definition trägt die Umkehrabbildung τ−1 praktisch schon im Bauch: Ein Element
von G\Fx0 × X̃ ist eben von der Gestalt G( f0 , [η]) mit f0 ∈ Fx0 und [η] ∈ X̃. Dann liftet η
eindeutig zu einem Weg ηF mit ηF (0) = f0 . Setze dann τ−1 G( f0 , [η]) = f = ηF (1).
Damit ist τ bijektiv. Die Stetigkeit von τ und τ−1 und die Verträglichkeit mit Addition
und Inversion sei dem Leser zur Übung gelassen.
7.9
Der Schnittfunktor
Definition 7.9.1. Sei X ein topologischer Raum. Wir betrachten den Funktor
n
o
n
o
Γ : Garben über X → abelsche Gruppen
gegeben durch
Γ(F ) = F (X).
Topologie
131
Dieser wird der globale Schnittfunktor, oder auch nur Schnittfunktor genannt.
Als Beispiel betrachten wir einen wegzusammenhängenden,
lokal-einfach-zusammenhaengenden Raum X und eine lokalkonstante Garbe F .
Diese kommt von einer abelschen Gruppe V und die Etalgarbe lässt sich schreiben als
G\(V × X̃). Ein globaler Schnitt s ∈ F (X) ist dann eine Abbildung s : X → G\(V × X̃)
der Gestalt s(Gx) = G(as (x), x). Diese Schreibweise definiert eine eindeutig bestimmte
Abbildung as : X̃ → V. Diese Abbildung muss stetig sein und da X̃
zusammenhängend und V diskret, folgt, dass as konstant ist. Es gilt nun für γ ∈ G,
G(as , x) = s(Gx) = s(Gγx) = G(as , γx) = G(γ−1 as , x).,
und daher
as = γ.as ,
d.h. as ∈ V G . Umgekehrt liefert jedes as ∈ V G einen globalen Schnitt, also
Γ(F ) V G .
Für Garbenhomomorphismen haben wir die Begriffe von Kern und Bild, also können
wir auch sagen, was eine exakte Sequenz ist.
Wir erinnern an Korollar 7.6.4, welches besagt, dass eine Sequenz von Garben
f
g
F −→ G −→ H genau dann exakt ist, wenn für jeden Punkt x ∈ X die induzierte
Sequenz Fx → Gx → Hx exakt ist.
f
g
Lemma 7.9.2. Sei 0 → F −→ G −→ H → 0 eine exakte Sequenz von Garben. Dann ist die
Sequenz
Γ( f )
Γ(g)
0 → Γ(F ) −→ Γ(G) −→ Γ(H)
exakt. Im Allgemeinen ist Γ(g) nicht surjektiv.
Beweis. Da f injektiv ist, ist F (U) → G(U) injektiv für jedes U ⊂ X, also insbesondere
für U = X, damit ist Γ( f ) injektiv. Da gx fx = 0, gilt für jedes s ∈ F (X) und jedes x ∈ X,
dass g f s(x) = gx fx (s(x)) = 0, also in g f s = 0, was bedeutet dass Γ(g)Γ( f ) = 0. Damit ist
Bild(Γ( f )) ⊂ Ker(Γ(g)) und wir wollen Gleichheit zeigen. Sei hierzu s ∈ Ker(Γ(g)). Dann
ist für gegebenes x ∈ X das Element s(x) in Ker(gx ) = Bild( fx ) = lim→
Bild( f (U)). Es
U3x
gibt also eine offene Umgebung Ux von x mit s|Ux ∈ f (Ux ). Für jedes x fixiere eine solche
Umgebung Ux und das (eindeutig bestimmte) tx ∈ F (Ux ) mit f (tx ) = s|Ux . Diese Ux
Topologie
132
bilden eine offene Überdeckung von X. Für x, y ∈ X gilt tx |Ux ∩Uy = t y |Ux ∩Uy da dasselbe
für s gilt und die tx eindeutig sind. Nach dem Prinzip der globalen Existenz gibt es
also ein t ∈ F (X) mit t|Ux = tx , hieraus folg nach der lokalen Eindeutigkeit aber f (t) = s.
Beispiel, dass Γ(g) nicht immer surjektiv ist: Sei X = R/Z. Es operiere G Z auf
n
o
V = Z2 so dass 1.(x, y) = (y, x). Dann ist V G = (x, x) : x ∈ Z . Sei F die lokalkonstante
Garbe G\(V × X̃). G sei die konstante Garbe mit Halm Z, diese ist als lokalkonstante
Garbe assoziiert zur trivialen Operation von G auf Z. Sei f : F → G der
Garbenhomomorphismus assoziiert zum G-Modulhomomorphismus V → Z,
(x, y) 7→ x + y. Dieser ist surjektiv in jedem Halm, aber auf den globalen Schnitten hat
V G → Z das Bild 2Z , Z.
Sind f, g : F → G Garbenhomomorphismen, dann definieren wir den Morphismus
f + g : F → G durch ( f + g)(U) = f (U) + g(U). Auf diese Weiese wird Hom(F , G) eine
abelsche Gruppe.
Proposition 7.9.3. Sei X ein topologischjer Raum. Die Kategorie Ab(X) der Garben von
abelschen Gruppen über X ist eine abelsche Kategorie.
Beweis. Die Komposition ist bilinear, weil dies für die Kategorie der abelschen
Gruppen zutrifft. Das Nullobjekt ist die Nullgarbe. Das Produkt zweier Garben ist
isomorph zum Coprodukt und beide sind gleich der direkten Summe. Damit ist
Ab(X) additiv. Kerne und Cokerne existieren nach Abschnitt 7.4. Das letzte Axiom ist
erfüllt, weil es für die Kategorie der abelschen Gruppen gilt.
7.10
Abgeleitete Funktoren
Definition 7.10.1. Ein Objekt P einer Kategorie C heißt projektives Objekt, wenn es zu
jedem surjektiven Pfeil A B und jedem Pfeil P → B einen Pfeil P → A gibt so dass
das Diagramm
/B
A_
O
∃
P
kommutiert. Mit anderen Worten, P ist genau dann projektiv, wenn für jede Surjektion
A B die sich durch Komposition ergebende Abbildung
Hom(P, A) → Hom(P, B)
Topologie
133
surjektiv ist.
Beispiele 7.10.2.
• In der Kategorie der Mengen ist jedes Objekt projektiv.
• Sei R ein Ring. In der Kategorie der R-Moduln sind die freien R-Moduln
projektiv.
Definition 7.10.3. Ein Objekt I von C ist injektiv, falls es projektiv ist in Copp , also wenn
es zu jeder Injektion A ,→ B und jedem Pfeil A → I einen Pfeil B → I gibt so dass das
Diagramm
/B
A

∃
I
kommutiert. Mit anderen Worten, I ist injektiv, falls für jede Injektion A ,→ B die
induzierte Abbildung
Hom(B, I) → Hom(A, I)
surjektiv ist.
Beispiele 7.10.4.
injektiv.
• In der Kategorie der Mengen und Abbildungen ist jedes Objekt
• In der Kategorie der abelschen Gruppen ist ein Objekt, also eine abelsche
Gruppe (A, +) genau dann injektiv, wenn sie divisibel ist, also wenn es zu jedem
a ∈ A und jedem n ∈ N ein b ∈ A gibt mit a = nb.
Definition 7.10.5. Wir sagen: eine abelsche Kategorie A hat genügend viele Injektive,
falls es zu jedem Objekt X eine Injektion X ,→ I gibt, wobei I injektiv ist. Die Kategorie
hat genügend viele Projektive, falls Aopp genügend viele Injektive hat, was äquivalent
dazu ist, dass es zu jedem Objekt X eine Surjektion P X gibt, wobei P projektiv ist.
Beispiel 7.10.6. Die Kategorie Mod(R) der Moduln eines Ringes hat genuegend viele
Projektive, denn jeder Modul ist surjektives Bild eines freien Moduls.
Proposition 7.10.7. Sei R ein Ring, dann hat die Kategorie Mod(R) aller R-Moduln
genügend viele Injektive.
Beweis. Sei M ein R-Modul. Wir haben die natuerliche Einbettung
M ,→ M ⊗ Q ⊕ M ⊗ (Q/Z),
Topologie
134
wobei die Tensorprodukte über Z definiert sind. Die rechte Seite ist ein R-Modul, der
als abelsche Gruppe divisibel, also injektiv ist. Für die Proposition reicht es also,
anzunehmen, dass M als abelsche Gruppe injektiv ist.
Für einen R-Modul P und eine abelsche Gruppe A hat die Menge HomGrp (P, A) aller
Gruppenhomomorphismen von P nach A die Struktur einer R-Moduls via
r f (p) = f (rp).
Sei nun M ein R-Modul, der als abelsche Gruppe injektiv ist. Wir definieren
def
IM = HomGrp (R, M)
mit der oben genannten R-Modulstruktur. Es gibt eine Einbettung von M ,→ IM
gegeben durch m 7→ αm mit αm (r) = rm. Es bleibt zu zeigen, dass HomGrp (R, M) injektiv
ist. Hierfür beachte, dass für jeden R-Modul P und jede Menge X ein funktorieller
Isomorphismus von R-Moduln existiert:
ψ : HomGrp (P, X) → HomR (P, HomGrp (R, X)).
gegeben durch
ψ(α)(p)(r) = α(rp).
Die Inverse ist gegeben durch
ψ−1 (β)(p) = β(p)(1).
Sei nun P ,→ N ein injektiver R-Modulhomomorphismus. Das Diagramm
HomR (N, HomGrp (R, M))
/
HomR (P, HomGrp (R, M))
HomGrp (N, M)
/
HomGrp (P, M)
kommutiert. Die untere horizontale Abbildung ist surjektiv, da M injektiv ist als
abelsche Gruppe. Daher ist die obere horizontale Abbildung ebenfalls surjektiv und
HomGrp (R, M) ist injektiv.
Definition 7.10.8. Eine Auflösung eines Objektes X einer abelschen Kategorie ist eine
Topologie
135
exakte Sequenz
0 → X → I0 → I1 → . . . .
Eine injektive Aufloesung ist eine Aufloesung, bei der die Objekte I0 , I1 , . . . alle injektiv
sind. Wir schreiben 0 → X → IX .
Lemma 7.10.9. Hat A genügend viele Injektive, dann gibt es zu jedem Objekt injektive
Auflösungen.
Beweis. Sei X ein Objekt und X ,→ I0 eine Injektion in ein injektives Objekt. So wird I0
konstruiert. Sei M der Cokern von X → I0 und sei M ,→ I1 eine Injektion in ein
injektives I1 , dann ist die Sequenz 0 → X → I0 → I1 exakt. Sei nun n ≥ 1 und I0 , . . . , In
bereits konstruiert und sei M der Cokern von In−1 → In , dann wähle eine Injektion
M ,→ In+1 in ein injektives Objekt, so ist die Sequenz 0 → X → I0 → · · · → In+1 exakt.
Damit ist eine injektive Auflösung induktiv konstruiert.
Definition 7.10.10. Seien nun A und B abelsche Kategorien. Ein Funktor F : A → B
heißt exakter Funktor falls er exakte Sequenzen in exakte Sequenzen überführt. Er heißt
linksexakt, falls für jede exakte Sequenz
0→A→B→C→0
die Sequenz
0 → F(A) → F(B) → F(C)
exakt ist. Ist F kontravariant, so gelten die entsprechenden Begriffe für Aopp , also heißt
F dann linkesexakt genau dann wenn für jede exakte Sequenz wie oben die Sequenz
0 → F(C) → F(B) → F(A)
exakt ist.
Beispiel 7.10.11. Der Funktor Γ von der Kategorie der Graben ueber einem
topologischen Raum X in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt.
Lemma 7.10.12. Für jedes Objekt A einer abelschen Kategorie sind die Funktoren Hom(A, •)
und Hom(•, A) linksexakt.
Das Objekt A ist genau dann projektiv, wenn Hom(A, •) exakt ist. A ist genau dann injektiv,
wenn Hom(•, A) exakt ist.
Topologie
136
α
β
Beweis. Sei 0 → X −→ Y −→ Z → 0 exakt. Dann ist nach den Axiomen der abelschen
Kategorie α der Kern von β und β der Cokern von α. Sei f : A → X mit α ◦ f = 0. Da
0 → X der Kern von α ist, faktorisiert f über die Nullabbildung, ist also selber Null.
Damit ist Hom(A, α) injektiv. Es gilt Hom(A, β) ◦ Hom(A, α) = Hom(A, β ◦ α) = 0, da
β ◦ α = 0. Sei nun f : A → Y im Kern von Hom(A, β), also β ◦ f = 0. Da α der kern von
β ist, faktorisiert f daher über α, es gibt also ein h : A → X mit
f = α ◦ h = Hom(A, α)(h). Zusammen folgt, dass die Sequenz
0 → Hom(A, X) → Hom(A, Y) → Hom(A, Z)
exakt ist. Der Fall Hom(•, A) folgt, da HomA (•, A) = HomAopp (A, •) ist und Aopp
ebenfalls eine abelsche Kategorie ist.
Die Aussagen über projektive und injektive Objekte sind jetzt nichts weiter als eine
Umschreibung der Definition.
Definition 7.10.13. Sei nun A eine abelsche Kategorie mit genügend vielen Injektiven.
Ein Komplex ist eine Folge von Morphismen
dp
dp−1
· · · → Ep−1 −→ Ep −→ Ep+1 → . . .
so dass dp dp−1 = 0. Die Pfeile dp heiseen die Differentiale des Komplexes. Die
Kohomologie des Komplexes ist dann
Hp (E) = Ker(dp )/ Bild(dp−1 ).
Ein Homomorphismus von Komplexen α : F → F fuer Komplexe E = (Ep , dp ) und
F = (Fp , dp ) ist eine Familie von Pfeilen αp : Ep → Fp , die mit den Differentialen
vertauschen, d.h. kommutative Diagramme
...
/ Ep
αd
...
/ Fp
dp
dp
/
/
...
/
...
Ep+1
αp+1
/ Fp+1
bilden. Ist α : (Ep ) → (Fp ) ein Homomorphismus von Komplexen, dann bildet αp den
p
p
Kern von dE auf den Kern von dF ab und induziert so eine Abbildung
α∗ : Hp (E) → Hp (F).
Topologie
137
Lemma 7.10.14. Gegeben zwei injektive Auflösungen:
0
/
M
/ I0
/ I1
/ I0
/ I1
M
M
/
φ
0
/
N
N
N
/
Dann setzt jeder Homomorphismus φ zu einem Homomorphismus α : IM → IN von
Komplexen fort. Je zwei Fortsetzungen sind homotop.
Beweis. Diese Aussage wurde in Lemma 6.3.2 fuer freie Aufloesungen gezeigt. In dem
Beweis kann man das Wort frei durch das Wort projektiv ersetzen. Uebergang von A
zu Aopp liefert dann die Behauptung.
Sei A eine abelsche Kategorie mit genügend vielen Injektiven und sei F : A → B ein
linksexakter Funktor in die abelsche Kategorie B. Für jedes Objekt X von A wähle
eine injektive Auflösung 0 → X → IX und definieren
Rp F(X) = Hp (F(IX )).
Nach Lemma 7.10.14 existiert zu jedem Morphismus f : X → Y in A ein bis auf
Homotopie eindeutig bestimmter Homomorphismus IX → IY und also existiert ein
eindeutig bestimmter Homomorphismus Rp (F) : Rp F(X) → Rp F(Y). Mit anderen
Worten: Rp F ist ein Funktor von A in die Kategorie B.
Satz 7.10.15. Sei A eine abelsche Kategorie mit genügend vielen Injektiven und sei
F : A → B ein linksexakter Funktor in eine abelsche Kategorie B.
(a) Für jedes n ≥ 0 ist Rn F ein additiver Funktor von A nach B. Bis auf eindeutigen
Isomorphismus von Funktoren ist Rn F unabhängig von den Wahlen von Auflösungen.
(b) Es gibt einen natürlichen Isomorphismus von Funktoren F R0 F.
(c) Für jede exakte Sequenz
0→X→Y→Z→0
und jedes n ≥ 0 gibt es einen natürlichen Morphismus
δn : Rn F(Z) → Rn+1 F(X)
Topologie
138
so dass die Sequenz
δn
· · · → Rn F(X) → Rn F(Y) → Rn F(Z) −→ Rn+1 F(X) → . . .
exakt ist.
(d) Für jeden Morphismus kurzer exakter Sequenzen
/
0
0
/
/Y
X
X0
/
/
/
Y0
/
0
/
0
Z
Z0
und jedes n ≥ 0 kommutiert das Diagramm
Rn F(Z)
Rn F(Z0 )
δn
δn
/
/
Rn+1 F(X)
Rn+1 F(X0 ).
(e) Ist I ein injektives Objekt und n ≥ 1, dann gilt Rn F(I) = 0.
Beweis. Die Argumente sind standard bis auf die Konstruktion des
Verbindungshomomorphismus δ, die der Konstruktion des
Verbindungshomomorphismus eines Raumpaars ähnelt. Für Details siehe: Lang,
Algebra.
Definition 7.10.16. Ein Objekt A von A heißt azyklisch bzgl F, wenn für jedes i ≥ 1 die
Gleichung Ri F(A) = 0 gilt. Sei X ∈ A. Eine exakte Sequenz
0 → X → A0 → A1 → . . .
heißt azyklische Auflösung von X, falls alle A j azyklisch sind.
Satz 7.10.17. Sei 0 → X → A0 → . . . eine azyklische Auflösung, dann gibt es einen
natuerlichen Isomorphismus Ri F(X) → Hi (F(A• )). D.h. die Garbenkohomologie kann mit
beliebigen azyklischen Auflösungen berechnet werden.
Topologie
139
Beweis. Wir brauchen ein Lemma.
Lemma 7.10.18. Sei 0 → Y0 → Y1 → · · · eine exakte Sequenz von F-azyklischen Objekten.
Dann ist die Sequenz 0 → F(Y0 ) → F(Y1 ) → . . . exakt.
Beweis. Da F linksexakt ist, ist die Sequenz
0 → F(Y0 ) → F(Y1 ) → F(Y2 )
exakt. Sei Z j = coker(Y j−1 → Y j ). Wir erhalten ein kommutatives exaktes Diagramm
0
/
Y0
/
/ Y2
>
Y1
1
>Y
3
2
>Z
0
/
>Z
0
0.
Nach Anwendung von F erhalten wir eine exakte Sequenz
0 → F(Y0 ) → F(Y1 ) → F(Z1 ) → R1 F(Y0 ) = 0,
und also eine Surjektion coker(F(Y0 ) → F(Y1 )) F(Z1 ). Die exakte Sequenz
0 → Z1 → Y2 → Y3 liefert eine exakte Sequenz
0 → F(Z1 ) → F(Y2 ) → F(Y3 ).
Also ist auch
coker(F(Y0 ) → F(Y1 )) → F(Y2 ) → F(Y3 )
exakt. Dies ist die verlangte Exaktheit bei F(Y2 ). Wir iterieren das Argument
induktiv.
Zum Beweis des Satzes wähle eine injektive Auflösung
0 → X → I0 → I1 → . . .
Topologie
140
dann erhalten wir ein kommutatives Diagramm
/
/
=
/
/ I0
X
0
/
A0 _
X
0
A1 _
/
···
/ I1
/
···
wobei die vertikalen Abbildungen nach eventueller Vergrößerung von Ik als injektiv
vorausgesetzt werden können. Sei (Y j ) die Folge der Kokerne. Wir erhalten ein
exaktes kommutatives Diagramm
0
/
X
0
0
/
=
/
A0
X
/ I0
0
/ Y0
0
0
/
/
A1
/
···
/ I1
/
···
/
···
Y1
0
Da Ak und Ik azyklisch sind, liefert die lange exakte Kohomologiesequenz:
Rk F(Ii ) → Rk F(Yi ) → Rk+1 F(Ai ) und damit ist auch Yk azyklisch. Wir wenden F an und
erhalten eine kurze exakte Sequenz von Komplexen:
0 → F(A) ,→ F(I) → F(Y) → 0.
mit der zugehörigen Kohomologiesequenz:
Hi−1 F(Y) → Hi F(A) → Hi F(I) → Hi F(Y).
Nach Lemma 7.10.18 sind beide Enden Null, also ist die Abbildung in der Mitte ein
Isomorphismus, also
Hi F(A) Ri F(X).
Definition 7.10.19. Seien 0 → A → B → C → 0 und 0 → X → Y → Z → 0 exakte
Sequenzen. Ein Morphismus kurzer exakter Sequenzen ist ein Tripel (α, β, γ) von
Topologie
141
Morphismen, so dass das Diagramm
/
0
/
A
α
/
0
/
0
C
β
/Y
/X
0
/
B
/
γ
Z
kommutativ ist.
Definition 7.10.20. Ein δ-Funktor von A nach B ist eine Folge von Funktoren Ti ,
i = 0, 1, 2, . . . , zusammen mit einer Familie von Morphismen δi : Ti (C) → Ti+1 (A) für
jede exakte Sequenz 0 → A → B → C → 0 so dass
• Für jede kurze exakte Sequenz wie oben ist die Sequenz
δ
0 → T0 (A) → T0 (B) → T0 (C) −→ T1 (A) → . . .
δ
· · · → Tp (A) → Tp (B) → Tp (C) −→ Tp+1 (A) → . . .
exakt.
• Für jeden Morphismus kurzer exakter Sequenzen
/
0
0
/
/B
A
α
X
/
/C
β
0
/
0
γ
/Z
Y
/
ergeben die δs kommutative Diagramme:
Tp (C)
Tp (Z)
δ
δ
/
/
Tp+1 (A)
Tp+1 (X).
Definition 7.10.21. Ein δ-Funktor T heißt universeller δ-Funktor, falls es für jeden
anderen δ-Funktor S und jede natuerliche Transformation f 0 : T0 → S0 eine eindeutig
bestimmte Folge von natuerlichen Tranformationen f p : Tp → Sp gibt, die mit den δs
vertauschen.
Lemma 7.10.22. Sind S und T universelle δ-Funktoren und ist T0 S0 , dann folgt Tp Sp
für jedes p ≥ 0.
Topologie
142
Beweis. Sei f 0 : T0 → S0 ein Isomorphismus mit Inversem g0 : S0 → T0 . Seien f p und gp
die eindeutigen Fortsetzungen für p ≥ 1. Dann ist f p gp eine Fortsetzung von f 0 g0 = Id,
die mit den δ’s vertauscht. Da eine solche Fortsetzung eindeutig ist, folgt f p gp = Id.
Die andere Richtung geht ebenso, also sind die f p Isomorphismen.
Definition 7.10.23. Ein Funktor FA → B heißt auslöschbar, falls es zu jedem Objekt
X ∈ A eine Injektion u : X ,→ I gibt mit F(u) = 0. In der Regel wird sogar F(I) = 0 sein,
die Definition ist aber allgemeiner.
Beispiel 7.10.24. Ist F additiv und linksexakt und hat A genügend viele Injektive, so
existiert Rp F für p ≥ 1 und diese Funktoren sind allesamt auslöschbar, da sie auf
injektiven Objekten verschwinden.
Satz 7.10.25. Sei T ein δ-Funktor, so dass Tp auslöschbar ist für jedes p ≥ 1. Dann ist T
universell.
Beweis. Sei S ein weiterer δ-Funktor und sei f 0 : T0 → S0 gegeben. Ein gegebenes
Objekt A von A löschen wir aus mit einem Objekt I und erhalten eine exakte Sequenz
u
v
0 → A −→ I −→ C → 0
mit T1 (u) = 0. Wir erhalten ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen
(durchgezogene Pfeile):
T0 (I)
T0 (v)
f 0 (I)
S0 (I)
S0 (v)
/
T0 (C)
δT
f 0 (C)
/ S0 (C)
δS
/ T1 (A)
/
0
f 1 (A)
/ S1 (A).
Es folgt δT = coker(T0 (v)). Da die zweite Zeile exakt ist, erhalten wir δS S0 (v) f 0 (I) = 0
und damit δS f 0 (C)T0 (v) = 0. Daher existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung
f 1 (A), so dass das ganze Diagramm kommutativ wird.
Wir müssen zeigen, dass f 1 eine natürliche Transformation von Funktoren ist, also
Topologie
143
dass für jeden Morphismus τ : A → B in A das Diagramm
T1 (A)
f 1 (A)
S1 (A)
T1 (τ)
/
T1 (B)
f 1 (B)
S1 (τ)
/ S1 (B)
kommutiert. Hierfür sei τ : A → B ein Morphismus in A. Betrachte das
Kofaserprodukt P:
 u /
I
A
τ
/
B
P.
Da u injektiv ist, ist nach Lemma 5.8.9 die Abbildung B → P ebenfalls injektiv. Sei
P ,→ N ein Monomorphismus, der P auslöscht. Wir erhalten ein kommutatives
Diagramm mit exakten Zeilen:
/
0
/
A
τ
/B
0
/
I
α
/N
/
/
C
0
β
Y
/
0,
wobei B → N die Komposition B → P → N ist und Y ist der Kokern. Das Diagramm,
dessen Kommutativität wir zeigen wollen, ist die rechte Seitenfläche des folgenden
würfelfürmigen Diagramms:
δT
T0 (C)
/
T1 (A)
T1 (φ)
T0 (β)
#
/ T1 (B)
#
T0 (Y)
f0 (C)
/ S1 (A)
S0 (C)
f1 (B)
S1 (φ)
S0 (β)
#
0
S (Y)
# / S1 (B).
Alle Seiten des Diagramms kommutieren bis auf eventuell die rechte Seite. Da aber δT
ein Epimorphismus ist, muss auch die letzte Seite kommutativ sein.
Als nächstes müssen wir zeigen, dass f1 mit dem Verbindungshomomorphismus δ
Topologie
144
kommutiert. Sei
0→A→B→C→0
eine exakte Sequenz in A. Mit derselben Kofaserprodukt-Konstruktion erhält man
einen auslöschenden Monomorphismus A → I und ein kommutatives Diagramm mit
exakten Zeilen:
/A
/B
/C
/0
0
/
0
Id
A
α
/I
/
β
/
X
0.
Betrachte das Diagramm:
T0 (C)
T0 (β)
~
f 0 (X)
~
S0 (C)
δT
T0 (X)
f0 (C)
δT
/
T1 (A)
δS
S0 (β)
S0 (X)
δS
f 1 (A)
/ S1 (A).
Wir wollen zeigen, dass die rechte Seite kommutiert. Die Dreiecke oben und unten
sind kommutativ nach der Definition eines δ-Funktors. Das linke Quadrat ist
kommutativ, da f 0 eine natürliche Transformation ist. Das vordere Quadrat
kommutiert nach der Definition von f 1 . Hieraus folgt, dass das letzte Quadrat
ebenfalls kommutiert.
Eine Iteration des Argumentes mit dem Indexpaar (n, n + 1) an Stelle von (0, 1) liefert
den Satz.
7.11
Garbenkohomologie
Proposition 7.11.1. Sei R ein Ring und X ein topologischer Raum. Dann hat die abelsche
Kategorie ModR (X) aller Garben von R-Moduln über X genügend viele Injektive.
Beweis. Sei F eine Garbe über X. Für jedes x ∈ X ist Fx ein R-Modul, also gibt es eine
Q
injektion Fx ,→ Jx in einen injektiven R-Modul. Betrachte die Garbe J : U 7→ x∈U Jx .
Dies ist das Produkt der Wolkenkratzergarben Wx (Jx ) für x ∈ X in der Kategorie
Topologie
145
ModR (X). Also ist für jede Garbe G:
Hom(G, J) Y
Hom(G, Wx (Jx )).
x∈X
Andererseits gilt Hom(G, Wx (Jx )) Hom(Gx , Jx ). Also existiert ein natürlicher
injektiver Homomorphismus F → J gegeben durch die Abbildungen Fx → Jx . Der
Funktor Hom(•, J) ist das direkte Produkt über alle x ∈ X vom Halmfunktor F 7→ Fx ,
der exakt ist, gefolgt von HomR (•, Jx ), der exakt ist, weil Jx injektiv ist. Daher ist
Hom(•, J) ein exakter Funktor und also ist J ein injektives Objekt.
Definition 7.11.2. Die Garbenkohomologie einer Garbe F ist dann definiert durch die
Rechtsableitungen des Schnittfunktors, also
Hp (F ) = Rp Γ(F ).
Eine Garbe F heißt welk, falls für je zwei offene Teilmengen V ⊂ U ⊂ X die Restriktion
resU
: F (U) → F (V) surjektiv ist. Wolkenkratzergaben sind Beispiele welker Garben.
V
Man kann zeigen, dass welke Garben azyklisch sind bzgl des Schnittfunktors Γ.
7.12
Feine Garben
S
Definition 7.12.1. Eine offene Überdeckung X = i∈I Ui von X heißt lokal-endliche
Überdeckung, falls es zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung V gibt so dass
n
i ∈ I : V ∩ Ui , ∅
o
endlich ist.
Eine offene Überdeckung (V j ) j∈J heißt Verfeinerung einer offenen Überdeckung (Ui )i∈I ,
wenn es zu jedem j ∈ J ein i ∈ I gibt mit V j ⊂ Ui .
Ein Raum X heißt parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine lokal-endliche
Verfeinerung besitzt.
Beispiele 7.12.2.
• Kompakte Hausdorffräume sind parakompakt.
• (Satz von Stone) Metrische Räume sind parakompakt.
• (Satz von Miyazaki) CW-Komplexe sind parakompakt.
Topologie
146
Definition 7.12.3. Sei φ : F → G ein Garbenhomomorphismus. Der Träger von φ,
geschrieben supp(φ) ist definiert als der Abschluss der Menge aller x ∈ X mit
φx : Fx → Gx , 0.
Definition 7.12.4. Eine Garbe F heißt feine Garbe, falls es zu jeder lokal-endlichen
S
offenen Überdeckung X = i∈I Ui eine Familie (φi )i∈I von Endomorphismen
φi : F → F gibt mit
• supp(φi ) ⊂ Ui und
•
P
i∈I
φi = Id|F .
Da die Überdeckung lokal-endlich ist, ist auch die Summe im zweiten Punkt
lokal-endlich, macht also stets Sinn, da immer nur endlich viele Summanden addiert
werden.
Beispiele 7.12.5.
• Ist M eine Cr -Mannigfaltigkeit mit r = 0, 1, . . . , ∞, dann existiert
zu jeder lokal-endlichen Überdeckung (Ui ) eine Zerlegung der Eins, d.h. eine
Familie ui ∈ Cr (M) mit supp(ui ) ⊂ Ui und
X
ui = 1.
i∈I
Daher sind ist die Garbe Cr aller Cr -Funktionskeime fein. Ferner ist die Garbe
Ωp,r aller r-fach differenzierbaren p-Differentialformen fein, denn man definiert
dann φi (ω) = ui ω, erhaelt also den Endomorphismus φi durch punktweises
Produkt mit der Funktion ui .
• Ist X ein Hausdorff-Raum, dann ist jede Wolkenkratzergarbe fein.
Um dies einzusehen, sei W eine Wolkenkratzergarbe mit einzigem
nichttrivialen Halm H = Wx0 ueber dem Punkt x0 , alle anderen Halme sind
Null. Sei dann (Ui )i∈I eine lokal-endliche Ueberdeckung. Wir definieren nun eine
Familie (φi ) von Endomorphismen. Sei hierzu ein Index ii ∈ I fixiert, mit der
Eigenschaft, dass x0 ∈ Ui0 , so einen muss es ja geben. Wir definieren nun
Endomorphismen φi : W → W wie folgt: Ist i , i0 , so setzen wir φi ≡ 0. Der
Endomorphismus φi0 ist die Identitaet auf W. Dann ist trivialerweise
X
i∈I
φi = IdW .
Topologie
147
Da die Traeger supp(φi ) fuer i , 0 leer sind, muessen wir nur zeigen, dass
n o
supp(φi0 ) ⊂ Ui0 gilt. Wir zeigen sogar supp(φi0 ) = x0 . Sei hierzu y , x0 ein
anderer Punkt von X. Dann existiert eine Umgebung U von y, so dass x , U.
Also ist W(U) = 0 und damit ist φi0 (W(U)) = 0, und da dies auch fuer alle
Teilmengen von U gilt, folgt φi0 |U ≡ 0 und damit liegt y nicht im Traeger von φi0 .
• Im letzten Beispiel ist die Hausdorffeigenschaft allerdings erforderlich (oder
zumindest die Trennungseigenschaft T1 ), wie das folgende Beispiel zeigt. Sei
n
o
X = η, a, b eine Menge mit drei Elementen, auf der wir eine Topologie wie folgt
installieren. Die offenen Mengen sind
n o n o
∅, X, a, η , b, η .
Damit ist η in jeder nichtleeren offenen Menge enthalten, man sagt dazu auch, η
ist ein generischer Punkt. Sei nun W die Wolkenkratzergarbe mit Halm Z ueber
η. Da η in jeder nichtleeren offenen Menge liegt, ist W auch gleich der
konstanten Garbe KZ ueber X. Ist dann φ : W → W irgendein
Endomorphismus, dann ist φ durch seinen Halm ueber η eindeutig festgelegt.
Ist diese ungleich Null, so ist supp(φ) = X, andernfalls ist supp(φ) = ∅. Daher
kann es keine Familie von Endomorphismen, im Sinne der Definition der
Feinheit, zu der Ueberdeckung X = U1 ∪ U2 mit
n o
U1 = η, a ,
n o
U2 = η, b
geben.
Satz 7.12.6. Sei X ein parakompakter Hausdorff-Raum.
f
g
(a) Ist 0 → F −→ G −→ H → 0 exakt und ist F fein, so ist
0 → F (X) → G(X) → H(X) → 0 exakt.
(b) Für jede Garbe G existiert eine feine Garbe F und eine Injektion G ,→ F .
Insbesondere existieren immer feine Auflösungen, d.h. Aufloesungen (Definition
7.10.8), bei denen die aufloesenden Garben alle fein sind.
(c) Feine Garben sind azyklisch bezueglich des Schnittfunktors Γ.
Topologie
148
Insbesondere sind also Wolkenkratzergarben ueber parakompakten
Hausdorff-Räumen azyklisch.
Beweis. (a) Es ist zu zeigen, dass Γ(g) surjektiv ist. Sei t ∈ H(X). Dann existiert eine
Überdeckung (Ui ) von X und si ∈ G(Ui ) so dass g(si ) = t|Ui . Da X parakompakt ist,
können wir die Überdeckung als lokal-endlich annehmen. Die Differenz
si j = si − s j
ist ein Schnitt von Kern Ker(g) F über Ui ∩ U j . Über Ui ∩ U j ∩ Uk gilt
si j + s jk = sik .
Sei φi eine Familie von Endomorphismen von F Ker(g) assoziiert zu (Ui ). Da der
Träger von φ j in U j liegt, kann man φ j ◦ si j zu einem Schnitt in Ker(g)(Ui ) ⊂ G(Ui )
ausdehnen (durch Null). Sei
X
s0i =
φ j ◦ si j .
j
Dann ist s0i ∈ Ker(g)(Ui ) und es gilt über Ui ∩ U j :
s0i
−
s0j
=
X
k
φk ◦ sik −
X
φk ◦ s jk =
k
X
φk ◦ si j = si j .
k
Also folgt
si − s0i = s j − s0j
auf Ui ∩ U j . Da g(s0i ) = 0 und g(si ) = t|Ui , definiert s(x) = (si − s0i )(x) für x ∈ Ui einen
globalen Schnitt s von G mit der Eigenschaft g(s) = t.
(b) Sei F eine Garbe. Wir zeigen, dass es eine exakte Sequenz 0 → F → J gibt, wobei
J sowohl injektiv als auch fein ist. Sei J das Produkt aller Wolkenkratzergarben
Wx (Jx ) wie konstruiert im Beweis der Existenz hinreichend vieler injektiver Garben.
Sei (Ui )i∈I eine lokal-endliche Überdeckung. Da J ein Produkt von
Wolkenkratzergarben ist, existiert eine Familie (φi )i von Endomorphismen von J, die
P
in jedem Punkt nur den Wert 0 oder Id annehmen mit supp Φi ⊂ Ui und i φi = Id.
Also ist J fein. Es gibt eine offensichtliche Einbettung F ,→ J, die man sofort sieht,
wenn man die Etalgarben ansieht, also folgt (b).
(c) Sei nun F fein. Sei J wie oben und G der Quotient J/F , wir haben also eine
exakte Sequenz 0 → F → J → G → 0. Wir wissen bereits, dass J fein und injektiv
Topologie
149
ist. Wir wollen zeigen, dass auch G fein ist. Sei dazu (Ui )i eine offene Überdeckung
und sei (φi )i eine assoziierte Familie von Endomorphismen von F . Für jedes x ∈ X
induziert φi einen Endomorphismus φi,x von Fx . Da Fx ,→ Jx und Jx injektiv ist, dehnt
dieser Endomorphismus zu einem Endomorphismus von Jx aus, den wir als Null
annehmen können, wenn φi,x = 0. Für gegebenes x ∈ X gibt es nur endlich viele i mit
φi,x , 0. Sei Ix diese endliche Menge von Indices. Sei i0 ∈ Ix und φ̃i sei eine Fortzetzung
von φi nach Jx für i ∈ Ix , i , i0 . Für den Index i0 wählen wir dann die Fortsetzung
P
φ̃i,x = Id − i,i0 φ̃i,x . Wir erhalten eine Familie φ̃i von Endomorphismen von J, die die
P
φi fortsetzen mit supp φ̃i ⊂ Ui und i φ̃i = Id. Da die φ̃i die Untergarbe F in sich
abbilden, induzieren sie Endomorphismen des Quotienten G, der demzufolge auch
fein ist.
Da J injektiv ist und damit Hp (J) = 0 ist für p ≥ 1, zerfüllt die lange
Kohomologiesequenz in die exakten Sequenzen:
0 → F (X) → J(X) → G(X) → H1 (F ) → 0
und
0 → Hp (G) → Hp+1 (F ) → 0,
p ≥ 1.
Nach Teil (a) impliziert die erste Sequenz, dass H1 (F ) = 0. Indem man die exakte
Sequenz aus dem Satz durch die Sequenz 0 → F → F → 0 → 0 ersetzt, folgt sofort,
dass fuer jede feine Garbe F die erste Kohomologie H1 (F ) gleich Null ist.
Zurueck zur Situation des Satzes. Da G ebenfalls fein ist, ist auch H1 (G) = 0. Induktiv
impliziert damit die zweite Sequenz, dass Hp (F ) = 0 = Hp (G) für jedes p ≥ 1.
7.13
Gruppenkohomologie
Sei G eine Gruppe. Sei Mod(Z[G]) die abelsche Kategorie aller Z[G]-Moduln. Fuer
einen Z[G]-Modul M sei
n
o
MG = m ∈ M : gm = m ∀g ∈ G
die Gruppe der G-invarianten Elemente. Dann definiert M 7→ MG einen Funktor
H0 (G, ·) von Mod(Z[G]) in die Kategorie Mod(Z) der Z-Moduln, oder abelschen
Gruppen. Man macht sich leicht klar, dass dieser Funktor linksexakt ist. Die
Topologie
150
Rechtsableitungen dieses Funktors sind per Definitionem die Kohomologie-Gruppen:
Hp (G, M) = Rp H0 (G, M).
Sei X = EG die universelle Ueberlagerung eines klassifizierenden Raumes BG = G\X.
Ein Z[G]-Modul M induziert eine lokalkonstante Garbe Garb(M) = M = G\(X × M)
ueber G\X. Sei Hp (G\X, M) die zugehörige Garbenkohomologie.
Satz 7.13.1. Es gibt eine natuerliche Isomorphie
Hp (G, M) Hp (G\X, M).
Beweis. Die Funktoren M 7→ Hp (G, M) bilden einen universellen δ-Funktor auf
Mod(Z[G]). Sei G(G\X) die Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf G\X, so ist
F 7→ Hp (G\X, F ) ein universeller δ-Funktor auf G(G\X). Der Garbifizierungs-Funktor
Garb : Mod(Z[G]) → G(G\X), der einem Modul M die lokalkonstante Garbe
M = Garb(M) zuordnet, ist exakt. Daher ist M 7→ Hp (G\X, Garb(M)) ein δ-Funktor auf
Mod(Z[G]). Es bleibt die Universalität zu zeigen. Dies tun wir wie ueblich ueber die
Auslöschbarkeit der Hp fuer p ≥ 1. Fuer M ∈ Mod(Z[G]) sei
n
o
IM = α : G → M
die abelsche Gruppe aller Abbildungen von G to M. Diese wird ein G-Modul durch
g.α(τ) = g(α(g−1 τ)).
Die Abbildung, die m ∈ M auf die konstante Abbildung mit Wert m wirft, ist eine
Einbettung M ,→ IM. Es bleibt daher zu zeigen, dass
Hp (G\X, Garb(IM)) = 0
fuer p ≥ 1. Sei π : X → G\X die Projektion.
Lemma 7.13.2. Es gilt
Garb(IM) π∗ KM ,
wobei hier KM die konstante Garbe mit Halm M auf X bezeichnet.
Topologie
151
Beweis. Zu gegebenem x0 ∈ X existiert eine einfach zusammenhaengende, offene
Umgebung U ⊂ X, so dass U ∩ gU = ∅ fuer jedes 1 , g ∈ G gilt. Dann ist W = π(U)
eine offene Umgebung von y = π(x). Sei E = X × IM der Etalraum der konstanten
Garbe KIM , dann ist G\E = G\(X × IM) der Etalraum der Garbe Garb(IM).
Definitionsgemaess ist Garb(IM)(W) die Menge aller stetigen Abbildungen
s : W → G\(X × IM) der Form s(Gx) = G(x, αx ) fuer x ∈ U. Da U
wegzusammenhaengend ist und s stetig, haengt α = αx nur von U ab. Dieses α ist nun
nach Definition von IM eine Abbildung α : G → M. Andererseits ist π∗ KM (W) die
Menge aller stetigen Abbildungen t : π−1 (W) = GU → M. Da π−1 (W) die disjunkte
Vereinigung der Mengen gU mit g ∈ G ist, und wieder da U wegzusammenhangend
ist, ist jedes solche t auf jeder Komponente gU konstant, definiert also eine Abbildung
αt : G → M, g 7→ t(gx0 ). Die Abbildung t 7→ αt ist ein Isomorphismus
π∗ KM (W) −→ Garb(IM)(W). Damit sind diese beiden Garben isomorph.
Wir zeigen nun, dass π∗ KM azyklisch ist. Hierzu beachte, dass der Funktor
π∗ : G(X) → G(G\X) exakt ist. Dies liegt an den speziellen Eigenschaften der
Projektion π : X → G\X, denn ist F eine Garbe ueber X und ist x ∈ X, dann ist der
Halm von π∗ F ueber dem Bildpunkt π(x) gleich
π∗ Fπ(x) =
Y
Fy.
y∈X:π(y)=π(x)
Da eine Sequemz von Garben genau dann exakt ist, wenn ihre Halmsequenzen exakt
sind, folgt hieraus die Exaktheit von π∗ .
Ferner hat π∗ die bemerkenswerte Eigenschaft, dass fuer jede Garbe F auf X gilt
H 0 (π∗ F ) = H 0 (F ),
wobei H 0 der Schnittfunktor ist (links uber G\X, rechts ueber X. Wir waehlen eine
spezielle injektive Aufloesung von KM , naemlich eine durch Produkte von
Wolkenkratzergarben (mit injektiven Halmen).
0 → KM → I0 → I1 → . . .
Deren Bilder π∗ (Ip ) unter π∗ sind dann wieder Produkte von Wolkenkratzergarben
(mit injektiven Halmen). Da π∗ exakt ist, ist also
0 → π∗ KM → π∗ I0 → π∗ I1 → . . .
Topologie
152
eine injektive Aufloesung von π∗ KM . Es folgt
Hp (G\X, π∗ KM ) = Hp (H 0 (π∗ I• )) = Hp (H 0 (I• )) = Hp (X, KM )
Die rechte Seite ist aber Null fuer p ≥ 1, wie aus Satz 8.2.1 im nächsten Kapitel und der
Zusammenziehbarkeit von X folgt.
8
Vergleich verschiedener Kohomologietheorien
8.1
De Rham Kohomologie
Sei X eine glatte (C∞ ) Mannigfaltigkeit und sei R = R. Für p = 0, . . . , dim X und eine
offene Menge U ⊂ x ist die Menge Ωp (U) der p-Differentialformen ein R-Vektorraum.
Die Abbildungen U 7→ Ωp (U) bilden eine Garbe Ωp . Hier ist Ω0 die Garbe der glatten
Funktionskeime. Diese enthält die konstante Garbe KR als Untergarbe.
Satz 8.1.1. Die Sequenz
d
d
0 → KR → Ω0 −→ Ω1 −→ . . .
ist eine feine Auflösung der konstanten Garbe KR . Also folgt
p
HdRh (X) = Hp (X, R),
wobei wir Hp (X, R) = Hp (X, KR ) schreiben.
Beweis. Der Ana 4 Vorlesung entnehmen wir:
Lemma 8.1.2 (Poincaré Lemma). Sei U ⊂ Rn offen und sternförmig und ω eine in U stetig
differenzierbare geschlossene k-Form, k ≥ 1. Dann ist ω exakt.
Hieraus folgt die Exaktheit der Sequenz. Nach Beispiel 7.12.5 sind die Garben Ωp
fein.
Topologie
8.2
153
Singuläre Kohomologie
Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Für offenes U ⊂ x sei
Cp (U, R) = Hom(Cp (U), R) die Menge aller singulären Koketten mit Werten in R. Für
V ⊂ U sei resU
: Cp (U, R) → Cp (V, R) die offensichtliche Einschränkung. damit bilden
V
die Cp (U, R) eine Prägarbe. Der Korandoperator d : Cp (U, R) → Cp+1 (U, R) kommutiert
mit den Restriktionen, definiert also einen Prägarbenhomomorphismus Cp → Cp+1 . Sei
Cp die Garbifizierung von Cp . Dann ist C0 die Garbe aller Funktionen mit Werten in R.
Sie enthält die konstante Garbe KR als Untergarbe.
Satz 8.2.1. Sei X parakompakt und lokal zusammenziehbar. Die Sequenz
d
d
0 → KR → C0 −→ C1 −→ . . .
ist eine feine Auflösung der konstanten Garbe KR . Also folgt
p
Hsing (X, R) = Hp (X, R).
Beweis. Für die Exaktheit bei C0 reicht es zu zeigen, dass Für jedes x ∈ X eine offene
Umgebung U existiert, so dass die Sequenz KR (U) → C0 (U, R) → C1 (U, R) exakt ist.
Dazu wähle U wegzusammenhängend und sei α ∈ Ker(d), also α : U → R mit
α(γ(0)) = α(γ(1) Für jeden Weg γ in U. Da U wegzusammenhängend ist, ist α
konstant, also in KR (U). Die Exaktheit an den anderen Stellen folgt aus der lokalen
Zusammenziehbarkeit, da zusammenziehbare Mengen triviale singuläre
Kohomologie haben.
Bleibt zu zeigen, dass die Garben Cp fein sind. Dafür sei (Ui ) eine lokal-endliche
n o
P
Überdeckung. wähle Funktionen ui : X → 0, 1 mit supp ui ⊂ Ui und i ui = 1.
Definiere einen Endomorphismus φi von Cp (U, R) durch
φi ( f )(σ) = ui (σ(t0 )) f (σ),
wobei σ : ∆p → U stetig und t0 ∈ ∆p ein fest gewählter Punkt ist. Diese
Endomorphismen vertauschen mit Restriktionen und definieren also
P
Garbenendomorphismen von Cp mit supp φi ⊂ Ui und i φi = Id.
Topologie
8.3
154
Cech-Kohomologie
In diesem Abschnitt sei X ein parakompakter Hausdorffraum.
Lemma 8.3.1. Sei X ein parakompakter Hausdorffraum.
(a) Sei U ⊂ X offen, Z ⊂ X abgeschlossen mit Z ⊂ U. Dann existiert eine offene Menge V mit
Z ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
(b) Für jede lokal-endliche Überdeckung (Ui )i∈I existiert eine Verfeinerung (Vi )i∈I , so dass Für
jedes i ∈ I gilt V i ⊂ Ui .
Beweis. (a) Sei A die abgeschlossene Menge A = X r U. Wir betrachten zunaechst den
n o
Fall Z = z . Für jedes a ∈ A existiert dann nach dem Hausdorff-Axiom eine offene
n o
Umgebung Wa mit z < W a . Dann ist (Wa )a∈A ∪ U eine offene Überdeckung von X.
n o
Wegen der Parakompaktheit gibt es eine lokal-endliche Verfeinerung (W j ) j∈J ∪ U ,
wobei wir voraussetzen können, dass es zu jedem j ∈ J ein a ∈ A gibt mit W j ⊂ Wa . Sei
Ṽ eine offene Umgebung von z, die nur endlich viele W j trifft. Seien W1 , . . . , Wn diese,
dann ist
V = Ṽ − (W 1 ∪ · · · ∪ W n )
eine offene Umgebung von z, die die Behauptung erfuellt.
Sei nun Z beliebig. Nach dem ersten Teil des Beweises gibt es zu jedem z ∈ Z eine
offene Umgebung Vz mit
z ∈ Vz ⊂ V z ⊂ U.
n
o
Daher ist (Vz )z∈Z ∪ X r Z eine offene Überdeckung von X. Es gibt dann eine
n
o
lokal-endliche Verfeinerung (Vi )i∈I ∪ X r Z , wobei zu jedem i ∈ I ein z ∈ Z existiert
mit Vi ⊂ Vz . Aus der lokal-Endlichkeit folgt
[
Vi =
i∈I
Sei V =
S
i∈I ,
[
Vi .
i∈I
so ist V offen und es gilt
Z⊂V⊂V=
[
i
V i ⊂ U.
Topologie
155
Für (b) sei nun (Ui )i∈I eine lokal-endliche Überdeckung. Sei S die Menge aller Familien
offener Mengen (Vi )i∈J , wobei J ⊂ I und V i ⊂ Ui , so dass (Vi )i∈J ∪ (Ui )i∈IrJ eine
Überdeckung von X ist. Auf S installiere die partielle Ordnung
(Vi )i∈J ≤ (Ṽi )i∈ J̃ ⇔
J ⊂ J̃, Vi = Ṽi ∀i ∈ J.
Nach Zorns Lemma existiert ein maximales Element (Vi )i∈J . Wir behaupten J = I.
Angenommen, dies ist nicht der Fall. Sei dann i0 ∈ I r J. Sei




[ 
[


Ui 
Z = X r  Vi ∪



 i∈J
i,i0
i∈IrJ
Dann ist Z abgeschlossen und da die Vi und Ui eine Überdeckung bilden, ist Z ⊂ Ui0 .
nach (a) existiert damit eine offene Teilmenge Vi0 ⊂ X mit Z ⊂ Vi0 ⊂ V i0 ⊂ Ui . Damit
kann J um i0 vergrößert werden, die Familie war also nicht maximal und die
Behauptung folgt.
Definition 8.3.2. Sei X ein parakompakter Hausdorffraum. Sei U = (Ui )i∈I eine offene
Überdeckung von X. Ein Tupel (U0 , . . . , Uq ) von Mengen der Überdeckung heißt ein
Cech-q-Simplex oder in diesem Abschnitt einfach q-Simplex. Ist σ = (U0 , . . . , Uq ) ein
q-Simplex, so ist |σ| = U0 ∩ · · · ∩ Uq sein Träger. Die i-te Seite eines q-Simplex σ ist der
q − 1-Simplex
bi . . . , Uq ).
σi = (U0 , . . . U
Sei F eine Garbe ueber X und sei Cq (U, F ) die Menge aller Abbildungen f , die jedem
q-Simplex σ ein Element von F (|σ|) zuordnen. Beachte hierbei, dass stets F (∅) = 0 gilt.
Die Elemente von Cq (U, F ) heißen q-Koketten. Definiere
d : Cq (U, F ) → Cq+1 (U, F )
durch
d f (σ) =
q+1
X
i
|
(−1)i res|σ
f (σi ).
|σ|
i=0
Es gilt d2 = 0, also erhält man einen Kokettenkomplex, dessen Kohomologie man mit
p
Ȟ (U, F ) bezeichnet. Ist φ : F → G ein Garbenhomomorphismus, so erhält man
einen Morphismus von Kokettenkomplexen C• (U, F ) → C• (U, G) und also einen
q
q
q
Morphismus Ȟ (U, F ) → Ȟ (U, G). Damit ist Ȟ (U, ·) ein Funktor von der Kategorie
Topologie
156
der Garben auf X zur Kategorie der abelschen Gruppen.
Ein Element f von C0 (U, F ) ordnet jedem Ui einen Schnitt si ∈ F (Ui ) zu. Ist d f = 0, so
folgt
0 = d f (Ui , U j ) = f (U j )|Ui ∩U j − f (Ui )|Ui ∩U j ,
also gilt dann si |Ui ∩U j = s j |Ui ∩U j , woraus nach der globalen Existenz folgt, dass
f (Ui ) = s|Ui gilt Für einen globalen Schnitt s ∈ F (X). nach der lokalen Eindeutigkeit ist
s hierdurch eindeutig bestimmt, also
0
Ȟ (U, F ) H0 (F , X).
Sei nun V eine Verfeinerung der Überdeckung U. Dann gibt es eine Abbildung
µ : V → U so dass V ⊂ µ(V) gilt Für jedes V ∈ V. Für einen q-Simplex σ = (V0 , . . . , Vq )
der Überdeckung V ist µ(σ) = (µ(V0 ), . . . , µ(Vq )) ein q-Simplex der Überdeckung U.
Diese µ induziert eine Kettenabbildung µq : C• (U, F ) → C• (V, F ) definiert durch
|µ(σ)|
µq ( f )(σ) = res|σ|
f (µ(σ)).
Diese Kokettenabbildung liefert einen Homomorphismus
q
q
µ∗q : Ȟ (U, F ) → Ȟ (V, F ).
Lemma 8.3.3. Ist τ : V → U eine weitere Verfeinerungsabbildung, so gilt
τ∗q = µ∗q .
Beweis. Wir konstruieren eine Homotopie. Ist (σ = (V0 , . . . , Vq−1 ) ein (q − 1)-Simplex, so
setze
σ̃ j = (µ(V0 ), . . . , µ(V j ), τ(V j ), . . . , τ(Vq−1 )).
Definiere hq : Cq (U, F ) → Cq−1 (V, F ) durch
q−1
X
|σ̃ |
hq ( f )(σ) =
(−1) j res|σ|j f (σ̃ j ).
j=0
Mit derselben Rechnung wie im Beweis von Satz 4.3.8 (Homotopie-Invarianz der
Homologie) rechnet man nach
hq+1 d + dhq = τq − µq ,
Topologie
157
damit folgt die Behauptung nach Lemma 4.3.4.
Für zwei offene Überdeckungen U und V schreiben wir U < V wenn V eine
Verfeinerung von U ist. Die Menge aller offenen Überdeckungen ist eine gerichtete
Menge mit der Relation <. Ist U < V, so haben wir gerade gezeigt, dass es einen
q
q
kanonischen Homomorphismus Ȟ (U, F ) → Ȟ (V, F ) gibt. Damit bilden die
q
R-Moduln (Ȟ (U, F ))U ein gerichtetes System. Wir definieren
q
q
Ȟ (X, F ) = lim Ȟ (U, F ).
−−→
U
q
Satz 8.3.4. (Ȟ )q ist ein universeller δ-Funktor auf der Kategorie ModR (X). Es folgt
q
Ȟ (X, F ) Hq (X, F ).
Sei 0 → F → G → H → 0 eine exakte Sequenz von Garben und sei U eine offene
Überdeckung von X. Dann ist die Sequenz
0 → Cq (U, F ) → Cq (U, G) → Cq (U, H)
q
exakt. Sei C (U, H) das Bild von Cq (U, G) in Cq (U, H), dann ist also die Sequenz
q
0 → Cq (U, F ) → Cq (U, G) → C (U, H) → 0
exakt. So erhält man eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen
•
0 → C• (U, F ) → C• (U, G) → C (U, H) → 0.
Sei V eine Verfeinerung von U. Eine gegebene Verfeinerungsabbildung µ : V → U
liefert ein kommutatives Diagramm
0
/
C• (U, F )
/
C• (U, G)
µ
0
/
C• (V, F )
/
•
/
µ
C• (V, G)
/0
C (U, H)
•
/C
µ
(V, H)
/
0.
Topologie
158
Dies liefert ein kommutatives Diagramm von Kohomologiegruppen
...
...
/
/
H
q−1
H
(U, H)s
q−1
(V, H)
δ
δ
q
/
Ȟ (U, F )
/
q
Ȟ (V, F )
q
/
/
Ȟ (U, G)
q
Ȟ (V, G)
/H
q
/
q
/
(U, H)
H (V, H)
/
...
...
Der übergang zum direkten Limes gibt eine lange exakte Sequenz
··· → H
q−1
δ
q
q
q
(X, H) −→ Ȟ (X, F ) → Ȟ (X, G) → H (X, H) → . . .
q
q
Lemma 8.3.5. Es gilt H (X, H) Ȟ (X, H).
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass es zu jeder gegebenen lokal-endlichen Überdeckung
U und zu jedem gegebenen f ∈ Cq (U, H) eine Verfeinerung O eine
q
Verfeinerungsabbildung µ : O → U gibt, so dass µ( f ) ∈ C (O, H). Seien also eine
offene Überdeckung U = (Ui )i∈I und ein f ∈ Cq (U, H) gegeben. Nach Lemma 8.3.1
existiert eine offene Überdeckung V = (Vi )i∈I mit V i ⊂ Ui Für jedes i ∈ I. Für jedes
x ∈ X gibt es eine offene Umgebung Ox mit
• Ox ⊂ Vi Für ein i ∈ I,
• ist Ox ∩ Vi , ∅, dann ist Ox ⊂ Ui .
• Ox liegt in dem Schnitt aller Ui , die x enthalten,
• Ist σ ein q-Simplex der Überdeckung U und ist x ∈ |σ|, (also Ox ⊂ |σ|), dann ist
res|σ|
f (σ) das Bild eines Schnittes von G ueber Ox .
Ox
Die letzte Bedingung ist erfuellbar, da es nur endlich viele q-Simplizes zur
Überdeckung U gibt, die x enthalten. Die Überdeckung (Ox )x∈X ist unser Kandidat.
Für jedes x ∈ X wähle ein Vx ∈ V und Ux ∈ U mit Ox ⊂ Vx ⊂ V x ⊂ Ux . Wir erhalten
also eine Verfeinerungsabbildung µ : O → U. Sei nun σ = (Ox0 , . . . , Oxq ) ein q-Simplex
der Überdeckung O. Dann ist Ox0 ∩ Vxi , ∅ Für 0 ≤ i ≤ q, also folgt Ox0 ⊂ Uxi . Damit
Topologie
159
also Ox0 ⊂ Ux0 ∩ . . . Uxq = |µ(σ)|. Daher
|µ(σ)|
µ( f )(σ) = res|σ|
Ox
f (Ux0 , . . . , Uxq )
|µ(σ)|
= res|σ| 0 resOx f (Ux0 , . . . , Uxq ) .
0
|
{z
}
∈G(Ox0 )
|
{z
}
∈G(|σ|)
q
Daher also µ( f ) ∈ C (O, H).
Damit ist die obige lange exakte Sequenz die in der Definition eines δ-Funktors
verlangte. Die Funktorialität des δ-Morphismus ist auf Niveau der Cq (U, F ) klar und
folgt dann auch Für den direkten Limes.
q
Es folgt, dass Ȟ ein δ-Funktor ist. Für die Universalität zeigen wir, dass Ȟ
auslöschbar ist Für q ≥ 1. Nach Satz 7.12.6 reicht hierFür das folgende Lemma.
q
Lemma 8.3.6. Ist F fein, so gilt Ȟ (X, F ) = 0 Für jedes q ≥ 1.
q
Beweis. Sei q ≥ 1. Es reicht zu zeigen Ȟ (U, F ) = 0 Für jede lokal-endliche
Überdeckung U = (Ui )i∈I . Sei (φi ) eine assoziierte Familie von Endomorphismen von
P
F mit supp φi ⊂ Ui und i φi = 1. Wir zeigen, dass die Identität auf C• (U, F )
nullhomotop ist. Hierzu konstruieren wir Abbildungen hp : Cq (U, F ) → Cp−1 (U, F )
Für jedes p ≥ 1. Sei f ∈ Cp (U, F ) und sei σ = (U0 , . . . , Up−1 ) ein (p − 1)-Simplex der
Überdeckung U. Dann hat φi ◦ f (Ui , U0 , . . . , Up−1 ) Träger in Ui ∩ U0 ∩ · · · ∩ Up−1 . Indem
wir es durch Null ausdehnen, können wir also φi ◦ f (Ui , U0 , . . . , Up−1 ) zu einem Schnitt
ueber U0 ∩ . . . , ∩Up−1 fortsetzen. Definiere
hp ( f )(σ) =
X
φi ◦ ( f (Ui , U0 , . . . , Up−1 )).
i
Dann folgt
d ◦ hp + hp+1 ◦ d = Id
Für p ≥ 1. Das Lemma folgt. Damit folgt auch der Satz.
Definition 8.3.7. Eine Überdeckung U von X heißt Leray-Überdeckung Für die Garbe
F , falls Für jeden q-simplex σ = (U0 , . . . , Uq ) die Garbe F ||σ| azyklisch ist, wobei
|σ| = U0 ∩ · · · ∩ Uq .
Topologie
160
Beispiel 8.3.8. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit. Nach dem Poincaré Lemma ist die
konstante Garbe R azyklisch auf jeder offenen Teilmenge U ⊂ X, die diffeomorph ist
zu Rn . daher besitzt X lokal-endliche Leray-Überdeckungen. Ist X kompakt, besitzt es
sogar eine endliche Leray-Überdeckung.
Satz 8.3.9. Ist U eine Leray-Überdeckung Für die Garbe F , dann ist die natuerliche
Abbildung
p
p
Ȟ (U, F ) → Ȟ (X, F )
ein Isomorphismus.
Beweis. Bette F in eine injektive Garbe J ein und sei G der Kokern, also haben wir
eine exakte Sequenz
0 → F → J → G → 0.
Da U eine Leray-Überdeckung ist, ist Für jeden q-Simplex σ die Sequenz
0 → F (|σ|) → J(|σ|) → G(|σ|) → 0
exakt. Wir erhalten eine exakte Sequenz von Cech Komplexen
0 → C• (U, F ) → C• (U, J) → C• (U, G) → 0.
Hieraus ergibt sich eine lange exakte Kohomologiesequenz. Zusammen mit dem
Homomorphismus in die Cech-Kohomologie erhalten wir folgende kommtativen
Diagramme mit exakten Zeilen:
0
0
0
/
/
0
0
/
Ȟ (U, F )
Ȟ (U, J)
/
Ȟ (X, F )
0
/
Ȟ (U, G)
0
Ȟ (X, J)
/
/ Ȟ1 (U, F )
0
Ȟ (X, G)
/
0
p
/
/
Ȟ (U, G)
p
Ȟ (X, G)
/
/
Ȟ
p+1
Ȟ (X, F )
Ȟ
/
(U, F )
p+1
0
(X, F )
/
0
/
0
1
und Für p ≥ 1:
0
/
0.
Topologie
161
Im ersten Diagramm sind die ersten drei senkrechten Pfeile Isomorphismen, also auch
der dritte. Im zweiten Diagramm können wir uns hochschaukeln, wenn wir wissen,
dass U auch Für die Garbe G eine Leray-Überdeckung ist. Nun ist U sowohl Für F
als auch Für J (injektiv) eine Leray-Überdeckung, dann folgt mit der langen exakten
Kohomologiesequenz, dass es auch Für G eine Leray-Überdeckung ist.
Anwendungsbeispiel Für Cech-Kohomologie
Cousin-Problem: Sei X ⊂ Cn offen und sei (Ui ) eine offene Überdeckung. Eine
Funktion f : X → C heißt holomorph, falls für jedes z ∈ X und jedes 1 ≤ j ≤ n die
Abbildung w 7→ f (z1 , . . . , z j−1 , w, z j+1 , . . . zn ) holomorph ist in eine Umgebung von z j .
n o
Eine meromorphe Funktion auf X ist eine Abbildung f : X → C ∪ ∞ , so dass für jedes
z ∈ X eine offene Umgebung U und holomorphe Funktionen h1 , h2 auf U existieren mit
h2 , 0 und
h1
f |U = .
h2
Sei Hol(X) die Menge der holomorphen Funktionen auf X und Mer(X) die Menge der
meromorphen Funktionen.
Sei eine offene Überdeckung (Ui ) von X gegeben. Ferner seien meromorphe
Funktionen fi ∈ Mer(Ui ) gegeben mit fi − f j ∈ Hol(Ui ∩ U j ).
Frage: Gibt es f ∈ Mer(X) so dass f − fi ∈ Hol(Ui ) für jedes i?
Es bezeichne Hol die Garbe der holomorphen Funktionskeime, sowie Mer die der
meromorphen. Sei C die Quotientengarbe Mer/Hol, dann hat man eine exakte
Sequenz
0 → Hol → Mer → C → 0.
Eine Familie ( fi ) wie oben ist ein Element von C0 (U, Mer) mit d( f ) ∈ C1 (U, Hol),
0
definiert also ein Element von Ȟ (U, C). Die obige Frage ist also äquivalent zur Frage,
ob die Abbildung
0
0
Ȟ (U, Mer) → Ȟ (U, C)
1
surjektiv ist. Dies ist richtig, falls Ȟ (U, Hol) = 0.
Index
R-Algebra, 100
δ-Funktor, 141
n-Ränder, 45
n-Zykel, 45
n-Simplex, 35
n-dimensionale Skelett, 31
Äquivalenz von Kategorien, 123
Überdeckung, 10
Überlagerung, 21
Abbildungsgrad, 64
abelsche Kategorie, 83
abgeschlossen, 8
abgeschlossener Punkt, 121
Abschluss, 8
additive Kategorie, 83
additiver Funktor, 85
Aequivalenz von Kategorien, 80
Algebrenhomomorphismus, 100
Auflösung, 134
auslöschbar, 142
azyklisch, 138
azyklische Auflösung, 138
Bildgarbe, 120
Cech-q-Simplex, 155
Co-Faserprodukt, 14
co-kartesisch, 76
Cofaserprodukt, 76
Coprodukt, 74
Cup- Produkt, 98
de Rham Kohomologie, 86
Decktransformation, 28
Deformation, 50
Deformationsretrakt, 50
degenerierten singulären Simplex, 57
dicht, 72
Differentiale, 136
direkte Bild, 125
direkte Limes, 114
direkte Summe, 112
diskontinuierlich, 27
diskrete Topologie, 4
divisibel, 133
dominanten, 72
Dualisierung, 78
Durchmesser, 58
Ecken, 35
einfach zusammenhängend, 21
Einhängung, 33
endliche Schnitteigenschaft, 10
entgegengesetzte Kategorie, 70
Epimorphismus, 72
erweitert um eine n-Zelle, 30
Etalgarbe, 120
Etalgarbenhomomorphismus, 122
Etalraum, 122
exakt, 45, 124
exakte Sequenz, 45
exakter Funktor, 86, 135
externe Cup-Produkt, 104
Faserprodukt, 7, 75
feine Garbe, 146
Finaltopologie, 11
fixpunktfrei, 27
frei, 27
frei homotop, 33
162
Topologie
freie abelsche Gruppe, 128
freie abelsche Gruppe zur Basis S, 39
freie Auflösung, 88
Fundamentalgruppe, 19
Funktionskeime, 114
Funktor, 77
Garbe, 111
Garbenhomomorphismus, 112
Garbenkohomologie, 145
Garbenkokern, 120
Garbifizierung, 119
genügend viele Injektive, 133
genügend viele Projektive, 133
generischer Punkt, 147
geometrische Realisierung, 35
gerichtete Menge, 113
gerichtetes System, 114
geschlossen, 18
globale Schnittfunktor, 131
globaler Schnitt, 110
Grad, 22, 100
graduiert kommutativ, 101
graduierte Algebra, 100
graduierte Produkt, 104
graduierte Tensorprodukt-Algebra, 104
Gruppenring, 127
Halm, 116, 121
Hausdorff-Raum, 9
holomorph, 161
homöomorph, 6
Homöomorphismus, 6
homogen, 100
Homologie, 45
Homomorphismus von überlagerungen,
22
163
Homomorphismus von
Kettenkomplexen, 45
Homomorphismus von Komplexen, 136
homotop, 33, 47, 55, 71
homotop mit festen Enden, 18
homotopie- äquivalent, 34
Homotopie-Äquivalenz, 33
Homotopie-Aequivalenz, 47
Homotopie-Funktor, 77
Homotopie-Kategorie, 71
initiales Objekt, 81
Initialtopologie, 14
injektiv, 73, 133
injektive Aufloesung, 135
inverse Bild, 125
Isomorphismus, 71
Isomorphismus von Kategorien, 78
kartesisch, 75
Kategorie, 70
Kern, 82
ketten-nullhomotop, 46
Kettenkomplex, 45
klassifizierender Raum, 36
Kohomologie, 136
Kohomologiegruppe, 87
Kohomologiering, 99
Kohomologietheorie, 105
Kokern, 82
Kokettenabbildung, 86, 93
kombinatorischer Simplizialkomplex, 35
Kommutatorgruppe, 66
kompakt, 10
Komplex, 136
kontravarianter, 77
Koränder, 87
Topologie
Korandabbildung, 87
Kozykel, 87
Leray-Überdeckung, 159
Lift, 22
linksadjungiert, 125
linksexakt, 135
lokal einfach zusammenhängend, 24
lokal-endliche Überdeckung, 145
lokal-wegzusammenhängend, 24
lokalkompakt, 16
lokalkonstant, 110
lokalkonstante Garbe, 127
meromorphe Funktion, 161
Metrik, 4
metrischer Raum, 4
Monomorphismus, 73
Morphismen, 70
Morphismus kurzer exakter Sequenzen,
140
Morphismus von Prägarben, 111
natürliche Transformation, 105
natürliche Transformation von
Kohomologietheorien, 106
natuerliche Transformation, 79
natuerlicher Isomorphismus, 79
Nullmorphismus, 82
Nullobjekt, 82
Objekte, 70
offene Überdeckung, 10
offene Ball, 4
offene Mengen, 4
offene Umgebung, 9
offenen Rechtecken, 5
Paar-Abbildung, 55
164
parakompakt, 145
Praegarbe, 110
Prisma Operator:, 48
Produkt, 74
Produkttopologie, 5
Projektion, 121
projektives Objekt, 132
punktierte Kategorie, 82
punktierten Räume, 70
Quasiinverse, 123
Quotiententopologie, 12
Randoperator, 39, 42
Raumpaar, 52
rechtsadjungiert, 125
regulär abgeschlossen, 50
relativ kompakt, 16
relativen Homologiegruppen, 53
relativer Rand, 53
relativer Zykel, 53
Restriktionsabbildungen:, 110
Schnitte, 110
Schnittfunktor, 131
Seitenabbildung, 42
separiert, 9
simpliziale Homologie, 40
Simplizialkomplex, 35
singuläre Homologie, 42
singuläre Kohomolohie, 87
singulären Koketten, 87
singulärer n-Simplex, 41
spaltend, 91
spaltet, 91
standard n-Simplex, 41
stetig, 5
stetig operiert, 28
Topologie
surjektiv, 72
Teilüberdeckung, 10
Teilraumtopologie, 5
Tensorprodukt, 103
terminales Objekt, 81
Topologie, 4
topologischer Raum, 4
Träger, 146, 155
transitiv, 28
treu, 78
triviale Topologie, 4
trivialisierende Umgebung, 21
Umgebung, 9
universelle überlagerung, 24
universellen Eigenschaft, 7
universeller δ-Funktor, 141
Untergarbe, 113
Unterkategorie, 71
Vektorfeld, 65
Verbindungshomomorphismen, 92
Verfeinerung, 145
Vergiss-Funktor, 77
Verklebung, 13
voll, 78
volle kombinatorische
Simplizialkomplex, 36
volle Unterkategorie, 72
volltreu, 78
von E erzeugte Topologie, 5
Wegkomponente, 23
Wegzusammenhangskomponente, 23
welk, 145
Zelle, 30
zellulär, 31
165
Zerlegung der Eins, 146
zusammenziehbar, 34