Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik
Werbung
Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik von Mike Georg Bernhardt∗ 5. Oktober 2009 Dies ist eine Zusammenstellung von Fragen, die in Diplom- und Masterprüfungen zur Theoretischen Physik häufig gestellt werden. Behandelt werden die Gebiete Elektrodynamik, Quantenmechanik und Statistische Mechanik. Die Antworten sind möglichst kurz gehalten. Ergänzende Informationen, Rechnungen oder Beweise sind in numerische Fußnoten ausgelagert. Symbolische Fußnoten (∗, †, ‡, . . . ) enthalten Querverweise innerhalb dieses Textes. Quellenangaben und Hinweise auf weiterführende Literatur sind als Randnotizen an der jeweiligen Stelle des Textes angegeben. Ein Literaturverzeichnis befindet sich am Ende dieses Dokumentes. Die aktuelle Version dieses Fragenkataloges kann online unter www.mpe.mpg.de/~bernhardt/pruefungsfragen_theo.pdf abgerufen werden. Anmerkungen, Anregungen, Lob und Kritik sind herzlich willkommen. Viel Spaß beim Lernen und viel Erfolg in den Prüfungen! ∗ E-Mail: [email protected] 2 M. G. Bernhardt Inhaltsverzeichnis 1 Elektrodynamik 6 ED 1 Womit beschäftigt sich die Elektrodynamik? . . . . . . . . . . . . 6 ED 2 Wie lauten die Grundgleichungen der Elektrodynamik? . . . . . . 6 ED 3 Wie kommt man auf den Feldstärketensor? . . . . . . . . . . . . 7 ED 4 Woran sieht man, dass die Elektrodynamik eine vereinheitlichte Feldtheorie ist? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ED 5 Wie ist das elektrische Feld definiert? . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ED 6 Wie ist das magnetische Induktionsfeld definiert? . . . . . . . . . 9 ED 7 Sind Ladungs- und Stromdichte beliebig? . . . . . . . . . . . . . 9 ED 8 Wie kann man die Kontinuitätsgleichung aus den Maxwellgleichungen herleiten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ED 9 Wie lauten die Integralsätze von Gauß und Stokes? . . . . . . . . 9 ED 10 Welche Bedeutung haben die Maxwellgleichungen? . . . . . . . . 10 ED 11 Wie lauten die Maxwellgleichungen in Materie? . . . . . . . . . . 10 ED 12 Was ist eine Eichtransformation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ED 13 Wie lautet die Coulomb-Eichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ED 14 Wie lautet die Lorenz-Eichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ED 15 Welche Rolle spielen die elektromagnetischen Potentiale in ED und QM? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ED 16 ED 17 Wie lautet die allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen? . . . . 13 ~ und B-Felder ~ Wie kann man aus gegebenem % und ~ die Eberechnen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ED 18 Wie lautet die Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung? . . 14 ED 19 Was sind die Liénard-Wiechert-Potentiale? Wie kommt man darauf? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ED 20 Wie lautet das Biot-Savart-Gesetz? Wie kommt man darauf? . . 15 ~ und B ~ bei einem Wechsel des BezugsWie transformieren sich E ED 21 systems? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ED 22 Wie kann man das elektromagnetische Feld einer gleichförmig bewegten Ladung herleiten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ED 23 Was passiert mit einer beschleunigten Ladung? . . . . . . . . . . 18 ED 24 Unter welchen Transformationen sind die Maxwellgleichungen kobzw. invariant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ED 25 Wie lautet die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes? . . 20 ED 26 Welche physikalische Bedeutung hat der Poyntingvektor? . . . . . 20 ED 27 Welcher Kontinuitätsgleichung genügt der Poyntingvektor? . . . . 20 Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 3 ED 28 Wie lautet der Energie- und Impulssatz der Elektrodynamik? . . 21 ED 29 Wie kann man die Maxwellgleichungen aus einer Lagrangedichte herleiten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ED 30 Ist die Lagrangedichte des elektromagnetischen Feldes eichinvariant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ED 31 Wie lautet die Poissongleichung? Welche Lösung hat sie? . . . . . 23 ED 32 Was ist eine Green-Funkton? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ED 33 Was ist eine Multipolentwicklung? . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ED 34 Wie sieht das Feld eines elektrischen Dipols aus? . . . . . . . . . 25 ED 35 ED 36 Wie kommt man zu elektromagnetischen Wellen? . . . . . . . . . 26 ~ B ~ und ~k? . . . . . . 27 Welcher Zusammenhang besteht zwischen E, ED 37 Was bewegt sich bei einer elektromagnetischen Welle? . . . . . . 27 ED 38 Ist die Lichtgeschwindigkeit c in jedem Inertialsystem gleich? . . 28 2 Quantenmechanik 29 QM 1 Was sind die Prinzipien der Quantenmechanik? . . . . . . . . . . 29 QM 2 Was sind Quantenzahlen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 QM 3 Wie kann man neue Quantenzahlen entdecken? . . . . . . . . . . 32 QM 4 Wie wird in der Quantenmechanik die Zeitentwicklung behandelt? 33 QM 5 Welche Eigenschaften besitzt der Zeitentwicklungsoperator? . . . 33 QM 6 Wie lautet der Zeitentwicklungsoperator? . . . . . . . . . . . . . 34 QM 7 Wie lautet die Schrödingergleichung und ihre allgemeine Lösung? QM 8 Wie kann man die Schrödingergleichung aus dem Zeitentwicklungsoperator herleiten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 QM 9 Welcher Zusammenhang besteht zwischen Zustandsvektor und Wellenfunktion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 34 QM 10 Wie erhält man die stationäre Schrödingergleichung? . . . . . . . 36 QM 11 Wie kann man die zeitliche Änderung von Erwartungswerten beschreiben? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 QM 12 Wie lautet die Heisenberggleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . 37 QM 13 Wie kann man die Heisenberg’sche Unschärferelation herleiten? . 37 QM 14 Wie kommt man zur Energie-Zeit-Unschärferelation? . . . . . . . 39 QM 15 Was ist das Ehrenfest’sche Theorem? . . . . . . . . . . . . . . . . 39 QM 16 Wie ist ein quantenmechanischer Drehimpuls definiert? . . . . . . 40 QM 17 Wie kommt man auf die Eigenwerte von Jb2 und Jbz ? . . . . . . . 41 QM 18 Warum sind die Bahndrehimpuls-Quantenzahlen ` und m ganzzahlig? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 b x und L b y gleichzeitig scharf messen? . . . . . . . . . 43 QM 19 Kann man L 4 M. G. Bernhardt b und H b kommuQM 20 Welche physikalische Bedeutung hat es, wenn L tieren? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 QM 21 Was ist Spin? Wie kommt man darauf? . . . . . . . . . . . . . . 44 QM 22 Wie kann man Spin- 12 -Teilchen beschreiben? . . . . . . . . . . . . 44 QM 23 Wie behandelt man Stern-Gerlach-Filter? . . . . . . . . . . . . . 46 QM 24 Welche Energieniveaus kann ein Teilchen im Kastenpotential einnehmen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 QM 25 Wie behandelt man den harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 QM 26 Wie behandelt man den anharmonischen Oszillator bei kleiner Störung (∝ x4 )? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 QM 27 Welche Quantenzahlen gibt es beim Wasserstoffatom? . . . . . . 54 QM 28 Warum stürzt das Elektron im Wasserstoffatom nicht in den Kern? 54 QM 29 Wie behandelt man das Wasserstoffatom quantenmechanisch? . . 55 QM 30 Was ist das Eichprinzip? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 QM 31 Wie führt man elektromagnetische Felder in der Quantenmechanik ein? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 QM 32 Ist die Schrödingergleichung eines geladenen Teilchens eichinvariant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 QM 33 Was ist der Aharonov-Bohm-Effekt? . . . . . . . . . . . . . . . . 63 QM 34 Wie kommt man zum Pauli-Prinzip? . . . . . . . . . . . . . . . . 63 QM 35 Wodurch unterscheiden sich Bosonen und Fermionen? . . . . . . 64 QM 36 Wie kann man Bosonen und Fermionen im Streuexperiment unterscheiden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 QM 37 Wie kann man feststellen, ob zwei geladene Teilchen identisch sind, oder ob es eine Quantenzahl gibt, die sie unterscheidet? . . 65 QM 38 Was ist eine Lie-Algebra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Statistische Mechanik 67 SM 1 Was sind reine und gemischte Quantenzustände? . . . . . . . . . 67 SM 2 Wie kann man reine und gemischte Quantenzustände beschreiben? 67 SM 3 Wie sieht die Zeitentwicklung des statistischen Operators aus? . . 68 SM 4 Was ist Entropie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 SM 5 Wie hängt die Entropie mit dem statistischen Operator zusammen? 69 SM 6 Wie lautet die Zeitentwicklung der Entropie? . . . . . . . . . . . 69 SM 7 Kann man die Entropie messen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 SM 8 Ist die Entropie eine extensive Größe? . . . . . . . . . . . . . . . 69 SM 9 Welche statistischen Ensembles gibt es? . . . . . . . . . . . . . . 69 SM 10 Was ist Temperatur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 5 SM 11 Was sind extensive und intensive Größen? . . . . . . . . . . . . . SM 12 Wie kann man Mikrozustände quantenmechanisch beschreiben? . SM 13 Wodurch unterscheiden sich Bosonen und Fermionen in der Statistik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SM 14 Wie kann man die Gesamtenergie eines Photonengases berechnen? SM 15 Wie lautet der Druck des Photonengases? . . . . . . . . . . . . . SM 16 Wie lautet die Zustandsgleichung des idealen Gases? . . . . . . . SM 17 Was ist eine adiabatische Zustandsänderung? . . . . . . . . . . . 70 71 71 71 72 73 73 Literaturverzeichnis 74 6 M. G. Bernhardt 1 Elektrodynamik ED 1 Womit beschäftigt sich die Elektrodynamik? Die Elektrodynamik ist eine klassische, relativistische Feldtheorie, die sich mit den elektrischen und magnetischen Phänomenen beschäftigt. Aus den Maxwellgleichungen, die zusammen mit der Lorentzkraft die Grundgleichungen der Elektrodynamik bilden, lassen sich alle klassischen elektromagnetischen Effekte herleiten. Die Erweiterung der Elektrodynamik zu einer Quantenfeldtheorie ist in der Quantenelektrodynamik (QED) realisiert. Das Wort Elektrodynamik setzt sich aus den griechischen Wörtern für Bernstein, ¢lektron, und Kraft, dÔnamic, zusammen. ED 2 Wie lauten die Grundgleichungen der Elektrodynamik? Die Maxwellgleichungen bilden zusammen mit der Lorentzkraft die Grundgleichungen der Elektrodynamik. Die Lorentzkraft lautet1 ~ + ~v × B ~ . F~L = q E c (1.1) Für die Maxwellgleichungen gibt es verschiedene, zueinander äquivalente, Darstellungen. Im Folgenden wird die differentielle und die kovariante Formulierung genannt. Eine weitere Darstellung ist die Integralform.2,∗,† Die differentiellen Maxwellgleichungen lauten ~ = 0, div B ~ + 1 ∂t B ~ = 0, rot E c ~ = 4π% , div E ~ − ∂t E ~ = rot B 1 c 4π c (1.2) (1.3) (1.4) ~ , (1.5) ~ dem magnetischen Induktionsfeld B, ~ der elektrimit dem elektrischen Feld E, schen Ladungsdichte % , der elektrischen Stromdichte ~ und der Vakuumlichtgeschwindigkeit c. Die Gleichungen (1.2) und (1.3) bezeichnet man als homogene Maxwellgleichungen, weil sie keine Ladungen und Ströme enthalten; (1.4) und (1.5) nennt man entsprechend inhomogene Maxwellgleichungen. 1 Hier wird das Einheitensystem nach Gauß verwendet, in dem E und B die gleiche physikalische Einheit haben. 2 Die Integralform der Maxwellgleichungen kann man mit Hilfe der Sätze von Gauß und Stokes aus den differentiellen Maxwellgleichungen gewinnen. ∗ Siehe ED 9 auf Seite 9. † Siehe ED 10 auf Seite 10. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 7 Die kovarianten Maxwellgleichungen lauten ∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 , ∂α F αβ = 4π c (1.6) jβ , (1.7) mit den Vierervektoren ∂α = ∂/∂xα = 1c ∂t , ∇ , ∂ α = ∂/∂xα = 1c ∂t , −∇ , j β = c% , ~ und dem elektromagnetischen Feldstärketensor 0 −Ex −Ey −Ez 0 −Bz By E (1.8) F αβ = x . 0 −Bx Ey Bz Ez −By Bx 0 [Die homogene Maxwellgleichung (1.6) kann durch die Matrix 0 −Bx −By −Bz 0 Ez −Ey Bx αβ 1 αβµν G = 2ε Fµν = 0 Ex By −Ez Bz Ey −Ex 0 (1.9) auch in der kompakteren Form ∂α Gαβ = 0 ausgedrückt werden. Dies ist aber keine kovariante Darstellung der homogenen Maxwellgleichung, da Gαβ kein Tensor, sondern ein Pseudotensor ist.] ED 3 Wie kommt man auf den Feldstärketensor? ~ = 0 kann ~ = 0 und rot E ~ + 1 ∂t B Aus den homogenen Maxwellgleichungen div B c ~ man folgern, dass sich das elektromagnetische Feld durch die Potentiale A ~ und Skalarfeld φ gilt die und φ ausdrücken lässt, denn für jedes Vektorfeld A ~ Beziehung div (rot A) = 0 bzw. rot (grad φ) = 0, und die homogenen Maxwellgleichungen sind automatisch erfüllt, wenn man den Zusammenhang zwischen elektromagnetischen Feldern und Potentialen als ~ = −grad φ − 1 ∂t A ~, E c ~ = rot A ~ B (1.10) ansetzt. Wenn man die Komponenten ausschreibt, ergibt sich Ex = −∂x φ − 1c ∂t Ax , Ey = −∂y φ − 1c ∂t Ay , 1 c Ez = −∂z φ − ∂t Az , Mit den Vierervektoren ∂ α = 1 c Ey = ∂ 2 A0 − ∂ 0 A2 , 0 0 By = ∂z Ax − ∂x Az , (1.11) Bz = ∂x Ay − ∂y Ax . ~ wird dies zu ∂t , −∇ und Aα = φ , A Ex = ∂ 1 A0 − ∂ 0 A1 , 3 Bx = ∂y Az − ∂z Ay , 3 Ez = ∂ A − ∂ A , B x = ∂ 3 A2 − ∂ 2 A3 , B y = ∂ 1 A3 − ∂ 3 A1 , 2 1 1 2 Bz = ∂ A − ∂ A . (1.12) 8 M. G. Bernhardt Daraus kann man einen antisymmetrischen Tensor 2. Stufe konstruieren, den so genannten Feldstärketensor 0 −Ex −Ey −Ez 0 −Bz By E = ∂ α Aβ − ∂ β Aα = x . 0 −Bx Ey Bz Ez −By Bx 0 F αβ (1.13) Die kovarianten Komponenten des Feldstärketensors ergeben sich mit der Minkowski-Metrik zu Fµν = ηαµ ηβν F αβ : Fµν 0 −Ex −Ey −Ez 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Ex 0 −Bz By 0 −1 0 0 0 −1 0 = 0 −Bx 0 0 −1 0 0 0 −1 0 Ey Bz Ez −By Bx 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 Ex Ey Ez 0 −Bz By −Ex y Fµν = (1.14) . 0 −Bx −Ey Bz −Ez −By Bx 0 ED 4 Woran sieht man, dass die Elektrodynamik eine vereinheitlichte Feldtheorie ist? An der kovarianten Formulierung der Maxwellgleichungen: Darin wird das elek~ und das magnetische Induktionsfeld B ~ zu einer einzigen physitrische Feld E kalischen Größe zusammengeführt – dem elektromagnetischen Feldstärketensor F αβ . In dieser Tensorgröße manifestiert sich die Vereinigung von Elektrizität und Magnetismus zum elektromagnetischen Feld. ED 5 Wie ist das elektrische Feld definiert? Das elektrische Feld ist über die Kraft definiert, die es auf eine Testladung ausübt: ~ ~ = lim F . E q→0 q (1.15) Mit dem Grenzübergang q → 0 ist gemeint, dass der Einfluss der Testladung ~ auf das E-Feld vernachlässigbar sein soll. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik ED 6 9 Wie ist das magnetische Induktionsfeld definiert? Als Definition des magnetischen Induktionsfeldes kann man das Biot-Savart~ eiGesetz∗ der Magnetostatik heranziehen: Das magnetische Induktionsfeld B ner beliebigen stationären Stromdichte ~ (~r ) lautet ~ r) = 1 B(~ c ED 7 Z d3 r0 ~ (~r 0 ) × ~r − ~r 0 . |~r − ~r 0 |3 (1.16) Sind Ladungs- und Stromdichte beliebig? Nein, sie erfüllen die Kontinuitätsgleichung ∂α j α = 0 ED 8 ∂t % + div ~ = 0 . (1.17) Wie kann man die Kontinuitätsgleichung aus den Maxwellgleichungen herleiten? Die Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus der Ableitung ∂β der inhomogenen β Maxwellgleichung ∂α F αβ = 4π c j , und Summation über β: ∂β ∂α F αβ = 4π c ∂β j β = 4π c ∂t % + div ~ . (1.18) Auf der linken Seite kann man die Vertauschbarkeit der Ableitungen ∂α ∂β = ∂β ∂α und die Antisymmetrie des Feldstärketensors F αβ = −F βα ausnutzen: ∂β ∂α F αβ = −∂α ∂β F βα = −∂β ∂α F αβ , (1.19) wobei im letzten Schritt die Indizes α ↔ β umbenannt wurden. Daraus folgt ∂β ∂α F αβ = 0. Aus (1.18) ergibt sich dann die Kontinuitätsgleichung ∂t % + div ~ = 0 . ED 9 Wie lauten die Integralsätze von Gauß und Stokes? Z Gauß: ~ = d r div E 3 V Z Stokes: ~ = df~ rot B F ∗ (1.20) Siehe ED 20 auf Seite 15. I IF C ~, df~ E ~, d~r B mit F = Oberfläche von V. (1.21) mit C = Rand von F. (1.22) 10 M. G. Bernhardt ED 10 Welche Bedeutung haben die Maxwellgleichungen? Die Maxwellgleichungen enthalten die folgenden physikalischen Gesetze: • Abwesenheit Magnetischer Monopole. I Gauß ~ ~ = 0. div B = 0 −−−→ df~ B (1.23) Der Magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist Null; Magnetfeldlinien sind geschlossene Kurven. • Faraday’sches Induktionsgesetz. ~ + 1 ∂t B ~ =0 rot E c Stokes U = − 1c ∂t ΦB . (1.24) R ~ durch die Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses ΦB = df~ B H ~, ~ oder F~ ) induziert eine Spannung U = d~r E Fläche F~ (Änderung von B also einen elektrischen Strom, der seiner Ursache entgegenwirkt (Lenz’sche Regel). −−−−→ • Gauß’sches Gesetz. ~ = 4π% div E Gauß −−−→ I ~ = 4πQ . df~ E (1.25) Der gesamte elektrische Fluss durch die Oberfläche eines Volumens V ist R proportional zu der in V enthaltenen Ladung Q = dV% . • Ampère’sches Gesetz und Maxwell’scher Verschiebungsstrom. I Z 1 Stokes 4π 1 ~ ~ ~ + 4π I . (1.26) ~ d~r B = df~ ∂t E rot B − c ∂t E = c ~ −−−−→ c c ~ Bei zeitlich konstantem E-Feld gilt I ~ = 4π I . (1.27) d~r B c R Ein konstanter elektrischer Strom I = df~ ~ induziert ein magnetisches Feld, dessen (geschlossene) Feldlinien um den Strom zirkulieren. ~ ist der so genannte Maxwell’sche VerschiebungsDer Term − 1c ∂t E strom; ohne ihn stünden die Maxwellgleichungen im Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung.∗,† ED 11 Wie lauten die Maxwellgleichungen in Materie? In Materie bleibt die homogene Maxwellgleichung unverändert, ∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 , ∗ Siehe ED 7 auf Seite 9. † Siehe ED 8 auf Seite 9. (1.28) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 11 und die inhomogene Gleichung wird zu ∂α Feαβ = 4π c jβ , (1.29) ~ →D ~ und wobei Feαβ aus dem Feldstärketensor F αβ durch die Substitutionen E ~ ~ B → H hervorgeht, 0 −Dx −Dy −Dz 0 −Hz Hy D (1.30) Feαβ = x . 0 −Hx Dy Hz Dz −Hy Hx 0 ~ nennt man das elektrische Verschiebungsfeld und H ~ das Magnetfeld. Durch D ~ ~ die Größen D und H kommt der Einfluss der elektromagnetischen Felder auf Materie zum Ausdruck, nämlich Polarisation und Magnetisierung. Man definiert ~ =E ~ + 4π P~ , D ~ =B ~ − 4π M ~ , H (1.31) ~ die magnetische wobei P~ die elektrische Dipoldichte (= Polarisation) und M Dipoldichte (= Magnetisierung) ist. ~ und E ~ bzw. H ~ und B ~ hängt von den elektriDer Zusammenhang zwischen D schen und magnetischen Eigenschaften des betrachteten Mediums ab. Bei nicht zu hohen Feldstärken gilt für viele Materialien ein linearer Zusammenhang: ~, P~ = χe E ~ = χm H ~, M (1.32) mit der elektrischen bzw. magnetischen Suszeptibilität χe bzw. χm des betrachteten Mediums, und damit ~ = εE ~, D ~ = µH ~, B ε = 1 + 4πχe , µ = 1 + 4πχm . (1.33) Bei den Größen χe , χm , ε und µ handelt es sich im Allgemeinen um Tensoren 2. Stufe – sie können demnach durch 3 × 3-Matrizen dargestellt werden. Bei isotropen Medien vereinfachen sie sich zu Skalaren. Sie sind konstant, wenn man homogene Medien betrachtet, und ortsabhängig bei inhomogenen Medien. Medium homogen inhomogen isotrop anisotrop χe , χm bzw. ε, µ konstant ortsabhängig Skalare Tensoren 2. Stufe (3 × 3-Matrizen) 12 M. G. Bernhardt ED 12 Was ist eine Eichtransformation? ~ = 0 ~ = 0 und rot E ~ + 1 ∂t B Aus den homogenen Maxwellgleichungen div B c kann man folgern, dass sich das elektromagnetische Feld durch Potentiale aus~ r, t) und jedes Skalarfeld φ(~r, t) die Beziedrücken lässt, da jedes Vektorfeld A(~ hung ~ =0 div rot A bzw. rot (grad φ) = 0 (1.34) erfüllt. Zwischen den elektromagnetischen Feldern und den Potentialen besteht der Zusammenhang ~ = rot A ~, B (1.35) ~. ~ = −grad φ − 1 ∂t A E c Die elektromagnetischen Potentiale sind jedoch nicht eindeutig festgelegt, denn ~ und B ~ ändern sich nicht, wenn man die Transformation E ~ → A ~ + grad χ , A (1.36) φ → φ − 1c ∂t χ durchführt, wobei χ(~r, t) ein beliebiges Skalarfeld ist. Eine solche Änderung der Potentiale, die die elektromagnetischen Felder – und damit auch die Maxwellgleichungen – unverändert lässt, nennt man Eichtransformation. ED 13 Wie lautet die Coulomb-Eichung? ~=0 ∇A ED 14 Wie lautet die Lorenz-Eichung? ∂ α Aα = ED 15 (1.37) 1 c ~=0 ∂t φ + ∇A (1.38) Welche Rolle spielen die elektromagnetischen Potentiale in ED und QM? In der Elektrodynamik haben die elektromagnetischen Potentiale vor allem praktischen Nutzen: Mit ihrer Hilfe lassen sich die inhomogenen Maxwellgleichungen entkoppeln und allgemein lösen. Aufgrund ihrer Eichfreiheit werden sie aber häufig nur als mathematische Hilfsgrößen betrachtet, während die elektromagnetischen Felder als die fundamentalen Größen der Elektrodynamik gelten. In der Quantenmechanik sind die Rollen jedoch vertauscht. Der AharonovBohm-Effekt∗ zeigt, dass es Situationen gibt, in denen die elektromagnetischen ∗ Siehe QM 33 auf Seite 63. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 13 Potentiale als die fundamentalen Größen angesehen werden müssen. ED 16 Wie lautet die allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen? Zur allgemeinen Lösung der Maxwellgleichungen kommt man über die elektro~ Man definiert die Potentiale so, dass sie die magnetischen Potentiale φ und A. homogenen Maxwellgleichungen automatisch erfüllen; in Vierervektorschreibweise lautet dies F αβ = ∂ α Aβ − ∂ β Aα , mit den Vierervektoren ∂ α = tensor F αβ = 0 −Ex −Ey −Ez Ex 0 −Bz By Ey Bz 0 −Bx Ez −By Bx 0 1 c ∂t , ! (1.39) ~ und dem Feldstärke−∇ , Aβ = φ , A . ~ und B-Felder ~ Die Potentiale sind nicht eindeutig festgelegt, denn die Eändern sich nicht, wenn man eine so genannte Eichtransformationen des Viererpotentials Aα → Aα − ∂ α χ (1.40) durchführt, wobei χ(~r, t) ein beliebiges Skalarfeld ist. Wenn man in den inhomogenen Maxwellgleichungen ∂α F αβ = Feldstärketensor durch die Potentiale ausdrückt, erhält man3 Aα − ∂ α ∂β Aβ = 4π c jα . 4π c j β den (1.41) Die Eichfreiheit kann nun dazu ausgenutzt werden, diese Gleichung zu vereinfachen. In der Lorenz-Eichung ∂β Aβ = 0 ergibt sich Aα = 4π c jα . Die Lösung dieser inhomogenen Wellengleichung lautet Z 1 j α (~r 0 , t ± |~r − ~r 0 |/c) d3 r0 . Aα (~r, t) = c |~r − ~r 0 | (1.42) (1.43) Je nach Vorzeichen spricht man vom retardierten bzw. avancierten Viererpotential Z 1 j α (~r 0 , tret ) Aαret (~r, t) = d3 r0 , (1.44) c |~r − ~r 0 | Z 1 j α (~r 0 , tav ) α Aav (~r, t) = d3 r0 , (1.45) c |~r − ~r 0 | 3 ist der d’Alembert-Operator, = ∂α ∂ α = 1 2 ∂t − ∇2 . c2 14 M. G. Bernhardt mit der retardierten bzw. avancierten Zeit ED 17 |~r − ~r 0 | , c |~r − ~r 0 | =t+ . c tret = t − (1.46) tav (1.47) ~ und B~ Wie kann man aus gegebenem % und ~ die EFelder berechnen? Aus der Ladungsverteilung % und der Stromdichte ~ lassen sich die retardierten Potentiale (1.44) berechnen, und aus diesen erhält man über Gleichung (1.35) ~ und B-Felder. ~ die E- ED 18 Wie lautet die Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung? Die Ladungsdichte einer Punktladung q am Ort ~r1 lautet %(~r ) = qδ(~r − ~r1 ) . (1.48) Wenn sich die Ladung mit der Geschwindigkeit ~v = d~r1 /dt bewegt, ist die Stromdichte ~ (~r, t) = %~v = q~v δ(~r − ~r1 ) . (1.49) Zu einer Punktladung gehört somit die Viererstromdichte c j (~r, t) = qδ(~r − ~r1 ) . ~v α ED 19 (1.50) Was sind die Liénard-Wiechert-Potentiale? Wie kommt man darauf ? Die Liénard-Wiechert-Potentiale sind die retardierten Potentiale einer entlang der Trajektorie ~r1 (t) beliebig bewegten Punktladung q, Aαret (~r, t) = q R 1 − β~ ~eR 1 β~ ! , (1.51) tret ~ ~ mit R(t) = |R(t)| = |~r − ~r1 (t)|, β~ = ~r˙1 /c, ~eR = R/R und der retardierten Zeit 1 tret = t − c R(tret ). Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 15 Zur Herleitung der Liénard-Wiechert-Potentiale geht man von den retardierten Potentialen Z Z 1 j α (~r 0 , t0 ) · δ(t0 − tret ) Aαret (~r, t) = dt0 d3 r0 (1.52) c |~r − ~r 0 | aus, setzt die Viererstromdichte einer Punktladung am Ort ~r1 (t0 ), also j α = qδ(~r − ~r1 ) ( ~vc ), ein und führt die räumliche Integration aus: Aαret (~r, t) δ ~r 0 − ~r1 (t0 ) · δ t0 − t + dt d r |~r − ~r 0 | ! Z r−~ r1 (t0 )| 0 − t + |~ δ t 1 c = q dt0 |~r − ~r1 (t0 )| β~ ! Z R(t0 ) 0 1 0 δ t −t+ c = q dt . 0 R(t ) β~ q = c Z 0 Z 3 0 |~ r−~ r 0| c c ~v (1.53) Da in der Deltafunktion eine Funktion der Zeitvariablen t0 vorkommt, muss man die Regel X δ(t0 − tn ) δ f (t0 ) = df (t0 ) 0 0 n dt (1.54) t =tn anwenden, wobei tn die Nullstellen von f (t0 ) sind. In unserem Falle gilt 1/2 1 X R(t0 ) 0 0 2 =t −t+ Ri (t ) f (t ) = t − t + c c 0 0 i y ~ 0 ) · ~r˙1 (t0 ) df (t0 ) 1 R(t ~ 0 ) · ~eR (t0 ) , = 1 − = 1 − β(t dt0 c R(t0 ) (1.55) und die Nullstelle liegt bei t0 = tret . Das ergibt δ(t0 − tret ) 1 Aαret (~r, t) = q dt0 ~ 0 ~ ret ) · ~eR (tret ) β R(t ) · 1 − β(t ! q 1 = ~ . ~ ret ) · ~eR (tret ) β R(tret ) · 1 − β(t Z ED 20 ! (1.56) Wie lautet das Biot-Savart-Gesetz? Wie kommt man darauf ? ~ einer beliebigen Das Biot-Savart-Gesetz gibt das magnetische Induktionsfeld B stationären Stromdichte ~ (~r ) wider, Z 1 ~r − ~r 0 ~ B(~r ) = d3 r0 ~ (~r 0 ) × . (1.57) c |~r − ~r 0 |3 16 M. G. Bernhardt Zur Herleitung des Biot-Savart-Gesetzes betrachtet man die allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen (1.43) im magnetostatischen Fall. Für das Vektorpotential gilt dann Z 1 ~ (~r 0 ) ~ A(~r ) = d3 r0 , (1.58) c |~r − ~r 0 | ~ = rot A, ~ und das magnetische Induktionsfeld ergibt sich aus B Z 0 ~ r ) = 1 d3 r0 ∇r × ~ (~r ) B(~ c |~r − ~r 0 | Z 1 1 =− d3 r0 ~ (~r 0 )×∇r c |~r − ~r 0 | Z 1 ~r − ~r 0 = , d3 r0 ~ (~r 0 )× c |~r − ~r 0 |3 (1.59) 1 ~ r−~ r0 wobei die Beziehungen ~a × ~b = −~b × ~a und ∇r |~r−~ ausgenutzt r 0 | = − |~ r−~ r 0 |3 wurden. ED 21 ~ und B ~ bei einem Wechsel des Wie transformieren sich E Bezugssystems? ~ und B ~ beim Wechsel zwischen InertialsysDas Transformationsverhalten von E temen ergibt sich aus einer Lorentztransformation des Feldstärketensors: 0 0 0 0 F α β = Λαα Λββ F αβ . (1.60) Im Falle einer Relativgeschwindigkeit v = βc in x-Richtung erhält man: γ −γβ 0 0 0 −Ex −Ey −Ez γ −γβ 0 0 0 0 γ 0 0 Ex 0 −Bz By −γβ γ 0 0 −γβ Fα β = 0 1 0 Ey Bz 0 −Bx 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Ez −By Bx 0 0 0 0 1 0 −Ex −γ(Ey − βBz ) −γ(Ez + βBy ) Ex 0 −γ(Bz − βEy ) γ(By + βEz ) = . 0 −Bx γ(Ey − βBz ) γ(Bz − βEy ) γ(Ez + βBy ) −γ(By + βEz ) Bx 0 (1.61) Für den Vektor des elektrischen Feldes und den Pseudovektor des magnetischen Induktionsfeldes gilt demnach ~0 = E ~k , ~×B ~0 = γ E ~⊥ + β ~ , E E k ⊥ (1.62) ~0 = B ~k , ~0 = γ B ~ ⊥ − β~ × E ~ , B B k ⊥ wobei k und ⊥ die zu β~ parallelen bzw. senkrechten Komponenten der Felder bezeichnen. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik ED 22 17 Wie kann man das elektromagnetische Feld einer gleichförmig bewegten Ladung herleiten? Aus einer Lorentztransformation des Feldstärketensors vom Ruhesystem ~ 0 = 0 und E ~ 0 (~r 0 ) = q~r 0 / |~r 0 |3 (statisches Coulombfeld) gilt, der Ladung, wo B ins Laborsystem, in welchem sich die Ladung mit der Geschwindigkeit v = βc entlang der x-Achse bewegt. Im Ruhesystem der Ladung lautet der Feldstärketensor 0 −x0 −y 0 −z 0 q 0 0 0 0 0 x0 F α β (~r 0 ) = 0 3 0 (1.63) . 0 0 0 |~r | y z0 0 0 0 Eine Transformation ins Laborsystem 0 0 F αβ = Λαα0 Λββ 0 F α β mit Λαα0 γ γβ 0 0 γβ γ 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 1 (1.64) liefert −γEz0 −γEy0 0 −Ex0 0 0 −γβEy0 −γβEz0 E F αβ (~r 0 ) = x0 0 0 γEy γβEy0 γEz0 γβEz0 0 0 0 −x0 −γy 0 −γz 0 q 0 −γβy 0 −γβz 0 x0 = 03 0 . 0 0 |~r | γy γβy 0 γz 0 γβz 0 0 0 (1.65) Wenn man ~r 0 durch ~r ausdrückt, d.h. die Lorentztransformation x0 = γ(x − vt), y 0 = y, z 0 = z anwendet, erhält man 0 −x + vt −y −z γq 0 −βy −βz x − vt F αβ (~r, t) = 2 . βy 0 0 [γ (x − vt)2 + y 2 + z 2 ]3/2 y z βz 0 0 (1.66) ~ und B-Felder ~ Die Eder bewegten Ladung lauten demnach x − vt γq ~ r, t) = y , E(~ [γ 2 (x − vt)2 + y 2 + z 2 ]3/2 z 0 γβq ~ B(~r, t) = 2 −z . [γ (x − vt)2 + y 2 + z 2 ]3/2 y (1.67) (1.68) 18 M. G. Bernhardt ED 23 Was passiert mit einer beschleunigten Ladung? Sie strahlt Energie ab. Zur Herleitung geht man von den retardierten Potentialen einer entlang der Trajektorie ~r1 (t) beliebig bewegten Punktladung aus, also von den Liénard~ und B-Felder. ~ Wiechert-Potentialen (1.51), und berechnet daraus die EMit 4 ~ ~ R = ~r − ~r1 und ~eR = R/R ergeben sich Ausdrücke der Form ~ r, t) = E ~v + E ~a , E(~ ~ r, t) = ~eR × E ~, B(~ (1.70) ~ v ist nur von der Geschwindigkeit ~v = ~r˙1 der Ladung – nicht von ihrer BeE schleunigung – abhängig und fällt für große Abstände von der Ladung mit 1/R2 ~ a ist proportional zur Beschleunigung ~a = ~r¨1 der Ladung und fällt wie ab. E 1/R ab. Aus den Feldern kann nun die Energiestromdichte, d.h. der Poynting ~ ×B ~ berechnet werden und daraus der Energiefluss durch ~ = c E vektor S 4π H R ~ = dΩ R2 S. ~ Für R → ∞ geht dieses Integral für eine Kugeloberfläche df~ S 4 ~ die wie 1/R oder 1/R3 abfallen, gegen Null und es kann alle Beiträge von S, dann keine Energie nach Unendlich entweichen. Zur Energieabstrahlung trägt ~a × B ~ a ∝ 1/R2 bei. Daraus folgt, dass nur beschleunigte also nur der Term E Ladungen Energie durch Strahlungsemission velieren. ED 24 Unter welchen Transformationen sind die Maxwellgleichungen ko- bzw. invariant? Die Maxwellgleichungen sind kovariant (= forminvariant) unter räumlichen Koordinatentransformationen (Translationen, Drehungen und Spiegelungen im Raum), unter raumzeitlichen Koordinatentransformationen (Lorentztransformationen, also dem Wechsel zwischen verschieden bewegten Inertialsystemen), unter Zeitumkehr und unter Ladungskonjugation. Ferner sind sie invariant unter Eichtransformationen der Potentiale. Um die Kovarianz der Maxwellgleichungen bezüglich einer Koordinaten0 transformation xα → xα zu zeigen, geht man von der inhomogenen Maxwellβ β0 β gleichung in kovarianter Form, ∂α F αβ = 4π c j , aus. Multiplikation mit ∂x /∂x 4 Die vollständigen Ausdrücke lauten ~ ~ ×β ~˙ 1 β 2 1 q ~eR × ~eR − β ~ r, t) = q ~eR − β 1 − + , E(~ 3 ~ eR ~ eR 3 R2 tret c R tret 1 − β~ 1 − β~ ~ r, t) = ~eR × E ~ B(~ . tret (1.69) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 19 und Summation über β liefert 0 ∂α 0 ∂xβ αβ 4π ∂xβ β F = j c ∂xβ ∂xβ 0 ∂α F αβ = y 4π c 0 jβ . (1.71) Die Ableitung ∂α kann man umschreiben als5 0 ∂α = ∂xµ ∂xν = ∂µ ν 0 ∂x ∂xα ∂µ δαµ (1.74) und oben einsetzen: 0 ∂α F αβ 0 ∂xµ ∂xν αβ 0 0 0 = ∂µ ν 0 F = ∂ν 0 F ν β = ∂x ∂xα 4π c 0 jβ . (1.75) Umbenennen des Summationsindex ν 0 → α0 ergibt schließlich: 0 0 ∂ α0 F α β = 4π c 0 jβ . (1.76) Die inhomogene Maxwellgleichung hat im gestrichenen Koordinatensystem somit die gleiche Form wie im ungestrichenen; sie ist forminvariant gegenüber Koordinatentransformationen. Für die homogene Maxwellgleichung kann dies analog gezeigt werden. Die Kovarianz der Maxwellgleichungen unter Zeitumkehr sieht man am Verhalten der darin vorkommenden Größen:6 ∂α = 1c ∂t , ∇ → ∂eα = − 1c ∂t , ∇ = −∂ α , (1.77) ! ! 0 −Ex −Ey −Ez 0 −Ex −Ey −Ez Ex 0 −Bz By Ex 0 Bz −By F αβ = → Feαβ = = −Fαβ , (1.78) Ey Bz 0 −Bx Ez −By Bx 0 j β = c% , ~ Ey −Bz 0 Bx Ez By −Bx 0 → e j β = c% , −~ = jβ . (1.79) Die Maxwellgleichungen kann man nun entsprechend umschreiben: ∂α F αβ = 4π c j β y ∂ α Fαβ = 4π c jβ y −∂ α (−Fαβ ) = 4π c jβ y ∂eα Feαβ = 4π e jβ . c (1.80) 5 Das kann man folgendermaßen sehen. Man betrachte einen Vierervektor v a . Sein Trans0 formationsverhalten bezüglich einer Koordinatentransformation xa → xa , bzw. Rücktransa0 a formation x → x lautet va = 0 ∂xa b0 v , ∂xb0 0 vb = ∂xb c v . ∂xc (1.72) Ineinander eingesetzt ergibt das 0 va = 6 ∂xa ∂xb c v ∂xb0 ∂xc 0 y ∂xa ∂xb = δca . ∂xb0 ∂xc (1.73) Bei der Zeitumkehr erhalten alle physikalischen Größen, die die Zeit in ungerader Potenz ~ und B ~ – enthalten – z.B. t, ∂t , ~v , p ~, ~, etc. – ein Minuszeichen. Aus der Definition von E ~ ~ Gleichung (1.15) und (1.16) – folgt dann, dass E invariant bei Zeitumkehr ist, aber B ein Minuszeichen bekommt. 20 M. G. Bernhardt Für die homogene Maxwellgleichung geht das analog. Bei Ladungskonjugation gilt ∂eα = ∂α , Feαβ = −F αβ und e j β = −j β und damit: β ∂α F αβ = 4π y ∂α − F αβ = 4π − jβ c j c eβ (1.81) y ∂eα Feαβ = 4π c j . Die Invarianz der Maxwellgleichungen bezüglich Eichtransformation der Potentiale kann man wie folgt nachrechnen. Die Eichtransformation des Viererpotentials Aα lautet eα = Aα − ∂ α χ . A (1.82) Der Zusammenhang zwischen dem elektromagnetischen Feld und dem Viererpotential kommt durch die Gleichung F αβ = ∂ α Aβ − ∂ β Aα (1.83) zum Ausdruck. Eine Eichtransformation des Viererpotentials ergibt eβ − ∂ β A eα Feαβ ≡ ∂ α A = ∂ α (Aβ − ∂ β χ) − ∂ β (Aα − ∂ α χ) = ∂ α Aβ − ∂ α ∂ β χ − ∂ β Aα + ∂ α ∂ β χ = ∂ α Aβ − ∂ β Aα = F αβ . ED 25 Wie lautet die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes? Eem = ED 26 (1.84) ~2 + B ~2 E . 8π (1.85) Welche physikalische Bedeutung hat der Poyntingvektor? Der Poyntingvektor ~= S c 4π ~ ×B ~ E (1.86) ist die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes. ED 27 Welcher Kontinuitätsgleichung genügt der Poyntingvektor? Der Poyntingvektor steht mit der totalen Energiedichte E = Eem + Emech in folgendem Zusammenhang: ~ = 0, ∂t E + div S (1.87) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 21 1 ~2 + B ~ 2 die elektromagnetische Energiedichte und ∂t Emech = wobei Eem = 8π E ~ die zeitliche Änderung der mechanischen Energiedichte ist. ~ E ED 28 Wie lautet der Energie- und Impulssatz der Elektrodynamik? Die Erhaltungssätze für Energie und Impuls lassen sich in einer kovarianten Form durch die Gleichung ∂α T αβ = − 1c F βν jν (1.88) ausdrücken. T αβ ist der Energie-Impuls-Tensor, ! 1 ~T S E c T αβ = 1em ~ −Tij S (1.89) c ~ und dem mit der elektromagnetischen Energiedichte Eem , dem Poyntingvektor S Maxwell’schen Spannungstensor Tij : Eem = ~= S Tij = 1 8π c 4π 1 4π ~2 + B ~2 , E ~ ×B ~ , E (1.90) (1.91) ~2 + B ~2 . Ei Ej + Bi Bj − 12 δij E (1.92) In Komponentenschreibweise lautet der Energie-Impuls-Tensor7 1 T αβ = − 4π ηµν F αµ F βν − 14 η αβ F µν Fµν mit der Minkowski-Metrik ηµν = η µν 1 = 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 (1.97) . 7 Die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors lassen sich aus Gleichung (1.88) wie folgt herleiten: Auf der rechten Seite ersetzt man jν durch die inhomogene Maxwellgleichung j : ∂ µ Fµν = 4π c ν µ βν 1 1 − 1c F βν jν = − 4π F βν ∂ µ Fµν = − 4π ∂ F Fµν − ∂ µ F βν Fµν . (1.93) Den ganz rechten Term kann man unter Ausnutzung der Antisymmetrie des Feldstärketensors umschreiben als ∂ µ F βν Fµν = 12 ∂ µ F βν Fµν + 12 ∂ µ F βν Fµν = 21 ∂ µ F βν Fµν + 12 ∂ µ F νβ Fνµ = 21 ∂ µ F βν Fµν + 12 ∂ ν F µβ Fµν = 21 ∂ µ F βν + ∂ ν F µβ Fµν = − 12 ∂ β F νµ Fµν = 21 ∂ β F µν Fµν , (1.94) 22 M. G. Bernhardt ED 29 Wie kann man die Maxwellgleichungen aus einer Lagrangedichte herleiten? Eine Lagrangedichte, die zu den inhomogenen Maxwellgleichungen führt, lautet 1 L = − 16π F αβ Fαβ − 1c j α Aα . (1.98) [Wenn man die Summen über α und β ausführt ergibt das: L = ~ %φ + 1c ~ A.] 1 8π ~2 −B ~ 2) − (E Die Lagrange-Bewegungsgleichungen folgen aus dem Hamilton-Prinzip der extremalen Wirkung8 bei Variation nach Aν : ∂µ ∂L ∂L − = 0. ∂(∂µ Aν ) ∂Aν (1.99) Dies ist die Verallgemeinerung der Lagrangegleichungen auf Felder, die im Gegensatz zu den Lagrangegleichungen diskreter Systeme neben der Zeitableitung von ∂L/∂ Ȧν auch räumliche Ableitungen von ∂L/∂A0ν enthalten. Schreibt man die Aα -Abhängigkeit der Lagrangedichte explizit aus, 1 L = − 16π η ακ η βλ Fκλ Fαβ − 1c j α Aα 1 = − 16π η ακ η βλ ∂κ Aλ − ∂λ Aκ ∂α Aβ − ∂β Aα − 1c j α Aα , (1.100) wobei im vorletzten Schritt die homogene Maxwellgleichung eingesetzt wurde. Ferner gilt y ∂ β F µν Fµν = ∂ β F µν Fµν − F µν ∂ β Fµν = ∂ β F µν Fµν − η µκ η νλ Fκλ ∂ β Fµν = ∂ β F µν Fµν − Fκλ ∂ β F κλ = ∂ β F µν Fµν − ∂ β F µν Fµν ∂ β F µν Fµν = 21 ∂ β F µν Fµν . (1.95) In (1.93) eingesetzt, ergibt sich µ βν 1 ∂ F Fµν − − 1c F βν jν = − 4π 1 4 1 = − 4π ∂α η αµ Fµν F βν − = = = ∂ β F µν Fµν 1 αβ µν η F Fµν 4 α βν 1 1 αβ µν − 4π ∂α F ν F − 4 η F Fµν 1 − 4π ∂α ηµν F αµ F βν − 14 η αβ F µν Fµν ∂α T αβ , 1 mit T αβ = − 4π ηµν F αµ F βν − 14 η αβ FRµν Fµν . 8 Die Wirkung ist definiert als S = d4x L(Aν , ∂µ Aν ). (1.96) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 23 und berechnet die Ableitungen ∂L 1 = − 16π η ακ η βλ δκµ δλν − δλµ δκν Fαβ + Fκλ δαµ δβν − δβµ δαν ∂(∂µ Aν ) 1 = − 16π η αµ η βν Fαβ − η αν η βµ Fαβ + η µκ η νλ Fκλ − η νκ η µλ Fκλ 1 1 (F µν − F νµ + F µν − F νµ ) = − 4π F µν , = − 16π ∂µ ∂L 1 = − 4π ∂µ F µν , ∂(∂µ Aν ) ∂L = − 1c j ν , ∂Aν (1.101) (1.102) (1.103) so folgen die inhomogenen Maxwellgleichungen ∂µ F µν = 4π c jν . (1.104) Die homogenen Maxwellgleichungen wurden durch den Ausdruck Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα bereits implizit vorausgesetzt. ED 30 Ist die Lagrangedichte des elektromagnetischen Feldes eichinvariant? 1 Im Allgemeinen nicht. In der Lagrangedichte L = − 16π F αβ Fαβ − 1c j α Aα ist nur der F αβ Fαβ -Term eichinvariant; j α Aα wird bei einer Eichtransformation Aα → Aα − ∂α χ zu j α Aα − j α ∂α χ. Also transformiert sich die Lagrangedichte gemäß L → L + 1c j α ∂α χ . (1.105) Der zusätzliche Term j α ∂α χ ändert aber nichts an den Lagrange’schen Bewegungsgleichungen, denn er kann aufgrund der Kontinuitätsgleichung (∂α j α = 0) als eine totale 4er-Divergenz ∂α (j α χ) geschrieben werden, und diese wird im R Wirkungsintegral S = d4x L(Aν , ∂µ Aν ) durch partielle Integration zu einem Oberflächenterm, welcher bei Variation der Wirkung nach Aν verschwindet, denn die Variation an den Rändern ist Null. ED 31 Wie lautet die Poissongleichung? Welche Lösung hat sie? Die Poissongleichung lautet ∆φ(~r ) = −4π%(~r ) mit dem Laplaceoperator ∆ = ∇2 . (1.106) . [7], S. 161 ff 24 M. G. Bernhardt Falls %(~r ) für alle ~r bekannt ist und keine Randbedingungen für φ(~r ) im Endlichen vorliegen, lautet die Lösung Z %(~r 0 ) φ(~r ) = d3 r0 . (1.107) |~r − ~r 0 | ED 32 Was ist eine Green-Funkton? Als Green-Funktion bezeichnet man eine Distribution GD (x, x0 ), welche die Differentialgleichung D GD (x, x0 ) = δ(x − x0 ) (1.108) erfüllt, wobei D ein linearer Differentialoperator ist, der auf x wirkt. Mit Hilfe der Green-Funktion lässt sich die Differentialgleichung Df (x) = g(x) (1.109) formal durch Z f (x) = dx0 GD (x, x0 ) · g(x0 ) (1.110) lösen, denn es gilt9 Z 0 0 0 Z Df (x) = D dx GD (x, x ) · g(x ) = dx0 D GD (x, x0 ) · g(x0 ) Z = dx0 δ(x − x0 ) · g(x0 ) = g(x) . (1.111) Beispielsweise lautet die Green-Funktion zum Laplaceoperator ∆ = ∇2 G∆ (~r, ~r 0 ) = − 1 1 . 4π |~r − ~r 0 | Damit lautet die Lösung der Poissongleichung, ∆φ(~r ) = −4π%(~r ): Z Z %(~r 0 ) 3 0 0 0 φ(~r ) = −4π d r G(~r, ~r ) · %(~r ) = d3 r0 . |~r − ~r 0 | ED 33 (1.112) (1.113) Was ist eine Multipolentwicklung? ~ und Statische Ladungs- und Stromdichten (∂t % = ∂t~ = 0) haben statische E~ ~ B-Felder zur Folge, die durch statische Potentiale φ und A ausgedrückt werden können: ~ r ) = −grad φ(~r ) , E(~ 9 ~ r ) = rot A(~ ~ r). B(~ (1.114) D wirkt auf x aber nicht auf x0 und kann daher an dx0 und g(x0 ) vorbeigezogen werden. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 25 ~ = 0, und Im statischen Fall sind Coulomb- und Lorenz-Eichung identisch, div A führen auf die Poissongleichung für die Potentiale: Z % (~r 0 ) , (1.115) ∆φ = −4π% y φ(~r ) = d3 r0 |~r − ~r 0 | Z 1 ~ (~r 0 ) 4π ~ ~ ∆A = − c ~ y A(~r ) = d3 r0 . (1.116) c |~r − ~r 0 | Im Falle räumlich begrenzter, statischer Ladungs- und Stromdichteverteilungen können die Potentiale in großer Entfernung approximativ durch eine Taylor-Entwicklung ausgedrückt werden. Für das Skalarpotential lautet sie φ(~r ) = ri rj q ~r p~ 1 X + 3 + Qij 5 + · · · , r r 2 r (1.117) i,j R mit der Gesamtladung (Monopol) q = d3r0 %(~r 0 ), dem elektrischem DipolmoR R ment p~ = d3r0 ~r 0 %(~r 0 ), dem elektrischem Quadrupolmoment Qij = d3r0 %(~r 0 ) · (3ri0 rj0 − r02 δij ) , . . . (nächster Term: Oktupolmoment). Eine solche Entwicklung nennt man Multipolentwicklung. Es gibt die Fälle: • q 6= 0 y Monopol dominiert. (Eine statische Ladungsverteilung sieht aus der Ferne wie ein elektrischer Monopol aus.) • q = 0 y Dipol dominiert. • Spiegelsymmetrie % (~r ) = % (−~r ) y p~ = 0. • q = 0, p~ = 0 y Quadrupol dominiert. • Rotationssymmetrie % (~r ) = % (r) y Qij = 0. ED 34 Wie sieht das Feld eines elektrischen Dipols aus? Das Potential eines Dipols lautet (in der Fernzone) φ= ~r p~ . r3 (1.118) Daraus lässt sich das elektrische Feld wie folgt berechnen: ~ = −grad φ = − E X i ~ei ∂i X rj pj j X rk2 −3/2 k X X −3/2 X 3 X 2 −5/2 2 =− ~ei pi rk − rj pj · rk 2 ri 2 i k 3(~r p~ ) ~r p~ + 3 r r5 3(~r p~ ) ~r − p~ r2 = . r5 j k =− (1.119) 26 ED 35 M. G. Bernhardt Wie kommt man zu elektromagnetischen Wellen? Man geht von den Vakuum-Maxwellgleichungen bei Abwesenheit von elektrischen Ladungen und Strömen aus, ~ = 0, ∇B ~ = 0, ∇E ~ = ∇×B (1.120) (1.121) ~, ∂t E ~ = − 1 ∂t B ~, ∇×E c 1 c (1.122) (1.123) ~ = ∇ ∇A ~ − bildet die Rotation von (1.122), wobei die Beziehung ∇ × ∇ × A ~ anzuwenden ist, und setzt (1.120) und (1.123) ein: ∇2 A ~ = 1 ∂t ∇ × E ~ ~ − ∇2 B ~ ~ = ∇ × 1 ∂t E y ∇ |{z} ∇B ∇× ∇×B c c | {z } (1.120) y 1 c2 Für (1.123) erhält man analog: ~ = ∇ × − 1 ∂t B ~ ∇× ∇×E c y 1 c2 (1.123) ~ = 0. ∂t2 − ∇2 B y ~ ∇ |{z} ∇E (1.121) (1.124) ~ = − 1 ∂t ∇ × B ~ − ∇2 E c | {z } ~ = 0. ∂t2 − ∇2 E (1.122) (1.125) Die homogenen Wellengleichungen (1.124) und (1.125) lassen sich mit dem Ansatz ~ r, t) = B ~ 0 ei(~k~r−ωt) , B(~ ~ r, t) = E ~ 0 ei(~k~r−ωt) E(~ (1.126) lösen.10 Durch (1.126) werden ebene monochromatische Wellen beschrieben, die sich in Richtung des Wellenvektors ~k ausbreiten. Einsetzen in die Wellengleichungen (1.124) und (1.125) liefert: − ω2 ~ 2 ~ + k B = 0, c2 − ω2 ~ 2 ~ + k E = 0. c2 (1.127) Der Ansatz (1.126) löst die Wellengleichungen, wenn ω und ~k die so genannte Dispersionsrelation ω = ck (1.128) √ erfüllen. Innerhalb eines Mediums11 mit Brechungsindex n = εµ beträgt die Phasengeschwindigkeit in (1.124) und (1.125) nicht c, sondern c/n. Die Dispersionsrelation lautet dann ω = nc k. 10 Als physikalische Lösungen werden die Realteile betrachtet. ~ = εE ~ und Es handele sich um ein nichtleitendes, homogenes, isotropes Medium, sodass D ~ ~ B = µH erfüllt seien. 11 Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 27 Statt der ebenen Wellen (1.126) kann auch der allgemeine Ansatz ~ r, t) = B(~ Z ~ 0 (~k ) · ei[~k~r−ω(~k )t] , d3 k B ~ r, t) = E(~ Z ~ 0 (~k ) · ei[~k~r−ω(~k )t] d kE (1.129) 3 gewählt werden, also die Superposition ebener Wellen. Wenn die Gewichtungs~ 0 (~k ) und E ~ 0 (~k ) in einem schmalen Bereich um ein bestimmtes ~k0 funktionen B herum konzentriert sind, werden durch (1.129) Wellenpakete beschrieben. ED 36 ~ B ~ und ~k? Welcher Zusammenhang besteht zwischen E, ~ B ~ und ~k einer ebenen elektromagnetischen Den Zusammenhang zwischen E, Welle erhält man, indem man (1.126) in die Maxwellgleichungen (1.120)–(1.123) einsetzt. Aus ~ = ∇B X ~ ~ 0 ei(k~r−ωt) = i ~ej ∂j B j X ~ ! ~ 0 ei(k~r−ωt) = i~k B ~ = 0, ~ej kj B (1.130) j ! ~ = i~k E ~ =0 ∇E (1.131) ~ bzw. ~k ⊥ E. ~ Und aus folgt ~k ⊥ B ~ = ∇×B X εabc~ea ∂b Bc = a,b,c =i X X ~ εabc~ea ∂b B0,c ei(k~r−ωt) a,b,c ~ εabc~ea kb B0,c ei(k~r−ωt) a,b,c ~ = i~k × B ~ 0 ei(~k~r−ωt) = −i ω E ~, ∂t E c ~ = iω B ~ ~ = i~k × E ~ =! − 1 ∂t B ∇×E c c ! 1 c = ~ = ∂t E 1 c (1.132) (1.133) ~ × c ~k = E ~ bzw. c ~k × E ~ = B. ~ folgt B ω ω ~ ~ ~ Insgesamt gilt, dass k, E und B paarweise aufeinander senkrecht stehen und in dieser Reihenfolge ein rechthändiges Dreibein bilden. ED 37 Was bewegt sich bei einer elektromagnetischen Welle? Bei einer ebenen Welle ~ r, t) = B ~ 0 ei(~k~r−ωt) , B(~ ~ r, t) = E ~ 0 ei(~k~r−ωt) E(~ (1.134) 28 M. G. Bernhardt steckt die Zeitabhängigkeit in der Phase, ~k~r − ωt. Was sich bewegt, sind die Punkte konstanter Phase. Ihre Geschwindigkeit, die so genannte Phasengeschwindigkeit, berechnet man wie folgt: ~k~r − ωt = const y y ! ∂t ~k~r − ωt = ~k~r˙ − ω = 0 vph ≡ ṙ = ω/k = c , (1.135) wobei im letzten Schritt die Dispersionsrelation ω = ck eingesetzt wurde. In einem Medium mit Brechungsindex n gilt die Dispersionsrelation ω = nc k und die Phasengeschwindigkeit ist dann vph = c/n. Bei einem Wellenpaket (1.129) tritt zur Phasenbewegung noch die Bewegung des Paketes hinzu, dessen Schwerpunkt sich mit der so genannten Grup dω pengeschwindigkeit vgr ≡ dk k0 ausbreitet. Im Vakuum ist ω(k) = ck y dω dk = c y vgr = vph = c. In dispersiven Medien ist im Allgemeinen vgr 6= vph , außerdem kommt es zu einem Zerfließen des Wellenpaketes. ED 38 Ist die Lichtgeschwindigkeit c in jedem Inertialsystem gleich? Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist eines der beiden Postulate (das andere ist das Relativitätsprinzip), auf denen die Spezielle Relativitätstheorie beruht. Sie ist also implizit in die Lorentztransformation eingebaut. Das kann man durch folgendes Gedankenexperiment nachrechnen: Wir betrachten zwei Bezugssysteme S und S0 , deren raumzeitliche Ursprünge zusammenfallen. S0 bewege sich mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse. Zur Zeit t = 0 wird ein Lichtstrahl in x-Richtung ausgesendet. Dieser hat in der Zeit t1 die Strecke x1 zurückgelegt, bzw. – im System S0 – in der Zeit t01 die Strecke x01 . Im System S ergibt eine Messung der Lichtgeschwindigkeit x1 /t1 = c. In S0 erhält man c0 = x01 cx01 cγ(x1 − βct1 ) ct1 − βct1 = = =c = c. 0 0 t1 ct1 γ(ct1 − βx1 ) ct1 − βct1 (1.136) Die Lichtgeschwindigkeit hat demnach in jedem Inertialsystem den gleichen Wert c. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 2 29 Quantenmechanik QM 1 Was sind die Prinzipien der Quantenmechanik? • Zustände. Ein reiner Zustand eines Quantensystems wird durch einen Hilbert-Vektor |ψi gekennzeichnet.12 Darin steht ψ für die Größen, die zur Beschreibung des betrachteten Systems nötig sind – z.B. |xi, |px i, |n, `, mi, | ↑i, | ↓i, etc. Bezüglich einer diskreten oder kontinuierlichen Basis {|ni} bzw. {|xi} kann ein Zustandsvektor in Komponenten zerlegt werden: X X |ψi = |nihn|ψi = ψn |ni , ψn ≡ hn|ψi , (2.1) |ψi = Zn n dx |xihx|ψi = Z dx ψ(x)|xi , ψ(x) ≡ hx|ψi , (2.2) P wobei die Vollständigkeitsrelationen der Basisvektoren, n |nihn| = 1, R dx |xihx| = 1, ausgenutzt wurden. ψ(x) ist die so genannte Wellenfunktion in der Ortsdarstellung. • Observablen. Eine messbare physikalische Größe wird in der Quantenmechanik Observable genannt und durch einen linearen hermiteschen Operator repräsentiert.13 Lineare hermitesche Operatoren haben reelle Eigenwerte und orthogonale (normierbare) Eigenvektoren. Im Falle einer Observablen bilden die Eigenvektoren des zugehörigen Operators eine Basis im Zustandsraum. • Messung. Die Messung einer Observablen ergibt als Resultat immer einen Eigenwert des zugehörigen Operators. Nach der Messung befindet sich das System in dem zu diesem Eigenwert gehörenden Eigenzustand. • Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Sei A eine Observable, deren zugehöriger Operator  ein diskretes Eigenwertspektrum hat, Â|an i = an |an i. Die Eigenvektoren bilden eine Basis, nach der ein Zustandsvektor |ψi in Komponenten zerlegt werden kann, X |ψi = ψan |an i , ψan ≡ han |ψi . (2.3) n Wenn an einem Quantensystem, das sich im normierten Zustand |ψi befindet, eine Messung der Observablen A durchgeführt wird, so ist die Wahrscheinlichkeit, als Messresultat den Wert an zu erhalten, durch das Absolutquadrat der zugehörigen Komponente ψan gegeben: P(an ) = |ψan |2 = |han |ψi|2 . 12 (2.4) Genaugenommen wird derselbe Zustand durch alle Vektoren repräsentiert, die parallel zu |ψi sind, d.h. durch den Strahl α|ψi, mit α ∈ C. 13 Eine Ausnahme bildet die Zeit. Sie wird in der Quantenmechanik als Parameter aufgefasst. . [1], S. 125 f 30 M. G. Bernhardt Die komplexe Zahl han |ψi nennt man auch Wahrscheinlichkeitsamplitude des Übergangs vom Zustand |ψi in den Zustand |an i. Führt man Messungen von A an vielen identisch präparierten Systemen durch, so ergibt sich der statistische Erwartungswert14 X hÂi ≡ an P(an ) = hψ|Â|ψi . (2.5) n Hat  ein kontinuierliches Eigenwertspektrum, Â|ai = a|ai, so ergibt sich die Komponentenzerlegung Z |ψi = da ψ(a)|ai , ψ(a) ≡ ha|ψi , (2.6) und die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung von A einen Wert zwischen a und a + da ergibt, ist dP(a) = da |ψ(a)|2 = da |ha|ψi|2 . Der Erwartungswert von A ist15 Z hÂi ≡ dP(a) a = hψ|Â|ψi . (2.7) (2.8) • Rechnen mit Wahrscheinlichkeitsamplituden. hϕ|ψi ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude des Übergangs vom Zustand |ψi in den Zustand |ϕi und P = |hϕ|ψi|2 die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Beispiel: Übergang eines Teilchens vom Ort x0 nach x: hx|x0 i. Findet der Übergang in Teilschritten statt, werden die einzelnen Amplituden multipliziert. Beispiel: Übergang von x0 nach x über x1 : hx|x0 i = hx|x1 ihx1 |x0 i. Kann der Übergang über mehrere mögliche Wege erfolgen, so müssen die einzelnen Amplituden addiert werden. Beispiel: Übergang von x0 nach x durch einen Doppelspalt mit den Öffnungen 1 und 2: hx|x0 i = hx|1ih1|x0 i + hx|2ih2|x0 i. Dies führt zu Interferenzen: P = |hx|x0 i|2 = P1 + P2 + gemischte Terme. Sind die verschiedenen Wege jedoch – wenigstens im Prinzip – unterscheidbar, so werden ihre Amplituden nicht addiert. Beispiel: Doppelspalt in einer Nebelkammer (Sichtbarmachung der Elektronenbahnen). In diesem Falle treten keine Interferenzen auf: P = P1 + P2 . • Heisenberg’sche Unschärferelation. Das Produkt der Standardabweichungen vom Mittelwert zweier Observablen erfüllt die so genannte Unschärferelation b . (2.9) ∆A · ∆B ≥ 21 [Â, B] 14 P P P P 2 hÂi = n an P(an ) = n an |han |ψi| = n an hψ|an ihan |ψi = n hψ|Â|an ihan |ψi = hψ|Â|ψi. R R R R 15 hÂi = dP(a) a = da |ha|ψi|2 a = da hψ|aiha|ψia = da hψ|Â|aiha|ψi = hψ|Â|ψi Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 31 Wie man sieht, sind zwei kommutierende Observablen gleichzeitig scharf messbar! • Zeitentwicklung. Im Schrödinger-Bild wird die zeitliche Entwicklung b eines Zustands durch die Schrödingergleichung i~∂t |ψ, ti = H|ψ, ti 16 beschrieben, während im Heisenberg-Bild die Operatoren zeitabhängig ÂH b H , ÂH + ∂ ÂH erfül= ~i H sind und die Heisenberggleichung ddt ∂t len.∗ In beiden Bildern gilt die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung ∂  d i b für die Zeitentwicklung des Erwartunswerts dt  = ~ [H, Â] + ∂t einer Observablen. • Statistischer Operator. Ein Quantensystem wird durch einen statistischen Operator ρ̂ beschrieben, der mit dem Erwartungswert einer Obserablen A gemäß hÂi = Spur(ρ̂Â) (2.10) zusammenhängt. Man unterscheidet reine und gemischte Zustände:† Reiner Zustand ρ̂ = |ψihψ| Gemischter Zustand P ρ̂ = i |ψ (i) iPi hψ (i) | Spur(ρ̂) = 1 Spur(ρ̂) = 1 ρ̂2 = ρ̂ Spur(ρ̂2 ) =1 hÂi = hψ|Â|ψi ρ̂2 6= ρ̂ Spur(ρ̂2 ) < 1 P hÂi = i Pi hψ (i) |Â|ψ (i) i Darin ist Pi die Wahrscheinlichkeit, das System bei einer Messung in dem reinen Zustand |ψ (i) i vorzufinden. Die Erwartungswerte ergeben sich wie folgt: hÂi = Spur(ρ̂Â) X = hn|ρ̂Â|ni n X = hn|ψihψ|Â|ni n X = hn|ψihψ|mihmÂ|ni n,m X = hψ|mihmÂ|nihn|ψi = hψ|Â|ψi , (2.11) n,m und analog für den gemischten Zustand.17 16 Der Messprozess ist davon allerdings ausgenommen! Die Schrödingergleichung gilt nur so lang am System keine Messung durchgeführt wird. 17 Für gemischte Zustände ergibt sich der Erwartungswert durch zwei Mittelungsprozesse: hÂi(i) ≡ hψ (i) |Â|ψ (i) i ist der Erwartungswert von A bei vielen Messungen an identisch präpa∗ Siehe QM 4 auf Seite 33. † Siehe SM 1 auf Seite 67. 32 QM 2 M. G. Bernhardt Was sind Quantenzahlen? In der Quantenmechanik treten physikalische Größen auf, die ein diskretes Wertespektrum haben – z.B. die elektrische Ladung, der Drehimpuls, die Energie eines gebundenen Teilchens etc. Die möglichen Werte einer solchen quantisierten Größe kann man durch ganze oder halbe Zahlen, so genannte Quantenzahlen, ausdrücken. Quantenzahlen können zur Beschreibung von Quantenzuständen herangezogen werden. Beispielsweise kann man die gebundenen Zustände eines Elektrons im Wasserstoffatom vollständig durch einen Satz aus vier Quantenzahlen beschreiben, nämlich der Energiequantenzahl n = 1, 2, 3, . . . , der Drehimpulsquantenzahl ` = 0, 1, 2, . . . , n − 1, der Magnetquantenzahl m = 0, ±1, ±2, . . . , ±` und der Spinquantenzahl ms = ±1/2. Den Zustand schreibt man daher auch als |n, `, m, ms i. In der Teilchenphysik nutzt man Quantenzahlen auch zur Unterscheidung bzw. Klassifizierung von Teilchen. Zu diesem Zweck wurden die Quantenzahlen Isospin, Leptonenzahl, Baryonenzahl, Strangeness etc. eingeführt, die nicht mit physikalischen Observablen verknüpft sind. Eine Quantenzahl, die einer Erhaltungsgröße zugeordnet ist, bezeichnet man als gute Quantenzahl. QM 3 Wie kann man neue Quantenzahlen entdecken? Das Pauli-Prinzip besagt, dass jeder Zustand eines quantenmechanischen Systems aus identischen Fermionen nur einfach besetzt ist, d.h. dass keine zwei Fermionen dieses Systems in all ihren Quantenzahlen übereinstimmen. Findet man Quantenzustände aus Fermionen, bei denen dieses Prinzip scheinbar verletzt ist, so deutet dies auf noch unentdeckte Quantenzahlen hin. Die Farbladung der Quarks wurde beispielsweise als neue Quantenzahl eingeführt, da es Baryonen aus drei gleichen Quarks mit parallelen Spins – d.h. einem identischem Satz von Quantenzahlen – gibt, was dem Pauli-Prinzip widerspricht. rierten Systemen, die sich alle in dem reinen Zustand |ψ (i) i befinden. Von einem gemischten Zustand spricht man, wenn keine vollständige Kennntnis über die möglichen Zustände des Systems vorliegt, also kein vollständiger Satz kommutierender Observablen bekannt ist, dessen Eigenvektoren als Basis des Zustandsraumes dienen könnten. Von einem gemischten Zustand liegen günstigenfalls statistische Informationen vor, z.B. dass sich das System mit den Wahrscheinlichkeiten Pi in den reinen Zuständen |ψ (i) i befindet. Eine Messung von A an vielen identisch präparierten Systemen, die sich alle im gleichen gemischten Zustand befinden, ergibt P P den Erwartungswert hÂi = i Pi hÂi(i) = i Pi hψ (i) |Â|ψ (i) i. In Gleichung (2.10) sind diese beiden Mittelungsprozesse mit Hilfe des statistischen Operators in einer Formel vereint. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik QM 4 33 Wie wird in der Quantenmechanik die Zeitentwicklung behandelt? Zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung in der Quantenmechanik führt man b (t, t0 ) ein, und definiert seine Wirkung auf den Zeitentwicklungsoperator U einen Zustandsvektor als b (t, t0 )|ψ, t0 i . |ψ, ti = U . [5], S. 69 ff (2.12) Ein Zustandsvektor |ψi ist keine direkt messbare Größe. Messbar sind nur Wahrscheinlichkeiten |hφ|ψi|2 und Erwartungswerte von Observablen. Betrachten wir eine Observable A. Wird diese an einem System gemessen, das sich im Zustand |ψi befindet, so ist ihr Erwartungswert hψ|Â|ψi. Wendet man auf den Zustand |ψi den Zeitentwicklungsoperator an, ergibt sich b †  U b |ψi . hψ|Â|ψi → hψ|U (2.13) b in der Wahrscheinlichkeitsamplitude zweiMan sieht, dass die Wirkung von U b deutig ist; U kann entweder auf die Zustandsvektoren wirken, oder auf den Operator, gemäß b † (t, t0 ) · Â(t0 ) · U b (t, t0 ) , Â(t) = U (2.14) ohne dass sich an den messbaren Größen etwas ändert. Aus dieser Überlegung ergeben sich zwei zueinander äquivalente Sichtweisen der Zeitentwicklung in der Quantenmechanik: • Schrödinger-Bild. Zustandsvektoren hängen von der Zeit ab, |ψ, ti = b (t, t0 )|ψ, t0 i, während Operatoren zeitunabhängig sind, ÂS 6= Â(t). U • Heisenberg-Bild. Zustandsvektoren sind zeitunabhängig, |ψiH 6= |ψ, ti, b † (t, t0 ) · Â(t0 ) · U b (t, t0 ). aber Operatoren hängen von der Zeit ab, Â(t) = U QM 5 Welche Eigenschaften besitzt der Zeitentwicklungsoperator? b (t, t0 ) erfüllt die Gleichungen: Der Zeitentwicklungsoperator U b †U b =U bU b † = 1 (Unitarität) U b (t2 , t0 ) = U b (t2 , t1 ) · U b (t1 , t0 ) , U (2.15) für t2 > t1 > t0 b (t0 + ∆t, t0 ) = 1 (Kontinuität) lim U ∆t→0 (2.16) (2.17) Für infinitesimale Zeitintervalle dt lautet er b dt . b (t0 + dt, t0 ) = 1 − i H U ~ (2.18) . [5], S. 80 ff 34 M. G. Bernhardt Seine zeitliche Ableitung ist18 b (t, t0 ) = H bU b (t, t0 ) . i~ ∂t U QM 6 (2.20) Wie lautet der Zeitentwicklungsoperator? b (t, t0 ) hängt von den Eigenschaften des HamilDer Zeitentwicklungsoperator U b tonoperators H ab. Es gibt die Fälle: b 6= H(t). b • Der Hamiltonoperator ist von der Zeit unabhängig, H Gleichung (2.20) kann dann direkt integriert werden und ergibt o n b · (t − t0 ) . b (t, t0 ) = exp − i H (2.21) U ~ b = H(t), b b zu ver• Der Hamiltonoperator ist zeitabhängig, H und die Hs schiedenen Zeiten kommutieren miteinander. Gleichung (2.20) hat dann die Lösung n i Z t o b b 0) . U (t, t0 ) = exp − dt0 H(t (2.22) ~ t0 . [6], S. 205 . [5], S. 73 b = H(t), b b zu ver• Der Hamiltonoperator ist zeitabhängig, H aber die Hs b schiedenen Zeiten kommutieren nicht miteinander. U hat dann die Form Z i t 0 b 0 b 0 b dt H(t ) · U (t , t0 ) U (t, t0 ) = 1 − ~ t0 Z t1 Z tn−1 Z ∞ X i n t b 1 ) · · · H(t b n) . dt1 dt2 · · · dtn H(t − =1+ ~ t0 t0 t0 n=1 (2.23) QM 7 Wie lautet die Schrödingergleichung und ihre allgemeine Lösung? Die Schrödingergleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Zustands im Schrödinger-Bild: b i~ ∂t |ψ, ti = H|ψ, ti . 18 (2.24) Das sieht man wie folgt: b b b b b b (t, t0 ) = lim U (t + ∆t, t0 ) − U (t, t0 ) = lim U (t + ∆t, t) · U (t, t0 ) − U (t, t0 ) ∂t U ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t i b b (t + ∆t, t) − 1 U b (t, t0 ) = lim 1 − ~ H ∆t − 1 U b (t, t0 ) = lim U ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t i bb =− H U (t, t0 ) , (2.19) ~ wobei Gleichung (2.16) im zweiten Schritt und Gleichung (2.18) im vierten Schritt ausgenutzt wurden. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 35 b den Hamiltonoperator, der die betrachtete physikalische Dabei bezeichnet H Situation repräsentiert, von der der Zustand |ψi beeinflusst wird. Die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung kann man mit dem Zeitb in der Form entwicklungsoperator U b (t, t0 )|ψ, t0 i . |ψ, ti = U (2.25) b setzt man, je nach Hamiltonoperator, (2.21), (2.22) oder (2.23) schreiben. Für U ein. QM 8 Wie kann man die Schrödingergleichung aus dem Zeitentwicklungsoperator herleiten? Die Schrödingergleichung kann aus den Eigenschaften des Zeitentwicklungsopeb hergeleitet werden. Dieser erfüllt Gleichung (2.20), rators U b (t, t0 ) = H bU b (t, t0 ) . i~ ∂t U (2.26) Multiplikation mit dem Zustandsvektor |ψ, t0 i liefert b (t, t0 )|ψ, t0 i = H bU b (t, t0 )|ψ, t0 i . i~ ∂t U (2.27) b (t, t0 )|ψ, t0 i, und die obige Gleichung wird Im Schrödinger-Bild gilt |ψ, ti = U zur Schrödingergleichung b i~ ∂t |ψ, ti = H|ψ, ti . QM 9 (2.28) Welcher Zusammenhang besteht zwischen Zustandsvektor und Wellenfunktion? Die Wellenfunktion ψ(x, t) ist die zum Basisvektor |xi gehörende Komponente des Zustandsvektors |ψ, ti in der Ortsdarstellung. Geometrisch ausgedrückt ist sie die Projektion des Vektors |ψ, ti auf den Basisvektor |xi, ψ(x, t) ≡ hx|ψ, ti . R Mit der Vollständigkeitsrelation dx |xihx| = 1 kann man schreiben19 Z Z |ψ, ti = dx |xihx|ψ, ti = dx ψ(x, t)|xi . 19 (2.29) (2.30) P P P Man beachte die Analogie zu räumlichen Vektoren: ~v = i ~eivi = i ~ei h~ei , ~vi = i ~ei · P 0 0 1 ~eiT~v . Die Basisvektoren erfüllen ei · ~eiT = 0 (1, 0, 0) + 1 (0, 1, 0) + 0 (0, 0, 1) = i~ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 1 0 + 0 0 0 = 1l. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 36 QM 10 M. G. Bernhardt Wie erhält man die stationäre Schrödingergleichung? Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man für die Wellenfunktion einen Separationsansatz wählen: ψ(~r, t) = χ(t) · ϕ(~r ). Die Schrödingergleichung lautet dann (in der Ortsdarstellung) b r ) · χ(t) · ϕ(~r ) i~∂t χ(t) · ϕ(~r ) = H(~ b r ) · ϕ(~r ) i~∂t χ(t) H(~ y = = const ≡ E . χ(t) ϕ(~r ) (2.31) In der letzten Gleichung kommen die beiden Variablen t und ~r nur noch auf je einer Seite vor; jede Seite ist bezüglich ihrer Variablen konstant. Die beiden Seiten der Gleichung können nun getrennt voneinander gelöst werden. Man erhält: i i ∂t χ(t) = − Eχ(t) y χ(t) = e− ~ Et , ~ b r ) = Eϕ(~r ) . Hϕ(~ (2.32) (2.33) Gleichung (2.33) ist die stationäre Schrödingergleichung. QM 11 Wie kann man die zeitliche Änderung von Erwartungswerten beschreiben? Der Erwartungswert einer Observablen A erfüllt die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung dhÂi i D b E D ∂  E = H,  + . dt ~ ∂t (2.34) Gleichung (2.34) ist bildunabhängig, d.h. sie gilt sowohl im Heisenberg- wie auch im Schrödinger-Bild.20 20 Das sieht man, wenn man Gleichung (2.34) einmal im Schrödinger- und einmal im d b S |ψ, ti bzw. die Heisenberg-Bild herleitet. Im Schrödinger-Bild kann man dt |ψ, ti = − ~i H d i b S ausnutzen und erhält adjungierte Schrödingergleichung dt hψ, t| = ~ hψ, t|H E d d D d d ψ, t + ψ, t ∂ ÂS ψ, t ÂS = ψ, tÂS ψ, t = ψ, t ÂS ψ, t + ψ, tÂS dt dt dt dt ∂t D E i b S ÂS ψ, t − i ψ, tÂS H b S ψ, t + ψ, t ∂ ÂS ψ, t = ψ, tH ~ ~ ∂t E D ∂ ÂS E i D b = HS , ÂS + . (2.35) ~ ∂t Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik QM 12 37 Wie lautet die Heisenberggleichung? Die Heisenberggleichung beschreibt die Zeitentwicklung eines Operators im Heisenberg-Bild, ∂ ÂH dÂH i b HH , ÂH + = . dt ~ ∂t (2.37) Sie ist das Pendant zur Schödingergleichung (2.24) für Zustandsvektoren im Schrödinger-Bild. Die Heisenberggleichung (2.37) folgt aus (2.14), der Wirkung des Zeitentb † (t, t0 ) · ÂH (t0 ) · U b (t, t0 ) , wicklungsoperators im Heisenberg-Bild, ÂH (t) = U wobei im Folgenden ÂH (t0 ) ≡ ÂS gesetzt wird: b† b dÂH d b † b dU b +U b † ÂS dU + U b † ∂ ÂS U b U ÂS U = = ÂS U dt dt dt dt ∂t i b† b b † ÂS H b bSU b− i U b +U b † ∂ ÂS U HS ÂS U = U ~ ~ ∂t i b† b b b† b− i U bU b† H bSU b +U b † ∂ ÂS U b † ÂS U b HS |{z} U U ÂS U = U |{z} ~ ~ ∂t =1 =1 i b i b H + ∂ ÂH HH ÂH − ÂH H ~ ~ ∂t ∂ ÂH i b HH , ÂH + . = ~ ∂t = QM 13 (2.38) Wie kann man die Heisenberg’sche Unschärferelation herleiten? b Aus diesen lassen sich Man betrachtet die hermiteschen Operatoren  und B. die, ebenfalls hermiteschen, Operatoren â =  − hÂi , b − hBi b , b̂ = B (2.39) ÂH b H , ÂH + ∂ ÂH für Im Heisenberg-Bild kann man die Heisenberggleichung (2.37) ddt = ~i H ∂t die Zeitentwicklung eines Heisenbergoperators ausnutzen; die Herleitung von Gleichung (2.34) lautet dann E D ∂ ÂH E d d D dÂH E D i b ÂH = ψ ÂH ψ = ψ ψ = ψ HH , ÂH ψ + ψ ψ dt dt dt ~ ∂t D E D E ∂ ÂH i b = HH , ÂH + . ~ ∂t (2.36) Wir bekommen also in beiden Bildern das gleiche Resultat; die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung ist bildunabhängig. (Daher sind in Gleichung (2.34) die Indizes S und H an den Operatoren weggelassen worden.) 38 M. G. Bernhardt konstruieren, mit deren Hilfe sich die Streuung (= mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert = Standardabweichung) wie folgt schreiben lässt: rD q E q  − hÂi ∆A = 2 = hâ2 i , ∆B = hb̂2 i . (2.40) Man nutzt nun die Schwarz’sche Ungleichung aus, hα|αi · hβ|βi ≥ |hα|βi|2 . (2.41) Mit |αi = â|ψi und |βi = b̂|ψi ergibt sich: 2 hψ|↠â|ψi · hψ|b̂† b̂|ψi ≥ hψ|↠b̂|ψi 2 y hâ2 i · hb̂2 i ≥ hâb̂i . (2.42) Das Produkt âb̂ kann in einen hermiteschen und einen antihermiteschen Anteil zerlegt werden: âb̂ = 12 âb̂ + b̂â + 12 âb̂ − b̂â = 21 {â, b̂} + 12 [â, b̂] , (2.43) denn es gilt {â, b̂}† = âb̂ + b̂â † = b̂† ↠+ ↠b̂† = {â, b̂} (hermitesch), † [â, b̂]† = âb̂ − b̂â = b̂† ↠− ↠b̂† = −[â, b̂] (antihermitesch). (2.44) (2.45) Da die Erwartungswerte eines hermiteschen Operators reell, und die eines antihermiteschen Operators rein imaginär sind, ergibt sich aus (2.43) eine Zerlegung des (komplexen) Erwartungswertes hâb̂i in seinen Real- und Imaginärteil: (2.46) hâb̂i = 12 {â, b̂} + i 2i1 [â, b̂] . Für den Betrag gilt (gemäß z = x + iy y |z|2 = x2 + y 2 ) hâb̂i2 = 1 {â, b̂} 2 + 1 1 [â, b̂] 2 4 4 i 2 2 2 = 1 {â, b̂} + 1 [â, b̂] ≥ 1 [â, b̂] . 4 4 4 (2.47) In (2.42) eingesetzt, ergibt sich 2 hâ2 i · hb̂2 i ≥ 41 [â, b̂] . (2.48) b folgt daraus die Heisenberg’sche Unschärferelation der Mit [â, b̂] = [Â, B] b Streuungen von  und B: b . ∆A · ∆B ≥ 21 [Â, B] (2.49) Ein wichtiger Spezialfall ist die Unschärfe bei einer Messung von Ort und Impuls. Für den Orts- und Impulsoperator gilt [r̂i , p̂j ] = i~ δij , und demnach ∆ri · ∆pj ≥ ~ δij . 2 (2.50) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik QM 14 39 Wie kommt man zur Energie-Zeit-Unschärferelation? Die Zeit wird in der Quantenmechanik als Parameter behandelt; es gibt keinen Zeit-Operator, den man direkt in die allgemeine Unschärfeformel (2.49) einsetzen könnte. Dennoch lässt sich eine Unschärferelation für Energie und Zeit wie folgt herleiten. Man betrachtet eine beliebige zeitunabhängige Observable A. Das Produkt der Energieunschärfe mit der Unschärfe von A lautet gemäß (2.49) b Â] . (2.51) ∆E · ∆A ≥ 12 [H, Für den Kommutator kann man die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung aus d b Â] , und erhält nutzen, dt  = ~i [H, ∆E · ∆A ≥ ~ dhÂi . 2 dt (2.52) Schließlich führt das auf ∆E · ∆t ≥ ~ , 2 ∆t = ∆A dhÂi dt . (2.53) ∆t ist die Zeitspanne, in der sich der Erwartungswert von  um den Wert ∆A ändert. QM 15 Was ist das Ehrenfest’sche Theorem? Das Ehrenfest’sche Theorem besagt, dass die Erwartungswerte der Operatoren für Ort und Impuls (in der Ortsdarstellung) die klassischen Bewegungsgleichungen erfüllen, dhx̂i hp̂x i = , dt m dhp̂x i = −h∂x V i . dt (2.54) b = p̂2x /(2m) + V (x̂) folgt dies aus der HeiMit dem Hamiltonoperator H d b Â] + ∂  , für die senberg’schen Bewegungsgleichung (2.34), dt  = ~i [H, ∂t Operatoren x̂ und p̂x :21 h p̂2 i x + V (x̂), x̂ 2m 1 ~ p̂x = p̂x [p̂x , x̂] + [p̂x , x̂] p̂x + [V (x̂), x̂] = | {z } | {z } | {z } 2m i m b x̂] = [H, =~/i y 21 i b i dhx̂i = [H, x̂] = dt ~ ~ =0 =~/i ~ p̂x i m = hp̂x i , m Es gilt ∂ x̂/∂t = ∂ p̂x /∂t = 0, da x̂ und p̂x nicht explizit von der Zeit abhängen. (2.55) 40 M. G. Bernhardt h p̂2 i x + V (x̂), p̂x 2m 1 ~ = p̂x [p̂x , p̂x ] + [p̂x , p̂x ] p̂x + [V (x̂), p̂x ] = − ∂x V (x) | {z } | {z } 2m i b p̂x ] = [H, =0 =0 E i D ~ dhp̂x i i b [H, p̂x ] = y = − ∂x V (x) = −h∂x V i , (2.56) dt ~ ~ i wobei der Kommutator [V (x̂), p̂x ] in der Ortsdarstellung ausgewertet wurde: h ~ ~ 0 ~ ~ i V ∂ x − ∂x V ψ = V ψ − V 0ψ − V ψ0 = − V 0ψ V (x), ∂x ψ(x) = i i i i h ~ i ~ y V (x), ∂x = − ∂x V (x) . (2.57) i i QM 16 Wie ist ein quantenmechanischer Drehimpuls definiert? In der Quantenmechanik definiert man einen allgemeinen Drehimpuls22 über die Vertauschungsrelationen seiner Komponenten, (2.58) Jbi , Jbj = i~εijk Jbk . Für den Bahndrehimpuls folgt dies über das Korrespondenzprinzip aus der b i = εijk r̂j p̂k , und den Vertauschungsklassischen Definition, Li = εijk rj pk → L relationen von Ort und Impuls: bi , L b j = εiab εjcd [r̂a p̂b , r̂c p̂d ] L = εiab εjcd [r̂a , r̂c ] p̂b p̂d + r̂c [r̂a , p̂d ] p̂b + r̂a [p̂b , r̂c ] p̂d + r̂a r̂c [p̂b , p̂d ] | {z } | {z } | {z } | {z } =0 =i~δad = i~εiab εjcd δad r̂c p̂b − δbc r̂a p̂d =−i~δbc =0 = i~εiab εjcd δad δc` δbm − δbc δa` δdm r̂` p̂m = i~ εiam εjla − εilb εjbm r̂` p̂m = i~εijk εk`m r̂` p̂m bk , = i~εijk L (2.59) wobei im vorletzen Schritt die folgenden Relationen ausgenutzt wurden: εijk εk`m = δi` δjm − δim δj` y εiam εjla = εmia εajl = δmj δi` − δm` δij , εi`b εjbm = εi`b εbmj = δim δ`j − δij δ`m y εiam εjla − εilb εjbm = δmj δi` − δm` δij − δim δ`j + δij δ`m = δi` δjm − δim δj` = εijk εk`m . 22 (2.60) Darunter kann der Bahndrehimpuls eines Teilchens, der Spin eines Teilchens, der Gesamtdrehimpuls eines Systems von Teilchen, etc. gemeint sein. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik QM 17 41 Wie kommt man auf die Eigenwerte von Jb2 und Jbz ? Die Operatoren Jb2 und Jbz kommutieren; d.h. sie haben gemeinsame Eigenvektoren und erfüllen die Eigenwertgleichungen Jb2 |ψi = λ|ψi , Jbz |ψi = µ|ψi , (2.61) wobei |ψi den gemeinsamen Eigenvektor von Jb2 und Jbz zu den Eigenwerten λ und µ bezeichnet. Ähnlich wie bei der algebraischen Methode zur Lösung des harmonischen Oszillators∗ , ist es hilfreich, die so genannten Leiteroperatoren Jb± = Jbx ± iJby (2.62) einzuführen. Mit den Vertauschungsrelationen 2 Jb , Jb± = 0 , Jbz , Jb± = ±~Jb± (2.63) sieht man, dass auch Jb± |ψi Eigenvektoren von Jb2 und Jbz zu den Eigenwerten λ und µ ± ~ sind: Jb2 Jb± |ψi = Jb± Jb2 |ψi = λJb± |ψi , Jbz Jb± |ψi = Jb± Jbz + Jbz , Jb± |ψi = Jb± Jbz + ±~Jb± |ψi = (µ ± ~)Jb± |ψi . (2.64) Aus der Eigenschaft, dass die Norm dieser Eigenvektoren nicht negativ ist, ergibt sich eine Einschränkung der Werte von λ und µ: Jb± |ψi = hψ|Jb∓ Jb± |ψi = hψ| Jb2 − Jbz2 ∓ ~Jbz |ψi = λ − µ2 ∓ µ~ ≥ 0 y λ ≥ µ(µ ± ~) . (2.65) Von diesen beiden Ungleichungen (mit + und −) ist nur diejenige mit dem größeren Wert von µ(µ ± ~) relevant. Es gilt ( µ(µ + ~) > µ(µ − ~) für µ > 0 µ+~>µ−~ |·µ y µ(µ + ~) < µ(µ − ~) für µ < 0 ( µ(µ + ~) für µ > 0 y λ≥ y λ ≥ |µ| |µ| + ~ . (2.66) µ(µ − ~) für µ < 0 Mit dem Ansatz λ ≡ j(j + 1)~2 und µ ≡ m~ ergibt sich j(j + 1)~2 ≥ |m|~ |m|~ + ~ = |m| |m| + 1 ~2 y y ∗ Siehe QM 25 auf Seite 49. j ≥ 0, −j ≤ m ≤ j . j ≥ |m| (2.67) 42 M. G. Bernhardt Insgesamt erhält man, dass j nach unten hin beschränkt ist, und m im Intervall von −j bis j liegt. Um zu sehen, welche Werte für j und m möglich sind, betrachtet man die Wirkung der Leiteroperatoren auf die Eigenvektoren, welche im folgenden durch |ψi ≡ |j, mi ausgedrückt werden. Die Eigenwertgleichungen (2.61) und (2.64) lauten in dieser Notation Jb2 |j, mi = j(j + 1)~2 |j, mi , Jbz |j, mi = m~|j, mi , Jb2 Jb± |j, mi = j(j + 1)~2 Jb± |j, mi , Jbz Jb± |j, mi = (m ± 1)~Jb± |j, mi . (2.68) (2.69) Man kann daher schreiben Jb± |j, mi = c± |j,p m ± 1i, wobei sich die Konstanten c± aus der Normierungsbedingung zu c± = j(j + 1) − m(m ± 1) ~ ergeben.23 Wählt man m = j, d.h. den größten Wert von m, so verschwindet c+ . Für den kleinsten Wert m = −j ist c− = 0. Demnach gilt Jb+ |j, ji = 0 , Jb− |j, −ji = 0 . (2.70) Wendet man sukzessive Jb− auf |j, ji an, so ergibt sich die Folge |j, ji , |j, j − 1i ∝ Jb− |j, ji , .. . |j, j − ni ∝ Jb−n |j, ji , .. . |j, −ji ∝ Jb2j |j, ji . (2.71) − Dies sind die Eigenvektoren von Jbz zu den Eigenwerten j~, (j −1)~, . . . (j −n)~, . . . −j~. Da 2j eine ganze Zahl sein muss, ist j entweder ganz- oder halbzahlig. Man kann zeigen, dass in (2.71) tatsächlich alle möglichen Eigenvektoren von Jbz (und damit auch von Jb2 ) vorkommen.24 Wir erhalten als Resultat: Die Operatoren Jb2 und Jbz besitzen diskrete Eigenwertspektren, nämlich j(j + 1)~2 und m~, wobei die Quantenzahlen j und 23 Man nimmt die Zustände |j, mi, |j, m ± 1i als normiert an, d.h. hj, m|j, mi = 1. 2 Mit Jb± |j, mi = c± |j, m ± 1i und hj, m|Jb∓ = c∗± hj, m ± 1| 2gilt |c2± |2 hj, m ± 1|j, m ± 1i = 2 2 b∓ Jb± |l, mi = hj, m| Jb − Jbz ∓ ~Jbz |j, mi = j(j + 1)~ − m ~ ∓ m~2 hj, m|j, mi y hj, m|J p c± = j(j + 1) − m(m ± 1) ~. 24 Das folgt aus der Beschränktheit von m auf das Intervall von −j bis j (für vorgegebenes j). Der größte Eigenwert von Jbz ist j~ mit dem zugehörigen Eigenvektor |j, ji. Eine Anwendung von Jb− auf diesen Vektor liefert den zum Eigenwert (j −1)~ gehörenden Eigenvektor Jb− |j, ji ∝ |j, j − 1i. Zwischen den beiden Eigenwerten j~ und (j − 1)~ kann kein Eigenwert (j − p)~ mit 0 < p < 1 von Jbz liegen, denn eine Anwendung von Jb+ auf den zugehörigen Eigenvektor |j, j − pi ergäbe den Eigenvektor Jb+ |j, j − pi ∝ |j, j − p + 1i. Wegen j − p + 1 > j wäre der zugehörige Eigenwert größer als j~, und das ist ein Widerspruch. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 43 m folgende Werte annehmen können: j = 0, 1, 2, ... oder j = 1 2 , 3 2 , 5 2 , ... , m = j , j − 1, j − 2, ... − j . QM 18 (2.72) Warum sind die Bahndrehimpuls-Quantenzahlen ` und m ganzzahlig? Die Quantenzahlen j und m eines allgemeinen Drehimpulses Jb können gemäß (2.72) entweder ganzzahlige oder halbzahlige Werte annehmen. Beim Bahndreb sind ` und m ganzzahlig. Das kann man folgendermaßen sehen: In himpuls L b 2 und L b z in Kugelkoordinaten sind die gemeinsamen Eigenfunktionen von L der Ortsdarstellung die Kugelflächenfunktionen Y`,m (ϑ, ϕ). Diese kann man in ihren beiden Variablen ϑ und ϕ separieren, Y`,m (ϑ, ϕ) = F`,m (ϑ) · eimϕ .25 Der Azimutwinkel ϕ läuft von 0 bis 2π. Aus der Stetigkeit von Y`,m (ϑ, ϕ) folgt eimϕ = eim(ϕ+2π) , also eim2π = 1. Das ist nur für ganzzahlige m erfüllt (für halbzahlige m gilt eim2π = −1), und folglich ist auch ` ganzzahlig. QM 19 bx und L by gleichzeitig scharf messen? Kann man L Die Komponenten des Drehimpulses kommutieren nicht. Bei gleichzeitiger Messung ergibt sich gemäß Gleichung (2.49) und (2.58) ein Unschärfeprodukt ∆Li · ∆Lj ≥ 1 2 bi , L bj = L y 1 2 bk = i~εijk L ∆Lx · ∆Ly ≥ 1 2 b k i ~εijk hL ~ b hLz i . 2 (2.74) bz Das Produkt der Unschärfen verschwindet, wenn der Erwartungswert von L b 2 Null Null ist. Das ist aber nur dann der Fall, wenn der Erwartungswert von L ist. Im Allgemeinen sind zwei Drehimpulskomponenten nicht gleichzeitig scharf messbar. 25 b z Y`m (ϑ, ϕ) = ~mY`m (ϑ, ϕ) ableiten, Das kann man auch aus der Eigenwertgleichung L b z in Kugelkoordinaten, also L b z = ~ ∂ , einsetzt: wenn man L i ∂ϕ ∂ Y`m (ϑ, ϕ) = imY`m (ϑ, ϕ) ∂ϕ y Y`m (ϑ, ϕ) = F`,m (ϑ) · eimϕ . (2.73) 44 M. G. Bernhardt QM 20 b und H b Welche physikalische Bedeutung hat es, wenn L kommutieren? Gemäß der Heisenberg’schen Bewegungsgleichung (2.34), b bE dhLi i D b b E D ∂ L = H, L + , dt ~ ∂t (2.75) b ist der Erwartungswert des Drehimpulses dann eine Erhaltungsgröße, wenn L b kommutiert. nicht explizit von der Zeit abhängt und mit H QM 21 Was ist Spin? Wie kommt man darauf ? Der Spin ist ein innerer Freiheitsgrad aller Teilchen. Er ist eine rein quantenmechanische Observable ohne klassisches Analogon und kann demnach nicht über das Korrespondenzprinzip aus einer klassischen Größe abgeleitet werden. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird er ad hoc als verallgemeinerter Drehimpuls eingeführt, erfüllt also die Vertauschungsrelationen Sbi , Sbj = i~εijk Sbk (2.76) und die Eigenwertgleichungen Sb 2 |s, ms i = s(s + 1)~2 |s, ms i , Sbz |s, ms i = ms ~|s, ms i . (2.77) Im Gegensatz zum Bahndrehimpuls, können die Spinquantenzahlen s und ms ganzzahlige und halbzahlige Werte annehmen. Zur Einführung des Spins führten die Ergebnisse des Einstein-de HaasExperiemts und des Stern-Gerlach-Eperiments. QM 22 Wie kann man Spin- 12 -Teilchen beschreiben? Für Teilchen mit der Spinquantenzahl s = 12 kann ms nur die Werte ± 12 annehmen, und die Eigenwertgleichungen (2.77) lauten Sb 2 21 , ± 12 = 34 ~2 21 , ± 12 , Sbz 12 , ± 21 = ± 12 ~ 21 , ± 12 . (2.78) Der zweidimensional und wird durch die Basisvektoren 1 1 Spin-Zustandsraum 1 1 ist , 2 2 ≡ | ↑i und 2 , − 2 ≡ | ↓i aufgespannt. Es bietet sich daher an, in der Matrixdarstellung zu arbeiten. Identifiziert man die Basisvektoren mit den Spaltenvektoren der Standardbasis 1 0 | ↑i ≡ , | ↓i ≡ , (2.79) 0 1 Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 45 so ergeben sich für die Operatoren Sb2 und Sbz die Matrizen 1 0 , Sb2 = 34 ~2 0 1 1 0 Sbz = 12 ~ . 0 −1 (2.80) Mit Hilfe der Leiteroperatoren Sb± können auch die Matrizen der anderen Spinkomponenten gewonnen werden:26 Sb+ | ↑i = 0 , Sb+ | ↓i = ~ | ↑i y Sb− | ↓i = 0 , Sb− | ↑i = ~ | ↓i y 0 b S+ = ~ 0 0 Sb− = ~ 1 1 , 0 0 . 0 (2.81) (2.82) Die Definitionsgleichung der Leiteroperatoren, Sb± = Sbx ± iSby , liefert Sbx = 1 2 Sby = 1 2i 1 0 1 b b S+ + S− = 2 ~ 1 0 1 0 −i b b S+ − S− = 2 ~ i 0 (2.83) (2.84) Mit den Pauli-Matrizen σx = 0 1 , 1 0 σy = 0 −i , i 0 σz = 1 0 0 −1 (2.85) kann man dies zusammenfassend schreiben als ~ Sbi = σi . 2 (2.86) Die Spinkomponente in beliebiger Raumrichtung ϑ, ϕ (siehe Abbildung 4 auf Seite 56) erhält man durch Projektion auf den Einheitsvektor ~eϑ,ϕ = (sin ϑ cos ϕ , sin ϑ sin ϕ , cos ϑ)T : Sbϑ,ϕ = Sbx sin ϑ cos ϕ + Sby sin ϑ sin ϕ + Sbz cos ϑ ~ 0 1 0 −i 1 0 = sin ϑ cos ϕ + sin ϑ sin ϕ + cos ϑ 1 0 i 0 0 −1 2 ~ cos ϑ sin ϑ e−iϕ = . (2.87) 2 sin ϑ eiϕ − cos ϑ 26 In Aufgabe QM 17 auf Seite 41 wurde gezeigt, wie die Leiteroperatoren Jb± auf einen Eigenvektor von Jbz wirken: Jb± |j, mi = c± |j, m ± 1i, mit den Normierungskonstanten p c± = j(j p + 1) − m(m ± 1) ~. Im Falle des Spins wird das zu Sb± 12 , ms = c± 12 , ms ± 1 und c± = 3/4 − ms (ms ± 1) ~. Für ms = 12 ist c+ = 0 und c− = ~, für ms = − 12 ist c− = 0 und c+ = ~. 46 M. G. Bernhardt In der | ↑i, | ↓i -Basis können auch die Eigenvektoren | →i, | ←i von Sbx und | %i, | .i von Sby als Spaltenvektoren ausgedrückt werden:27 1 1 1 1 | →i = √ , | ←i = √ , (2.88) 2 1 2 −1 1 1 1 1 √ √ | %i = , | .i = . (2.89) i −i 2 2 QM 23 Wie behandelt man Stern-Gerlach-Filter? Im Stern-Gerlach-Experiment wird ein Strahl aus Silberatomen durch ein inhomogenes Magnetfeld geschickt und auf einem dahinterliegenden Schirm sichtbar gemacht. Man beobachtet eine Aufspaltung in zwei Teilstrahlen. Wenn nun einer der beiden Teilstrahlen blockiert, und der andere durchgelassen wird, hat man einen Stern-Gerlach-Filter. Mathematisch kann dieser Filterprozess durch einen Projektionsoperator repräsentiert werden. Ein Filter, der nur die | ↑iKomponente des Spin- 21 -Teilchenstrahls durchlässt, schreibt sich als Fb↑ = | ↑ih↑ | , (2.90) und seine Wirkung auf ein einlaufendes Silberatom im Spinzustand |ini ist |outi = Fb↑ |ini . (2.91) In der | ↑i, | ↓i -Basis der Eigenvektoren von Sbz können die Stern-GerlachFilter durch Matrizen ausgedrückt werden. Mit (2.79), (2.88) und (2.89) ergibt sich 1 1 0 F↑ = | ↑ih↑ | = 1,0 = (2.92) 0 0 0 1 1 1 1 1 F→ = | →ih→ | = (1 , 1) = (2.93) 2 1 2 1 1 1 1 1 1 −i (1 , −i) = (2.94) F% = | %ih% | = 2 i 2 i 1 Beispiele: Es sei |ini = α| ↑i + β| ↓i = ( αβ ), mit |α|2 + |β|2 = 1: 27 Die (normierten) Eigenvektoren von Sbx und Sby zu den Eigenwerten ± 21 ~ folgen aus den Eigenwertgleichungen Sbx ( xx12 ) = ± 21 ~ ( xx12 ) und Sby ( yy12 ) = ± 21 ~ ( yy12 ) mit den Matrizen für Sbx und Sby : ~ 0 1 ~ x1 1 1 1 x1 x1 x1 1 =± y x2 = ±x1 y = √ , = √ , x2 x2 x2 2 1 0 2 x2 2 1 2 −1 ~ 0 −i ~ y1 1 1 1 y1 y1 y1 1 =± y y2 = ±iy1 y = √ , = √ . 0 y2 y2 y2 2 i 2 y2 2 i 2 −i Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 47 • Ein +z-Filter. |outi = Fb↑ |ini = ( 10 00 ) ( αβ ) = α ( 10 ) = α| ↑i • Ein −z-Filter. |outi = Fb↓ |ini = ( 00 01 ) ( αβ ) = β ( 01 ) = β| ↓i • Zwei Filter. |outi = Fb→ Fb↑ |ini = ( 11 11 ) ( 10 00 ) ( αβ ) = α ( 11 ) = √ 2α| →i • Drei Filter. |outi = Fb↑ Fb→ Fb↑ |ini = ( 10 00 ) ( 11 11 ) ( 10 00 ) ( αβ ) = α| ↑i • Drei Filter. |outi = Fb↓ Fb→ Fb↑ |ini = ( 00 01 ) ( 11 11 ) ( 10 00 ) ( αβ ) α ( 11 ) = α| ↓i bz . hSbz i = hin|Sbz |ini = • Erwartungswert von S ~ 2 2 2 |α| − |β| ~ α∗ , β ∗ ) 2( 1 0 0 −1 ( αβ ) = Es sei betont, dass α| ↑i + β| ↓i = ( αβ ) bereits ein polarisierter Zustand ist! Der Silberatomstrahl im Stern-Gerlach-Experiment ist zunächst unpolarisiert und befindet sich folglich in einem gemischten Zustand, der nicht durch einen Hilbert-Vektor darstellbar ist, sondern durch einen statistischen Operator bzw. seine Dichtematrix beschrieben wird. Aus dem Experiment weiß man, dass die Teilstrahlen in z- und −z-Richtung gleiche Intensitäten haben, und die Zustände | ↑i und | ↓i folglich mit gleichen Wahrscheinlichkeiten im gemischten Zustand vorkommen. Die Dichtematrix des Anfangszustands lautet daher ρ̂gem = | ↑i 21 h↑ | + | ↓i 12 h↓ | = 1 2 1 1 0 1 1,0 + 0,1 = 2 0 0 2 1 0 1 2 , (2.95) während der reine Zustand |ψi = ( αβ ) mit der Dichtematrix ρ̂rein 2 α |α| αβ ∗ ∗ ∗ = |ψihψ| = α ,β = , β βα∗ |β|2 (2.96) verknüpft ist. Damit lassen sich die Erwartungswerte z.B. von Sbz berechnen: hSbz igem = Spur(ρ̂Sbz ) 1 ~ 1 0 2 0 = Spur 0 21 2 0 −1 1 ~ 2 0 = Spur 2 0 − 12 = 0, hSbz irein 2 |α| αβ ∗ ~ 1 0 = Spur βα∗ |β|2 2 0 −1 2 ~ |α| −αβ ∗ = Spur = 12 ~ |α|2 − |β|2 . ∗ 2 2 βα −|β| (2.97) (2.98) 48 M. G. Bernhardt QM 24 Welche Energieniveaus kann ein Teilchen im Kastenpotential einnehmen? Die Energieniveaus eines Teilchens im kubischen Kastenpotential mit Kantenlänge a lauten ~2 π 2 2 nx + n2y + n2z . (2.99) 2 2m a Zur Herleitung betrachtet man zunächst einen eindimensionalen Kasten mit unendlich hohen Potentialwänden ( 0 für 0 < x < a , V (x) = (2.100) ∞ sonst. E= Die Energieniveaus eines Teilchens in diesem Potential ergeben sich aus der stationären Schrödingergleichung (2.33). Innerhalb des √ Kastens gilt V = 0 und −~2 somit 2m ∂x ψ(x) = Eψ(x). Mit der Abkürzung k ≡ 2mE/~ lautet dies ∂x2 + k 2 ψ(x) = 0 . (2.101) Man macht den Lösungsansatz ψ(x) = Aeikx + Be−ikx . (2.102) Die Wellenfunktion muss außerhalb des Kastens verschwinden und an den Rän! dern stetig sein. Aus ψ(0) = 0 folgt B = −A und damit ψ(x) = A eikx − e−ikx = i2A sin(kx) . (2.103) ! ! Mit ψ(a) = 0 y i2A sin(ka) = 0 ergibt sich nπ k= , n ∈ N. a Wir erhalten schließlich die Energieniveaus (2.104) ~2 π 2 2 ~2 2 k = n , n = 1, 2, 3, . . . . (2.105) 2m 2m a2 Die Quantenzahl n = 0 ist ausgeschlossen, weil die zugehörige Wellenfunktion ~2 π 2 nicht normierbar ist. Daher ist E1 = 2m die Mindestenergie des Teilchens. a2 Die Wellenfunktion für ein Teilchen im zwei- oder dreidimensionalen Kastenpotential ist das Produkt der eindimensionalen Wellenfunktionen, En ≡ Ψ(x, y, z) = ψx (x) · ψy (y) · ψz (z) (2.106) Damit zerfällt die Schrödingergleichung in drei separate Gleichungen vom Typ (2.101): : Ψ(x, y, z) = ψx (x) · ψy (y) · ψz (z) ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 + k 2 Ψ(x, y, z) = 0 y ∂y2 ψy (y) ∂x2 ψx (x) ∂ 2 ψz (z) + kx2 + + ky2 + z + kz2 = 0 , ψx (x) ψy (y) ψz (z) | {z } | {z } {z } | =0 =0 =0 (2.107) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 49 mit k 2 ≡ kx2 + ky2 + kz2 ≡ 2mE/~2 . Betragen die Kantenlängen in x-, y-, und z-Richtung a, b und c, so liegen die möglichen Energien bei n2z ~2 π 2 n2x n2y + 2 + 2 , nx , ny , nz = 1, 2, 3, . . . . (2.108) E= 2m a2 b c Für einen Kubus mit a = b = c wird das zu Gleichung (2.99). Die minimale 2 ~2 Energie des Teilchens ist dann E1,1,1 = 3π . 2ma2 QM 25 Wie behandelt man den harmonischen Oszillator in der Quantenmechanik? Den Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators erhält man über das Korrespondenzprinzip aus der klassischen Hamiltonfunktion. Er lautet28 2 b = p̂ + 1 mω 2 x̂2 . H 2m 2 (2.109) b nicht explizit von der Zeit abhängt, ergeben sich die Energiezustände des Da H b ni = harmonischen Oszillators aus der stationären Schrödingergleichung, H|ψ En |ψn i.29 Diese kann sehr elegant mit der so genannten algebraischen Methode gelöst werden: Man führt die Operatoren √ √ i i 1 1 † mω x̂ + √ mω x̂ − √ p̂ , â = √ p̂ , â = √ mω mω 2~ 2~ (2.110) † b N = â â ein, mit deren Hilfe der Hamiltonoperator als b = N b + 1 ~ω H 2 (2.111) b lautet geschrieben werden kann. Die Eigenwertgleichung für N b |ni = n|ni , N (2.112) b zum Eigenwert n bezeichnet. Da H b und N b worin |ni den Eigenvektor von N kommutieren, sind ihre Eigenvektoren identisch, |ψn i = |ni. Wegen (2.111) gilt dann auch b H|ni = n + 21 ~ω|ni , (2.113) und damit lauten die Energie-Eigenwerte des harmonischen Oszillators30 28 Hier wird der eindimensionale harmonische Oszillator betrachtet. Da die potentielle Energie 12 mω 2 x2 beliebig groß wird, gibt es nur gebundene Zustände. Wir erwarten also ein diskretes Energiesprektrum, was durch den Index n angedeutet wurde. 30 Im dreidimensionalen Fall liegen die Energieniveaus bei En = n + 23 ~ω, mit n = nx + ny + nz . 29 50 M. G. Bernhardt En = n + 1 2 ~ω . (2.114) b größergleich Null sind.31 Der Man kann zeigen, dass alle Eigenwerte von N kleinste Eigenwert n = 0 ergibt – im Unterschied zum klassischen harmonischen Oszillator – eine von Null verschiedene Grundzustandsenergie E0 = 12 ~ω. b. Man untersucht nun die Wirkung des Operators â auf Eigenvektoren von N Dazu nutzt man die Vertauschungsrelationen [â, ↠] = 1 , b , â] = −â , [N (2.115) und erhält die Eigenwertgleichungen b |ni = n|ni , N b − â |ni b + [N b , â] |ni = âN b â|ni = âN N b − 1 |ni = (n − 1)â|ni , = â N b â2 |ni = âN b + [N b , â] â|ni = â N b − 1 â|ni N (2.116) =. â(n − 1 − 1)â|ni = (n − 2)â2 |ni , .. m b N â |ni = (n − m)âm |ni . b Die Vektoren |ni, â|ni, â2 |ni , . . . , âm |ni sind somit Eigenvektoren von N zu den Eigenwerten n, n − 1, n − 2 , . . . , n − m. Man kann daher schreiben â|ni = c · |n − 1i, wobei sich die Konstante aus der Normierungsbedingung zu √ c = n ergibt.32 Folglich lauten die obigen Eigenvektoren √ n |n − 1i , p √ â2 |ni = â n |n − 1i = n(n − 1) |n − 2i , .. .q n! âm |ni = (n−m)! |n − mi . â|ni = (2.117) √ Für m = n erhält man den Grundzustand, ân |ni = √ n! |0i, und nochmaliges n+1 Anwenden von â ergibt den Nullvektor, â |ni = â n! |0i = 0; die Reihe bricht bei m = n ab. Analog kann man sich die Wirkung des Operators ↠auf die Eigenvektoren b überlegen. Mit der Vertauschungsrelation von N b , ↠] = ↠[N (2.118) b |ni = hn|↠â|ni = kâ|nik2 ≥ 0. Aus hn|ni ≥ 0 folgt dann Beweis: Es gilt nhn|ni = hn|N n ≥ 0. 32 Man nimmt die Zustände |ni, |n − 1i, |n − 2i, . . . als normiert an, d.h. hn|ni = 1, etc. b |ni = Mit â|ni = c · |n − 1i und hn|↠= c∗ hn − 1| gilt |c|2 hn − 1|n − 1i = hn|↠â|ni = hn|N √ 2 nhn|ni y |c| = n y c = n. 31 Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 51 ergeben sich die Eigenwertgleichungen b + ↠|ni b + [N b , ↠] |ni = ↠N b ↠|ni = ↠N N b + 1 |ni = (n + 1)↠|ni , = ↠N b (↠)2 |ni = ↠N b + [N b , ↠] ↠|ni = ↠N b + 1 ↠|ni N (2.119) † 2 =. (n + 2)(â ) |ni , .. † m b N (â ) |ni = (n + m)(↠)m |ni . Die Vektoren |ni, ↠|ni, (↠)2 |ni , . . . , (↠)m |ni sind somit Eigenvektoren von b zu den Eigenwerten n, n+1, n+2 , . . . , n+m. Mit der richtigen Normierung N √ gilt ↠|ni = n + 1 |n + 1i.33 Wendet man ↠sukzessive auf den Grundzustand an, erhält man |1i = ↠|0i , |2i = .. . |mi = √1 2 ↠|1i = √1 m! √1 2 (↠)2 |0i , (2.120) (↠)m |0i . b natürliche Ganz wesentlich ist die Tatsache, dass alle Eigenwerte von N Zahlen sind. Das hat nämlich zur Folge, dass durch die Reihe |0i, |1i, |2i , . . . b , und damit auch alle Energiezustände des alle möglichen Eigenvektoren von N harmonischen Oszillators, durchlaufen werden.34 Schließlich kann man noch die Wellenfunktionen ψn (x) = hx|ni in der Ortsdarstellung berechnen. Man beginnt mit dem Grundzustand. Die Gleichung â|0i = 0 lautet in der Ortsdarstellung35 mω ~ x + ∂x ψ0 (x) = 0 . (2.121) † Wieder seien die Zustände |ni, |n + 1i, |n + 2i, usw. normiert. Mit â |ni = c|n + 1i und ∗ 2 † † † b |ni = hn|â = c hn + 1| gilt |c| hn + 1|n + 1i = hn|ââ |ni = hn| [â, â ] + â â |ni = hn| 1 + N √ (1 + n)hn|ni y |c|2 = n + 1 y c = n + 1. 34 b âm |ni = (n − m)âm |ni. Angenommen, n sei keine Beweis durch Widerspruch. Es gilt N b âm |m − εi = natürliche Zahl, d.h. n = m − ε mit m ∈ N und 0 < ε < 1. Dann erhält man N m m b (m−ε−m)â |m−εi = −εâ |m−εi, also einen negativen Eigenwert von N . Das widerspricht dem oben bewiesenen (alle Eigenwerte n ≥ 0). Für n ∈ N ergibt sich das Problem nicht, da, wie oben gezeigt, ân |ni den Grundzustand ergibt, und nochmaliges Anwenden ân+1 |ni den Nullvektor. 35 Die Ortsdarstellung von â|0i = 0 ergibt sich durch Projektion auf den BasisvekR tor |x0 i, hx|â|0i = 0. Mit der Vollständigkeitsrelation dx0 |x0 ihx0 | = 1 gilt hx|â|0i = R 0 √ dx hx|â|x0 ihx0 |0i = 0. Dabei ist hx0 |0i ≡ ψ0 (x0 ) und hx|â|x0 i = √12~ hx| mω x̂ + q √ ~ ~ mω √i p̂ |x0 i = √12~ mω x + √mω ∂x hx|x0 i = x + ∂x δ(x − x0 ). Somit gilt 2mω ~ mω Z q q 0 mω 0 0 ~ ~ mω hx|â|0i = dx x + ∂ δ(x − x ) · ψ (x ) = x + ∂ ψ0 (x) = 0 y x 0 x 2mω ~ 2mω ~ mω x + ∂x ψ0 (x) = 0. ~ 33 52 M. G. Bernhardt Diese Differentialgleichung kann man direkt integrieren und erhält ψ0 (x) = mω 1/4 π~ mω exp − x2 , 2~ (2.122) wobei der Faktor vor der e-Funktion für die Normierung sorgt. Die Wellenfunktionen aller weiteren Energiezustände ergeben sich gemäß Gleichung (2.120) aus der sukzessiven Anwendung von ↠auf ψ0 (x): ψn (x) = hx|ni = √1n! hx|(↠)n |0i n 1 ~ n/2 mω =√ x + ∂x ψ0 (x) . ~ n! 2mω Mit der Abkürzung λ = (2.123) p mω/~ ergibt das: ψ0 (x) = 1 π 1 √ 4 1 √ 1 2 λ · e− 2 (λx) , 1 2 λ · (λx) · e− 2 (λx) , 1 √ 1 2 1 4 λ · 2(λx)2 − 1 · e− 2 (λx) , ψ2 (x) = 4π .. . √ − 1 √ 1 2 ψn (x) = 2n n! π 2 λ · Hn (λx) · e− 2 (λx) , ψ1 (x) = 4 π 4 (2.124) mit den Hermite-Polynomen Hn (x). In den folgenden Abbildungen sind die Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten einiger Energieniveaus dargestellt. ψ0 (x) ψ1 (x) ψ2 (x) 1 1 1 x −3 −2 −1 1 2 3 x −3 −2 −1 1 2 3 x −3 −2 −1 1 2 3 Abbildung 1: Die Wellenfunktionen der ersten drei Energieniveaus des harmonischen Oszillators. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik ψ02 (x)/λ 0.6 ψ02 (x)/λ 0.6 ψ12 (x)/λ 0.6 53 ψ12 (x)/λ ψ22 (x)/λ 0.6 0.6 λx λx −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 λx −3 −2 −1 0 1 2 3 0.6 ψ22 (x)/λ λx −3 −2 −1 0 1 2 3 λx −3 −2 −1 0 1 2 3 λx −3 −2 −1 0 1 2 3 Abbildung 2: Die Wahrscheinlichkeitsdichten der ersten drei Energieniveaus. 2 ψ10 (x)/λ 2 ψ10 (x)/λ 0.2 0.2 λx −6 −4 −2 0 2 4 6 λx des Energieniveaus n = 10. −6Abbildung −4 −2 3: Die 0 Wahrscheinlichkeitsdichte 2 4 6 QM 26 Wie behandelt man den anharmonischen Oszillator bei kleiner Störung (∝ x4 )? Man benutzt die stationäre Störungstheorie. Der Hamilton-Operator kann in der Form b =H b (0) + δ H b H (2.125) b (0) = p̂2 + 1 mω 2 x̂2 der Hamilton-Operator des geschrieben werden, wobei H 2m 2 b ∝ x̂4 eine kleine Störung ist. Die ungestörten harmonischen Oszillators und δ H Energien ergeben sich aus b En = En(0) + hn|δ H|ni + 2 X |hm|δ H|ni| b (0) m6=n (0) En − Em + ··· . (2.126) b (0) zum Eigenwert En(0) = n + 1 ~ω. Darin ist |ni ein Eigenvektor von H 2 b Zur Berechnung der Matrixelemente hm|δ H|ni ist es günstig, den Ortsoperator durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auszudrücken. Aus deren Definition (2.110) ergibt sich r ~ x̂ = â + ↠. (2.127) 2mω 54 QM 27 M. G. Bernhardt Welche Quantenzahlen gibt es beim Wasserstoffatom? Die Lösung der Schrödingergleichung für das naive Wasserstoffatom führt auf die drei Quantenzahlen n, ` und m. Durch die Hauptquantenzahl oder Energiequantenzahl n beschreibt man die verschiedenen Energieniveaus des Elektrons, die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl ` kennzeichnet die Form des Orbitals und die Magnetquantenzahl m seine räumliche Orientierung bezüglich eines äußeren Magnetfeldes. Eine relativistische Behandlung des Wasserstoffatoms mit der Diracgleichung berücksichtigt den Elektronenspin und führt auf zwei weitere Quantenzahlen, die Spinquantenzahl s und die magnetische Spinquantenzahl ms . Des weiteren gibt es Quantenzahlen für den Gesamtdrehimpuls des Elektrons (j), den Kernspin (I) und den Gesamtdrehimpuls des Atoms (F ). Quantisierte Größe Formel Quantenzahl Energiezustände des Elektrons En = −13,6 eV/n2 n = 1, 2, 3, . . . Bahndrehimpuls des Elektrons ~ = |L| ` = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ~ z-Komponente von L Lz = m~ p ~ | = s(s + 1) ~ = |S Spin des Elektrons ~ z-Komponente von S Gesamtdrehimpuls des ~ +S ~ Elektrons, J~ = L Kernspin (Protonspin) Gesamtdrehimpuls des Atoms, F~ = I~ + J~ QM 28 p `(` + 1) ~ m = 0, ±1, ±2, . . . , ±` √ 3 2 ~ Sz = ms ~ = ±~/2 p |J~ | = j(j + 1) ~ |I~ | = p I(I + 1) ~ = p |F~ | = F (F + 1) ~ s = 1/2 ms = ±1/2 j = ` + 12 , |` − 12 | √ 3 2 ~ I = 1/2 F = I + j, I + j − 1, . . . , |I − j| Warum stürzt das Elektron im Wasserstoffatom nicht in den Kern? Von einem Elektron, dass in den Kern gestürzt ist, wären die Orts- und Impulskoordinaten exakt bekannt, r = 0, p = 0. Das steht jedoch im Widerspruch zur Heisenberg’schen Unschärferelation, wonach Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig scharf messbar sind. Den minimalen Atomradius und die zugehörige Energie kann man mit der Unschärferelation wie folgt abschätzen. Die Energie eines Elektrons im Abstand Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 55 r vom Kern beträgt p2 e2 − . (2.128) 2m r Wenn sich das Elektron nicht weiter als r vom Kern entfernt, ist die maximale Ortsunschärfe von der Größenordnung ∆r = r. Als Impulsunschärfe kann man p p (2.129) ∆p ≡ hp2 i − hpi2 = hp2 i E= ansetzen, da sich das Elektron in keiner Richtung des Raumes bevorzugt bewegt, und somit hpi = 0 ist. Aus der Unschärferelation36 ∆r · ∆p ≥ ~ folgt hp2 i ≥ ~2 /r2 . Damit ergibt sich die mittlere Energie des Elektrons im Abstand r zu hEi ≥ e2 ~2 − . 2mr2 r (2.130) Für r = rmin wird die Energie minimal:37 ~2 e2 ! dhEi =− 3 + 2 =0 dr mr r QM 29 ~2 = 0,529 Å me2 me4 = − 2 = −13,6 eV . 2~ y rmin = (2.131) y Emin (2.132) Wie behandelt man das Wasserstoffatom quantenmechanisch? Die Energiezustände des Wasserstoffatoms ergeben sich aus den Lösungen der stationären Schrödingergleichung. Unter Vernachlässigung des Spins erhält man sie in folgenden Schritten: 1. Reduktion auf ein Ein-Körper-Problem. Beim Wasserstoffatom handelt es sich zunächst um ein Zwei-Körper-Problem: ein Elektron und ein Proton im gemeinsamen Coulomb-Potential V = −e2 /|~re − ~rp |. Da die potentielle Energie nur vom relativen Abstand zwischen Elektron und Proton abhängt, ist die Relativdynamik von der Schwerpunktsdynamik entkoppelt. Uns interessiert nur die Relativdynamik, und diese ist mathematisch äquivalent zu einem EinTeilchen-Problem, mämlich einem fiktiven Teilchen mit der (reduzierten) Masse µ = me mp /(me + mp ) im Potential V = −e2 /r, mit r = |~re − ~rp |.38 Die zugehörige stationäre Schrödingergleichung lautet ~2 2 e2 − ∇ − φ(~r ) = Eφ(~r ) . (2.137) 2µ r 36 Den Faktor 1/2 lasse ich weg, weil es hier nur um die Abschätzung von Größenordnungen geht (außerdem zaubere ich damit als Ergebnis den Bohr’schen Radius und die Grundzustandsenergie herbei). 37 Um die Ergebnisse für rmin und Emin in SI-Einheiten zu erhalten, muss man e durch √ 1 · 1,602 · 10−19 C ersetzen. 4πε0 38 Allgemein gilt, dass ein Zwei-Körper-Problem auf ein Ein-Körper-Problem reduziert werden kann, wenn das Potential von der Form V = V (~r1 − ~r2 ) ist. Für die klassische Hamilton- 56 M. G. Bernhardt 2. Separierung in Winkel- und Radialgleichung. Das Coulomb-Potential hängt nur vom Betrag der Relativkoordinaten r = |~re − ~rp | ab, ist also rotationssymmetrisch. Es bietet sich an, in Kugelkoordinaten r, ϑ, ϕ zu rechnen, siehe Abbildung 4. z ~r ϑ y ϕ x Abbildung 4: Kugelkoordinaten. Mit der Transformation x = r sin ϑ cos ϕ , y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϑ wird der Laplaceoperator ∇2 zu 1 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂2 2 r+ 2 + + . ∇ = r ∂r2 r ∂ϑ2 tan ϑ ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 (2.138) (2.139) funktion gilt dann H= ~2 p ~2 P p ~2 p ~12 + + V (~r ) , + 2 + V (~r1 − ~r2 ) = 2m1 2m2 2M 2µ (2.133) ~ bzw. ~r) mit der Substitution (Schwerpunkts- und Relativkoordinaten R ~ = m1~r1 + m2~r2 R m1 + m2 y ~ =M R ~˙ = p P ~1 + p ~2 , ~r = ~r1 − ~r2 y p ~ =µ~r˙ = M = m1 + m2 , m2 p ~1 − m1 p ~2 , M µ= m1 m2 . M (2.134) (2.135) Gleiches gilt für die quantenmechanischen Operatoren. ~ ~r ) = χ(R ~ )·φ(~r ) auf zwei getrennte In der Ortsdarstellung führt der Separationsansatz ψ(R, stationäre Schrödingergleichungen für die Schwerpunkts- und Relativdynamik: ~2 2 ~2 2 ~ ~r ) = Eψ( e R, ~ ~r ) ~ ~r ) = χ(R ~ ) · φ(~r ) : ψ(R, − ∇R − ∇r + V (~r ) ψ(R, 2M 2µ ~ ) ~2 ∇r2 φ(~r ) ~2 ∇R2 χ(R e = const y − − + V (~r ) = E ~) 2M χ(R 2µ φ(~r ) {z } | {z }| =const≡Er =const≡ER 2 y − ~ ~ ) = ER χ(R ~ ), ∇R2 χ(R 2M − ~2 2 ∇r + V (~r ) φ(~r ) = Er φ(~r ) . 2µ (2.136) Der Schwerpunkt verhält sich demnach wie ein freies Teilchen der Masse M , und die Relativbewegung ist äquivalent zu der eines Teilchens der Masse µ im Potential V (~r ). Im Ruhesystem des Schwerpunktes wird aus dem anfänglichen Zwei-Körper-Problem ein Ein-Körper-Problem. (Den Index r an ∇ und E lasse ich im Folgenden weg.) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 57 Man kann zeigen, dass der winkelabhängige Teil durch den Bahndrehimpulsopeb 2 ausgedrückt werden kann: rator L ∇2 = b2 1 ∂2 L r − . r ∂r2 ~2 r2 (2.140) Wir erhalten die Schrödingergleichung b2 L e2 ~2 1 ∂ 2 r+ − φ(r, ϑ, ϕ) = Eφ(r, ϑ, ϕ) . − 2µ r ∂r2 2µr2 r (2.141) b 2 nur von den Winkeln ϑ und ϕ abhängt, führt der Ansatz φ(r, ϑ, ϕ) = Da L R(r) · Y`,m (ϑ, ϕ) zu einer Entkopplung in Radial- und Winkeldynamik. Aus (2.141) ergibt sich die Winkelgleichung b 2 Y`,m (ϑ, ϕ) = const · Y`,m (ϑ, ϕ) ≡ `(` + 1)~2 Y`,m (ϑ, ϕ) , L (2.142) deren Lösungen die Kugelflächenfunktionen sind.39 Für festes ` lautet die Radialgleichung ~2 1 d2 `(` + 1)~2 e2 − r+ − R(r) = ER(r) . 2µ r dr2 2µr2 r (2.143) Es bleibt also noch ein eindimensionales Problem zu lösen. 3. Vereinfachungen der Radialgleichung. Mit der Substitution u(r) ≡ rR(r) lässt sich Gleichung (2.143) noch etwas vereinfachen,40 − `(` + 1)~2 e2 ~2 d2 + − u(r) = Eu(r) , 2µ dr2 2µr2 r (2.145) und beschreibt ein Teilchen in dem effektiven Potential (siehe Abbildung 5) Veff (r) = 39 40 `(` + 1)~2 e2 − . 2µr2 r (2.146) Dies gilt für jedes Zentralpotential V (r). Das ergibt sich durch Multiplikation von Gleichung (2.143) von links mit r: `(` + 1)~2 ~2 1 d2 e2 rER(r) = r − r + − R(r) 2µ r dr2 2µr2 r `(` + 1)~2 ~2 d2 e2 = − r+ r− r R(r) 2 2 2µ dr 2µr r `(` + 1)~2 e2 ~2 d2 = − + − rR(r). 2µ dr2 2µr2 r (2.144) 58 M. G. Bernhardt Veff (r) · 1 0 a0 e2 ℓ=1 ℓ=2 ℓ=3 2 r/a0 4 −1 ℓ=0 Abbildung 5: Das effektive Potential für ` = 0, 1, 2, 3. Es gilt a0 = 0,529 Å. ~2 µe2 = Ich beschränke mich im Folgenden auf gebundene Zustände mit E < 0. Üblicherweise nimmt man eine Reskalierung vor, r √ e2 −2µE 2µ %≡ r, %0 ≡ , (2.147) ~ ~ −E womit sich Gleichung (2.145) nochmals vereinfacht: 2 d `(` + 1) %0 − + − 1 u(%) = 0 , d%2 %2 % (2.148) Gleichung (2.148) hat das folgende Grenzwertverhalten: ρ→∞: ρ→0: d2 u(%) = u(%) y u(%) ∝ e−% , d%2 d2 `(` + 1) u(%) = u(%) y u(%) = %`+1 . d%2 %2 (2.149) (2.150) 4. Bestimmung der Energieniveaus. Das Grenzwertverhalten von Gleichung (2.148) motiviert für u(%) den Ansatz u(%) = e−% %`+1 w(%) . (2.151) Setzt man dies in (2.148) ein, erhält man eine Differentialgleichung für w(%), die man mit einem Potenzreihenansatz X w(%) = ak % k (2.152) k=0 Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 59 löst. Man erhält die Rekursionsformel ak+1 = 2(k + ` + 1) − %0 ak , (k + 1)(k + 2` + 2) k = 0, 1, 2, . . . (2.153) und schließt aus der Forderung nach Normierbarkeit von u(%), dass die Reihe bei einem endlichen k = N abbricht, was dann der Fall ist, wenn der Zähler in der Rekursionsformel verschwindet. Dies ist nur für bestimmte %0 , und damit bestimmte Energien, möglich: ! %0 = 2(N + ` + 1) y En = − µe4 = −13,6 eV/n2 2~2 n2 (2.154) mit der so genannten Hauptquantenzahl n ≡ N +`+1 = 1, 2, 3, . . . . Die Energie ist quantisiert! 5. Lösung der Radialgleichung. Die Funktion w(%) entspricht bis auf einen konstanten Faktor einem so genannten Laguerre-Polynom w(%) ∝ L2`+1 n+1 (2%) , (2.155) und wir erhalten die Radialfunktion Rn,` (r) ∝ e−% (2%)` L2`+1 n+1 (2%) . Mit der Abkürzung a ≡ ~2 me2 = 0,529 Å lauten die ersten sechs Radialfunktionen: n ` Radialfunktion 1 0 0 R2,0 (r) = 1 R2,1 (r) = 0 R3,0 (r) = 1 R3,1 (r) = 2 R3,2 (r) = 2 3 QM 30 (2.156) Schale Orbital R1,0 (r) = 2a−3/2 e−r/a K 1s 2(2a)−3/2 (1 L 2s r − 2a )e−r/2a √2 (2a)−3/2 r e−r/2a 2a 3 2r 2r2 −3/2 −r/3a + 27a 2(3a) (1 − 3a 2)e √ 4 2 −3/2 r (1 − r ) e−r/3a 3 (3a) 3a 6a √ 2√2 r 2 −r/3a −3/2 (3a) ( 3a ) e 3 5 2p M 3s 3p 3d Was ist das Eichprinzip? Der Zustand eines physikalischen Systems wird in der Quantenmechanik durch einen Zustandsvektor |ψi repräsentiert. |ψi selbst ist keine direkt messbare Größe, wohl aber die Wahrscheinlichkeit |hψ|ψi|2 . An den Messgrößen ändert sich nichts, wenn |ψi mit einem komplexen Faktor vom Betrag 1 multipliziert wird, z.B. mit eiα .41 Dabei spielt es keine Rolle, ob α konstant ist – in diesem Falle spricht man von einer globalen Phasentransformation –, oder ob α von den 41 In der Quantenmechanik wird ein solcher Faktor ein Phasenfaktor genannt. 60 M. G. Bernhardt Raum- und Zeitkoordinaten abhängt – was als lokale Phasentransformation bezeichnet wird. Die zeitliche Entwicklung von |ψi wird durch die Schrödingergleichung beb schrieben: i~ ∂t |ψi = H|ψi. Diese ist kovariant gegenüber einer globalen Phasentransformation des Zustandsvektors, aber nicht bezüglich einer lokalen Phasentransformation, denn die Ableitungen ∂t und ∇ wirken auch auf den Phasenfaktor. Man kann jedoch zeigen, dass die Schrödingergleichung kovariant bezüglich einer lokalen Phasentransformation ist, wenn man die Kopplung an ein elektromagnetisches Feld zulässt – also von der freien Schrödingergleichung zur Schrödingergleichung eines geladenen Teilchens im äußeren elektromagnetischen Feld übergeht – und zusammen mit der Phasentransformation eine Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale durchführt.∗ Aus der Forderung, dass die Schrödingergleichung kovariant bezüglich einer lokalen Phasentransformation sein soll, folgt die Existenz der elektromagnetischen Potentiale als Eichfelder. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als Eichprinzip. QM 31 Wie führt man elektromagnetische Felder in der Quantenmechanik ein? Es gibt zwei Möglichkeiten, elektromagnetische Felder (bzw. Potentiale) in der Quantenmechanik einzuführen: Über das Korrespondenzprinzip aus der klassischen Hamiltonfunktion eines geladenen Teilchens 2 q ~ 2 ~ 1 q 1 b = ~ + qφ , (2.157) p~ − A + qφ → H ∇− A Hklas = 2m c 2m i c oder aus dem so genannten Eichprinzip† : Die Forderung, dass die Schrödingergleichung kovariant bezüglich einer lokalen Phasentransformation42 ist, führt zu den elektromagnetischen Potentialen als Eichfelder. Ich gehe von der freien ~2 ∇2 ψ(x, t), Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung aus, i~ ∂t ψ(x, t) = − 2m und multipliziere auf beiden Seiten mit einem orts- und zeitabhängigen Phasenfaktor vom Betrag 1, eiαχ , mit α = q/(~c) und χ = χ(~r, t): eiαχ i~ ∂t ψ(x, t) = −eiαχ ~2 2 ∇ ψ(x, t) . 2m 42 (2.158) Unter einer lokalen Phasentransformation des Zustandsvektors (bzw. der Wellenfunktion wenn man in Ortsdarstellung rechnet) versteht man die Multiplikation mit einem orts- und zeitabhängigen Phasenfaktor vom Betrag 1, z.B. mit eiαχ , wobei α eine Konstante und χ eine Funktion der Orts- und Zeitkoordinaten ist. Im Gegensatz dazu nennt man die Multiplikation mit einem konstanten Phasenfaktor eine globale Phasentransformation. Die Schrödingergleichung ist kovariant unter einer globalen Phasentransformation, jedoch nicht unter einer lokalen Phasentransformation (siehe QM 32). ∗ Siehe QM 32 auf Seite 61. † Siehe QM 30 auf Seite 59. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 61 Der Phasenfaktor kann hinter die Operatoren ∂t und ∇ gezogen werden, wenn man die Beziehung ef (t) ∂t ψ(x, t) = ∂t − ∂t f (t) ef (t) ψ(x, t) (2.159) ausnutzt: ~2 i~ ∂t − iα ∂t χ eiαχ ψ(x, t) = − ∇ − iα ∇χ eiαχ ∇ψ(x, t) 2m 2 ~2 =− ∇ − iα ∇χ eiαχ ψ(x, t) 2m 2 1 ~ 2 ∇ − iα ∇χ eiαχ ψ(x, t) = 2m i 2 1 ~ = ∇ − ~α ∇χ eiαχ ψ(x, t) . 2m i Mit ψ 0 (x, t) = eiαχ ψ(x, t) und α = q/(~c) ergibt sich: 2 1 ~ q iq 0 ∂t χ ψ (x, t) = ∇ − ∇χ ψ 0 (x, t) i~ ∂t − ~c 2m i c 2 q q 1 ~ 0 ∇ − ∇χ − ∂t χ ψ 0 (x, t) . y i~ ∂t ψ (x, t) = 2m i c c (2.160) (2.161) Zwischen den elektromagnetischen Potentialen und Feldern besteht der Zusam~ = rot A ~ bzw. E ~ = −grad φ − 1 ∂t A. ~ Im vorliegenden Fall (ich bin menhang B c ~ = E ~ = 0, was trivivon der freien Schrödingergleichung ausgegangen) gilt B ~ = 0, φ = 0 erfüllt wird. Eine Eichtransformation, al von den Potentialen A 0 0 ~ ~ A = A + ∇χ bzw. φ = φ − 1c ∂t χ, führt auf ~ 0 = ∇χ , A φ0 = − 1c ∂t χ . (2.162) Oben eingesetzt ergibt das q ~0 2 1 ~ 0 i~ ∂t ψ (x, t) = ∇− A + qφ ψ 0 (x, t) . 2m i c 0 (2.163) Dies ist die Schrödingergleichung eines geladenen Teilchens im äußeren elektromagnetischen Feld. Wie man sieht, ist die Schrödingergleichung nur dann kovariant bezüglich einer lokalen Phasentransformation, wenn man die Kopplung an ein elektromagnetisches Feld zulässt und zusammen mit der Phasentransformation der Wellenfunktion eine Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale durchführt. QM 32 Ist die Schrödingergleichung eines geladenen Teilchens eichinvariant? Die Schrödingergleichung ist weder invariant noch kovariant bezüglich einer Eichtransformation der Potentiale. Sie ist jedoch kovariant, wenn die Eichtrans- 62 M. G. Bernhardt formation der Potentiale zusammen mit einer lokalen Phasentransformation des Zustandsvektors (bzw. der Wellenfunktion) durchgeführt wird: ~ 0= A ~ + ∇χ(~r, t) , A Eichtransformation: (2.164) φ0 = φ − 1c ∂t χ(~r, t) , n iq o Lokale Phasentransformation: ψ 0 (x, t) = exp χ(~r, t) · ψ(x, t) . (2.165) ~c Diese beiden simultan ausgeführten Transformationen bilden die so genannte lokale Eichgruppe U(1). Die Kovarianz kann man wie folgt sehen: Ich gehe von der Schrödingergleichung eines geladenen Teilchens aus, q ~ 2 1 ~ ∇ − A + qφ ψ(x, t) , (2.166) i~ ∂t ψ(x, t) = 2m i c und multipliziere auf beiden Seiten mit einem orts- und zeitabhängigen Phasenfaktor eiαχ , mit α = q/(~c) und χ = χ(~r, t): 1 ~ q ~ 2 iαχ iαχ (2.167) ∇ − A + qφ ψ(x, t) . e i~ ∂t ψ(x, t) = e 2m i c Der Phasenfaktor kann hinter die Operatoren ∂t und ∇ gezogen werden, wenn man die Beziehung f (t) e ∂t ψ(x, t) = ∂t − ∂t f (t) ef (t) ψ(x, t) (2.168) ausnutzt: 1 ~ ~ q ~ 2 i~ ∂t − iα ∂t χ eiαχ ψ(x, t) = ∇ − iα∇χ − A + qφ eiαχ ψ(x, t) . 2m i i c (2.169) Mit ψ 0 (x, t) = eiαχ ψ(x, t) und α = q/(~c) wird das zu 1 ~ q q ~ 2 iq 0 i~ ∂t − ∂t χ ψ (x, t) = ∇ − ∇χ − A + qφ ψ 0 (x, t) ~c 2m i c c 2 1 ~ q ~ 1 0 ∇− A + ∇χ + q φ − ∂t χ ψ 0 (x, t) . y i~ ∂t ψ (x, t) = 2m i c c (2.170) Und schließlich erhalten wir 1 ~ q ~0 2 0 i~ ∂t ψ (x, t) = ∇− A + qφ ψ 0 (x, t) . 2m i c 0 (2.171) Somit erfüllt die phasentransformierte Wellenfunktion ψ 0 (x, t) die Schrödinger~ 0 und φ0 . Die Schrödingergleichung mit den eichtransformierten Potentialen A gleichung eines geladenen Teilchens ist demnach kovariant bezüglich der kombinierten Phasen-Eich-Transformation. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik QM 33 63 Was ist der Aharonov-Bohm-Effekt? In der Quantenmechanik werden elektromagnetische Effekte nicht direkt durch ~ und B-Felder ~ die Ebeschrieben, sondern durch die elektromagnetischen Poten~ letztere gehen in den Hamiltonoperator, und damit in die Schrötiale φ und A; dingergleichung, ein. Ein wesentlicher Unterschied zur klassischen Elektrodynamik entsteht, wenn man Situationen betrachtet, in denen zwar das Magnetfeld in einer gewissen Raumregion verschwindet, aber die Potentiale von Null verschieden sind (und auch durch keine Eichtransformationen zum Verschwinden gebracht werden können). Als Aharonov-Bohm-Effekt bezeichnet man das rein quantenmechanische Phänomen, dass selbst in solchen Situationen die Phase der Wellenfunktion eines geladenen Teilchens vom magnetischen Vektorpotential beeinflusst wird. Dieser Effekt ist messbar – z.B. in einem Doppelspaltexperiment: Befindet sich zwischen Doppelspalt und Schirm ein Magnetfeld, so kommt es zu einer Verschiebung des Interferenzbildes. Diese Verschiebung ist selbst dann beobachtbar, wenn sich die Elektronen nur in feldfreien Raumgebieten aufhalten können (z.B. außerhalb einer unendlich langen Spule). Der Aharonov-Bohm-Effekt demonstriert, dass im Konzept lokaler Wechselwirkungen den elektromagnetischen Potentialen in der Quantenmechanik eine fundamentalere Rolle zukommt, als den elektromagnetischen Feldern. QM 34 Wie kommt man zum Pauli-Prinzip? Ein Zustand aus zwei identischen Teilchen43 , die sich in den Raumregionen 1 und 2 aufhalten, sei durch den Vektor |1, 2i repräsentiert.44 Bei Vertauschung der beiden Teilchen kann sich lediglich die Phase ändern, |2, 1i = eiα |1, 2i . (2.172) Eine erneute Vertauschung führt wieder auf den Ausgangszustand |1, 2i = eiα |2, 1i = (eiα )2 |1, 2i . (2.173) Folglich ist (eiα )2 = 1 und damit eiα = ±1. Der Zwei-Teilchen-Zustand ist entweder symmetrisch (≡ Bosonen) oder antisymmetrisch (≡ Fermionen) bezüglich 43 Man beachte, dass die beiden Teilchen nur dann wirklich identisch sind, wenn sie in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Teilchen mit z.B. unterschiedlicher Spinausrichtung ms sind unterscheidbar! 44 Mit 1 und 2 sind nicht die beiden Teilchen durchnummeriert (dann wären sie nicht mehr identisch), sondern die beiden Raumregionen, in denen sich die Teilchen aufhalten können. |1, 2i steht symbolisch für den Zustand, dass sich eines der Teilchen in Region 1, das andere in Region 2 aufhält. Es ist zunächst nicht ausgeschlossen, dass sich die beiden Regionen überschneiden oder sogar völlig decken können. Im Zustand |1, 1i stimmen die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der beiden Teilchen an jedem Ort überein. . [4], S. 453 f . [2], S. 15-8 ff 64 M. G. Bernhardt Vertauschung der beiden Teilchen. Dies kann man explizit durch den symmetrischen Vektor |ψiB und den antisymmetrischen Vektor |ψiF zum Ausdruck bringen: |ψiB = √12 |1, 2i + |2, 1i , |ψiF = √12 |1, 2i − |2, 1i . (2.174) Betrachten wir nun den Zustand |1, 1i, in dem sich beide Teilchen in der gleichen Raumregion aufhalten. Für Fermionen ergibt sich aus (2.174) |ψiF = √12 |1, 1i − |1, 1i = 0 . (2.175) Der Zustandsvektor verschwindet, d.h. zwei identische Fermionen können diesen Zustand nicht einnehmen. Die Verallgemeinerung dieser Aussage ist das so genannte Pauli-Prinzip: In einem System aus mehreren identischen Fermionen ist jeder Quantenzustand nur einfach besetzt. QM 35 Wodurch unterscheiden sich Bosonen und Fermionen? Der Zustandsvektor eines Systems aus mehreren identischen Teilchen ist entweder symmetrisch oder antisymmetrisch bei Vertauschung zweier Teilchen. Im ersten Falle spricht man von Bosonen, im zweiten von Fermionen. Weitere Unterschiede sind: • Spin-Statistik-Theorem. Der Spin45 eines Bosons ist ganzzahlig (0, 1, 2 . . . ), der eines Fermions halbzahlig 21 , 32 , 52 . . . . • Pauli-Prinzip. In einem System aus mehreren identischen Fermionen ist jeder Quantenzustand nur einfach besetzt. • Statistik. Bosonen gehorchen der Bose-Einstein-Statistik, Fermionen der Fermi-Dirac-Statistik. • Streuung. Bei der Streuung zweier identischer Teilchen aneinander gibt ein einen messbaren Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen – sie interferieren mit unterschiedlichem Vorzeichen.∗ • Bose-Einstein-Kondensation. Ein Bosonengas kann bei tiefen Temperaturen ein Bose-Einstein-Kondensat bilden. QM 36 . [3], S. 3-9 ff Wie kann man Bosonen und Fermionen im Streuexperiment unterscheiden? Für die Streuung zweier unterscheidbarer Teilchen a und b gibt es zwei Mögp ~ = s(s + 1)~ Mit Spin ist hier die Spinquntenzahl s gemeint. Der eigentliche Spin ist |S| mit der z-Komponente Sz = ms ~, wobei ms die Werte s, s − 1, . . . , −s annehmen kann. 45 ∗ Siehe QM 36 auf Seite 64. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 65 lichkeiten: Teilchen a kann im Winkel ϑ oder im Winkel π − ϑ gestreut werden (siehe Abbildung 6). a′ ϑ a b′ a b b π−ϑ b′ a′ Abbildung 6: Streuung zweier Teilchen a und b im Schwerpunktsystem. Wenn f (ϑ) die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Sreuung von a im Winkel ϑ ist, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, Teilchen a oder Teilchen b unter dem Winkel ϑ zu detektieren P = |f (ϑ)|2 + |f (π − ϑ)|2 . (2.176) Sind a und b identische Teilchen, so sind auch die beiden Möglichkeiten der Streuung nicht zu unterscheiden, und ihre Wahrscheinlichkeitsamplituden müssen addiert bzw. subtrahiert werden. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen unter dem Winkel ϑ zu detektieren lautet dann P = |f (ϑ) + f (π − ϑ)|2 2 P = |f (ϑ) − f (π − ϑ)| für identische Bosonen, (2.177) für identische Fermionen. (2.178) Bosonen und Fermionen unterscheiden sich demnach im Vorzeichen des Interferenzterms. QM 37 Wie kann man feststellen, ob zwei geladene Teilchen identisch sind, oder ob es eine Quantenzahl gibt, die sie unterscheidet? Indem man sie aneinander streut. Bei identischen Teilchen treten Interferenzen auf.∗ Betrachtet man z.B. Streuung unter dem Winkel ϑ = π2 so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu detektieren, gemäß Gleichung (2.176)– (2.178) zu P = |f ( π2 )|2 + |f (π− π2 )|2 = 2 · |f ( π2 )|2 P = |f ( π2 ) + f (π− π2 )|2 = 4 · |f ( π2 )|2 P= ∗ |f ( π2 ) − f (π− π2 )|2 =0 Siehe QM 36 auf Seite 64. für unterscheidbare Teilchen, (2.179) für identische Bosonen, (2.180) für identische Fermionen. (2.181) 66 QM 38 M. G. Bernhardt Was ist eine Lie-Algebra? Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer Verknüpfung, genannt Lie-Klammer, [·,·] : V × V → V, (x, y) 7→ [x, y] , x, y ∈ V , (2.182) die folgende Eigenschaften für alle x, y, z ∈ V und α, β ∈ K hat: • Sie ist bilinear, [αx + βy, z] = α[x, z] + β[y, z] , [x, αy + βz] = α[x, y] + β[x, z] . • Sie genügt der Jacobi-Identität, x, [y, z] + y, [z, x] + z, [x, y] = 0. • Sie ist antisymmetrisch, [x, y] = −[y, x]. b = ÂB b− Der quantenmechanische Kommutator zweier Operatoren, [Â, B] b Â, erfüllt diese Eigenschaften, ist also eine Lie-Klammer. Die Umkehrung gilt B aber nicht (nicht jede Lie-Klammer ist ein Kommutator), denn Kommutatoren b C] b = [A, b B] bC b + B[ b Â, C]. b haben zusätzlich die Eigenschaft [Â, B Ein weiteres Beispiel einer Lie-Algebra bildet der Vektorraum R3 mit dem Kreuzprodukt als Lie-Klammer. Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 3 SM 1 67 Statistische Mechanik Was sind reine und gemischte Quantenzustände? Wenn man an einem Quantensystem einen vollständigen Satz kommutierender Observablen (v.S.k.O.) gemessen hat, kann dem Zustand des Systems ein Hilbert-Vektor |ψi zugeordnet, und dieser nach den Eigenvektoren des v.S.k.O. entwickelt werden, z.B. X X |ψi = |nihn|ψi = ψn |ni , ψn ≡ hn|ψi , (3.1) n n Das System ist dann in einem reinen Zustand |ψi. Falls kein v.S.k.O. vorliegt, dessen Eigenvektoren als Basis des Zustandsraumes dienen könnten, spricht man von einem gemischten Zustand, dem kein Hilbert-Vektor zugeordnet werden kann. Von einem gemischten Zustand liegen günstigenfalls statistische Informationen vor, z.B. dass sich das System mit den Wahrscheinlichkeiten Pi in den reinen Zuständen |ψ (i) i befindet. SM 2 Wie kann man reine und gemischte Quantenzustände beschreiben? Mit dem statistischen Operator ρ̂, ρ̂ ≡ |ψihψ| X ρ̂ ≡ |ψ (i) iPi hψ (i) | für reine Zustände, (3.2) für gemischte Zustände. (3.3) i Darin ist Pi die Wahrscheinlichkeit, das System bei einer Messung in dem reinen Zustand |ψ (i) i vorzufinden. Mit dem statistischen Operator ergibt sich der Erwartungswert einer Observablen A bei Messungen an reinen und gemischten Ensemblen aus der Gleichung hÂi = Spur(ρ̂Â) . (3.4) Als Dichtematrix bezeichnet man die Matrixdarstellung des statistischen Operators. Für einen durch (3.1) gegebenen reinen Zustand lautet sie in der Basis {|ni} ρ̂mn = hm|ρ̂|ni = hm|ψihψ|ni = ψm ψn∗ , und für einen gemischten Zustand X X (i) (i)∗ ρ̂mn = hm|ρ̂|ni = hm|ψ (i) iPi hψ (i) |ni = Pi ψm ψn . i i (3.5) (3.6) 68 M. G. Bernhardt Reiner Zustand ρ̂ ≡ |ψihψ| Gemischter Zustand P ρ̂ ≡ i |ψ (i) iPi hψ (i) | Spur(ρ̂) = 1 Spur(ρ̂) = 1 ρ̂2 = ρ̂ Spur(ρ̂2 ) ρ̂2 6= ρ̂ =1 hÂi = hψ|Â|ψi SM 3 Spur(ρ̂2 ) < 1 P hÂi = i Pi hψ (i) |Â|ψ (i) i Wie sieht die Zeitentwicklung des statistischen Operators aus? Die Zeitentwicklung von ρ̂ ist durch die von-Neumann-Gleichung gegeben, dρ̂ i b ρ̂ . = − H, dt ~ (3.7) Man beachte, dass sich Gleichung (3.7) durch ein Minuszeichen von der Heisenberggleichung für Operatoren im Heisenberg-Bild (2.37) unterscheidet! Man kann die von-Neumann-Gleichung direkt aus der Definition des Stad tistischen Operators ableiten, indem man die Schrödingergleichung dt |ψi = i b d i b − ~ H|ψi bzw. die adjungierte Schrödingergleichung dt hψ| = ~ hψ|H ausnutzt: ρ̂ = |ψihψ| y SM 4 dρ̂ ˙ ˙ = |ψihψ| + |ψihψ| dt i b i b = − H|ψihψ| + |ψihψ|H ~ ~ i b b . H ρ̂ − ρ̂H =− ~ (3.8) Was ist Entropie? Die Entropie eines statistischen Ensembles ist definiert durch X S ≡ −kB ln(Pi ) = −kB Pi ln(Pi ) , (3.9) i wobei Pi der Bruchteil der Ensemblemitglieder ist, die sich im Zustand i befinden. Im Mikrokanonischen Ensemble gilt, dass jeder der insgesamt Ω Zustände des Ensembles mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommt („Postulat der gleichen a priori-Wahrscheinlichkeiten“). Setzt man Pi = 1/Ω in (3.9) ein und summiert über alle Zustände, erhält man S = kB ln(Ω) . (3.10) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik SM 5 69 Wie hängt die Entropie mit dem statistischen Operator zusammen? S = −kB ln(ρ̂) = −kB Spur{ρ̂ ln(ρ̂)} . SM 6 (3.11) Wie lautet die Zeitentwicklung der Entropie? Aus S = −kB Spur ρ̂ ln ρ̂ folgt mit der von-Neumann-Geichung dρ̂ dt b ρ̂ : = − ~i H, dS = −kB Spur dρ̂ ln ρ̂ + dρ̂ dt dt dt i b ρ̂ ln ρ̂ − ρ̂H b ln ρ̂ + H b ρ̂ − ρ̂H b = kB Spur H ~ i b ρ̂ ln ρ̂ − H b ln ρ̂ρ̂ + H b ρ̂ − H b ρ̂ = kB Spur H | {z } ~ =0 i b [ρ̂, ln ρ̂] = kB Spur H | {z } ~ =0 = 0, (3.12) wobei im dritten Schritt Spur(AB) = Spur(BA) ausgenutzt wurde. SM 7 Kann man die Entropie messen? Eine Entropieänderung dS entspricht der Wärmemenge dQrev , die einem System reversibel zugeführt wird, getreilt durch die (konstante) Temperatur T , dS = SM 8 dQrev . T (3.13) Ist die Entropie eine extensive Größe? Ja. Das sieht man wie folgt: Man betrachtet ein System, das aus zwei Teilsystemen besteht. Die Zustandssumme des Gesamtsystems ist das Produkt der Teilzustandssummen, Ω = Ω1 Ω2 , und damit gilt S = kB ln(Ω) = kB ln(Ω1 Ω2 ) = kB ln(Ω1 ) + kB ln(Ω2 ) = S1 + S2 . SM 9 Welche statistischen Ensembles gibt es? • Mikrokanonisches Ensemble. Isoliertes System. Innere Energie, Teilchenzahl und Volumen sind konstant. Im Gleichgewicht ist die Entropie S maximal. 70 M. G. Bernhardt • Kanonisches Ensemble. Geschlossenes System. Temperatur, Teilchenzahl und Volumen sind konstant; Energieaustausch mit der Umgebung. Im Gleichgewicht ist die freie Energie F minimal. • Großkanonisches Ensemble. Offenes System. Temperatur, Volumen und chemisches Potential sind konstant; Energie- und Teilchenaustausch mit der Umgebung. Im Gleichgewicht ist das großkanonische Potential J minimal. Natürliche Variablen Fundamentale Größe Zustandssumme Statistischer Operator mikrokanonisch kanonisch großkanonisch E, V, N T, V, N T, V, µ Entropie S = S(E, V, N ) freie Energie F = F (T, V, N ) großkan. Potential J = J(T, V, µ) Z = Sp e−β H Y = Sp e−β(H−µN ) Ω= P ρ̂ = 1 Ω b i1 ρ̂ = 1l 1 Z e−β H b b ρ̂ = 1 Y b e−β(H−µN ) b b P Mit i ist gemeint, dass über alle Zustände summiert werden soll, die eine Energie Ei zwischen E und E + δE haben. SM 10 Was ist Temperatur? Mit der Entropie S = S(E, V, N ) und der inneren Energie E kann man die Temperatur definieren als 1 ∂S . (3.14) = T ∂E V,N =const Im mikrokanonischen Ensemble gilt dann β≡ SM 11 1 ∂ ln(Ω) = . kB T ∂E (3.15) Was sind extensive und intensive Größen? Teilt man ein System in zwei Teile A und B, so gilt für die Zustandsgröße Z: ( ZA + ZB Z extensiv ZA+B = (3.16) ZA = ZB Z intensiv Beispiele: Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik 71 • Extensive Größen. Volumen, Teilchenzahl, Masse, Energie, Entropie, Wärmekapazität. • Intensive Größen. Temperatur, Druck, Energiedichte, Teilchendichte, spezifische Wärme. SM 12 Wie kann man Mikrozustände quantenmechanisch beschreiben? Mit dem Statistischer Operator ρ̂.∗ SM 13 Wodurch unterscheiden sich Bosonen und Fermionen in der Statistik? Bosonen gehorchen der Bose-Einstein-Statistik und Fermionen der Fermi-DiracStatistik. Das äußert sich in einer unterschiedlichen mittleren Besetzungszahl: 1 für Bosonen, β(E −µ) i −1 (3.17) hni i = e 1 für Fermionen. eβ(Ei −µ) + 1 SM 14 Wie kann man die Gesamtenergie eines Photonengases berechnen? Aus den Maxwellgleichungen folgt die Wellengleichung 1 c2 ∂t2 − ∇2 ψ(~r, t) = 0 , (3.18) ~ oder B ~ steht. Setzt man als Lösung für wobei ψ(~r, t) für die Komponenten von E ~k~ i( r −ωt) ψ(~r, t) ebene Wellen ψ(~r, t) = ψ0 e – oder allgemeiner die Superposition ebener Wellen – in die Wellengleichung ein, wird diese zu ∂t2 − ω 2 ψ(~r, t) = 0 , mit ω = ck , (3.19) was mit der klassischen Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators identisch ist. Man kann das freie elektromagnetische Feld daher als eine Überlagerung von harmonischen Oszillatoren interpretieren. Quantenmechanisch haben die harmonischen Oszillatoren die Energie Ek = nk + ∗ Siehe SM 2 auf Seite 67. 1 2 ~ck , (3.20) 72 M. G. Bernhardt d.h. es befinden sich nk = 0, 1, 2 . . . Photonen in dem Zustand mit Wellenzahl k und Energie Ek . Die Gesamtenergie ergibt sich als Summe über alle Zustände, wobei über alle Werte von k und über die Spinfreiheitsgrade ms summiert werden muss: X nk ~ck . (3.21) E = E0 + k,ms Darin bezeichnet E0 die Energie des Grundzustandes, welche im folgenden vernachlässigt werden soll. Für nk kann man die mittlere Besetungszahl einsetzen. Für Photonen ist µ = 0, da sie beliebig erzeugt und vernichtet werden können, und damit gilt: 1 . eβ~ck − 1 hnk i = (3.22) Photonen haben zwar den Spin s = 1 y ms = −1, 0, 1, aber bei masselosen Teilchen kann der Spin nur in oder entgegen der Ausbreitungsrichtung eingestellt sein. Es bleiben somit nur zwei Spinfreiheitsgrade, die den beiden Polarisationsrichtungen (links- oder rechtszirkular) einer elektromagnetischen Welle entsprechen. Die Energie ist damit X ~ck E=2 . (3.23) eβ~ck − 1 k Wenn sich das Photonengas in einem Kubus der Kantenlänge L befinden, und man zudem periodische Randbedingungen annimmt, kann die Wellenzahl pro Raumrichtung nur ganze Vielfache von 2π sein. Jeder Zustand nimmt im k-Raum das Volumen ∆3 k = (2π/L)3 = 8π 3 /V ein. Damit wird aus der obigen Summe das Integral Z Z ~ck ~cV k3 2V 3 E = 3 d k β~ck = 2 dk β~ck 8π π e −1 e −1 Z Z 3 ~V ω = 2 3 dω β~ω = V dω u(ω) . (3.24) π c e −1 wobei d3 k = 4πk 2 dk ausgenutzt und dann die Substitution k = ω/c y dk = dω/c gemacht wurde. u(ω) ist das Planck’sche Strahlungsgesetz. Schließlich substituiert man noch ξ = β~ω und erhält das so genannte Stefan-BoltzmannGesetz: Z ∞ 4 V π 2 kB V ξ3 dξ ξ E= 2 3 3 4 = T4 . (3.25) π ~ c β 0 15~3 c3 e −1 | {z } π 4 /15 SM 15 Wie lautet der Druck des Photonengases? p= 4 π 2 kB 1E = T4 . 3V 45~3 c3 (3.26) Prüfungsfragen zum Diplom/Master in Theoretischer Physik SM 16 73 Wie lautet die Zustandsgleichung des idealen Gases? Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet: p V = N kB T oder p V = nRT (3.27) mit N : Anzahl der Gasmoleküle im Volumen V , n: Anzahl der Mole des Gases im Volumen V , Boltzmann-Konstante kB = 1,38 · 10−23 J K−1 und universelle Gaskonstante R = 8,315 J mol−1 K−1 . Es gilt: N = nNA , kB = R/NA . SM 17 Was ist eine adiabatische Zustandsänderung? Eine Zustandsänderung eines Gases ist adiabatisch, wenn sie ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung vor sich geht. 74 M. G. Bernhardt Literaturverzeichnis [1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Quantenmechanik. Teil 1, Walter de Gruyter, 1999 [2] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics. Definitive Edition. Volume II. Mainly Electromagnetism and Matter, Addison-Wesley, 2006 [3] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics. Definitive Edition. Volume III. Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 2006 [4] R. Penrose, The Road to Reality. A Complete Guide to the Laws of the Universe, Vintage, 2004 [5] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics. Revised Edition, AddisonWesley, 1994 [6] F. Scheck, Theoretische Physik 2. Nichtrelativistische Quantentheorie, Springer, 2006 [7] F. Scheck, Theoretische Physik 3. Klassische Feldtheorie, Springer, 2004
