3 Messung elektrischer Größen 3.1 Gleichstrom und
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1 2 3.1 Gleichstrom und Gleichspannung Gleichstrom 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Gleichstrom und Gleichspannung Wechselstrom und Wechselspannung Messung von Impedanzen Messverstärker Darstellung des Zeitverlaufs elektrischer Signale 3.6 Analog-Digital-Wandlung 3.7 Datenübertragung Ib Ri I UL Rb 4 Fehlerbetrachtung Ib • Systematischer Fehler • Vereinfachung: Rb = 0 I Rb • Strom ohne Messgerät (RM=0): Ib = • Strom durch Messgerät beeinflusst: I b′ = UL Strom ohne Messgerät (RM=0): Ib = (Ri + Rb ) UL Strom durch Messgerät beeinflusst: I b′ = (Ri + Rb + RM ) Wahrer Wert des Stroms wird angezeigt, wenn RM << Ri + Rb Strommessung : niederohmig UL Ri UL (Ri + RM ) • Relativer Messfehler fI UL U − L I b′ − I b (Ri + RM ) Ri −1 = = fI = UL R Ib 1+ i Ri RM • Relativer Messfehler fI klein, wenn RM << Ri • Strom wird immer zu niedrig gemessen 1 |fI| Ri UL RM 3 Gleichstrom RM Leerlaufspannung UL Innenwiderstand Ri Lastwiderstand Rb Spannungsquelle mit 3 Messung elektrischer Größen 0.5 0 0 20 40 60 Ri/RM 80 100 120 5 Spannungsmessung 6 Fehlerbetrachtung I • Systematischer Fehler 1 • Angezeigte Spannung: URi UL UM RM fU = I ⋅ Ri + I ⋅ RM − U L = 0 Angezeigt wird U M = U L − I ⋅ Ri I muss klein sein oder U L = I ⋅ Ri + I ⋅ RM U M = U L − I ⋅ Ri • Relativer Messfehler fU 2 Stromkreis: Maschengleichung U M = I ⋅ RM U M − U L (U L − I ⋅ Ri ) − U L −1 = = R UL UL 1+ M Ri 1 • Relativer Messfehler fU klein, wenn RM >> Ri • Spannung wird immer zu niedrig gemessen |fU| Ri 0.5 RM muss groß sein 0 Spannungsmessung: hochohmig (hoher Widerstand) I 80 100 U 0 = U1 + U 2 1 R1 RM U1 UM U0 1 U0 R1 + R2 Ohmsches Gesetz für R1: R2 • Spannung über Rb ohne Messgerät (Spannungsteiler): U 0 = R1 ⋅ I + R2 ⋅ I = (R1 + R2 ) ⋅ I → I= 2 Rb UL U12 = Ri + Rb 60 RM/Ri Spannungsteiler URi Rb 40 120 8 IM UL 20 7 Spannungsmessung Ri 0 U2 U1 = R1 ⋅ I Einsetzen von I ( in ): U1 = R1 U0 R1 + R2 Parallelschaltung von Widerständen U = Rges ⋅ I ges = Rges (I1 + I1 ) I1 = U R1 I2 = Iges 9 • Spannung über Rb ohne Messgerät (Spannungsteiler): I1 U12 = R1 U R2 I2 U U U = Rges + R1 R2 R2 • Relativer Fehler U ′ − U 12 −1 −1 = fU12 = 12 = RM RM R + Rb U12 1+ + 1 + RM i Rb Ri Ri Rb R1 ⋅ R2 = Rges ⋅ ( R1 + R2 ) Rges = R1 ⋅ R2 R1 + R2 Rb UL Ri + Rb • Mit Messgerät ist Rb durch die Parallelschaltung von Rb und RM zu Rb ⋅ RM ersetzen Rb + RM ( Rb || RM ) 1 ′ = UL = UL = U U 12 R R L Ri + (Rb || RM ) R ⋅R 1+ i + i Ri + b M Rb Rm Rb + RM Parallelschaltung: || U Einsetzen von I1 und I2: 10 Spannungsmessung Parallelschaltung (R1||R2) von R1 und R2 • Mit Ri′ = Ri Rb Ri + Rb fU12 = −1 R 1+ M Ri′ Ri IM 1 URi UL Rb RM 2 Relativer Messfehler klein, wenn RM >> R´i 11 Indirekte Strommessung • Strommessung: möglichst kleiner Innenwiderstand, im Idealfall RM = 0 • Spannungsmessung: möglichst großer Innenwiderstand, im Idealfall RM = ∞ • Sehr kleine Innenwiderstände schwierig: Spule hat ohmschen Widerstand, Kontakte mit Übergangswiderstand • Sehr große Innenwiderstände realisierbar: • Vorwiderstände • Operationsverstärkerschaltungen können extrem große Innenwiderstände (Eingangswiderstände) besitzen • Möglichkeit: Rückführung Strommessung auf Spannungsmessung UM 12 Indirekte Strommessung • Shunt: Messwiderstand mit niedrigem ohmschen Widerstand, für Messungen mit hoher Genauigkeit • Messung der Spannung über Shunt und Berechnung des Stroms I Shunt RM UM RM/Ω>> 1 3.2 Messung von Wechselspannung, Wechselstrom 13 14 Kenngrößen • Arithmetischer Mittelwert • Wechselspannung mit sinusförmigem Zeitverlauf u (t ) = Uˆ sin (ωt + ϕ ) • • • • Û : Scheitelwert, Amplitude ω = 2πf: Kreisfrequenz, f = 1/T: Frequenz, T: Periodendauer ϕ: Phasenwinkel x= 1 T x= 1 T 15 • Gleichrichtwert • Effektivwert U eff = Diodenkennlinie ∫ u(t )dt = 0 0 1 T T ∫ x(t ) dt 2 0 Si Sperrbereich 2 u (t )dt = Uˆ 1 T Durchlassbereich 5 π T ∫ u(t ) dt = 2 0 • Es gilt für sinusförmige Signale: U eff = π 2 2 1 ˆ U 2 u = 1,111 u -100 -50 UK 1 16 Diode lässt Strom praktisch nur in Vorwärtsrichtung fließen. Ge 10 0 0 ∫ x(t )dt 15 T ∫ IAK (mA) • Beispiel: Wechselspannung u (t ) = Uˆ sin (ωt + ϕ ) T Halbleiterdioden Kenngrößen für Sinusförmige Signale T 0 • Effektivwert X eff = 1 u = T ∫ x(t )dt • Gleichrichtwert • Kenngrößen gelten für Wechselspannung u(t) und Wechselstrom i(t) 1 • Arithmetischer Mittelwert u = T T 2 UAK (V) • UK : „Knickspannung” für Si: UK = 0,7 V • Kennlinie exponentiell (kein Knick) • Näherung: An Diode fällt immer UK ab 17 Messung des Gleichrichtwertes Einweggleichrichtung Einweggleichrichtung : Diode zur Gleichrichtung RM UD 18 • Spannungsabfall über Diode ca. 0,7 V RM UD UM u~ i u ~ (t ) = Uˆ sin (ωt ) UM u~ Nur positive Welle gleichgerichtet halber Gleichrichtwert bei Sinusspannung 19 Messung des Scheitelwertes u Messung des Scheitelwertes : Einweg-Spitzenwertgleichrichtung Û-0,7 V UM 0 u~ 0 1 Zeit t/T Vollweg - Graetz - Gleichrichtung 4 Dioden, häufig benutzt U (t ) = Uˆ sin ωt t u (t) Û Û Schaltung iD iM u~ Exponentieller Abfall RM UM u (t) U~ u~ 0 UC Û u t 1 Zeit t/T 2 i 2 20 21 22 Passive Filter Tiefpass • Tiefpass: Schaltung, die tiefe Frequenzen unverändert überträgt und bei hohen Frequenzen eine Abschwächung R bewirkt 1 ZC = i ωC ue ua C ZR = R • Ziel eines Filters: Aus einem Gemisch von Signalkomponenten verschiedener Frequenz sollen Signalkomponenten mit bestimmten Frequenzen weiterverarbeitet werden • Filterung ermöglicht, gewünschte Informationen (Nutzsignal) von ungewünschten Informationen (Störsignal) zu trennen • ua kann mit Hilfe der komplexen Spannungsteilerformel berechnet werden: 1 ZC 1 ue = G (iω )ue ue = iωC ue = ua = 1 1 + iωRC ZC + Z R +R iω C • Unterschiedliche Filter • Analoge Filter • Passive Filter (realisiert mit Widerständen, Kapazitäten, Induktivitäten) • Aktive Filter (z.B. Operationsverstärkerschaltungen) • Digitale Filter • Frequenzgang: G (iω ) = • In Soft- oder Hardware realisierte Filter, die digitale Signale verarbeiten 23 • Verstärkungsmaß A = 20 log10 G (iω ) in dB • Bode-Diagramm: Verstärkungsmaß und Phase über dem Logarithmus der Frequenz G (iω ) = G (iω ) e iϕ in • Amplituden-Frequenzgang A(f) / dB A( 0 1 und 1 + ω 2 R 2C 2 • Phasen-Frequenzgang ϕ = − arctan ωRC • Grenzfrequenz: Frequenz, bei der der Amplituden1 1 Frequenzgang auf gefallen ist ( ≈ −3dB ) ( ) G ωg = 2 = 1 + ω g2 R 2C 2 ⇒ 0.1 1 Frequenz f/fg 10 100 0 2 1 ⇒ 1 + ω g2 R 2C 2 = 2 ⇒ ω g = RC -3 dB 20 40 0.01 ϕ(f) / ° 2 1 24 Tiefpass • Zerlegung des komplexen Frequenzgangs 1 1 + iωRC Bode-Diagramm Tiefpass G (iω ) = 1 1 fg = 2πRC -45° 45 90 0.01 0.1 1 Frequenz f/fg 10 100 25 26 Hochpass Hochpass • Hochpass: Schaltung, die hohe Frequenzen unverändert überträgt und bei tiefen Frequenzen eine Abschwächung bewirkt 1 ZC = C i ωC ue ua R ZR = R • Amplituden-Frequenzgang 1+ • Phasen-Frequenzgang 1 1 1+ iωRC 1+ ue ωg = 1 RC ⇒ fg = 1 2πRC 1 iωRC 27 Bode-Diagramm 3.3 Messung von Impedanzen Widerstandsmessung Hochpass A = 20 log10 G (iω ) Durch Strom- und Spannungsmessung: Fehler durch Eigenverbrauch eines der beiden Messgeräte A(f) / dB 0 Stromrichtige Messung: 20 RI I 40 0.01 0.1 1 Frequenz f/fg 10 100 R ϕ(f) / ° 90 UM 45 0 0.01 1 ωRC 1 • Frequenzgang: G (iω ) = • Hochpassfilter ϕ = arctan 1 ω R 2C 2 2 • Grenzfrequenz: Frequenz, bei der der Amplituden1 1 Frequenzgang auf 2 gefallen ist ( 2 ≈ −3dB ) • ua kann mit Hilfe der komplexen Spannungsteilerformel berechnet werden: ua = 1 G (iω ) = 0.1 1 Frequenz f/fg 10 100 RU 28 29 Widerstandsmessung Spannungsrichtige Messung Stromrichtige Messung Spannungsrichtige Messung Stromrichtige Messung: RI U I Allgemein: R = R U Allgemein: R = I R= ⇒ U M − IRI I U I I = I MI − I MU RU Innenwiderstand muss subtrahiert werden. IMU RU 1 = R I MI − U RU = U I MI 1 − U RU Innerer Leitwert muss subtrahiert werden. Widerstandsmessung mit Brückenschaltung 31 32 Brücke: Linker Spannungsteiler Im Gegensatz zur Strom - Spannungs - Messung : Präzisionsmessung Gleichspannungsgespeiste Messbrücken I (1843 Wheatstone) RN UX = U0 U0 R3 UB RX U ⇒ Leitwert G G= RN RI R U U ⇒ R= = I MI − I MU I − U MI RU U R = M − RI I Wheatstonebrücke IMI I I wird nicht gemessen sondern IMI UM U wird aber nicht gemessen, sondern UM 30 Widerstandsmessung R4 Zwei Spannungsteiler aus ohmschen Widerständen RX UX RX U0 R X + RN 33 Widerstandsmessung mit Brückenschaltung Widerstandsmessung mit Brückenschaltung 34 Abgleichmethode Abgleichmethode Fortsetzung: Bekannt: Widerstände R3, R4 und RN Gesucht: Widerstand RX RX R4 ⋅ U 0 U B = − R X + RN R4 + R3 RN R3 U0 UB R4 Oder: RX R4 Oder: RX = R X (R4 + R3 ) = R4 (R X + RN ) Widerstandsmessung mit Brückenschaltung Schleifdrahtmessbrücke 35 Punktweiser stetiger Abgriff auf dem Schleifdraht mit konstantem Querschnitt und spez. Widerstand unbekannt UB l3 UB RX R4 = RN R3 RX R4 0 = − R X + RN R4 + R3 l4 R3 U0 R X R3 = R4 RN Abgleich: RN wird verändert, bis UB = 0 R3 RN ⇒ Abgleichbedingung: RX ⇒ R X R4 + R X R3 = R4 R X + R4 RN R4 Verschiebung des Abgriffs bis Abgleichbedingung erfüllt ist (UB = 0): R1 = R X = R2 ⋅ l3 l4 R4 ⋅ RN R3 Messung von Widerstandsänderungen 36 Ausschlagmethode • Messung von Änderungen, z.B. Dehnungsmessstreifen R0 + ∆R R0 ⋅ U 0 U B = − R0 + ∆R + R0 R0 + R0 R0 U0 UB R0+∆ ∆R ⇒ UB = 1 ∆R ⋅ U 0 2 (2 ⋅ R0 + ∆R ) Mit ∆R << R gilt 2R0+∆R ≈ 2R0. Dann gilt: UB = U0 ∆R 4 R0 U B ~ ∆R (für ∆R << R0) R0 R0 37 38 Wechselstrombrücken Brücke: Vergleich mit Spannungsteiler Zur Messung von Kapazitäten, Induktivitäten und Verlustwiderständen U0 UX = R0+∆ ∆R UX R0 U0 Wechselspannungs Nullindikator Spannungsteiler: R0 R0 UB R0 R0+∆ ∆R U U R0 + ∆R U 0 ≈ 0 + 0 ⋅ ∆R 2 R0 + ∆R 2 4 R0 Taylorreihe Z1 Spannungsbereich bis über U0/2 muss vom Spannungsmessgerät abgedeckt werden Impedanzen (komplex) U0 Abgleichbedingung: U = 0 Kein konstanter Term 39 Wechselstrombrücken Zur Messung von Kapazitäten, Induktivitäten und Verlustwiderständen Zi = Zi ⋅ e Z1 Z 3 = Z2 Z4 Betrag Zur Messung von Kapazitäten, Induktivitäten und Verlustwiderständen Z3 Z i = Z i ⋅ e iϕ i iϕ i U0 U Z2 Z4 U0 U Z2 Z4 Betragsbedingung Z1 Z1 e iϕ1 Z2 e iϕ 2 = Z3 e iϕ 3 Z4 e iϕ 4 Komplexe Abgleichbedingungen Phasenwinkel Wechselstrombrücken Z1 Z3 Z4 Z i und ϕi U0 ∆R (für ∆R << R0) 4 R0 Z1 U Z2 Brücke: UB = Z3 Z2 = Z3 Z4 & Phasenbedingung ϕ1 − ϕ 2 = ϕ3 − ϕ 4 Zwei Einstellelemente 40 Induktivitätsmessbrücke (nach Maxwell und Wien) Induktivitätsmessbrücke (nach Maxwell und Wien) 41 ZC = R1 1 i ωC Z L = iω L ZR = R Reale Induktivität Abgleichbedingung: Reihen-Ersatzschaltung: R + iω L X = X R4 R2 1 + i ω R C 2 2 Lx Rx RX U0 C2 U C2 R2 LX R1 R1 U0 42 R2 U R4 Zwei Gleichungen: Realteil und Imaginärteil R4 L X = R1 ⋅ R4 ⋅ C2 RX = Vergleichskapazität (einfacher und genauer als Induktivitäten) Kapazitätsmessbrücke (Wien-Brücke) Reale Kapazität R3 U C2 R2 R4 Kapazitätsmessbrücke (Wien-Brücke) 43 ParallelErsatzschaltung: CX U0 R1 ⋅ R4 R2 RX CX RX U0 R3 U C2 R2 R4 44 C X = C2 R4 R3 R X = R2 R3 R4 45 Anhang Messbereichserweiterung für Drehspulinstrument 46 Strommessung • Anwendungen Knotenregel RM IM I = IM + IP Spannungsabfall an RP = dem an RM IP RM ⋅ I M = RP ⋅ I P = R P ⋅ ( I − I M ) für Dimensionierung von RP RP = RM ⋅ Messbereichserweiterung für Drehspulinstrument Strommessung IM RM 47 RP I IM I − IM Messbereichserweiterung für Drehspulinstrument 48 Strommessung: Verschiedene Messbereiche IM= 0,2 mA RM= 400 Ω Knotenregel IP I = IM + IP I 90 Ω RP 10 mA Beispiel: Das Instrument hat RM= 400 Ω, Vollausschlag bei IM= 0,2 mA aber Strom I = 1 mA soll gemessen werden: RP = 400 ⋅ 0,2 Ω = 100 Ω 1 − 0,2 0,9 Ω 9Ω 100 mA 0,1 Ω 1A 1 mA • Anschluss „–“ wird immer genutzt • Verschiedene Bereiche: Jeweils anderer „+“ Anschluss Bsp: Anschluss „–“ und 100 mA (Messbereich 100 mA) Widerstand zwischen den Klemmen: (9 + 90 + 400)Ω || (0,9 + 0,1)Ω Parallelschaltung: || Umschaltbare Spannungsmessbereiche 49 Umschaltbare Spannungsmessbereiche bei Vollausschlag U M = 1 mA(400Ω || 100Ω ) = 80 mV Mit RM = 400 Ω, RP = 100 Ω und I = 1 mA gilt bei Vollausschlag: U M = 1 mA(400Ω || 100Ω ) = 80 mV RM IM IM RP RV RP RV IP UV IP UV RM UM I I U = U V + U M = RV ⋅ I + RP || RM ⋅ I U − ( RP || RM ) I U R ⋅R RV = − P M I RP + RM RV = Wenn höhere Spannung, dann Vorschaltwiderstand RV 51 Drehspulinstrument Beispiel für 100 mV (I = 1 mA, RM = 400 Ω, RP = 100 Ω): Rv = 100 mV / 1 mA − 80 Ω = 20 Ω Summe der Scheitelwerte 0,2 mA RM= 400 Ω 90 kΩ Ω 100 V 9k Ω 10 V 900 Ω 1V 20 Ω 0,1V 90 Ω 1 mA 9Ω 10 mA 0,9 Ω 100 mA Schalter Spannungsbereich 50 Strombereich u~ + _ 0,1 Ω 1A + _ U SS ( Spitze ,Spitze ) =Uˆ +Uˆ + − RM 52 53 Leistungsmessung • • • • • Energiemessung: Induktionsmesswerk Leistung bei Gleichspannung: P = U⋅I Leistungsmessung: elektrodynamisches Messwerk Strom I wird durch Feldspule (Widerstand RWA) geleitet Spannung U wird an Drehspule (Widerstand RWV) angelegt Zeigerausschlag proportional zu P, falls Strom durch Drehspule gegenüber Verbraucherstrom vernachlässigt werden darf Spannungsspule (RWV) Stromspule (RWA) IQ UQ I1 I2 UV • Strom des Leistungskreises wird durch Spule auf Stromeisen geleitet • Induktion von Wirbelströmen auf Metallscheibe • Spannung des Leistungskreises an Spule des Spannungseisens • Lorentz-Kraft durch induzierte Ströme • Drehzahl proportional zur Wirkleistung • Anzahl Umdrehungen 1 Spannungseisen proportional zur 2 Stromeisen verrichteten Arbeit feststehende Spule Iv I1 RV 54 3 Metallscheibe 4 Bremsmagnet 5 Zählwerk I2 Weicheisenkern Drehspule hochpermeabler Weicheisenkern Anwendung der Dioden als Messbereichsbegrenzung 55 Energiemessung Überlastschutz für Messwerk: I RV RM U Lerch, R.: „Elektrische Messtechnik“, Springer, Berlin, 2005. Wenn der Spannungsabfall über dem Messgerät mehr als 0,7 V beträgt, wird eine der Dioden leitend: Schützt das Messwerk vor großem Strom 56 Anwendung der Dioden als Messbereichsbegrenzung 57 Zenerdiode Zenerdiode: starker Stromanstieg in Sperrichtung wird als Arbeitsbereich genutzt. Unterdrückter Anfangsbereich: IAK (mA) IAK RV UAK 20 IM UZ: Zenerspannung liegt zwischen 3 und 2000V 10 RM U 4 2 1 2 UAK (V) UZ= 5,6 V Anwendung der Dioden als Messbereichsbegrenzung Unterdrückter Endbereich: I RV RM U Wenn der Spannungsabfall über RM und Messwerk größer als Zenerspannung wird ⇒ Zenerdiode wird stromführend ⇒ Strom über Messgerät konstant 59 Es fließt erst dann Strom, wenn die anliegende Spannung größer als die Zenerspannung ist 58
