3 Messung elektrischer Größen 3.1 Gleichstrom und

Werbung
1
2
3.1 Gleichstrom und Gleichspannung
Gleichstrom
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Gleichstrom und Gleichspannung
Wechselstrom und Wechselspannung
Messung von Impedanzen
Messverstärker
Darstellung des Zeitverlaufs elektrischer
Signale
3.6 Analog-Digital-Wandlung
3.7 Datenübertragung
Ib
Ri
I
UL
Rb
4
Fehlerbetrachtung
Ib
• Systematischer Fehler
• Vereinfachung: Rb = 0
I
Rb
• Strom ohne Messgerät (RM=0):
Ib =
• Strom durch Messgerät beeinflusst: I b′ =
UL
Strom ohne Messgerät (RM=0):
Ib =
(Ri + Rb )
UL
Strom durch Messgerät beeinflusst: I b′ =
(Ri + Rb + RM )
Wahrer Wert des Stroms wird angezeigt, wenn RM << Ri + Rb
Strommessung : niederohmig
UL
Ri
UL
(Ri + RM )
• Relativer Messfehler fI
UL
U
− L
I b′ − I b (Ri + RM ) Ri
−1
=
=
fI =
UL
R
Ib
1+ i
Ri
RM
• Relativer Messfehler fI klein, wenn RM << Ri
• Strom wird immer zu niedrig gemessen
1
|fI|
Ri
UL
RM
3
Gleichstrom
RM
Leerlaufspannung UL
Innenwiderstand
Ri
Lastwiderstand
Rb
Spannungsquelle mit
3 Messung elektrischer Größen
0.5
0
0
20
40
60
Ri/RM
80
100
120
5
Spannungsmessung
6
Fehlerbetrachtung
I
• Systematischer Fehler
1
• Angezeigte Spannung:
URi
UL
UM
RM
fU =
I ⋅ Ri + I ⋅ RM − U L = 0
Angezeigt wird
U M = U L − I ⋅ Ri
I muss klein sein oder U L = I ⋅ Ri + I ⋅ RM
U M = U L − I ⋅ Ri
• Relativer Messfehler fU
2
Stromkreis: Maschengleichung
U M = I ⋅ RM
U M − U L (U L − I ⋅ Ri ) − U L
−1
=
=
R
UL
UL
1+ M
Ri
1
• Relativer Messfehler fU klein, wenn RM >> Ri
• Spannung wird immer zu niedrig gemessen
|fU|
Ri
0.5
RM muss groß sein
0
Spannungsmessung: hochohmig (hoher Widerstand)
I
80
100
U 0 = U1 + U 2
1
R1
RM
U1
UM
U0
1
U0
R1 + R2
Ohmsches Gesetz für R1:
R2
• Spannung über Rb ohne Messgerät (Spannungsteiler):
U 0 = R1 ⋅ I + R2 ⋅ I = (R1 + R2 ) ⋅ I
→ I=
2
Rb
UL
U12 =
Ri + Rb
60
RM/Ri
Spannungsteiler
URi
Rb
40
120
8
IM
UL
20
7
Spannungsmessung
Ri
0
U2
U1 = R1 ⋅ I
Einsetzen von I ( in ):
U1 =
R1
U0
R1 + R2
Parallelschaltung von Widerständen
U = Rges ⋅ I ges = Rges (I1 + I1 )
I1 =
U
R1
I2 =
Iges
9
• Spannung über Rb ohne Messgerät (Spannungsteiler):
I1
U12 =
R1
U
R2
I2
U U 

U = Rges  +
 R1 R2 
R2
• Relativer Fehler
U ′ − U 12
−1
−1
=
fU12 = 12
=
RM RM
R + Rb
U12
1+
+
1 + RM i
Rb
Ri
Ri Rb
R1 ⋅ R2 = Rges ⋅ ( R1 + R2 )
Rges =
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Rb
UL
Ri + Rb
• Mit Messgerät ist Rb durch die Parallelschaltung von Rb und RM zu
 Rb ⋅ RM 
ersetzen


Rb + RM 
(
Rb || RM )
1

′ =
UL =
UL =
U
U 12
R
R L
Ri + (Rb || RM )
 R ⋅R 
1+ i + i
Ri +  b M 
Rb Rm
 Rb + RM 
Parallelschaltung: ||
U
Einsetzen von I1 und I2:
10
Spannungsmessung
Parallelschaltung (R1||R2) von
R1 und R2
• Mit Ri′ =
Ri Rb
Ri + Rb
fU12 =
−1
R
1+ M
Ri′
Ri
IM
1
URi
UL
Rb
RM
2
Relativer Messfehler klein, wenn RM >> R´i
11
Indirekte Strommessung
• Strommessung: möglichst kleiner Innenwiderstand, im
Idealfall RM = 0
• Spannungsmessung: möglichst großer Innenwiderstand, im
Idealfall RM = ∞
• Sehr kleine Innenwiderstände schwierig: Spule hat ohmschen
Widerstand, Kontakte mit Übergangswiderstand
• Sehr große Innenwiderstände realisierbar:
• Vorwiderstände
• Operationsverstärkerschaltungen können extrem große
Innenwiderstände (Eingangswiderstände) besitzen
• Möglichkeit: Rückführung Strommessung auf
Spannungsmessung
UM
12
Indirekte Strommessung
• Shunt: Messwiderstand mit niedrigem ohmschen Widerstand,
für Messungen mit hoher Genauigkeit
• Messung der Spannung über Shunt und Berechnung des
Stroms
I
Shunt
RM
UM
RM/Ω>> 1
3.2 Messung von Wechselspannung,
Wechselstrom
13
14
Kenngrößen
• Arithmetischer Mittelwert
• Wechselspannung mit sinusförmigem Zeitverlauf
u (t ) = Uˆ sin (ωt + ϕ )
•
•
•
•
Û : Scheitelwert, Amplitude
ω = 2πf: Kreisfrequenz, f = 1/T: Frequenz,
T: Periodendauer
ϕ: Phasenwinkel
x=
1
T
x=
1
T
15
• Gleichrichtwert
• Effektivwert
U eff =
Diodenkennlinie
∫ u(t )dt = 0
0
1
T
T
∫ x(t ) dt
2
0
Si
Sperrbereich
2
u (t )dt = Uˆ
1
T
Durchlassbereich
5
π
T
∫ u(t ) dt =
2
0
• Es gilt für sinusförmige Signale: U eff =
π
2 2
1 ˆ
U
2
u = 1,111 u
-100
-50
UK 1
16
Diode lässt Strom praktisch nur
in Vorwärtsrichtung fließen.
Ge
10
0
0
∫ x(t )dt
15
T
∫
IAK (mA)
• Beispiel: Wechselspannung u (t ) = Uˆ sin (ωt + ϕ )
T
Halbleiterdioden
Kenngrößen für Sinusförmige Signale
T
0
• Effektivwert
X eff =
1
u =
T
∫ x(t )dt
• Gleichrichtwert
• Kenngrößen gelten für Wechselspannung u(t) und
Wechselstrom i(t)
1
• Arithmetischer Mittelwert u =
T
T
2
UAK (V)
• UK : „Knickspannung” für Si: UK = 0,7 V
• Kennlinie exponentiell (kein Knick)
• Näherung: An Diode fällt immer UK ab
17
Messung des Gleichrichtwertes
Einweggleichrichtung
Einweggleichrichtung : Diode zur Gleichrichtung
RM
UD
18
• Spannungsabfall über
Diode ca. 0,7 V
RM
UD
UM
u~
i
u ~ (t ) = Uˆ sin (ωt )
UM
u~
Nur positive Welle
gleichgerichtet
halber Gleichrichtwert bei
Sinusspannung
19
Messung des Scheitelwertes
u
Messung des Scheitelwertes :
Einweg-Spitzenwertgleichrichtung
Û-0,7 V
UM
0
u~
0
1
Zeit t/T
Vollweg - Graetz - Gleichrichtung
4 Dioden, häufig benutzt
U (t ) = Uˆ sin ωt
t
u (t)
Û
Û
Schaltung
iD
iM
u~
Exponentieller Abfall
RM
UM
u (t)
U~
u~
0
UC
Û
u
t
1
Zeit t/T
2
i
2
20
21
22
Passive Filter
Tiefpass
• Tiefpass: Schaltung, die tiefe Frequenzen unverändert
überträgt und bei hohen Frequenzen eine Abschwächung
R
bewirkt
1
ZC =
i ωC
ue
ua
C
ZR = R
• Ziel eines Filters: Aus einem Gemisch von
Signalkomponenten verschiedener Frequenz sollen
Signalkomponenten mit bestimmten Frequenzen
weiterverarbeitet werden
• Filterung ermöglicht, gewünschte Informationen (Nutzsignal)
von ungewünschten Informationen (Störsignal) zu trennen
• ua kann mit Hilfe der komplexen Spannungsteilerformel
berechnet werden:
1
ZC
1
ue = G (iω )ue
ue = iωC ue =
ua =
1
1 + iωRC
ZC + Z R
+R
iω C
• Unterschiedliche Filter
• Analoge Filter
• Passive Filter (realisiert mit Widerständen, Kapazitäten, Induktivitäten)
• Aktive Filter (z.B. Operationsverstärkerschaltungen)
• Digitale Filter
• Frequenzgang: G (iω ) =
• In Soft- oder Hardware realisierte Filter, die digitale Signale verarbeiten
23
• Verstärkungsmaß A = 20 log10 G (iω ) in dB
• Bode-Diagramm: Verstärkungsmaß und Phase über dem
Logarithmus der Frequenz
G (iω ) = G (iω ) e iϕ
in
• Amplituden-Frequenzgang
A(f) / dB
A(
0
1
und
1 + ω 2 R 2C 2
• Phasen-Frequenzgang
ϕ = − arctan ωRC
• Grenzfrequenz: Frequenz, bei der der Amplituden1
1
Frequenzgang auf gefallen ist ( ≈ −3dB )
( )
G ωg =
2
=
1 + ω g2 R 2C 2
⇒
0.1
1
Frequenz f/fg
10
100
0
2
1
⇒ 1 + ω g2 R 2C 2 = 2 ⇒ ω g =
RC
-3 dB
20
40
0.01
ϕ(f) / °
2
1
24
Tiefpass
• Zerlegung des komplexen Frequenzgangs
1
1 + iωRC
Bode-Diagramm
Tiefpass
G (iω ) =
1
1
fg =
2πRC
-45°
45
90
0.01
0.1
1
Frequenz f/fg
10
100
25
26
Hochpass
Hochpass
• Hochpass: Schaltung, die hohe Frequenzen unverändert
überträgt und bei tiefen Frequenzen eine Abschwächung
bewirkt
1
ZC =
C
i ωC
ue
ua
R
ZR = R
• Amplituden-Frequenzgang
1+
• Phasen-Frequenzgang
1
1
1+
iωRC
1+
ue
ωg =
1
RC
⇒
fg =
1
2πRC
1
iωRC
27
Bode-Diagramm
3.3 Messung von Impedanzen
Widerstandsmessung
Hochpass
A = 20 log10 G (iω )
Durch Strom- und Spannungsmessung:
Fehler durch Eigenverbrauch eines der beiden Messgeräte
A(f) / dB
0
Stromrichtige Messung:
20
RI
I
40
0.01
0.1
1
Frequenz f/fg
10
100
R
ϕ(f) / °
90
UM
45
0
0.01
1
ωRC
1
• Frequenzgang: G (iω ) =
• Hochpassfilter
ϕ = arctan
1
ω R 2C 2
2
• Grenzfrequenz: Frequenz, bei der der Amplituden1
1
Frequenzgang auf 2 gefallen ist ( 2 ≈ −3dB )
• ua kann mit Hilfe der komplexen Spannungsteilerformel
berechnet werden:
ua =
1
G (iω ) =
0.1
1
Frequenz f/fg
10
100
RU
28
29
Widerstandsmessung
Spannungsrichtige Messung
Stromrichtige Messung
Spannungsrichtige Messung
Stromrichtige Messung:
RI
U
I
Allgemein: R =
R
U
Allgemein: R =
I
R=
⇒
U M − IRI
I
U
I
I = I MI − I MU
RU
Innenwiderstand muss subtrahiert werden.
IMU
RU
1
=
R
I MI −
U
RU
=
U
I MI
1
−
U
RU
Innerer Leitwert muss subtrahiert werden.
Widerstandsmessung mit Brückenschaltung
31
32
Brücke: Linker Spannungsteiler
Im Gegensatz zur Strom - Spannungs - Messung :
Präzisionsmessung
Gleichspannungsgespeiste Messbrücken
I
(1843 Wheatstone)
RN
UX =
U0
U0
R3
UB
RX
U
⇒ Leitwert G
G=
RN
RI
R
U
U
⇒ R=
=
I MI − I MU I − U
MI
RU
U
R = M − RI
I
Wheatstonebrücke
IMI
I
I wird nicht gemessen sondern IMI
UM
U wird aber nicht gemessen,
sondern UM
30
Widerstandsmessung
R4
Zwei Spannungsteiler aus ohmschen
Widerständen
RX
UX
RX
U0
R X + RN
33
Widerstandsmessung mit Brückenschaltung
Widerstandsmessung mit Brückenschaltung
34
Abgleichmethode
Abgleichmethode
Fortsetzung:
Bekannt: Widerstände R3, R4 und RN
Gesucht: Widerstand RX
 RX
R4 
 ⋅ U 0
U B = 
−
 R X + RN R4 + R3 
RN
R3
U0
UB
R4
Oder:
RX
R4
Oder:
RX =
R X (R4 + R3 ) = R4 (R X + RN )
Widerstandsmessung mit Brückenschaltung
Schleifdrahtmessbrücke
35
Punktweiser stetiger Abgriff
auf dem Schleifdraht mit
konstantem Querschnitt
und spez. Widerstand
unbekannt
UB
l3
UB
RX R4
=
RN R3
 RX
R4 

0 = 
−
 R X + RN R4 + R3 
l4
R3
U0
R X R3 = R4 RN
Abgleich: RN wird verändert, bis
UB = 0
R3
RN
⇒ Abgleichbedingung:
RX
⇒
R X R4 + R X R3 = R4 R X + R4 RN
R4
Verschiebung des Abgriffs
bis Abgleichbedingung erfüllt
ist (UB = 0):
R1 = R X = R2 ⋅
l3
l4
R4
⋅ RN
R3
Messung von Widerstandsänderungen
36
Ausschlagmethode
• Messung von Änderungen,
z.B. Dehnungsmessstreifen
 R0 + ∆R
R0 
 ⋅ U 0
U B = 
−
 R0 + ∆R + R0 R0 + R0 
R0
U0
UB
R0+∆
∆R
⇒ UB =
1 ∆R ⋅ U 0
2 (2 ⋅ R0 + ∆R )
Mit ∆R << R gilt 2R0+∆R ≈ 2R0. Dann gilt:
UB =
U0
∆R
4 R0
U B ~ ∆R
(für ∆R << R0)
R0
R0
37
38
Wechselstrombrücken
Brücke: Vergleich mit Spannungsteiler
Zur Messung von Kapazitäten, Induktivitäten und Verlustwiderständen
U0
UX =
R0+∆
∆R
UX
R0
U0
Wechselspannungs Nullindikator
Spannungsteiler:
R0
R0
UB
R0
R0+∆
∆R
U
U
R0 + ∆R
U 0 ≈ 0 + 0 ⋅ ∆R
2 R0 + ∆R
2 4 R0
Taylorreihe
Z1
Spannungsbereich bis über U0/2 muss vom
Spannungsmessgerät abgedeckt werden
Impedanzen
(komplex)
U0
Abgleichbedingung: U = 0
Kein konstanter Term
39
Wechselstrombrücken
Zur Messung von Kapazitäten, Induktivitäten und Verlustwiderständen
Zi = Zi ⋅ e
Z1 Z 3
=
Z2 Z4
Betrag
Zur Messung von Kapazitäten, Induktivitäten und Verlustwiderständen
Z3
Z i = Z i ⋅ e iϕ i
iϕ i
U0
U
Z2
Z4
U0
U
Z2
Z4
Betragsbedingung
Z1
Z1 e
iϕ1
Z2 e
iϕ 2
=
Z3 e
iϕ 3
Z4 e
iϕ 4
Komplexe Abgleichbedingungen
Phasenwinkel
Wechselstrombrücken
Z1
Z3
Z4
Z i und ϕi
U0
∆R (für ∆R << R0)
4 R0
Z1
U
Z2
Brücke:
UB =
Z3
Z2
=
Z3
Z4
&
Phasenbedingung
ϕ1 − ϕ 2 = ϕ3 − ϕ 4
Zwei Einstellelemente
40
Induktivitätsmessbrücke
(nach Maxwell und Wien)
Induktivitätsmessbrücke
(nach Maxwell und Wien)
41
ZC =
R1
1
i ωC
Z L = iω L
ZR = R
Reale Induktivität
Abgleichbedingung:
Reihen-Ersatzschaltung:
R + iω L X
= X
R4


R2


1
+
i
ω
R
C
2 2 

Lx
Rx
RX
U0
C2
U
C2
R2
LX
R1
R1
U0
42
R2
U
R4
Zwei Gleichungen: Realteil und Imaginärteil
R4
L X = R1 ⋅ R4 ⋅ C2
RX =
Vergleichskapazität
(einfacher und genauer
als Induktivitäten)
Kapazitätsmessbrücke
(Wien-Brücke)
Reale
Kapazität
R3
U
C2
R2
R4
Kapazitätsmessbrücke
(Wien-Brücke)
43
ParallelErsatzschaltung:
CX
U0
R1 ⋅ R4
R2
RX
CX
RX
U0
R3
U
C2
R2
R4
44
C X = C2
R4
R3
R X = R2
R3
R4
45
Anhang
Messbereichserweiterung für
Drehspulinstrument
46
Strommessung
• Anwendungen
Knotenregel
RM
IM
I = IM + IP
Spannungsabfall an RP = dem an RM
IP
RM ⋅ I M = RP ⋅ I P = R P ⋅ ( I − I M )
für Dimensionierung von RP
RP = RM ⋅
Messbereichserweiterung für
Drehspulinstrument
Strommessung
IM
RM
47
RP
I
IM
I − IM
Messbereichserweiterung für
Drehspulinstrument
48
Strommessung: Verschiedene Messbereiche
IM= 0,2 mA
RM= 400 Ω
Knotenregel
IP
I = IM + IP
I
90 Ω
RP
10 mA
Beispiel: Das Instrument hat RM= 400 Ω, Vollausschlag bei IM= 0,2 mA
aber Strom I = 1 mA soll gemessen werden:
RP = 400 ⋅
0,2
Ω = 100 Ω
1 − 0,2
0,9 Ω
9Ω
100 mA
0,1 Ω
1A
1 mA
• Anschluss „–“ wird immer genutzt
• Verschiedene Bereiche: Jeweils
anderer „+“ Anschluss
Bsp: Anschluss „–“ und 100 mA
(Messbereich 100 mA)
Widerstand zwischen den Klemmen:
(9 + 90 + 400)Ω || (0,9 + 0,1)Ω
Parallelschaltung: ||
Umschaltbare Spannungsmessbereiche
49
Umschaltbare Spannungsmessbereiche
bei Vollausschlag
U M = 1 mA(400Ω || 100Ω ) = 80 mV
Mit RM = 400 Ω, RP = 100 Ω und I = 1 mA gilt
bei Vollausschlag: U M = 1 mA(400Ω || 100Ω ) = 80 mV
RM
IM
IM
RP
RV
RP
RV
IP
UV
IP
UV
RM
UM
I
I
U = U V + U M = RV ⋅ I + RP || RM ⋅ I
U
− ( RP || RM )
I
U R ⋅R
RV = − P M
I RP + RM
RV =
Wenn höhere Spannung,
dann Vorschaltwiderstand RV
51
Drehspulinstrument
Beispiel für 100 mV (I = 1 mA,
RM = 400 Ω, RP = 100 Ω):
Rv = 100 mV / 1 mA − 80 Ω = 20 Ω
Summe der Scheitelwerte
0,2 mA
RM= 400 Ω
90
kΩ
Ω
100 V
9k Ω
10 V
900 Ω
1V
20 Ω
0,1V
90 Ω
1 mA
9Ω
10 mA
0,9 Ω
100 mA
Schalter
Spannungsbereich
50
Strombereich
u~
+
_
0,1 Ω
1A
+
_
U SS ( Spitze ,Spitze ) =Uˆ +Uˆ
+ −
RM
52
53
Leistungsmessung
•
•
•
•
•
Energiemessung: Induktionsmesswerk
Leistung bei Gleichspannung: P = U⋅I
Leistungsmessung: elektrodynamisches Messwerk
Strom I wird durch Feldspule (Widerstand RWA) geleitet
Spannung U wird an Drehspule (Widerstand RWV) angelegt
Zeigerausschlag proportional zu P,
falls Strom durch Drehspule gegenüber
Verbraucherstrom vernachlässigt
werden darf
Spannungsspule (RWV)
Stromspule (RWA)
IQ
UQ
I1
I2
UV
• Strom des Leistungskreises wird durch Spule auf Stromeisen geleitet
• Induktion von Wirbelströmen auf Metallscheibe
• Spannung des Leistungskreises an Spule des
Spannungseisens
• Lorentz-Kraft durch
induzierte Ströme
• Drehzahl proportional
zur Wirkleistung
• Anzahl Umdrehungen
1 Spannungseisen
proportional zur
2 Stromeisen
verrichteten Arbeit
feststehende
Spule
Iv
I1
RV
54
3 Metallscheibe
4 Bremsmagnet
5 Zählwerk
I2
Weicheisenkern Drehspule
hochpermeabler
Weicheisenkern
Anwendung der Dioden als
Messbereichsbegrenzung
55
Energiemessung
Überlastschutz für Messwerk:
I
RV
RM
U
Lerch, R.: „Elektrische Messtechnik“, Springer, Berlin, 2005.
Wenn der Spannungsabfall
über dem Messgerät mehr
als 0,7 V beträgt, wird eine
der Dioden leitend:
Schützt das Messwerk vor
großem Strom
56
Anwendung der Dioden als
Messbereichsbegrenzung
57
Zenerdiode
Zenerdiode: starker Stromanstieg in Sperrichtung
wird als Arbeitsbereich genutzt.
Unterdrückter Anfangsbereich:
IAK (mA)
IAK
RV
UAK
20
IM
UZ: Zenerspannung liegt
zwischen 3 und 2000V
10
RM
U
4
2
1
2
UAK (V)
UZ= 5,6 V
Anwendung der Dioden als
Messbereichsbegrenzung
Unterdrückter Endbereich:
I
RV
RM
U
Wenn der Spannungsabfall
über RM und Messwerk
größer als Zenerspannung
wird
⇒ Zenerdiode wird
stromführend
⇒ Strom über Messgerät
konstant
59
Es fließt erst dann Strom,
wenn die anliegende Spannung größer als die
Zenerspannung ist
58
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