1 Propagation von Wellenpaketen

Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen mittels FFT
(Zeitentwicklung eines Wellenpakets unter der Schrödingergleichung)
Numerische Physik SS 08, Aufgabe 3, Ausdruck: 30. Mai 2008
P.Z.,M.F.,H.E.,H.R.
In der vorliegenden Aufgabe soll die zeitliche Entwicklung von Wellenpaketen in einem vorgegebenen Potential
numerisch mit einer auf der “ Fast FourierTransform” (FFT) aufbauenden Methode (Split-Operator Verfahren) berechnet werden[11, 4, 5]. Mit der Zeitentwicklung der Wellenfunktion erhält man beispielsweise ein
anschauliches Bild eines Streuvorganges.
1
Propagation von Wellenpaketen
Wir wollen uns der Einfachheit halber auf eindimensionale Probleme mit zeitunabhängigen lokalen Potentialen
beschränken. Die allgemeinste Form des Hamilton-Operators lautet somit:
H=
P2
+V = T +V
2m
(1)
(mit T dem Operator der kinetischen Energie und V dem Potential). Die Wellenfunktion des Teilchens genügt
der Schrödinger-Gleichung
i~ ∂t Ψt = HΨt .
(2)
Nach Vorgabe eines Anfangszustandes Ψt0 = Ψ0 zum Zeitpunkt t = t0 definiert Gl. (2) ein Anfangswertproblem, dessen Lösung sich mit Hilfe des Zeitentwicklungsoperators folgendermaßen schreiben läßt:
Ψt = U (t, t0 )Ψ0 wobei U (t, t0 ) := e−iH(t−t0 )/~ .
(3)
Der Zeitenwicklungsoperator U (t, t0 ), dessen einfache Gestalt eine Folge der Zeitunabhängigkeit des HamiltonOperators ist (∂t H = 0), führt einen Zustand zur Zeit t0 in einen Zustand zur Zeit t über.
Vorbereitend auf die numerische Umsetzung zerteilen wir die Zeitentwicklung in M Schritte der Länge ∆t :=
(t − t0 )/M :
M
Y
Uk (∆t ) ,
(4)
U (t, t0 ) =
k=1
mit
Uk (∆t ) := U (t0 + k∆t , t0 + (k − 1)∆t ) = e−iH∆t /~ .
(5)
Dabei wird der Anfangszustand um ∆t in der Zeit entwickelt und der resultierende Endzustand als neuer
Anfangszustand für den nächsten Zeitschritt betrachtet; dies setzt man fort, bis der gewünschte Zeitpunkt t
erreicht ist. Da H sowohl den Impuls- P als auch den Ortsoperator X enthält, die miteinander nicht kommutieren, läßt sich Uk nur in wenigen Fällen exakt berechnen. Man wäre nun versucht, Uk durch Abbrechen der
Exponentialreihe zu approximieren, doch dies führt zu einer nicht-unitären Näherung des Zeitentwicklungsoperators und damit zu einer Verletzung der Wahrscheinlichkeitserhaltung. Dies erweist sich in diesem Fall als
ungünstig.
Eine die Unitarität bewahrende Näherung erhalten wir, indem wir den Zeitentwicklungsoperator in ein Produkt
von Exponentialen aufspalten, die jeweils nur den Orts- bzw. den Impulsoperator enthalten. Wir nützen dabei
aus, daß der Hamilton-Operator aus zwei Teilen besteht (einem kinetischen und einem potentiellen Anteil),
und nähern Uk von Gl. (5) durch folgenden Ausdruck:
Uk (∆t ) ≈ e−iT ∆t /2~ e−iV ∆t /~ e−iT ∆t /2~ .
Mit Hilfe der Campbell-Baker-Hausdorff-Formel [1, Kap. 1.24, S. 47 ff.]
1
C = A + B + 12 [A, B] + 12
eA eB = eC ,
A, [A, B] +
(6)
B, [B, A] + . . . ,
stellt man leicht fest, daß der in (6) gemachte Fehler von der Ordnung ∆3t ist. Falls [T, V ], T = 0 = [T, V ], V ,
insbesondere also, wenn das Potential konstant ist, gilt in (6) Gleichheit und die rechte Seite von (6) beschreibt
die Zeitentwicklung exakt.
1
1
12
Durch Einsetzen von (6) in Gl. (4) erhalten wir für den Zeitentwicklungsoperator folgende die Unitarität
respektierende Näherung:
!
M
Y
W (∆t ) eiT ∆t /2~ ,
(7)
U (t, t0 ) ≈ e−iT ∆t /2~
k=1
mit
W (∆t ) := e−iV ∆t /~ e−iT ∆t /~ .
(8)
Man beachte, daß der hierbei gemachte Fehler wegen der M -fachen Multiplikation von Uk nur mehr von der
Ordnung ∆2t ist (M ∆3t = (t − t0 )∆2t ).
Die Wirkung von U (t, t0 ) (in Näherung (7)) auf eine Wellenfunktion läßt sich nun ohne Schwierigkeit berechnen:
Man wende die Faktoren in (7) sukzessive von rechts nach links auf die Wellenfunktion an und wechsle dabei
je nach Exponent in die Orts- bzw. Impulsdarstellung, in welcher die Operatoren jeweils durch einfache Multiplikation wirken. Der Wechsel zwischen Orts- und Impulsdarstellung erfolgt durch Fourier-Transformation der
Wellenfunktion. Diese Methode wird in der Literatur als “split-operator-Fourier transform method” bezeichnet
[11, 4, 5] und in der Praxis unter Verwendung der FFT implementiert.
2
Die schnelle Fourier-Transformation
2.1
Die Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformierte einer quadratintegrablen Funktion f (x) ∈ L2 (R) ist definiert durch
Z ∞
1
F (k) ≡ F[f ](k) := √
dx e−ikx f (x)
2π −∞
(9)
und ist selbst wieder quadratintegrabel. Man beachte, daß das Integral in Gl. (9) im allg. als Limes in L2 (R)
zu verstehen ist, also
Z N
1
dx e−ikx f (x) .
F[f ](k) := lim √
N →∞
2π −N
F ist eine bijektive beschränkte lineare Abbildung auf L2 (R) mit
Z ∞
1
f (x) = F −1 [F ](x) = √
dk eikx F (k) .
2π −∞
Wegen
Z
∞
dx |f (x)|
−∞
2
=
Z
(10)
∞
dk |F (k)|
2
(Parseval’sches Theorem)
(11)
−∞
ist F ein unitärer Operator auf L2 (R). 1
˜ := f (x − x0 ) zeigt man leicht:
Für die Fourier-Transformierte der um x0 ∈ R verschobenen Funktion f(x)
(12)
F̃ (k) ≡ F f˜ (k) = e−ix0 k F (k) .
Aufgabe 2.1
Sei f (x) eine Gauß’sche Glockenkurve mit Breite σ:
f (x) = √
4
1
πσ 2
2
2
e− x /2σ .
(13)
Überprüfen Sie:
(i) f ist auf 1 normiert.
1 Die hier verwendete Phasen- und Normierungskonvention entspricht der in der Quantenmechanik beim Übergang zwischen
Orts- und Impulsdarstellung (p = ~k) üblichen Form.
2
(ii) Die Fourier-Transformierte von f lautet
F (k) =
r
4
σ 2 − σ2 k2/2
e
π
(14)
und ist ebenfalls auf 1 normiert. Wie man sieht, ist also die Fourier-Transformierte einer Gauß’schen
Glockenkurve wieder eine Gauß’sche Glockenkurve mit inverser Breite 1/σ.
Hinweis: Die analytische Rechnung dazu lä ßt sich leicht mit folgender Formel ausführen [7, Gl. 3.322, S. 307]:
r
Z ∞
2
π (β 2 −4αγ)/4α
dx e−(αx +βx+γ) =
,
für Re(α) > 0 .
(15)
e
α
−∞
2.2
Die diskrete Fourier-Transformation
Bei der numerischen Behandlung der Fourier-Transformation kann die zu transformierende Funktion nicht
an unendlich vielen Punkten berechnet und die Integration nicht über ein unendlich breites Intervall ausgeführt werden. Daher wird die Fourier-Transformation immer nur von endlich vielen Stützstellen der zu
transformierenden Funktion berechnet.
Nehmen wir an, die Funktion f sei im endlichen Intervall I = [x1 , x1 + L) gegeben. Wegen Gl. (12) können wir
o. E. d. A. x1 = 0 setzen, was wir im folgenden immer voraussetzen wollen. Sei also f im Intervall I = [0, L)
an den N äquidistanten Stellen xn := (n − 1)∆x mit ∆x := L/N (“Sampling-Intervall”) gegeben: 7
fn := f (xn ) ,
n = 1, 2, . . . , N.
(16)
Falls die Teilintervalle genügend schmal gewählt werden, kann man versuchen, F (k) durch Beschränkung der
RL
PN
Integration auf das Intervall [0, L) und Ersetzen des Integrals 0 dx durch die Summe ∆x 1 zu approximieren:
Z ∞
N
1
∆x X −ikxn
F (k) = √
dx e−ikx f (x) ≈ √
e
fn =: F̂ (k) .
(17)
2π −∞
2π n=1
Weil für beliebige l ∈ Z
2π
−i k +
l (n − 1) ∆x = −ik(n − 1)∆x − i 2π(n − 1)l
∆x
gilt, ist die Funktion F̂ (k) periodisch mit Periode 2kc := 2π/∆x und somit im Gegensatz zu F (k) nicht
quadratintegrabel. 2 Unter der Voraussetzung, daß der Träger des Fourier-Spektrums F (k) innerhalb des
Intervalls [−kc , kc ) ausreichend lokalisiert ist, stellt F̂ (k) auf [−kc , kc ) eine gute Näherung für die FourierTransformierte F (k) dar.
Wegen der Periodizität können negative Argumente gemäß
F̂ (−k) = F̂ (2kc − k)
(18)
immer auf positive abgebildet werden; insbesondere gilt: F̂ (−kc ) = F̂ (kc ). Es reicht daher aus, die Funktion
F̂ (k) in einem Intervall der Länge 2kc anzugeben. Die für die folgenden Ableitungen einfachste Wahl ist k ∈
[0, 2kc ); ist es — wie in unserer Aufgabe — nötig, die Funktion F̂ (k) als Näherung der Fourier-Transformierten
F (k) zu betrachten, muß man k ∈ [−kc , kc ) wählen. Man beachte, daß die Abbildung (fn ) 7→ F̂ von dieser
Wahl unabhängig ist.
7 Wenn f kompakten Träger besitzt, sei suppf ⊂ I; sonst sei I so gewählt, daß f nur in I “wesentlich” von Null verschieden
ist. Für die Gauß’sche Glockenkurve (13) könnte etwa I ⊃ (−5σ, 5σ) gewählt werden.
2 Man kann also im allg. nicht erwarten, daß F̂ (k) für alle k ∈ R, insbesondere für |k| k eine brauchbare Näherung von F (k)
c
darstellt.
3
Die kritische Wellenzahl kc (Nyquist-Wellenzahl genannt) hat bei der Diskretisierung von Funktionen f (x)
eine wichtige Bedeutung: Oszilliert f (x) gerade wie cos(kc x), fallen aufeinanderfolgende Halbwellen gerade
auf benachbarte Stätzpunkte im Ortsgitter. Erhöht man k auf Werte größer als kc , etwa k = kc + δ mit
δ > 0, kann diese rasche Oszillation durch das diskrete Gitter im x-Raum nicht mehr aufgelöst werden. Man
kann leicht nachweisen, daß in diesem Fall die Werte von f an den Stützstellen wie cos [(kc − δ)x] oszillieren.
Enthält also die Funktion f (x) Fourier-Komponenten mit Wellenzahlen k = kc + δ > kc , so werden diese bei
der Diskretsierung der Fourier-Transformation, Gl. (17), den entsprechenden Fourier-Komponenten zu kc − δ
hinzugerechnet. Dieses Phänomen, bei dem hochfrequente Fourier-Komponenten als niederfrequent maskierte
auftreten, nennt man “aliasing” (siehe [10, Kap. 12, Abschn. 1, S. 386 ff.] oder [8]). Da der Beitrag solcher
Oszillationen zur Funktion f (x) meistens klein ist und mit wachsendem k immer kleiner wird, tritt dieser
Effekt also hauptsächlich bei den Fourier-Komponenten in der Nähe von ±kc in Erscheinung.
Um daher sinnvolle Resultate zu erhalten, muß man das räumliche Sampling-Intervall der Fourier-Bandbreite
der Funktion f (x) derart anpassen, daß die Beiträge von Komponenten mit |k| > kc vernachlässigt werden
dürfen. In der Praxis ist dies bei einiger Sorgfalt meist leicht möglich.
Da N Stützstellen im x-Raum nur N unabhangige Stützstellen im k-Raum liefern können, genügt es, F̂ (k)
ebenfalls an N Stützstellen anzugeben. Für k ∈ [0, 2kc ) whlen wir die k-Werte folgendermaßen:
kl := (l − 1)∆k ,
l = 1, 2, . . . , N.
(19)
für die Betrachtung physikalischer Wellenzahlen k = p/~ ∈ [−kc , kc ) machen wir uns die Periodizität von F̂ (k)
zunutze und definieren
kl := (l − 1)∆k ,
l = 1, 2, . . . , N2+1 ,
l = N2+1 + 1, . . . , N,
kl := (l − 1)∆k − 2kc ,
wobei [q] die “grö ßte ganze Zahl kleiner oder gleich q” bedeutet. In beiden Fällen ist l = 1 mit k = 0 assoziiert.
Daß die Abbildung l 7→ kl im letzteren Fall nicht monoton ist, stellt dabei kein Problem dar. Die Intervallbreite
∆k im k-Raum ist gegeben durch
2π
2kc
2π
=
.
(20)
=
∆k :=
N
N ∆x
L
Es gilt: ∆k ∆x = 2π/N .
Dies f”hrt uns zur Definition der Diskreten Fourier-Transformation (DFT): für einen Vektor f ≡ (fn ) ∈ CN
sei
N
X
Fl ≡ FN [f ]l :=
e−2πi (l−1)(n−1)/N fn , l = 1, . . . , N.
(21)
n=1
N
Dann gilt: FN ist ein Isomorphismus auf C
−1
fn ≡ FN
[F ]n =
mit
N
1 X 2πi (l−1)(n−1)/N
e
Fl ,
N
n = 1, . . . , N,
(22)
l=1
wobei F ≡ (Fl ) ∈ CN ist. Das Parseval’sche Theorem lautet in diskreter Form
N
X
|fn |2 =
n=1
N
1 X
|Fl |2 ,
N
(23)
l=1
die Abbildung √1N FN ist also unit r auf CN . Dies sind die zu Gln. (9) – (11) analogen Formeln fürödie DFT.
Wird Fl gem ß Gl. (21) für alle Werte l ∈ Z definiert, so zeigt man analog zu Gl. (18), daß
F−l = FN −l ,
l ∈ Z,
(24)
also Fl periodisch mit Periode N ist.
√
Die Näherungsformel (17) für die Fourier-Transformation (9) ergibt daher mit Gl. (16) und F̂ (kl ) ≡ ∆x / 2π Fl ,
sowie der Definition von kl gem ß Gl. (20)
∆x
L
√ FN [f (xn )]l .
F (kl ) ≈ F̂ (kl ) = √ FN [f (xn )]l =
2π
N 2π
(25)
Als Umkehrung von (25) erhält man mit Gl. (22)
√
∆k N −1
N 2π −1
FN [F (kl )]n .
f (xn ) ≈ √
FN [F (kl )]n =
L
2π
4
(26)
2.3
Die schnelle Fourier-Transformation
Wie aus Gl. (21) hervorgeht, muß bei der Berechnung der diskreten Fourier-Transformation FN der Vektor f mit der N × N -Matrix (WNln )(l,n) , WNln := e−2πi(l−1)(n−1)/N , multipliziert werden, wozu N 2 komplexe
Multiplikationen notwendig sind. Mit anderen Worten: die DFT ist ein Prozeß der Ordnung O(N 2 ).
Tatsächlich aber kann man durch sukzessives Halbieren des Integrationsintervalls den für die DFT erforderlichen Aufwand auf O(N log2 N ) reduzieren, falls die Zahl der Stützstellen N eine Potenz von 2 ist. Auf
diesem bemerkenswerten, erst in den 60er Jahren weiter verbreiteten Ergebnis beruhende Algorithmen werden
als “Fast Fourier Transform” (FFT) bezeichnet [10, Kap. 12, Abschn. 2, S. 390 ff.]. Besonders für eine große
Anzahl von Stützstellen reduziert sich der Rechenaufwand beträchtlich. (für 106 Stützstellen ist der Rechenzeitunterschied bei 1µs Zykluszeit grob 30 Sekunden gegen 2 Wochen). Die meisten existierenden Programme
kontrollieren, ob N eine Potenz von 2 ist, und whlen dementsprechend FFT- oder andere DFT-Algorithmen
aus.
2.4
Implementation der FFT in Matlab
Die Matlab-Funktionen fft und ifft implementieren genau die in Gln. (21) und (22) definierten Transformationen [9, S. 2-50 ff.].
Die Funktion fft liefert die Näherung der Fourier-Transformierten einer Funktion gemäß Gl. (25) mit der
Numerierung der Fourier-Komponenten l = 1, . . . , N → F (kl ) wie sie der der k-Werte in Gl. (20) entspricht.
Da diese Abbildung nicht monoton ist, stellt Matlab z. B. für die graphische Darstellung oder die numerische Differentiation der Fourier-Transformierten die Funktion fftshift zur Verfügung, um die beiden
Hälften eines Vektors f entsprechend der Numerierung in Gl. (20) gegeneinander zu vertauschen, d. h.
fftshift(f)==f ([(ceil(N/2) + 1) : N,1 : ceil(N/2)]).
Für die Multiplikation einer Funktion von k mit der Fourier-Tranformierten ist die Anwendung von fftshift
nicht nötig: Speichert man die Wellenzahlen kl in einem Vektor kl =deltak∗([1 : ceil(N/2),(ceil(N/2) + 1 :
N ) − N ] − 1) ab,3 erfolgt z. B. die Multiplikation der Funktion k 2 mit der Wellenfunktion psik = L/(N ∗
sqrt(2 ∗ pi))∗f f t(psix) in Impulsdarstellung einfach durchkl.2 . ∗ psik.
3
Aufgaben
Aufgabe 3.1
Berechnen Sie mit Hilfe der FFT die zeitliche Entwicklung ψt (x) eines freien Teilchens, das zur Zeit t0 = 0
mit einer Gauß’schen Impulsverteilung Ψ0 (k) präpariert wurde:
r
2
2 2
4 b
e−(k−k) b /2 −ikx .
(27)
Ψ0 (k) =
π
√
Dabei bezeichnet x den Ortserwartungswert,
p := ~k den Impulserwartungswert und b = 2 ∆x die Breite der
√
Ortsverteilung bzw. 1/b = 2 ∆p/~ die Breite der Impulsverteilung.
Vergleichen Sie das Ergebnis Ihrer Berechnung zu verschiedenen Zeiten graphisch und numerisch mit der
analytischen lösung (Zerfließen) [3, Kap. I, Ergnzung GI , S. 61 ff.])
Z ∞
2
dk
√ eikx−i(~k /2m)t Ψ0 (k)
ψt (x) =
(28)
2π
−∞
r
2
2 eik(x−x)−i(~k /2m)t
(x − x − ~kt/m)2
4 b
p
exp −
=
π
2(b2 + i~t/m)
b2 + i~t/m
und interpretieren Sie das Resultat.
9
3 Es
gilt:f f tshif t(kl)==deltak∗[−f loor(N/2) : ceil(N/2) − 1]
Als zentralen Test eines numerischen Verfahrens sollte dieses für Probleme mit bekannter Lösung die
richtigen Resultate liefern. Die Überprüfung sollte hier sowohl graphisch als auch numerisch erfolgen, weil beide Methoden unterschiedliche Klassen von Fehlern offenbaren.
9 Plausibilitätstests:
5
Überprüfen Sie zuerst die Unitarität (Normerhaltung) Ihrer Implementation der Fourier-Transformationen
(25) und (26) z. B. anhand der Gauß-Funktion, Gl. (13). Durch explizite Berechnung von < X >, < X 2 >,
< P >, < P 2 > in Orts- und Impulsdarstellung und Vergleich mit den analytischen Werten stellen Sie fest,
ob die Erwartungswerte unter Ihrer Realisierung der Fourier-Transformation invariant sind.
√
Hinweis: Führen Sie die dimensionslosen Größen ξ := x/a0 , κ := a0 k, τ := ~ t/(m a20 ) und ψ̂τ (ξ) := a0 ψt (x)
ein, wobei für a0 eine charakteristische Längeneinheit des vorliegenden Systems zu whlen ist, hier etwa a0 = ¯
l :=
~/mc die Compton-Wellenlänge des Teilchens (z. B. für ein Elektron ist ¯
l =√
3, 86·10−13 m, ¯l/c = 1, 29·10−21 sec;
mit ∆x = 2, 8 · 10−15 m dem “klassischen Elektronradius” ergibt sich b = 2 ¯l α mit α ≈ 1/137 ).
Aufgabe 3.2
Berechnen Sie die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion eines Teilchens in einem gegebenen äußeren Potential V (x), z. B. Potentialtopf, Potentialbarriere, Potentialstufe oder Gauß’sches Potential: 5
2
2
V (x) := V0 e−(x−x0 ) /σ .
(29)
Als Anfangszustand soll wie in Aufgabe 3 ein Gauß’sches Wellenpaket gewhlt werden. Stellen Sie Orts- und
Impulswahrscheinlichkeitsdichte |ψt (x)|2 bzw. |Ψt (k)|2 des Teilchens zu verschiedenen Zeitpunkten (zusammen
mit dem Potential) graphisch dar. Versuchen Sie, durch Identifikation des reflektierten bzw. transmittierten
Anteils der Wellenfunktion für große Zeiten und Integration der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichten
den Reflexions- R bzw. Transmissionskoeffizienten T des Potentials zu ermitteln und mit analytisch bekannten
Werten aus der Literatur (etwa [3, Kap. I, Ergä nzungen HI & JI , S. 67 ff.]) zu vergleichen.
3.1
Reflexion und Transmission an einer Potentialbarriere
Sei V (x) ein Potentialwall der H he V0 und Breite 2a:
(
V0
falls |x − x0 | < a
V (x) :=
0
falls |x − x0 | > a
(30)
(V0 <p0 entspricht einem Potentialtopf). Für die Reflexion bzw. Transmission ebener Wellen mit Wellenzahl
k := 2mE/~2 , E > 0, an dieser Potentialschwelle gilt (siehe [3, Kap. I, Ergänzung HI , S. 72 ff.] oder [6,
Aufgabe 10, S. 40 ff.]):
• für E > V0 ist
R
=
(q 2 − k 2 )2 sin2 (2qa)
,
(2kq)2 + (q 2 − k 2 )2 sin2 (2qa)
(31)
T
=
(2kq)2
,
(2kq)2 + (q 2 − k 2 )2 sin2 (2qa)
(32)
p
wobei q := 2m(E − V0 )/~2 die Wellenzahl in der Barriere bedeutet. Der Transmissionskoeffizient T
2
oszilliert periodisch zwischen dem Maximalwert 1 und dem Minimalwert 2kq/(q 2 + k 2 ) . für 2qa ∈ πN0
ist T = 1, d. h. die Potentialbarriere ist transparent (“Resonanzen”).
• für E < V0 ist der Potentialwall klassisch undurchdringbar. Quantenmechanisch ergibt sich (“TunnelEffekt”)
(2kρ)2
(33)
T =
2
2
2
(k + ρ ) sinh2 (2ρa) + (2kρ)2
p
und R = 1 − T mit ρ := 2m(V0 − E)/~2 .
5 Entsprechend
der Definition der dimensionslosen Größen in Aufgabe 3 setzen wir für das Potential
V̂ (ξ) :=
m a20
~2
V (x) .
Als charakteristische Länge a0 kann z. B. die Breite des Potentials gewählt werden.
6
Zur Vermeidung numerischer Artefakte hervorgerufen durch die Unstetigkeit der Potentialbarriere ist es
günstig, bei der numerischen lösung das Potential durch eine stetige Funktion zu approximieren. Es eignet
sich z. B.
V0
,
mit 0 < w a ,
(34)
V (x) = [(x−x )2 −a2 ]/w2
0
e
+1
wobei w die Breite der Potentialflanken bedeutet. Stellen Sie fest, welche Ungleichungen zwischen a, w, k und
räumlichen Breite des Wellenpaketes b gelten müssen, damit die Näherung ebener Wellen gute Resultate für
den Endzustand des Wellenpaketes für t 0 liefert. Wählen Sie Anfangswerte und ein Potential entsprechend
der Abschätzung und vergleichen Sie Ihre numerischen Ergebnisse mit dem analytischen Resultat, Gln. (31) –
(33). Kann die Transparenz des Potentials bei bestimmten k-Werten numerisch reproduziert werden?
Hinweise: (a) Den reflektierten bzw. transmittierten Anteil der Wellenfunktion ermittelt man am besten im
k-Raum durch Summation der entsprechenden Teilwahrscheinlichkeitsdichten.
(b) Um eine Übereinstimmung mit der analytischen Formel zu erhalten muß die Energieunschärfe (Impulsunschärfe) des Wellenpackets klein genug sein, d.h. die Ortsbreite genügend groß.
3.2
Zeitentwicklung eines kohärenten Zustands im harmonischen Oszillator
Für einen harmonischen Oszillator der Frequenz ω ist
H = −
Setzen Sie
~2 d2
mω 2
(x − x0 )2 .
+
2
2m dx
2
(35)
o
mω
(x − x1 )2 .
(36)
π~
2~
für x1 = x0 ist ψ0 der Grundzustand des harmonischen Oszillators. Bestimmen und diskutieren Sie die Zeitentwicklung von ψt [3, Kap. V, Ergänzung GV , S. 559 ff.]. 4 Testen Sie die Periodizitt der Lösung.
ψ0 (x) :=
mω 1/4
exp
n
−
Literatur
[1] J. G. F. Belinfante and B. Kolman, A Survey of Lie Groups and Lie Algebras with Applications and
Computational Methods, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1972.
[2] E. Oran Brigham, The Fast Fourier Transform, Prentice Hall, 1974.
[3] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and Franck Laloë, Quantum Mechanics, Vol. I, John Wiley & Sons, New
York, 1977.
[4] J. A. Fleck, J. R. Morris and M. D. Feit, Appl. Phys. 10, 129 (1976).
[5] M. D. Feit, J. A. Fleck, Jr., and A. Steiger, J. Comput. Phys. 47, 412 (1982).
R. Heather and H. Metiu, J. Chem. Phys. 86, 5009 (1987).
[6] S. Flügge, Rechenmethoden der Quantentheorie, Springer-Verlag, Berlin, 1965.
[7] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryszhik, Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, 1980.
[8] J. Honerkamp, Stochastische Dynamische Systeme, VCH Verlagsgesellschaft 1990.
[9] The MathWorks Inc., MATLAB User’s Guide for UNIX Workstations, 1992.
[10] W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky and W. T. Vetterling, Numerical Recipes, Cambridge
University Press, 1986.
[11] C. J. Sweeney and P. L. De Vries, Computers in Physics, JAN/FEB 1989, S. 49.
4 Als
charakteristische Länge des Systems wählt man a0 :=
p~/(m ω).
7