Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Christoph Laabs, [email protected]
Einführung
Grundlage für die Einführung der komplexen Zahlen ist die Erweiterung des Zahlenraums der
reellen Zahlen. Eine komplexe Zahl z wird durch ein Zahlenpaar (x, y) beschrieben.
Dieses Skript soll die Grundrechenarten der Zahlenpaararithmetik zusammen mit den Eigenschaften komplexer Zahlen verständlicher machen.
Charakteristika und Grundoperationen
Imaginäre Einheit
Die imaginäre Einheit ist i ist ein mathematisches Symbol. Es wird eine eingebildete (→ imaginäre) Zahl verwendet, deren Quadrat gleich −1 ist. Durch diese imaginäre Einheit wird der
Zahlenbegriff verallgemeinert. Bei der Anwendung verwendet man statt i die Bezeichnung j, um
eine Verwechslung mit dem Momentanwert der Stromstärke zu vermeiden.
i2 = −1
Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl in ihrer algebraischen Darstellung lautet z := x + iy. Dabei durchlaufen x
und y alle möglichen reellen Werte und erzeugen alle möglichen komplexen Zahlen z. Dabei ist
x der Realteil, y der Imaginärteil der komplexen Zahl.
z := x + iy
Re(z) = x
Im(z) = y
Für komplexe Zahlen ergeben sich drei gebräuchliche Darstellungsformen.
1 Algebraische Darstellung
Eine komplexe Zahl in algebraischer Darstellung setzt sich aus Real- und Imaginärteil zusammen.
z = x + iy = Re(z) + iIm(z)
Operation
Formel
Addition
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
Subtraktion
analog zur Addition!
Multiplikation
z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + y1 x2 )
x1 + iy1
x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
z1 /z2 =
=
+i
2
2
x2 + iy2
x2 + y2
x22 + y22
Division
Konjugation
c Christoph Laabs 2016
z = x + iy = x − iy
1
2 Trigonometrische Darstellung
Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung setzt sich aus Betrag und Argument zusammen.
z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = r cos(ϕ) + i sin(ϕ) = Re(z) + iIm(z)
Die trigonometrische und die algebraische Form sind sehr eng miteinander verwandt. So kann
eine Umrechnung über den folgenden Weg erfolgen:
Re(z) = x = r cos(ϕ)
Im(z) = y = r sin(ϕ)
z = x + iy =
p
x2 + y 2 cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Das Argument der komplexen Zahl berechnet sich folgendermaßen:
Im(z)
y
= arctan
ϕ = arg(z) = arctan
x
Re(z)
Das Argument einer komplexen Zahl ist der Rückgabewert eines Arkustangens. Diese Werte
liegen zwischen −π und π. Um das Argument auf einen Bereich von 0 bis 2π zu bringen, wird in
Abhängigkeit von den Vorzeichen von Real- und Imaginärteil der Winkel normiert.


x>0 y>0
arctan xy




y

arctan x + 2π x > 0 x < 0



π
x=0 y>0
arg(z) = ϕ = 2 π
3π
− 2 = 2
x=0 y<0



y


x<0 y≥0
arctan x + π



arctan y − π
x<0 y<0
x
Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Länge des Vektors, der vom Ursprung zu diesem Punkt
gezogen werden kann. somit gilt
q
p
2
2
|z| = r = x + y = Re2 (z) + Im2 (z)
Operation
Formel
Addition
Algebraische Darstellung
Subtraktion
analog zur Addition!
z1 z2 = r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )
z1 /z2 = r1 /r2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )
Multiplikation
Division
Konjugation
z = x + iy = x − iy = r(cos(ϕ) − i sin(ϕ))
3 Polare Darstellung
Grundlage für diese Umrechnung ist die
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Eulersche Identität
Dies lässt die folgende Darstellung zu:
z = reiϕ
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2
Der Übergang zu trigonometrischer und algebraischer Form geschieht über die folgende Rechnung:
Re(z) = x = r cos(ϕ)
Im(z) = y = r sin(ϕ)
z = x + iy =
p
p
x2 + y 2 cos(ϕ) + i sin(ϕ) = x2 + y 2 eiϕ
Operation
Formel
Addition
Algebraische Darstellung
Subtraktion
analog zur Addition!
Multiplikation
z1 z2 = r1 r2 ei[ϕ1 +ϕ2 ]
r1
z1 /z2 = ei[ϕ1 −ϕ2 ]
r2
iϕ
z = e = re−iϕ
Division
Konjugation
Komplexe Wurzeln
Für die Berechnung komplexer Wurzeln bietet sich die Formel von Moivre an.
√
n
√
n
z=
√
n
reiϕ =
rei
ϕ+2kπ
n
k = 0, 1, . . . , n − 1
Fundamentalsatz der Algebra
Jede Gleichung vom Grad n besitzt genau n Lösungen, wenn die Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen sind. Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.
Einheitskreis
y
(0, 1)
−
−
√
3 1
2 , 2
− 12 ,
√
3
2
√ 2
2
2 , 2
√
√ 3
1
2, 2
π
2
π
3
2π
3
3π
4
120
◦
90◦
60
√
3 1
2 , 2
◦
30◦
180◦
210◦
−
√
3
1
2 , −2
−
2π
x
330◦
11π
6
240◦
5π
4
√ 2
2
2 ,− 2
270
− 12 , −
◦
4π
3
√
(1, 0)
360
0◦ ◦
7π
6
π
6
150
π
√ 2
2
2 , 2
π
4
◦
5π
6
(−1, 0)
√
300◦
√
7π
4
3
1
2 , −2
5π
3
3π
2
√
3
2
(0, −1)
√
√
1
3
2, − 2
√ 2
2
2 ,− 2
Weiterführende Literatur: Taschenbuch der Mathematik, Bronstein et. al.
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