beweistheoretischen

Sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf ziehen – was in der Erzählung des Freiherrn von Münchhausen so fabelhaft funktioniert,
stellte die mathematische Zunft zu Beginn des 20. Jahrhunderts vor ein Problem, das ihr Selbstverständnis bedrohte: mit mathematischen Methoden die Konsistenz der Mathematik zu beweisen. Der Philosoph Professor Godehard
Link und die Mathematiker Professor Menso Folkerts und Dr. Christian Tapp widmeten sich in einem DFG-Projekt dieser
Problematik und zeichnen die frühe Geschichte der Beweistheorie nach.
ANKE VAN KEMPEN
der motor mathematischen denkens
Z
u Beginn des 20. Jahrhunderts gerieten die Fundamente der Mathematik in eine tiefgreifende Krise. Ihre Widerspruchsfreiheit und damit ihr wissenschaftliches Selbstverständnis standen zur Disposition. Wissenschafts-
historisch ist dies der Zeitraum unmittelbar bevor sich einerseits die Informatik als eigenständige Disziplin und
andererseits die Beweistheorie als mathematischer Teilbereich etablierten. In dieser formativen Phase wurde versucht,
aus allgemeineren Begrifflichkeiten herauszufiltern, was heute in Logik und Mathematik gang und gäbe ist. Godehard
Link, Professor für Logik und Wissenschaftstheorie, Menso Folkerts, Professor für Geschichte der Naturwissenschaften,
und Dr. Christian Tapp haben in dem DFG-Projekt „Geschichte der beweistheoretischen Ordinalzahlanalyse und ihre
Implikationen für die Philosophie der Mathematik“ die Frühphase der mathematischen Beweistheorie untersucht, philosophisch reflektiert und gefragt, was es eigentlich ist, das die Mathematik als Teil unserer Kulturtechnik antreibt.
Die Rekonstruktion der mathematischen Beweistheorie von ihren Anfängen bei David Hilbert (1862-1943) bis zur Etablierung der ersten Ordinalzahlanalysen durch Gerhard Gentzen (1909-1945) zeichnet im Sinne einer wissenschaftshistorischen Archäologie nach, wie und warum sich die Beweistheorie von ihren ursprünglich grundlagenorientierten,
philosophischen Intentionen mehr und mehr zu einer rein mathematischen Disziplin entwickelte. Auf dieser Grundlage
wurden die mathematischen Argumentationsmuster systematisch nach ihren Implikationen für Philosophie und Mathematik befragt, um einen Blick auf den Motor mathematischen Denkens zu werfen, auf die Intuition des Mathematikers.
ALLE KRETER LÜGEN
Auslöser der Grundlagenkrise war Bertrand Russell, der 1901 seine berühmte Antinomie formulierte: „Die Menge R
= {x | x ∉ x} sei definiert als die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.“ Stellt man nun die
Frage, ob die Menge R sich selbst enthält oder nicht, gerät man in einen unaufhebbaren Widerspruch: Enthält sie sich,
dann enthält sie sich nicht. Enthält sie sich nicht, dann enthält sie sich. Russell selbst erläuterte das Paradox mit der
Geschichte vom Barbier, der vom Dorfbürgermeister den Auftrag erhält, ein Jahr lang alle Männer zu rasieren, die sich
nicht selbst rasieren – aber auch nur diese. Der Barbier scheitert an der Aufgabe, weil er die Rechnung ohne sich selbst
gemacht hat: Wenn er sich selbst rasiert, dann hätte er sich nicht rasieren dürfen. Wenn er sich nicht selbst rasiert,
dann hätte er sich rasieren müssen. Russell greift in seiner Antinomie das seit der Antike bekannte logische Problem
von Sätzen auf, die sich auf sich selbst beziehen, zugleich jedoch eine Negation enthalten: „Alle Kreter lügen“, sagt
der Kreter Epimenides. Indem Russell diese Figur auf die Grundrelation der mathematischen Mengenlehre, die
79
INTERDISZIPLINÄRE EINSICHTEN
3 Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben. Der Mathematiker Georg Cantor beschrieb, wie
man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche
Mengen verallgemeinern kann und wie man mit transfiniten
Ordinalzahlen rechnen kann.
Die kleinste unendliche Ordinalzahl (= kleinste
Iterationsstufe nach jeder endlichen Stufe) heißt ω.
Dann zählt man weiter:
ω+1, ω+2, ...
Ordinalzahlen kodieren den Ordnungstyp einer
geordneten Menge
ω ist der Ordnungstyp von N:
ω+1 ist der Ordnungstyp von:
0 , 1 , 2 , 3 , ...
1, 2, 3, ... 0
(0 hinter allen anderen Zahlen)
Elementschaftsbeziehung zwischen zwei Mengen, anwendet, scheint er die Konsistenz des von Georg Cantor (18451918) begründeten Systems anzugreifen und löste eine veritable Grundlagenkrise aus. Eine Krise allerdings, die von
den meisten Mathematikern der Zeit nicht oder kaum zur Kenntnis genommen wurde. Zu wenig war die Bedeutung
der Mengenlehre erkannt worden und zu sehr hatten einflussreiche Gegner sie in Misskredit gebracht. Cantor selbst
waren schon Jahre zuvor ähnliche Argumente bekannt gewesen, weshalb er es nicht für notwendig hielt, sich mit der
Russellschen Antinomie näher zu beschäftigen. Er deutete sie im Sinne seiner Theorie schlicht als Beweise, die zeigten,
dass R keine Menge ist. Anders David Hilbert, der seine „normale“ mathematische Tätigkeit unterbrach, um sich mit
den Implikationen der Antinomie zu befassen.
BEWEISTHEORIE – VOM INSTRUMENT ZUM OBJEKT DER REFLEXION
Hilbert fühlte sich offensichtlich verantwortlich für die Mathematik als Disziplin, für die Verlässlichkeit, und das hieß für
ihn, die Widerspruchsfreiheit, ihrer Grundlagen. Berühmt ist seine Ansprache auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahr 1900. Dort präsentierte Hilbert einen Katalog von 23 mathematischen Problemen, deren Lösung
er für entscheidend hielt für die Fundierung und damit die Zukunft der Mathematik. Sein erklärtes Ziel war, die Konsistenz, also die Widerspruchslosigkeit der Mathematik, mit allen ihren Teilen zu beweisen. Er postulierte die „Überzeugung von der Lösbarkeit eines jeden mathematischen Problems“ und appellierte an seine Kollegen: „Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus!“
Doch Hilbert stellte eine Bedingung. Er beschränkte die zur Umsetzung seines Programms zulässigen Methoden auf so
genannte finite Schlussweisen, also ein Ensemble von in der Mathematik etablierten Methoden, die unmittelbar der Anschauung zugänglich sind, da sie nicht mit dem Unendlichen und schon gar nicht mit höheren transfiniten Mächtigkeiten
rechnen. Mit dieser Einschränkung hoffte er, das seinem Programm innewohnende Dilemma der Reflexivität pragmatisch
wenn nicht lösen, so doch handhaben zu können.
Unter denen, die die wissenschaftliche Herausforderung Hilberts annahmen, war der deutsche Mathematiker und Logiker
Gerhard Gentzen, der 1936 und 1938 einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik vorlegte und damit zugleich die Ordinalzahlanalyse als allgemeines beweistheoretisches Verfahren begründete. Einige Jahre zuvor hatte Kurt
Gödel gezeigt, dass ein axiomatisierbares System, das wie die Arithmetik in der Lage ist, seine eigene Syntax zu codieren,
wenn es konsistent ist, nicht alle wahren Sätze beweisen kann. Kurz gesagt: Wenn ein System konsistent ist, dann ist es
unvollständig. Dieser Erkenntnis trägt Gentzen in seinem Beweisverfahren Rechnung. Ihm gelingt, die Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie zu beweisen, allerdings indem er sich einer transfiniten Induktion bedient. Die Arithmetik selbst
kennt nur die vollständige, so genannte mathematische Induktion, nach der eine Eigenschaft, welche für die Zahl 0
bewiesen wurde und unter der Annahme, sie gelte für eine beliebige Zahl n, auch für n+1 bewiesen werden kann (dies
ist der Induktionsschritt), bereits für alle natürlichen Zahlen gilt. Die transfinite Induktion dagegen muss sich für den
Induktionsschritt nicht nur auf endlich viele Vorgänger stützen, sondern auf unendlich viele. Das ergibt sich, wenn man
den Zahlen nicht ihre natürliche Anordnung, genannt ω, gibt, sondern eine solche, in denen vor einer Zahl unendlich
viele andere kommen können, zum Beispiel indem man erst alle geraden Zahlen und dann erst alle ungeraden sortiert.
80
INTERDISZIPLINÄRE EINSICHTEN
Zwei unendliche Mengen können dieselbe Mächtigkeit
und verschiedene Ordnungstypen haben
Es gibt unendlich viele verschiedene Anordnungen der natürlichen Zahlen und
damit unendlich viele abzählbare Ordinalzahlen (Cantors Zweite Zahlenklasse)
0 , 2 , 3 , 6 , ... , 1 , 3 , 5 , 7 , ...
2 , 3 , 6 , ... , 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 0
... ...
ω+ω
ω+ω+1
...
Solche Anordnungen heißen Wohlordnungen
●
●
Nachfolgerzahlen
Limeszahlen
1, 5, 1000, ω+1, ω2+7, ...
ω,ω+ω = ω*2, ...
0 , 1 , 2 , ... , ω , ω+1 , ... , ω+ω = ω*2, ω*2+1, ... ,
ω*3, ω*3+1, ... , ω*n+1, ... , ω*ω = ω 2 , ... , ω 3 , ... ,
ω ω ...
...
ω
ω+1
ω+2
...
ω
ωω ...
ω
...
0 , 1 , 2 , 3 , ...
1 , 2 , 3 , ... , 0
2 , 3 , ... , 0 , 1
... ...
Ordinalzahlen sind Ordnungstypen von Wohlordnungen;
es gibt (außer der 0):
ωω
ω
= ε
0
Solche Anordnungen heißen transfinite Ordinalzahlen. Gentzen erkannte, dass für seinen Konsistenzbeweis eine Induktion
bis zu der durch ihn berühmt gewordenen transfiniten Ordinalzahl ε0 notwendig ist – ε0 ist zwar erheblich größer als ω,
aber immer noch abzählbar. Gentzens Verfahren ist so konstruiert, dass der untersuchte Beweis kein Beweis eines Widerspruchs sein kann, wenn es zum Abschluss kommt. So kann Gentzen mittels der transfiniten Induktion bis ε0 auf die
Widerspruchsfreiheit der Arithmetik schließen. Bis heute wird sein Beweis so interpretiert, dass er mit der transfiniten
Induktion nicht nur die Grenzen der Arithmetik überschreitet, was nach dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz
unvermeidlich ist, sondern auch den von Hilbert gesetzten methodischen Rahmen der finiten Verfahren verlässt. Ist
Gentzens Beweis dadurch hinsichtlich des Hilbertschen Programms uninteressant geworden? Das angesprochene
Dilemma, mit mathematischen Methoden die Mathematik als konsistent zu erweisen, wird umso drängender, je mehr an
einzelnen Schlussweisen gezweifelt wird. Ein Beispiel ist das Auswahlaxiom von Zermelo, das sich nicht mit anderen anerkannten Methoden beweisen ließ, ein anderes das berühmte Parallelenaxiom Euklids. Doch Hilberts Ziel war nicht,
einzelne Beweise nachzuvollziehen und zu prüfen, ob sie einleuchten oder nicht. Er lenkt das Interesse auf die generelle
Struktur mathematischer Beweise und macht so Beweisfiguren, also nach festen Regeln erzeugte Konfigurationen mathematischer Aussagen, zu Objekten mathematischer Reflexion. Die Frage nach den Methoden und Mitteln, mit denen
die Widerspruchsfreiheit der Teilgebiete der Mathematik erwiesen werden soll, ist daher nicht nebensächlich, sondern
der Kern des Problems. Gentzens Verwendung des Prinzips der transfiniten Induktion erscheint nicht als Fortentwicklung des von Hilbert bestimmten Instrumentariums, sondern als eine Änderung des Objekts der Reflexion selbst und ist
daher von zentralem Interesse.
ANGRIFF AUF DIE GRUNDLAGE ANALYTISCHER PHILOSOPHIE
Gentzen war allerdings der Auffassung, er bewege sich innerhalb des von Hilbert gesetzten Rahmens. Dieses
Spannungsverhältnis zwischen seiner Selbsteinschätzung und dem transfiniten Charakter seiner Beweisführung wirft
die philosophische Frage nach der grundsätzlichen Berechtigung formaler Modellierungen auf. Es geht darum, ob
nicht gerade die Präzision moderner Systeme zu Unangemessenheiten führt. Jede Modellierung setzt Grenzen, die
eventuell schärfer sind als der Gegenstandsbereich, den man mit Hilfe der angewandten Modelle untersuchen will.
Für auftretende Probleme ist daher nicht unbedingt der modellierte Gegenstandsbereich verantwortlich. Sie können
auch durch die Modellierung erzeugt worden sein. Mit diesem Zweifel aber steht die Legitimität formalisierter
Methoden insgesamt zur Disposition – ein Angriff auf die Grundlage der analytischen Philosophie, die ausgezogen
war, begriffliche Klarheit in das zu bringen, was sie für den „Wildwuchs“ der Philosophie hielt. Seit Gottlob Frege
entwickelt sich nicht nur die moderne Logik in Richtung Mathematisierung, sondern fast alle Wissenschaftsbereiche,
von den Naturwissenschaften, den Wirtschaftswissenschaften bis zu den Sprachwissenschaften. An diesem Punkt
setzt die Kritik Wittgensteins an der Mathematisierung aller Wissenschaftsgebiete an. Dadurch zwinge man diesen
unter Umständen eine Begriffsschärfe auf, die ihrem Gegenstand nicht entspricht. So begründet auch Gentzen die
Einschätzung seiner Schlussweisen als finit damit, dass sie der Idee des schematischen Denkens entsprächen, auch
wenn dies für die moderne formallogische Reformulierung dieser Schlussweisen nicht gelten sollte. Das Argument
81
INTERDISZIPLINÄRE EINSICHTEN
3 Der Mathematiker David Hilbert (1862-1943) präsentierte in seiner Rede auf dem internationalen
Mathematikerkongress in Paris im Jahr 1900 einen Katalog von 23 mathematischen Problemen, deren
Lösung er für entscheidend hielt für die Fundierung und damit die Zukunft der Mathematik.
zielt auf die Unangemessenheit der formalisierten Darstellung gegenüber dem Prozess des Denkens, den auszudrücken und zu dokumentieren sie Anspruch erhebt.
Methodisch ergibt sich daraus die Frage, ob die mathematische Intuition durch das
formalisierte System der Peano-Arithmetik adäquat wiedergeben werden kann. Auch
Hilberts Grundintuition, das Manipulieren von endlichen Zeichenketten, war schematisches Denken. Er entwirft die zentrale Metapher von „Beweisbäumen“, an die Äste „angehängt“ und in denen
„Pfade“, verfolgt werden können. In diesem Bild ist die Beweistheorie sehr konkret. Wenn man dagegen über unendlich viele Zahlen oder noch höhere Unendlichkeiten spricht, „verschwimmt“ die Anschaulichkeit des Bildes, der
Gegenstand der Reflexion wird „unvorstellbar“. Für Hilbert lag der Kern des Problems darin, Quantifikationen, d.h.
das „Durchlaufen“ eines unendlichen Objektbereichs, auf finite Weise zu rechtfertigen. Um dies zu erreichen, ersetzt
er die logische Formalisierung dieser Grundoperation mit Hilfe der expliziten Quantorensymbole
∀ „für alle x“
beziehungsweise ∃ „es gibt ein x“, welche die Variable x „binden“ durch einen quantorenfreien, in x schematischen
Ausdruck, der die Allgemeinheit durch die Lizenz, jederzeit einen beliebigen Wert für x annehmen zu können, zu
erfassen versucht. In diesem Sinne rechtfertigt Gentzen sein transfinites Induktionsprinzip, indem er die in ihm enthaltene Quantifikation schematisch deutet – obwohl diese sogar höherstufig ist. Moderne Formalisierungen lassen
solches schematische Denken hinter sich, wenn sie ihre Beweise führen. „Der Prozess der Formalisierung ist unumkehrbar und unverzichtbar, wie gerade die technische wie philosophische Tiefe der völlig neuartigen Gödelschen
Resultate eindrucksvoll belegen“, betont Godehard Link. Allerdings ist schematisches Denken nur schwer in einen
formalen Raum einzuordnen und seiner Präzision zu unterwerfen. Kreativität allgemein funktioniert nicht linear und
nicht digital, dies bestätigen moderne Forschungen aus dem Gebiet der Künstlichen Intelligenz, und das gilt auch
für die mathematische Intuition. Bezogen auf Gentzen könnte man sagen, dass seine eigene – schematische – Praxis
den Gebrauch der Formalisierung erzwingt. Diese Konstellation qualifiziert seine Ordinalzahlanalyse zum gemeinsamen Paradigma der historischen und der systematischen Fragestellungen: Wie verhält sich die Mathematik zu sich
selbst? Was ist mathematisches Denken? Was treibt es an?
Prof. Dr. Godehard Link ist seit 1980 Professor für Logik und
Wissenschaftstheorie, Department für Philosophie der LMU.
Er war bis 2001 Sprecher des Graduiertenkollegs „Sprache,
Information und Logik (SIL)“.
http://www.lrz-muenchen.de/%7Egodehard.link/
[email protected]
Prof. Dr. Menso Folkerts ist seit 1980 Professor für Geschichte
der Naturwissenschaften an der LMU. Seit 1985 ist er Mitglied des
Kuratoriums des Deutschen Museums, seit 1999 Ordentliches Mitglied
der Bayerischen Akademie der Wissenschaften.
http://www.geschichte.uni-muenchen.de/wug/gnw/personen_folk1.shtml
[email protected]
Dr. Christian Tapp war wissenschaftlicher Mitarbeiter auf Zeit am
DFG-Projekt „Geschichte der beweistheoretischen Ordinalzahlanalyse
und ihre Implikationen für die Philosophie der Mathematik“, das am
Lehrstuhl für Geschichte der Naturwissenschaften angesiedelt ist.
http://www.geschichte.uni-muenchen.de/wug/gnw/personen_tapp.shtml
[email protected]
82
INTERDISZIPLINÄRE EINSICHTEN