Zusammenfassung: Induktion

LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Zusammenfassung: Induktion
Induktion durch Bewegung eines Leiters in einem Magnetfeld
Erster Grundversuch zur Induktion:
Ein Stab bewegt sich auf zwei parallelen
Schienen, die den Abstand d haben, mit der
Geschwindigkeit vs nach rechts. Zwischen den
Schienen ist ein homogenes Magnetfeld der
Flussdichte B, dessen Feldlinien senkrecht zu den
Schienen und senkrecht zur Bewegungsrichtung
des Stabs verlaufen.
d
JJG
Fel
JJG
FL
JG
vs
U ind
JG
B
Die Elektronen im Stab werden nach rechts bewegt und erfahren eine Lorentzkraft nach unten.
Dadurch entsteht am unteren Ende des Stabs eine negative Überschussladung, und am oberen Ende
des Stabs entsteht eine positive Überschussladung. Zwischen den Enden des Stabs bzw. zwischen
den Schienen entsteht also eine Spannung, die Induktionsspannung U ind .
JG
Durch die Überschussladungen entsteht ein elektrisches Feld E , das auf die Elektronen eine Kraft
nach oben
stellt sich ein stationärer Zustand ein, in dem sich die LorentzJJG bewirkt. Nach kurzer Zeit
JJG
kraft FL und die elektrische Kraft Fel gegenseitig aufheben. Dann gilt
Fel = FL
eE = Bevs
E = Bvs
U ind
= Bvs
d
U ind = Bdvs
Diese Herleitung ist völlig analog zur Herleitung der Hallspannung.
Lässt man in obigem Beispiel die Schienen weg, dann kann man formulieren:
Wird ein gerades Leiterstück der Länge l mit der Geschwindigkeit vs in einem homogenen Magnetdass
feld der Flussdichte B so bewegt,
JG
• die Richtung von B ,
• die Richtung des Leiterstücks und
JG
• die Bewegungsrichtung vs
jeweils orthogonal zueinander sind, dann wird zwischen den Enden des Leiterstücks eine Spannung
induziert, für deren Betrag gilt:
U ind = Blvs .
Die Polung dieser Spannung ergibt sich aus der Dreifingerregel der linken Hand für die Richtung
der Lorentzkraft.
30a_zus_induktion
1/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Bewegung einer Leiterschleife bzw. Spule durch ein Magnetfeld:
a) Eintritt in das
b) Bewegung im
c) Austritt aus dem
Magnetfeld:
Magnetfeld:
Magnetfeld:
JG
vs
JG
vs
JG
B
Induktionsspannung
JG
B
JG
vs
JG
B
keine Induktionsspannung
Induktionsspannung mit
umgekehrter Polung wie bei a)
Es ist üblich, die Induktionsspannung beim Eintritt in das Magnetfeld positiv zu rechnen; dann ist
die Induktionsspannung beim Austritt aus dem Magnetfeld negativ.
Ersetzt man die Leiterschleife durch eine Spule mit n Windungen, dann ver-n-facht sich die
Spannung, da sich die Spannungen der einzelnen Windungen addieren.
Es wird also eine Spannung induziert, wenn sich die von dem Magnetfeld durchsetzte Fläche der
Spule ändert. Dies führt zu folgender
Definition: Der magnetische Fluss Φ einer Fläche As , die senkrecht von einem Magnetfeld der
Flussdichte B durchsetzt wird, ist das Produkt
Φ = B ⋅ As .
Vs
Einheit: 1 T ⋅ m 2 = 1 2 ⋅ m 2 = 1 Vs
m
Für Experten: Diese Einheit heißt auch 1 Wb (Weber).
Den magnetischen Fluss kann man sich anschaulich vorstellen als die Anzahl der Feldlinien, die die
Fläche durchsetzen.
Streng genommen ist dies Unfug. Durch jeden Punkt eines Magnetfelds verläuft eine Feldlinie; es
gibt also immer unendlich viele Feldlinien.
Mit diesem Begriff kann man formulieren: Zwischen den Enden einer Spule wird eine Spannung
induziert, wenn sich der magnetische Fluss in der Spule ändert.
Änderungsrate von Größen
0. Idee:
Ändert sich eine Größe g im Lauf der Zeit t, dann ist die Änderungsrate von g die Änderung
von g pro Zeiteinheit (üblicherweise pro Sekunde), also
g
Änderungsrate von g = .
t
Die Einheit der Änderungsrate ist also
Einheit von g
Einheit von g
, also üblicherweise
.
Zeiteinheit
s
30a_zus_induktion
2/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Beispiele:
• Ändert ein Körper seinen Ort s, dann ist die Änderungsrate von s die Geschwindigkeit v:
s
m
v = (zurückgelegte Wegstrecke pro Zeiteinheit); Einheit: 1
t
s
• Ändert ein Körper seine Geschwindigkeit v, dann ist die Änderungsrate von v die
Beschleunigung a:
v
m
a = (Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit); Einheit: 1 2
t
s
• Wird Energie W von einem System auf ein anderes übertragen, dann ändert sich die
Energie des abgebenden bzw. aufnehmenden Systems. Die Änderungsrate der Energie
ist die Leistung P:
W
J
P=
(übertragene Energie pro Zeiteinheit); Einheit: 1 W = 1
t
s
• Fließt Ladung Q durch einen Leiterquerschnitt, dann stellt man sich vor, dass diese
Ladung von einem Kondensator abgegeben bzw. aufgenommen wird. Die im Leiter
fließende Ladung ist also gleich der Änderung der Ladung des Kondensators. Die
Änderungsrate der Ladung ist die Stromstärke I:
Q
C
I=
(Ladungsmenge pro Zeiteinheit); Einheit: 1 A = 1
t
s
1. Gleichmäßige Änderung
Die (konstante) Änderungsrate von g ist
∆g g ( t2 ) − g ( t1 )
=
.
∆t
t2 − t1
Beispiele:
∆s
∆v
∆W
∆Q
Geschwindigkeit v =
; Beschleunigung a =
; Leistung P =
; Stromstärke I =
∆t
∆t
∆t
∆t
Im Sonderfall g ( 0 ) = 0 ist g proportional zu t, und die (konstante) Änderungsrate von g ist
g
.
t
2. Beliebige Änderung
a) Die durchschnittliche Änderungsrate von g im Zeitraum ∆t = [t1 ; t2 ] ist
∆g g ( t2 ) − g ( t1 )
=
.
∆t
t2 − t1
b) Die momentane Änderungsrate von g zum Zeitpunkt t0 ist der Grenzwert lim
∆t → 0
Ableitung der Funktion g ( t ) zum Zeitpunkt t0 , also
g ′ ( t0 ) .
•
In Physik schreibt man einen Punkt statt des Strichs, also g ( t0 ) .
•
In Formeln lässt man die Variable weg, also g .
30a_zus_induktion
3/12
∆g
, also die
∆t
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Beispiele:
•
•
•
•
•
∆s
bzw. Momentangeschwindigkeit v = s
∆t
•
∆v
 •• 
Durchschnittsbeschleunigung a =
bzw. Momentanbeschleunigung a = v  = s 
∆t


•
∆W
Durchschnittsleistung P =
bzw. Momentanleistung P = W
∆t
•
∆Q
Durchschnittsstromstärke I =
bzw. Momentanstromstärke I = Q
∆t
Durchschnittsgeschwindigkeit v =
Induktionsgesetz und Lenzsche Regel
Wir haben oben gesehen, dass zwischen den Enden einer Spule eine Spanunng induziert wird, wenn
sich der magnetische Fluss in der Spule ändert. Tatsächlich ist die Induktionsspannung (pro
Windung) gerade die Änderungsrate des magnetischen Flusses:
Induktionsgesetz (ohne Vorzeichen): Ändert sich der magnetische Fluss Φ in einer Spule mit
n Windungen, dann entsteht zwischen den Enden der Spule die Induktionsspannung
•
U ind = n ⋅ Φ .
Nach der Produktregel ist
•
•
•
•
•
•

U ind = n Φ = n ( BAs ) = n  B As + B As  = n B As + nB As .


Es gibt also zwei Ursachen für das Entstehen einer Induktionsspannung:
1. Eine Änderung der magnetischen Flussdichte B.
2. Eine Änderung der vom Magnetfeld durchsetzten Fläche As .
Der zweite Fall tritt auf, wenn eine Leiterschleife bzw. Spule in ein Magnetfeld eintritt oder austritt.
In dieser Situation kann man die Induktionsspannung auch mit Hilfe der Formel
U ind = Blvs
berechnen (was meistens einfacher ist).
Für Experten: Im zweiten Fall kann man die Aussage des Induktionsgesetzes aus dieser Formel für
die Induktionsspannung herleiten, während man im ersten Fall die Aussage des Induktionsgesetzes
nicht herleiten kann.
Zweiter Grundversuch zur Induktion:
In einer langgestreckten Erregerspule S1 der Länge l mit n1 Windungen befindet sich eine achsenparallele Induktionsspule S 2 der Querschnittsfläche A mit n2 Windungen. Wird S1 von einem zeitlich veränderlichen Strom I durchflossen, dann entsteht zwischen den Enden von S 2 die Induktionsspannung
•
•
•
n1 
nn A •
•

U ind = n2 Φ = n2 ( BA ) = n2 A ⋅ B = n2 A  µ 0 I  = µ 0 1 2 ⋅ I .
l 
l

Ändert sich die Stromstärke im Zeitraum ∆t gleichmäßig, dann entsteht die konstante Induktionsspannung
n n A ∆I
U ind = µ 0 1 2 ⋅
.
∆t
l
30a_zus_induktion
4/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Entsteht eine Induktionsspannung aufgrund der Bewegung eines Leiters in einem Magnetfeld, dann
folgt die Polung der Induktionsspannung aus der Dreifingerregel für die Richtung der Lorentzkraft.
Entsteht eine Induktionsspannung aufgrund der Änderung der magnetischen Flussdichte, dann kann
man sich die Polung der Spannung folgendermaßen überlegen:
Betrachte eine kurzgeschlossene Spule, in der die Flussdichte zunimmt. Aufgrund der Induktionsspannung fließt in der Spule ein Strom, der in der Spule ein Magnetfeld erzeugt. Dieses Magnetfeld
muss dem äußeren anwachsenden Magnetfeld entgegengesetzt gerichtet sein:
Wäre dieses Magnetfeld gleich gerichtet wie das äußere zunehmende Magnetfeld, dann würde die
Flussdichte schneller anwachsen, also die Induktionsspannung und damit der Induktionsstrom
zunehmen; also würde das Magnetfeld weiter verstärkt usw. und man hätte ein Perpetuum mobile.
Aus dieser Überlegung folgt die
Lenzsche Regel: Die Induktionsspannung ist so gepolt, dass der Induktionsstrom seiner Ursache
entgegenwirkt.
Merke: Der Induktionsstrom wirkt seiner Ursache entgegen.
Ändert sich das Magnetfeld in einer Spule mit leitend verbundenen Anschlüssen, dann gibt es zwei
Möglichkeiten:
• Wenn das Magnetfeld zunimmt, dann wirkt der Induktionsstrom der Zunahme entgegen,
indem er ein entgegengesetzt gerichtetes Magnetfeld erzeugt;
• wenn das Magnetfeld abnimmt, dann wirkt der Induktionsstrom der Abnahme entgegen,
indem er ein gleich gerichtetes Magnetfeld erzeugt.
Betrachte eine Spule, die an eine Spannung U 0 angeschlossen ist. In der Spule ist also ein Magnetfeld. Schiebt man einen Eisenkern in die Spule, dann wird die magnetische Flussdichte erhöht; also
•
•
ist B > 0 und damit Φ > 0 . Zwischen den Enden der Spule entsteht eine Induktionsspannung U ind .
Nach der Lenzschen Regel wirkt die Induktionsspannung ihrer Ursache entgegen; also ist U ind
entgegengesetzt gerichtet zu U 0 . Diese Tatsache berücksichtigt man im
Induktionsgesetz (mit Vorzeichen): Ändert sich der magnetische Fluss Φ in einer Spule mit
n Windungen, dann entsteht zwischen den Enden der Spule die Induktionsspannung
•
U ind = −n ⋅ Φ .
Ändert sich Φ gleichmäßig, dann ist U ind = −n ⋅
Ändert sich Φ beliebig, dann ist
∆Φ
konstant.
∆t
∆Φ
;
∆t
•
die durchschnittliche Induktionsspannung U ind = −n ⋅
•
die momentane Induktionsspannung U ind ( t ) = −n ⋅ Φ ( t ) .
•
Das Vorzeichen im Induktionsgesetz spielt nur dann eine Rolle, wenn an der Spule, zwischen deren
Enden eine Spannung induziert wird, eine äußere Spannung U 0 anliegt.
30a_zus_induktion
5/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Kraft auf einen Leiter bei Induktionsstrom
Wie beim ersten Grundversuch zur Induktion bewegt sich ein Stab auf zwei parallelen Schienen, die
den Abstand d haben, mit der Geschwindigkeit vs nach rechts. Zwischen den Schienen ist ein
Magnetfeld der Flussdichte B, dessen Feldlinien nach hinten verlaufen. Also entsteht zwischen den
Enden des Stabs bzw. zwischen den Schienen eine Induktionsspannung vom Betrag
U ind = Bdv .
Sind die Schienen durch einen Widerstand R leitend verbunden, dann fließt nach dem Ohmschen
Gesetz durch den Widerstand, die Schienen und den Stab ein Strom der Stärke
U
I = ind ,
R
wenn man den Widerstand der Schienen und des Stabs vernachlässigt.
Auf den stromdurchflossenen Stab wirkt in dem Magnetfeld eine Kraft vom Betrag
F = IBd .
Die Richtung dieser Kraft kann man sich auf zwei Arten
überlegen:
1. In dem Stab fließen die Elektronen nach unten.
Nach der Dreifingerregel der linken Hand wirkt
I
JG
JG
v
die Kraft nach links.
F
s
d
2. Nach der Lenzschen Regel wirkt der Induktionsstrom seiner Ursache, also der Bewegung des
R
JG
Leiters in dem Magnetfeld, entgegen. Also wirkt
B
die Kraft entgegen der Bewegungsrichtung des
Stabs.
Bewegt sich eine Spule mit leitend verbundenen Anschlüssen durch ein Magnetfeld, dann wirkt
während des Eintritts in das Magnetfeld und während des Austritts aus dem Magnetfeld auf die
Spule eine Kraft entgegen der Bewegungsrichtung.
Wiederholung:
JG
• Wirkt auf einen Körper eine konstante Kraft F in Bewegungsrichtung längs einer Wegstrecke s, dann ist die verrichtete Arbeit bzw. übertragene mechanische Energie
W = Fs .
Merke: Arbeit ist Kraft mal Weg.
G
• Wirkt auf einen Körper, der sich mit der konstanten Geschwindigkeit v bewegt, eine
JG
konstante Kraft F in Bewegungsrichtung, dann ist die mechanische Leistung
W Fs
s
P=
=
= F ⋅ = F ⋅ v , also
t
t
t
P = Fv.
• Liegt an einem Verbraucher die konstante Spannung U und fließt ein konstanter Strom der
Stärke I, dann ist die elektrische Leistung
W (*) UQ
Q
P= =
= U ⋅ = U ⋅ I , also
t
t
t
P =U I .
W
(*) : U = , also W = UQ
Q
30a_zus_induktion
6/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Elektrische Wirbelfelder und Wirbelströme
Um ein sich änderndes Magnetfeld ist ein elektrisches Wirbelfeld, d. h. die Feldlinien bilden
geschlossene Kreise. Es gibt keinen Pluspol und keinen Minuspol.
Zur Bestimmung der Richtung der elektrischen Feldlinien stellt man sich anstelle einer Feldlinie
eine kreisförmige kurzgeschlossene Leiterschleife vor und verwendet die Lenzsche Regel.
Achtung: Die Richtung der elektrischen Feldlinien ist definiert durch die Wirkung auf eine positive
Probeladung.
Abnehmendes Magnetfeld:
Anwachsendes Magnetfeld:
JG
B
JG
B
JG
E
JG
E
Wenn ein massiver metallischer Körper teilweise von einem Magnetfeld durchsetzt wird und sich
relativ zu dem Magnetfeld bewegt, dann fließen in dem Körper Wirbelströme. Diese wirken nach
der Lenzschen Regel ihrer Ursache, also der Bewegung des Körpers relativ zum Magnetfeld,
entgegen.
Selbstinduktion
Ändert sich die Stromstärke in einer Spule und damit das Magnetfeld im Innern der Spule, dann
wird zwischen den Enden der Spule eine Spannung induziert. Dieser Vorgang heißt
Selbstinduktion.
Anschaulich: Eine Spule „widersetzt sich“ jeder Änderung der Stromstärke.
Betrachte eine langgestreckte Spule mit n Windungen, der Länge l und der Querschnittsfläche A,
deren Inneres mit einem Stoff der Permeabilitätszahl µ r gefüllt ist. Wird die Spule von einem zeitlich veränderlichen Strom der Stärke I durchflossen, dann gilt für die zwischen den Spulenenden
induzierte Spannung U ind :
•
U ind = − n ⋅ Φ = − n ( BA )
•
•
n 
n •
n2 A •

= − nA ⋅ B = − nA  µ 0 µ r I  = − nA ⋅ µ 0 µ r ⋅ I = − µ 0 µ r
⋅I.
l 
l
l

•
•
Also ist U ind proportional zu − I , d. h. es gilt
•
U ind = −Proportionalitätsfaktor ⋅ I .
Definition: Dieser Proportionalitätsfaktor heißt die Induktivität L der Spule:
U
L = − •ind .
I
V
Vs
Einheit: 1 H = 1
(Henry)
=1
A
A
s
Anschaulich: Die Induktivität ist ein Maß dafür, „wie stark“ sich eine Spule einer Änderung der
Stromstärke „widersetzt“.
30a_zus_induktion
7/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Aus obiger Rechnung folgt mit den obigen Bezeichnungen:
Eine langgestreckte Spule hat die Induktivität
L = µ0 µ r
n2 A
.
l
Für Experten: Die Tatsache, dass die induzierte Spannung proportional zur Änderungsrate der
U
Stromstärke ist, gilt für eine beliebige Spule; also ist die Induktivität L = − •ind für eine beliebige
I
2
n A
Spule definiert. Dagegen gilt die Formel L = µ 0 µ r
nur für eine langgestreckte Spule.
l
1. Einschaltvorgang
Legt man an eine Spule die (konstante) Spannung U 0 an,
dann beginnt in der Spule ein Strom zu fließen, und im
Innern der Spule entsteht ein Magnetfeld. Nach der Lenzschen Regel ist die Induktionsspannung so gepolt, dass sie
dem Anwachsen des Magnetfelds bzw. dem Anstieg der
Stromstärke entgegenwirkt. Also ist die Selbstinduktionsspannung U ind entgegengesetzt gerichtet zur äußeren
Spannung U 0 , und die Stromstärke steigt nur verzögert an.
Erst nach einiger Zeit (streng genommen erst für t → ∞ )
erreicht die Stromstärke ihren Maximalwert I max .
Der Anstieg der Stromstärke wird umso stärker
verzögert, je größer die Induktivität L der Spule ist.
tein
I
U0
L, RL
: Spule mit Eisenkern
I
I max
Hat die Spule den ohmschen Widerstand RL , dann
ist die Maximalstromstärke
U
I max = 0 ;
RL
sie hängt nicht von der Induktivität der Spule ab.
L klein
tein
L groß
t
Während des Einschaltvorgangs liegt an der Spule die Spannung
U ( t ) = U 0 + U ind ( t ) (*) .
Zum Einschaltzeitpunkt tein ist die Stromstärke
I ( tein ) = 0 .
Daraus folgt
und einsetzen in (*) ergibt
U ( tein ) = 0 ,
U ind ( tein ) = −U 0 .
Anschließend nimmt der Betrag von U ind ab, bis er nach einiger Zeit (streng genommen erst für
t → ∞ ) Null wird.
30a_zus_induktion
8/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
•
Aus U ( t ) = U 0 + U ind ( t ) = U 0 − L ⋅ I ( t ) und U ( tein ) = 0 folgt
•
U ( tein ) = U 0 − L ⋅ I ( tein )
•
0 = U 0 − L ⋅ I ( tein )
•
L ⋅ I ( tein ) = U 0
L=
U0
•
I ( tein )
Messung der Induktivität einer Spule:
Schließe die Spule an eine Spannungsquelle mit der Spannung U 0 an und zeichne den Stromstärke-
verlauf I ( t ) beim Einschalten mithilfe eines Messwerterfassungssystems und eines Computers auf.
Für Experten: Wenn das Messwerterfassungssystem nur Spannungen aufzeichnen kann, dann greife
die an einem Abgreifwiderstand (z. B. Rabgr = 1 Ω ) entstehende Spannung ab.
Zeichne nach Augenmaß die Tangente an das Schaubild von I ( t ) zum Einschaltzeitpunkt tein . Lies
U0
•
die Tangentensteigung ab; dies ist I ( tein ) . Berechne L =
•
I ( tein )
.
2. Ausschaltvorgang
Trennt man die Spule von der Spannungsquelle, dann bricht der
Strom in der Spule und das Magnetfeld im Innern der Spule
zusammen. Nach der Lenzschen Regel fließt der Induktionsstrom in der gleichen Richtung durch die Spule wie der Strom
vor dem Öffnen des Schalters. Also ist die Selbstinduktionsspannung U ind gleich gerichtet wie die ursprüngliche Spannung
U 0 , und die Stromstärke fällt nur verzögert ab.
taus
I
U0
L
RL
R1
I
I max
Erst nach einiger Zeit (streng genommen
erst für t → ∞ ) fließt kein Strom mehr.
L klein
L groß
taus
t
Nach dem Ausschalten wirkt in dem Stromkreis, der aus der Spule und dem Widerstand R1 gebildet
wird, die Induktionsspannung U ind ( t ) , und es gilt
U ind ( t ) = ( RL + R1 ) ⋅ I ( t ) .
Im Moment des Ausschaltens hat der Strom noch die ursprüngliche Stärke:
I aus ( t ) = I max .
30a_zus_induktion
9/12
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Daraus folgt
U ind ( taus ) = ( RL + R1 ) ⋅ I ( taus ) = ( RL + R1 ) ⋅ I max = ( RL + R1 ) ⋅
U 0 RL + R1
=
⋅U0 .
RL
RL
>1
Im Moment des Ausschaltens ist die Induktionsspannung also größer als die ursprüngliche
Spannung U 0 !
Anschließend nimmt die Induktionsspannung ab, bis sie nach einiger Zeit (streng genommen erst
für t → ∞ ) Null wird.
Ersetzt man den Widerstand R1 durch eine Glimmlampe (und wählt die Spannung U 0 kleiner als
die Zündspannung der Glimmlampe), dann leuchtet die Glimmlampe beim Ausschalten kurzzeitig
auf.
Energie von Magnetfeldern
Ohne Herleitung: Die Energie des Magnetfelds einer Spule der Induktivität L, die von einem Strom
der Stärke I durchflossen wird, beträgt
1
Wmag = LI 2 .
2
Für die räumliche Energiedichte
ρ mag =
Wmag
V
eines homogenen Magnetfelds der Flussdichte B gilt (Betrachte für die Herleitung das Magnetfeld
einer langgestreckten Spule):
2
n2 A 2
1 2
2
2 n
µ µ
I2
µ µ
I
Wmag 2 LI
1 0 r l
1
1 B2
n2 2 1 0 r l 2
=
=
= µ0 µr 2 I =
=
,
ρ mag =
µ0 µr
2
2
2
2 µ0 µr
V
Al
Al
l
also
B2
ρ mag =
.
2µ0 µ r
Rotation einer Spule in einem Magnetfeld
Definition: Die Winkelgeschwindigkeit (oder Kreisfrequenz) ω einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Quotient aus dem überstrichenen Winkel ϕ (im Bogenmaß) und der dafür
benötigten Zeit t:
ω=
Einheit:
ϕ
t
.
1
(nicht Hz)
s
Berechung von ω für eine Kreisbewegung mit der Periodendauer T bzw. der Frequenz f =
Nach einem vollen Umlauf ist ϕ = 2π und t = T , also
ϕ 2π 2π
ω= =
=
= 2π f .
1
t
T
f
2π
= 2π f .
Merke: ω =
T
30a_zus_induktion
10/12
1
:
T
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Eine Spule mit n Windungen und der Querschnittsfläche A rotiere mit
der Periodendauer T bzw. der Frequenz f bzw. der Winkelgeschwindigkeit ω in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B, wobei
die Drehachse senkrecht zu den Feldlinien stehe.
Zum Zeitpunkt t = 0 werde die Spulenfläche senkrecht von den
Feldlinien durchsetzt.
Nach der Zeit t hat sich die Spule um den Winkel
α = ωt
gedreht.
JG
B
α
1. Herleitung mit dem Induktionsgesetz
Hat sich die Spule um den Winkel α gedreht, dann gilt für
die Fläche As , die senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt
wird:
As
= cos α ,
A
also
As = A ⋅ cos α = A ⋅ cos (ω t ) .
α
α
A
JG
B
As
As
A
α
Nach dem Induktionsgesetz ist
•
•
U ind = − n ⋅ Φ = − n ⋅ ( BAs ) = − nB ⋅ As = − nB ( A ⋅ cos (ωt ) ) = − nBA ⋅ ( − sin (ω t ) ) ⋅ ω
•
•
= nBAω ⋅ sin (ω t ) .
Also ist die induzierte Spannung eine sinusförmige Wechselspannung
l ⋅ sin (ω t )
U (t ) = U
mit dem Maximalwert (Scheitelwert)
l = nBAω .
U
2. Herleitung mit Lorentzkraft
Rotiert die rechteckige Leiterschleife bzw. Spule
um die gestrichelt gezeichnete Drehachse, dann
wird nur in den beiden achsenparallelen Leiterstücken eine Spannung zwischen den Enden der
Leiterabschnitte induziert.
d
Die Spannung zwischen den Enden eines solchen Leiterabschnitts ist
U ind = Bdvs .
30a_zus_induktion
11/12
r
r
LGÖ Ks
Ph 12 4-stündig
30.05.2011
Die Spannungen in den beiden Abschnitten einer Leiterschleife addieren sich, und in einer Spule
mit n Windungen addieren sich die Spannungen der einzelnen Windungen. Also ist die gesamte
induzierte Spannung
U = 2nBdvs .
G
JG
Die Geschwindigkeit v eines Leiterabschnitts zerlegt man in eine Komponente vs senkrecht zu den
JJG
JG
Feldlinien und in eine Komponente vp parallel zu den Feldlinien; nur die Komponente vs
verursacht eine Induktionsspannung.
JJG
JG
vp
B
JG
G
α
vs
v
vp
α
vs
v
Es gilt
vs
= sin α ,
v
also
vs = v ⋅ sin α .
Also ist die in einer Spule mit n Windungen induzierte Spannung
U = 2nBdv ⋅ sin α = 2nBdv ⋅ sin (ω t ) .
Die achsenparallelen Leiterabschnitte beschreiben eine gleichförmige Kreisbewegung mit dem
Radius r und der Periodendauer T. Ihre Geschwindigkeit ist
2π r 2π
=
v=
r = ωr .
T
T
Also ist die induzierte Spannung
U = 2nBd ⋅ ω r ⋅ sin (ω t ) = nB ⋅ 2dr ⋅ ω ⋅ sin (ω t ) .
Da die Leiterschleife bzw. Spule die Querschnittsfläche
A = 2 rd
hat, erhält man für die induzierte Spannung das gleiche Ergebnis wie bei 1., nämlich
U ( t ) = nBAω ⋅ sin (ω t ) .
Für Experten: Die Herleitung mit dem Induktionsgesetz gilt für eine beliebige Spule, während die
Herleitung mit Lorentzkraft nur für eine rechteckige Spule gilt.
30a_zus_induktion
12/12