Nichtlineare O Nichtlineare Optik
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Hochschule München
Fakultät 06
Laserzentrum
Prof. Dr. rer. nat. H. P. Huber
Nichtlineare Optik
Praktikumsanleitung für den Lehrversuch
Dipl.-Ing. (FH) Thomas Ganka
Dipl.
Dipl.-Ing.
(FH) Christoph Dietzinger
München 2010
V1_16 v. 3. Feb 2012
Inhaltsangabe
1.
THEMEN UND ZIELE DES PRAKTIKUMS ........................................................................... 3
2.
VORBEREITUNG DES PRAKTIKUMS................................................................................... 4
3.
ANTESTAT UND VORBESPRECHUNG ................................................................................. 4
4.
DURCHFÜHRUNG DES PRAKTIKUMS ................................................................................ 5
4.1
4.2
4.3
4.4
Pulslängenmessung ................................................................................................................................. 5
Konversionseffizienz der Frequenzverdopplung ...................................................................................... 5
Summenfrequenzerzeugung ................................................................................................................... 6
Optischer parametrischer Oszillator ........................................................................................................ 6
5.
AUSARBEITUNG DER VERSUCHSERGEBNISSE................................................................ 6
6.
THEORETISCHE GRUNDLAGEN............................................................................................ 7
6.1 Doppelbrechung ..................................................................................................................................... 7
6.2 Wechselwirkung zwischen Licht und Materie.......................................................................................... 9
6.2.1
Erzeugung von harmonischen durch Nichtlinearitäten ....................................................................... 9
6.2.2
Frequenzverdopplung ........................................................................................................................ 11
6.2.3
Summen- und Differenzfrequenzerzeugung ...................................................................................... 12
6.3 Phasenanpassung.................................................................................................................................. 14
6.3.1
Beispiel Phasenanpassung bei kollinearer Frequenzverdopplung ..................................................... 14
6.3.2
Möglichkeiten der Phasenanpassung ................................................................................................ 15
Quasi-Phasenanpassung ................................................................................................................................... 18
6.4 Nichtlineare Kristalle ............................................................................................................................. 20
6.5 Parametrische Verstärkung und Oszillation .......................................................................................... 24
6.5.1
Optisch Parametrischer Verstärker - OPA .......................................................................................... 24
6.5.2
Optisch Parametrischer Oszillator - OPO ........................................................................................... 26
6.5.3
Effizienzmodellierung (Performance Modelling) ............................................................................... 29
6.6 Aufgaben .............................................................................................................................................. 31
6.6.1
Berechnung der Effizienz einer SHG .................................................................................................. 31
6.6.2
Berechnung der Effizienz einer SFG ................................................................................................... 31
6.6.3
Berechnung der Verstärkungsfaktoren eines SRO-OPOs ................................................................... 31
6.6.4
Verhältnis der Schwellenleistung eines SRO- und DRO-OPOs ........................................................... 32
7.
ERGEBNISSE DER PULSLÄNGENMESSUNG .................................................................... 33
8.
ERGEBNISSE DER PULSENERGIEMESSUNG .................................................................. 34
9.
AUSLEGUNG DER OPTISCHEN, NICHTLINEAREN PROZESSE .................................. 35
9.1
9.2
9.3
Dimensionierung der SFG ...................................................................................................................... 35
Dimensionierung eines SRO-OPOs ........................................................................................................ 38
Zusammenfassung der Ergebnisse ........................................................................................................ 40
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1
A.
AMPLITUDENGLEICHUNGEN UND MANLEY-ROWE-BEZIEHUNG.......................... 41
B.
HERLEITUNG DER BEZIEHUNG ZWISCHEN I(2Ω) UND I²(Ω) .................................. 44
C.
PHASENANPASSUNG UND IMPULSERHALTUNG ......................................................... 45
D.
HERLEITUNG FÜR DEN WINKEL DER PHASENANPASSUNG ................................... 46
E.
HERLEITUNG DES NICHTLINEAREN KOEFFIZIENTEN .............................................. 47
F.
HERLEITUNG DER EFFEKTIVEN VERSTÄRKUNG ....................................................... 49
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2
Wichtige Hinweise zum Umgang mit den
Lasern im Praktikum
Die verwendeten Laser haben Pulsenergien von > 300mJ mit einer
Wellenlänge von 1064nm und werden der Laserschutzklasse 4
zugeschrieben. Es ist die Verwendung von Schutzbrillen somit
dringend erforderlich.
Am Praktikum darf nur teilnehmen, wer die jährliche
Sicherheitsunterweisung zum Thema Laserstrahlung erhalten hat.
Teilnehmer des Praktikums werden aufgefordert, selbst darauf zu
achten, dass sie geeignete Schutzausrüstung (insbesondere
Schutzbrillen) verwenden.
1.
Themen und Ziele des Praktikums
In diesem Praktikumsversuch sollen Sie mit der Thematik der Nichtlinearen Optik (NLO)
vertraut gemacht werden. Folgende Bereiche der NLO werden Sie dabei kennen lernen:
•
•
•
•
•
•
Grundlagen der nichtlinearen Optik
o Frequenzverdopplung (Second harmonic generation, SHG)
o Summenfrequenzerzeugung (Sum frequency generation, SFG)
o Optische parametrische Verstärkung (Optical parametric amplification) und
optische parametrische Oszillation (optical parametric oscillation)
Nichtlineare Kristalle – Arten und Eigenschaften, Nichtlinearitätskoeffizient deff
Aufbau zur Bestimmung der Energiebilanz und der Konversionseffizienz der SHG
Aufbau zur Bestimmung der Energiebilanz und der Konversionseffizienz der SFG
Praxiserfahrung: Justage von optischen Systemen
Praxiserfahrung: Messung der Pulslängen, Messung der Ausgangsleistung über die
Blitzlampenspannung, Messung des Zusammenhangs zwischen Winkel und Effizienz
der SFG, Bestimmung der Konversionseffizienz der SHG und SFG
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3
2.
Vorbereitung des Praktikums
Folgende Themengebiete sind für das Verständnis und die Durchführung des Praktikums
relevant. Deshalb sollten sie für das Praktikum gewissenhaft vorbereitet werden. Lesen Sie
dazu die Versuchsanleitung zunächst gründlich durch.
•
•
•
•
•
•
3.
Frequenzverdopplung und Summenfrequenzerzeugung mit Formalismus,
Einflussgrößen und Typen
Doppelbrechung
Phasenanpassung
Nichtlineare Kristalle (Arten)
Optische parametrische Verstärker und Oszillatoren
Stabilitätskriterien von optischen Resonatoren
Antestat und Vorbesprechung
Folgende Aufgaben und Fragen sind für die Vorbesprechung des Versuchs vorzubereiten:
1. Was bedeutet die dielektrische Suszeptibilität?
2. Nennen Sie die zwei Erhaltungsgrößen und die wichtigsten Einflussgrößen für
nichtlineare Prozesse und erklären Sie deren Bedeutung
3. Wie funktioniert Frequenzverdopplung (Photonenbild und Wellenbild)?
4. Warum
funktionieren
nichtlineare
Prozesse
nur
bei
bestimmten
Symmetrieeigenschaften der Kristalle? Warum verschwindet der quadratische Anteil
der Polarisation bei inversionssymmetrischen Kristallen?
5. Warum ist die Pulsbreite (FWHM) des frequenzverdoppelten Pulses kleiner als die des
Ausgangspulses?
6. Wie funktioniert Dreiwellenmischung
Ausgangswellen entstehen?
(three
wave
mixing)
und
welche
7. Was bedeutet Phasenanpassung? Erklären Sie Möglichkeiten der Phasenanpassung.
8. Welche nichtlinearen Kristalle gibt es und was sind deren wesentliche Unterschiede?
Vergleichen Sie BBO, LBO und PPLN.
9. Wie ist ein optischer parametrischer Oszillator aufgebaut und wie funktioniert er?
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4
4.
Durchführung des Praktikums
Im Rahmen dieses Versuchs sollen die Pulslängen der Grundwelle und der zweiten
Harmonischen eines gütegeschalteten, blitzlampengepumpten Nd:YAG-Lasers (Innolas
Spitlight 300) gemessen werden. Außerdem sind die Konversionseffizienzen der SHG und
der SFG zu ermitteln. Zuletzt soll die Pulsenergie der SFG abhängig vom Winkel der
Phasenanpassung ermittelt werden. Zur Verfügung stehende Messmittel:
•
•
•
•
Schnelle Photodiode (Thorlabs DET10A/M; Material Si)
Oszilloskop (Tektronix TDS 2022B; 200 MHz; 2 GS/s)
Pulsenergiemessgerät (COHERENT FieldMax II mit Messkopf J-25MB-HE)
Spektrometer (StellarNet Inc. Blue-Wave)
4.1
Pulslängenmessung
In diesem Teil des Versuchs sollen die Halbwertsbreiten der Laserpulse von 1064 nm und
532 nm mit Hilfe einer schnellen Photodiode und einem Oszilloskop gemessen werden. Bei
der Messung ist zu beachten, dass die Photodiode nicht direkt in den Laserstrahl gestellt
werden darf. Um die Bestrahlung der Photodiode zu reduzieren, wird der Strahl durch eine
Keramikscheibe gestreut und dieses Streulicht detektiert. Es wird eine Blitzlampenspannung
von 460 V empfohlen.
4.2
Konversionseffizienz der Frequenzverdopplung
Nun wird die Konverisonseffizienz der Frequenzverdopplung (second harmonic generation)
bestimmt. Die Konversionseffizienz wird hier durch das Verhältnis der Pulsenergie der
zweiten Harmonischen und der Pulsenergie der Grundwelle beschrieben.
2
Die Energie des optischen Pulses wird mit Hilfe eines Pulsenergiemessgeräts (COHERENT
FieldMax II mit Messkopf J-25MB-HE) bestimmt. Diese wird in Abhängigkeit von der
Blitzlampenspannung im Bereich von 400 V bis 550 V gemessen. Bei der Messung sollte ein
Mittelwert über 10 - 20 Impulse gebildet werden, um den Mittelwert der Pulsenergie genauer
zu bestimmen.
1
√
Die maximale Energiedichte des Detektors beträgt 500 mJ/cm². Dieser Wert wird bei direkter
Bestrahlung schon bei einer Blitzlampenspannung von ca. 470 V erreicht. Eine weitere
Erhöhung zerstört den Detektor. Aus diesem Grund wird mit einer Linse negativer
Brennweite aufgeweitet (f = -50 mm), die etwa 10 cm vor dem Detektor platziert wird. Der
Strahldurchmesser beträgt dann ca. 15 mm auf der Oberfläche des Detektors, was die
Intensität unter die Zerstörschwelle reduziert.
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5
4.3
Summenfrequenzerzeugung
Aufgrund der vorherigen Messung ist die Energie bei 532 nm bzw. 1064 nm in Abhängigkeit
der Blitzlampenspannung bis 550 V bekannt. Es soll im Folgenden mit Hilfe eines
Spektrometers die durch Summenfrequenz erzeugten 355nm nachgewiesen werden und
anschließend die Pulsenergie dieser Wellenlänge in Abhängigkeit der Blitzlampenspannung
gemessen werden.
4.4
Optischer parametrischer Oszillator
In diesem Teil des Versuchs zur nichtlinearen Optik soll zur Simulation verschiedener
nichtlinearen Prozesse, wie z.B. der optisch parametrische Oszillator, die Software SNLO
vorgestellt und den Studenten vertraut gemacht werden. Folgend wird der optisch
parametrische Oszillator vom Betreuer in Betrieb genommen. Hierfür ist eine
Blitzlampenspannung von 560 V bis 580 V notwendig. Ebenfalls mit dem Spektrometer kann
so die Wellenlänge in Abhängigkeit der Winkelstellung gemessen werden. Theoretisch ist
hier ein Bereich von 400 nm bis 710 nm durchstimmbar.
5.
Ausarbeitung der Versuchsergebnisse
Bitte achten Sie auf die physikalisch sinnvolle Aufbereitung der Ergebnisse beim anpassen
geeigneter Modellfunktionen und hinreichende Genauigkeiten der Auswertung. Werden
Größen aus gemessenen Werten berechnet, dann sind die zu Grunde liegende Formel und die
zugehörige Quelle zu nennen. Weniger wichtig sind lange Beschreibungen des
Versuchsaufbaus. Der Umfang der Ausarbeitung sollte 6 Seiten nicht übersteigen. Folgendes
sollte die Ausarbeitung beinhalten:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Titelblatt und Inhaltsverzeichnis
Kurzbeschreibung des Versuches
Schriftliche Beantwortung der Testatfragen
Laserparameter: Rep-Frequenz, Leistung, Energie, Oszillatorlänge
Graphische Darstellung der zeitlichen Pulsformen
Graphische Darstellung der Pulsenergie über die Blitzlampenspannung (für 1064 nm,
532 nm und 355 nm) und der Konversionseffizienz (E532 bzw. E355 in Abhägnigkeit
E1064) mit angefitteter Funktion. Welche Abhängigkeit zeigt diese? Diskussion.
Berechnung der Konversionseffizienz der SHG für KTP, E1064 = 200 mJ,
Strahldurchmesser 5 mm, deff = 0.5 pm/V und einer Kristalllänge von l = 30 mm
(zeitliche Pulslänge siehe Versuchsergebnis von oben)
Graphische Darstellung der Pulsenergie der SFG abhängig von der Winkelstellung des
BBO-Kristalls. Anpassen einer geeigneten Modellfunktion. Diskussion.
Graphische Darstellung des Spektrums nach der SFG mit Erklärung der auftretenden
Wellenlängen
Bei der Auswertung ist außerdem zu beachten, dass alle abgebildeten Graphiken im Text
verwiesen und diskutiert werden. Desweiteren sollten alle Annahmen bei den Berechnungen
in tabellarischer Form dargestellt und die Einheit des Ergebnisses kontrolliert werden.
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6
6.
Theoretische Grundlagen
6.1
Doppelbrechung
Der Effekt der Doppelbrechung tritt beim Durchgang von Licht durch anisotrope Kristalle
auf. Die Ursache hierfür liegt in der unterschiedlichen Stärke elektrischer Polarisierbarkeit in
verschiedenen Richtungen. Bei einem uniaxialen Kristall wird die Symmetrieachse auch als
optische Achse (O.A.) bezeichnet (siehe Abbildung 1).
Abbildung 1: Schematische Darstellung der verschiedenen Bindungskräfte in die unterschiedlichen
Raumrichtungen (links) und die Ausbreitung verschieden polarisierter Strahlen in einem doppelbrechenden Kristall. Der mit
(o für ordenlich) bezeichnete Strahl ist senkrecht zur Zeichenebene polarisiert und erfährt keine Ablenkung. Der mit (ao für außerordenlich) bezeichnete Strahl erfährt dagegen eine Ablenkung. Mit O.A. ist die optische Achse des Kristalls
bezeichnet [Mes08].
Ein parallel zur optischen Achse polarisierter Lichtstrahl sieht einen anderen Brechungsindex
als ein senkrecht polarisierter Strahl. Verwendet man ein Koordinatensystem, welches als eine
der Achsen die optische Achse beinhaltet, so hat der Dielektriziätstensor Diagonalgestalt
(Hauptachsenform), und es gilt:
0
0
0
0
0
0 !
(1)
Das Ausweichen (walk off) des außerordentlichen Strahls kann man mit Hilfe des
Huygensschen Prinzips verstehen, wonach die Ausbreitungsrichtung immer die Normale zur
Einhüllenden der Wellenfront der Elementarwellen ist (siehe Abbildung 2).
Für den senkrecht zur optischen Achse polarisierten Anteil der Welle hängt der
Brechungsindex und damit auch die Phasengeschwindigkeit nicht von der Richtung ab.
Daher bilden die Phasenfronten der Elementarwellen Kugeln in der Einfallsebene
(Einfallsebene wird durch die optische Achse und die Ausbreitungsachse aufgespannt).
Für den parallel zur Einfallsebene polarisierten Anteil kann der E-Vektor aufgespalten
werden in eine Komponente parallel und eine senkrecht zur optischen Achse. Diese beiden
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7
Komponenten weisen unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten
Wellenfronten für die außerordentliche Welle Ellipsen darstellen.
auf,
weshalb
die
Abbildung 2: Schematische Darstellung
lung der Elementarwellen von ordenlichem (blau) und außerordentlichem (rot) Strahl in
einem doppelbrechenden Medium [Che10].
Im Gegensatz zum ordentlichen Strahl hat beim außerordentlichen Strahl das elektrische Feld
nicht die gleiche Richtung wie die Verschiebung . Der Ausbreitungsvektor steht nicht
wie sonst senkrecht auf den elektrischen Feldvektor, sondern senkrecht auf den Vektor der
dielektrischen Verschiebung . Für den Ablenkwinkel (walk off angle)
angle gilt (mit den
Bezeichnungen aus Abbildung 1)
.
(2)
Nur wenn die Ausbreitungsrichtung mit der Richtung der optischen Achse zusammenfällt,
findet keine Doppelbrechung statt.
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8
6.2
Wechselwirkung zwischen Licht und Materie
Die lineare Optik beruht auf der Annahme, dass sich die Ausbreitung einer Lichtwelle in
einem optischen Medium durch eine lineare Wellengleichung beschreiben lässt, unter
Vernachlässigung von Streuung und Absorption. So lautet zum Beispiel die HelmholtzGleichung für das E-Feld in dielektrischen Medien:
#
$%
$& %
'
$%
$( %
'
$%
+ $%
) * % %
$ %
,- $
1
10 2 20 /0
/
$%
0
$ %
(3)
Diese Gleichung ist auch für mehrere superpositionierte Wellen gültig, da sich diese
unabhängig und ohne gegenseitiger Beeinflussung ausbreiten. Harmonische Wellen breiten
sich verzerrungsfrei aus, unabhängig von Medium und Intensität.
Die lineare Optik geht davon aus, dass die optischen Eigenschaften eines Materials
wie z.B. Brechungsindex und Absorptionskoeffizient, nicht von der Intensität der Welle
abhängen. Es hat sich jedoch (insbesondere seit der Entwicklung des Lasers) gezeigt, dass die
lineare Optik nicht in der Lage ist, alle beobachteten Effekte zu erklären. Durch die
Bestrahlung von Materie mit sehr intensivem kohärentem Licht (wie z.B. Laserlicht) können
nichtlineare Eigenschaften der Materie erzeugt werden. In solchen Fällen ist das
Superpositionsgesetz, das die ungestörte Überlagerung von harmonischen Wellen beschriebt,
verletzt und es ist eine Erweiterung der linearen Wellentheorie notwendig um die
beobachteten Effekte zu beschreiben.
6.2.1
Erzeugung von harmonischen durch Nichtlinearitäten
Während die Polarisation 0 bei kleinen Schwingungen der Elektronen proportional zum
elektrischen Feld der Welle ist, besteht die strenge Proportionalität über [Tei07]
0 3 45 6,
(4)
0 7+ ' 7 ' 8 79 9 '. ..
(5)
wobei N die Anzahl der verschobenen Teilladungen q und d deren Auslenkung gegenüber
dem Ladungsschwerpunkt beschreibt. Diese Gleichung gilt jedoch bei hohen Lichtintensitäten
nicht mehr, wie bei einer Feder, deren Anharmonizität mit steigender Auslenkung wächst. Bei
intensivem kohärentem Licht kommt es in Materie zu Nichtlinearitäten, da die erzeugten
atomaren elektrischen Dipole nicht mehr linear auf die elektrischen Wechselfelder der
elektromagnetischen Welle reagieren. Die mikroskopische Verschiebung d der
Elektronenhüllen der Atome um die Ruhelage führt zu einem makroskopischen Dipolmoment
welches bei großen Auslenkungen nicht mehr proportional zur Kraft ist. Die hervorgerufene
elektrische Polarisation des Materials kann nun nicht mehr nur mit einem linearen Term
beschrieben werden, sondern wird als Taylor-Reihe folgendermaßen entwickelt [Tei07]:
+
+
Die Koeffizienten sind charakteristische Konstanten des Mediums. Der erste, lineare Term,
dominiert bei kleinen elektrischen Feldstärken , mit 7+ 6, wobei 6 die lineare
Suszeptibiltät darstellt, welche wiederum von der dielektrischen Konstante und dem
Brechungsindex abhängt:
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9
: 1 ' 6.
:
(6)
-
Der zeite Term repräsentiert die quadratische oder die Nichtlinearität zweiter Ordnung, der
dritte Term die Nichtlinearität dritter Ordnung, usw.. Häufig wird für die Polarisation auch
der Ausdruck
0 6 ' 25 ' 46 9 9 '. ..
verwendet. Hier sind 5 7 (7 2 6 ) und 6 9 79 die Größen der zweiten und
<
<
dritten Ordnung des nichtlinearen Effekts, sowie die Größe 8,854 @ 10A+ As/Vm die
Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Die Koeffizienten der Suszeptibilität 6 nehmen mit
zunehmender Ordnung schnell ab. Für Festkörper gilt typisch: 6 + B 1, 6 B 10A+ C/E
und 6 9 B 10A+ C /E [Nik99].
Der Zusammenhang zwischen Polarisation und dem anregendem elektrischen Feld
kann bei einem Medium mit quadratischer Nichtlinearität wie in Abbildung 3 veranschaulicht
werden.
+
+
Abbildung 3: Zusammenhang der Polarisation P und der elektrischen Feldstärke E für ein lineares (a)) dielektrisches
Medium und für ein nichtlineares (b)) dielektrisches Medium [Tei07].
Nichtlineare optische Suszeptibilitäten 2. Ordnung, 6 , treten nur in Kristallen,
Flüssigkristallen und anderen anisotropen Materialien auf. Die quadratische Nichtlinearität ist
für alle im Folgenden diskutierten Effekte entscheidend.
In isotropen Medien oder Kristallen mit Punktsymmetrie verschwindet der Term 2.
Ordnung, denn die Elementarzelle solcher Kristalle besitzt ein Inversionszentrum. Kehrt sich
die Richtung des erregenden Feldes um, so kann sich demnach nur das Vorzeichen, aber nicht
der Betrag der Polarisation ändern. Das bedeutet, dass gleichzeitig 0 6 ' und
*0 6 * gelten müsste, also 6 0 *6 0 . Dies ist nur mit 6 0 erfüllt.
Hieraus folgt für Kristalle mit Punktsymmetrie, dass alle geraden Terme der Polarisation
verschwinden. Die analoge Betrachtung von Kristallen mit Achsensymmetrie ergibt, dass alle
ungeraden Exponenten der Polarisation null sein müssen, demzufolge wäre keine
Frequenzverdreifachung möglich.
Die in Abbildung 4 dargestellten Effekte sind Teil der nichtlinearen Frequenzerzeugung
(optical frequency generation, OFC), welche wiederum nur ein Teilgebiet der nichtlinearen
Optik ist.
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10
(7)
Abbildung 4: Schematische Darstellung der Energieübergänge bei verschiedenen Phänomenen der optischen
Frequenzkonversion (optical frequency conversion, OFC) wie die a) SHG (second harmonic generation), b) SFG (sum
frequency generation) und c) DFG (difference frequency generation). Bei der SHG wird aus zwei einfallenden Photonen mit
gleicher Energie ein Photon mit doppelter Energie erzeugt. Bei der SFG wird aus zwei Photonen unterschiedlicher Energie
ein Photon mit der Summenenergie erzeugt. Die DFG liefert zwei Photonen, deren Summenenergie der Energie des
einfallenden Photons entspricht [Mes08].
6.2.2
Frequenzverdopplung
Im durchzuführenden Versuch soll die Erzeugung der zweiten Harmonischen (second
harmonic generation, SHG) in einem nichtlinearen Kaliumtitanylphosphat-Kristall (KTPKristall) untersucht werden. Der Effekt der Frequenzverdopplung lässt sich unter Betrachtung
des Korrekturterms zweiter Ordnung (quadratische Nichtlinearität) erklären. Dieser Term
lautet
0 6 .
(8)
Allgemein ist zu beachten, dass bei allen Interaktionsprozessen zwischen Wellen die
folgenden Voraussetzungen erfüllt sein müssen:
• Energieerhaltung
• Impulserhaltung
Der Energieerhaltungssatz besagt im Fall der Frequenzverdopplung, dass F ' F F2 , wobei F G/2H mit G 6.64 J 10A9< KL als Planck'sches Wirkungsquantum, ist.
Die Gleichung bedeutet, dass aus zwei Photonen mit der Fundamentalenergie F ein Photon
mit der Energie F2 erzeugt werden kann.
In gleicher Weise muss der Impulserhaltungssatz erfüllt sein (siehe auch Anhang B).
Es muss also gelten: FM ' FM F2M damit die Wellen kollinear interagieren können.
Die Dispersionsrelation besagt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle von
der Frequenz abhängt. Da die Effizienz der Frequenzverdopplung von der Phasenlage der
beiden kohärenten, interagierenden Wellen bestimmt wird, ist es entscheidend, die Wellen
möglichst phasenstarr zu überlagern, was in Kapitel 6.3 näher erklärt werden soll.
Aufgrund der quadratischen Abhängigkeit von der elektrischen Feldstärke kann der
Effekt nicht in beliebigen Materialien auftreten, sondern benötigt anisotrope Medien, wie
einen solchen KTP-Kristall.
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11
Wirkt ein elektrisches Feld der Form
1NLO P Q ' P A
Q ,
+
(9)
so erhält man mit dem quadratischen Term der Polarisation
0 6 1NL O,
(10)
was sich unter Verwendung von 1NL O 1 ' 1NL2O zu
+
0 6 1 ' 1NL2O 6 ' 6 1NL2O
+
+
+
(11)
umformen lässt. Man erkennt, dass sich zwei Terme ergeben: der eine ist zeitunabhängig
(DC-Term) und beschreibt die sogenannte optische Gleichrichtung. Der zweite Term
beschreibt eine zeitabhängige Schwingung der Polarisation mit exakt der doppelten Frequenz
der Fundamentalwelle. Dieser Term führt also zu einer signifikanten Erzeugung einer Welle
mit einer Kreisfrequenz von 2 im nichtlinearen Material, hierbei spricht man von
Frequenzverdopplung oder von SHG (second harmonic generation).
Das Ziel bei der Frequenzverdopplung ist es, den zweiten Term zu maximieren, damit
soviel Energie wie möglich auf die zweite Harmonische übertragen wird. Unter bestimmten
Bedingungen ist es möglich, nahezu die gesamte Energie der Fundamentalwelle auf die
zweite Harmonische zu konvertieren. Die höchste Konversionseffizienz erreicht man bei
idealer Phasenanpassung, d.h. die Phasendifferenz zwischen Fundamentalwelle und zweiter
Harmonischer hebt sich auf. Die möglichen Verfahren der Phasenanpassung werden in
Kapitel 6.3 beschrieben.
6.2.3
Summen- und Differenzfrequenzerzeugung
Die bisherige Diskussion behandelte die Kombination (Addition) von zwei gleichfrequenten
Wellen zu einer Welle mit der doppelten Kreisfrequenz. Dieser Prozess kann jedoch auch
generell für zwei Wellen mit unterschiedlichen Kreisfrequenzen betrachtet werden, die unter
Erzeugung einer dritten Welle interagieren und wird allgemein als Dreiwellenmischung (three
wave mixing) bezeichnet. Die Ausgangsform des elektrischen Gesamtfeldes lautet dann unter
Einbeziehung der komplex-konjugierten Terme
+ P A
QR ' +@ P QR ' P A
Q% ' @ P Q% .
(12)
0 6 (13)
Wirkt ein solches elektrisches Feld auf ein Medium mit einer quadratischen Nichtlinearität
der Form
ergibt sich eine zeitabhängige Gesamtpolarisation der Form
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12
0 6 S+ P A
QR ' +@ P A
QR T
' P A
Q% ' @ P A
Q% '2+ +@ ' 2 @
'2+ P A
QR UQ% ' 2+@ @ P U
QR UQ%
T'2+ @ P A
QR AQ% ' 2 @ P U
QR AV% W.
+
(14)
Der hier dargestellte Ausdruck enthält sogenannte DC-Terme (z.B. 2+ +@ ),
frequenzverdoppelte Terme (diese enthalten 2+ und 2 ) und zwei neue Terme mit den
Kreisfrequenzen + ' und + * .
Der Term mit dem Ausdruck + ' führt zu einer neuen Welle mit einer Frequenz
9 , die der Summe der beiden ursprünglichen Frequenzen entspricht. Hierbei spricht man von
Summenfrequenzerzeugung (sum frequency generation, SFG).
Ebenso erkennt man an dem Ausdruck der Gesamtpolarisation, dass ein Medium mit
einer quadratischen Nichtlinearität es erlaubt, + * zu erzeugen. Wenn man + so wählt,
dass + X ist, kann so eine Welle mit der Frequenz Y 9 + * erzeugt werden.
Wobei die hochfrequente Welle + Y 9 ' in zwei niederfrequente Wellen Y 9 und aufgespalten wird. Hierbei spricht man von Differenzfrequenzerzeugung (difference
frequency generation, DFG).
Vom Standpunkt des Photons aus betrachtet können also zwei verschiedene Effekte
auftreten: Zum einen kann aus zwei absorbierten Photonen mit + und ein Photon mit
höherer Frequenz 9 erzeugt werden. Zum anderen kann aus einem hochenergetischen
Photon mit + ein Paar aus Photonen mit Y 9 und erzeugt werden.
Es erscheint also möglich, dass eine Welle mit durch Überlagerung mit einer
zweiten Welle mit 9 verstärkt werden kann, wobei 9 + ' gelten muss. Genau
dieser Effekt wird bei der optischen parametrischen Verstärkung ausgenutzt, was später
genauer betrachtet wird.
Die bisherigen Überlegungen führen zur Annahme, dass alle Frequenzen 2+ , 2 ,
+ ' und + * gleichzeitig erzeugt werden, wenn zwei Wellen mit + und in
einem nichtlinearen Medium kohärent überlagert werden. Dies ist aber nicht der Fall, denn es
muss die Bedingung der Phasenanpassung (phase matching) gewährleistet sein, um eine der
genannten Frequenzen effektiv erzeugen zu können. Die Phasenanpassung kann jeweils nur
für eine der genannten Frequenzen zu einem Zeitpunkt hergestellt werden.
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13
6.3
Phasenanpassung
Wie bisher gezeigt wurde, können in einem nichlinearen Medium verschiedene Frequenzen
erzeugt werden. Welche der genannten Frequenzen erzeugt wird, ist durch die
Phasenanpassungsbedingung definiert, welche durch die Energie- und Impulserhaltung mit
folgender Form beschrieben wird:
+ ' 9
(15)
+ + ' 9 9
(16)
Dabei ist zu beachten, dass in Medien Dispersion herrscht, d.h. jede Welle hat eine
frequenzabhängige Phasengeschwindigkeit. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt
sein um eine Welle effizient erzeugen zu können.
6.3.1
Beispiel Phasenanpassung bei kollinearer Frequenzverdopplung
Als Beispiel soll die Phasenanpassung im Folgenden anhand der Frequenzverdopplung bei
kollinear zueinander laufenden Wellen diskutiert werden. Die Ausgangswelle mit der
Kreisfrequenz (entsprechend zu oben: + ) soll sich zunächst in einem
nichtlinearen Medium der Länge Z ausbreiten. Am Ende dieser Strecke überlagern sich alle
Wellenfronten der entlang des Weges entstandenen Teilwellen mit der Frequenz 2
(entspricht 9 ). Damit an diesem Punkt eine gleichphasige, konstruktive Überlagerung
stattfinden kann, muss sich die frequenzverdoppelte Welle mit der gleichen Geschwindigkeit
ausbreiten, wie die Grundwelle. Es muss also + 2 gelten. Dies ist jedoch in
dispersiven Medien aufgrund des frequenzabhängigen Brechungsindex nicht der Fall. Daher
kommt es zu Phasendifferenzen der 2-Teilwellen, die sogar zur völligen Auslöschung
führen können. In diesem Fall kann keine frequenzverdoppelte Welle hinter dem Kristall
beobachtet werden. Setzt man aber eine Kristalllänge von Z[ so an, dass die bei Z 0 und bei
Z Z[ erzeugten Teilwellen gerade einen Gangunterschied von Δ ]Q /2 ]Q /4 haben, so
beobachtet man maximale Intensität der frequenzverdoppelten Welle. Der Gangunterschied
entspricht gerade der Differenz der optischen Wege beider Wellen im Medium, also Δ Q * Q J Z[ Δ J Z[ . Dies liefert den Ausdruck
Δ
^_
<
Q * Q J Z[ ,
wobei die Größe Z[ als Kohärenzlänge bezeichnet wird. Genauer gesagt ist Z[ die Länge unter
der die Wellen interagieren können. Z[ kann also ausgedrückt werden durch
_
Z[ <`
.
^
Die Länge Z[ stellt damit ein Optimum für die auszuwählende Kristalllänge dar. Wenn die
Kristalllänge größer als Z[ wird, nimmt die Intensität der generierten frequenzverdoppelten
Welle wieder ab. Dieser Zusammenhang wird im Folgenden hergeleitet.
Die Zunahme des elektrischen Felds der frequenzverdoppelten Wellen kann wie folgt
beschrieben werden (wenn die Verluste gering sind):
$Q
$
A
Q
%_ ,
5 P `a
(17)
(18)
(19)
V1_16 v. 3. Feb 2012
14
mit ΔM M2 * M. Für niedrige Konverionseffizienzen, d.h. 2 b , bleibt
über die interagierende Länge gleich (unabgeschwächte Pumpe; undepleated pump).
Mit der Annahme 2, c 0 0 gilt dann:
2, c Z *
,
Qd
%_
e
P
`a
5c *
Z
,
Qd
%_
ijk
)
%
ijk
%
fgh#
P
lijk
%
(20)
Für die (optische) Intensität gilt:
m2 %_ | % |
m2, Z Q % d% %
o-
%_
s
fgh#
pq | |
:
(21)
-
Somit lässt sich schreiben:
% r
%_ _ , :-
ijk
)
%
ijk
%
t m (22)
Eine genauere Herleitung von Gleichung (22) findet sich in Anhang C. Setzt man für die
Kreisfrequenz 2Hu ein und verwendet die Beziehung 1 ]u und beachtet, dass
v m mQ ist, lässt sich letztlich schreiben:
m2, Z wx % d% %
%
%
%_ _ ,:- ^_
s
ijk
)
%
ijk
%
fgh#
t m (23)
Im günstigsten Fall der vollständigen Phasenanpassung, ist Δ 0, also Z[ y ∞, und somit
L{10 1. Lässt man die Intensitätsabnahme der Grundwelle außer Acht, so würde mQ
proportional zu Z über alle Grenzen wachsen. Unter Berücksichtigung der Verluste der
Grundwelle ergibt sich bei wachsender Kristalllänge statt dessen ein Verlauf proportional zu
O7G . Der Verlauf der Intensität der frequenzverdoppelten Welle wird also hinsichtlich
seines Maximalwertes, sowie seiner Periodizität von der Kristalllänge Z[ bestimmt.
6.3.2
Möglichkeiten der Phasenanpassung
Wie oben bereits diskutiert spricht man bei Δ 0 von Phasenanpassung. Eine
gleichbedeutende Formulierung, welche in vielen Lehrbüchern enthalten ist lautet
ΔM MQ * 2MQ 0.
(24)
Um diese Bedingung zu erfüllen, kann man das oben beschriebene Phänomen der
Doppelbrechung in anisotropen Kristallen ausnutzen. Es gibt unterschiedliche Methoden, die
auf der Richtungsabhängigkeit des Brechungsindex für den außerordentlichen Strahl beruhen.
Diese sollen im Folgenden diskutiert werden.
V1_16 v. 3. Feb 2012
15
Kritische oder Winkel-Phasenanpassung
Die Geschwindigkeitsflächen von ordentlichem und außerordentlichem Strahl bilden in
uniaxialen anisotropen Kristallen Kreise bzw. Ellipsen (siehe Abbildung 5).
Abbildung 5: Phasenanpassung (Typ I) in einem negativ uniaxialen Kristall (nao < no). Die Polarisation der
Fundamentalwelle (rot) wird senkrecht zur Hauptschnittebene (aufgespannt durch die optische Achse und die
Ausbreitungsachse k) eingestellt. Die Polarisation der zweiten Harmonischen ist parallel zur Hauptschnittebene (grün)
[LTH10].
Die Schnittpunkte dieser Kurven bezeichnen Richtungen (relativ zur optischen Achse mit
dem Winkel |} (m für matching) angegeben), in denen 1Q 1Q gilt. Hierzu muss der
Kristall präzise zur Ausbreitungsrichtung des Strahls ausgerichtet werden. Man unterscheidet
zwei Typen von Winkelanpassung (siehe Abbildung 6):
1. Skalare oder kollineare Phasenanpassung – Typ I. Hierbei wird die Polarisation
der Grundwelle komplementär zu der Polarisation der Oberwelle gewählt. Da
man es in Kristallen gewöhnlich mit normaler Dispersion zu tun hat (d.h.
höherfrequentes Licht wird stärker gebrochen), muss man für die Oberwelle
immer den kleineren Brechungsindex wählen. Bei negativ uniaxialen Kristallen
( ~ ) ist daher die Belegung Oberwelle y außerordentlicher Strahl,
Grundwelle y ordentlicher Strahl zu wählen, im positiv uniaxialen Kristall
( X ) entsprechend umgekehrt. Für den optimalen Phasenanpassungswinkel
gilt die Beziehung (25) für uniaxiale Kristalle und im Fall eines positiven
uniaxialen Kristalls ergibt sich statt dessen die Beziehung (26) (Herleitung siehe
Anhang D).
sin |} ,_ % A,%_ %
sin |} % A
,%_
%
,%_
,_ % A,%_ %
,_ % A,_ %
(25)
.
(26)
2. Vektorielle Phasenanpassung – Typ II und höher. Die Polarisation der
Grundwelle wird auf ordentlichen und außerordentlichen Strahl verteilt (d.h.
V1_16 v. 3. Feb 2012
16
verkippt unter einem Winkel von
zu den Kristallachsen eingestrahlt). Die
Oberwelle entsteht als ordentlicher oder außerordentlicher Strahl. Dieser Typ
der Phasenanpassung wird bei SFG und DFG verwendet.
Bei der kritischen Phasenanpassung hat man jedoch das Problem, dass bei einem Winkel
Winke von
oder
der Strahl der Oberwelle von der Richtung des Grundwellenstrahles
wegwandert und so die Überlagerungsstrecke erheblich verkürzt wird (walk
walk off);
off als Folge
davon nimmt dann die Intensität der zweiten Harmonischen nicht mehr quadratisch, sondern
nur noch linear
inear mit der Kristallänge l zu (daher der Name kritische Phasenanpassung).
Phasenanpassung
Abbildung 6: Tabellarische und graphische Darstellung der Polarisationszustände von EinEin und Ausgangswellen bei
kollinearer Frequenzverdopplung mit Typ I (links) und Typ II (rechts) Phasenanpassung. Mitt O.A. ist die optische Achse des
Kristalls bezeichnet. Die blauen Pfeile und Punkte symbolisieren die Polarisation der Fundamentalwelle(n) und die roten
Pfeile und Punkte die Polarisation der entstehenden zweiten Harmonischen.
Unkritische oder Temperatur-Phasenanpassung
Temperatur
Das Ablenk-(walk off)-Problem
Problem kann umgangen werden, wenn die Phasenanpassung unter
einem Winkel von
stattfindet. Bei bestimmten Kristallen ist dies
die möglich, da sich
einer der beide Brechungsindizes über einen größeren Bereich durch die Kristalltemperatur
beeinflussen lässt. Das in unserem Versuch verwendete Material KTP eignet sich besonders
gut, da es starke nichtlineare Eigenschaften besitzt und Temperaturanpassung
T
npassung im Bereich des
nahen Infrarot ermöglicht.
V1_16 v. 3. Feb 2012
17
Quasi-Phasenanpassung
Die geringe Konversionseffizienz von einem Laserstrahl bei einem Einfach-Durchgang durch
ein nichtlineares Material hat dazu geführt, dass nach neuen Materialien und Methoden
geforscht wurde, mit denen nichtlineare Prozesse effizienter generiert werden können. Für
ferroelektrische Materialien wie beispielsweise Lithiumniobat (LiNbO3) oder Lithiumtantalat,
bei denen periodisches Polen möglich ist, hat sich die sogenannte Quasi-Phasenanpassung
etabliert. Diese beruht auf der Idee [Arm62], den nichtlinearen Kristall nach jeweils einer
Kohärenzlänge durch einen „invertierten“ Kristall zu ersetzen. Diese „Inversion“ bedeutet
einen Vorzeichenwechsel der nichtlinearen Suszeptibilität zweiter Ordnung (χ(2)). Die heute
gängige Methode zur Realisierung der Quasi-Phasenanpassung ist die periodische Umkehr
der Spontanpolarisierung in geeigneten ferroelektrischen Kristallen. Im Fall von LiNbO3
spricht man dann von periodisch gepoltem LiNbO3 (periodically poled Lithiumniobat,
PPLN). Bereiche im Kristall mit einheitlicher Polarisierung werden als ferroelektrische
Domänen bezeichnet. Der entscheidende Vorteil der Quasi-Phasenanpassung ist die Tatsache,
dass quasi-phasenangepasste Kristalle für nichtlineare Prozesse bei prinzipiell beliebigen
Wellenlängen flexibel und kostengünstig hergestellt werden können. Außerdem entsteht in
periodisch gepolten Kristallen keine Ablenkung (walk-off) des Strahls.
Bei der Herstellung von Materialien für die Quasi-Phasenanpassung müssen
Elektroden auf den Kristall aufgebracht werden, die ungefähr eine Kohärenzlänge breit sind.
Über diese Elektroden wird der Kristall dann einem starken elektrischen Feld ausgesetzt,
welches die Domänen in der richtigen Weise ausrichtet [Yam93]. Beim Aufbringen der
mikrostrukturierten Elektroden kommen Techniken aus der Photolithographie zum Einsatz.
Abbildung 7: Theoretischer Intensitätszuwachs der 2. Harmonischen im Fall von perfekter Phasenanpassung (∆k=0), QuasiPhasenanpassung (∆k=kG) und Phasenanpassung mit fester Fehlanpassung (sinusförmiger Intensitätsverlauf). Die wechselnde
Orientierung der Domänen ist schematisch mit Pfeilen angedeutet [Mes08].
Wie in Abbildung 7 dargestellt, steigt die Intensität der 2. Harmonischen im Fall von
perfekter Phasenanpassung (∆k=0) mit dem Quadrat der Interaktionslänge. Im Fall eines
festen Phasenanpassungsfehlers fließt die Energie zwischen der Fundamentalwelle und der 2.
Harmonischen sinusförmig hin und her. Die Hälfte einer Periode ist dabei die Kohärenzlänge
lk, über welche die Intensität der 2. Harmonischen wachsen kann.
Im Fall von periodisch gepoltem Material wird die Phase jeweils nach Erreichen von
einem Phasenfehler von π durch die Domänenumkehrung zurückkorrigiert, sodass ein
V1_16 v. 3. Feb 2012
18
kontinuierlicher Energiefluss von der Fundamentalwelle zur 2. Harmonischen stattfinden
kann. Im Mittel kann ein quadratischer Anstieg der Intensität mit der Interaktionslänge
angenommen werden, wobei zu beachten ist, dass der Nichtlinearitätskoeffizient bei der
Berechnung mit Faktor 2/π multipliziert werden muss. Die Herkunft dieses Faktors soll nun
beschrieben werden.
Die bereits diskutierte Kohärenzlänge lk, nach der die Fundamentalwelle und die 2.
Harmonische nicht mehr in Phase sind, definiert die Länge nach der die Domäne künstlich
variiert werden muss. Die theoretische Beschreibung des Nichtlinearitätskoeffizienten entlang
des PPLN Kristalls kann aufgrund des periodischen Vorzeichenwechsels als Fourier Reihe
}x
A
a 5c 5
∑
mit } sin beschrieben werden [Mes08].
}A } P
}x
Hierin beschreibt M} 2HC/Λ die Länge des reziproken Vektors des Domänengitters
und Λ die Länge der einzelnen Domänen. Letztendlich spielt nur eine bestimmte
Fourierkomponente eine signifikante Rolle, alle anderen Komponenten führen nur zu einer
geringen Konversion, ähnlich wie bei unangepasster Phase ohne periodisch gepoltem
Material. Die wichtigsten Koeffizienten m=1, 3, … der Fourierreihe erfüllen die QuasiPhasenanpassungsbedingung (quasi-phase matching condition) ∆k=km, wobei der Koeffizient
m=1 dominiert und daher näherungsweise ein reduzierter Nichtlinearitätskoeffizient von
5 2/H 5
hergeleitet werden kann.
V1_16 v. 3. Feb 2012
19
6.4
Nichtlineare Kristalle
Ein quadratisches, nichtlineares, dielektrisches Medium ist durch die Beziehung der
Polarisation und des elektrischen Feldes durch
0 6 (27)
beschrieben. Typische Werte der zweiten Ordnung der Nichtlinearität für dielektriche
Kristalle, Halbleiter und organische Materialien, welche häufig in der Photonik Anwendung
finden, liegen im Bereich von 5 10A< . . .10A+ % (Einheiten im MKS-System). Typische
Werte der dritten Ordnung (6 9 ) für Gläser, Kristalle, Halbleiter, mit Halbleitermaterialien
}
dotierte Gläser und organische Materialien sind 6 9 10A9< . . .10A r (Einheiten ebenfalls
im MKS-System). Die Umrechnung von 5 in % zu 5
in
10A+ .
}
}
erfolgt durch Division mit
der dielektrischen Permittivität 8.85 J
In anisotropen Medien ist jede der drei
Komponenten des Polarisationsvektors (0 0+ , 0 , 09 ) eine Funktion der drei
Komponenten des elektrischen Feldes. Durch Taylorreihenentwicklung kann somit die
Polarisation mit
0 #∑ 6
' 2 ∑a 5
a a ' 4 ∑a 6
a a )
9
(28)
beschrieben werden. In der nichtlinearen Optik wird häufig die sogenannte kontrahierte
+ Notation benutzt, die zunächst durch den Tensor 5
a 6
a definiert ist. Für eine
detaillierte Erklärung, sowohl auf mathematischer Ebene als auch auf atomarer Ebene
(Herleitung der Polarisation aus den DGL des nichtharmonischen Oszillators,
Kristallsymmetrie, Entstehung der Matrix durch die Koeffizienten 5 und Definition von
5
), wird auf folgende Literatur verwiesen: [Tei07], [Mid73], [Mes08] und [She02]. Die
Matrix, mit der man mit Hilfe des 5
-Tensors die Frequenzverdopplung beschreiben kann,
lautet:
0& 2
5++
0( 2! 2 5+
59+
0 2
5+
5
59
5+9
59
599
5+<
5<
59<
5+
5
59
& (
5+8
58
598 2(
2& 2& (
(29)
Kristalle mit Inversionssymmetrie weisen keine Nichtlinearität 2. Ordnung (6 ) auf, da bei
Inversion aller Koordinaten sich sowohl das Vorzeichen der Feldamplituden als auch das
Vorzeichen der Polarisation umdreht:
0
5
a a y *0
5
a *a *
(30)
Aus diesem Grund scheiden für diese nichtlinearen Prozesse von 32 Kristallklassen die 11
inversionssymmetrischen aus. Die Symmetrieeigenschaften der übrigen Kristallklassen
reduzieren die Anzahl der nichtverschwindenden und voneinander unabhängigen
V1_16 v. 3. Feb 2012
20
nichtlinearen Koeffizienten (5) erheblich. Abbildung 8 zeigt die übliche Notation von
biaxialen, uniaxialen und uniaxialen/isotropen Medien und die Koeffizienten, die 0 sind. In
Abbildung 9 sind die Nichtlinearitätskoeffizienten zweiter und dritter Ordnung von bekannten
Kristallen dargestellt.
Um nichtlineare Effekte besonders effizient zu nutzen, sind Materialien mit möglichst
hoher Nichtlinearität notwendig. Die Strahlungsintensitäten sind proportional zur
Eingangsintensität jeder beteiligten Wellenlänge. Bei Frequenzverdopplung ergibt sich eine
Proportionalität zum Quadrat der Eingangsintensität ²~m. Der Wirkungsgrad der
Frequenzkonversion steigt also mit steigender Eingangsintensität. Somit sind für nutzbare
Strahlungsintensitäten durch Frequenzkonversion sehr hohe (meist gepulste)
Eingangsintensitäten nötig, in manchen Fällen sogar eine Fokussierung auf den Kristall. Diese
Fokussierung halten aber nicht alle Materialien stand. Häufig tritt der Effekt der Bildung von
Farbzentren auf, die die weiter einfallende Strahlung dann absorbieren, was wiederum zu
einer starken Erwärmung und somit zu einer möglichen Zerstörung des Mediums führt.
Wichtige Eigenschaften von nichtlinearen Kristallen sind somit die Nichtlinearität,
Doppelbrechung, (möglichst hohe) Zerstörschwelle und eine hohe Reinheit der Medien, d.h.
frei von Schlieren und Einschlüssen. Die eben genannten Eigenschaften werden nur von
wenigen Substanzen erfüllt. Die bekanntesten sind im Folgenden aufgeführt.
•
•
•
•
•
•
•
Lithium-Borat LBO (¢{£ ¤ )
Beta-Barium-Borat BBO (¥ * £7£ ¤< )
Kaliumtitanyl-Phosphat KTP (¦§{¤0¤< )
Kaliumdihydrogen-Phosphat KDP (¦¨ 0¤< )
Deuteriertes KDP (¦ @ 0 ¦ 0¤< )
Lithium-Niobat LNO (¢{3©¤9 )
Barium-Titanat (£7§{¤9 )
Abbildung 10 zeigt einige Koeffizienten wichtiger Materialien. Für die SFG und auch für den
OPO unseres Versuchs wird jeweils ein Beta-Barium-Borat (BBO) verwendet. Dieser Kristall
ist ein negativer uniaxialer Kristall1. Es gilt [Nik99]:
2,7359 ' ^% A,+w * 0,01354]
(31)
2,7353 ' ^% A,+88­ * 0,01516]
(32)
,+w­w
,+<
Der BBO-Kristall gehört der 3m-Gruppe an, was zu einem effektiven nichtlinearen
Koeffizienten von [Nik99]
5 59+ J sinΘ * 5 J cosΘsin3Φ
(33)
5 5 5 cos Θcos3Φ
(34)
führt (Typ I Gleichung (33) und Typ II (34)), wobei der erste Index von d die Strahlung mit
der niedrigsten und der dritte Index die mit der höchsten Frequenz beschreibt. Eine Erklärung
zur Herleitung der effektiven nichtlinearen Koeffizienten finden Sie im Anhang E. Im
1
Falls N X P , werden die Kristalle als negativ deklariert und bei N ~ P als positiv [Nik99], [Mid73].
V1_16 v. 3. Feb 2012
21
Folgenden werden für einen BBO-Kristall Formeln zur Bestimmung des Ablenkwinkels (walk
off angle, °) und des Schnittwinkels, Θ, , bereitgestellt [Nik99]:
°Θ ²arctan ¶# - ) tanΘ· ¸ Θ
(35)
Die oberen Vorzeichen werden bei negativen Kristallen und die unteren Vorzeichen bei
positiven Kristallen verwendet. Es ergibt sich bei einem 1.7, 1.65 und Θ 38.15¹
für einen negativen uniaxialen Kristall ein Ablenkwinkel von ° 1.673¹ . Der Schnittwinkel
des Kristalls lässt sich mit [Nik99]
Θ, arctan s
|% A% |Jº
»%
²¼
% A% Jº%
<» % ½
*
R
% %
¼t
%
(36)
berechnen, wobei ¾ ¢ J tan° ist. Es ergibt sich somit mit den gleichen Angaben wie bei
der Berechnung des Ablenkwinkels und einer Kristalllänge von 5CC ein Schnittwinkel von
Θ, 74¹ .
Abbildung 8: Nichtlineare Koeffizienten (5
), die nicht den Wert 0 besitzen. Identische Koeffizienten sind mit
Linien verbunden (gestrichelt: nur bei Kleinman-Symmetrie). Volle und offene Symbole weisen auf verschiedene Vorzeichen
hin. Quadratische Symbole verschwinden bei Kleinman-Symmetrie [Mes08].
V1_16 v. 3. Feb 2012
22
Abbildung 9: Nichtlinearitätskoeffizient 5
¿ (oben) und 6
[ (unten) [Tei07].
9
Abbildung 10: Liste wichtiger nichtlinearer Koeffizienten [Tei07].
V1_16 v. 3. Feb 2012
23
6.5
Parametrische Verstärkung und Oszillation
Um den Vorgang der parametrischen Oszillation besser zu verstehen, wird zunächst die
optische parametrische Verstärkung (im Folgenden mit OPA bezeichnet) näher erläutert.
6.5.1
Optisch Parametrischer Verstärker - OPA
Ein OPA (optical parametric amplifier)
amplifier verwendet die sogenannte Dreiwellenmischung
(three-wave mixing) in einem nichtlinearen Kristall um die optische Verstärkung zu
ermöglichen [Tei07].
]. Das Signal, mit
bezeichnet, mit einer kleinen Intensität
, wird
erzeugt und unter bestimmten Bedingungen verstärkt.
verstärkt. Durch die hohe Intensität des
Pumplichts mit
wird eine optische Verstärkung ermöglicht. Die Hilfs-(
Hilfs (Idler-)Wellenlänge
mit
bzw.
entsteht durch Überlagerung der beiden anderen. Verdeutlicht wird dieser
Vorgang in Abbildung 11.
Abbildung 11: Das Prinzip der optischen parametrischen Verstärkung im Wellenbild (Wave-mixing
mixing, links) und im
Photonenbild (Photon-mixing,
(
rechts) schematisch dargestellt [Tei07].
Angenommen, es liegt perfekte Phasenanpassung, d.h.
, und unabgeschwächte
2
(undepleted pump) Pumpleistung , d.h.
, vor, werden die Wellengleichungen
mit [Tei07]
(37)
(38)
beschrieben, wobei
ist. Hier bezeichnet den Verstärkungskoeffizienten eines
OPAs, die komplexe Zahl und
ist eine Größe die eingeführt wird, um die Berechnung
überschaubarer zu machen und die Amplitudengleichung zu normieren3. Ist
und somit
auch
real, ergeben sich als Lösung der eben genannten Wellengleichungen folgende
Zusammenhänge [Tei07]:
2
3
Hier beschreibt z den Weg durch das nichtlineare Medium.
Medium
Ebene Welle:
V1_16 v. 3. Feb 2012
24
7+ c 7+ 0cosh # ) * Â7@ 0sinh # )
Á
Á
(39)
7 c *Â7+@ 0sinh # ) ' 7 0cosh # )
(40)
Φ+ c Φ+ 0cosh # )
(41)
Á
Á
Photonenflussdichten von
und
Á
Φ c Φ+ 0sinh # )
Á
(42)
Φ R cosh # ),
(43)
ergeben sich unter der Annahme, dass 7 0 0 ist. Die Verstärkung der gewünschten
Signalwelle mit + ist gegeben mit
wobei für ÃZ 1
Φ Á
R
Äk
Äk %
s % U % t
<
gilt. Dem entsprechend steigt die Verstärkung exponentiell mit dem Faktor â. Der
Koeffizient à 2Å79 0 25Æ2F+ 9 9 79 0 wird durch
à 2ÇÆm9 0 2Çp r
È
(44)
(45)
mit
Ç 2+ 9
%
J:-%
dÉÉ
r
beschrieben, wobei 09 0 m9 0Ê die Pumpleistung, Ê die Querschnittsfläche und Ç den
Kopplungskoeffizienten darstellt [Tei07].
Die Wirkung eines OPAs ist gleichbedeutend mit einer Aufteilung oder Spaltung eines
Photons (F9 ) mit Energie- und Impulserhaltung in ein Signalphoton (F+) und in ein
Hilfsphoton (idler, F ). Dies hat zur Folge, dass bei diesem Prozess auf Kosten der
Pumpwelle die beiden anderen Wellen verstärkt werden.
V1_16 v. 3. Feb 2012
25
(46)
6.5.2
Optisch Parametrischer Oszillator - OPO
Im Folgenden soll auf den prinipiellen Aufbau eines OPOs eingegangen werden.
Anschließend wird anhand der Berechnung für die Schwell-Pumpleistung der Unterschied
zwischen einem einfach-resonanten (singly resonant) und einem doppelt-resonanten (doubly
resonant) OPO erklärt.
Prinzipieller Aufbau
In Abbildung 12 ist ein optischer parametrischer Oszillator schematisch dargestellt. Das
Pumplicht (9 ) wird durch einen Laser in einen optischen Resonator eingekoppelt, der einen
nichtlinearen Kristall der Länge Z beinhaltet. Erzeugt werden hierbei durch nichtlineare
Effekte die Signalwelle (]+ ; +), die Idlerwelle (] ; ) und ebenfalls noch erhalten ist die
Pumpstrahlung mit 9 (abgeschwächt aufgrund der Entstehung von + und ). Die
Grundlegende Idee ist prinzipiell die Gleiche wie bei einem Laser, allerdings ist hier keine
Inversion nötig, aber es treten ebenfalls Schwellenwertbedingungen für die Oszillation auf. Es
gibt zwei Möglichkeiten für ein anfängliches Signal-Photon:
•
•
Einstrahlung von Laserstrahlung bei der Signalfrequenz
Parametrische Fluoreszenz: Strahlungsfeld mit 9 kann zwei Photonen mit + und unter
Energieerhaltung emittieren (entsteht quasi aus dem Quantenrauschen)
Ein optischer parametrischer Oszillator ist auch als Ringresonator realisierbar, wie in
Abbildung 13 gezeigt. Der OPO stellt dem Anwender leistungsstarke, schmalbandige,
abstimmbare Laserstrahlung zur Verfügung. Die Anwendungsmöglichkeiten reichen von
lasergestützten Untersuchungen an Festkörpern über die Spurengasanalytik bis hin zur
hochpräzisen Molekülspektroskopie. Mit Hilfe von Frequenzstandards (z.B. Frequenzkamm)
sind in der Metrologie Anwendungen denkbar. Eine bekannte militärische Anwendung ist die
Erzeugung von breitbandigem Licht hoher Leistung im Wellenlängenbereich von 3 µm bis
5 µm zur Blendung von wärmegesteuerten Raketen, wenn diese Flugzeuge angreifen. Ebenso
kann ein OPO als leistungsstarke RGB-Quelle eingesetzt werden.
Abbildung 12: Prinzipieller Aufbau eines OPOs. Die Pumpstrahlung wird mit Hilfe eines Lasers bereitgestellt, hier mit ËÌ
bezeichnet, welche in einen optischen Resonator, in dem sich ein nichtlinearer Kristall befindet, eingekoppelt wird. Hierbei
entstehen die Signalwelle mit ËÍ und die Hilfswelle (idler) mit ËÎ [UN10].
V1_16 v. 3. Feb 2012
26
Abbildung 13: Schematischer Aufbau eines OPOs mit Ringresonator [UN10].
Typen optisch parametriescher Oszillatoren
Im parametrischen Oszillator wird die Welle mit
in einem Resonator aufgebaut. Diese
Welle kann ähnlich wie in einem Laser entstehen, wenn die Verluste pro Umlauf kleiner sind
als die Verstärkung. Es existiert also eine Schwelle, d.h. eine minimale Leistung (
)
der Welle mit , ab der
er der parametrische Oszillator anspringt. Oberhalb der Schwelle ist die
Umwandlung von
nach
sehr effizient. Man erhält so breit durchstimmbare kohärente
Lichtquellen. Die Realisierung eines parametrischen Oszillators besteht darin, eine
Rückkopplung
ng der Signalwelle (singly
(
resonant oscillator - SRO)) oder eine Rückkopplung
der Signal- und Idler-Welle (doubly
doubly resonant oscillator - DRO)) zu erzeugen. Beide Formen
sind prinzipiell in Abbildung 14 dargestellt.
und
der parametrischen Oszillation ergeben sich aus den Bedingungen der
Frequenz- und Phasenanpassung (
und
). Zu beachten
ist, dass die Frequenzen aus den oben genannten Gleichungen mit den Frequenzen der
Resonatormoden übereinstimmen müssen (ähnlich wie bei konventionellen Lasern), was
bedeutet, dass ein DRO schwieriger zu realisieren ist. Eine weitere Bedingung für die
Oszillation ist, dass die Verstärkung größer sein muss als die Verluste, die durch die Spiegel
innerhalb
alb des Resonators bei einem Durchlauf auftreten. Dementsprechend werden nun unter
Berücksichtigung dieser Punkte Gleichungen für den Schwellenwert der Pumpleistung für
einen SRO und einen DRO hergeleitet (vgl. Laser: Scharlow-Townes
Townes für Laser).
Abbildung 14: Die parametrische Oszillation generiert Strahlung bei bzw.
und bzw. . Die
Pumpstrahlung (
) dient als Energiequelle. Links ist ein SRO und
nd rechts ein DRO dargestellt.
dargestellt
V1_16 v. 3. Feb 2012
27
SRO
Bei Erreichung des Schwellenwertes der Oszillation gilt für das verstärkte und zweimal
reflektierte Signal, dass 7+ Z+ der Anfangsamplitude 7+ 0 gleicht. Hierbei beschreibt Z die
Länge des nichtlinearen Mediums und + den Reflexionsgrad des Spiegels (unter der
Annahme, dass beide Spiegel identisch sind und die Phase hinsichtlich eines Hin- und
Rücklaufs nicht betrachtet wird). Durch Verwendung der Gleichungen (16) und (17) und der
Annahme, dass 7 0 0 ist, erhalten wir + cosh # ) 1 und daraus
Á
Ï+ cosh # ) 1.
Á
Ï+ + ist der Reflexionsgrad des Spiegels bei der Signalfrequenz. Typischerweise ist Ï+ nur
Á
Á
etwas kleiner als 1, d.h. cosh # ) ist geringfügig größer als 1. Daraus folgt, dass 1 ist
und somit die Näherung cosh Ð B 1 ' Ð verwendet werden kann. Es ergibt sich in der
Á Nähe des Schwellenwertes ein # ) B
+AÑR% ÑR%
(47)
und unter Berücksichtigung von Gleichung (22)
ein Schwellenwert (threshold) für die Pumpleistung von
09|ÒÒd 0 B % º%
In dieser Gleichung ist wie in (23) Ç 2+ 9
kleines Rechenbeispiel: Wenn
09|ÒÒd 0 B 2.3Ô.
º%
108 , Ç + +AÑR%
.
ÑR%
%
dÉÉ
J:-%
r
A­ +
10 Ó
(48)
und A die Querschnittsfläche. Ein
und Ï+ 0.9, ergibt sich ein
DRO
Es müssen bei einem DRO (doubly resonant oscillator) an der Schwelle der Oszillation zwei
Bedingungen erfüllt sein: 7+ Z+ 7+ 0 und 7 Z 7 0, wobei hier + und die
Reflexionsgrade der Spiegel einmal für die Signalfrequenz und einmal für die Idlerfrequenz
darstellen. Wir erhalten durch Substitution für 7+ Z in Gleichung (16) und 7 Z in
Gleichung (17) und Umformung der konjugiert-komplexen
1 * Ï+ cosh # ) 7+ 0 ' ÂÏ+ sinh # ) 7@ 0 0
(49)
*ÂÏ sinh # ) 7+ 0 ' 1 * Ï cosh # ) 7@ 0 0
(50)
Á
Á
und
Á
Á
mit Ï+ + und Ï . Durch Gleichsetzen der Verhältnisse
und (27), ergibt sich
tanh # ) Á
R %@ aus Gleichungen (26)
+AÑR +AÑ% .
ÑR Ñ%
(51)
V1_16 v. 3. Feb 2012
28
Á wird # ) B
Á
kann die Näherung tanhÐ B Ð verwendet werden und aus Gleichung (28)
+AÑR +AÑ% Für sehr kleine
ÑR Ñ%
. Hieraus errechnet sich der Schwellenwert für die Pumpleistung zu
09|ÒÒd 0 B % º%
+ +AÑR +AÑ% .
ÑR Ñ%
52
Das Verhältnis der Schwellenwerte der Pumpleistung für einen DRO und einen SRO lautet
ÕR
+AÑ% Õ%
+UÑR
.
(53)
%
Für Ï+ B 1 und Ï B 1, ist das Verhältnis identisch mit
, was eine sehr kleine Zahl
ergibt. Dies bedeutet, dass der Schwellenwert der Pumpleistung bei einem DRO wesentlich
kleiner ist als bei einem SRO. Unglücklicherweise ist aber die Empfindlichkeit bei DROs
hinsichtlich von Fluktuationen der Resonatorlängen aufgrund der Anforderungen für den
Oszillatorbetrieb (sowohl Signal- als auch Idlerfrequenz müssen mit den Resonatormoden
übereinstimmen) sehr hoch. Aus diesem Grund ist die Stabilität von DROs geringer [Tei07].
6.5.3
+AÑ
Effizienzmodellierung (Performance Modelling)
Das Design und die Auslegung eines OPOs erfordert die Spezifikation von vielen Variablen,
wie z.B. Kristalltyp, Kristalllänge, Reflexionsgrad der Spiegel bei allen drei Wellenlängen,
die Krümmung der Spiegel, die Umlauflänge, usw.. Für viele verschiedene OPO-Typen
existieren bereits sehr genaue numerische Modelle, die viele Aspekte der OPO-Performance
(Effizienz, Strahlqualität, Signal- und Idlerspektrum, usw.) beinhalten. Das Softwaretool
SNLO bietet viele dieser Modelle an, die weitestgehend mit Ergebnissen aus
Laboruntersuchungen übereinstimmen. Näheres ist ebenfalls in [Bas03], [Ric03] und [Tei07]
zu finden. Dennoch werden hier die Paramter, die bei der Auslegung optischer parametrischer
Systeme große Bedeutung haben, näher erläutert. Hierfür sind einfache Modelle notwendig,
die die Parameter wie Verstärkung, Schwellenwert, Phasenanpassung und
Konversionseffizienz als Funktion des Aufbaus und der Eingangsparameter beschreiben. Für
einen OPA ist die parametrische Verstärkung der Signalwelle mit [Bas03]
Å pÇ J m
(54)
Ç 2+ 9 r
(55)
< P × ,
(56)
d%
definiert, wobei mÖ m9 die Pumpintensität und Ç wie in (23) eine Kopplungskonstante
beschreibt. Der effektive Brechungsindex verbindet die Felder der Pumpe, des Signals und
des Idlers. 9 , und + sind die Brechungsindizes der drei Wellen und ]9 , ] und ]+ deren
Wellenlängen. Nachdem die Brechungsindizes sehr ähnliche Werte aufweisen, sind diese in
Formel (32) zu einem 9 zusammengefasst. 5
ist der effektive nichtlineare Koeffizient des
nichtlinearen Mediums, 1 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und die Permittivität im
Vakuum. Die Verstärkung des OPAs beträgt [Tei07]
+
V1_16 v. 3. Feb 2012
29
mit Z als Länge des Kristalls. Wie oben schon erwähnt, existiert eine Phasenfehlanpassung
ΔM M9 * M+ * M ,
mit den Ausbreitungskonstanten M xØ
^Ø
(57)
, (Â 1,2,3). Unter Berücksichtigung einer
vorhandenen Phasenfehlanpassung reduziert sich die effektive Verstärkung auf
Å
¶Å *
R
%
+
# ÙM) · .
(58)
Eine Herleitung für Å
finden Sie im Anhang F. Daraus ist ersichtlicht, dass eine maximale
Verstärkung für ΔM y 0 erreicht wird. Typische Werte für Ç liegen in der Größenordnung
+
+
von 10Aw , somit ist für ein Å 1
und für ein 1.8 eine Pumpwelle von mindestens
Ó
,}
100 ,}% erforderlich, wenn die Kristalllänge 11C beträgt. Dies folgt aus Formel (31), da
Ó
dieses Beispiel ein m % von m 10w ,}% ergibt. Bei einer Wellenlänge von 1/C hat die
×%
Ó
Ausbreitungskonstante in einem Material mit 1.7 einen Wert von M B 10
+
,}
[Bas03].
Konversionseffizienz
Bei vereinfachter Betrachtung von Ebenen Wellen, beträgt die Konversionseffizienz eines
SROs für angenommene ideale Phasenanpassung und vernachlässigbaren Verlusten [Bas03]
sin ÅZ.
(59)
Mit dieser Beziehung ist theoretisch eine totale Konversion der Pumpleistung erreichbar.
Wird dieser Punkt überschritten, tritt eine Rückkonversion der Leistung auf, was eine
Reduzierung der Signalwelle und der Idlerwelle und somit auch eine Abnahme der
Konversionseffizienz wieder zugunsten der Pumpwelle hervorruft. Die Konversionseffizienz
ist definiert als Verhältnis aus der Summe von Signalenergie und Idler und der Pumpe. Die
Energiebetrachtung von Signal und Idler führt entsprechend der Photonenenergien zu [Bas03]
ÒÚ%
ÒÚR
^R .
^
(60)
%
Hieraus folgt das Verhältnis der Energie des Signals bezogen auf die Gesamtenergie, die vom
OPO konvertiert wird:
%
% UR
^
^R
R U^%
.
(61)
Für die sogenannte entartete Variante gilt, dass ] ]+ 2]9 ist, d.h. dass jedes
Pumpphoton zwei Photonen mit doppelter Pumpwellenlänge generiert.
V1_16 v. 3. Feb 2012
30
6.6
Aufgaben
6.6.1
Berechnung der Effizienz einer SHG
Berechnen Sie die Effizienz der SHG unter folgenden Voraussetzungen (gleiche Angaben wie
in Kapitel 5): KTP, E1064 = 200 mJ, Strahldurchmesser 5 mm, deff = 0.5 pm/V und einer
Kristalllänge von l = 30 mm (zeitliche Pulslänge siehe Versuchsergebnis von oben).
6.6.2
Berechnung der Effizienz einer SFG
Gegeben sind die Intensitäten von m+ 0 8.49 J 10++
Weiterhin ist bekannt, dass die Effizienz einer SFG mit
ÛÜÝ
berechnet wird, wobei
9
ÃZ J sin Þ ß
2
+
à Æ8F+ 9 9 5 J à
Ó
}%
und m 0 1.7 J 10+
Ó
}%
.
m
F
ist. Die Wellenlängen betragen ]+ 532 C, ] 1064 C und ]9 355 C. Gehen Sie
von einer Brechzahl von 1.65 aus. Sie verwenden einen 3,4 mm langen BBO Kristall bei
einer Typ II-Phasenanpassung. Der nichtlineare Koeffizient berechnet sich mit
d
mm 5++ J sin3Φ ' 5 J cos3Φ J cosΘ.
Weiterhin soll Θ 28°, Φ 0¹ , 5++ 0.16
und 5 2.3 sein. Berechnen Sie mit
diesen Angaben die SFG-Effizienz und führen Sie eine Einheitenkontrolle durch.
}
6.6.3
}
Berechnung der Verstärkungsfaktoren eines SRO-OPOs
Die parametrische Verstärkung einer Signalwelle wird mit
Å pÇ m à2+ 9
5
m
9 berechnet. Berechnen Sie zunächst die Wellenlänge des Idlers, wenn für die
Signalwellenlänge ] 500 C und für die Pumpwellenlänge ] 355 C gilt (Tipp:
Berücksichtigen Sie hierbei die Energieerhaltung). Wie groß ist die Verstärkung g, wenn
}
Ó
weitherin 1.68, 1.69, 1.61, 5,
2.106 und mä 5.09 J 1011 }²
gilt. Berechnen Sie anschließend die Verstärkung G für eine Kristalllänge von 7 mm.
V1_16 v. 3. Feb 2012
31
6.6.4
Verhältnis der Schwellenleistung eines SRO- und DRO-OPOs
Schätzen Sie das Verhältnis der Schwellenleistung (Pthreshold) eines SRO- und eines DROOPOs ab. Gehen Sie hierbei von Reflektion der Spiegel von 95% aus. Welche Energie
benötigen Sie für einen DRO-OPO, wenn Ethreshold des gleichwertigen SRO-OPOs 25mJ und
die Pulsdauer 8 ns beträgt?
V1_16 v. 3. Feb 2012
32
7.
Ergebnisse der Pulslängenmessung
Im Folgenden sind die Messergebnisse der Pulslängenmessungen dargestellt. Es ergaben sich
Halbwertsbreiten der Pulse (FWHM) von 12.6 L bei 1064 C und 8.8 L bei 532 C
(siehe Abbildung 15 und Abbildung 16). Die Steigung des Pulses bei 532 C hängt
quadratisch mit der Steigung bei 1064 C zusammen. Aus diesem Grund machen sich
Unförmigkeiten des 1064 C-Pulses stark in der Form des 532 C-Pulses bemerkbar.
Abbildung 15: Pulsform der Laserquelle bei 1064nm und einer Blitzlampenspannung von 450V. Die FWHM beträgt hier
12.6 ns.
Abbildung 16: Pulsform der Laserquelle bei 532nm und einer Blitzlampenspannung von 450V. Die FWHM
beträgt hier 8.8 ns.
V1_16 v. 3. Feb 2012
33
8.
Ergebnisse der Pulsenergiemessung
In Abbildung 17 sind die Messergebnisse der optischen Pulsenergie gegenüber der
Blitzlampenspannung von 400 E bis 600 E in 10 V-Schritten aufgetragen. Daraus ergibt sich
ein Verlauf der Konversionseffizienz wie in Abbildung 18 dargestellt.
Abbildung 17: Pulsenergie der Laserquelle mit und ohne Modenkopplung bei 1064nm und bei 532nm.
Abbildung 18: Konversionseffizienz der Laserquelle von 1064nm auf 532nm.
V1_16 v. 3. Feb 2012
34
9.
Auslegung der optischen, nichtlinearen Prozesse
Im Folgenden werden die Überlegungen zur Dimensionierung der beiden nichtlinearen
Baugruppen beschrieben. Der erste Teil beinhaltet die Dimensionierung einer
Summenfrequenzerzeugung (sum frequency generation), bei der durch Berücksichtigung der
hier vorkommenden Wellenlängen, Intensitäten und des Phasenanpassung-Typs, die
Konversionseffizienz in Abhängigkeit der Kristalllänge diskutiert wird. Anschließend folgt
eine Dimensionierung eines SRO-OPOs. Hier wird genauer auf die vorhandenen
Wellenlängen, Brechungsindizes, Verstärkungsfaktoren und die daraus resultierende Effizienz
eingegangen.
9.1
Dimensionierung der SFG
Bei der Auslegung einer SFG sind folgende Ausgangsparameter von entscheidender
Bedeutung:
Energie der Einzelpulse
Pulsdauer
Polarisationsrichtungen der Ausgangswellen und gewünschte Polarisationsrichtung
der erzeugten Welle
•
•
•
Aus diesen Daten kann sofort der gewünschte Typ der Phasenanpassung (phase-matchingtype) ermittelt werden. In unserem Fall ist dies Typ II. In den meisten Fällen ermöglichen es
verschiedene Kristallarten eine Typ II Phasenanpassung zu erzeugen, jedoch unterscheiden
sich die Kristallarten stark im Nichtlinearitäts-Koeffizienten deff. Um einen kosteneffektiven
Aufbau zu erhalten, sollte der Kristall mit dem höchsten deff und zugleich einer hohen
Zerstörschwelle ausgewählt werden. Aus diesem Grund wird für diesen Versuch ein BetaBarium-Borat-Kristall (BBO) gewählt.
Im Folgenden wird die Dimensionierung der SFG rechnerisch beschrieben. Im
vorliegenden Versuch werden durch den Phasenanpassungstyp II aus 1064nm (e) und 532nm
Ó
(o) 355nm (e) erzeugt3. Die Intensitäten betragen m 0 1.7 J 10+ }% , m+ 0 8.49 J
10++ }% und m9 Z 9.80 J 10++ }% , welche mit
Ó
Ó
m
åækç J
(62)
berechnet wurden, wobei Ê H die Fläche des Strahls mit 2.5CC 0.0025C, die
Pulsenergie in Joule und O die Pulslänge ist. Die Effizienz berechnet sich aus
Á ÛÜÝ Qr J sin # )
Q
R
(63)
mit
à 2 J Å J 7 0 2 J Æ2F+ 9 9 5 J 7 0 Æ8F+ 9 9 5 J pFQ%
è
(64)
%
und
3
Im Folgenden stehen die Indizes 1 für 532nm, 2 für 1064nm und 3 für 355nm.
V1_16 v. 3. Feb 2012
35
Hier wird d in
%
o
verwendet, d.h. es muss 5
in
+xΩ
.
}
(65)
mit 8.85 J 10A+ } multipliziert
werden. Die Einheit von 7 0 beträgt
. Abbildung 19 zeigt die Konversionseffizienz in
} √
Abhängigkeit der Kristalllänge einmal für den BBO- und den LBO-Kristall bei verschiedenen
Phasenanpassungstypen (I und II). In diesem Versuch wird Typ II Phasenanpassung
verwendet, bei 1064 nm (e) und 532 nm (o). Unter Berücksichtigung des Strahldurchmessers
von 5 mm ergibt sich eine optimale Länge des Kristalls von 5mm (Abbildung 19 schwarze
Kurve; Falls nicht anders angegeben, beträgt der Strahldurchmesser 5mm). Der nichtlineare
Koeffizient für die SFG des Typs II wird mit
+
d
mm 5++ J sin3Φ ' 5 J cos3Φ J cosΘ
berechnet. Es ergibt sich hier mit Θ 38.15¹ , Φ 0¹ , 5++ 0.16
}
und 5 2.3
(66)
}
ein
5
1.4224 . Mit Hilfe der SNLO-Software wurde ein Wert von 5
1.29
ermittelt. Aufgrund der Abweichung wird hier für die weiteren Berechnungen der schlechtere
}
Wert von 5
1.29
verwendet. Im Folgenden sind alle wichtigen Paramter bezüglich
der SFG tabellarisch aufgelistet.
}
Parameter
+ î¨cï532 nm
Wert
3.54135 J 10+
Parameter
Ó
m+ Zî}% ï
Wert
8.49 J 10++
5î % ï
1.14165 J 10A9
7 0î} ï
3.0152 J 10+
î¨cï 1064 nm
9 î¨cï 355 nm
Åî}ï
î1ï
+
1.77068 J 10+
5.30704 J 10+
1.04457 J 10A+9
1.65
m î}% ï
Ó
m9 Zî}% ï
Ó
+
√
Ãî}ï
îΩï
+
}
1.70 J 10+
9.80 J 10++
629.92
120H
Abbildung 20 zeigt die Pulsenergie in Abhängigkeit des Tuningwinkels, hier ist ebenfalls gut
fgh% &
der &² - Zusammenhang (Herleitung wie für Gleichung (23)) zwischen der Pulsenergie
und des Tuningwinkels des Kristalls erkennbar.
V1_16 v. 3. Feb 2012
36
Abbildung 19: Die Konversionseffizienz in Abhängigkeit von der Kristalllänge (Gleichung (36)); optimale Länge
des Kristalls beträgt 5 mm (schwarze Kurve), was zu einer Effizienz von 1.50 führt.
Abbildung 20: Messung der Pulsenergie in Abhängigkeit des Tuningwinkel der SFG (siehe Gleichung (23)). Hier ist der
ðñòÎ ó
ó²
-Verlauf erkennbar.
V1_16 v. 3. Feb 2012
37
9.2
Dimensionierung eines SRO-OPOs
In Abbildung 21 ist der Aufbau des SRO-OPOs, wie er in diesem Versuch realisiert wird,
dargestellt. Es werden nun einige Eigenschaften des BBO-Kristalls (negativer, uniaxialer
Kristall) sowie die SNLO-Software verwendet, um den nichtlinearen Koeffizienten 5 , die
Koppelkonstante Dz sowie die Verstärkung Å und zu berechnen. Der nichtlineare
Koeffizient eines BBO-Kristalls ergibt sich aus Gleichung (10) zu
5 59+ J sinΘ ' 5++ J cosΘ * 5 J sin3Φ J cosΘ.
Mit einem Schnittwinkel von Θ 28¹ , einem 59+ 0.16
}
}
(67)
, einem 5 2.3
}
}
, einem
5++ 0
und einem Φ 0¹ ergibt sich ein 5,
2.1059
. Die SNLO-Software
berechnet Brechungsindizes von 1.68, 1.69 und 1.61 (Die Wellenlänge des
Signals beträgt hier 400 nm und die des Idlers 3160 nm). Dadurch lässt sich die
Kopplungskonstante mit [Tei07]
d%
Ç 2+ 9 r
(68)
für den Fall ] 500 C und ]
1220 C zu Ç 4.69 J 10Aw
+
berechnen. Es ergibt
sich somit eine parametrische Verstärkung der Signalwelle (mit mä 5.09 J 1011
Å pÇ m 154.5
Ó
}²
) von
+
.
}
(69)
Mit Hilfe der Gleichung
+
<
P ×
(70)
lässt sich die Abhängigkeit der Verstärkung von der Kristalllänge verdeutlichen. Es ergibt
sich bei einer Kristalllänge von Z 7.0 CC ein 1.94.
Abbildung 21: Schematischer Aufbau des optischen parametrischen Oszillators mit SFG. Der Laser erzeugt durch
eine interne SHG aus 1064 nm 532 nm, welche mit Hilfe des NLK 1 die gewünschten 355 nm erzeugen. Diese werden
zweimal durch die Spiegel SP11 und SP12, die HR für 355 nm sind, umgelenkt. Die Linse L1 (Brennweite 750 mm) dient
zur Fokussierung des Lasterstrahls, da die Fläche von NLK 2 nur 4x4 mm² beträgt. Der Einkoppelspiegel ist auf der Seite
SP21 HR für 355 nm und auf der Seite SP22 unbeschichtet. Der nichtlineare Prozess für den OPO findet im NLK 2 statt. SP3
und SP4 dienen als optischer Resonator. SP22 wird durch Fresnel-Reflektionen auch als Auskoppelspiegel verwendet. Hier
befindet sich eine Zerstreuscheibe ZS und ein Spektrometer. Der Spiegel, der zwischen dem NLK 2 und Spiegel SP3 liegt, ist
hier nicht eingezeichnet. Dieser dient zur Auskopplung der Pumpstrahlung (in Richtung der Tischoberfläche).
V1_16 v. 3. Feb 2012
38
Der Auskoppelgrad an Spiegel SP22 liegt zwischen 6 % und 15 % aufgrund von FresnelReflektivitäten [Fre10].
Im Folgenden sind alle wichtigen Paramter bezüglich des SRO-OPOs tabellarisch
}
aufgelistet. 5
wurde hierbei mit einem mittleren Wert von 2.1
angenommen.
Parameter
] îCï
] îCï
]
îCï
î ï
}
}
1î ï
Wert
355 J 10A
500 J 10A
1220 J 10A
8.85 J 10A+
Parameter
M
M
M
ZîCï
Wert
1.77 J 10­
1.26 J 10­
5.13 J 108
0.007
1.68
1.61
îΩï
1.69
377
3 J 10w
}
ï
5
î
2.1
Im Folgenden sind die Ergebnisse der Simulation der Effizienz des SRO-OPOs in
Abhängigkeit der gewünschten Signalwellenlänge im interessanten Bereich von 400 C bis
700 C graphisch dargestellt.
Abbildung 22: Konversionseffizienz des OPOs in Abhängigkeit von der Wellenlänge des Signals.
V1_16 v. 3. Feb 2012
39
9.3
Zusammenfassung der Ergebnisse
Der vorliegende Versuchsaufbau enthält verschiedene optische Elemente der nichtlinearen
Optik mit denen ein umfassender Überblick der Vielseitigkeit dieser Thematik vermittelt
werden kann. Ausgehend von der Frequenzverdopplung mittels TemperaturPhasenampassung als internes Bauteil des gütegeschalteten Nd:YAG Festkörperlasers mit der
eine Diskussion der Effizienz dieses Prozesses durchgeführt wird.
Als weiteres Element des Aufbaus ist die Summenfrequenzerzeugung mittels Typ II
Phasenanpassung in einem BBO Kristall zu nennen, an der der mathematische Hintergrund
von Mehr-Photonen-Prozessen erläutert wird. Die Effizienz der Summenfrequenzerzeugung
beträgt bei einer Blitzlampenspannung von 520 V ca. 46 % (E(355 nm)=28 mJ und
E(532 nm)=40,8 mJ).
Außerdem enthält der Aufbau einen optisch parametrischen Oszillator, welcher von 430 nm
bis über 670 nm durchstimmbar ist. Im OPO wurde Typ I Phasenanpassung ausgenutzt und
eine eigens überlegte Methode zur Auskopplung der Signalwelle aus dem Resonator
umgesetzt. Abbildung 23 zeigt Ausgangsspektren des optisch parametrischen Oszillators bei
verschiedenen Winkelstellungen des BBO Kristalls, deutlich erkennbar sind darin außerdem
die Linien der 2. und 3. Harmonischen des Nd:YAG Lasers.
Abbildung 23: Ausgangsspektren (normiert) des optisch parametrischen Oszillators bei verschiedenen Winkelstellungen des
BBO Kristalls. Deutlich erkennbar sind die Linien der 2. und 3. Harmonischen (532 nm und 355 nm) des Nd:YAG Lasers.
Bei diesem Experiment wurde der OPO von 430 nm bis über 670 nm verstimmt.
V1_16 v. 3. Feb 2012
40
A.
Amplitudengleichungen und Manley-Rowe-Beziehung
Die Herleitung der gekoppelten Amplitudengleichungen ist ähnlich wie die Herleitung der
Brechzahl [Mid73]. Eine ebenfalls ausführliche Herleitung findet sich in [She02] in Kapitel 3.
Auch hier gehen wir zur Einführung der nichtlinearen Polarisation als Quellterm der
Maxwell-Gleichungen aus:
õö¨ õö *
+ $ø
÷ $ù
(71)
+ $
µH
÷ $ù
(72)
D ýE ' P
(73)
Die dielektrische Verschiebung (73) setzt sich hier aus einem linearen Term (erster Term) und
der nichtlinearen Polaristation (zweiter Term) zusammen. Durch Anwendung der Rotation auf
beiden Seiten von Gleichung (72), erhält man
$²
+ $²ä
õ² $ù² #÷² E) * ÷² $ù²
(75)
Hierbei geht man von einem eindimensionalen Problem und einer Welle, die sich in z
Richtung ausbreitet aus, d.h. dass & ( 0 gilt. Es werden nun drei interagierende Wellen
definiert:
+ c, O + cP*{1 O*M1 c
(76)
c, O cP*{2 O*M2 c
(77)
9 c, O 9 cP*{3 O*M3 c
(78)
In einem linearen Medium bleibt die komplexe Amplitude konstant. Hier ändert sich jedoch
diese Amplitude durch Interaktion von Wellen mit verschiedenen Frequenzen. Wir erhalten
für die Polarisation (Herleitung siehe [Mid73], Seite 32) bei einer SFG mit + ' 9:
0+ c, O 45@ c9 cP*{î3 *2 O*M3 *M2 cï
(79)
0 c, O 459 c+@ cP*{î3 *1 O*M3 *M1 cï
(80)
09 c, O 45+ c cP*{î1 '2 O*M1 'M2 cï
(81)
Aus den Gleichungen (79), (80) und (81) erhalten wir:
²ÈR
²
*9 * ²45@ c9 cP*{î3 *2 O*M3 *M2 cï
²È
(82)
²È
Analoge Gleichungen für ²% und ²r. Unter Berücksichtigung einer sich langsam mit z
ändernden komlexen Feldamplitude (SVEA; slowly varying envelope approximation), d.h.
²
M ² , erhalten wir:
V1_16 v. 3. Feb 2012
41
²R ,
²
2
* M1 + c * 2{M+
dR *{ O*M c
1
1
P
d
(83)
Da Gleichung (75) bei jeder Frequenz separat erfüllt ist, erhalten wir aus (75), (82) und (83):.
dR d
*{
wxQR%
5@ c9 cP{M3 *M2 *M1 c
aR ,²
(84)
d% d
*{
wxQ%%
5+@ c9 cP{M3 *M2 *M1 c
a% ,²
(85)
dr d
*{
wxQr%
5+ c cP{M1 'M2 *M3 c
ar ,²
(86)
Dies sind die drei gekoppelten Amplitudengleichungen. Wir erkennen hierbei, dass jede
Gleichung in der Tat die Änderung der Amplituden bei einer Frequenz als Funktion der
Amplituden der zwei anderen Frequenzen wiedergibt. Desweiteren ist die Phasendifferenz
zwischen dem E- und dem H-Feld gegeben. Es gilt weiterhin im Falle der SFG:
∆M M9 * M * M+
(87)
Wir betrachten nun eine Summenfrequenzerzeugung. Falls + und konstant sind, gilt:
9 *
º
wxQr%
5+ e P{∆Mc 5c
ar ,²
(88)
Hierbei beschreibt L die Länge des Kristalls. Die Durchführung dieser Integration und mit
x,
x
9 ^ sowie M9 ^ erhält man:
r
r
+8x²
5+ P{∆M¢
r ^r ∆a
9 * * 1
(89)
Es folgt somit für die Leistung pro Fläche in einem Material mit Brechzahl n:
x @
,
(90)
Die Multiplikation von Gleichung (89) mit deren konjugiert-komplexen ergibt
9 +x º²d²ÛR Û% sin& # & ) ,
R % r ^%r ,
(91)
wobei Ð bedeutet. Die gekoppelten Amplitudengleichungen zeigen, dass Gleichung
(85) durch Austausch von + mit Gleichung (84) ergibt, dieser Vorgang bei Gleichung
(86) jedoch nicht funktioniert. Diese Aussage verdeutlicht der Zusammenhang des
Kraftflusses (power flow) innerhalb der Interaktion, wenn ∆M 0 angenommen wird:
∆aº
V1_16 v. 3. Feb 2012
42
R , @ dR
QR + d
*8H{5+@ @ 9
(92)
% , @ d%
Q% d
*8H{5@ +@ 9
(93)
r , @ dr
Qr 9 d
*8H{59@ +
(94)
Hieraus ist ersichtlich, dass die rechte Seite von Gleichung (92) und (93) gleich ist mit der
konjugiert-komplexen rechten Seite von (94). Es folgt demnach:
R , d
+ +@ QR d
% , d
@ Q% d
, d
9 9@ r d
* Qr
(95)
Unter Berücksichtigung von (90), erhalten wir die sogenannte Manley-Rowe-Beziehung, die
sowohl für die SFG als auch für die DFG gültig ist:
,Ò× QR
QR
,Ò× Q%
Q%
*
,Ò× Qr
Qr
(96)
V1_16 v. 3. Feb 2012
43
B.
Herleitung der Beziehung zwischen I(2ω) und I²(ω)
Ausgangspunkt zur Herleitung dieser Beziehung ist die Gleichung
2, c Z *
Qd
%_ ,
Z
ijk
)
%
ijk
%
fgh#
P
lijk
%
.
(97)
Für die (optische) Intensität gilt:
%_ % m2 o-
%_
:
pq | 2|
(98)
-
Für die optische Intensität I(ω) folgt weitherin
m _ % Q
o-
_
pq | | < m 4 : h%
:
q
-
-
+
(99)
Nun wird Gleichung (97) in (98) und anschließend (99) in (98) eingesetzt:
m2 Q % d% %
%_ ,
m2 Q % d% %
%_ , %
m2 %
pq s
:-
-
pq s
:-
-
Q % d% %
%_ h% , %
s
ijk
)
%
ijk
%
fgh#
ijk
)
%
ijk
%
fgh#
ijk
)
%
ijk
%
fgh#
t < t m 4
t m q:-
(100)
q- +
(101)
:-
(102)
:- h%
pq
-
Es wird jetzt eine kleine Umformung durchgeführt:
q:-
- pq p:%-q p : p : : Æ/ p:% ÷
:
-
µ% :
q
- -
-
q :
+
- -
-
+ +
- :-
(103)
Weitherin folgt für (102) durch einsetzen von (103):
m2 Q % d% %
% r
%_ h , :-
s
ijk
)
%
ijk
%
fgh#
t m (104)
Mit (104) ist erkennbar, dass ein quadratischer Zusammehang zwischen I(2ω) und I(ω)
vorliegt:
m2~m (105)
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44
C.
Phasenanpassung und Impulserhaltung
Für den Zusammenhang zwischen Phasenanpassung und Impulserhaltung ist Gleichung (16)
von Bedeutung. Auch hier gehen wir von einer Summenfrequenzerzeugung aus. Die
Impulserhaltung besagt, dass
+ ' 9
ist. Es gilt:
ħM
ħ
x
^l
ħ
x
l Ql ,-
(106)
ħ
.
,-
(107)
Aus dieser Beziehung und aus (106) folgt
ħ
+ +
,-
' , , 9 9 + + ' 9 9.
ħ
-
ħ
-
(108)
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45
D.
Herleitung für den Winkel der Phasenanpassung
Betrachtet wird hier ein uniaxialer Kristall, wie z.B. der BBO. Der ordentliche Strahl ist
unabhängig von der Richtung, wobei der außerordentliche Strahl von der
Ausbreitgunsrichtung abghängt. Für einen negativen unixialen Kristall gilt, dass die
Brechzahl des winkelabhängigen außerordentlichen Strahls kleiner als die Brechzahl des
ordentlichen Strahls ist. Weiterhin folgt aus der Ellipsengleichung
+
% sin2 cos2 '
%
%
.
(109)
Für die Phasenanpassung muss der richtige Winkel | gewählt werden (siehe Abbildung 5):
Q | Q
Somit folgt für Gleichung (109):
+
_ %
sin2
%
%_ '
(110)
1*sin2
%
%_ (111)
Durch weitere Umformung erhält man schließlich (vgl. Gleichung (25), (26)):
sin2 |} %
_ % A%_ %
%_ %
A%_ (112)
Exkurs:
Genaue Herleitung von Gleichung (112). Zur Vereinfachung verwenden wir nun folgende
Bezeichnungen: Q , Q , Q , x |} . Es folgt somit für Gleichung (111)
+
sin2 &
'
1*sin2 &
.
Es wird nun auf beiden Seiten mit v und w multipliziert, dies führt zu folgender Form:
sin2 Ð ' * sin2 Ð
Weiterhin bringen wir v auf die linke Seite und klammern auf der rechten Seite sin²(x) aus:
* * sin2 Ð
sin2 Ð A A
A
A
Der nächste Schritt besteht darin, im Zähler und im Nenner durch vw (linke Seite, mittlerer
Term) und anschließend durch u (linke Seite, rechter Term) zu dividieren:
æ
R
R
R
A
sin2 Ð æAæ æR
+A
A
sin2 Ð RAR
R A R
Durch Rucksubstitution mit den oben festgelegten Beziehungen erhält man Gleichung (112).
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46
E.
Herleitung des nichtlinearen Koeffizienten
Die effektive Nichtlinearität 5
wird am besten durch ein Beispiel hergeleitet. Es wird hier
von einer kollinearen, Typ I Frequenzkonversion (down conversion process) mit einem BBOKristall ausgegangen. Nachdem dieser Kristall negativ uniaxial ist, wird bei diesem Vorgang
nur die Pumpwelle als einziger außerordentlicher Strahl durch das Medium propagiert
(P y N ' N). In Abbildung 24 ist die Polarisation der Pumpe, des Signals und des Idlers
relativ zu den (piezoelektrischen) Achsen dargestellt. Ebenfalls zu erkennen ist die StandardOrientierung der Gruppe 3m. Die piezzoelektrischen Achsen {X,Y,Z} decken sich mit den
dielektrischen optischen Achsen {x,y,z} [Tan95]. Die Komponenten der oszillierenden
nichtlinearen Polarisation bei der Frequenz des Idlers ist mit [Tan95]
0& 0
0( ! 2 *5
59+
0 0
5
59+
0
0
599
0
5+
0
5+
0
0
& & (
*5
0
'
0
' (113)
'
gegeben. Hier wurde die kontrahierte Notation verwendet [Mes08], [Tan95]. Bei einer Typ I
Phasenanpassung in einem negativen uniaxialen Kristall, bei dem die Pumpwelle
außerordentlich ist und das Signal und der Idler ordentliche Wellen sind, lautet der
dazugehörige gekoppelte Nichtlinearitätskoeffizient
Ql Qå Qç d
Öùg÷
∑9g,,
+ 2dg,,
; ag b a ,
(114)
wobei die Koeffizienten a und b den Richtungs-cosinus der ordentlichen und
außerordentlichen Felder, E und P, bezeichnen:
b
a
* cos θ cos $
sin θ
a
b
* cos θ ; ! * cos θ sin $
a
0
b
sin θ
(115)
Wird nun die Summation aus Gleichung (114) durchgeführt, erhält man für den effektiven
nichtlinearen Koeffizienten der paramtrischen Erzeugung mit Typ I in einem BBO-Kristall:
d Öùg÷
θ, $ 2îd9+ sin θ * d cos θ sin3$ï
(116)
In Abbildung 25 und Abbildung 26 sind die effektiven nichtlinearen Koeffizienten für die
SHG von positiven uniaxialen und negativen uniaxialen Kristallen für die verschiedenen
Kristallgruppen zusammengefasst.
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47
Abbildung 24: Polarisation der Pumpe (Ep), des Signals (Es) und des Idlers (Ei) für Typ I Phasenanpassung (% y & ' &) in
einem BBO-Kristall. Die kleinen Kreise an den Achsen sind die Projektionen der Koeffizienten a und b auf die Achsen
[Tan95].
Abbildung 25: ')*+
%(( für verschiedene positive uniaxiale Kristallgruppen (die Gruppen 23 und ,3m sind hier nicht
aufgelistet, da diese keine Doppelbrechung aufweisen). Unterschieden wird hier zwischen Typ I und Typ II Phasenanpassung
[Tan95].
Abbildung 26: ')*+
%(( für negative uniaxiale Kristallgruppen. Unterschieden wird hier zwischen Typ I und Typ II
Phasenanpassung [Tan95].
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48
F.
Herleitung der effektiven Verstärkung
Die Randbedingung für Gleichung (84), (85) und (86) lautet [Mid73], [Boy03]:
r
0
(117)
Hieraus folgen die anderen beiden Gleichungen zu
R
%
*¦+ 9 @ P{∆Mc
(118)
*¦ 9 +@ P{∆Mc
(119)
¦
(120)
mit
wx
Ql% d
,
al ,²
(i=1,2). Durch differenziern von Gleichung (118) bezüglich z und unter Verwendung von
(119), lässt sich für ∆M 0 aus der DGL zweiter Ordnung folgende Lösung finden [Mid73]:
Z 0 cosh Þ ß '
å.
R
Q% a %
#QR% a% ) + 0 sinh Þ ß
å.
% R
(121)
mit
Z p
R % ^R ^%
.
wxdr
(122)
Analog lässt sich eine Lösung für + finden. Für große Z gilt
R
Q% a %
/ 0 ' #QR% a% ) + 00 Pkå. ,
% R
k
(123)
mit einem exponentiellen Verstärkungsfaktor von 1 . Demnach erhalten wir zwei
+
å.
verschiedene Arten von Lösungen: Ist Z in der gleichen Größenordnung wie Z , was bei
einem paramtrischen Verstärker der Fall ist, gilt (der Index 2 steht hier für das Signal und 1
für den Idler) [Mid73]:
Z 0 cosh1Z
R
%
(124)
+ Z 0 #QR% a% ) sinh1Z
(125)
Z 0P2
(126)
Q% a
% R
Hingegen gilt für einen Oszillator, dass Z durch mehrmaliges Durchlaufen des Mediums groß
ist [Mid73]:
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R
QR% a% % 2
) P
Q%% aR
+ Z 0 #
(127)
Hieraus folgt, dass sich für 1Z ~ 1 die Welle bei der parametrischen Verstärkung mit 1 ' und die eines parametrischen Oszillators mit 1 ' 1Z ausbildet. Das bedeutet, dass der
Oszillator im Stande ist, auch mit kleinen Verstärkungen die Verluste pro Umlauf zu
übersteigen. Es wird im Folgenden der Effekt der Phasenfehlanpassung berücksichtigt, d.h.
∆M 0. Durch Substitution der Gleichungen (118) und (119) mit
2%
+ c + 0P ×ÉÉU
% (128)
@ c @ 0P ×ÉÉA
% (129)
∆j
und
∆j
erhält man
∆a Å
'#) wxd% QR% Q%%
, ½ aR a%
9 09@ 0 1².
(130)
Der effektive Verstärkungsfaktor lautet demnach
Å
1² *
∆a #)
Å
¶1² *
R
∆a %
#) ·
.
(131)
Eine genauere Analyse zeigt jedoch, dass sich die Beziehungen für die Verstärkung eines
OPAs und die eines OPOs unterscheiden [Mid73]. Für eine exakte Betrachtung der
Phasenfehlanpassung wird auf [Smi64] verwiesen. Die richtigen Zusammenhänge bei
bestehender Phasenfehlanpassung, analog zu den Gleichung bei perfekter Phasenanpassung,
lauten für einen OPA:
Z 0 /1 ' 1Z
+ Z sin2#
#
∆jk
)
%
∆jk %
%
)
2
Q sin # )
+ 01Z QR ∆jk %%
% #
)
∆jk
%
0
(132)
(133)
Hier war die Annahme, dass kleine Verstärkungen vorliegen, was bei cw-OPAs durchaus
üblich ist. Die korrespondierenden Gleichungen, unter der Annahme, dass sowohl das Signal
und der Idler in Folge von Quantenrauschen hervorgerufen wurden und dass die Verluste
beider Wellen gleich sind, lauten für einen OPO entsprechend:
Z 0 31 ' 21Z
+ Z QR
Z
Q% sin#
∆jk
)
%
∆jk
%
4
(134)
(135)
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Literatur
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Nonlinear Dielecric, Phys. Rev. 127, 1918 (1962).
[Bal07]
M. Gupta, J. Ballato. The Handbook of Photonics 2nd Ed. CRC, 2007.
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W. Koechner, M. Bass. Solid-State Lasers. Springer-Verlag, 2003.
[Boy03]
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[Che10]
www.chemgapedia.de, letzter Zugriff am 24.08.2010.
[Fre10]
http://refractiveindex.info, letzter Zugriff am 24.08.2010.
[Lth10]
Prof. Dr. rer. nat. H. Huber. Skriptum zur Vorlesung Lastertechnologie, 2010.
[Mes08]
D. Meschede. Optik, Licht und Laser. Vieweg und Teubner, 2008.
[Mid73]
F. Zernike, J.E. Midwinter. Applied nonlinear optics. Dover, 1973.
[Nik99]
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Phys., 41, 4121, 1964.
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Oscillators. Harwood Academic Publishers, 1995.
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[UN10]
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2010.
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periodically poled by applying an external field for efficient blue secondharmonic generation, Appl. Phys. Lett. 62 (5), 435 (1993).
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