ψ λ γ = λ γ =

Ich kann Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck als Verhältnis zweier Seiten
interpretieren und für Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck einsetzen.
A
1 Gib für das abgebildete rechtwinkelige Dreieck Sinus, Cosinus und Tanges
der Winkel
α und ϕ durch die Quotienten der Seitenlängen an.
j
g
s
C, D
2 Entscheide, welche Aussagen für das gegebene rechtwinkelige Dreieck
zutreffen. Begründe deine Entscheidung mithilfe der
Definition der Winkelfunktionen.
a.
b.
c
u
c
cos (ε ) =
f
tan(ε ) =
c.
d.
f
c
u
sin (ψ ) =
f
cos(ψ ) =
c
u
f
C, D
3 Entscheide, welche Aussagen für das gegebene rechtwinkelige Dreieck zutreffen. Begründe deine
Entscheidung mithilfe der Definition der
Winkelfunktionen.
a.
sin(γ ) = cos (λ )
b.
r ⋅ tan(γ ) = s
c.
r
=t
cos (λ )
d.
sin(γ ) =
r
s
s
t
t
D
4 Argumentiere mithilfe der Definition der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck, warum im Dreieck
1
aus Aufgabe 3 tan(γ ) =
gilt.
tan(λ )
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Autorin: Bettina Ponleitner
Ich kann Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck als Verhältnis zweier Seiten
interpretieren und für Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck einsetzen.
A, B, C
5 Vor dem Eingang eines Veranstaltungszentrums soll neben den schon vorhandenen Stufen eine
geradlinige Auffahrtsrampe gebaut werden. Der zu überwindende Höhenunterschied beträgt 65cm. Die
Steigung der Rampe ist mit maximal 3° vorgegeben. Aufgrund der baulichen Gegebenheiten darf der
horizontale Abstand von Rampenanfang bis Rampenende höchstens 12,5m betragen.
a. Berechne, ob es unter diesen Bedingungen möglich ist, eine geradlinige Rampe zu bauen.
b. Berechne die Länge der Rampe.
B
6 Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Hypotenuse c = 24 cm und den Winkel α = 50° .
Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkel, sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.
A, B
7 Georg und Sabine wollen im Garten ein Gehege für ihre
Meerschweinchen bauen. Der Grundriss des Geheges soll
1,2m
ein rechtwinkeliges Dreieck sein (siehe Skizze). Die beiden
Katheten des Dreiecks liegen an der Gartenmauer, entlang
der Hypotenuse wollen Georg und Sabine einen Zaun
ε
aufstellen. Eine Kathete soll 1,2 m lang sein. Es stehen 1,8m
Zaun zur Verfügung.
1,8 m
a. Berechne den Winkel ε , der zwischen der gegebenen
Kathete und der Hypotenuse liegt.
b. Berechne die Länge der anderen Kathete.
c. Berechne den Flächeninhalt des Geheges.
B
8 Von einem rechtwinkeligen Dreieck (siehe Skizze) kennt
man eine Seite und einen Winkel. Berechne die übrigen
Bestimmungsstücke.
α
a.
14 cm
306 cm
66°
c
a
27 cm
48°
c.
A, B
b
35°
b.
d.
β
b
a
α
524 cm
c
214 cm
9 Ein Radfahrer fährt eine Gebirgsstraße bergab. Der Kilometerzähler zeigt eine zurückgelegte Strecke von
1528 m an. Laut Höhenmesser hat der Radfahrer dabei einen Höhenunterschied von 140 m überwunden.
Berechne den Steigungswinkel der Straße.
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β
Mathematik anwenden
Lösungen zu:
Ich kann Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck als Verhältnis zweier Seiten
interpretieren und für Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck einsetzen.
g
j
s
cos (j ) =
j
s
j
g
sin(j ) =
j
1 sin (α ) =
cos (α ) =
s
g
g
tan(ϕ ) =
s
tan (a ) =
2 a. falsch: An- und Gegenkathete sind vertauscht; es gilt: tan (ε ) =
u
c
b. richtig
c. falsch: Cosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, daher gilt:
cos(ψ ) =
u
f
d. falsch: Hier wurde die Ankathete anstelle der Gegenkathete verwendet; es gilt: sin(ψ )
c
f
G r
A r
= , cos(λ ) =
=
H t
H t
3 a. richtig, da sin(γ ) =
4
=
b. falsch, da
tan(γ ) =
G r
= ⇒ s ⋅ tan (γ ) = r
A s
c. richtig, da
cos(λ ) =
r
r
⇒
=t
t
cos(λ )
d. falsch, da
sin (γ ) =
G r
=
H t
1
1 r
= s = = tan(γ )
tan(λ ) r s
5 a. Ja, die Rampe kann gebaut werden, da der horizontale Abstand unter diesen Bedingungen etwa 12,4 m
beträgt.
b. Länge der Rampe: 12,42m
6 a = 18,4 cm;
b = 15,4 cm;
β = 40° ;
A = 142cm 2
7 a. ε = 48,2°
b. Kathetenlänge: 1,3 m
2
c. A ≈ 0,8m
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Mathematik anwenden
Lösungen zu:
Ich kann Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck als Verhältnis zweier Seiten
interpretieren und für Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck einsetzen.
8 Von einem rechtwinkeligen Dreieck (siehe Skizze) kennt man eine Seite und einen Winkel. Berechne die
übrigen Bestimmungsstücke.
a.
b.
c.
d.
α
β
a
b
c
35°
42°
36°
66°
55°
48°
54°
24°
15 cm
13 cm
306 cm
481 cm
22 cm
14 cm
425 cm
214 cm
27 cm
19 cm
524 cm
526 cm
b
α
9 Steigungswinkel: 5,26°
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a
c
β