Arithmetik und Algebra Grundlagen
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TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055 - 654 12 87 Ausgabe: Februar 2009 www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Seite Inhaltsverzeichnis 3 Mathematik 3 Mathematik 3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen 3.1.1 Vorwort 3.1.2 Einteilung der Zahlen 3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade 3.1.4 Massvorsätze 3.1.5 Das griechische Alphabet 3.1.6 Prozent- und Promille 3.1.7 Mathematische Zeichen 3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen 3.1.9 Lampeneinteilung in einem Raum 3.1.10 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse 3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen 3.1.12 Zahlengrössen 3.1.13 Symbole für Zahlen 3.1.14 Grafische Darstellungen 3.1.15 Mittelwerte 3.1.16 Proportionen 3.1.17 Absoluter Betrag 3.1.18 Zahlenbereiche www.ibn.ch 4. März 2011 2 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1 Seite 3 Arithmetik und Algebra Grundlagen 3.1.1 Vorwort Die Mathematik besteht aus Teilgebieten. Die drei wichtigsten sind: 1. Arithmetik (Lehre von den Zahlengrössen) 2. Algebra (Lehre von den Gleichungen) 3. Geometrie (Lehre von den Raumgrössen) Unser heutiges technisches Zeitalter wäre ohne die Mathematik nicht denkbar, deshalb ist sie die Grundlage für alle technischen Berufe. Die Lehre von den Zahlengrössen (Arithmetik) gliedert sich in: 1. das Rechnen mit bestimmten Zahlen, die im allgemeinen durch die arabischen Ziffern dargestellt werden (1; 2; 3; 4; ....) 2. das Rechnen mit Variablen, die üblicherweise durch Buchstaben dargestellt werden (a; b; c; ...) Die Lehre von den Raumgrössen gliedert sich in: 1. Die Lehre von den ebenen Flächen (Planimetrie) 2. Die Lehre von den Körpern (Stereometrie) 3. Die Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken (Trigonometrie) Die Grundlage dieses Gebäudes ist die menschliche Vernunft; das heisst, die Mathematik baut auf Grundsätzen (Axiome) auf, die beweislos vorausgesetzt werden. Einige lauten: 1. Jede Grösse ist sich selbst gleich. 2. Werden gleiche Grössen gleich behandelt, so ergeben sich gleiche Grössen. 3. Sind zwei Grössen einer dritten gleich, so sind sie auch untereinander gleich. Alle anderen mathematischen Aussagen (Lehrsätze) müssen bewiesen werden, d.h. man muss sie auf bekannte Lehrsätze oder Grundsätze zurückführen. www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Seite 3.1.2 Einteilung der Zahlen Zahlen werden in der Mathematik folgendermassen eingeteilt. Zahlen Reelle Zahlen Imaginäre Zahlen Rein komplexe Zahlen z = 2+ 3j j = −1 Rationale Zahlen Ganze Zahlen Irationale Zahlen Irationale Zahlen Bruch Echter Bruch Unechter Bruch Stammbruch Dezimalbruch 3 Transzendent iationale Zahlen 2 = 1 ,1 4 2 π = 3,142 3 = 1 ,4 4 2 e = 2 ,71 8 1. Wie werden die Zahlen 3, 7, -2 und -6 bezeichnet: 2. Zu welchen Zahlen behören 2,3 und 5,2: www.ibn.ch 4. März 2011 4 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Seite 5 3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade Unter Zahlengerade versteht man in der Mathematik die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Im Bild wurden die Orte der Punkte der ganzen Zahlen durch senkrechte Striche hervorgehoben. Die Zahlengerade ist eine Veranschaulichung des eindimensionalen euklidischen Vektorraums . Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen ℜ eine geordnete Menge ist. Die Zahlengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden. 1 Die Zahlengerade kann auch für die Addition und Subtraktion von Zahlen oder Stecken verwendet werden. Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt werden. 1 + 3 − 7 = −3 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 www.ibn.ch -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. März 2011 TG 3 1 3 2 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN ZAHLENSTRAHL, ZAHLENGERADE Seite 6 Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt werden. −5 + 9 − 7 = -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt werden. 8 − 16 + 10 = -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 www.ibn.ch -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.4 Seite Massvorsätze Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruchteile von Dekaden verwendet. Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka 3.1.4.1 Vorsatzzeichen Zehnerpotenz Vorsatz Vorsatzzeichen Zehnerpotenz Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Abgeänderte Basis-Einheiten Ausser den unter den Basisgrössen aufgeführten Einheiten sind auch weitere - verkleinerte oder vergrösserte Einheiten gesetzlich erlaubt. Längen Zeit Strom Gewicht www.ibn.ch 4. März 2011 7 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.5 Seite 8 Das griechische Alphabet Das griechische Alphabet umfasst 24 Buchstaben. Grossbuchstaben 1. Α 2. Β 3. Γ 4. ∆ 5. Ε 6. Ζ 7. Η 8. 9. Ι 10. Κ 11. Λ 12. Μ 13. Ν 14. Ξ 15. Ο 16. Π 17. Ρ 18. 19. Τ 20. Υ 21. 22. Χ 23. Ψ 24. Kleinbuchstaben ζ ι κ ν ξ ο υ χ ψ Transliteration a b g d e z ë (gespr. Ä) th i k l m n x o p r s t y (gespr. ü) ph (gespr. f) ch ps õ Geschichte unserer Buchstaben Das lateinische Alphabet wurde, über Vermittlung der Etrusker, aus dem westgriechischen Alphabet entlehnt. Das archaische lateinische Alphabet bestand aus 21 Buchstaben: A B C D E F Z H I K L M N O P Q R S T V X. Im deutschen Alphabet kommen noch die Buchstaben Ä ä, Ö ö und Ü ü sowie – außer in der Schweiz und Liechtenstein – der Kleinbuchstabe ß hinzu. In zahlreichen Sprachen wurde das lateinische Alphabet um diakritische Zeichen ergänzt (z. B. å, é, ï, ò, û), um weitere sprachspezifische Laute darstellen zu können. www.ibn.ch Name Zeta Iota Kappa Ny Xi Omikron Ypsilon Chi Psi Der Buchstabe A ist der erste Buchstabe des Alphabets. Bei den Griechen hieß dieser Buchstabe “Alpha”. Der zweite Buchstabe des Alphabets hieß “Beta”. Aus diesen beiden Buchstabennamen ist das Wort “Alphabet” zusammengesetzt. Das moderne lateinische Alphabet enthält 26 Zeichen. Diese sind (in Großbuchstaben): A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z; Und in Kleinbuchstaben: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z; 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.6 Seite 9 Prozent- und Promille Praxisbeispie Prozentwert Der Prozentwert wird immer als Faktor vom Ganzen (100%) berechnet. Beispiel 1 „Wirkungsgrad - Motorleistung“ G PV = P1 − P2 Grundwert G ist der angenommene 100%-Wert M P1 W Wert der mit dem Grundwert verglichen wird. Wieviel in absolutem Betrag ist dieser Wert vom Grundwert w% Prozentsatz [%] P‰ Promillsatz [‰] ∼ P2 PAb ⋅100% PAuf η% = „Differenzwert -Leistung“ ∆w Differenzwert Differenzwert Wieviel in relativem Betrag ist dieser Wert vom 100%-Wert Beispiel 2 „Differenzwert - Spannungsabfall“ UL ∆w% Prozentsatz der Differenz P2 − P1 ⋅ 100% P1 ∆P% = VL [%] RL I U1 V1 V2 U2 RV RL VL Bild 1.7.1 UL ∆u% = Achtung Negativer Endwert bedeutet eine Abnahme gegenüber dem Grundwert. Positiver Endwert entsteht bei einer Zunahme des Grundwertes (Beispiele: Leistungszunahme, Spannungszunahme und Temperaturzunahme). U1 − U 2 ⋅ 100% U1 Beispiel 3 „Differenzwert -Temperatur“ ϑ − ϑ20 ⋅ 100% ϑ20 ∆ϑ = ϑ − 20°C ∆ϑ% = ∆ϑ ∆ϑ R Bild 1.2.1 Rϑ ∆R R20 ∆R Rϑ ϑ P1 P2 PV U1 U2 ∆u ϑ1 ϑ2 ∆ϑ www.ibn.ch ϑ20 ϑ ϑ Anfangsleistung [W] Endleistung [W] Leistungsverluste [W] Anfangsspannung [V ] Endspannung [V ] Spannungsabfall [V ] Anfangstemperatur [°C] Endtemperatur [°C] Temperaturdifferenz [°C] 4. März 2011 TG 3 1 6 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROZENTRECHNEN 1 2 Srassensteigung Eine Strasse steigt auf einer Länge von 2 ,68 km um 215 m . Wie gross ist die Steigung in Prozent und Promille? Spannungsverbrauch Auf einer mit Gleichspannung betriebenen Leitung ist der Spannungsverbrauch 23V .Wie gross ist der Spannungverbrauch in %, wenn die Spannung am Leitungsanfang 230V beträgt? Seite 10 8 ,02% 80 ,2 ‰ 23% Analoges Voltmeter www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 6 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROZENTRECHNEN 3 4 Versicherungskosten Nach der Lehre mieten Sie sich eine Wohnung. Die Wohnungseinrichtung (Möbel, TV, PC, CD’s, ….) hat einen Wert von Fr. 25'000.--. Wie viel Versicherungsprämie müssen Sie jährlich zahlen, wenn die Prämie auf 3,5 ‰ des Wertes festgelegt ist? Prozent- oder Promillewerte Berechnen Sie die entsprechenden Werte der nachfolgenden Aufstellung (Rechnungsweg muss ersichtlich sein). 2 ,5% von Fr . 125. − Seite 11 87 ,5 Fr 3 ,125 Fr . 996 l 400 Fr . 30 m 83% von 1'200 l 0 ,8 ‰ von Fr .500' 000. − 15 ‰ von 2'000 m www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 6 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROZENTRECHNEN 5 Grundwert Berechnen Sie den jeweiligen Grundwert – dabei muss der Berechnungsweg ersichtlich sein. Seite 12 660 ,4 g 10'000 Fr . 9'200V 53% , W = 350 g 12 % , W = Fr .1200 − 25 ‰ , W = 230V 6 Prozentsatz Berechnen Sie den jeweiligen Prozentsatz – dabei muss der Berechnungsweg ersichtlich sein. 6 ,25% 40% 25% G = 12 kg , W = 750 g G = Fr . 75. − , W = Fr . 30 − G = 20 l , W = 5 dl www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 6 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROZENTRECHNEN 7 Seite 13 Prozenwerte aus Brüchen Wandeln Sie die nachfolgenden Brüche in Prozentwerte um. (z.B. ½=50%) 1 = 4 3 = 4 1 = 5 3 = 5 1 = 8 1 = 25 2 = 100 1 = 1000 8 Farbe mischen Ein Maler will ein Zimmer mit weisser Farbe, welche einen leichten Orangeton aufweisen soll, streichen. Nach Herstellerangaben muss er 1,5% rote Farbe zur weissen dazumischen. Wie viel rote Farbe in ml wird benötigt, wenn er 2 Liter weisse Farbe verwendet. www.ibn.ch 30 ml 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Seite 14 3.1.7 Mathematische Zeichen (nach DIN 1302) Beschreibung Beispiel + plus, und 3+4=7 - minus, weniger 5−3 = 2 x⋅ mal, multipliziert 2 ⋅ 6 = 12 : geteilt durch, dividiert 12 =4 3 = gleich 11 = 3 + 8 ≡ identisch gleich 5≡5 ≠ ungleich, nicht gleich 5≠7 ≈ nahezu gleich, rund, etwa 1 ≈ 0,333 3 ∞ unendlich 1 =∞ 0 < kleiner als 5<8 ≤ kleiner als oder gleich a≤b > grösser als 7 >1 absoluter Betrag 7 entspricht 1cm =ˆ 500N =ˆ Wurzel aus ∑ www.ibn.ch Summe (z.B. in einer Zeichnung) 9 =3 4 ∑ ai = a1 + a2 + a3 + a4 i =1 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Seite 15 3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen 3.1.8.1 Kopfrechnen „EINMALEINS“ Serie 1 Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des „Einmaleinstrainings“ in 10 Minuten zu lösen. 8⋅15 6 ⋅10 7 ⋅125 4 ⋅18 3 ⋅ 25 7 ⋅ 30 4 ⋅ 20 6 ⋅125 9 ⋅18 7 ⋅18 8 ⋅12 9 ⋅12 9⋅9 4⋅7 5⋅5 6 ⋅15 5 ⋅17 4 ⋅19 8 ⋅16 7 ⋅16 5 ⋅19 4 ⋅12 4 ⋅15 6 ⋅17 8 ⋅13 6⋅6 8⋅ 6 2⋅6 8 ⋅125 7⋅6 3 ⋅125 4 ⋅ 25 6 ⋅ 24 10 ⋅10 2⋅3 2 ⋅13 5 ⋅10 3 ⋅18 7 ⋅18 6 ⋅14 www.ibn.ch 4 ⋅18 2 ⋅ 21 3 ⋅ 22 3 ⋅ 23 4 ⋅ 22 9 ⋅11 5 ⋅12 7 ⋅11 4 ⋅13 7 ⋅ 20 7 ⋅ 24 8 ⋅15 7 ⋅17 9 ⋅ 80 9 ⋅ 30 30 ⋅ 2 6 ⋅ 25 40 ⋅ 6 70 ⋅ 6 80 ⋅ 6 90 ⋅ 60 70 ⋅ 3 4⋅7 6 ⋅ 70 70 ⋅ 7 8⋅7 7 ⋅ 80 90 ⋅ 7 8 ⋅ 80 9 ⋅125 8 ⋅125 300 : 3 400 : 5 6 ⋅ 24 100 ⋅10 20 ⋅ 3 2 ⋅130 5 ⋅100 30 ⋅ 8 125 ⋅ 8 6⋅6 12 : 12 12 ⋅12 88:11 9⋅23 28:4 7⋅88 560:8 80⋅6 480:6 50⋅9 390:3 110⋅7 480:12 15⋅6 150:5 5⋅8 40:10 44:11 4⋅75 300:5 9⋅11 180:3 7⋅20 250:5 400⋅2 240:2 12⋅9 15⋅10 336:3 22⋅2 17⋅9 50:2 35⋅2 7⋅16 2⋅24 6⋅6 990:11 100⋅11 11⋅11 560:7 320:40 480:60 180:3 720:90 450:9 240:40 240:8 420:6 540:90 630:7 180:9 210:3 480:80 280:4 560:80 320:8 210:7 720:8 240:60 63:9 280:7 350:5 360:4 99:11 100:10 49:7 25:5 36:6 16:4 126:3 648:8 153:3 819:9 486:6 36:6 240:3 90:30 140:20 600:5 9⋅125 8⋅125 7⋅125 3⋅125 3⋅24 9⋅15 16⋅2 190⋅2 350⋅2 360⋅2 370⋅2 470⋅2 70⋅100 1000 : 10 90⋅90 70⋅70 300:2 320:2 2⋅125 480:2 560:2 2⋅225 2⋅335 2⋅499 780:2 58:2 9⋅25 980:2 3⋅110 700:2 75⋅8 13⋅13 14⋅14 12⋅12 9⋅13 5⋅125 333:3 222:2 190:2 12⋅12 4. März 2011 TG 3 1 8 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN EINMALEINS DER ZAHLEN 3.1.8.2 Seite 16 Kopfrechnen „EINMALEINS“ Serie 2 Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des „Einmaleinstrainings“ in 10 Minuten zu lösen. 8⋅7 6⋅8 7⋅6 4⋅8 3⋅9 7⋅3 4⋅9 6⋅9 9⋅6 7⋅8 8⋅8 9⋅8 9⋅9 4⋅7 5⋅5 6⋅5 5⋅7 4⋅8 8⋅6 7⋅6 5⋅9 4⋅6 3⋅8 6⋅9 8⋅9 6⋅6 8⋅6 2⋅6 8⋅3 7⋅6 3⋅3 4⋅5 6⋅4 10⋅10 2⋅3 2⋅13 5⋅10 3⋅8 7⋅8 6⋅9 www.ibn.ch 4⋅8 2⋅11 3⋅12 3⋅13 4⋅12 9⋅11 5⋅12 7⋅11 4⋅13 7⋅20 7⋅19 8⋅15 7⋅17 9⋅80 9⋅30 30⋅2 6⋅30 40⋅6 70⋅6 80⋅6 9⋅60 70⋅3 4⋅7 6⋅70 70⋅7 8⋅7 7⋅80 90⋅7 8⋅80 9⋅8 8⋅6 30:3 400:5 6⋅4 100⋅10 20⋅3 2⋅130 5⋅100 30⋅8 7⋅8 2⋅6 12:4 6⋅12 88:11 9⋅3 28:4 7⋅8 56:8 8⋅6 48:6 5⋅9 39:3 11⋅7 48:12 5⋅6 15:5 5⋅8 40:10 44:11 4⋅7 30:5 9⋅11 18:3 7⋅9 25:5 4⋅2 240:2 2⋅9 5⋅10 36:3 2⋅2 17⋅2 50:2 35⋅2 7⋅6 2⋅4 3⋅6 99:11 10⋅11 11⋅11 560:7 320:40 480:60 180:3 720:90 450:9 240:40 240:8 420:6 540:90 630:7 180:9 210:3 480:80 280:4 560:80 320:8 210:7 720:8 240:60 63:9 28:7 35:5 36:4 99:11 100:10 49:7 25:5 66:6 16:4 12:3 64:8 15:3 81:9 48:6 36:6 240:3 90:30 140:20 60:5 11⋅11 8⋅16 7⋅18 3⋅19 3⋅20 4⋅15 16⋅2 19⋅2 35⋅2 36⋅2 37⋅2 47⋅2 7⋅100 1000 : 10 8⋅90 70⋅5 300:2 320:2 2⋅95 480:2 560:2 2⋅225 2⋅335 2⋅499 780:2 58:2 3⋅25 980:2 3⋅110 700:2 70⋅8 6⋅13 7⋅14 10⋅12 9⋅13 5⋅70 333:3 222:2 190:2 12⋅12 4. März 2011 TG 3 1 8 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN EINMALEINS DER ZAHLEN 3.1.8.3 Seite 17 Kopfrechnen „EINMALEINS“ Serie 3 Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des „Einmaleinstrainings“ in 10 Minuten zu lösen. 12⋅15 12⋅10 8⋅125 11⋅18 15⋅25 7⋅30 18⋅20 6⋅125 9⋅18 7⋅18 8⋅12 9⋅12 19⋅9 14⋅7 15⋅5 15⋅15 5⋅17 4⋅18 8⋅16 7⋅16 15⋅19 12⋅12 15⋅15 6⋅15 812 6⋅6 8⋅8 2⋅2 9⋅125 7⋅16 3⋅125 4⋅25 6⋅24 10⋅10 2⋅3 13⋅13 15⋅10 3⋅18 7⋅18 6⋅14 www.ibn.ch 4⋅18 12⋅21 3⋅22 3⋅23 4⋅22 11⋅11 5⋅12 7⋅11 4⋅13 7⋅20 7⋅24 8⋅15 7⋅17 9⋅80 9⋅30 30⋅2 6⋅25 40⋅6 70⋅6 80⋅6 9⋅60 70⋅3 4⋅17 6⋅70 70⋅70 80⋅7 7⋅80 90⋅7 80⋅80 9⋅125 8⋅125 300:3 400:5 6⋅24 100⋅10 20⋅20 2⋅130 5⋅100 300⋅8 125⋅8 6⋅16 12:12 12⋅12 88:11 9⋅20 284:4 7⋅88 560:8 80⋅6 480:6 50⋅9 390:13 110⋅7 480:12 15⋅15 150:5 5⋅18 40:10 400:10 4⋅75 300:5 9⋅11 180:30 70⋅20 250:5 400⋅2 240:2 120⋅9 15⋅10 336:3 22⋅20 17⋅9 500:2 350⋅2 7⋅16 2⋅24 20⋅24 990:11 100⋅11 11⋅11 560:7 320:40 480:60 180:3 720:90 450:9 240:40 240:8 420:6 540:90 630:7 180:9 210:3 480:80 280:4 560:80 320:8 210:7 720:8 240:60 63:9 280:7 350:5 360:4 990:11 100:10 490:7 250:5 360:6 160:4 126:3 648:8 153:3 819:9 486:6 360:6 240:30 90:30 140:20 600:5 9⋅125 8⋅125 7⋅125 3⋅125 12⋅24 11⋅15 16⋅2 190⋅2 350⋅2 360⋅2 370⋅2 470⋅2 70⋅100 1000:10 90⋅90 70⋅70 3000:2 3200:2 20⋅125 480:2 560:2 2⋅225 2⋅335 2⋅499 780:2 580:2 19⋅25 980:2 11⋅110 700:2 75⋅8 13⋅13 14⋅14 12⋅12 9⋅13 5⋅125 333:3 222:2 190:2 12⋅12 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.9 www.ibn.ch Seite 18 Lampeneinteilung in einem Raum 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.10 www.ibn.ch Seite 19 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Seite 20 3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen Geschichte unserer Ziffern Der deutsche Gelehrte Gerbert de Aurillac (945 geboren) rechnet als erster mit arabischen Ziffern, die er in der spanischen Grenzmark kennengelernt hat – also mit den Zahlen „Westarabiens“. Diese fanden sehr schnell Eingang in die europäischen Gelehrtenstuben – die Null wurde erst im 12. Jahrhundert in die westliche Mathematik eingeführt („Null“ oder „leer“ ist die arabische Übersetzung des (indischen) Sanskritwortes sunya , welches die gleiche Bedeutung hat). Die Synthese griechischer und indischer Wissenschaft (mit babylonischen Erkenntnissen gewürzt) legte den Grundstein der arabischen Gelehrsamkeit und Wissenschaft, die in der Zeit vom 8. bis zum 12. Jahrhundert die glänzenste Periode erlebte. Kurz nach der Übernahme durch Gerbert „starb“ die westarabische Schreibweise der Ziffer aus und wir sind auf der ostarabischen Schreibweise der Ziffern „sitzengeblieben“ . Das arabische Reich teilte sich im 13. Jahrhundert in zwei Teile – der ostarabische Teil mit seinem Zentrum Bagdad und Damaskus und der westarabische Teil mit seinem kulturellem Zentrum in Cordova. So nahmen auch die Zahlen zwei unterschiedliche Entwicklungen. Die westarabische Ausprägung und die ostarabische Ausprägung. 1. Mit Hilfe der zehn kann man alle natürlichen Zahlen darstellen. 2. Zum Zählen benutzt man . 3. Jede Zahl besteht aus einer oder mehreren . 4. Schreiben Sie die zehn arabischen Ziffern nebeneinander auf. 5. Man nennt die Zahlen, die man zum Zählen der Dinge benutzt Zahlen. 6. Natürliche Zahlen sind immer Zahlen. 7. Buchstaben sind natürlichen Zahlen. 8. Buchstaben sind , Platzhalter für Grössen. 9. Der Ausdruck 0,25 ist natürlichen Zahlen, sondern ein 10. Die Zahl 29 ist . natürlichen Zahlen, und besteht aus zwei 11. Der Ausdruck 5 6 ist keine Zahlen, sondern ein 12. Der Wert 5170 ist eine Zahl. . . . 13. Welche nachfolgenden Zahlen sind 0,3; 121; www.ibn.ch 5 1 1 ; 2 ; ; 3; 5600 7 2 9 natürliche Zahlen. 4. März 2011 TG 3 1 11 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN NATÜRLICHE ZAHLEN UND BRUCHZAHLEN Seite 21 14. Welche Zahlen der folgenden Zahlenreihe sind keine natürlichen Zahlen und wie werden alle acht Zahlen bezeichnet? Zahl Antwort 1 Antwort 2 17 2 1 3 4,24 2 9 10 1500 7 5 π 15. Bezeichnen Sie die Grössen eines Bruches: 7 5 16. Brüche mit dem Zähler eins sind . 17. Schreiben Sie Stammbrüche auf: 18. Eine bildliche Darstellung von Zahlen nennt man auch www.ibn.ch . 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.12 Seite 22 Zahlengrössen 19. Zahlen in Verbindung mit Einheiten heissen 20. Das Ergebnis einer Grösse besteht aus Teilen: 3 3 Kilogramm kg + = 21. Die Grösse „7 kg“ hat die Einheit . 22. Die Grösse „30 Fr.“ hat den Wert . 23. Bei der Grösse „12,7 min.“ ist die Einheit der Zahlenwert und . 24. Die natürlichen Zahlen und die positiven Bruchzahlen nennt man zusammen . 25. Grössen entstehen durch Messen, z.B.: 15 cm , 12 kg , 20 min . , 15 m 2 und 284 K . Welche der folgenden Angaben sind durch Messen entstanden: 8 Tische 14m 3 15dm 2 3 Planeten 7m 24 Ω 19 Bücher 36 V 6 ,5 kg 2 Leitern 26. Welches der nachfolgenden Werte sind gleichartige Grössen, die zusammengefasst werden können? 7 Fr . 145 K 5 kg 25 kg 17c m 200 g 16 kg 20 mg 205 °C 1 MΩ Zusammenfassung: www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 12 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN ZAHLENGRÖSSEN Seite 23 27. Die Angabe 3 1 ist eine: 2 Zahl Dezimalbruch Grösse Positive rationale Zahl Gemischte Zahl Stammbruch Echter Bruch Bestimmte Zahl Unechter Bruch 28. Ist 17 cm eine Zahl oder eine Grösse? 29. Unterscheiden Sie zwischen Grössen und Zahlen bei den nachfolgenden Angaben: Werte Zahl Grösse 0,12 9cm2 3 min . 3 1 4 21 Fr . 11,2 273,14 K 1200 www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.13 Seite 24 Symbole für Zahlen 1. Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen, werden immer Länge und Breite miteinander multipliziert. Diese Gesetzmässigkeit kann man auch durch Symbole, z.B. Buchstaben, ausdrücken: a b A Länge [m ] Breite [m ] Fläche [m2 ] Berechnung in Worten. Formelgleichung 2. Wie nennt man die Buchstaben in Gleichungen: . 3. In Zukunft werden wir diese Buchstaben 4. Die Zahlen nennen. 1 , 4 min . , 15 ,6 cm , 16 heissen 7 Zahlen. 5. Die Buchstaben a , b , c , d , x , y , usw. nennt man . 6. Welche der folgenden Angaben sind Variablen? 4Fr . 0 ,12 15 4m 2 a β 3 1 5 P x 7. Für den Rauminhalt eines Zimmers gilt: l b h V Länge [m ] Breite [m ] Höhe [m ] Volumen, Rauminhalt [m3 ] Berechnung in Worten. Die gegebene Gesetzmässigkeit soll durch Variablen ausgedrückt werden und dabei sollen in der Endformel folgende Platzhalter verwendet werden: l , b , h und V Formelgleichung www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 13 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN SYMBOLE FÜR ZAHLEN Seite 25 8. Berechnen Sie die Fläche A eines Dreiecks für: c = 15 cm hC = 6 cm 9 hC c Grundseite hC Höhe auf der Seite A Fläche [m ] c [m ] [m2 ] Variablenwerte einsetzen Berechnen Sie die Masse m der folgende algebraische Gleichung ( a + b + c ) durch einsetzen der Variablenwerte: a = 5 kg , b = 6 kg und c = 8 kg . www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 13 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN SYMBOLE FÜR ZAHLEN 10 Seite 26 Einsetzen von mehreren Werten in Variablen Berechnen Sie die nachstehende Aufgabe indem Sie für x = 5 , y1 = 3 , a = 4 , y 2 = 0 und z = 7 einsetzen. x + y1 + a + x + z + y 2 = www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.14 Seite 27 Grafische Darstellungen Die Basis aller grafischen Darstellungen ist die Wertetabelle. Aus der Wertetabelle wird anschliessend ein Diagramm erstellt. Die drei wichtigsten Diagrammtypen sind nachfolgend anhand je eines Beispiels dargestellt. Liniendiagramm Balken- / Säulendiagramm S [km] 20 16 12 v = 8 s t 4 t 0 1 2 3 [h] Durch Liniendiagramme können Funktionen und Messungen veranschaulicht werden. Tortendiagramm Ein Säulendiagramm (vertikal) oder ein Balkendiagramm (horizontal) wird meistens für einfache Vergleiche verwendet. Sankey-Diagramm Ein Sankey-Diagramm ist eine graphische Darstellung von Mengenflüssen. Anders als beim Flussdiagramm werden die Mengen durch mengenproportional dicke Pfeile dargestellt. Sankey-Diagramme sind wichtige Hilfsmittel zur Visualisierung von Energie- und Materialflüssen sowie von Ineffizienzen und Einsparpotenzialen im Umgang mit Ressourcen. Energiekonzept für ein Gebäude Tortendiagramme dienen zum Aufzeigen der prozentualen Verteilung ausgehend vom Grundwert (100%). www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN Seite 3.1.15 Mittelwerte 3.1.15.1 Atithmetische Mittelwert 28 Merke: Praktische Anwendung Mittlerer Durchmesser einer Spule dm Arithmetrisches Mittel di da 3.1.15.2 Geometrische Mittelwert Merke: Geometrisches Mittel f0 = 995 H z Nr. 1 Praktische Anwendung Nr. 1 f1 = 300 Hz f 2 = 3' 300 H z Telefonübertragungsbereich in logarithmischer Einteilung. Die Mittenfrequenz ist 995 Hz. Der Abstand von 300 Hz bis 995 Hz ist gleich dem Abstand von 995 Hz bis 3300 kHz. Der Frequenzbereich 300 Hz bis 3,3 kHz ist die Bandbreite der Übertragung von 3 kHz. Manchmal geht der Telefonbereich sogar bis 3,4 kHz. Als Beispiel wurden hier die Grenzfrequenzen einer Telefonübertragung vorgegeben: f1 = 300 Hz und f2= 3300 Hz, wobei die richtige Mittenfrequenz f0 = 995 Hz als geometrisches Mittel ist und nicht die 1800 Hz der Berechnung des arithmetischen Mittels. Was für ein Unterschied! Praktische Anwendung Nr. 2 Nr. 2 f1 = 20 Hz f 0 = 632 ,5 Hz Hörbereich in logarithmischer Einteilung. Der Abstand von 20 Hz bis 632 Hz ist gleich dem Abstand von 632 Hz bis 20 kHz. Siehe die angegebenen Punkte. www.ibn.ch f 2 = 20' 000 Hz Der Hi-Fi-Hörbereich ist von f1 = 20 Hz und f2 = 20000 Hz angegeben, wobei die richtige Mittenfrequenz f0=632,5 Hz - als geometrisches Mittel ist und nicht die 10,010 kHz aus der Berechnung des arithmetischen Mittels. Dieses ist häufig nicht klar! 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.16 Seite 29 Proportionen Merke: Das Produkt der äusseren Glieder einer Proportion ist gleich dem Produkt der innenren Glieder. 1 Man zerlege die Zahl 63 in zwei Teile, die sich zueinander wie x : y = 6 : 8 verhalten. www.ibn.ch x = 27 Y = 36 4. März 2011 TG 3 1 16 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROPORTIONEN 2 Die Differenz aus 12 und einer Zahl verhält sich zur Summe aus 18 und der gleichen Zahl wie 4 : 3 . Wie heisst die Zahl x ? 3 Die Luft besteht aus Sauerstoff und Stickstoff, und zwar im Gewichtsverhältnis von 24 : 76 . Wieviel Gramm beider Gase sind in 4 kg Luft enthalten? www.ibn.ch Seite 30 4. März 2011 TG 3 1 16 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROPORTIONEN 4 Wieviel wiegt ( mO , m N ) der in einem Zimmer von l = 4 ,5 m Länge, b = 3 ,5 m Breite und h = 4 m Höhe enthaltene Sauerstoff ( O ) und der Stickstoff ( N ), wenn das Gewicht von 1 l Luft m L' = 1,3 g / l beträgt und das Gewichtsverhältnis von Sauerstoff zu Stickstoff den Wert 24 : 76 hat? 5 Ein Behälter enthält 450 l Wasser und wird bei geöffnetem Hahn in 12 Minuten gefüllt. Wieviel Liter Wasser waren in dem Behälter nach 7 Minuten? www.ibn.ch Seite 31 4. März 2011 TG 3 1 16 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROPORTIONEN Seite 6 Ein Verkehrsflugzeug mit 420 km / h legt einen Weg in 55 min . zurück. Wieviel Zeit braucht eine neuzeitliche Reisemaschine mit 850 km / h für diesen Weg? 7 Für 100 g Lot braucht man 90 g Zinn und 10 g Blei. Wieviel g Zinn und Blei sind in 4 ,5 kg Lot enthalten? Lötzinn mit Sn/PbVerbindung www.ibn.ch 32 Lötkolben 4. März 2011 TG 3 1 16 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROPORTIONEN 8 Die Drehzahl zweier Riemenscheiben A und B verhalten sich wie 204 zu 286 . Welches Verhältnis steht zwischen den Durchmessern? Wie gross ist der Durchmesser von A , wenn der von B 240 mm beträgt? 9 Ein Elektromotor mit einer Drehzahl von 1400 1 / min und einer Riemenscheibe von 120 mm ∅ treibt eine Bohrmaschine mit einer Riemenscheibe von 340 mm . Wieviel Umdrehungen macht der Bohrer? Seite 33 Einzelteile der Ständerbohrmaschine 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fuß, Arbeitstisch höhenverstellbarer Bohrtisch Feststellhebel für die Höhenverstellung Maschinenschraubstock Bohrer Bohrfutter alter Art (spannen mit Bohrfutterschlüssel) Vorschubhebel Elektromotor Spannvorrichtung für die Keilriemen 10 Gehäuse mit "Gangschaltung" aus verschieden großen Riemenscheiben 11 grün: einschalten rot: ausschalten Tiefenanschlag 12 NIN __________ Wenn der Nottaster nicht an der Maschine vorhanden ist, sollte die Stromzufuhr an anderer Stelle in der Nähe der Bohrmaschine mit einem Nottaster unterbrochen werden können www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 16 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROPORTIONEN 10 Ein Elektromotor mit einer Drehzahl von 1440 1 / min soll eine Schleifscheibe von 60 mm ∅ antreiben. Die Schleifscheibe soll laut Angaben auf dem Pappring eine Umfangsgeschwindigkeit von 30 m / s haben, ihre Riemenscheibe hat 40 mm ∅. Welchen Durchmesser muss die Riemenscheibe des Motors erhalten? 11 Ein Elektromotor mit 960 1 / min hat ein Zahnrad mit 30 Zähnen. Über ein zweites Zahnrad mit 300 Zähnen treibt er eine Kurbelwelle an. Das Zahnrad auf der Kurbelwelle hat 48 Zähne. Wie hoch ist die Drehzahl der Kurbelwelle? Wie gross ist das Gesamtübersetzungsverhältnis? www.ibn.ch Seite 34 4. März 2011 TG 3 1 16 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN PROPORTIONEN 12 Auf einer Zeichnung mit dem Massstab 1 : 20 werden folgende Masse gemessen: 3,4 cm , 5 ,6 cm , 12 mm und 15 ,8 cm . Wie gross sind die Masse in Wirklicheit? 13 Ein Tauchsieder erzeugt bei einer Stromstärke von I1 = 2 A eine Wärmemenge Q1 = 3433 J . Berechnen Sie die Qärmemenge Q2 , die ein Tauchsieder bei einer Stromstärke I 2 = 4 ,5 A erzeugt. (Bei gleichem Widerstand ist die in einem Leiter erzeugte Wärmemenge dem Quadrat der Stromstärke verhältnisgleich: Q1 : Q2 = I12 : I 2 2 ) www.ibn.ch Seite 35 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.17 Seite 36 Absoluter Betrag Unter dem absoluten Betrag einer Zahl a versteht man ihren Wert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen, geschrieben a . 3.1.17.1 Rechenregeln a) a ± b ≤ a + b b) a ± b ≥ a − b c) a − b ≤ a − b d) a ⋅ b = a ⋅ b e) a − b ≤ a ±b a ±b ≤ a + b a a = b b www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3.1.18 www.ibn.ch Seite 37 Zahlenbereiche 4. März 2011 TG 3 1 18 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN ZAHLENBEREICHE Seite 38 Beispiel 1 Durch x < 3 wird verlangt, dass x nur Werte zwischen -3 und +3 annehmen darf (Intervall): −3< x <3 Beispiel 2 Durch x − a ≤ ε wird ein abgeschlossenes Intervall der Breite 2ε in der Umgebung des Wertes a (Punktes a) gekennzeichnet. Beispiel 3 Die Gleichung a + b ≥ a + b wird auch als Dreiecksungleichung bezeichnet. Sie besagt, dass die Summe zweier Dreiecksseiten stets grösser als die dritte Seite ist. www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 18 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN ZAHLENBEREICHE Seite 39 Beispiel 4 Gesucht ist die grafische Darstellung von: x + y ≤4 Y 7 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 X 1 -1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 -6 -7 www.ibn.ch 4. März 2011 TG 3 1 18 TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATIK ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN ZAHLENBEREICHE Beispiel Seite 40 5 Gesucht ist die grafische Darstellung von: y = 2⋅ x Y 7 6 5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 X 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 -6 -7 www.ibn.ch 4. März 2011
