Lösung - Universität des Saarlandes

1. 12. 2011
Prof. Martin H. Müser, Dr. Dmitriy Shakhvorostov
Lehrstuhl f. Materialsimulation
Universität des Saarlandes
2. Quiz inclusive Musterlösung
Physik I für MWWT
Name:
Matrikelnummer:
Suchen Sie sich drei aus den vier gestellten Aufgaben aus. Wenn Sie alle Aufgaben probieren, werden wir
die besten drei werten.
Schreiben Sie auf jedes Blatt, das Sie abgeben, ihren Namen und Matrikelnummer.
1. Partielle Ableitung
(a) Zeigen Sie, dass
Lösung:
p
∂r
x
= , wobei r = x2 + y 2 + z 2 .
∂x
r
[5 Punkte]
1
1
∂ 2
1
x
x
=
(x + y 2 + z 2 ) 2 = (x2 + y 2 + z 2 )− 2 · 2x = p
2
2
2
∂x
2
r
x +y +z
(b) Unter Verwendung der Gleichung aus Aufgabenteil (a), berechnen Sie
∂ 1
r 2
.
1+
∂x 2
a
Lösung:
r 2
1
r 1 x
x
x
xr + xa
∂ 1
1+
=2·
1+
= 2+
=
∂x 2
a
2
a ar
a
ar
a2 r
[5 Punkte]
2. Feldenergie einer Punktladung
Eine Punktladung Q sitze im Schwerpunkt einer Kugelschale mit innerem Radius Ri und äußerem
Radius Ra . Berechnen Sie unter Verwendung des Coulombschen Gesetzes die elektrische Feldenergie, die Q in der Kugelschale erzeugt. Hinweis: Die Oberfläche einer Kugel mit Radius R ist 4πR 2 .
Damit ist das Volumen einer infinitesimal dünnen Kugelschale ∆V = 4πR 2 ∆R. Die Energiedichte
des elektrischen Feldes ist ∆U/∆V = 0 E · E/2
[10 Punkte]
Lösung:
Wir integrieren die Energiedichte über das Volumen der Schale, um die Feldenergie darin zu bestimmen. Das Volumen der infinitesimalen Kugelschale ist gegeben durch
∆V = 4πR2 ∆R ⇒ dV = 4πR2 dR.
Die Energiedichte ist beschrieben mit (wir können das Skalarprodukt mit einem einfachen Produkt
der Feldstärken ersetzen, weil die Vektoren zueinander parallel sind, cos α = 1)
∆U
1
= 0 E 2 .
∆V
2
Feldstärke einer Punktladung ist beschrieben durch das Coulomb Gesetz
E(R) =
Q 1
.
4π0 R2
Jetzt integrieren wir über das Volumen mit dem Einsatz von dV = 4πR 2 dR
Z Ra
Z Ra
1
1
Q2 1
2
2
0 E (R) · 4πR dR =
0
· 4πR2 dR
2 4
2
Ri 2 16π 0 R
Ri 2
Z Ra
1 Q2
R−2 dR
=
8 π0
| Ri {z
}
1
1
a
=−R−1 |R
R =− R + R
a
i
1 Q2
=
8 π0
1
1
−
Ri Ra
i
3. Innere E-Feld eines geladenen Drahtes
Gegeben sei ein als unendlich lang genäherter Draht mit endlichem Radius Ra , der eine Ladungsdichte
ρ = α · r habe, wobei r den Abstand eines Punktes von der Symmetrieachse des Drahtes bezeichne.
Demzufolge gilt für die Einheit der Konstante α: [α] =C/m4 .
(a) Stellen Sie eine Einheitenanalyse an, mit der Sie angeben, mit welchem Potenzgesetz r β das
elektrische Feld im inneren des Drahtes anwachsen muss.
[3 Punkte]
Lösung:
Aus dem Coulomb-Gesetz wissen wir, dass E ∝ 1/0 . Der 1/0 Vorfaktor wird auch in der
neuen Gesetzmäßigkeit auftreten. Da für eine Punktladung E ∝ Q/(0 R2 ) muss:
1 C
[0 ] m2
1
=
[α] rβ ⇒ nach Vergleich mit 1. Zeile: [r β ] = m2 .
[0 ] |{z}
[E] =
=C/m4
Somit ist β = 2 und E ∝ r 2 .
H
(b) Leiten Sie nun unter Verwendung des Gaußschen Satzes dA · E = 10 Qeingeschlossen die E(r)
Gesetzmäßigkeit inklusive des Vorfaktors ab.
[7 Punkte]
Lösung:
~r sei ein Vektor, der senkrecht auf der Symmetrieachse des Drahtes stehe. Da die Feldstärke
~ ~r dA
~ Seite gibt es kein Fluss durch den ”Deckel” und den ”Boden” der zylindrischen
E
Gaußchen Fläche. Dabei
Z r
ASeite = 2πr · ∆z und Qein =
ρ(r) · 2πr∆z · dr.
0
Mit
ρ=α·r
errechnet sich die eingeschlossene Ladung zu
Z r
2
α · 2π · ∆z ·
r2 · dr = α π∆zr3
3
0
da
Z
r
0
1
1
r2 · dr = r3 |r0 = r3 .
3
3
Aus dem Satz errechnen wir nun die Feldstärke im inneren des Drahtes
1
2
E(r) · 2πr · ∆z = α · π∆z · r3
3
0
E(r) =
2
α
· r2 .
30
4. Konservatives Potenzial
Das elektrische Potenzial eines Atoms sei durch folgenden Ausdruck genähert:
V (r) =
−Q 1
exp(−r/a) mit a = 0.5 Å und Q = e.
4π0 r
(a) Ist V (r) ein Zentralpotenzial? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
[2 Punkte]
Lösung:
α
Das Potenzial V (r) = a · r β · eb·r hängt nur vom Abstand r ab, ist also ein Zentralpotential.
(b) Welche Energie, ausgedrückt in eV, benötigt man, um eine Elementarladung vom Abstand
r = a zu r → ∞ zu bewegen. e = 1, 602 · 10−19 C; 0 = 8, 85 · 10−12 C2 /(N·m2 ). Dies ist eine
grobe Abschätzung der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms.
[2 Punkte]
Lösung:
In einem konservativen Kraftfeld (konservativen Potenzial) hängt der Energiegewinn bzw. Verlust nur von End- und Anfangsposition der Teilchen ab. Damit
U = q · ∆V.
In unserem Fall
Q 1 −r/a
e
.
U = q(V (∞) −V (r)) =
| {z }
4π0 r
=0
Bei r = a
qQ 1
· .
4π0 a e
Da die Energie in eV gewünscht ist, können wir uns die Multiplikation mit q = e sparen. Mit
Q = e folgt somit:
e
1
1
UeV ==
·
≈ 10, 67 eV.
−10
4π0 0, 5 · 10
2, 7
U=
(c) Bestimmen Sie das elektrische Feld, das dieses Potenzial im Raum erzeugt.
Lösung:
Das elektrische Feld des Potentials wird wie folgt berechnet
~ r)x = − ∂V (r)
E(~
i
∂xi
[6 Punkte]
mit (i = 1, 2, 3) und (x = x1 , y = x2 , z = x3 ).
Den Abstand ermitteln wir mit r =
p
x21 + x22 + x23 . Die Feldstärke ist dann gegeben durch:
1
·
2x
∂V
(r)
Q
1
1
1
1
i
−r/a
−r/a
~ r )x = −
−2 3 ·e
=
+ · −
·e
· · 2xi ·
.
E(~
i
∂xi
4π0
r
r
a
2
r
Nach einigen rein algebraischen Umformungen erhalten wir die Komponenten der Feldstärke
Q −r/a xi 1 1
~
E(~r)xi = −
e
+
.
4π0
r2 r a
Oder in Vektorform
Q −r/a r̂ 1 1
~
E(~r) = −
e
+
4π0
r r a
mit Richtungsvektor r̂ =
3
x
x2 x3 , ,
.
r r r
1