Das elektrische Feld

Das elektrische Feld
1. In Muskel- und Nervenzellen besteht eine elektrische Spannung quer durch die Zellmembran. Die Größe der Spannung beträgt 90mV im Ruhezustand, die Dicke der
Membran beträgt 4 − 5nm. Berechne die Feldstärke, die über der Zellmembran
herrscht und bewerte das Ergebnis.
V
Lösung: E ≈ 2 · 107 m
, die Feldstärke ist größer als bei einem Blitz; die Durchschlagfeldstärke der
Membran ist sehr hoch
2. Ein durch Reibung aufgeladener Kamm trägt eine Ladung von Q = 10−7 C. Schätze
die Feldstärke in der Umgebung des Kammes ab.
Lösung: Oberfläche = 2· Fläche des Kammes ≈ 2 · (15cm · 2, 5cm) ≈ 10−2 m2 ⇒ σ = 10−5 mC2 ⇒
V
E = 12 εσ0 = 6 · 105 m
Der Wert ist plausibel, denn in der Nähe eines geladenen Kammes knistert es, d. h. die
Durchschlagsfeldstärke von Luft wird überschritten.
3. Zeichne für folgende Ladungensverteilungen die Feldlinien ein.
Quelle: Elektrodynamik Sommer 2003, Prof. Thomas Müller, Universität Karlsruhe,
Blatt 1
1
Lösung: .
4. Ein Öltröpfchen der Masse 3 · 10−11 g schwebt in einem Kondensator mit vertikalen
Feldlinien. Die Kondensatorspannung beträgt 7400V , der Plattenabstand 12mm.
Wie viele Elementarladungen sind auf dem Tröpfchen?
Lösung: 3
5. Finde im WWW fünf Seiten über Elmsfeuer. Davon sollten drei möglichst gut und
zwei möglichst schlecht sein. Nenne die Gründe für deine Bewertung.
Lösung:
6. Zeichne die Feldlinienbilder folgender Ladungsverteilungen (Leiter sind grau). Achte
auf Symmetrien.
2
Lösung:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
−
+
(c)
−
−
(d)
−
+ + + + + +
+ + + + + + + +
~ 1 (~r), .... , E
~ n (~r) seien die Feldstärken der Punktladungen Q1 , .... , Qn am Ort ~r.
7. E
Beweise das Superpositionsprinzip für Feldstärken:
~ r) =
E(~
n
X
~ ν (~r)
E
ν=1
Lösung: Das Superpositionsprinzip gilt für Kräfte und damit auch für Feldstärken (q ist eine Testladung am Ort ~r und F~ (~r) ist die Kraft auf q):
n
n
n ~
X
X
~
Fν (~r) X ~
~ r ) = F (~r) = 1 ·
E(~
=
F~ν (~r) =
Eν (~r)
q
q
q
ν=1
ν=1
ν=1
8. Welche Beschleunigung erhält eine kleine Alukugel der Masse m = 0,50 g mit der
?
Ladung Q = 2,0 · 10−9 C in einem elektrischen Feld der Feldstärke E = 4,0 · 104 N
C
3
Lösung: a =
F
QE
m
=
= 0,16 2
m
m
s
9. Eine Kugel der Masse m = 0,100 g trägt die Ladung Q = 5,00 · 10−8 C und hängt
an einem l = 2,00 m langen Faden. Die horizontale Auslenkung der Kugel in einem
waagrechten und homogenen elektrischen Feld der Stärke E beträgt x = 2,50 cm.
Berechne E!
Lösung: Die Kugel ist in Ruhe, d.h. die Gesamtkraft auf die Kugel ist null (F~F ist die Fadenkraft):
ϕ
~e + G
~ + F~F = 0
F
l
~F parallel zum Faden und aus
Damit ist −F
der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt
F~F
~e
F
QE
x
x
Fe
=
= =√
G
mg
y
l 2 − x2
E=
y
x
ϕ
xmg
N
√
= 245
2
2
C
Q l −x
−F~F
~
G
V
10. (a) Ein elektrisches Feld mit dem Betrag E = 3,00 · 104 m
zeigt in die Richtung von
~
P (−2,00 m 3,00 m 1,00 m) nach Q (−5,00 m − 3,00 m 4,00 m). Berechne E.
(b) Ein Flugzeug startet mit v = 2,30 · 102 km
genau nach NNO mit einem Steih
gungswinkel von ϕ = 22,5◦ gegen den Boden. Berechne ~v .
 
 
√
−→
−3
−1
1  
6 
PQ
= √
−6 =
−2
Lösung: (a) Der Einheitsvektor in Feldrichtung ist ~e =
|PQ|
6
3 6
3
1
  

−1,22 · 104
√ N −1
~ = E · ~e = 5000 6 −2 = −2,45 · 104  N
E
C
C
1
1,22 · 104
4
(b) ~e ist ein Einheitsvektor, der in die Richtung von ~v zeigt. Mit ϕ = 22,5◦ und |~e| =
1 folgt aus der Abbildung AB = cos ϕ und
damit


sin ϕ cos ϕ
~e =  cos2 ϕ 
sin ϕ
z
zr
~
r
e = |~e| =
=
s
N
yr
22,5◦
A
Probe:
q
oben
y
22,5◦
B
22,5◦
NNO
xr
sin2 ϕ cos2 ϕ + cos4 ϕ + sin2 ϕ =
AB = |~
e| · cos ϕ = cos ϕ
cos2 ϕ (sin2 ϕ + cos2 ϕ) + sin2 ϕ = 1
{z
}
|
x
O
1

 

sin ϕ cos ϕ
81,3
km
~v = v · ~e = v  cos2 ϕ  =  196 
h
sin ϕ
88,0
11. Informationstheoretisches Modell der elektrischen Wechselwirkung
In der Zeit ∆t sendet jede Elementarladung ∆n = α∆t Informationspakete (IPAs)
gleichmäßig in alle Richtungen verteilt aus.
Jedes Teilchen der Ladung q und der Masse
m hat pro Elementarladung die Antennen”
fläche“ A0 . Jedes IPA, das von einer Ladung
Q ausgesandt wurde und auf die gesamte Antennenfläche A des Teilchens trifft, übermittelt die Information (me ist die Elektronenmasse):
q
Q
A
m
r
v0 me
, wenn
Erhöhe deine Geschwindigkeit in meine Bewegungsrichtung um
”
m
du gleichnamig geladen bist wie mein Absender, sonst in die Gegenrichtung.“
(a) Beantworte zunächst folgende Fragen
• Wie viele IPAs ∆nQ sendet ein Teilchen A mit der Ladung Q in der Zeit
∆t aus?
• Welche Antennenfläche A hat ein Teilchen B der Ladung q?
• Wie viele IPAs ∆nq treffen auf Teilchen B, wenn AB = r ist?
• Welche Geschwindigkeitsänderung ∆v erfährt B in der Zeit ∆t?
und zeige dann, dass unser Modell das Coulombgesetz erklärt. Beweise dabei
den Zusammenhang A0 αv0 me ε0 = e2 .
(b) Wir nehmen an, dass eine Elementarladung pro Planckzeit tp = 1,35 · 10−43 s
ein IPA aussendet. Wie groß ist dann α? Für A0 wählen wir die klassische
”
Elektronenfläche“ A0 = 2,5 · 10−29 m2 . Berechne v0 .
5
(c) Welche Abweichungen vom Coulombgesetz ergeben sich mit unserem Modell
für große Entfernungen? Berechne dazu die Zahl der IPAs, die pro Sekunde
an der Wechselwirkung zweier Elektronen in der Entfernung r = 3,8 · 106 m
beteiligt sind. Vergleiche auch die Beschleunigungen aCoulomb und aIPA eines
der beiden Elektronen, die nach beiden Theorien zu erwarten sind.
Lösung: (a) ∆nQ =
Q
· α∆t
e
q
· A0
e
qA0 Qα∆t
qQA0 α∆t
A
∆nQ =
·
=
∆nq =
2
2
4πr
4πer
e
4πe2 r 2
v0 m e
qQA0 αv0 me ∆t
∆v = ∆nq ·
=
m
4πme2 r 2
∆v
A0 αv0 me qQ
Kraft auf B: F = ma = m ·
=
· 2 . Das entspricht genau dem
∆t
4πe2
r
Coulombgesetz, wenn
A=
ε0 =
e2
A0 αv0 me
oder
A0 αv0 =
e2
me ε0
ist.
1
1
m
e2
= 7,4 · 1042 ,
v0 =
= 1,7 · 10−11
tp
s
me ε0 A0 α
s
2
e A0 α
A0 α
1
∆nq
=
=
= 1,0
(c) A = A0 =⇒
2
2
2
∆t
4πe r
4πr
s
Die Wechselwirkung mit den IPAs erfolgt für große Entfernungen sprunghaft!
(b) α =
aCoulomb =
m
m
v0
e2
= 1,754 · 10−11 2 , aIPA =
= 1,724 · 10−11 2
2
4πε0 r me
s
1s
s
6