Freier Fall

Freier Fall
1. Der französische Fallschirmspringer Michel Fournier (geb. 14.05.1944) verfolgt seit
mehr als 10 Jahren das Ziel in ca. 40 000 m Höhe mit einem Stratosphärenballon aufzusteigen und von dort abzuspringen. Dabei will er vier Weltrekorde auf
einmal brechen. Ein Versuch am 25.08.2003 endete kurz vor dem Ballonstart als
die Ballonhülle riss. Am 27.05.2008 scheitert ein weiterer Versuch des wagemutigen
Franzosen, als ihm der Heliumballon, der ihn in die Lüfte tragen sollte, entwischte.
(a) Welchen Höhenunterschied müsste man ohne Luftwiderstand durchfallen, damit man die Schallgeschwindigkeit von 344 ms erreicht?
(b) Wie groß darf die Luftdichte höchstens sein, dass ein Körper der Masse 100kg,
der Querschnittsfläche A = 1, 0m2 und dem Widerstandsbeiwert cW = 0, 35
(Halbkugel) die Schallgeschwindigkeit vS = 344 ms erreicht, wenn die Luftwiderstandskraft sich aus FL = 12 · cW · A · ̺Luf t · v 2 errechnet. In welcher Höhe
ist diese Dichte etwa erreicht?
(c) Welche Größe (Volumen und Radius) müsste der mit Helium gefüllte Stratosphärenballon mindestens haben, damit er die Last von Ausrüstung und Ballonhülle von ca. 1000kg in 40 000m Höhe hebt? Wie viel Kilogramm Helium
muss man am Boden einfüllen?
Quelle: http://leifi.physik.uni-muenchen.de
Lösung: (a)
1
2
2 mv
= mgh ⇒ h =
v2
2g
=
(344 m
)2
s
m
2·9,81 2
s
= 6, 03 · 103 m
1
1
2
2 · cW · A · ̺Luf t · vm ⇒
2·100kg·9,81 2
2mg
= 0,35·1,0m2 ·(344sm
cW Av2
)2
s
(b) m · g =
= 47 mg3
̺L =
Dies ist in der natürlichen Atmosphäre etwa in 24000m Höhe erreicht.
(c) Im Kräftegleichgewicht ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft. Die Auftriebskraft ist genau so groß wie die Gewichtskraft der verdrängten Luft. Die Formelsammlung ergibt:
kg
Dichte von Helium unter Normalbedingungen: ̺He = 0, 179 m
3
kg
Dichte von Luft unter Normalbedingungen: ̺Luf t = 1, 293 m3
Dichte von Luft 40 000m Höhe: ̺Luf t = 4 mg3
He
= 0, 138 ist von der Höhe unabhängig.
Das Dichteverhältnis ̺̺Luf
t
mBallon · g + mHe · g = mLuf t · g ⇒
mBallon
= 290 · 103 m3 ⇒
VBallon = (1−0,138)·̺
Luf t
r = 41m ⇒ mHe = 121kg
2. Wie lange braucht ein Stein für den Fall von einem 60 m hohen Turm? Mit welcher
Geschwindigkeit prallt er auf den Boden?
g
Lösung: h = t2
2
=⇒
t=
s
2h
= 3,50 s
g
=⇒
v = gt =
p
2gh = 34,3
m
km
= 124
s
h
3. Ein Auto stürzt von einer Brücke in einen Fluss und hat beim Aufprall die Geschwindigkeit 20 ms . Wie hoch ist die Brücke?
Lösung: h =
v2
= 20,4 m
2g
4. Eine Kanonenkugel wird mit v0 = 200 ms senkrecht nach oben geschossen. Berechne
die maximale Höhe h, ihre Aufprallgeschwindigkeit va auf den Boden und die gesamte Flugdauer ta . Zeichne ein tx- und ein tv-Diagramm der gesamten Bewegung.
Lösung: h =
v02
= 2,04 km,
2g
va = −v0
Zeit bis zur maximalen Höhe: th =
v0
= 20,4 s
g
2
=⇒
ta = 2th = 40,8 s
v
x
km
m
s
200
2
40
0
10
t
s
30
20
1
−200
0
10
20
30
t
s
40
5. Eine Sylvesterrakete wird senkrecht nach oben geschossen; dabei wird ihr t0 = 3,00 s
lang die Beschleunigung a = 17,44 sm2 erteilt. Berechne die maximale Höhe h und die
gesamte Flugdauer. Zeichne ein tv- und ein tx-Diagramm des Fluges.
m
a
v0 = at0 = 52,32
Lösung: x0 = x(t0 ) = t20 = 78,48 m,
2
s
(
a 2
t = 8,72 sm2 · t2
x(t) = 2
x0 + v0 (t − t0 ) − g2 (t − t0 )2 = −4,905 sm2 · t2 + 81,75 ms · t − 122,625 m
(
für x ≦ t0
at = 8,72 sm2 · t
v(t) =
m
m
v0 − g(t − t0 ) = 81,75 s − 9,81 s2 · t für x > t0
Maximale Höhe h zur Zeit t1
=⇒
v(t1 ) = 0
=⇒
für x ≦ t0
für x > t0
t1 = 8,33 s
h = x(t1 ) = 218 m
Aufprall am Boden zur Zeit t2 : Entweder die quadratische
Gleichung lösen oder einfacher
s
2h
= 15,0 s
die Fallzeit aus der Höhe h zu t1 addieren: t2 = t1 +
g
Aufprallgeschwindigkeit: v2 = v(t2 ) = −65,4 ms
v
x
m
m
s
200
40
150
20
100
0
50
−20
−40
0
0
2
4
6
8
10
12
14
t
s
−60
3
2
4
6
8
12
14
t
s
6. Das Hochhaus dieser Aufgabe steht auf einem Planeten mit der Fallbeschleunigung
g = 10,0 sm2 . Ein Aufzug fährt an der Außenwand mit der konstanten Geschwindigkeit vA nach oben, zur Zeit t0 = 0 ist das
Kabinendach bei x0 = 0. Ebenfalls zur Zeit
t0 = 0 lässt ein Lausbub vom Dach des Hochhauses (x = h = 90,0 m) eine Stahlkugel
fallen, die das Aufzugdach zur Zeit t1 am
Ort x1 = 45,0 m trifft. Eine Dame im Aufzug, die ihr Handy H lässig aus dem Fenster
hält, lässt es beim Aufprall der Stahlkugel
vor Schreck fallen. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich das Handy genau einen Meter unter dem Aufzugdach.
x
t0 = 0
h
H
t1
x1
h
vA
0
Keller
Boden
t0 = 0
(a) Berechne t1 und dann vA . Mit welcher Geschwindigkeit v1 prallt die Kugel auf
das Dach des Aufzugs?
(b) Welche Geschwindigkeit vH1 hat das Handy zur Zeit t1 ? Zu welcher Zeit t2 ist
die Geschwindigkeit des Handies null? Welche maximale Höhe xH2 erreicht das
Handy und mit welcher Geschwindigkeit vH3 prallt es auf den Boden?
g
Lösung: (a) xk (t) = h − t21 = x1
2
vA =
=⇒
t1 =
m
km
x1
= 15,0 = 54,0
,
t1
s
h
s
2(h − x1 )
= 3,00 s
g
v1 = −gt1 = −30,0 ms = −108 km
h
m
s
vA
t2 = t1 +
= 4,50 s
g
Relativ zum Aufzug ist die Aufprallgeschwindigkeit v1 − vA = −45,0
(b) vH1 = vA ,
vH (t) = vA − g(t − t1 ),
vH (t2 ) = 0
=⇒
g
xH2 = xH (t2 ) = x1 − 1 m + vA (t2 − t1 ) − (t2 − t1 )2 = 55,25 m
| {z } | {z } 2
| {z }
44m
22,5 m
11,25 m
m 2
v = mgxH2
2 H3
=⇒
vH3 = −
p
√
m
m
km
2gxH2 = − 1105
= −33,2 = −120
s
s
h
7. Luftwiderstand
Zwei Autos haben gleiche Querschnittsfläche A = 2m2 , unterscheiden sich jedoch
im cW -Wert. Ein Auto hat cW = 0, 3, das andere cW = 0, 4. Berechne den Luftwi, 20 km
, · · · 130 km
und stelle das Ergebnis graphisch dar.
derstand bei 10 km
h
h
h
Lösung: .
4
5
8. In dem nebenstehenden Bild bewegt sich
James Bond mit seinem Aston–Martin auf
eine 70,0 m hohe Klippe zu. Er verlässt
die Klippe am Punkt A und kommt 100 m
vom Fußpunkt F der Klippe entfernt am
Punkt B auf.
A
bC
(a) Welche Horizontalgeschwindigkeit
hatte James Bond?
(b) Unter welchem Winkel schlägt der
Aston–Martin bei B auf?
bC
F
Lösung:
6
90 m
bC
B