Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt

8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt
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Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt
Matthias Borchardt, Bonn
Warum hat ein billiges Kaufhaus-Fernrohr ein besseres Auflösungsvermögen als das riesige Radioteleskop in Effelsberg?
Wie groß müsste ein Fernrohr sein, damit die Mondlandefähren, die von den Amerikanern auf dem
Mond zurückgelassen wurden, sichtbar würden?
Welche Bedingungen muss ein Mikroskop erfüllen,
um extrem kleine Bakteriophagen noch erkennen zu
können?
II/D
Fragen dieser Art lernen Ihre Schüler zu beantworten, indem sie sich die physikalischen Zusammenhänge zwischen der Beugung und dem Auflösungsvermögen schrittweise erarbeiten. Zwei kleine
Computersimulationen dienen dabei als dynamische Werkzeuge. Sie ermöglichen einen anschaulichen Zugang zum Thema.
© M. Borchardt
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Die Beugung verhindert
den exakten Blick
auf unsere Welt – immer!
Der Beitrag im Überblick
Klasse: 11/12
Dauer:
7 Stunden
Ihr Plus:
üstarker Anwendungsbezug
ü2 Computersimulationen
Inhalt:
• Beugung und Interferenz an Spalt und
Kreisblenden
• Auflösungsvermögen von Fernrohren
und Mikroskopen
• Prüfungsaufgaben
37 RAAbits Physik November 2014
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Fachliche und didaktisch-methodische Hinweise
Fachlicher Hintergrund
II/D
Die Beugung als typisches Wellenphänomen wird in der Oberstufe im Rahmen der Wellenoptik behandelt. Sie gehört zum Lehrplan eines Grund- und Leistungskurses. Oft bleibt
es allerdings bei einer eher theoretischen Betrachtung des Phänomens. Dass Beugung
die Ursache für das begrenzte Auflösungsvermögen optischer Geräte ist, wird meist nur
kurz gestreift, obwohl über die physikalisch-technischen Aspekte hinaus diesem Thema
auch interessante erkenntnistheoretische Fragestellungen innewohnen. Beugung verhindert nämlich den exakten Blick auf unsere Welt – sowohl im makroskopischen wie auch
im mikroskopischen Bereich. Selbst wenn wir schnelle Elektronen als „Sondenteilchen“
einsetzen, um kleine Strukturen weiter aufzulösen, unterliegen wir aufgrund der Welleneigenschaften bewegter Teilchen dieser wellenphysikalischen Begrenzung. Letztendlich
lässt sich sogar die Heisenberg‘sche Unschärferelation ( ∆x ⋅ ∆p ∼ h) mit dem Phänomen
der Beugung in Zusammenhang bringen.
Hinweise zur Gestaltung des Unterrichts
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Die Materialien M 2–M 4 bauen aufeinander auf und sollten daher in der vorliegenden
Reihenfolge behandelt werden. Es hat sich bewährt, dass die Schüler die Arbeitsblätter
in Partnerarbeit studieren. Ob Sie die Lösungen einsammeln und bewerten oder nicht,
steht Ihnen frei.
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Binnendifferenzierung
Für Experten bzw. schnelle/interessierte Schüler dient das Thema „Beugung an Mikroskop-Objektiven“ (M 5).
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Computer mit Internetzugang notwendig
Für die Bearbeitung der Materialien sind manchmal Rechercheaufträge auszuführen. Auch
verwenden Ihre Schüler zwei Computerprogramme als Arbeitsmittel. Sie sind nützliche
Werkzeuge, um die physikalischen Zusammenhänge dynamisch und anschaulich darzustellen. Daher ist es notwendig, dass Ihre Schüler einen Arbeitsplatz mit Internetzugang
haben.
V
Voraussetzungen für die erfolgreiche Durchführung der Unterrichtseinheit
Ihre Schüler
– sind mit den Grundlagen der Wellenoptik vertraut,
– haben die Beugung und Interferenz von Licht am Einzelspalt im Unterricht kennengelernt,
– wissen, wie es zu Maxima und Minima bei der Intensitätskurve hinter einem Einzelspalt
kommt, und können die physikalischen Zusammenhänge erklären,
– haben eine Formel zur quantitativen Beschreibung der Minima im Unterricht behandelt
und angewendet.
Das für die Bearbeitung der Materialien notwendige Basiswissen wird im Wiederholungsblatt (M 1) noch einmal zusammenfassend dargestellt und erklärt.
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Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz
Allg. physikalische
Kompetenz
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Anforderungsbereich
Die Schüler …
F 1, F 2, E 2,
E 3, K 1
… wiederholen wellentypische Phänomene wie
die Beugung am Einzelspalt,
I
F 4, F 5, E 1,
E 2, E 3, K 5
… erfahren, wie das Rayleigh-Kriterium zur
Definition des Auflösungsvermögens optischer
Öffnungen lautet, und wenden dieses Wissen in
neuen Kontexten an,
II, III
F 1, F 2, F 3,
F 4, E 1, E 2,
K 1, K 3, K 5
… erarbeiten, von welchen Parametern das Auflösungsvermögen von Fernrohren und Mikroskopen abhängt.
II, III
II/D
Für welche Kompetenzen und Anforderungsbereiche die Abkürzungen stehen, finden Sie
auf der beiliegenden CD-ROM 37.
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Mediathek
Zwei Simulationsprogramme:
http://www.mabo-physik.de/beugung_und_aufloesungsvermoegen.html
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Beugung am Einzelspalt (auch für Schüler geeignet):
http://www.abi-physik.de/buch/wellen/beugung-am-einfachspalt/
Auflösungsvermögen von Mikroskop-Objektiven:
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https://lp.uni-goettingen.de/get/text/5616
http://www.univie.ac.at/mikroskopie/1_grundlagen/mikroskop/objektiv/10_beschriftung.
htm
V
http://www.spektrum.de/lexikon/physik/aufloesungsvermoegen/961
Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York 2007. S. 354.
Spionagesatelliten:
Foto: Max-Planck-Institut für Radioastronomie
http://de.wikipedia.org/wiki/Spionagesatellit
Radioteleskop Effelsberg
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Materialübersicht
· V = Vorbereitungszeit
SV = Schülerversuch
Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt
· D = Durchführungszeit
LV = Lehrerversuch
Fo = Folie
M1
Die Beugung am Einzelspalt – frischen Sie Ihr Wissen auf!
· V: 5 min
· D: 45 min
M2
Scheibchenweise – Sterne im Fernrohr
· V: 5 min
· D: 45 min
II/D
M3
rTaschenrechner
rComputersimulationen
Doppelt! – Oder etwa doch nicht?
· V: 5 min
· D: 45 min
M4
rTaschenrechner
rInternet
rComputersimulationen
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Scharf sehen – eine Sache von Größe (LEK)
· V: 5 min
· D: 90 min
M5
rTaschenrechner
rInternet
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Verschleiert – Strukturen der Mikrowelt
· V: 5 min
rTaschenrechner
· D: 45 min
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M6
Das Auflösungsvermögen von Fernrohren – LEK
· V: 5 min
V
rTaschenrechner
· D: 60 min
Die Erläuterungen und Lösungen zu den Materialien finden Sie ab Seite 13.
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M1
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Die Beugung am Einzelspalt – frischen Sie Ihr Wissen auf!
Die Beugung am Einzelspalt
© M. Borchardt
Trifft kohärentes, monochromatisches Licht auf einen
Einzelspalt, so entsteht auf dem Beobachtungsschirm
eine Intensitätsverteilung, die ein ausgeprägtes Hauptmaximum und sehr schwache Nebenmaxima auf weist.
Bei der Erklärung dieses Phänomens ist die Entstehung
des ersten Minimums von besonderem Interesse, denn
dessen Lage bestimmt die Ausdehnung des Hauptmaximums auf dem Schirm und damit das Auflösungsvermögen von optischen Öffnungen. Im Weiteren soll
daher die Frage beantwortet werden, wie dieses erste
Minimum entsteht und unter welchem Winkel es zu finden ist.
II/D
Huygens‘sches Prinzip
Gerade Wellenfronten treffen auf einen Einzelspalt. Nach dem Huygens‘schen Prinzip ist
jeder Punkt einer Wellenfront innerhalb der Öffnung Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Dort, wo auf dem Beobachtungsschirm das erste Minimum zu erkennen ist, überlagern sich die Elementarwellen offenbar so, dass sie sich gegenseitig komplett auslöschen.
Diese destruktive Interferenz lässt sich verstehen, wenn wir in Gedanken die Reihe der
Elementarwellenerzeuger in zwei Hälften teilen und überlegen, wie die Wellen im Auftreffpunkt miteinander interferieren (s. Abb.).
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Dazu wählen wir den Winkel α so, dass zwischen den Elementarwellen 1 und 6 ein Gangunterschied von λ/2 entsteht. Dann nämlich löschen sich diese beiden Wellen aus. Der
Gangunterschied λ/2 gilt aber auch für das „Wellenpaar“ 2 und 7 genauso wie für 3 und
8, aber auch für 4 und 9 usw. Jede Elementarwelle aus der oberen hat also einen „Partner“ in der unteren Hälfte, mit dem zusammen sie sich auslöscht.
A
R
O
Die beschriebene Situation tritt genau dann ein,
wenn zwischen den Rand-Elementarwellen (hier
1 und 11) ein Gangunterschied von λ besteht.
Daraus ergibt sich die folgende mathematische
Bedingung für die Entstehung des ersten Miniλ
mums: sin(α) = , wobei D die Breite des SpalD
tes ist (vgl. Abbildung).
V
i
nM
te
zum
ers
α
D
λ/2
λ
© M. Borchardt
In ähnlicher Weise lässt sich das Auftreten
des zweiten Minimums erklären – das Wellenbündel wird dabei in vier Teilbündel aufgeteilt.
Auslöschung findet dann statt, wenn zwischen
den Randwellen ein Gangunterschied von 2 ⋅ λ
besteht.
um
nim
α
Bei den Nebenmaxima stellt man sich vor, dass
das Wellenbündel in eine ungerade Anzahl von
Teilbündeln zerlegt wird. Bei bestimmten Winkeln führt das dazu, dass sich eine gerade Anzahl
von Teilbündeln auslöscht (s. Erklärung des ersten Minimums), ein Teilbündel aber übrig bleibt.1
1
Auch wenn die oberen Ausführungen die Entstehung der Intensitätsverteilung sehr anschaulich begreiflich machen,
sollte nicht unerwähnt bleiben, dass es sich hierbei um ein sehr vereinfachendes Modell handelt, das nur bedingt
in der Lage ist, die Intensitätskurve quantitativ zu beschreiben. Dies ist nämlich nur mit mathematisch aufwendigen
Verfahren möglich, die allerdings in der Schule nicht zur Verfügung stehen.
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b) Nun betrachten wir die Situation unter Berücksichtigung der Beugung an der Objektivöffnung. Der Durchmesser des Beugungsscheibchens auf der Fotoplatte wird begrenzt
durch das erste Minimum der Beugungsigur.
Zur Erinnerung
Für den Winkel α, unter dem das erste Minimum hinter einem
Einzelspalt zu inden ist, gilt die Beziehung:
λ
sin(α) = ,
D
wobei D der Durchmesser (Breite) der Öffnung ist. Oben wurde bereits erwähnt,
dass sich bei einer kreisförmigen Öffnung die Lage des ersten Minimums etwas verschiebt. Daher gilt für Kreisblenden eine leicht abgewandelte Formel, nämlich:
λ
sin(α) = 1,22 ⋅ .
D
II/D
Berechnen Sie nun, welchen Durchmesser dB das Beugungsscheibchen bei einem Fernrohr mit einer Öffnung von 15 cm und einer Brennweite von 2 m hat. Das Licht des
Sterns soll eine Wellenlänge von 500 nm aufweisen.
T
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Gehen Sie davon aus, dass das Bild des Beugungsscheibchens ungefähr in der Brennebene des Fernrohrobjektivs, also im Abstand von 2 m von der Öffnung, entsteht.
Nehmen Sie die untere Abbildung zu Hilfe.
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Intensitätskurve
Beugungsscheibchen
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Objektivöffnung
© M. Borchardt
V
Beobachtungsebene
c) Wenn Sie richtig gerechnet haben, sollten Sie erkannt haben, dass ohne Beugungseffekte tatsächlich ein fast punktförmiges Bild des Sterns in der Beobachtungsebene
entstehen könnte. Beugung verhindert das.
Was Sie im Fernrohr sehen, entspricht keineswegs der Ausdehnung des Sterns, sondern es ist das Beugungsscheibchen des Sternenlichts. Eine höhere Vergrößerung des
Fernrohrs führt dann lediglich dazu, dass diese Beugungsscheibchen mitvergrößert
werden – ein Gewinn an Aulösung ist damit nicht verbunden. Die Größe des Scheibchens lässt also keine Aussagen über die Größe des Sterns zu – vielmehr wird die Ausdehnung des Beugungsscheibchens durch andere Parameter festgelegt.
Formulieren Sie die physikalischen Zusammenhänge abschließend noch einmal in prägnanten „Je … desto“ -Sätzen.
Je
die Öffnung des Teleskops ist, desto
Beugungsscheibchen.
Je
die Wellenlänge ist, desto
wird das
wird das Beugungsscheibchen.
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8. Wie Beugung das Aulösungsvermögen begrenzt
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M3
Doppelt! – Oder etwa doch nicht?
Punktförmige Lichtquellen, wie z. B. Sterne, werden in einem Fernrohr aufgrund von Beugung als kleine Scheibchen dargestellt (vgl. M 2). Dieses Phänomen begrenzt das Aulösungsvermögen des Fernrohrs – also dessen Fähigkeit, zwei benachbarte Gegenstandspunkte als zwei getrennte Punkte wahrzunehmen. Um dies zu verstehen, sollen zwei eng
zusammenstehende Sterne (Doppelsterne) betrachtet werden.
© M. Borchardt
II/D
Starten Sie das Programm „Kreisblende.exe“. Verändern Sie den
Winkelabstand der beiden Sterne. Sie sehen, dass die beiden
(gedachten) Sterne Beugungsscheibchen in der Bildebene des
Fernrohrs erzeugen. Wenn sich diese Beugungsscheibchen überlagern, kann es für den Beobachter schwierig werden zu entscheiden, ob er tatsächlich zwei Sterne oder nur einen im Teleskop sieht. Das folgende Kriterium – vom englischen Physiker
John Rayleigh (1842–1919) – ermöglicht, diese Frage quantitativ
zu entscheiden.
Merke: Das Rayleigh-Kriterium: „Zwei punktförmige Lichtquellen
können gerade noch als getrennt wahrgenommen werden, wenn
das Hauptmaximum der ersten Beugungsigur in das erste Minimum der zweiten Beugungsigur fällt.“
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Aufgaben
1. Stellen Sie das Rayleigh-Kriterium mithilfe des Computerprogramms für verschiedene
Fernrohröffnungen und Wellenlängen ein. Erklären Sie, wovon das Aulösungsvermögen eines Fernrohrs entscheidend abhängt.
A
R
O
2. Der Winkel, unter dem die beiden Sterne dem Beobachter noch gerade als getrennt
erscheinen, entspricht dem Winkel, unter dem das erste Minimum der Beugungsigur
auftritt. Dafür haben Sie bereits eine Formel kennengelernt (siehe M 2).
Es gilt nämlich:
λ
sin(α) = 1,22 ⋅ .
D
Da wir es in der Regel mit extrem kleinen Winkeln zu tun haben, lässt sich der Sinus
durch sein Argument ersetzen (Kleinwinkelnäherung), wobei wir den Winkel α im
Bogenmaß (RAD) angeben:
λ
α = 1,22 ⋅ .
D
Diese Formel eignet sich, um das Aulösungsvermögen eines Fernrohrobjektivs zu
beurteilen.
V
a) Berechnen Sie den Winkel α, unter dem ein astronomisches Fernrohr mit einem Objektivdurchmesser von 12 cm ein Doppelsternsystem (Sternfarbe: gelb, 580 nm) als solches wahrnehmen kann. Geben Sie den Winkel in Bogensekunden an. (Rechnen Sie
das Bogenmaß in Gradmaß um und beachten Sie, dass eine Bogensekunde der 3600.
Teil eines Grads ist.)
b) Stellen Sie die Situation im Computerprogramm ein und überprüfen Sie Ihr Ergebnis.
3. Ihre Rechnung liefert das theoretische Aulösungsvermögen. Erdgebundene Teleskope
erreichen aufgrund der Luftunruhe diese Werte in der Regel nicht. Inzwischen kommt
man aber dem theoretischen Wert sehr nahe, indem man bei großen, professionellen Teleskopen sogenannte „aktive Optiken“ (auch bekannt als „adaptive Optiken“)
verwendet.
Recherchieren Sie im Internet, wie diese aufwendige Technik funktioniert. Fassen Sie
das Wesentliche für Ihr Protokoll zusammen.
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8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt
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Scharf sehen – eine Sache von Größe (LEK)
Die folgenden Aufgaben können Sie lösen, wenn Sie sich die Erkenntnisse aus den vorherigen Materialien ins Gedächtnis zurückrufen.
Aufgabe 1
Ein Doppelsternsystem wird durch ein kleines Fernrohr beobachtet, dass einen Objektivdurchmesser von 8 cm hat. Die beiden Sterne werden gerade noch als getrennt wahrgenommen. Man weiß, dass das Sternsystem 650 Lichtjahre entfernt ist.
Berechnen Sie den Abstand der beiden Sterne voneinander. Geben Sie das Ergebnis in
Kilometern und in Lichtstunden an. (Nehmen Sie eine Wellenlänge von 500 nm an.)
Die Situation lässt sich näherungsweise wie in
der Abbildung darstellen. Beachten Sie, dass
der Winkel in Wirklichkeit sehr klein ist. Daher
dürfen Sie die Kleinwinkelnäherung tan(α) ≈ α
verwenden.
Stern 2
aS
α
II/D
Stern 1
e
T
H
C
Aufgabe 2
a) Das Hubble-Teleskop (D = 2,4 m), das sich in einer Erdumlaufbahn beindet, hat den
großen Vorteil, dass die Sicht auf astronomische Objekte nicht durch atmosphärische
Störungen beeinträchtigt wird und daher das theoretische Aulösungsvermögen
erreichbar ist. Berechnen Sie, welchen Abstand zwei Punkte auf der Mondoberläche
mindestens haben sollten, damit sie vom Hubble-Teleskop noch als getrennt wahrgenommen werden.
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Abstand zum Mond: 384 000 km, Wellenlänge des Lichts: 500 nm
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b) Es gibt Leute, die behaupten, die Amerikaner wären in den 60er- und 70er-Jahren des
letzten Jahrhunderts gar nicht auf dem Mond gelandet, sondern hätten die Mondlandung trickreich in einem Filmstudio auf der Erde gedreht. Diese Verschwörungstheorie
könnte man schnell entkräften, wenn man beispielsweise die Mondlandefähre (Abb. 1),
die immerhin 4,30 m breit und 6 m hoch war, mit einem Fernrohr auf der Mondoberläche ausmachen könnte. Wenn man sich mit einer Aulösung von ca. 20 cm in der
Abbildung der Mondoberläche zufrieden geben würde, könnte ein Bild der Fähre wie
etwa in der zweiten Abbildung entstehen.
© NASA
V
Berechnen Sie, welchen Durchmesser das Hubble-Teleskop haben müsste, um eine
Aulösung von 20 cm auf der Mondoberläche zu erreichen.
c) Wenn Sie richtig gerechnet haben, werden Sie festgestellt haben, dass solche Spiegeldurchmesser völlig unrealistisch sind. Berechnen Sie, auf welche Entfernung man das
Hubble-Teleskop mit seinem 2,4 m-Spiegel zur Mondoberläche heranbringen müsste,
um eine Aulösung von 20 cm zu erhalten.
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Aufgabe 3
Ein Teleskophersteller wirbt mit der folgenden Anzeige für sein neues Amateurinstrument:
Einsteiger Linsen-Teleskop 70/700 mm auf Montierung
... ein komplettes Einsteigerteleskop – einfache Bedienung und viel Zubehör
Technische Daten:
– Öffnung: 70 mm / Brennweite: 700 mm / f/10
– Auflösungsvermögen: 1,64"
– Grenzgröße: 11 mag
– Okularauszug: 1,25" Auszug
– Montierung: azimutale Montierung
– stufenlos höhenverstellbares Alustativ
© www.teleskop-express.de
II/D
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Rechnen Sie nach, ob die Angabe bzgl. des Aulösungsvermögens (1,64 Bogensekunden)
korrekt ist.
Verwenden Sie grünes Licht, also 500 nm.
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Aufgabe 4
a) Das größte drehbare Radioteleskop der Welt steht in der Eifel in der Nähe von Effelsberg. Der Durchmesser des Teleskopspiegels beträgt 100 m. Mit diesem Teleskop wurden ausführliche Durchmusterungen des Himmels im Wellenlängenbereich von 21 cm
unternommen.2
V
Berechnen Sie, welchen Durchmesser ein optisches Teleskop haben müsste, um das
gleiche Aulösungsvermögen wie das Effelsberger Teleskop zu liefern.
Verwenden Sie für sichtbares Licht eine Wellenlänge von 500 nm.
b) Berechnen Sie umgekehrt, welchen Durchmesser das Radioteleskop aufweisen müsste,
um ein Aulösungsvermögen wie ein optisches Schulfernrohr mit 12 cm Öffnung zu
haben.
c) Überlegen Sie, woran es liegt, dass das Aulösungsvermögen dieses Radioteleskops
trotz seiner riesigen Öffnung so unglaublich schlecht ist.
d) Durch einen „physikalischen Trick“ lässt sich das Aulösungsvermögen von Radioteleskopen enorm steigern.
Recherchieren Sie im Internet, was man unter Very Long Baseline Interferometry (VLBI)
versteht und wie diese Technik prinzipiell funktioniert. Fassen Sie das Wesentliche für
Ihr Protokoll zusammen.
2
Gasansammlungen im Weltall aus neutralen Wasserstoffatomen geben eine charakteristische Strahlung im
Radiowellenlängenbereich ab. Diese Strahlung entsteht durch die Änderung der Spinorientierung von Proton und
Elektron in den Atomen.
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8. Wie Beugung das Auflösungsvermögen begrenzt
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M6
Das Aulösungsvermögen von Fernrohren – LEK
Aufgaben
Sie wissen natürlich, dass die Unterschiede in den beiden Bildern
nicht durch eine defekte Optik zustande kamen. Erklären Sie die
physikalischen Zusammenhänge möglichst genau. Stellen Sie sich
vor, Sie müssten dem Fernrohrbesitzer Herrn Schmidt, der naturwissenschaftlich gebildet und interessiert ist, genau erklären, warum sein Fernrohr nicht in der Lage ist, dieses Doppelsternsystem darzustellen.
λ
2. Mit der Formel α = 1,22 ⋅
lässt sich das Auflösungsvermögen eines optischen InstruD
mentes quantitativ angeben.
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Beschriften und erklären Sie die untere Abbildung und leiten Sie damit die obere Formel her. Dabei dürfen Sie benutzen, was Sie über die Beugung und Interferenz am
Einzelspalt wissen. Den Faktor 1,22 können Sie nicht herleiten – begründen Sie aber,
warum er in der Formel auftaucht.
A
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© M. Borchardt
II/D
Zu Hause beobachtet er das gleiche System mit seinem privaten
kleinen Fernrohr und ist überrascht, dass er anstelle des Doppelsternsystems nur einen verwaschenen Fleck erkennen kann. Da er
die gleiche Vergrößerung wie beim Teleskop in der Sternwarte eingestellt hat und sich die Wetterbedingungen nicht merklich verändert haben, ist er ratlos, woran der Unterschied in der Bildqualität
liegen könnte. Er vermutet, dass die Optik seines Fernrohrs defekt
ist, und entschließt sich, das Gerät an den Händler zurückzuschicken.
© M. Borchardt
1. Herr Schmidt besucht am Tag der offenen Tür eine Sternwarte
und darf einen Blick durch eines der großen Teleskope werfen. Bei
hoher Vergrößerung erkennt er ein Doppelsternsystem, das sich
ihm wie in der ersten Abbildung darstellt.
3. Der Abstand von Doppelsternen wird oft als Winkel (in Bogensekunden) angegeben,
unter dem die beiden Sterne von der Erde aus erscheinen. Es ist bekannt, dass die
Sterne des oben erwähnten Doppelsternsystems einen Winkelabstand von etwa 0,25
Bogensekunden (0,25“) haben. Berechnen Sie, welchen Durchmesser das Teleskop von
Herrn Schmidt mindestens haben müsste, um die beiden Sterne als getrennt wahrzunehmen. (Verwenden Sie eine Lichtwellenlänge von 500 nm.)
4. Ein Spionagesatellit umkreist die Erde auf einer kreisförmigen Bahn. Er besitzt eine
Kamera, die mit einen Teleskopspiegel von 80 cm Durchmesser ausgestattet ist. Die
Kamera soll auf dem Erdboden Strukturen erkennen können, die im Bereich von etwa
30 cm liegen. Berechnen Sie, in welcher Höhe über dem Erdboden der Satellit die Erde
umkreisen müsste, um diese Auflösung zu erreichen.
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Erläuterungen und Lösungen
M 2
Scheibchenweise – Sterne im Fernrohr
In diesem Material wird der Übergang von der spalt- zur kreisförmigen optischen Öffnung thematisiert. Die Beugungsfiguren ähneln sich, weisen aber dennoch Unterschiede
auf. Diese erschließen sich Ihren Schülern sehr anschaulich durch die Verwendung der
beiden Computerprogramme. Das Material soll außerdem zeigen, welche Auswirkungen
Beugungseffekte in der Praxis haben. Sie machen sich nämlich v. a. dann bemerkbar,
wenn man an die Grenzen der verwendeten Optik geht, also mit extremen Vergrößerungen arbeitet oder an kleinsten Strukturen interessiert ist, was beim wissenschaftlichen
Arbeiten mit optischen Systemen häufig der Fall ist, im Alltagsleben aber eher selten
vorkommt.
II/D
Lösungen (M 2)
Intensität
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An den Kurven, die das Computerprogramm „Beugungskurven.exe“ erzeugt, lässt sich beispielsweise
ablesen:
Kreisblende
Spaltblende
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R
O
Bei einer verwendeten Wellenlänge von 500 nm tritt
0,5
1,0
1,5
das erste Minimum bei der Spaltblende bei einem
Winkel α →
Winkel von 0,57° auf. Die Kurve für die Kreisblende
hat ihr erstes Minimum dagegen bei 0,70°. Die beiden Werte unterscheiden sich um
0, 7
= 1,228, was im Rahmen der Ablesegenauigkeit den theoretischen
den Faktor
0,57
Wert von 1,22 bestätigt.
V
Für Experten: Man liest ab, dass die Intensität des ersten Nebenmaximums beim Spalt
einen Wert von 4,83 % gegenüber dem Hauptmaximum aufweist und bei der Kreisblende 1,67 %. Die theoretischen Werte lauten 4,5 % und 1,75 %.
b) Man erkennt sehr eindringlich, dass eine Verkleinerung der optischen Öffnung zu einer
Vergrößerung der Ausdehnung des Hauptmaximums führt – der Lichtfleck wird größer
und diffuser. Auch die Wellenlänge beeinflusst die Größe des Beugungsscheibchens –
je kleiner die Wellenlänge ist (also je blauer), desto mehr schrumpft der Lichtfleck.
2. a) Es gelten die folgenden Werte:
Gegenstandsweite: g = 430 ⋅ 365,25 ⋅ 24 ⋅ 3600 s ⋅ 3 ⋅ 108
m
= 4,071⋅ 1018 m .
s
Die Bildweite entspricht in etwa der Brennweite, wie man mithilfe der Linsenformel
leicht erkennen kann. Also ist b = 2 m, und die Gegenstandsgröße ist: G = 1, 4 ⋅ 109 m .
b B
b
2m
Aus
ergibt sich: B = G ⋅ = 1, 4 ⋅ 109 m ⋅
≈ 7 ⋅ 10−10 m = 0, 7 nm .
=
g G
g
4,071⋅ 1018 m
Diese Ausdehnung liegt weit unter der Wellenlänge des verwendeten Lichts und liegt
bereits im Bereich von Atomdurchmessern – ohne Beugung würde tatsächlich ein
nahezu punktförmiges Abbild des Sterns entstehen.
37 RAAbits Physik November 2014
© M. Borchardt
1. a) Die Lage der Minima und Nebenmaxima unterscheidet sich bei den beiden Intensitätskurven – der
Unterschied ist nicht groß, führt aber zu einem Korrekturfaktor in der Winkelformel. Außerdem ist die
Intensität der Nebenmaxima bei der Kreisblende
deutlich schwächer als beim Spalt. Der erste Beugungsring ist daher auf dem Beobachtungsschirm
kaum sichtbar.