5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras

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5 Anwendungen des
Lehrsatzes des Herrn
Pythagoras
Tom und seine Freunde wollen eine zweitägige
Radtour machen. Da Tom die Detailplanung
übernommen hat, zeichnet er die Route in eine Karte ein. Er überlegt halblaut: „Für zwei
Zentimeter auf der Karte werden wir etwa eine
Stunde brauchen“ Sara hört das und sieht sich
die Karte an. Dabei fällt ihr auf, dass die Route
auch über einen Berg führt. Lachend meint sie: „Selbst ein Radprofi
kann diese Strecke nicht in dieser Zeit schaffen. Bergauf fährt man
langsamer und außerdem ist die Strecke länger!“ Tom muss seinen
Überlegungsfehler zugeben. Insgeheim ist er sogar froh, dass Sara
ihn darauf aufmerksam gemacht hat. Schließlich ist es immer noch
besser sich vor der Schwester als vor den Freunden zu blamieren.
Aber wie lang ist die Strecke auf den Berg wirklich und wie schnell
können sie bergauf fahren?
In diesem Kapitel vertiefst du dein Wissen und lernst
Neues über
1. den Lehrsatz des Pythagoras,
2. seine Anwendungen in ebenen Figuren,
3. den Höhen- und Kathetensatz und
4. verschiedene Beweise des Lehrsatzes.
265 Arbeitet in Gruppen zusammen! Welche ebenen Figuren kennt ihr?
Macht Skizzen und überlegt, wie bei diesen Figuren Umfang und Flächeninhalt berechnet werden! Vergleicht anschließend eure Ergebnisse
mit den anderen Gruppen!
266 Paul Kuddelmuddel verwechselt manchmal noch immer Umfang und
Flächeninhalt. Erkläre den Unterschied! Nenne Beispiele, wo das eine
oder das andere wichtig ist!
266 Fläche:
Gemüse pflanzen,
Wand ausmalen,
usw.; Umfang:
Randsteine
setzen, Zaun
aufstellen, usw.
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5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
5.1 Der pythagoräische Lehrsatz im rechtwinkligen Dreieck
267 Längste Seite
(c) liegt dem
rechten Winkel
gegenüber, a und
b schließen den
rechten Winkel
ein. c2 =a2 +b2
268
a) Hypotenuse,
liegt dem rechten
Winkel gegenüber
b) Katheten,
müssen nicht
gleich lang sein
267 Beschrif-
te die Seiten
der rechtwinkligen Dreiecke
und zeichne die
rechten Winkel ein! Formuliere den Lehrsatz des Pythagoras!
268 Paula Kuddelmuddel kann sich nicht mehr so recht an die richtigen
Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck erinnern. Sie bringt einiges
durcheinander. Stelle die Aussagen richtig!
a) Die Hypophyse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, sie
liegt rechts vom rechten Winkel.
b) Die beiden kürzeren Seiten werden Kathedralen genannt. Sie sind
immer gleich lang.
Lehrsatz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck (γ = 90°) mit
den Katheten a und b und der Hypotenuse c
gilt folgende Beziehung:
c2 = a2 + b2
269 z. B:
c2 + 4 Dreiecke
= a2 +b2 + 4 Dreiecke
269 Ein Beweis für den
Lehrsatz des Pythagoras:
Schneide 8 kongruente (=
deckungsgleiche) rechtwinklige Dreiecke aus und bezeichne die beiden Katheten mit a und b, die Hypotenuse mit c! Weiters schneide ein Quadrat mit der Seitenlänge a des
gewählten Dreiecks, ein Quadrat mit der Seitenlänge b und ein Quadrat
mit der Seitenlänge c aus. Lege nun die Quadrate und Dreiecke wie in der
Abbildung zu zwei Quadraten mit der Seitenlänge (a + b) zusammen!
Entferne links und rechts jeweils die vier Dreiecke. Die Quadrate bleiben
übrig!
Erkläre diesen Beweis deinem Nachbarn/deiner Nachbarin! Versucht gemeinsam eine mathematische Gleichung aufzustellen, die den Inhalt der
Abbildung wiedergibt!
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5.1 Der pythagoräische Lehrsatz im rechtwinkligen Dreieck
270 Konstruiere das rechtwinklige Dreieck und berechne die Länge der
fehlenden Seite (γ = 90°)!
a) a = 2,4 cm; b = 32 mm
c ) b = 7,6 cm; c = 95 mm
b) a = 7,5 cm; c = 8,5 cm
d) a = 36 mm; b = 7,7 cm
271 Berechne Umfang und Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks
ABC (γ = 90°).
a) a = 15,8 cm; b = 19,2 cm
b) a = 0,9 m; c = 125 cm
c ) b = 24,6 m; c = 38,1 m
d) a = 126 mm; c = 18,9 cm
272 Gib zwei Formeln zum Berechnen des Flächeninhalts eines rechtwinkligen Dreiecks an! Erkläre die Formeln!
273 Berechne Umfang, Flächeninhalt und Höhe des rechtwinkligen Dreiecks!
a) a = 9,8 cm; c = 12,4 cm
c ) b = 0,86 dm; c = 11,8 cm
b) b = 134 mm; c = 16,8 cm
d) a = 75 cm; c = 1,4 m
274 Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten bekannt. Berechne den Umfang und die Höhe des rechtwinkligen
Dreiecks!
a) a = 21 cm; b = 28 cm
b) a = 25,2 cm; b = 33,6 cm
c ) a = 31,8 cm; b = 42,4 cm
d) a = 18 cm; b = 7,5 cm
275 Paula Kuddelmuddel soll von einem rechtwinkligen Dreieck mit der
Kathete x = 21 cm und der Hypotenuse z = 35 cm die fehlende Kathete y
berechnen. Als Ergebnis erhält sie y = 40,8 cm. Ihre Nachbarin meint, dass
das Ergebnis nicht stimmen kann, denn in einem rechtwinkligen Dreieck
ist die Hypotenuse die längste Seite. Was hat Paula falsch gemacht und
wie ist das richtige Ergebnis für y?
276 Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt und die
Länge einer Seite bekannt. Berechne die Längen der beiden anderen
Seiten!
277 Gärtner:
Ein Gärtner spannt eine Knotenschnur (die Abstände zwischen zwei benachbarten Knoten sind immer
gleich groß) so, wie in der Skizze dargestellt.
Er sagt: „Nun habe ich für das Blumenbeet einen
rechten Winkel festgelegt!“
Wieso kann er das mit Recht behaupten und wo
liegt der rechte Winkel?
270 a) 40 mm
b) 4 cm c) 5,7 cm
d) 8,5 cm
271
a) u = 59,9 cm;
A = 151,68 cm2
b) u = 301,7 cm;
A = 3903,6 cm2
c) u = 91,8 m;
A = 357,85 m2
d) u = 456 mm;
A = 8875 mm2
272 A = ab
2 oder
ch
A=2
273
a) u = 29,8 cm;
A = 37,23 cm2 ;
h = 6 cm
b) u = 403 mm;
A = 6789 mm2 ;
h = 81 mm
c) u = 28,5 cm;
A = 34,74 cm2 ;
h = 5,9 cm
d) u = 333 cm;
A = 4433 cm2 ;
h = 63 cm
274 a) u = 84 cm;
h = 16,8 cm
b) u = 848,4 cm;
h = 20,2 cm
c) u = 127,2 cm;
h = 25,4 cm
d) u = 45 cm;
h = 7,1 cm
275 sie rechnete:
b2 = a2 + c2 ;
richtig ist:
b = 28 cm
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276 44 mm;
70 mm bzw.
6,6 cm; 10,9 cm
277 Weil für
dieses Dreieck der
pythagoräische
Lehrsatz gilt.
Daher ist es ein
rechtwinkliges
Dreieck. Der
rechte Winkel
liegt zwischen den
beiden kürzeren
Seiten.
278
a) h = 40,8 mm;
u = 204 mm
b) h = 6,46 cm;
u = 27,6 cm
c) h = 81,6 mm;
u = 408 mm
d) h = 11,76 m;
u = 58,8 m
279 u = 392 mm;
A = 5 784 mm2
280 a) 1 125 cm2 ;
4 375 cm2
b) 67,3 cm
c) 20,5 Prozent
281 a) ≈ 3,6 cm
b) ≈ 7,6 cm
c) ≈ 8,6 cm
d) ≈ 9,2 cm
283 a = 9,8 cm;
b = 7,8 cm;
c = 9,5 cm
284 a) 8,5 cm
b) 9,2 cm
c) 13,3 cm
Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt
(A = 187 cm2 ) und die Länge einer Kathete (a = 17 cm) gegeben.
Berechne die Höhe des Dreiecks!
A = a 2⋅ b ⇒ b = 2 a⋅ A
b = 22 cm
c2 = a2 + b2
c = 27,8 cm
A = c ⋅2hc ⇒ hc = 2 ⋅c A
hc = 13,5 cm
278 Von einem rechtwinkligen Dreieck
Länge einer Kathete bekannt. Berechne
Umfang!
a) a = 51 mm; A = 17,34 cm2 b)
c ) b = 136 mm; A = 69,36 cm2 d)
sind der Flächeninhalt und die
die Höhe des Dreiecks und den
b = 9,2 cm; A = 3174 mm2
a = 14,7 m; A = 144,06 m2
⋆279 Berechne den Umfang und den
Flächeninhalt der nebenstehenden Figur!
Beachte: Die beiden rechtwinkligen Dreiecke
sind ähnlich!
280 Ein rechteckiges Holzbrett (110 cm x 50 cm)
wird schräg zerschnitten. Berechne a) den Flächeninhalt beider Teile b) die Länge der Schnittkante. c ) Wie viel Prozent vom ganzen Brett beträgt die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks?
281 In einem Koordinatensystem (01 = 1 cm) sind zwei Punkte gegeben.
Berechne die Länge der durch diese beiden Punkte gegebenen Strecke!
Kontrolliere durch Zeichnen und Messen!
a) S(2|3), T(5|1)
b) X(–4|2), Y(3|–1)
c ) A(–6|–4), B(–1|3)
d) D(1|7), E(–1|–2)
282 Zeichne in ein Koordinatensystem drei Punkte ein und verbinde sie
zu einem Dreieck! Gib die Koordinaten der Punkte an und berechne die
Längen der Seiten! Kontrolliere durch Messen!
283 Ein Dreieck ist durch die Eckpunkte A(–6|–2), B(3|–5), C(–1|4)
gegeben. Berechne die Längen der drei Seiten!
284 Berechne die Länge der Strecke, die durch die beiden Punkte gegeben
ist!
a) R(–5|–4), S(1|2)
c ) A(–6|1), B(7|–2)
b) X(6|–1), Y(–3|–3)
d) A(4|–2), B(8|–6)
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285 Achtung Dachlawine!
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5.1 Der pythagoräische Lehrsatz im rechtwinkligen Dreieck
Ein Pfosten mit einem Schild, auf dem vor
Dachlawinen gewarnt wird, soll so aufgestellt
werden, dass der gesamte 1,4 m breite Gehsteig gesperrt wird. Außerdem soll der Pfosten
bis über die erste Fensterreihe des mehrstöckigen Hauses reichen. Die Oberkante dieser
Fensterreihe befindet sich in einer Höhe von
3,4 m. Wie lang muss der Pfosten mindestens
sein, damit er diese Bedingungen erfüllt?
285 3,7 m
!
Dachlawine
286 Der Innenhof eines mittelalterlichen Gebäu-
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des hat die in der Zeichnung angegebene Form. Er
soll mit quadratischen Pflastersteinen (a = 10 cm)
ausgelegt werden. Zusätzlich sollen rundherum
Randsteine gesetzt werden. Berechne die Größe
der zu pflasternden Fläche und die Gesamtlänge
für die Randsteine! Wie viele Pflastersteine werden mindestens benötigt,
wenn für Verschnitt 8 Prozent gerechnet werden?
287 Auf der Terrasse sollen neue Bodenplat-
ten verlegt werden. Eine Platte hat die Form
eines Rechtecks mit den Seitenlängen 45 cm und
30 cm. Die Platten sind zu je 10 Stück verpackt.
Wie viele Packungen werden mindestens benötigt, wenn mit 5 Prozent Verschnitt gerechnet wird? (Fugen werden bei
der Berechnung nicht berücksichtigt!) Es werden rundherum, außer an der
Hausmauer, Abschluss-Steine gesetzt. Für welche Länge müssen Steine
besorgt werden?
286 A = 85,4 m2 ;
u = 36,8 m;
9 224 Steine
287 51
Packungen,
≈ 22 m
288 Nun kannst du Toms Frage nach der Länge der Strecke (siehe S. 83)
sicherlich lösen: Wie lang ist die Strecke (Luftlinie) auf die Anhöhe? Dazu
liest Tom folgende Angaben aus der Karte ab:
Seehöhe des Ausgangspunktes: 230 m
Seehöhe des höchsten Punktes: 1 126 m
Länge der Strecke auf der Karte: 7 cm
Maßstab der Karte: 1:50 000
288 3 613 m
289 Sara rechnet mit Tom mit. Sie kommt auf das gleiche Ergebnis
wie Tom. Allerdings hat sie einen Einwand: „Unser Ergebnis ist eine
Strecke, die geradlinig vom Ausgangspunkt auf die Anhöhe führt. Es
werden aber sicherlich einige Kurven zu fahren sein!“ Was meinst du
dazu? Was würdest du den beiden nun raten? Besprich dich mit deinem
Nachbarn/deiner Nachbarin!
289 z. B. :
Verwendung eines
Routenplaners
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
5.2.1 Rechteck und Quadrat
290 d2 = a2 + b2
290 Zeichne eine Diagonale im Rechteck ein! Stelle
291 a = 70,4 cm;
u = 232,4 cm;
A = 3 224,32 cm2
291 Ein Rechteck ist 45,8 cm breit und hat eine 84 cm lange Diagonale.
eine Formel auf, um die Länge der Diagonale zu
berechnen!
Berechne die Länge des Rechtecks, den Umfang und den Flächeninhalt!
Rechteck
Eine Diagonale d teilt ein Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Daher gilt:
d2 = a2 + b2
292 a) 174,93 cm2
b) 7,52 dm2
c) 15 801 mm2
d) 1,61 m2
292 Von einem Rechteck sind die Länge einer Seite und die Länge der
293 21,6 m
293 Durch ein rechteckiges Gartenstück (18 m x 12 m) wird entlang der
Diagonalen gegeben. Berechne den Flächeninhalt!
a) a = 15 cm; d = 19 cm
b) b = 2,68 dm; d = 3,88 dm
c ) b = 156 mm; d = 186 mm
d) a = 1,2 m; d = 1,8 m
Diagonalen ein neues Kanalrohr verlegt. Wie lang ist der dafür notwendige
Graben?
294
a) a = 10,5 cm;
b = 4,5 cm
b) a = 60,8 cm;
b = 34,2 cm
⋆294 Von einem Rechteck sind der Flächeninhalt A und das Verhältnis der
Seitenlängen a und b bekannt. Berechne die Länge der Seiten! (Hinweis:
Siehe MatheFit3)
a) a : b = 7 : 3; A = 47,25 cm2
b) a : b = 16 : 9; A = 2 079,36 cm2
295 A = 836 cm2 ;
d = 43,9 cm
295 Von einem Rechteck sind die Länge des Umfangs u = 120 cm und
die Länge einer Seite b = 22 cm bekannt. Berechne die Fläche des
Rechtecks und die Länge der Diagonalen!
296 12 cm
296 Der Umkreisradius eines 9 cm breiten Rechtecks beträgt 7,5 cm.
Skizziere diesen Sachverhalt! Berechne die Länge des Rechtecks!
297 D)
297 In dieser Figur sind K, L, M und N die Mittel-
punkte der Seiten des Rechtecks ABCD und O, P,
R und S die Mittelpunkte der Seiten des Vierecks
KLMN. Wie groß ist der Anteil der gefärbten Fläche
am Rechteck ABCD?
A) 35 B) 23 C) 56 D) 34 E) 57
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
298 Die Diagonale
eines Quadrats kann folgendermaßen berechnet wer√
den: d = a 2. Wie kommt man zu dieser Formel? Begründe!
Quadrat
Eine Diagonale d teilt ein Quadrat in zwei kongruente
rechtwinklige-gleichschenklige
√ Dreiecke. Daher gilt:
d2 = a2 + a2 bzw. d = a 2
299 Berechne die Länge der Diagonale der Quadrate!
a) a = 48 mm
b) a = 2,3 m
c ) a = 7,9 dm
d) a = 6,1 cm
300 Von einem Quadrat ist die Länge der Diagonale d gegeben. Berechne
die Seitenlänge, den Umfang und den Flächeninhalt!
a) d = 21,5 cm b) d = 0,85 m c ) d = 65 mm d) d = 3,8 cm
301 Ein Quadrat hat einen Umkreis mit einem Radius von a) 84 mm
b) 5,2 cm c ) 6,1 cm d) 53 mm. Berechne die Länge der Seite!
302 Von einem Quadrat ist der Flächeninhalt bekannt. Berechne die
Länge der Diagonale!
a) A = 73,96 cm2
b) A = 8 281 mm2
2
d) A = 0,3721 ha
c ) A = 7,84 m
303 Paul Kuddelmuddel berechnet die Länge der Seitenkante a eines
Quadrats aus folgender Angabe: d = 7,5 cm. Er erhält: a = 10,6 cm. Wo
liegt vermutlich der Fehler?
⋆304 Bei Bildschirmen (Fernsehapparat, Monitor) wird als Größenangabe
die Bildschirmdiagonale in Zoll angegeben (1 Zoll = 2,54 cm). Berechne
Länge und Breite eines Bildschirms (in cm), wenn die Diagonale 24 Zoll
beträgt und die Seiten sich wie 16 : 9 verhalten!
305 Im Quadrat mit Seitenlänge 6 cm liegen A und B auf
der waagrechten Mittenparallele der Seiten. Verbindet
man A und B wie abgebildet mit den Eckpunkten, wird
das Quadrat in drei flächengleiche Teile zerlegt. Wie
lang ist die Strecke AB?
A) 3,6 cm B) 3,8 cm C) 4,0 cm D) 4,2 cm E) 4,4 cm
306 Einem großen Quadrat wird ein kleines Quadrat,
wie in der Skizze zu sehen, eingeschrieben. Wie groß ist
die Fläche des kleinen Quadrats?
A) 16 B) 28 C) 34 D) 36 E) 49
298
d2 = a2 + a2 =
2a2 ⇒
√
√
d = 2a2 = a 2
299 a) 67,9 mm
b) 3,3 m
c) 11,2 dm
d) 8,6 cm
300
a) a = 15,2 cm;
u = 60,8 cm;
A = 231,13 cm2
b) a = 0,6 m;
u = 2,4 m;
A = 0,36 m2
c) a = 46 mm;
u = 184 mm;
A = 2 113 mm2
d) a = 2,7 cm;
u = 10,8 cm;
A = 7,22 cm2
301 a) 119 mm
b) 7,4 cm
c) 8,6 cm
d) 75 mm
302
a) d = 12,2 cm
b) d = 129 mm
c) d = 4,0 m
d) 86,3 m
303 Er rechnete
mal Wurzel aus
zwei statt durch
Wurzel aus zwei.
304 53,13 cm;
29,89 cm
305 C)
306 C)
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5.2.2 Gleichschenkliges Dreieck
307 a) zwei
rechtwinklige
Dreiecke
b) a2 = h2 + 2c 2
c) u =2a + c
d) A = c ⋅2hc
oder A = a ⋅2ha
307 Zeichne in das nebenstehende Dreieck die Höhe
hc ein!
a) In welche Art von Dreiecken teilt die Höhe hc das
gleichschenklige Dreieck?
b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen a, c und
hc ?
c ) Gib eine Formel zum Berechnen des Umfangs des
gleichschenkligen Dreiecks an!
d) Wie kann der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks berechnet
werden?
gleichschenkliges Dreieck
308 a) 5,3 cm;
19,8 cm2
b) 87 mm;
3 559 mm2
c) 5,9 cm;
25,37 cm2
d) 15,7 cm;
230,64 cm2
309
a) hc = 3,4 cm;
A = 24,1 cm2
b) hc = 57,1 cm;
A = 2 110,9 cm2
Die Höhe hc teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei
rechtwinklige Dreiecke.
Daher gilt folgende Beziehung:
a2 = h2 + ( 2c )2
308 Gleichschenkliges Dreieck: Berechne die Länge der Höhe hc und den
Flächeninhalt!
a) a = b = 6,5 cm; c = 7,4 cm b) a = b = 96 mm; c = 82 mm
c ) a = b = 7,3 cm; c = 8,6 cm d) a = b = 21,5 cm; c = 29,4 cm
309 Berechne die Höhe hc und den Flächeninhalt des gleichschenkligen
Dreiecks (a = b)!
a) a = 7,8 cm; c = 1,4 dm
b) a = 68 cm; c = 0,74 m
310 Berechne den Umfang des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)!
a) c = 68 mm; hc = 72 mm
b) c = 4,6 m; hc = 5,8 m
310 a) 227,2 mm
b) 17 m
311 Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)!
311 a) 241,59 cm2
b) 779,24 cm2
312 Ein Spiegel hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks.
312
a) u = 278 cm;
A = 2 860 cm2
b) u = 260,4 cm;
A = 3 252,8 cm2
313 38,9 m
a) hc = 16 cm; a = 22 cm
b) hc = 32,8 cm; a = 40,5 cm
Berechne Umfang und Flächeninhalt!
a) c = 52 cm; hc = 1,1 m
b) a = 85 cm; hc = 72 cm
313 Das Tragwerk einer Brücke besteht
aus neun gleichschenkligen Dreiecken. Wie
lang ist die Gesamtlänge aller Streben dieser Konstruktion?
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
314 Wie lang ist der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)?
a) c = 86 mm; A = 3 956 mm2
c ) hc = 3,2 m; A = 3,84 m2
b) c = 5,8 cm; A = 13,34 cm2
d) hc = 35,6 cm; A = 655,04 cm2
315 Die „Wetterseite“ eines Einfamilienhauses muss nach
314 a) 290 mm
b) 16,7 cm
c) 9,2 m
d) 117 cm
einem Jahr bereits wieder gestrichen werden.
a) Berechne die Länge der Dachkante!
b) Wie viel m2 sind zu streichen?
c ) Die Kosten für 1 m2 Anstrich kommen auf 35 Euro.
Wie hoch sind die Gesamtkosten?
315 a) 8,2 m
b) 155,76 m2
c) 5 451,60 Euro
316 Die Feuermauer (siehe Skizze, Maßangabe in m) des
316 a) 264,55 m2
b) 55 Packungen
Feuerwehrhauses in Neustadt erhält eine neue Wärmedämmung.
a) Wie viele m2 müssen mit dem Dämm-Material verkleidet werden?
b) Da das Dämm-Material nur in Platten erhältlich ist, werden 12 Prozent der Mauerfläche als Verschnitt veranschlagt. Eine Dämmplatte ist
1,2 m lang und 45 cm breit. Sie sind zu je 10 Stück abgepackt. Wie viele
Packungen werden benötigt?
317 Konstruiere ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit einer
Kathetenlänge von 4 cm. Spiegle das Dreieck an der Hypotenuse c!
Welche Figur entsteht? Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der
Hypotenuse c und der Höhe hc ?
318 Von einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ist die Länge
der Hypotenuse c bekannt. Berechne die Länge der Katheten und den
Flächeninhalt!
a) c = 8,6 cm
b) c = 12,2 cm
c ) c = 36,4 mm
d) c = 5,8 dm
319 Nimm dein Geodreieck zur Hand! Welche Eigenschaften hat es?
Berechne Umfang und Flächeninhalt!
320 Sara berechnet die Fläche eines gleichschenklig-rechtwinkligen Drei-
ecks mit A =
Antwort!
a2
2.
Was meinst du, stimmt diese Formel? Begründe deine
321 Einem gleichschenkligen Dreieck wird ein Rechteck
umschrieben. Berechne die Seitenlänge b des Rechtecks.
Wie groß ist die Differenz der Umfänge?
a) a = 11,2 cm; c = 9,2 cm
b) a = 128 mm; c = 96 mm
317 Quadrat;
hc = 2c
318 a) 6,1 cm;
18,49 cm2
b) 8,6 cm;
37,21 cm2
c) 25,7 mm;
331,24 mm2
d) 4,1 dm;
8,41 dm2
319 glsch.-rechtw.
Dreieck; —
320 ja, weil
halbes Quadrat
321
a) b = 10,2 cm;
7,2 cm
b) b = 119 mm;
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5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
5.2.3 Gleichseitiges Dreieck und regelmäßiges Sechseck
322
h2 = a2 − ( a2 )2 ;
A = a 2⋅ h
a
2⋅
√
2
3 und A = a4 ⋅
3. Leite beide Formeln her, indem du mit Hilfe des pythagoräischen
Lehrsatzes eine Formel zum Berechnen von h aufstellst, diese vereinfachst
und dann in die allgemeine Flächenformel einsetzt!
⋆322
Im gleichseitigen Dreieck gelten die Formeln h =
√
gleichseitiges Dreieck
Die Höhe h teilt das gleichseitige Dreieck in
zwei rechtwinklige Dreiecke. Daher gilt folgende
Beziehung:
h2 = a2 − ( a2 )2
2
2
h2 = a2 − a4 = 3⋅a4
⇒
√
a
h=2 ⋅ 3
Für den Flächeninhalt gilt daher:
A=
323 a) 48,5 mm;
1 358 mm2
b) 8,1 cm;
38,26 cm2
c) 56,6 cm;
1 852,06 cm2
d) 2,15 dm;
2,66 dm2
324 a) 12,16 cm
b) 35,86 cm2
c) 8,01 cm2
d) 0,789 m2
2
325 a) 91,04 cm2
b) 665,38 cm2
326 Quadrat:
48 cm; Dreieck:
54,7 cm
327 88,4 cm
328 14,1 cm
a2 √
a ⋅ h
bzw. A =
⋅ 3
2
4
323 Berechne die Höhe und den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks!
a) a = 56 mm
c ) a = 65,4 cm
b) a = 9,4 cm
d) a = 2,48 dm
324 Berechne den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks!
a) a = 5,3 cm
c ) a = 0,43 dm
b) a = 91 mm
d) a = 1 m 35 cm
325 Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks beträgt a) 43,5 cm
b) 117,6 cm. Berechne den Flächeninhalt!
326 Ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat sind flächengleich. Die
Fläche beträgt jeweils A = 144 cm2 . Berechne die Umfänge beider
Figuren!
327 Ein Rechteck und ein gleichseitiges Dreieck sind flächengleich. Das
Rechteck ist 65 cm lang und 52 cm breit. Berechne die Seitenlänge a des
gleichseitigen Dreiecks!
328 Ein gleichschenkliges Dreieck (a = b = 18 cm; c = 10 cm) und ein
gleichseitiges Dreieck sind flächengleich. Berechne die Seitenlänge a des
gleichseitigen Dreiecks!
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
329 Nadine braucht gleichseitige Dreiecke mit einer Seitenlänge von
9 cm. Wie viele solcher Dreiecke kann sie maximal aus einem Karton
ausschneiden, der 42 cm lang und 30 cm breit ist?
⋆330 Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist bekannt.
Berechne die Länge der Seite a!
a) h = 8,6 cm
c ) h = 36 mm
b) h = 12,4 cm
d) h = 1,15 dm
⋆331 Von einem gleichseitigen Dreieck ist die Fläche gegeben.
Berechne die Länge der Seite a!
a) A = 224 cm2
c ) A = 842 mm2
b) A = 65,2 cm2
d) A = 1 537 mm2
332 Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 24 cm und 32 cm
und ein gleichseitiges Dreieck haben den gleichen Umfang. Berechne die
Länge der Seite des gleichseitigen Dreiecks!
⋆333 Ein Rechteck mit den Seitenlängen 6,5 cm und 7,8 cm und ein
329 35 Dreiecke
330 a) 9,9 cm
b) 14,3 cm
c) 41,6 mm
d) 1,33 dm
331 a) 22,7 cm
b) 12,3 cm
c) 44 mm
d) 60 mm
332 32 cm
333 10,8 cm
gleichseitiges Dreieck sind flächengleich. Berechne die Seitenlänge des
gleichseitigen Dreiecks!
⋆334 Ein weiterer Zirkelschluss für den Lehrsatz des
Pythagoras!
Arbeite mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin oder
in einer kleinen Gruppe zusammen!
Zeichnet ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck und
errichtet über jeder Seite ein gleichseitiges Dreieck!
Versucht nun zu zeigen, dass der Flächeninhalt des
gleichseitigen Dreiecks über der Hypotenuse genauso groß ist wie die Summe der Flächeninhalte über
den beiden Katheten! Zur Überprüfung könnt ihr die Seiten eures Dreiecks
abmessen und nachrechnen, ob die aufgestellte Beziehung für eure Zahlen
stimmt!
335 Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs kongruenten gleichseitigen Dreiecken.
a) Stelle eine Formel zum Berechnen des Flächeninhalts eines regelmäßigen Sechsecks auf!
b) Berechne den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit einer
Seitenlänge von a = 4,5 cm!
336 Berechne den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks!
a) a = 62 mm
c ) a = 5,2 cm
b) a = 15,4 cm
d) a = 8,1 cm
334√
2 √
a2
+ b4 ⋅ 3 =
4 ⋅ 3√
a2 +b2
⋅ 3;
4
√
√
a2 +b2
c2
4 ⋅ 3= 4 ⋅ 3
335
√
2
a) A = 6 ⋅ a4 ⋅ 3
oder
√
2
A = 3 ⋅ a2 ⋅ 3
b) 52,61 cm2
336 a) 9 987 mm2
b) 616,16 cm2
c) 70,25 cm2
5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
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337 a) 39,52 cm2
b) 75,76 cm2
338 17,1 cm
337 Von einem regelmäßigen Sechseck ist die Länge des Umfangs be-
kannt. Berechne den Flächeninhalt!
a) u = 23,4 cm
b) u = 32,4 cm
⋆338 Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von 42 cm. Es ist
flächengleich mit einem regelmäßigen Sechseck. Berechne die Seitenlänge
des Sechsecks!
339 a) 93,53 cm2
b) 35 Prozent
339 Aus einem Quadrat (Seitenlänge a = 12 cm) soll das
340 27 Sechsecke;
0,23 Prozent
Abfall
340 Wie viele regelmäßige Sechsecke mit einer Kantenlänge von 8 cm
größtmögliche regelmäßige Sechseck geschnitten werden.
a) Welchen Flächeninhalt hat das regelmäßige Sechseck?
b) Wie viel Prozent beträgt der Abfall?
können maximal aus einem rechteckigen Karton, der 90 cm lang und
50 cm breit ist, geschnitten werden? Wie viel Prozent des Kartons sind
Abfall?
341 10,68 cm2
341 Ein Handspiegel hat die Form eines regelmäßigen
342 22 Sechsecke;
85 cm2
342 Wie viele regelmäßige Sechsecke mit einer Kanten-
343 10,4 cm;
281 cm2
343 Bodenfliesen haben die Form von regelmäßigen
344 16
Packungen,
4,75 m
344 Der Fußboden des Abstellraums soll
Sechsecks. Berechne den Flächeninhalt des Spiegels in
cm2 , wenn die Höhe 86 mm beträgt!
länge von 65 mm können maximal auf ein quadratisches
Papier mit einer Seitenlänge von 50 cm gezeichnet werden. Wie groß ist
die frei bleibende Fläche?
Sechsecken. Berechne die Seitenlänge und den Flächeninhalt einer Fliese!
gefliest werden. Eine Fliese hat die Form
eines regelmäßigen Sechsecks mit einer
Seitenlänge von 8 cm. Die Fliesen sind zu
je 10 Stück verpackt. Wie viele Packungen werden mindestens benötigt, wenn
mit 12 Prozent Verschnitt gerechnet wird?
(Fugen werden bei der Berechnung nicht
berücksichtigt!) Weiters wird rundherum eine Abschlussleiste angebracht.
Berechne deren Länge, wenn für die Tür 1,20 m abgezogen werden!
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
5.2.4 Parallelogramm und Raute (= Rhombus)
345 Ein Parallelogramm ist durch a = 8 cm,
b = 4 cm, α = 55° gegeben.
a) Konstruiere das Parallelogramm!
b) Berechne den Umfang!
c ) Berechne die Größe der anderen Innenwinkel!
d) Zeichne beide Höhen ein und miss sie ab!
e) Berechne auf zwei Arten den Flächeninhalt! Begründe, warum die
beiden Ergebnisse nicht exakt gleich sein müssen!
Parallelogramm
Die Diagonale e bzw. f ist jeweils
die Hypotenuse eines rechtwinkligen
Dreiecks. Die Katheten bilden die Höhe
ha bzw. hb und eine Seite plus/minus
einer bestimmten Strecke. In diesem so erhaltenen rechtwinkligen
Dreieck kann der Lehrsatz des Pythagoras aufgestellt werden.
345 a) —
b) 24 cm c) 55°;
125° d) 3,3 cm;
6,6 cm
e) 26,2 cm2 ;
26,2 cm2 ; Messungenauigkeiten
bzw.
Ungenauigkeiten
beim
Konstruieren
Berechnen des Flächeninhalts:
A = a ⋅ ha oder A = b ⋅ hb
346 Ein Viereck MUSS ein Parallelogramm sein, wenn es folgende Eigen-
346 E)
schaften hat:
A) ein Paar aneinanderstoßende gleich lange Seiten
B) ein Paar parallele Seiten
C) eine Diagonale als Symmetrieachse
D) zwei benachbarte gleich große Winkel
E) zwei Paar parallele Seiten
347 Die Figur zeigt ein schattiertes Parallelogramm in einem Rechteck. Wie groß ist die
Fläche des Parallelogramms?
348 Ein Parallelogramm ist gegeben durch:
a = 86 mm, b = 48 mm und ha = 32 mm.
a) Berechne die Längen der Teilstrecken x
und y!
b) Berechne die Länge der Diagonale f!
c ) Berechne die Länge der Diagonale e!
347 24 cm2
348
a) x = 35,8 mm;
y = 50,2 mm
b) 59,5 mm
c) 125,9 mm
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5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
349 Ein Parallelogramm (α < 90) ist durch drei Bestimmungsstücke
349 a) f = 20 cm;
u = 72 cm;
A = 268,8 cm2
b) e = 234 mm;
u = 540 mm;
A = 15120 mm2
c) e = 404,1 mm;
u = 837,2 mm;
A = 16 494,1 mm2
d) f = 25 cm;
u = 98,4 cm;
A = 449,28 cm2
351 a) rechter
Winkel b) in der
Hälfte
352 14 cm2 ,
Diagonalen
müssen
aufeinander
normal stehen,
bei Berechnung
immer Produkt
der Diagonalen
durch 2
353 a) 952 cm2
b) 1 064 cm2
354
a) f = 14,5 cm;
A = 66,9 cm2 ;
h = 7,8 cm
b) e = 13,6 cm;
A = 43,41 cm2 ;
h = 5,8 cm
c) e = 18,1 cm;
A = 68,65 cm2 ;
h = 7,0 cm
d) f = 7,6 cm;
A = 23,53 cm2 ;
gegeben. Berechne die Länge der fehlenden Diagonale, den Umfang und
den Flächeninhalt!
a) b = 13,6 cm; e = 31,2 cm; ha = 12 cm
b) b = 102 mm; f = 150 mm; ha = 90 mm
c ) a = 75 mm; f = 290 mm; hb = 48 mm
d) a = 18 cm; e = 44,4 cm; hb = 14,4 cm
350 Raute: Stell dir vor du hättest soeben eine Raute (einen Rhombus)
konstruiert, wobei die Seitenlänge 5 cm misst und ein Winkel 40° beträgt.
Beschreibe, wie du bei der Konstruktion vorgegangen bist!
351 Betrachte die abgebildete Raute und beantworte folgende Fragen:
a) Welchen Winkel schließen die Diagonalen
ein?
b) Wie teilen die Diagonalen einander?
352 Konstruiere eine Raute mit a = 4 cm und α = 60°.
a) Zeichne beide Diagonalen ein, miss sie ab und berechne mit diesen
Angaben den Flächeninhalt! Was fällt dir bei den Diagonalen auf? Erkläre!
b) Zeichne die Höhe ein, miss sie ab und berechne mit a und h den
Flächeninhalt!
Raute
Die Diagonalen e und f stehen normal
aufeinander. Sie unterteilen die Raute in
vier kongruente rechtwinklige Dreiecke.
Daher gilt folgende Beziehung:
2
a2 = ( 2e ) + ( f2 )
2
Berechnen des Flächeninhalts:
A = a ⋅ h oder A =
e⋅f
2
353 Die Höhe einer Raute ist 28 cm lang. Ihr Umfang beträgt a) 136 cm
b) 1,52 m. Berechne den Flächeninhalt!
354 Berechne die Länge der zweiten Diagonale, den Flächeninhalt und
die Höhe, wenn folgende Angaben einer Raute bekannt sind:
a) a = 8,6 cm; e = 9,2 cm
b) a = 7,5 cm; f = 6,4 cm
c ) a = 9,8 cm; f = 7,6 cm
d) a = 4,9 cm; e = 6,2 cm
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
355 Zeichne eine Raute mit a = 5 cm und α = 50°. Die Diagonalen e
und f teilen die Raute in vier Dreiecke.
a) Berechne den Flächeninhalt jedes einzelnen Dreiecks! Entnimm die
notwendigen Längen der Zeichnung! Was fällt dir auf?
b) Begründe, warum diese vier Dreiecke kongruent sind!
356 Von einer Raute sind die Längen der beiden Diagonalen gegeben.
Berechne den Umfang der Raute!
a) e = 12,8 cm; f = 9,2 cm
c ) e = 14,2 cm; f = 8,4 cm
b) e = 132 mm; f = 156 mm
d) e = 1,5 dm; f = 1,8 dm
357 Von einer Raute sind der Flächeninhalt und die Länge einer Diagonale
gegeben. Berechne die Länge der Seite a!
a) A = 54 cm2 ; e = 12 cm
b) A = 31,82 cm2 ; f = 7,4 cm
c ) A = 85,84 cm2 ; f = 14,8 cm d) A = 116,48 cm2 ; e = 18,2 cm
358 Berechne die Länge der Seite a der Raute!
a) e = 24 cm; A = 360 cm2
c ) f = 2,4 dm; A = 3,36 dm2
b) f = 0,5 m; A = 0,2 m2
d) e = 62 mm; A = 2 604 mm2
359 Wie verändert sich der Flächeninhalt einer Raute, wenn
355 a) 4,8 cm2 ,
flächengleich
b) Die
Seitenlängen sind
jeweils gleich.
356 a) 31,5 cm
b) 409 mm
c) 33 cm
d) 4,69 dm
357 a) 7,5 cm
b) 5,7 cm
c) 9,4 cm
d) 11,1 cm
358 a) 19,2 cm
b) 0,47 m
c) 1,8 dm
d) 52,2 mm
a) die Seitenlängen verdoppelt werden?
b) die Länge einer Diagonale halbiert wird?
c ) die Längen beider Diagonalen verdoppelt werden?
d) die Länge einer Diagonalen verdoppelt wird und die Länge der anderen
Diagonale halbiert wird?
359 a) 4 ⋅ A b)
c) 4 ⋅ A d) A
bleibt
unverändert
360 Von einer Raute sind der Umfang und die Länge einer Diagonale
bekannt. Berechne den Flächeninhalt der Raute!
a) u = 44 cm; e = 12 cm
b) u = 30,4 cm; f = 5,8 cm
c ) u = 84,4 cm; e = 20,5 cm
d) u = 37,2 cm; f = 10,8 cm
360 a) 110,63 cm2
b) 40,74 cm2
c) 378,08 cm2
d) 81,77 cm2
361 Ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 26 cm und eine
361 18,4 cm
Raute mit der Diagonale von e = 32 cm sind flächengleich. Berechne die
Seitenlänge der Raute!
362 65,8 mm
362 Ein Quadrat mit einem Umfang von 260 mm und eine Raute mit
der Diagonale f = 82 mm sind flächengleich. Berechne die Seitenlänge
der Raute!
⋆363 Von einer Raute ist die Länge der Seite a bekannt und der Winkel
α = 60°. Berechne die Länge der Höhe h, die Längen der beiden Diagonalen und den Flächeninhalt!
a) a = 8 cm
b) a = 70 mm
A
2
363 a) h = 7 cm;
f = a;
e = 13,9 cm;
A = 55,6 cm2
b) h = 60,6 mm;
f = a;
e = 121,2 mm;
A = 4 242 mm2
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5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
5.2.5 Trapez
364 aus der
Teilung eines
Parallelogramms
364 In der 3. Klasse hast du bereits Flächeninhalte von verschiedenen
Trapezen mit der Formel A = a+c
2 ⋅ h berechnet. Arbeite mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin zusammen: Erklärt, wie diese Formel entstanden
ist!
Trapez
Berechnen des Flächeninhalts:
a+c
⋅h
2
Bei einem gleichschenkligen Trapez gilt: b = d
A=
365 a) 2,6 m2
b) 132 cm;
145 cm
366 a) 0,6 m2
b) 167,6 cm
365 Ein Wassergraben mit einer Tiefe von 1,30 m
soll neu angelegt werden (Maße in cm!).
a) Wie groß ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche?
b) Wie lang sind jeweils die beiden Böschungen?
366 Die Abbildung zeigt die Arbeitsplatte
2
367 14,92 m ;
473 cm
368
a) u = 159 mm;
e = 56,3 mm;
f = 50 mm;
A = 1 369,5 mm2
b) u = 136,8 cm;
e = 51,5 cm;
f = 42 cm;
A = 1 078,56 cm2
c) u = 135,9 cm;
e = 41,7 cm;
f = 54,7 cm;
A = 908,25 cm2
369 a) 182,7 cm;
1 925 cm2
b) 232,5 cm;
3 141,6 cm2
einer Einbauküche (a = 140 cm, c = 112 cm,
h
h = 48 cm).
2
a) Wie groß ist die Platte (in m )?
b) Auf die Kanten c und b wird eine Leiste geklebt.
Berechne die Gesamtlänge der Leiste!
a
b
c
367 Die Wand eines Geräteschuppens (Maßanga-
ben in cm) erhält einen wetterfesten Anstrich. Außerdem wird an der schräg verlaufenden Kante ein
Kantenschutz angebracht. Berechne die zu streichende Fläche und die mindestens notwendige Länge des Kantenschutzes!
368 Allgemeines Trapez: Berechne den Umfang, die Längen der beiden
Diagonalen und den Flächeninhalt!
a) a = 60 mm; b = 36 mm; d = 40 mm; h = 33 mm
b) a = 44,2 cm; c = 20 cm; d = 38,6 cm; h = 33,6 cm
c ) a = 54,5 cm; b = 28 cm; c = 32 cm; h = 21 cm
369 Berechne Umfang und Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes!
a) a = 62 cm; c = 48 cm; d = h = 35 cm
b) a = 74,5 cm; b = h = 52,8 cm; c = 44,5 cm
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
370 Flächeninhalt: Claudia findet in einem
370 Zerlegung des
Trapezes in
Parallelogramm
und Dreieck.
Schulbuch folgende Grafik eines Trapezes ABCD. Darunter wird eine Formel für den Flächeninhalt des Trapezes angegeben:
(a−c)⋅h
A=c⋅h+
2
Erkläre die angegebene Flächeninhaltsformel!
371 Eine rechteckige, 60 cm breite Platte wird so
371 x = 20 cm;
84,9 cm
geteilt, dass die größere Teilfläche doppelt so groß
ist wie die kleinere. Berechne die Länge der Strecke
x und die Länge der Schnittlinie!
372 248 cm2
372 Figur:
Ermittle den Flächeninhalt der dargestellten
Figur!
10 cm
20 cm
12 cm
373 Skizziere ein gleichschenkliges Trapez!
Welche Eigenschaften hat solch ein Trapez?
373 b = d, e = f
18 cm
374 Gleichschenkliges Trapez (b = d): Berechne Umfang, Höhe, Flächeninhalt und die Länge der Diagonalen (e = f)!
a) a = 16,8 cm; b = d = 8 cm; c = 7,2 cm
b) a = 124 mm; b = d = 50 mm; c = 64 mm
375 Ein Damm hat ein gleichschenkli-
ges Trapez als Querschnittsfläche. Berechne den Flächeninhalt der Querschnittsfläche, die Böschungsbreite und
die Böschungslänge!
a) Dammsohle: 28 m; Dammkrone: 9 m;
Dammhöhe: 4,5 m
b) Dammsohle: 16,5 m; Dammkrone: 5,5 m; Dammhöhe: 3,8 m
c ) Dammsohle: 12,6 m; Dammkrone: 6,8 m; Dammhöhe: 2,6 m
d) Dammsohle: 22 m; Dammkrone: 8,6 m; Dammhöhe: 5,2 m
376 In wie viele Dreiecke, die die Größe und
Form des schattierten Dreiecks haben, kann
das Trapez zerlegt werden?
A) drei B) vier C) fünf D) sechs
374 a) u = 40 cm;
h = 6,4 cm;
A = 76,8 cm2 ;
e = 13,6 cm
b) u = 288 mm;
h = 40 mm;
A = 3 760 mm2 ;
e = 102,2 mm
375
a) A = 83,25 m;
9,5 m; 10,5 m
b) A = 41,8 m2 ;
5,5 m; 6,7 m
c) A = 25,22 m2 ;
2,9 m; 3,9 m
d) A = 79,56 m2 ;
6,7 m; 8,5 m
376 C)
5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
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5.2.6 Vierecke mit normal aufeinander stehenden
Diagonalen
377 B, C, F
377 Bei welchen dieser Vierecke stehen die Diagonalen normal aufeinan-
der? Kreuze an!
A Rechteck
C Raute (= Rhombus)
E Trapez
B Quadrat
D Parallelogramm
F Deltoid
Deltoid
378 Diagonalen
stehen normal
aufeinander,
u = 2a + 2b,
u = 22 cm,
A = 26,9 cm2
Die Diagonalen e und f stehen normal aufeinander,
wobei f durch e halbiert wird. Die Diagonale e ist
Symmetrieachse.
Berechnen des Flächeninhalts:
379
a) e = 75mm +
115 mm =
190 mm;
A = 13 680 mm2
b) e = 11,7 cm +
36,7 cm =
48,4 cm;
a = 1 258,44 cm2
c) e = 2,4 dm +
3,8 dm = 6,2 dm;
A = 14,92 dm2
d) e = 13,3 cm +
9,5 cm = 22,8 cm;
A = 182 cm2
Diese Flächenformel gilt bei allen Vierecken, deren
Diagonalen normal aufeinander stehen!
380
a) e = 15,2 cm;
A = 63,8 cm2
b) e = 77 mm;
A = 3 000 mm2
c) e = 80 cm;
A = 1920 cm2
d) e = 39,8 cm;
A = 310,1 cm2
A=
e⋅ f
2
378 Konstruiere ein Deltoid mit a = 4 cm, b = 7 cm und f = 6 cm.
Welche Eigenschaften hat dieses Viereck? Gib eine Formel zum Berechnen
des Umfangs an und berechne diesen. Berechne auch den Flächeninhalt!
(Entnimm die nicht gegebene Länge der Zeichnung!)
379 Ein Deltoid mit der Symmetrieachse e ist gegeben durch die Seitenlängen a und b und durch
die Länge der Diagonale f. Berechne die Länge der
Diagonale e als Summe der Abschnitte x und y und
ermittle anschließend den Flächeninhalt!
a) a = 104 mm; b = 136 mm; f = 144 mm
b) a = 28,5 cm; b = 45 cm; f = 52 cm
c ) a = 3,4 dm; b = 4,5 dm; f = 4,8 dm
d) a = 15,5 cm; b = 12,4 cm; f = 16 cm
380 Deltoid: Berechne die Länge der zweiten Diagonale und den Flächeninhalt!
a) a = 9,8 cm; b = 7,6 cm; f = 8,4 cm
b) a = 45 mm; b = 67 mm; f = 78 mm
c ) a = 74 cm; b = 26 cm; f = 48 cm
d) a = 25 cm; b = 17,8 cm; f = 15,6 cm
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5.2 Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren
381 Von einem Deltoid sind die Länge einer Seite und die Längen der
beiden Diagonalen gegeben. Berechne die Länge der anderen Seite und
den Flächeninhalt!
a) a = 39 cm; e = 50,7 cm; f = 72 cm
b) b = 24,4 cm; e = 48 cm; f = 40,8 cm
c ) b = 42,5 cm; e = 61 cm; f = 52 cm
d) a = 28,5 cm; e = 47,8 cm; f = 32 cm
382 Ein Deltoid ist gegeben durch die Längen der Diagonalen und durch
die Länge einer Seite. Berechne den Umfang des Deltoids!
a) e = 18,5 cm; f = 14,8 cm; a = 9,2 cm
b) e = 35,4 cm, f = 24,2 cm; b = 30,5 cm
c ) e = 185 mm; f = 120 mm; b = 146 mm
d) e = 2,7 dm; f = 2,4 dm; a = 1,6 dm
383 Berechne den Umfang des Deltoids!
a)
b)
c)
d)
a = 125 mm; e = 260 mm; A = 15 600 mm2
b = 81 cm; f = 80 cm; A = 4 800 cm2
a = 3,4 dm; e = 5,4 dm; A = 11,34 dm2
a = 45,8 cm; f = 58 cm; A = 2 349 cm2
384 Tom will mit dem kleinen Sohn einer befreundeten Familie einen
Drachen aus Papier basteln. Der Drachen soll folgende Abmessungen
haben: a = 60 cm, b = 80 cm, f = 70 cm. Wie viel m2 Papier sind
notwendig, wenn noch 20 Prozent des Flächeninhalts als Verschnitt
gerechnet werden?
385 Gegeben ist ein Viereck, dessen Diagonalen
normal aufeinander stehen.
Berechne Umfang und Flächeninhalt des Vierecks!
(Längenangaben in cm!)
386 Ein Brett wird, wie in der Abbildung darge-
stellt, zerschnitten.
a) Berechne den Flächeninhalt des so entstandenen Vierecks!
b) Berechne die Längen der Schnittkanten!
(Längenangaben in cm!
⋆387 Bei einem speziellen Deltoid gilt: b = 2 ⋅ a, α = 90°. Leite eine
Formel für den Flächeninhalt her, wobei der Flächeninhalt nur durch die
Seite a ausgedrückt wird! Berechne anschließend den Flächeninhalt für
a = 40 mm! Zeichne es!
381
a) b = 50,7 cm;
A = 1 825,2 cm2
b) a = 40,2 cm;
A = 979,2 cm2
c) a = 37,8 cm;
A = 1 586 cm2
d) b = 29 cm;
A = 764,8 cm2
382 a) 48,4 cm
b) 89,4 cm
c) 450,7 mm
d) 7,27 dm
383
a) u = 574 mm
b) u = 290 cm
c) u = 13,68 dm
d) u = 200 cm
384 0,51 m2
385 u = 446,6 cm;
A = 10 738 cm2
386
A = 2 629,63 cm2 ;
40,8 cm; 57,7 cm;
71,5 cm; 58,7 cm
387
√
2
2
A = a2 + a ⋅2 7 ;
2 916 mm2
5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
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102
5.3 Höhen- und Kathetensatz
388 a) h und
rechter Winkel
sind gleich, daher
α = α1 b) gleich
große Winkel
c) p : h = h : q
d) h2 = p ⋅ q
388 Höhensatz: In einem rechtwinkligen Drei-
eck wird die Hypotenuse c durch die Höhe h (=
hc ) in zwei Abschnitte p und q geteilt. (Diese
beiden Hypotenusenabschnitte werden zumeist
so benannt, dass p der Seite a und q der Seite
b anliegt.)
a) Begründe, warum die beiden Winkel ∢ CAD = α
und ∢ BCD = α1 gleich groß sind.
b) Daraus muss nun folgen, dass die beiden rechtwinkligen Teildreiecke
△ ADC und △ CDB zueinander ähnlich sind. Begründe diese Aussage!
c ) Schreib das Verhältnis „kürzere Kathete zu längerer Kathete“ in
jedem der ähnlichen Dreiecke an. Erstelle daraus eine Proportion!
d) Berechne aus dieser Proportion h2 !
Höhensatz
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt folgende Beziehung:
h2c = p ⋅ q
(c = p + q)
Die Längen p und q werden als Hypotenusenabschnitte bezeichnet.
389 Rechteck
p ⋅ h ist
flächengleich mit
Quadrat h2
390 a) 6 cm;
36,6 cm2
b) 12 cm;
156 cm2
391 a) —
b) a : p = c : a ⇒
a2 = c ⋅ p
389 Die Zeichnung zeigt eine geometrische Inter-
pretation des Höhensatzes. Erkläre mit eigenen
Worten, wie der Höhensatz mit Hilfe von Flächeninhalten interpretiert werden kann! Arbeite gemeinsam mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin!
390 Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Berechne die Höhe des Dreiecks und seinen
Flächeninhalt!
a) p = 5 cm; q = 7,2 cm
b) p = 8 cm; q = 18 cm
391 Kathetensatz: Die Hypotenuse c wird durch
die Höhe hc in die beide Abschnitte p und q geteilt. Jedes der beiden Teildreiecke (Dreieck DBC
und Dreieck ADC) ist ähnlich zum ursprünglichen
rechtwinkligen Dreieck.
a) Begründe folgende Beziehung:
△ABC ∼ △ADC ⇒ b : q = c : b ⇒ b2 = c ⋅ q
b) Vervollständige: △ABC ∼ △DBC ⇒ . . .
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5.3 Höhen- und Kathetensatz
Kathetensatz
In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten folgende
Beziehungen:
a2 = c ⋅ p
b2 = c ⋅ q
(c = p + q)
392 Die Zeichnung zeigt eine geometrische Interpreta-
tion des Kathetensatzes.
Erkläre die Zeichnung!
Arbeite mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin zusammen!
393 Aus der obigen Abbildung ist auch der Zusammenhang zwischen
dem Kathetensatz und dem pythagoräischen Lehrsatz erkennbar! Erkläre
den Zusammenhang!
394 Berechne die Längen der fehlenden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks! (Tipp: Berechne die Hypotenuse mit dem Kathetensatz und die
zweite Kathete mit dem Lehrsatz des Pythagoras!)
a) a = 12,8 cm; p = 5,4 cm
b) b = 7,2 cm; q = 3,5 cm
395 Von einem rechtwinkligen Dreieck (γ = 90°) sind die Länge einer
Kathete und die Länge des anliegenden Hypotenusenabschnitts bekannt.
Berechne die Längen der fehlenden Seiten sowie den Flächeninhalt!
a) a = 74 mm; p = 38 mm
b) b = 58 mm; q = 47 mm
c ) b = 0,8 m; q = 0,6 m
d) a = 1,25 dm; p = 1,04 dm
396 Ein rechtwinkliges Dreieck ABC (γ = 90°) ist durch die Längen der
beiden Hypotenusenabschnitte gegeben. Berechne die Seitenlängen und
die Höhe!
a) p = 28 mm; q = 34 mm
b) p = 6,2 cm; q = 5,6 cm
c ) p = 2,25 dm; q = 2,65 dm
d) p = 0,92 m; q = 1,15 m
397 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (γ = 90°) ist die Höhe und
die Länge eines Hypotenusenabschnitts bekannt. Berechne die Längen
der Seiten und den Flächeninhalt!
a) h = 12,8 cm; p = 6,2 cm
b) h = 95 mm; q = 72 mm
c ) h = 3,8 dm; p = 2,4 dm
d) h = 24,3 cm; q = 16,4 cm
398 Paul Kuddelmuddel berechnete die Höhe hc bei einem rechtwinkligen
Dreieck aus den Angaben c = 12 cm und p = 8 cm. Er erhält hc = 32 cm.
Tom erhält als Lösung bei dieser Rechnung aber hc = 5,7 cm. Wer hat
richtig gerechnet und welcher Fehler ist unterlaufen?
392
Kathetenquadrat
ist flächengleich
mit Quadrat aus
Hypotenusenlänge mal
entsprechendem
Hypotenusenabschnitt.
393 c2 = a2 + b2
wobei c2 = c ⋅ p +
c⋅q
394
a) b = 27,5 cm;
c = 30,3 cm
b) a = 12,9 cm;
c = 14,8 cm
395
a) b = 124 mm;
c = 144 mm;
A = 4 575 mm2
b) a = 42 mm;
c = 72 mm;
A = 1 216 mm2
c) a = 0,71 m;
c = 1,07 m;
A = 0,282 m2
d) b = 0,83 dm;
c = 1,50 dm;
A = 0,52 dm2
398 Paul hat
nicht die Wurzel
gezogen.
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5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
5.3.1 Anwendung des Höhen- und Kathetensatzes:
grafische Darstellung von Quadratwurzeln
396
a) a = 42 mm;
b = 46 mm;
c = 62 mm;
h = 31 mm
b) a = 8,6 cm;
b = 8,1 cm;
c = 11,8 cm;
h = 5,9 cm
c) a = 3,32 dm;
b = 3,60 dm;
c = 4,90 dm;
h = 2,44 dm
d) a = 1,38 m;
b = 1,54 m;
c = 2,07 m;
h = 1,03 m
397
a) a = 14,2 cm;
b = 29,3 cm;
c = 32,6 cm;
a = 208,03 cm2
b) a = 157 mm;
b = 119 mm;
c = 197 mm;
a = 9 342 mm2
c) a = 4,5 dm;
b = 7,1 dm;
c = 8,4 dm;
a = 16 dm2
d) a = 43,4 cm;
b = 43,4 cm;
c = 52,4 cm;
a = 941,78 cm2
400 ja, a = 1 cm;
b = 2 cm
402 a) — b) ca.
2,6 cm
Irrationale Zahlen können auf der Zahlengeraden nicht nur mit Hilfe
des pythagoräischen Lehrsatzes (siehe Kap. 4.6 auf S. 76), sondern
auch mit Hilfe des Höhen- und Kathetensatzes dargestellt werden!
Beispiel:
√
3
Kathetensatz:
Höhensatz:
√
√
a = c⋅ p
h = p⋅ q
√
√
√
√
3 = 3⋅1
3 = 3⋅1
√
Die Länge 3 kann nun mit einem Zirkel auf die Zahlengerade
übertragen werden!
399√Konstruiere und stelle
dar!
√ auf der Zahlengeraden
√
a)
5
400 Kann
b)
10
c)
12
d)
√
6
√
5 auch als Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks dargestellt werden? Wenn ja, zeichne dieses Dreieck!
401 Stelle noch drei weitere Wurzeln grafisch dar!
402 Zeichne eine „Wurzelspirale“!
a) Erweitere um fünf weitere Dreiecke!
√b) Welche Länge hat die gezeichnete Strecke für
7? Vergleiche die gemessene Länge mit dem errechneten Wert der Wurzel!
403 Pythagoräischer Lehrsatz:
Entscheide jeweils, ob die angeführte Behauptung
für das Dreieck in der Abbildung wahr oder falsch
ist!
Behauptung
wahr
Für das abgebildete Dreieck gilt r2 + s2 = t2 .
×
√
2
2
Für das abgebildete Dreieck gilt s = r + t .
Für das abgebildete Dreieck gilt r = t2 − s2 .
√
Für das abgebildete Dreieck gilt t = r2 + s2 .
×
2
2
2
Für das abgebildete Dreieck gilt s = t − r .
×
Für das abgebildete Dreieck gilt t2 = (r + s)2 .
Für das abgebildete Dreieck gilt t = r + s.
r
t
falsch
×
×
×
×
s
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5.4 Rückblick, Ausblick und Exercises
5.4 Rückblick, Ausblick und Exercises
5.4.1 Zusammenfassung
404 Verwandte Vierecke:
Nina sagt: „Ein gleichschenkliges Trapez, ein Rechteck und ein Quadrat
sind verwandte Vierecke, denn sie haben einige gemeinsame Eigenschaften.“ Max glaubt Nina nicht und fordert sie auf, solche gemeinsamen
Eigenschaften zu nennen. Welche der folgenden Aussagen Ninas sind
korrekt, welche nicht?
A) Alle drei Vierecke haben mindestens zwei parallele Seiten.
B) Bei allen drei Vierecken sind die beiden Diagonalen gleich lang.
C) Bei allen drei Vierecken stehen die beiden Diagonalen im rechten
Winkel zueinander.
D) Alle drei Vierecke haben mindestens zwei gleich lange Seiten.
405 In welcher Figur gilt der Pythagoräische Lehrsatz? Wie lautet er?
406 Berechne die Länge der fehlenden Seite und den Flächeninhalt des
rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge s = 152 cm und der
Hypotenusenlänge t = 190 cm!
407 Von einem Rechteck ist der Umfang u = 164,6 cm und die Länge
der Seite a = 46,5 cm bekannt. Wie lang ist die Diagonale des Rechtecks?
404 korrekt: A, B,
D; nicht korrekt:
C
405
rechtwinkliges
Dreieck,
a2 + b 2 = c 2
406 r = 114 cm,
A = 8 664 cm2
407 58,7 cm
408 Eine quadratische Weide mit einer Fläche von 1 444 m2 soll entlang
der Diagonale mittels eines Zauns getrennt werden. Wie viel Meter Zaun
sind notwendig, wenn eine Hälfte der Weide umzäunt werden soll? Runde
auf Meter genau!
409 Der Umkreisradius eines Quadrats beträgt 7,1 cm. Welche Seitenlänge hat dieses Quadrat?
408 130 m
410 Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit c = 6 cm und a = b = 8 cm. 409 10 cm
Berechne die Höhe hc und den Flächeninhalt!
411 Berechne Höhe und Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit
a = 5,6 cm!
412 Ein Zierspiegel hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit einer
410 hc = 7,4 cm;
A = 22,2 cm2
411 h = 4,8 cm;
A = 13,6 cm2
Seitenlänge von 15 cm. Berechne den Flächeninhalt!
412 584,57 cm2
413 Eine rechteckige Hauseinfahrt (4,5 m x 9,5 m) wird mit Steinen
413 1 143 Steine
gepflastert. Ein solcher Stein hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks
mit einer Kantenlänge von 12 cm. Wie viele solcher Pflastersteine sind
mindestens erforderlich?
414 a) a2 =
2
( 2e )
5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras
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2
+ ( f2 )
b) f = 13,4 cm;
80,50 cm2
415 a = 35 cm;
A = 1 176 cm2 ;
h = 33,6 cm
2
414 Skizziere eine Raute und zeichne beide Diagonalen ein!
a) Kennzeichne ein rechtwinkliges Dreieck, welches durch das Einzeichnen der Diagonalen entstanden ist. Wende den Lehrsatz des Pythagoras
an!
b) Die Seite a ist 9 cm lang, die Diagonale e = 12 cm. Berechne die
Länge der Diagonale f und den Flächeninhalt!
415 Berechne die Länge des Umfangs, den Flächeninhalt und die Länge
der Höhe einer Raute mit e = 42 cm und f = 56 cm!
416 Der Querschnitt eines Bahndamms hat die Form eines gleichschenkli-
416 25 m ; 2 m;
3,2 m
gen Trapezes (Dammsohle: 12 m; Dammkrone: 8 m; Dammhöhe: 2,5 m).
Berechne den Flächeninhalt, die Böschungsbreite und die Böschungslänge!
417 u = 72 cm;
A = 308,49 cm2
417 Berechne die Länge des Umfangs und den Flächeninhalt des Deltoids
418 a = 161 mm;
b = 112 mm
418 Rechtwinkliges Dreieck (γ = 90°): Gegeben sind q = 64 mm und
419 Falls rechter
Winkel:
602 + 802 = c2 ;
c = 100 cm. Falls
c ungleich 100 cm,
dann liegt kein
rechter Winkel
vor!
419 Rechter Winkel: Ein Tischler überprüft,
420 a) z B:
470 mm; 630 mm;
960 mm
b) 665 mm;
891 mm;
1 358 mm c) —
421 5,7 m; 12,7 m;
zwei mal 3,5 m
mit a = 15,6 cm; b = 20,4 cm und f = 21,6 cm!
c = 196 mm. Berechne die Längen der Katheten!
80 cm
60 cm
ob zwei zusammengefügte Holzbalken tatsächlich einen rechten Winkel bilden. Er bringt dazu an beiden Balken jeweils eine Markierung
an, die erste 60 cm und die zweite 80 cm von
der Innenkante des jeweils anderen Balkens
entfernt (siehe Grafik!). Dann misst er den
Abstand zwischen den beiden Markierungen.
Gib eine mathematische Begründung dieses
Messverfahrens für rechte Winkel an!
420 Das Verkehrszeichen „Vorrangstraße“ hat die Form eines Quadrats.
a) Finde heraus, welche verschiedenen Seitenlängen dieses Verkehrszeichen laut STVO (= Straßenverkehrsordnung) in Österreich haben kann.
b) Berechne die Länge der Diagonalen!
c ) Wo werden diese Verkehrszeichen aufgestellt?
421 Dächer müssen gut gestützt sein!
Berechne die Längen der färbig eingezeichneten
Holzbalken einer Dachkonstruktion!
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5.4 Rückblick, Ausblick und Exercises
5.4.2 Exercises
vocabulary
perimeter
Umfang
area
Flächeninhalt
rhombic
rautenförmig
equilateral
gleichseitig
trapezium
Trapez
to raise
aufschütten
cross-section Querschnitt
slope
Böschung
kite
Drachen
422 Find the area of the right-angled triangle and calculate c!
a) a = 65 mm; b = 42 mm
b) a = 11.2 cm; b = 14 cm
423 The area of an equilateral triangle is 35.07 cm2 . How long are the
sides of the triangle?
424 A wall has the form of a rectangle (14 m x 4,5 m). It is redone with
panels. How many rhombic panels with (a = 40 cm, f = 40 cm) are
necessary, if 15 percent of the area are needed for the overlap?
422
a) A = 1 365 mm2 ;
c = 77 mm
b) A = 78,4 cm2 ;
c = 17.9 cm
423 9 cm
424 523 panels
425 A trapezium dam should be raised (a = 13 m; c = 7 m; h = 3 m). 425 30 m2 , 4.2 m
Calculate the area of the cross-section! How long are the slopes?
426 The side window of a car is a right-angled trapezium
with a = 55 cm; c = 28 cm and h = 32 cm. How much
glass (in m2 ) is needed for 200 such windows?
426 26.56 m2
427 The diagonals of a kite are 1.2 m and 70 cm long. Calculate the
427 0.42 m2
area!
5.4.3 Ausblick
Flächenberechnungen werden
seit der Antike gemacht. Da
es aber nicht nur geradlinig
begrenzte Flächen gibt, sondern auch solche, die von Kurven begrenzt
werden, wird das Berechnen der Fläche zunehmend komplexer. Eine
Möglichkeit der Berechnung ist, die Fläche in viele geradlinig begrenzte Flächen zu unterteilen. Der griechische Mathematiker Archimedes
(287 – 212 v. Chr.) wendete dieses Verfahren bereits auf krummlinig
begrenzte Flächen an.