Adiabatische Zustandsvertauschung bei exzeptionellen Punkten in

Universität Stuttgart im Sommersemester 2014
Bachelorarbeit
Adiabatische Zustandsvertauschung
bei exzeptionellen Punkten
in Resonanzspektren
Eingereicht von:
Marcel Klett
13. August 2014
Prüfer: Apl. Prof. Dr. Jörg Main
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
I. Motivation
1
II. Grundlagen
1.
Nichthermitesche Quantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Wahrscheinlichkeitsentwicklung in nichthermiteschen Quantensystemen
3.
Beispiel für einen exzeptionellen Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Adiabatisches Verhalten eines nichthermiteschen Systems . . . . . . . . .
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3
3
4
5
7
III. Zeitentwicklung in einem nichthermiteschen System: Ein 2 × 2-Matrixmodell
13
IV. 5 × 5-Matrixmodell mit Störung
1.
Einführung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Zeitentwicklung und adiabatische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
18
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des Wasserstoffatoms
1.
Das Wasserstoffproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Hamiltonoperator und Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . .
3.
Numerische Lösung des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Zeitentwicklung der Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Betrachtung umliegender Resonanzen . . . . . . . . . . . . . .
6.
Adiabatische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI. Vergleich des 5 × 5-Matrixmodells mit dem Wasserstoffproblem
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27
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29
30
32
35
41
VII. Zusammenfassung
43
A. Hartree-Einheiten
45
B. Lösung des ungestörten Wasserstoffatoms
47
C. Beispiele einiger exzeptioneller Punkte
51
Literatur
61
iii
I. Motivation
Von einem exzeptionellen Punkt n-ter Ordnung spricht man, wenn eine n-fache Entartung von
Eigenwerten und deren Eigenzuständen beim Einstellen dafür geeigneter äußerer physikalischer
Parameter auftritt. In der Physik – speziell im Gebiet der Quantenmechanik – kann dies nur auftreten,
wenn der zu betrachtende Hamiltonoperator nichthermitesch ist, was komplexe Energieeigenwerte
zu Folge hat. Da die Energie eine reelle, messbare Größe ist, erfordert der Imaginärteil der Energie
eine sinnvolle Interpretation. Aus der Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeit lässt sich ableiten,
dass der Energieimaginärteil als Zerfallsrate eines Zustandes verstanden werden kann. Ein System,
das einen dissipativen Effekt aufzeigt – auch offenes Quantensystem genannt – lässt sich daher gut
durch die nichthermitesche Quantenmechanik beschreiben [1]. Ein Beispiel eines solchen offenen
Quantensystems ist das Wasserstoffatom in gekreuzten Feldern. Dabei liegen externe elektrische und
magnetische Felder an. Ein großer Vorteil dieses Quantensystems ist die einfache experimentelle
Zugänglichkeit. Diese Arbeit dient in erster Linie der Untersuchung der Zeitentwicklung des
Wasserstoffatoms in gekreuzten Feldern. Als Vorbereitung werden zwei fiktive Systeme betrachtet,
deren Hamiltonoperatoren eine komplex symmetrische Matrixstruktur aufweisen und für bestimmte
Parameter einen exzeptionellen Punkt besitzen.
In der Gegenwart von exzeptionellen Punkten treten häufig überraschend erscheinende Effekte auf. Umrundet man z.B. einen exzeptionellen Punkt im Parameterraum, stellt man fest, dass
die Resonanzen, die mit ihm verknüpft sind, nicht zu ihrem Ausgangspunkt in der komplexen
Energieebene zurückkehren, sondern miteinander vertauschen [1]. Uzdin und andere [2] sowie
Berry und Uzdin [3] haben gezeigt, dass dieses adiabatische Vertauschen allerdings nicht für die
Zeitentwicklung tatsächlich besetzter Resonanzen auftritt. Nur einer der Zustände verhält sich entsprechend der adiabatischen Erwartung [4]. Es gibt Vorschläge, diesen Effekt für Anwendungen wie
z.B. das kontrollierte Besetzen von Zuständen [2, 5, 6] auszunutzen. In diesen Betrachtungen wurden
die beteiligten Resonanzen am exzeptionellen Punkt jedoch immer als isoliert von allen anderen
angesehen. Dies ist in physikalischen Systemen oft nicht der Fall. Lefebvre und andere haben gezeigt,
dass Resonanzen in der Umgebung das Vertauschungsverhalten maßgeblich beeinflussen können [7].
In dieser Arbeit soll das systematisch untersucht werden. Das Wasserstoffatom in gekreuzten Feldern
eignet sich besonders dafür, da es relativ einfach mit exakt numerischen Methoden zugänglich ist und
eine große Zahl an exzeptionellen Punkten in diesem System bekannt sind [8], die unterschiedliche
Umgebungen (Nähe anderer Resonanzen) besitzen.
Im ersten System – einem 2 × 2-Matrixmodell – liegt der Fokus hauptsächlich auf einem grundlegenden Verständnis eines nichthermiteschen Systems. Dazu wird ein zeitabhängiger Wellenfunktionsansatz angewendet, um die zeitabhängige Schrödingergleichung exakt zu lösen und somit
Informationen über die Zeitentwicklung der Zustände zu extrahieren. Zusätzlich wird das Ergebnis dieser Zeitentwicklung mit einer adiabatischen Näherung verglichen, die alle Projektionen auf
unterschiedliche Eigenzustände vernachlässigt.
Im zweiten Beispielmodell wird der Hamiltonoperator durch eine komplex symmetrische 5 × 5Matrix beschrieben, die in den ersten zwei Komponenten das zuvor verwendete 2 × 2-Matrixmodell
enthält und damit auch exzeptionelle Punkte aufzeigt. Dabei werden ganz bewusst Störparameter
eingebaut, die eine Kopplung der Zustände des exzeptionellen Punktes mit den umliegenden
Resonanzen bewirkt. Die Zeitentwicklung des Systems wird dahingehend untersucht, inwiefern
1
die Kopplungen die Zeitentwicklung der Resonanzen, die zum exzeptionellen Punkt gehören,
beeinflussen. Um diesen Störeffekt quantifizieren zu können, wird eine Zeitentwicklung berechnet,
die nur die Zustände des exzeptionellen Punktes enthält und eine Zeitentwicklung, die alle Zustände
mit einbezieht. Am Ende wird der Betrag der Differenz dieser beiden Ergebnisse gebildet, um
einen Grad der Abweichung zu erhalten. Außerdem wird für den Fall eines bestimmten Radius
eine dreifache Vertauschung von Resonanzen in einer Form, die einem exzeptionellen Punkt dritter
Ordnung ähnelt, erzeugt und deren Zeitentwicklung untersucht.
Das physikalisch relevante System in dieser Arbeit ist das Wasserstoffatom in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern. Dazu wird der Hamiltonoperator des Systems angegeben und
eine Möglichkeit das Problem numerisch zu lösen beschrieben. Neben einer kurzen Diskussion
eines Energiespektrums des Systems und der Angabe einiger exzeptioneller Punkte liegt, wie in den
Beispielmodellen, das Hauptaugenmerk auf der Zeitentwicklung der Zustände. Für eine verschiedene Anzahl von umliegenden Resonanzen wird die Zeitentwicklung eines exzeptionellen Punktes
berechnet und mit der Zeitentwicklung verglichen, die nur die beiden zum exzeptionellen Punkt
gehörenden Resonanzen enthält. Aus den Kenntnissen der Matrixmodelle über das adiabatische
Verhalten eines Systems, wird eine Vorhersage über das Verhalten des Wasserstoffproblems getätigt und diese Vermutung untersucht. Zuletzt wird eine Erklärung für das adiabatische Verhalten
eines Systems gegeben und es wird auf die Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen eingegangen. Der letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit dem Vergleich der Matrixmodelle mit dem
Wasserstoffatom.
2
II. Grundlagen
1. Nichthermitesche Quantensysteme
In der hermiteschen Quantenmechanik existiert zu jedem Eigenwert λi ein Eigenzustand |i i, der die
Orthonormalitätsbedingung
hi | ji = δi,j
(2.1)
erfüllt. In der nichthermiteschen Quantenmechanik wird das System durch einen Hamiltonoperator
beschrieben, der keine Hermitizität aufweist. Die Forderung
H (t) = H † (t)
(2.2)
ist damit hinfällig. Im Allgemeinen besitzt ein nichthermitescher Operator Eigenwerte, die komplex
sind. Die nichthermitesche Quantenmechanik ist eine gute Möglichkeit, zerfallende Resonanzen in
offenen Quantensystemen zu beschreiben. Um dies zu ermöglichen, ergreifen wir den einfachsten
Ansatz zur Beschreibung einer Wellenfunktion, welche einen exponentiellen Abfall enthält,
ψ(t) = e−iE t/h̄ ψ(t0 )
(2.3)
mit der Energie E , die nun jedoch einen Real- und einen Imaginärteil enthalten kann, also die
folgende Form annimmt
E = E−
iΓ
.
2
(2.4)
Der Realteil spiegelt dabei die Energie E wider, der Imaginärteil hingegen eine Zerfallsrate Γ.
Einsetzen von (2.4) in (2.3) ergibt für die Wellenfunktion den Ansatz
Γ
|ψ(t)i = e−iEt/h̄ · e− 2h̄ t |ψ(t0 )i .
(2.5)
Die Zeitentwicklung aus (2.5) ist nicht normerhaltend
| |ψ(t)i |2 = e−Γt/h̄ | |ψ(t0 )i |2 .
(2.6)
Ist Γ – respektive der Imaginärteil der Energie – größer Null, so ergibt sich ein exponentieller Anstieg
der Wahrscheinlichkeitsdichte in (2.6). Ein negativer Imaginärteil der Energie führt hingegen auf
einen exponentiellen Abfall der Wahrscheinlichkeitsdichte.
Da die Wahrscheinlichkeit nicht mehr normerhaltend ist, muss das Messwahrscheinlichkeitspostulat der hermiteschen Quantenmechanik überarbeitet werden. Das Postulat besagt, dass die
Wahrscheinlichkeit P, eine Wellenfunktion |ψi im Zustand |ni vorzufinden, gleich dem Betragsquadrat der Projektion der Wellenfunktion auf den Eigenzustand n ist.
P = |hn | ψi|2 .
(2.7)
3
2. Wahrscheinlichkeitsentwicklung in nichthermiteschen Quantensystemen
In [9] ist ein Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, ein nichthermitesches System im Zustand n
anzutreffen, gegeben durch
Pn =
hχn | ψi hψ̃ | ξ n i
.
hψ̃ | ψi hχn | ξ n i
(2.8)
Vorausgesetzt wurde dabei, dass hχn | der linksseitige Eigenvektor zum Eigenwert n ist und analog
|ξ n i der rechtsseitige. Ist die Relation hψ(t = 0) | ψ(t = 0)i = 1 erfüllt und bilden die hξ n | und |χn i
eine Biorthonormalsbasis, so vereinfacht sich die Wahrscheinlichkeitsbestimmung zu
Pn = hξ n | ψi hψ̃ | χn i .
(2.9)
Ist der Zustand |ψi in seiner Entwicklung nach den Basiszuständen |χn i bekannt
|ψi = ∑ cn |χn i ,
(2.10)
n
so lautet nach [9] der dazu duale Zustand
hψ̃| = ∑ c∗n hξ n |
(2.11)
n
und man erhält für die Wahrscheinlichkeit
Pn = hξ n | ψi hψ̃ | χn i
= ∑ ck c∗` hξ n | χk i hξ ` | χn i
k,`
(2.12)
= | c n |2
Das entspricht damit dem Messwahrscheinlichkeitspostulat (2.7) aus der hermiteschen Quantenmechanik.
2. Wahrscheinlichkeitsentwicklung in nichthermiteschen
Quantensystemen
Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung lässt sich direkt aus der Forderung eines nichthermiteschen
Hamiltonoperators ein dissipativer Effekt herauslesen. Dazu betrachten wir zuerst die dimensionslose
Schrödingergleichung
i∂t |ψi = H |ψi
(2.13)
und erhalten nach der Anwendung auf einen Vektor links des Operators und anschließender
hermitescher Konjugation
−i∂t hφ| = hφ| H ,
†
i∂t |φi = H |φi .
(2.14)
(2.15)
Für nichthermitesche Hamiltonoperatoren ergibt sich damit eine Schrödingergleichung für rechtsseitige Eigenvektoren |ψi und eine für linksseitigen Eigenvektoren |φi.
Satz 2.1. Im Falle einer komplex symmetrischen Matrix, d.h. H T = H, haben die links- und rechtsseitigen
Eigenvektoren die gleichen Komponenten
4
II. Grundlagen
Beweis.
hφ| H = λ hφ| ,
(hφ| H )T = (λ hφ|)T ,
H |φ∗ i = λ |φ∗ i
aber auch
H |ψi = λ |ψi ,
also
|ψi = hφ|T .
Es wird nun die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeit betrachtet. Dazu berechnen wir die
Zeitableitung des Dichteoperators
∂t $ = ∂t (|ψi hψ|)
= |∂t ψi hψ| + |ψi h∂t ψ|
= −i H | ψ i h ψ | + i | ψ i h ψ | H †
(2.16)
∗
= i( E − E ) | ψ i h ψ |
= 2 Im( E) |ψi hψ| .
Dabei wurde h̄ = 1 angenommen. Es ergibt sich eine Differentialgleichung erster Ordnung für die
Wahrscheinlichkeit,
$̇ = 2 Im( E) $ ,
(2.17)
die sich unter der Annahme eines zeitunabhängigen Energieeigenwertes E trivial lösen lässt,
$(t) = $0 e2 Im(E) t .
(2.18)
Für physikalische Systeme, die einen Zerfall beschreiben, ergibt sich stets ein negativer Imaginärteil der Energie. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich in (2.18) ein exponentieller Abfall der
Wahrscheinlichkeit. Da (2.18) stets positive Werte liefert und die Kontinuitätsgleichung
∂t $ + div j = 0
(2.19)
erfüllt sein muss, kann dies als ein Wahrscheinlichkeitsstrom j aus dem betrachteten System interpretiert werden.
3. Beispiel für einen exzeptionellen Punkt
Im Grunde lässt sich jedes offene Quantensystem mit Hilfe der nichthermiteschen Quantenmechanik
beschreiben. Von einem offenen Quantensystem ist immer dann die Rede, sofern Teilchen aus einem
betrachteten System entweichen können (siehe Abbildung 2.1). Ein bekanntes Gegenbeispiel zu
einem offenen Quantensystem ist das Wasserstoffatom, dort existieren für negative Energien nur
gebundene Zustände und alle Teilchen sind lokalisiert (links in Abbildung 2.1). In einem offenen
Quantensystem können Resonanzzustände existieren. Ein Beispiel dafür ist das Hinzufügen eines
externen elektrischen Feldes zum Wasserstoffatom. Über einen Tunnelprozess sind alle Energieniveaus mit der Umgebung verbunden (rechte Abbildung in 2.1). Für diese Resonanzustände bringt die
5
3. Beispiel für einen exzeptionellen Punkt
E
E
x
x
V ( x, y, z)
V ( x, y, z)
A b b i l du n g 2 . 1 . : Energieschema des Coulombpotentials V ∝ 1/r im Wasserstoffatom projiziert auf die kartesische
x-Achse. Links ist zu sehen, dass nur gebundene Zustände existieren. Im Fall eines dazugeschalteten elektrischen Feldes
besitzt das Potential die Form V ∝ 1/r + x und erlaubt den Elektronen, durch Ausnutzung des in der Quantenmechanik
existierenden »Tunneleffekts«, das Verlassen der Potentialbarriere mit einer bestimmten Transmissionswahrscheinlichkeit.
Das Auftreten einer solchen Transmission macht das Wasserstoffatom im elektrischen Feld zu einem offenen Quantensystem,
welches sich gut durch die nichthermitesche Quantenmechanik beschreiben lässt.
Lösung der Schrödingergleichung in einer nichthermiteschen Beschreibung Eigenwerte hervor, die
sowohl einen Imaginär- als auch einen Realteil besitzen.
Ein einfaches Modellbeispiel für ein offenes Quantensystem, das durch einen nichthermiteschen
Hamiltonoperator [8] beschrieben wird, lautet
M(κ ) =
1 κ
κ −1
.
(2.20)
Dabei gilt κ ∈ C und für die Eigenwerte λi respektive deren zugehörigen Eigenvektoren vi findet
man
p
−κ
√
,
λ1 = + 1 + κ 2
v1 =
1 − 1 + κ2
(2.21)
p
−κ
2
√
λ2 = − 1 + κ
v2 =
.
1 + 1 + κ2
Für κ = ±i gilt: λ1 = λ2 und v1 = v2 . Durch diese bestimmte Wahl des Parameters κ fallen die
zwei Eigenwerte und ihre zugehörigen Eigenzustände zusammen und man spricht von einem
exzeptionellen Punkt. Dieser kann nur in nichthermiteschen Quantensystemen auftreten.
Beim Umrunden eines Kreises, der einen expzeptionellen Punkt einschließt, vertauschen die
Eigenwerte. Dies ist von entscheidender Bedeutung, denn intuitiv erwartet man am Anfang des
Kreises den gleichen Zustand wie am Endpunkt eines Durchlaufes. Um im Beispiel (2.20) einen
exzeptionellen Punkt umrunden zu können, setzen wir
κ = i + r · eiϕ ,
(2.22)
was einen Kreis mit Radius r um den Punkt (0, i) in der imaginären Ebene beschreibt, sofern
der Winkel ϕ die Werte 0 . . . 2π durchläuft. Durch Einsetzen von κ in die Eigenwerte (2.21) und
Entwicklung nach kleinen Radien r ergibt sich gemäß [8]
6
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
Im(E)
Im(κ )
II. Grundlagen
-0.6
-0.8
-1
E1
E2
-0.6
-0.8
-0.4
-0.2
0
Re(κ )
0.2
-1
0.4
-0.4
-0.2
0
Re(E)
0.2
0.4
A b b i l du n g 2 . 2 . : Verhalten der Energieeigenwerte aus (3.4) für ein Umrunden eines exzeptionellen Punktes. Dabei
wurde der Radius r = 0.1 gewählt und somit sichergestellt, dass sich nur ein exzeptioneller Punkt innerhalb des Kreises
befindet. Beide Eigenwerte vollführen hierbei einen Halbkreis, sodass Anfang- und Endzustand am Ende des Kreises
vertauschen.
E1 ∝ ei(π/4+ ϕ/2) ,
E2 ∝ e
i(5π/4+ ϕ/2)
(2.23a)
.
(2.23b)
In erster Näherung um den exzeptionellen Punkt geht der Winkel mit einer Gewichtung von 1/2 ein.
Ein Durchlauf von ϕ = 0 . . . 2π bewirkt eine maximale Änderung von π, was einem halben Kreis
entspricht. Dieses Verhalten ist in Abbildung 2.2 dargestellt.
4. Adiabatisches Verhalten eines nichthermiteschen Systems
In [10] wird vorgeschlagen, die Adiabatizität eines Moleküls, welches unter dem Einfluss eines Laser
steht, daran zu messen, die Kernwellenfunktion des Moleküls zum Anfangs- und Endzeitpunkt
einer Umrundung eines exzeptionellen Punktes im Parameterraum zu messen (vgl. Abschnitt
3). Die Kernwellenfunktion befindet sich entweder im Zustand | ai, ihrem anfänglichen Zustand,
oder sie befindet sich in einem Zustand |bi. Für gebundene Zustände und einer adiabatischen
Variation der Laserparameter (z.B. Intensität und Wellenlänge), die den Hamiltonoperator und
damit die Eigenzustände beeinflussen, ist nach der Umrundung eines Kreises im Parameterraum die
Wellenfunktion wieder im selben Zustand wie zum Zeitpunkt t = 0. In Systemen, welche dissipative
Effekte zeigen, wie das Wasserstoffatom in gekreuzten Feldern oder auch Moleküle [2, 11], kann
die Umrundung eines Kreises im Parameterraum zu einer Zustandsänderung führen. Grundlage
ist dabei, dass die Parameter einen engen Kreis um einen exzeptionellen Punkt beschreiben. Für
Moleküle kann dadurch eine Änderung des Vibrationszustandes des Kerns auftreten. Angenommen,
der Kern startet im Zustand |ν0 i, so befindet er sich am Ende des Laserpuls im Zustand |ν1 i.
7
4. Adiabatisches Verhalten eines nichthermiteschen Systems
|e1 (0)i
|e2 (0)i
t=T
t=0
Abbildung 2.3.: Schematische Illustration der Zeitentwicklung von Zustand |e1 i zu Zustand |e2 i und vice versa. Dabei
spiegelt die blaue Farbe den Endpunkt des Kreises im Parameterraum dar und entspricht damit der Zeit t = T. Es ist
jedoch von entscheidender Bedeutung, dass die Zustände nur zu den Zeitpunkten t = 0 und t = T verglichen werden
können.
Im Wasserstoffatom in gekreuzten statischen elektrischen und magnetischen Feldern lässt sich
diese Situation dahingehend vergleichen, dass ein Elektron anfangs im Zustand |e1 i ist und am Ende
der Umrundung eines Kreises im Parameterraum sich im Zustand |e2 i befindet. In dieser Arbeit
wird stets ein Wellenfunktionsansatz in der »zero«-Basis verwendet, um die Schrödingergleichung
zu lösen. Die Wellenfunktion, die einen exzeptionellen Punkt beschreibt, lautet in der »zero«-Basis
|ψ(t)i = a1 (t) |e1 (t = 0)i + a2 (t) |e2 (t = 0)i .
(2.24)
Da die Wellenfunktion lediglich Zustände zum Zeitpunkt t = 0 beachtet, wird die Namenwahl der
»zero«-Basis verständlich. Durch diesen Ansatz lässt sich eine Zustandsveränderung mit Hilfe der
Koeffizienten | ai (t)|2 ausdrücken. Da der Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms in elektrischen
und magnetischen Feldern ein komplex symmetrischer Operator ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit
das System in einem Zustand |ei i aufzufinden nach (2.9) berechnen. Für die Umrundung eines
exzeptionellen Punktes, wird im Beispielmodell (2.20) der Parameter ϕ verändert. Im Wasserstoffatom
wird der variable Parameter die Zeit t sein, wobei ein Kreis in der Zeit T umrundet wird. Nach der
Umrundung des exzeptionellen Punktes, das heißt für eine Zeit t = T, haben sich die Zustände, wie
in Abbildung 2.3 dargestellt, bis auf eine Phase gerade vertauscht, was bedeutet
|e1 (t = T )i ∝ |e2 (t = 0)i ,
|e2 (t = T )i ∝ |e1 (t = 0)i .
(2.25)
Falls das Elektron sich anfangs im Zustand |e1 i befindet, erhalten wir damit nach (2.12) die Wahrscheinlichkeiten
2
P(0) = |he1 (0) | ψ(0)i| = | a1 (0)|2 = 1 ,
(2.26a)
2
2
P( T ) = |he1 ( T ) | ψ( T )i| = | a1 ( T )|2 = |he2 (0) | ψ( T )i| = | a2 (0)|2 = 0 ,
(2.26b)
sofern eine Zustandsvertauschung – und damit ein adiabatisches Verhalten, auch adiabatischer
Zustandsflip genannt – existiert.
Um eine Aussage über die Adiabatizität des Systems treffen zu können, wird eine adiabatische
Näherung nach [4],
αi,ad (t) = e−i
8
R
Ei dt
,
(2.27)
II. Grundlagen
für die Zeitentwicklung verwendet. Dabei ist zu beachten, dass diese Näherung in einer instantanen
Eigenbasis [4] also einer Basis, bei der die Eigenvektoren |vi (t)i des jeweils aktuellen Hamiltonoperators verwendet werden, angeben ist. Diese instantane Basis ist durch die Basistransformation
∑
hwi (t) | ψ(t)i |vi (t)i
(2.28)
i =1,2
mit der »zero«-Basis (2.24) verbunden. Wobei hwi (t)| der duale Zustand zu |vi (t)i ist. Die zugehörige
Wellenfunktion in der instantanen Basis [4] lautet damit
|ψinst i ≡ α1 (t) |v1 (t)i + α2 (t) |v2 (t)i ,
(2.29)
wobei die Koeffizienten α1 (t) und α2 (t) aus der »zero «-Basis bestimmt werden.
α1 (t) = a1 (t) hw1 (t) | v1 (0)i + a2 (t) hw1 (t) | v2 (0)i
(2.30a)
α2 (t) = a1 (t) hw2 (t) | v1 (0)i + a2 (t) hw2 (t) | v2 (0)i
(2.30b)
Um eine Aussage über die Adiabatizität des Systems treffen zu können, ist es sinnvoll, die normierte
Zeitentwicklung zu betrachten, in der nur die Koeffizienten des exzeptionellen Punktes vorzufinden
sind,
| ãi |2 =
| a i |2
∑2j=1 | a j |2
i = 1, 2 .
(2.31)
Damit lässt sich die Aussage
| ãi (0)|2 = 1 → | ãi ( T )|2 = 0 ,
| ã j (0)|2 = 0 → | ã j ( T )|2 = 1
(2.32)
schnell verifizieren. Dabei ist ai der Koeffizient, der dem Anfangszustand des Elektrons zugeordnet
wird und a j der Koeffizient, dessen Zustand ebenso wie ai am exzeptionellen Punkt beteiligt ist.
In der tatsächlichen Zeitentwicklung eines solchen Systems stellt sich heraus, dass ein adiabatisches
Verhalten nur für bestimmte Anfangsbedingungen erfüllt werden kann. Dabei ist der Imaginärteil
des Energieeigenwertes entlang der Bahn im Parameterraum ausschlaggebend. Um eine Adiabatizität zu erreichen, muss anfangs der Zustand des exzeptionellen Punktes besetzt sein, der beim
Umrunden des Kreises die längste Zeit einen langsameren Zerfall aufweist. Da im Wasserstoffatom
in gekreuzten Feldern stets Energieimaginärteile auftreten die negativ sind, bestimmt der Betrag des
Energieimaginärteils die Zerfallsrate. Zur Illustration eines besonders einfachen und anschaulichen
Beispiels stellen die Eigenwerte E1 und E2 die Imaginärteile der Energien dar und es soll gelten
| E1 (0 < t < T )| > | E2 (0 < t < T )| .
(2.33)
Die zugehörigen Eigenzustände seien |v1 i respektive |v2 i. Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit
angeben, einen Populationstausch während einer Umrundung vorzufinden. Dazu verwenden wir die
Wahrscheinlichkeitsbestimmung eines nichthermiteschen Systems nach (2.9). Ein Populationstausch
vom Zustand i in den Zustand j wird beim Verändern der Eigenzustände verursacht, wenn die
Projektion
w j (t) vi (t + ∆t)
(2.34)
nichtverschwindende Beiträge enthält. Eine Entwicklung für kleine Zeiten ∆t ergibt für den Eigenzustand
|vi (t + ∆t)i = |vi (t)i + |∂t vi (t)i ∆t .
(2.35)
9
4. Adiabatisches Verhalten eines nichthermiteschen Systems
Um die Wahrscheinlichkeit eines Populationstausches zu bestimmen, wird die zeitliche Ableitung
des Eigenzustands benötigt. Da die Zeitableitung der Eigenzustände gesucht ist, können wir die
Eigenwertgleichung
H (t) |vi (t)i = Ei (t) |vi (t)i ,
(2.36)
ebenfalls für kleine Zeiten entwickeln und so die gewünschte Information der Zeitableitung des
Eigenzustandes extrahieren.
H (t + ∆t) |vi (t + ∆t)i = Ei (t + ∆t) |vi (t + ∆t)i
[ H (t) + ∂t H (t)∆t] · [|vi (t)i + |∂t vi (t)i ∆t] = [ Ei (t) + ∂t Ei (t)∆t] · [|vi (t)i + |∂t vi (t)i ∆t]
[ H (t) − Ei (t)] |∂t vi (t)i ∆t = [∂t Ei (t) − ∂t H (t)] |vi (t)i ∆t + O [∆t]2
(2.37)
Aus einem Koeffizientenvergleich von (2.37) und der zusätzlichen Bedingung
hwi (t) | ∂t vi (t)i = 0 ,
(2.38)
also der Forderung, dass sich die Norm der Einheitsvektoren |vi i nicht ändert, folgt für komplex
symmetrische Matrizen ein Gleichungssystem der Form
"
Ei (t)1 − H
|vi (t)i
|vi (t)iT
0
# ∂t |vi (t)i
∂t H |vi (t)i
,
·
=
0
∂t Ei (t)
(2.39)
das uns als Nebenprodukt die Ableitung der Energieeigenwerte liefert, die jedoch keinen sinnvollen
Nutzen haben.
Mit diesen Vorbetrachtungen kann die eigentliche Frage angegangen werden. Wenn man im
Zustand |v1 (t)i startet, d.h. a1 (0) = 1, kann es nach (2.34) durch nichtadiabatische Effekte zufällig
einen Übergang in den Zustand |v2 (t)i geben. Selbst wenn die Wahrscheinlichkeit für einen solchen
Übergang sehr klein ist, so ist durch die viel größere Zerfallsrate des Eigenwertes E1 (es gilt weiterhin
Gleichung (2.33)) am Ende des Kreises die Wahrscheinlichkeit, im Zustand |v2 i und damit im
Eigenwert E2 zu landen viel höher. Für einen exzeptionellen Punkt gilt jedoch die Relation
E1 (0) = E2 ( T )
(2.40)
und somit ist für diese Anfangsbedingung kein adiabatischer Zustandsflip möglich [12]. Schematisch
ist dieses Verhalten in Abbildung 2.4 dargestellt.
Für den Fall, dass man im Eigenwert E2 startet, der den kleineren Betrag des Imaginärteils besitzt,
lässt sich die Argumentation umdrehen. Ein Übergang vom Zustand |v2 (t)i nach |v1 (t + ∆t)i ist
sehr unwahrscheinlich und selbst wenn dieser stattfindet, so ist die Besetzung von |v1 i am Ende des
Kreisdurchlaufs nahezu komplett zerfallen. Für den Zeitpunkt t = T befindet sich das System im
Zustand |v2 ( T )i = |v1 (0)i und man erreicht einen adiabatischen Flip und damit einen Populationstausch, wobei dieser Ausdruck mit Vorsicht zu genießen ist, da immer ein Wahrscheinlichkeitsverlust
durch dissipative Effekte vorliegt.
10
II. Grundlagen
Re( E)
0.05
P = 80
E1 (0)
P=5
1
0.0
E2 (0)
P = 95
Zerfall
P = 20
Im( E)
A b b i l du n g 2 . 4 . : Illustration für ein nichtadiabatisches Verhalten eines Systems. Dabei ist die gesamte Population des
System im Anfangszustand E1 (0). Der Kreis wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Alle Zahlen sind fiktive Werte und
geben Wahrscheinlichkeiten an. Die Variable P gibt die Gesamtwahrscheinlichkeit an, das System im jeweiligen Zustand
aufzufinden, beinhaltet also dissipative Effekte. Durch die gestrichelten blauen Linien sollen Übergangswahrscheinlichkeiten dargestellt werden. Im ersten Beispiel (schwarze Punkte, dunkelblaue Linie), ist der ursprüngliche, adiabatisch
fortgesetzte Zustand noch zu 95% besetzt. Nichtadiabatische Übergänge haben zu einer 5%-igen Besetzungswahrscheinlichkeit des 2. Zustands geführt. Da der Eigenwert E1 (t) stets einen betragsmäßig größeren Imaginärteil als E2 besitzt,
zerfällt der dazugehörige Zustand sehr viel schneller. Dieser dissipative Effekt muss in die Betrachtung miteinbezogen
werden, denn auch wenn die Übergangswahrscheinlichkeit von E1 (t) → E2 (t) während des Umlaufs sehr gering ist, so
ist die Wahrscheinlichkeit, am Ende des Kreises in E2 ( T ) respektive E1 (0) zu landen viel größer als in E2 (0). Im zweiten
Beispiel (graue Punkte, hellblaue Linie), hat sich das Verhältnis bereits zugunsten des zweiten Zustands verschoben, der
nun zu 80% besetzt ist. Der Anfangs- und Endzustand stimmen überein und es fand kein adiabatischer Zustandsflip statt.
Ein nicht adiabatisches Verhalten ist damit allein auf die Dissipativität des Systems zurückzuführen.
11
III. Zeitentwicklung in einem nichthermiteschen
System: Ein 2 × 2-Matrixmodell
Gehen wir von einem Zwei-Niveau-System aus, welches durch den Hamiltonoperator
κ
1 − 2i
H (κ ) =
κ
−1 − 2i
gegeben ist. Die Energieeigenwerte bzw. Eigenzustände lauten ähnlich wie in (2.21)
i p
−κ
2
√
v1 =
,
E1 = − + 1 + κ ,
1 − 1 + κ2
2
i p
−κ
2
√
E2 = − − 1 + κ ,
v2 =
.
1 + 1 + κ2
2
(3.1)
(3.2)
Im Folgenden legen wir den Parameter κ so fest, dass er den exzeptionellen Punkt mit einem
Radius r im Parameterraum umrundet, das heißt κ = i + r · eiϕ . Die Variable ϕ beschreibt den
genauen Punkt im Parameterraum. In unserem Fall wird diese Variable an die Zeit gekoppelt, sodass
ein Kreis im Parameterraum mit einer bestimmten Zeit T durchlaufen wird.
2π
κ = i + r · ei T
t
Unser Hamiltonoperator aus (3.1) ist damit ein zeitabhängiger Operator.
!
2π
1 − 2i
i + r · ei T t
H (t) =
2π
−1 − 2i
i + r · ei T t
(3.3)
(3.4)
Unser Interesse besteht nun darin, die zeitliche Entwicklung dieses Systems zu betrachten, dies
geschieht über die Schrödingergleichung. Für die Wellenfunktionen betrachten wir einen Ansatz in
der »zero«-Basis.
|ψ(t)i = a1 (t) |v1 (0)i + a2 (t) |v2 (0)i
(3.5)
Dabei sind |v1 (0)i respektive |v2 (0)i die Eigenzustände des Systems zum Zeitpunkt t = 0. Da (3.4)
komplex symmetrisch ist, gilt für die linksseitigen Eigenvektoren hwi |
wi v j = δij
(3.6)
h wi | = | v i i T ,
Mit Hilfe der Orthonormalitätsrelation aus (3.6), lässt sich die Schrödingergleichung so umformen,
dass man Auskunft über die Entwicklungskoeffizienten (a1 (t),a2 (t)) erhält.
ih̄ ∂t |ψi = H (t) |ψi
ih̄ [ ȧ1 (t) |v1 (0)i + ȧ2 (t) |v2 (0)i] = H (t) [ a1 (t) |v1 (0)i + a2 (t) |v2 (0)i]
(3.7)
Durch Multiplikation mit hw1 | respektive hw2 | ergibt sich
i
ȧ1 (t) = − [ a1 (t) hw1 (0) | H (t) | v1 (0)i + a2 (t) hw1 (0) | H (t) | v2 (0)i] ,
h̄
i
ȧ2 (t) = − [ a1 (t) hw2 (0) | H (t) | v1 (0)i + a2 (t) hw2 (0) | H (t) | v2 (0)i] .
h̄
(3.8)
13
Anfangszustand: a1 (0) = 1
1
10−2
10−4
10−6
10−8
10−10
10−12
0.8
| ãi |2
| a i |2
Anfangszustand: a1 (0) = 1
100
a1 ( t )
a2 ( t )
0
5
10
Zeit t
15
0.6
a1 ( t )
a2 ( t )
0.4
0.2
0
20
0
1
10−2
0.8
10−4
0.6 a1 (t)
0.4 a2 (t)
10−6
a1 ( t )
a2 ( t )
10−8
10−10
0
5
10
Zeit t
15
10
15
Zeit t [a.u.]
20
Anfangszustand: a2 (0) = 1
100
| ãi |2
| a i |2
Anfangszustand: a2 (0) = 1
5
0.2
0
20
0
5
10
Zeit t
15
20
A b b i l du n g 3 . 1 . : Zeitentwicklung nach (3.8) der Wahrscheinlichkeit des Systems (3.4) für eine Kreisumrundungszeit
von T = 20 und r = 0.1. Da die beiden Energieeigenwerte zu jeder Zeit t stets einen negativen Imaginärteil besitzen (vgl.
(3.2)), bleibt die Gesamtwahrscheinlichkeit nicht konstant auf 1, sondern zerfällt exponentiell. Um den Effekt des Zerfalls
auszublenden, wurde in der rechten
Spalte jeweils eine normierte Wahrscheinlichkeit der Form
P(t) = | a1 (t)|2 / | a1 (t)|2 + | a2 (t)|2 benutzt. Zu erkennen ist, dass eine Zustandsvertauschung in der »zero«-Basis nur für
a2 (0) = 1 am Ende des Kreises vorliegt.
Die Entwicklungskoeffizienten erfüllen dabei eine gekoppelte Differentialgleichung 1. Ordnung,
welche sich problemlos mit Hilfe des Runge-Kutta-Algorithmus numerisch lösen lässt.
Wählen wir den Parameter, der unsere Umrundungsdauer im Parameterraum beschreibt (in
unserem Fall T) groß gegenüber den Zeitdauern t des inneren Systems, zum Beispiel der Wellenfunktion ψ(t), so erwartet man ein adiabatisches Verhalten in der Zeitentwicklung (vergleiche
Abschnitt 4 aus Kapitel II). Für ein Zwei-Niveau-System mit den Koeffizienten a1 (t) und a2 (t) und
der Anfangsbedingung a1 (0) = α1,ad (0) = 1 lautet die adiabatische Näherung nach (2.27)
α1,ad (t) = e−i
R
E1 dt
,
α2,ad (t) = 0 .
(3.9)
Um die Theorie aus Abschnitt 4 Kapitel II zu bestätigen, muss die zeitabhängige Schrödingergleichung exakt gelöst werden. Sowohl die normierte als auch die unnormierte Zeitentwicklung der
Koeffizienten a1 (t) respektive a2 (t) nach (3.8) sind in Abbildung 3.1 vorzufinden. Dabei ist das
dissipative Verhalten des Systems zu erkennen, denn die Wahrscheinlichkeit für die unnormierte
Zeitentwicklung der beiden Koeffizienten zerfällt exponentiell. Durch die Normierung nach (2.31),
lässt sich der dissipative Effekt ausblenden. Damit ist eine einfach Aussage, ob die Bedingung eines
adiabatischen Verhaltens nach (2.32) erfüllt ist, möglich.
Der Vergleich der numerisch exakten Lösungen und der adiabatischen Näherung aus (2.27)
(Abbildung 3.2) zeigt auf, dass sich unser Beispielmodell nicht immer adiabatisch verhält, vielmehr
wird die Aussage aus [12] noch einmal bekräftigt, dass nur die adiabatische Näherung des Zustandes
mit dem kleineren Imaginärteil der Energie aus (3.2) mit der exakten Lösung vergleichbar ist.
Da wir die »zero«-Basis verwenden, müssen wir beachten, dass die adiabatische Näherung in
14
III. Zeitentwicklung in einem nichthermiteschen System: Ein 2 × 2-Matrixmodell
Anfangszustand: a2 (0) = 1
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Anfangszustand: a1 (0) = 1
100
10−4
10−8
a1 ( t )
a2 ( t )
a1,ad (t)
10−12
0
5
10
Zeit t
15
20
100
10−4
a1 ( t )
a2 ( t )
a2,ad (t)
10−8
10−12
0
5
10
Zeit t
15
20
A b b i l du n g 3 . 2 . : Zeitentwicklung im Vergleich mit der adiabatischen Näherung. Erkennbar ist, dass sich das System
nur im Anfangszustand a2 (0) = 1 adiabatisch verhält. Dabei wurden die Koeffizienten a1 (t) und a2 (t) in der »zero«-Basis
nach (3.8) berechnet. Der Koeffizient a2,ad (t) der adiabatischen Näherung folgt hingegen der instantanen Basis aus (2.27).
Die Parameter sind wiederum T = 10 und r = 0.1.
Anfangszustand: a1 (0) = 1
Anfangszustand: a2 (0) = 1
100
10−5
10−40
| a i |2
| a i |2
10−20
a1 ( t )
a2 ( t )
a1,ad (t)
10−60
0
20
40
60
80
Umrundungszeit T
10−10
10−15
a1 ( t )
a2 ( t )
a2,ad (t)
10−20
10−25
100
0
20
40
60
80
Umrundungszeit T
100
A b b i l du n g 3 . 3 . : Wahrscheinlichkeit, einen Zustand nach Umrundung eines Kreises vorzufinden. Für verschiedene
Umrundungszeiten wurde der Radius konstant auf r = 0.2 gesetzt.
einer instantanen Eigenbasis (2.29) gegeben ist, welche nach Verwendung von (2.30a) und (2.30b)
aus der »zero«-Basis bestimmt werden kann. Wir werden im Folgenden auf diesen Basiswechsel
verzichten und das adiabatische Verhalten des Systems damit verifizieren, dass die adiabatische
Näherung zu den Zeitpunkten t = 0 und t = T mit einer der numerischen Lösungen übereinstimmt.
Änderungen des Umrundungsparameters T beeinflussen die adiabatische Näherung (Abbildung 3.3)
nicht. Für nichtadiabatische Bedingungen, also solche, die nicht mit der adiabatischen Näherung
übereinstimmen, findet man nur in den Bereichen kleiner Umrundungszeiten eine Übereinstimmung,
für steigende Umrundungszeit jedoch starke Abweichungen zur exakten Lösung des Problems.
Liegen Anfangsbedingungen vor, die ein adiabatisches System beschreiben, so ist diese Eigenschaft
unabhängig vom Parameter T, was im Allgemeinen nicht klar ist, denn wie in Abschnitt 4 in
Kapitel II angesprochen, verhelfen dissipative Effekte das Zustandekommen eines adiabatischen
Zustandflips, d.h. es muss eine gewisse Zeit vergehen, damit der Effekt auftreten kann. Für kurze
Umrundungszeiten T ist der dissipative Effekt vernachlässigbar klein, so dass die Adiabatizität des
Systems ihre Ursache in den Projektionen nach (2.34) hat.
Ebenso führt die Variation des Radius bei fester Umrundungszeit zu keinerlei Abweichungen der
adiabatischen Näherung. Eine Besonderheit liegt jedoch darin, dass für vorliegenden Anfangsbedingungen, welche für große Radien keine Übereinstimmung mit der adiabatischen Näherung zeigen,
für kleine Radien eine exakte Übereinstimmung liefern. Es muss bei der Veränderung des Radius
beachtet werden, dass bei einer zu großen Wahl des Radius die Eigenwerte aus (3.2) einen positiven
15
Anfangszustand: a1 (0) = 1
Anfangszustand: a2 (0) = 1
100
10−8
| a i |2
| a i |2
10−4
a1 ( t )
a2 ( t )
a1,ad (t)
10−12
10−16
0
0.3
0.6
Radius r
10−4
a1 ( t )
a2 ( t )
a2,ad (t)
10−8
0.9
0
0.3
0.6
Radius r
0.9
A b b i l du n g 3 . 4 . : Wahrscheinlichkeit, einen Zustand nach Umrundung eines Kreises vorzufinden. Für verschiedene
Radien wurde die Umrundungszeit konstant auf T = 20 gesetzt. Für einen Wert von r = 0.9 ist der Imaginärteil der
Eigenwerte, welcher durch den Radius bestimmt wird, größer als 1/2 und führt damit auf Wahrscheinlichkeiten die größer
als 1 sind.
Imaginärteil enthalten. Dieser bedeutet im physikalischen Sinne eine Wahrscheinlichkeitszunahme
und erklärt das Zustandekommen von Wahrscheinlichkeiten in Abbildung 3.4, die über 1 liegen.
16
IV. 5 × 5-Matrixmodell mit Störung
In diesem Abschnitt wird untersucht, inwiefern eine Störung durch benachbarte Resonanzen das Vertauschungsverhalten der Eigenwerte um einen exzeptionellen Punkt beeinflusst. Die Störung ist dabei
vom Parameter, welcher den Kreis um den exzeptionellen Punkt beschreibt, abhängig. Dazu werden
wiederum die Wahrscheinlichkeiten betrachtet und somit die zeitabhängige Schrödingergleichung in
der »zero«-Basis gelöst.
1. Einführung des Modells
Der Hamiltonoperator lautet fortan


1
i + κ s1 κ 0 s2 κ
i + κ −1
0 s3 κ 0 




H ( s1 , s2 , s3 ) =  s1 κ
0
2
0
0  .


 0
s3 κ
0
3
0 
s2 κ
0
0
0
4
(4.1)
Dabei ist
2π
κ = r e−i T t
(4.2)
und die si sind Störparameter, die wir im Folgenden genauer diskutieren werden. Wie eine Rechnung
zeigt, besitzen die Eigenwerte von H die Abhängigkeit
E1 (s1 , s2 , s3 , κ ) ,
E2 (s1 , s2 , s3 , κ ) ,
E3 (s1 , s2 , s3 , κ ) ,
E4 (s1 , s2 , s3 , κ ) ,
E5 (s1 , s2 , s3 , κ )
(4.3)
und sind damit alle von den Störparametern, als auch vom Kreis κ, der umrundet wird, abhängig.
Für s1 = s2 = s3 = 0 erhalten wir die Matrix


1
i+κ 0 0 0
i + κ −1 0 0 0




H (0, 0, 0) =  0
(4.4)
0
2 0 0 ,


 0
0
0 3 0
0
0
0 0 4
welche in den ersten beiden Komponenten dem 2 × 2-Problem entspricht, das bereits behandelt
wurde. Für diesen Fall ergibt sich ein Umrunden des exzeptionellen Punktes im Parameterraum,
während die nicht beteiligten Energieeigenwerte konstant bleiben (siehe Abbildung 4.1). Dreht
man die Störung auf, zum Beispiel s1 , so rückt ein Energieeigenwert näher an den exzeptionellen
Punkt und führt zu einer Kopplung , siehe Abbildung 4.1. Inwieweit diese Störung Einfluss auf den
exzeptionellen Punkt nimmt, soll durch die Betrachtung des zweidimensionalen Unterraums der
beiden Eigenzustände, die den exzeptionellen Punkt enthalten, erfolgen.
17
2. Zeitentwicklung und adiabatische Näherung
s1 = s2 = s3 = 0
s1 = 3
0.6
0.6
s2 = s3 = 0
0.1
0
0.3
Im( E)
Im( E)
0.3
0
E1
E2
E3
E4
E5
-0.3
-0.6
-2
-1
0
1
2
Re( E)
-0.1
1.9 2 2.1
0
E1
E2
E3
E4
E5
-0.3
3
4
-0.6
-2
-1
0
1
2
Re( E)
3
4
Abbildung 4.1.: Eigenwerte des Modells (4.1) für einen Kreis der Form (4.2) für den Radius r = 0.1. Für den Fall einer
nicht existierenden Störung ist das Verhalten des 2 × 2-Systems erkennbar, die drei restlichen Eigenwerte bleiben dabei
zu jeder Zeit konstant (links). Durch Anlegen einer Störung s1 = 3 lässt sich bereits erkennen, wie das Untersystem des
exzeptionellen Punktes gestört wird (rechts).
2. Zeitentwicklung und adiabatische Näherung
Die Schrödingergleichung führt durch den Ansatz der »zero«-Basis auf die gekoppelten Differentialgleichungen
5
ȧk (t) + ∑ i a j (t) wk (0) H (t) v j (0) = 0 ,
k = 1...5 .
(4.5)
j =1
Dabei beschreiben die Indizes 1 respektive 2 Komponenten, die dem exzeptionellen Punkt zugeordnet
werden. Der in Gedanken vom Rest des Systems separierte Unterraum des exzeptionellen Punktes
ist also beschrieben durch
2
ḃk (t) + ∑ i b j (t) wk (0) H (t) v j (0) = 0 ,
k = 1, 2 .
(4.6)
j =1
Um das Verhalten der Störung genauer untersuchen zu können, geben wir die Koeffizienten im
Folgenden normiert an.
| a i |2
| a1 |2 + | a2 |2 + | a3 |2 + | a4 |2 + | a5 |2
| bi | 2
|b̃i |2 =
|b1 |2 + |b2 |2
| ãi |2 =
(4.7a)
(4.7b)
Durch diese Darstellung vermeiden wir Wahrscheinlichkeiten, die über die Eins hinausragen. Da
es sich um ein Beispielmodell handelt – und damit keinen physikalischen Bezug aufzeigt – stört es
nicht, dass der Imaginärteil der Eigenwerte größer als Null sein kann und somit das System einen
Wahrscheinlichkeitsgewinn im Verlauf der Zeit aufweisen kann. Für den Fall, dass keine Störung
anliegt, stimmt die Lösung der Koeffizienten bi und damit die des Unterraums exakt mit der Lösung
des Gesamtsystems überein. Liegt jedoch eine Störung an, so weicht die genäherte Lösung von der
18
IV. 5 × 5-Matrixmodell mit Störung
s1 = s2 = s3 = 0
1
| a i |2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
8
10
Zeit t
s1 = s2 = s3 = 2
1
| a i |2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
Zeit t
a1
a2
a3
a4
a5
b1
b2
Abbildung 4.2.: Normierte Zeitentwicklung mit Unterraumnäherung. In der oberen Abbildung existiert keine Störung
s1 = s2 = s3 = 0 und die Punkte der Näherung (4.6) zeigen eine exakte Übereinstimmung mit der Zeitentwicklung des
gesamten Systems. In der unteren Abbildung liegt die Störung s1 = s2 = s3 = 2 an, die daraus resultierende Näherung
weicht deutlich von der exakten Lösung ab.
exakten Lösung ab (Abbildung 4.2). Dies ist ein reiner Effekt der Zeitentwicklung, denn für dieses
Matrixmodell wurde sichergestellt, dass die Zustände |v1 (0)i und |v2 (0)i den gesamten Zeitraum
abdecken, d.h. die Zustände |v1 (t)i und |v2 (t)i zeigen während einer Kreisumrundung stets sehr
gute Übereinstimmung mit den Zuständen zum Zeitpunkt t = 0. Variiert man die Störungen
einzeln (Abbildung 4.3), so gilt für die Abweichung des ersten Koeffizienten (a1 (t)) stets, dass die
Abweichung am Ende eines Kreises für die kleinste Störung den minimal Wert aufweist. Allgemein ist
die Abweichung am Ende des Kreises für alle betrachteten Fälle vernachlässigbar klein. Erkennbar ist
jedoch auch, dass die Störparameter immense Auswirkungen auf den exzeptionellen Punkt während
der Umkreisung im Parameterraum haben können. So kommt es in allen behandelten Fällen zu
einer Abweichung des zweidimensionalen Unterraums von der tatsächlichen Lösung von bis zu 75%.
Ein Maß für die Abweichung erhält man durch die Differenz zwischen der vollständigen und der
Unterraumslösung,
abs | ãi |2 − |b̃i |2 ,
i = 1, 2 ,
(4.8)
19
2. Zeitentwicklung und adiabatische Näherung
s1 6 = 0
s2 = s3 = 0
1
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0
0
2
4
6
Zeit t
8
10
s2 6 = 0
0
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0
2
4
6
Zeit t
8
10
s3 6 = 0
0
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0
2
4
6
Zeit t
8
10
si = 0.50
si = 1.00
4
6
Zeit t
8
10
0
2
4
6
Zeit t
8
10
4
6
Zeit t
8
10
s1 = s2 = 0
1
0
2
s1 = s3 = 0
1
0
0
0
0
2
si = 1.50
si = 2.00
A b b i l du n g 4 . 3 . : Abweichung der Näherungslösung von der gesamten Lösung nach (4.8) für Störungen, die nur eine
Kopplung betrifft, das heißt zwei der drei Störparameter sind jeweils
0,2 während
ein Parameter variiert wird . In der
2 aufgetragen. In der rechten Spalte die
linken Spalte ist jeweils
die
Abweichung
des
ersten
Koeffizienten
abs
|
ã
|
−
|
b̃
|
1
1
Abweichung abs | ã2 |2 − |b̃2 |2 .
20
IV. 5 × 5-Matrixmodell mit Störung
s1 = 1
s2 = s3 = 0
2
1.5
1
Im( E)
0.5
0
-0.5
-1
E1
E2
E3
E4
E5
-1.5
-2
-2
-1
0
1
Re( E)
2
3
4
A b b i l du n g 4 . 4 . : Umrundung eines Kreises mit Radius r = 1. Da keine Störungen s2 und s3 in Modell (4.1) vorliegen,
verändert die Variation des Radius nichts an den Eigenwerten E4 und E5 . Der Eigenwert E3 hingegen bildet mit E1 und
E2 eine Dreierpermutation. Diese Struktur, die an einen exzeptionellen Punkt 3. Ordnung erinnert, entsteht durch das
gleichzeitige Umrunden von 2 exzeptionellen Punkten.
mit den Koeffizienten ãi und b̃i aus (4.7a) + (4.7b).
Die Variation des Radius hat signifikante Auswirkungen auf die Eigenwertspektren. So kann es
bei genügend großen Radien dazu kommen, dass die Struktur des exzeptionelle Punkt 2. Ordnung
verloren geht und eine Art 3. Ordnung entsteht. Ein exzeptioneller Punkt 3. Ordnung liegt jedoch
nicht exakt vor, sondern es werden zwei exzeptionelle Punkte so umrundet, dass insgesamt drei
Resonanzen vertauschen. Eine der drei Resonanzen ist mit beiden exzeptionellen Punkten verknüpft.
Da die Kopplungsstärken eine Abhängigkeit ∝ si · r aufweisen, muss unterschieden werden, ob der
Radius oder die Störung erhöht wird. Eine Variation der Störparameter kann ebenfalls dazu führen,
dass eine Dreifachvertauschung stattfindet. Da wir keinen Bezug zu den Größen der Parameter s1 , s2
und s3 haben, begrenzen wir die Störungen im Folgenden auf den Maximalwert von si = 5. Für den
Extremfall s1 = s2 = s3 = 5 sind die Eigenwertspektren in Abbildung 4.5 zu sehen. Da auch für eine
maximale Kopplung keine Dreifachvertauschung auftritt, wird diese im Folgenden Beispiel durch
die Variation des Radius r erreicht.
Für die Umrundung eines Kreises im Parameterraum, mit Radius r = 1 ,
T = 10 und
einer angelegten Störung s1 = 1, ist die Zeitentwicklung in Abbildung 4.6 dargestellt. Da der
Radius so groß gewählt wurde, dass zwei exzeptionelle Punkte umrundet werden, stellt sich eine
Dreifachvertauschung zwischen den Eigenwerten E1 , E2 und E3 ein. Die Dimension des Unterraums
einer approximativen Lösung muss mit der Anzahl, der an der Vertauschung beteiligten Eigenwerte
übereinstimmen. In diesem Fall also
3
ċk (t) + ∑ i c j (t) v j (0) H (t) v j (0) = 0 ,
k = 1, 2, 3 .
(4.9)
j =1
Je nach Größe des Radius muss unterschieden werden, wie groß der Unterraum der Näherungslösung
21
2. Zeitentwicklung und adiabatische Näherung
s1 = 5
s2 = 5
s3 = 5
0.6
0.4
Im( E)
0.2
0
-0.2
E1
E2
E3
E4
E5
-0.4
-0.6
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Re( E)
3
3.5
4
4.5
Abbildung 4.5.: Umrundung eines Kreises mit Radius r = 0.1 im Modell (4.1), wobei starke Kopplungen s1 = s2 = s3 =
5 verwendet werden. Erkennbar ist die Erhaltung des exzeptionellen Punktes 2. Ordnung. Durch die starken Kopplungen
wird die ellipsenförmige Umrundungsstruktur des exzeptionellen Punktes aus Abbildung 4.1 gebrochen und es entsteht
eine Spiralstruktur, ähnlich wie in Abbildung 4.4
sein muss. Für große Störungen zeigt jedoch auch die Näherung (4.9), wie in Abbildung 4.6 zu
erkennen, starke Abweichungen.
Im Folgenden wird der Radius auf r = 0.1 gesetzt und die Umrundungsdauer auf T = 10. Es liegt
die Situation eines exzeptionellen Punktes 2. Ordnung vor, zudem werden die Störparameter s2 und
s3 auf 0 gesetzt und nur der Parameter s1 verändert, was auf Ergebnisse führt, die in der ersten Zeile
in Abbildung 4.3 aufgetragen sind. Die Eigenwerte für diesen Fall lauten
ϕ
9
E1 = ei 2 +i 4 π r1/2 + O r3/2 ,
ϕ
5
E2 = ei 2 +i 4 π r1/2 − O r3/2 ,
3
(4.10)
E3 = 2 + s21 r2 ei2ϕ + O r5/2 ,
4
E4 = 3 ,
E5 = 4 .
Der Eigenwert E3 besitzt für kleine r eine quadratische Ordnung in der Kopplung rs1 . Zudem
22
IV. 5 × 5-Matrixmodell mit Störung
s2 = s3 = 0
s1 = 1
| a i |2
| a i |2
s1 = 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
a1
a2
4
6
Zeit t
a3
a4
a5
b1
8
10
b2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
a1
a2
0
a1
a2
2
4
6
Zeit t
a3
a4
a5
b1
a5
c1
8
10
c2
c2
s1 = s2 = s3 = 1
| a i |2
| a i |2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
4
6
Zeit t
a3
a4
s1 = s2 = s3 = 1
s2 = s3 = 0
8
10
b2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
a1
a2
2
4
6
Zeit t
a3
a4
a5
c1
8
10
c2
c2
A b b i l du n g 4 . 6 . : Umrundung eines Kreises im Modell (4.1) mit r = 1, T = 10 und verschiedenen Kopplungen. Durch
Wahl des Radius r = 1 fallen zwei exzeptionelle Punkte in den Einflussbereich und es entsteht eine Dreifachvertauschung.
Es stehen sich dabei jeweils die zwei- (linke Spalte) bzw. dreidimensionale (rechte Spalte) Näherung im Vergleich
gegenüber. Der zweidimensionale Unterraum ist bei einer anliegenden Störung s1 6= 0 bereits fehlerhaft. Die Näherung
eines Unterraums, der alle drei beteiligten Eigenvektoren beinhaltet, zeigt hingegen eine gute Übereinstimmung mit der
exakten Lösung (obere Zeile). Liegen Störungen vor, die alle Eigenwerte beeinträchtigt, so ergeben sich auch mit der
dreidimensionalen Näherung Abweichungen (untere Zeile).
enthält der nicht zum exzeptionellen Punkt gehörende Eigenwert den Anteil ei2ϕ (mit ϕ = 2π
T t) und
durchläuft daher einen Kreis doppelt so schnell wie die Parameter. Mit anderen Worten, während
die beiden Resonanzen E1 und E2 , die zum exzeptionellen Punkt gehören, einen Kreis durchlaufen,
zeigt der dritte Eigenwert E3 im gleichen Zeitraum zwei Umrundungen. Ganz ähnlich lässt sich die
Spiralform in Abbildung 4.4 damit erklären, dass dort der Eigenwert E3 in guter Näherung durch
i
E3 ∝ ae− 3 ϕ + be−i2ϕ
(4.11)
beschrieben wird. Dabei sind a und b Koeffizienten, die den Radius angeben. Durch den Koeffizienten
b wird der Radius des zweifach durchlaufenden vollen Kreises beschrieben. Die Spiralform entsteht
dabei durch den ersten Term in (4.11), dieser beschreibt eine überlagerte Kreisbewegung, die, gegeben
durch den Exponenten − 3i ϕ, rückwärts einen drittel Kreis in der Zeit t = T durchläuft.
Eine Störung beeinflusst, wie wir gesehen haben, maßgeblich eine Näherung, die aus einem
Unterraum aufgebaut ist, deren Dimension der Ordnung des exzeptionellen Punktes entspricht.
Im Folgenden soll diskutiert werden, ob eine adiabatische Näherung auch dann sinnvoll ist, wenn
eine Störung anliegt. Dazu betrachten wir nur den Anfangszustand eines Zustands, der zu einem
exzeptionellen Punktes 2. Ordnung gehört und der im ungestörten Fall der adiabatischen Näherung
gehorcht. Dies ist in diesem Beispiel verbunden mit der Anfangsbedingung a1 (t = 0) = 1. Außerdem
liegt nur eine Störung s1 an und der Kreisumrundungsparamter ist T = 10. Da in der adiabatischen
23
2. Zeitentwicklung und adiabatische Näherung
Näherung nach (2.27) nur der Eigenwert eingeht, der wiederum abhängig von κ und s1 ist und
damit von allen veränderlichen Parametern des Systems, zeigt die adiabatische Näherung auch für
anliegende Störungen Übereinstimmung zur exakten Lösung. Dies gilt jedoch nur für Anfangsbedingungen, die auch schon für einen ungestörten Fall s1 = s2 = s3 = 0 eine adiabatische Näherung
gewährleisten. Da die adiabatische Näherung nicht sinnvoll normiert werden kann, ist nur die unnormierte Zeitentwicklung aussagekräftig. Die Übereinstimmung der adiabatischen Näherung wird
dabei verifiziert, indem die Näherung ai,ad mit der exakten Lösung einer der Koeffizienten a j zur Zeit
t = 0 und T = 10 übereinstimmt. Nur zum Anfangs und Endpunkt des Kreises ist der Koeffizient
der adiabatischen Näherung vergleichbar mit einem der Koeffizienten aus der »zero«-Basis. Ein
adiabatisches Verhalten fordert die Vertauschung der Wahrscheinlichkeiten | a1 |2 und | a2 |2 in der
»zero«-Basis nach (2.32). Die Ergebnisse aus Abbildung 4.7 bestätigen die Vermutung, dass es nur
für einen Anfangszustand zu einem adiabatischen Verhalten kommt. Aus dem Energiespektrum in
Abbildung 4.1 lässt sich die Theorie aus [12] bestätigen, nach der das System in dem Anfangszustand
des exzeptionellen Punktes präpariert sein muss, der den kleinsten Imaginärteil aufweist.
Es wird an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen, dass das Beispielmodell kein physikalisches Äquivalent besitzt. Da die Eigenwerte daher zum Teil einen positiven Imaginärteil aufweisen,
kommt es für die Betragsquadrate der Koeffizienten, die hier immer als Wahrscheinlichkeit bezeichnet werden, zu Werten, die weit über 1 liegen und damit eine Wahrscheinlichkeit von über 100%
bedeuten würden. In physikalischen nichthermiteschen Systemen tauchen, abgesehen von bewusst
eingebauten Gewinnanteilen durch Zufluss von Wahrscheinlichkeitsdichte aus einem Reservoir, nur
(Energie)-Eigenwerte mit negativem Imaginärteil auf, sodass dort dieses Problem nicht auftritt. Es
gibt damit in physikalischen nichthermiteschen Systemen nur Zustände, welche zerfallen und damit
– auch bei einer normierten Betrachtung vieler Resonanzen – keine Wahrscheinlichkeit über eins
aufweisen.
24
IV. 5 × 5-Matrixmodell mit Störung
(b)
s1 = s2 = s3 = 0
100
100
1
1
| a i |2
| a i |2
(a)
a1
a2
a3
0.01
0
2
4
a4
a5
a ad
6
8
s1 = s2 = s3 = 5
0.01
10
0
2
4
Zeit t
(d)
s1 = s2 = s3 = 0
100
100
1
1
| a i |2
| a i |2
(c)
6
8
10
8
10
Zeit t
0.01
s1 = s2 = s3 = 5
0.01
0
2
4
6
Zeit t
8
10
0
2
4
6
Zeit t
A b b i l du n g 4 . 7 . : Zeitentwicklung der Koeffizienten für die Umrundung eines Kreises mit Radius r = 0.1 und einer
Umrundungsdauer von T = 10 im Modell (4.1) . Für die Fälle (a) und (b) gilt der Anfangszustand a1 (0) = 1, für die Fälle (c)
und (d) befindet sich das System im Anfangszustand a2 (0) = 1. Zusätzlich ist die adiabatische Näherung mit eingetragen.
Anliegende Störungen beeinflussen die Genauigkeit der adiabatischen Näherung nicht. Dabei ist zu beachten, dass die
adiabatische Näherung für den Endzeitpunkt T = 10 wichtig ist. Stimmt die adiabatische Näherung mit dem Koeffizienten
der »zero«-Basis überein, der anfänglich nicht besetzt ist, so handelt es sich um einen adiabatischen Zustandsflip. Die
Bedingung (2.34) ist nur dann erfüllt, falls das System im Anfangszustand a1 (0) = 1 vorliegt und bestätigt damit die
Theorie, bei der nur ein adiabatisches Verhalten vorkommt, falls derjenige Eigenzustand zum Anfangszeitpunkt besetzt ist,
der den betragsmäßig kleinsten Imaginärteil besitzt.
25
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des
Wasserstoffatoms
Im Folgenden wird die Theorie der exzeptionellen Punkte anhand des Wasserstoffproblemes diskutiert. Dazu werden gekreuzte Felder angelegt und damit Resonanzen erzeugt, welche einen Zerfall
aufzeigen. Untersucht wird hauptsächlich, inwieweit eine Näherung gerechtfertigt ist, in der nur
die Resonanzen des exzeptionellen Punktes in der Zeitentwicklung berücksichtigt werden. Bezogen
auf ein Matrixmodell stellt sich also die Frage, wie gut ein zweidimensionaler Unterraum das ganze
System beschreibt.
1. Das Wasserstoffproblem
Die Wechselwirkung zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom ist durch das CoulombPotential gegeben. Dieses lautet in cgs-Einheiten
V (r ) = −
e2
.
r
(5.1)
Dabei ist e die Elementarladung und r der radiale Abstand vom Ursprung in sphärischen Koordinaten.
Eingesetzt in die stationäre Schrödingergleichung,
H |ψi = E |ψi ,
ergibt dies in der Ortsdarstellung die Gleichung
!
h̄2
e2
−
∆−
ψ(r, ϑ, ϕ) = E ψ(r, ϑ, ϕ) .
2m
r
(5.2)
(5.3)
Lösungen von (5.3) sind Wellenfunktionen, die aus einem Radialteil Rn,` (r ), respektive aus einem
Winkelanteil Y`m (ϑ, ϕ) – den sog. Kugelflächenfunktionen – aufgebaut sind.
ψ(r, ϑ, ϕ) = Rn,` (r ) Y`m (ϑ, ϕ)
(5.4)
Aus der Kenntnis der Wellenfunktion (5.4) lassen sich die Energieniveaus des Wasserstoffatoms
durch Einsetzen in (5.3) ableiten (siehe Anhang B).
En = −
e4 m
2h̄2 n2
(5.5)
Da für die Hauptquantenzahl n ∈ N+ gilt, ist das Energiespektrum diskret. Durch Aufnahme eines
Photons der Energie
∆E = En0 − En = h̄ω
(5.6)
kommt es im Wasserstoffatom zum Übergang n → n0 . Die Eigenzustände (5.4) sind gebundene
Zustände. Das reine Wasserstoffproblem ist damit kein offenes Quantensystem, da das Elektron in
jedem Niveau E < 0 lokalisiert ist.
27
2. Hamiltonoperator und Matrixdarstellung
2. Hamiltonoperator und Matrixdarstellung
Der Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms in gekreuzten statischen Feldern wird nach [3] durch
H=
p2 1 1
1
− + γ L z + γ2 x 2 + y2 + f x
2
r
2
8
(5.7)
mit dem Impuls des Elektrons p, dem Drehimpuls in z-Richtung Lz und den Feldstärken γ und
f beschrieben. Es wurden hierbei relativistische Korrekturen vernachlässigt und atomare HartreeEinheiten verwendet. Das elektrische Feld liegt in x-Richtung an und wird durch die Feldstärke
f charakterisiert, das Magnetfeld der Stärke γ zeigt in die z-Richtung. Es ist dabei vorteilhaft,
semiparabolische Koordinaten der Form [3]
µ=
1√
r+z,
b
ν=
1√
r−z
b
ϕ = arctan
y
x
r=
,
q
x 2 + y2 + z2
(5.8)
einzuführen. Um die Resonanzen dieses Systems numerisch zu bestimmen, bietet sich die Methode
der komplexen Rotation an [8]. Im Folgenden wird durch
b2 = |b|2 eiϑ
(5.9)
eine komplexe Rotation beschrieben. Diese überführt den Ortsvektor in die komplexe Ebene
r → eiϑ r
(5.10)
und führt durch Einsetzen in 5.7 auf die Gleichung
1
−2H0 + |b|4 eiϑ γ µ2 + ν2 i∂ ϕ − |b|8 ei4ϑ γ2 µ2 ν2
4
6 i3ϑ
−2| b | e
i
f µ, ν(µ + ν ) cos( ϕ) + 4|b| e + (µ + ν ) · e−i2ϑ ψ
2
2
2 iϑ
2
2
= 2|b|4 E(µ2 + ν2 )ψ (5.11)
mit der Abkürzung
H0 = −
1
1
∆ µ + ∆ ν + ( µ2 + ν2 )
2
2
(5.12)
und dem Laplace-Operator
∆α =
1
1
∂α α ∂α + 2 ∂2ϕ
α
α
α = µ, ν .
(5.13)
In (5.12) lässt sich die Struktur eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators erkennen. Der
verbleibende Winkelanteil in (5.13) ist der Azimutalwinkel und wird mit dem Drehimpulsoperator
Lz beschrieben, der als Eigenwert die Quantenzahl m enthält. Eine geeignete Basis ist damit gegeben
durch
nµ , m ⊗ |nν , mi = nν , nµ , m .
(5.14)
Die Vektoren nµ , m und |nν , mi sind jeweils Eigenzustände der Operatoren
N = a1† a1 + a2† a2
(5.15a)
L = (q1 p2 − q2 p1 ) = i a1 a2† − a1† a2
28
(5.15b)
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des Wasserstoffatoms
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
γ
0.002335
0.002575
0.002752
0.0030152
0.003045
0.0030460
0.0037915
0.004604
0.004714
0.00483
0.00529
0.00537
0.005388
0.00572
0.00611
0.00615
0.00776
f
0.0001177
0.000117114
0.0001298
0.0001231
0.0001332
0.000127302
0.0001535
0.0002177
0.00021529
0.000213
0.0002011
0.000214
0.0002619
0.000256
0.000256
0.000265
0.000301
Re( E)
−0.01767
−0.015067
−0.015714
−0.01209
−0.015812
−0.017624
−0.01240
−0.022135
−0.01394
−0.01255
−0.0150
−0.01884
−0.02360
−0.01984
−0.01593
−0.0158
−0.0179
Im( E)
−0.000103
−0.0000823
−0.00022637
−0.000099
−0.0001896
−0.000087
−0.000164
−0.00006878
−0.00010
−0.00030
−0.000136
−0.0000679
−0.00015
−0.000258
−0.00024
−0.000374
−0.000756
Ta b e l l e 5 . 1 . : Parameter γ und f für die exzeptionelle Punkte gefunden werden können [8]. Alle Parameter sind in
Hartree-Einheiten angegeben.
mit den bekannten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des eindimensionalen, dimensionslosen
harmonischen Oszillators
H = a† a +
1
.
2
(5.16)
Die Matrixdarstellung von (5.11) ist eine nichthermitesche Schrödingergleichung der Form
A(γ, f )ψ = 2b4 ECψ
(5.17)
mit einer komplex symmetrischen Matrix A(γ, f ) und einer reell symmetrischen, positiv definiten
Matrix C.
In der Schrödingergleichung (5.11) gehen die Parameter γ und f ein. Diese können variiert werden,
sodass ein Kreis im Parameterraum umrundet werden kann. Dazu wählen wir die Magnetfeldstäkre
γ bzw. die elektrische Feldstärke f zu
γ( ϕ)= γ0 1 + r cos( ϕ) ,
(5.18a)
f ( ϕ) = f 0 1 + r cos( ϕ) .
(5.18b)
Nach [8] existieren exzeptionelle Punkte für bestimmte Parameter γ und f . Diese sind in Tabelle 5.1
aufgelistet.
3. Numerische Lösung des Problems
Ziel ist es, die Schrödingergleichung (5.17) für verschiedene Parameterpaare γ und f zu lösen, um
damit Resonanzzustände zu erhalten. Die Matrizen A respektive C werden dabei
nach Gleichung
(5.11) aufgebaut. Dazu werden bis zu 17000 verschiedene Zustände nν , nµ , m benutzt, welche die
Bedingung
nµ + nν > m
(5.19)
29
4. Zeitentwicklung der Zustände
erfüllen. Das so entstehende Eigenwertproblem wird dann mit Hilfe des Arnoldi-Algorithmus
gelöst, dadurch erhält man die Energieeigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren. Für die
Zeitentwicklung des Systems in der »zero«-Basis wird dieser Vorgang nur ein einziges Mal benötigt
und zwar zum Zeitpunkt t = 0, denn nur diese Eigenvektoren gehen in die Berechnung ein (s.u.
(5.24)). Durch die Wahl dieser Basis wird bei der numerischen Berechnung viel Zeit eingespart, denn
man vermeidet die Diagonalisierung einer Matrix mit 17000 Basiszuständen, um deren Eigenwerte
bzw. Eigenzustände für jeden Zeitpunkt t zu berechnen. Will man die Ergebnisse der »zero«-Basis
jedoch mit einer adiabatischen Näherung vergleichen, so muss die Matrix zu jedem Zeitpunkt
diagonalisiert werden, denn in die adiabatische Näherung,
αi,ad (t) = αi (0)e−i
Rt
0
Ei (t) dt
,
(5.20)
geht explizit der Eigenwert Ei (t) ein. Dies ist der Hauptgrund, dass in dieser Arbeit eine adiabatische
Näherung meist nur für kleine Zeiten zu sehen ist. Der Ausdruck klein ist dabei relativ zu betrachten
und entspricht einer Zeitgrößenordnung von t ∝ 10−13 s was einer Zeitgröße von t ∝ 104 in HartreeEinheiten entspricht.
4. Zeitentwicklung der Zustände
Der Zerfall eines Zustands wird durch die Relation
Γ = −2 Im( E)
(5.21)
beschrieben und ist vom Imaginärteil eines Energieeigenwertes abhängig. Je kleiner der Imaginärteil
ist, desto langsamer zerfällt ein Zustand. Im Folgenden werden Resonanzumgebungen betrachtet.
Dabei wird unter der Berücksichtigung von n Resonanzen eine Zeitentwicklung verstanden, die
neben dem am exzeptionellen Punkt beteiligten Resonanzen, ausgehend vom Punkt (γ0 , f 0 ), die
zum Anfangszeitpunkt t = 0 im Energieraum n − 2 nächstgelegenen Resonanzen, miteinbezieht. Die
Berechnung der Zeitentwicklung wird wiederum in der »zero«-Basis vollzogen. Um einen Vergleich
dieser Basis im Wasserstoffatom mit einer instantanen Eigenbasis angeben zu können, berechnen
wir den Übergang der Koeffizienten nach (2.28). Beispielhaft wollen wir n umliegende Resonanzen
betrachten und den Koeffizienten a1 (t) aus der »zero«-Basis mit dem Koeffizienten α(t) (vgl. (2.30a))
aus der instantanen Basis vergleichen. Dabei stehen die Koeffizienten durch die Relation
n
∑
αi ( t ) =
ai (t) hw1 (t) | vi (0)i
(5.22)
i =1
in Verbindung. Ergeben die Projektionen
∑ hw1 (t) | vi (0)i
(5.23)
i
in der Summe den Wert eins, so können wir für die gesamte Zeitdauer den Koeffizienten der »zero«Basis die gewünschte Bedeutung zumessen, da sie für alle Zeiten t den Unterraum, in dem sich die
Eigenzustände bewegen, vollständig enthalten. Für zwei der Energiespektren aus der linken Seite
von Abbildung 5.5 wurde (5.23) exemplarisch für 20 Zeitpunkte und einer verschiedenen Anzahl von
Resonanzen bestimmt. Das Ergebnis aus Abbildung 5.1 zeigt, dass die Summe der Projektionen nahe
um den Wert eins liegen. Es können dabei auch Werte der Projektionen auftreten, die größer als eins
sind. Dies ist ein Indiz dafür, dass die Abweichungen aus der komplexen Rotation (5.9) stammen. Da
die Zunahme an Resonanzen nur eine marginale Verbesserung zeigt, kann die Abweichung nicht auf
30
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des Wasserstoffatoms
∑5i=1 | hv1 (t) | vi (0)i |2
1.01
n = 15
n=5
n=3
1
0.99
0
25000
50000
Zeit t
75000
100000
∑5i=1 | hv1 (t) | vi (0)i |2
1.01
1
0.99
0.98
0.97
n = 15
n=5
n=3
0.96
0.95
0
25000
50000
Zeit t
75000
100000
Abbildung 5.1.: Angabe der Projektionen nach (5.22) für n Resonanzen. Im oberen Fall ist der Radius nach (5.18a) und
(5.18b) r = 0.01, wohingegen im unteren Fall der Radius r = 0.05 betrachtet wird. Die Energiespektren beider Fälle sind
auf der linken Seite in Abbildung 5.5 zu sehen. Liegen die Punkte auf der schwarzen Linie, so ist zu diesem Zeitpunkt der
Koeffizient a1 (t) aus der »zero«-Basis gut zur Beschreibung des gesuchten Unterraums geeignet. Erkennbar ist, dass in
beiden Fällen die Projektionen für 5 und 15 umliegende Resonanzen nahezu gleich ist. Die Abweichung zur schwarzen
Linie ist daher sehr wahrscheinlich auf einen rein numerischen Effekt zurückzuführen und nicht auf die Basiswahl.
die Basiswahl zurückgeführt werden. Vielmehr ist die Endlichkeit des Matrixaufbaus nach (5.14) die
Folge der Abweichungen. Für eine unendliche Anzahl an Eigenzuständen und damit einer unendlich
großen Matrix könnte das Auftreten einer Abweichung theoretisch bereinigt werden, in der Praxis
wird es jedoch zu einer Abweichung kommen, die unter anderem vom Radius abhängt. Ein kleiner
Radius (obere Abbildung in 5.1) hat eine Abweichung zufolge, die ohne Bedenken ignoriert werden
kann. Durch die Erhöhung des Radius (untere Abbildung in 5.1) entsteht eine Abweichung des
Unterraums von bis zu 5%.
In der »zero«-Basis ergeben sich die gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung:
n
ȧk + ∑ i a j
w k (0) H ( t ) v j (0) = 0 ,
k = 1...n
(5.24)
j =1
Dabei beschreibt n die Anzahl der Resonanzen, die in die Berechnung eingehen. Für eine Betrachtung
eines reinen exzeptionellen Punktes 2. Ordnung ist n = 2. Das Betragsquadrat der Koeffizienten
| a j (t)|2 wird im Folgenden als Wahrscheinlichkeit tituliert. Dabei wird zwischen unnormierter und
31
5. Betrachtung umliegender Resonanzen
normierter Wahrscheinlichkeit unterschieden. Die normierte Wahrscheinlichkeit lautet
| ãk |2 =
| a k |2
n
∑ j =1 | a j | 2
k = 1...n
,
(5.25)
Da die Zustände einen Zerfall der Form
1
a j (t) ∝ e 2
−Γ j t
(5.26)
aufzeigen, geht die gesamte Population für Zeiten t → ∞ im normierten Fall in den Zustand,
der den kleinsten Imaginärteil aufweist. Als Beispiel dient der exzeptionelle Punkt 13 aus Tabelle
5.1, dessen Resonanzspektren für einen Parameterkreis (5.18a) respektive (5.18b) mit γ0 = 0.00539,
f 0 = 0.0002619 und r = 0.01 in Abbildung 5.2 zu sehen ist. Exemplarisch ist die Zeitentwicklung
für die zwei Zustände des exzeptionellen Punktes in Abbildung 5.3 dargestellt. Für eine Zeit von
t = 105 sind die Zustände bereits nahezu zerfallen. Für den Fall mehrerer Resonanzen ist die
normierte Zeitentwicklung nicht immer aussagekräftig, denn dort kann der dissipative Effekt dazu
führen, dass ein am exzeptionellen Punkt unbeteiligter Zustand kaum zerfällt, der des exzeptionellen
Punktes jedoch gravierend schneller. Die normierte Zeitentwicklung würde für diesen Fall einen
Populationstausch vorzeigen, der jedoch nicht mit der adiabatischen Näherung 2.27 verträglich ist
[4, 13].
5. Betrachtung umliegender Resonanzen
In diesem Abschnitt soll der Einfluss umliegender Resonanzen betrachtet werden. Dazu werden die
n energetisch nächsten Energieeigenwerte in der Umgebung der Feldstärkeparameter f 0 und γ0 in
die Berechnung der Zeitentwicklung aus Gleichung (5.24) miteinbezogen. Führt die Berechnung der
Zeitentwicklung für einen alleinstehenden exzeptionellen Punkt (n = 2) auf dieselben Ergebnisse
wie für eine Zeitentwicklung mit n Zuständen, so kann die Kopplung dieser Zustände vernachlässigt
werden. Da in der Berechnung Hartree-Einheiten verwendet werden, weisen die Zeitskalen in den
Abbildungen große Zahlenwerte auf. So entspricht eine Zeit der Größenordnung von 109 in den
Abbildungen gerade einmal der realen Zeit von 10 ns. In Abbildung 5.4 ist die Zeitentwicklung für
die Umrundung des exzeptionellen Punktes 13 aus Tabelle 5.1 unter Berücksichtigung von insgesamt
vier Resonanzen dargestellt. Das heißt es wurden nicht nur die zwei Zustände propagiert die zum
exzeptionellen Punkt gehören, sondern auch noch zwei umliegende Resonanzen. In der normierten
Darstellung überschreitet der Koeffizient | a4 |2 ab einer gewissen Zeit die Wahrscheinlichkeit beider
Koeffizienten | a1 |2 und | a2 |2 , die zum exzeptionellen Punkt gehören. Dies ist die Folge eines dissipativen Effektes, bei dem der Zustand zum Koeffizienten a4 sichtbar langsamer zerfällt, als die Zustände
des exzeptionellen Punktes. Im nicht normierten Fall in Abbildung 5.4 ist dies gut zu erkennen.
Dabei ist auffällig, dass der Koeffizient | a3 |2 nahezu konstant bleibt und damit nicht zerfällt. Es muss
sich also um einen nahezu gebundenen Zustand handeln. In Abbildung 5.2 sind die Energiespektren
für die Zeitentwicklung aus Abbildung 5.4 aufgezeigt. Die Farben der Resonanzen stimmen mit
denen der Koeffizienten aus Abbildung 5.4 für die Zeit t = 0 überein.
Es wird nun untersucht, inwiefern die alleinige Betrachtung der Koeffizienten des exzeptionellen
Punktes gerechtfertigt ist. Dabei wird jeweils die Zeitentwicklung mit den zwei Koeffizienten des
exzeptionellen Punktes mit der Zeitentwicklung der nächsten n Resonanzen verglichen. Die nächsten
Resonanzen beziehen sich dabei auf den Ursprung ( f 0 , γ0 ) des Kreises im Parameterraum. Im
Folgenden sollen die Koeffizienten bi die Zeitentwicklung des Falles beschreiben, in dem nur der
exzeptionelle Punkt in die Berechnung eingeht. Durch Bildung der Differenz
abs | ai |2 − |bi |2 ,
i = 1, 2 ,
(5.27)
32
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des Wasserstoffatoms
a)
0
Im( E)
-0.0001
-0.0002
-0.0003
-0.0238
-0.0237
-0.0236
Re( E)
-0.0235
-0.0234
b)
0
Im( E)
-0.001
-0.002
-0.003
-0.027
-0.026
-0.025
-0.024
-0.023
-0.022
Re( E)
A b b i l du n g 5 . 2 . : Energiespektrum für die Parameter γ0 = 0.00539, f 0 = 0.0002619 und einem Radius von r = 0.01. In
a) sind die Eigenwerte zu sehen, welche dem exzeptionellen Punkt angehören. In b) sind zudem die 8 nächstliegenden
Resonanzen aufgezeigt. Dabei liegen vier Resonanzen vor, deren Imaginärteil nahezu 0 ist.
33
5. Betrachtung umliegender Resonanzen
a)
1
0.8
| a i |2
0.001
| a i |2
1
a1
a2
1e-06
a1
a2
0.4
0.2
1e-09
0
b)
1
50000 100000 150000 200000
Zeit t
1e-06
0
0
50000
100000 150000 200000
Zeit t
1
a1
a2
0.8
| a i |2
0.001
| a i |2
0.6
0.6
a1
a2
0.4
0.2
1e-09
0
50000 100000 150000 200000
Zeit t
0
0
50000
100000 150000 200000
Zeit t
A b b i l du n g 5 . 3 . : Zeitentwicklung der Koeffizienten, welche den exzeptionellen Punkt im Energiespektrum aus Abbildung 5.2 beschreiben. Links ist jeweils die unnormierte Zeitentwicklung in der »zero«-Basis zu sehen. Rechts ist die
normierte Darstellung vorzufinden. Die obere Zeile weist die Anfangsbedingung a1 (0) = 1 auf, die untere Zeile a2 (0) = 1.
Ein adiabatischer Zustandsflip wird nur für den Fall der Anfangsbedingung a2 (0) = 1 beobachtet. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit eines adiabatischen Flips jedoch auch für diesen Fall nicht immer gegeben, da die normierte Wahrscheinlichkeit
am Ende des Kreises nicht exakt die Bedingung | a1 ( T )|2 = 1 erfüllt, vielmehr liegt die Wahrscheinlichkeit etwas unter
diesem Wert.
erhalten wir wie in (4.8) eine Abweichung zwischen der approximativen und der vollen Lösung.
Zu beachten ist jedoch, dass auch die Betrachtung der umliegenden n Resonanzen im Grunde
eine Näherung widerspiegelt, da es im Wasserstoffatom in gekreuzten Feldern unendlich viele
Resonanzen gibt.
In Abbildung 5.5 ist die Abweichung für eine Resonanzanzahl von n = 3, 5, 10, 15 für verschiedene
Radien des 13. exzeptionellen Punktes aus Tabelle 5.1 aufgezeigt. Die Energiespektren zeigen aus
Gründen der Übersichtlichkeit jeweils nur die fünf naheliegenden Resonanzen. Eine erste Auffälligkeit
ist der ansteigende Maximalwert der Abweichung für eine Erhöhung des Radius. Im Fall eines Radius
r = 0.01 sind die Resonanzen im Energieraum sichtbar auseinanderzuhalten. Der Überlapp der
Zustände sollte erwartungsgemäß klein ausfallen. So ist der Überlapp mit der nächstgelegenen
Resonanz vernachlässigbar klein und erst die Betrachtung von 5 Resonanzen ergibt eine Abweichung
der Größenordnung 10−4 . Für den Fall eines Radius von r = 0.05 erreicht die viert-nächstgelegene
Resonanz den Bereich der Resonanzen des exzeptionellen Punktes im Energieraum und schneidet
deren Bahnkurve sogar. Ein Überlapp der Zustände des exzeptionellen Punktes und dieser Resonanz
sollte dem Überlapp zu allen anderen umliegenden Resonanzen überlegen sein. Dieses erwartete
Verhalten ist in der Abweichung zu erkennen. Dort ist der Wert der Abweichung einer Lösung
mit 3 Resonanzen vernachlässigbar klein, jedoch liegt der Wert einer Fünf-Resonanzlösung einige
Größenordnungen darüber und ist keinesfalls mehr vernachlässigbar. Durch das Miteinbeziehen
der viert-nächstgelegenen Resonanz hat man den größten Störfaktor beachtet, denn die Betrachtung
weiterer umliegender Resonanzen verändert den absoluten Wert der Abweichung nur marginal. Dabei
34
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des Wasserstoffatoms
1
0.001
1e-06
0.8
| a i |2
| a i |2
1
| a1 |2
| a2 |2
| a3 |2
| a4 |2
1e-09
1e-12
1e-15
0.6
0.4
0.2
0
40000 80000
Zeit t [ a.u.]
120000
0
0
40000
80000
Zeit t [ a.u.]
120000
Abbildung 5.4.: Wahrscheinlichkeit, einen Zustand vorzufinden, aufgetragen in der »zero«-Basis über die Zeit. Links ist
die Zeitentwicklung der Koeffizienten des exzeptionellen Punktes und zwei umliegender Resonanzen im Wasserstoffatom
für die Parameter γ0 = 0.00539, f 0 = 0.0002619 und einem Radius von r = 0.02 zu sehen. Rechts ist dieselbe Situation in
normierter Form dargestellt.
liefert ein Radius von r = 0.08 dieselben Aussagen, lediglich der maximal Wert der Abweichung
erreicht einen Wert, der ein bis zwei Größenordnungen höher liegt als für einen Radius von r = 0.05.
Für den Fall des 13. exzeptionellen Punkt aus Tabelle 5.1 lässt sich, wie wir gerade gesehen haben,
am Resonanzspektrum erkennen, dass die zum Anfangszeitpunkt viert weitest entfernte Resonanz
den größten Einfluss auf den exzeptionellen Punkt einbringt und für wachsende Radien immer
näher an die Energieeigenwerte des exzeptionellen Punktes rückt und diesen für gewisse Werte
sogar schneidet. Eine starke Abweichung der Form (5.27) heißt zugleich ein nicht vernachlässigbarer Anteil der Projektionen der Eigenzustände des exzeptionellen Punktes auf die umliegenden
Resonanzzustände während des Durchlaufs des Parameterkreises
n
∑
w j (t) vi (t + ∆t)
i = 1, 2 .
(5.28)
j =3
Eine verallgemeinerte Aussage über das Verhalten eines beliebigen exzeptionellen Punktes lässt sich
nicht treffen, sodass ein jeder eine eigene Untersuchung erfordert, um herauszufinden, welche Resonanzzustände den größten Überlapp mit den Zuständen des exzeptionellen Punktes besitzen. Für die
enge Umrundung eines exzeptionellen Punktes – also die Wahl eines kleinen Radius – wird erwartet,
dass die Abweichungen (5.27) klein ausfallen, sodass eine zweidimensionale Näherungslösung des
exzeptionellen Punktes ein gutes Ergebnis liefert.
6. Adiabatische Näherung
Wir wollen nun das in Abschnitt 4 angesprochene adiabatische Verhalten eines nichthermiteschen
Systems für das Wasserstoffatom untersuchen. Ein großer Vorteil der Kenntnis, wann ein adiabatisches Verhalten zu erwarten ist, besteht darin, dass die Zeitentwicklung eines nichthermiteschen
Systems mit Hilfe eines Eigenwertes beschrieben werden kann. Dazu ist lediglich das Wissen von
Nöten, welcher der beiden Eigenwerte des exzeptionellen Punktes, integriert über die Zeit eines
Durchlaufes, den größeren Imaginärteil besitzt.
In Abbildung 5.3 ist nach der in Abschnitt 4 aufgestellten Theorie ein adiabatisches Verhalten
zu erwarten, falls die Anfangsbedingung a2 (0) = 1 vorliegt. Das zugehörige Energiespektrum in
Abbildung 5.2 zeigt auf, dass der Eigenwert (grün) zum zugehörigen Koeffizienten a2 (t) einen
35
6. Adiabatische Näherung
r = 0.01
100
abs | a1 |2 − |b1 |2
Im E 10−4
0.0
−1.0
−2.0
−3.0
−4.0
−5.0
−0.026
−0.024
Re E
10−4
10−8
10−12
10−16
−0.022
0
50 000
Zeit t [a.u.]
100 000
0
50 000
Zeit t [a.u.]
100 000
0
50 000
Zeit t [a.u.]
100 000
r = 0.05
100
abs | a1 |2 − |b1 |2
Im E 10−4
0.0
−3.0
−6.0
−9.0
−0.026
−0.024
Re E
10−4
10−8
10−12
−0.022
r = 0.08
100
abs | a1 |2 − |b1 |2
Im E 10−4
0.0
−2.0
−4.0
−6.0
−8.0
−0.026
−0.024
Re E
Resonanz 1
Resonanz 2
Resonanz 3
Resonanz 4
Resonanz 5
−0.022
10−4
10−8
10−12
n = 10
n = 15
n=3
n=5
A b b i l du n g 5 . 5 . : Rechts: Abweichung des Koeffizienten |b1 |2 nach (5.27) unter Beachtung von n Resonanzen beim
Umrunden des 13. exzeptionellen Punktes aus Tabelle 5.1 für verschiedene Radien. Links sind jeweils die Energiespektren
des betrachteten Falls dargestellt.
36
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des Wasserstoffatoms
a2 (0) = 1
100
10−3
10−6
10−9
10−12
a1
a2
0
a3
a4
a1,ad
25 000
Zeit t [ a.u]
50 000
a2 (0) = 1
100
10−3
10−6
10−9
10−12
a1
0
a2
a3
25 000
Zeit t [ a.u]
a4
a2,ad
50 000
A b b i l du n g 5 . 6 . : Zeitentwicklung des 13. exzeptionellen Punkt aus Tabelle 5.1 für vier Resonanzen mit adiabatischer
Näherung. Zu sehen sind die zwei unterschiedlichen Anfangsbesetzungen der Zustände, die den exzeptionellen Punkt
beschreiben. Dabei zeigt die Anfangsbedingung a1 (0) = 0 erwartungsgemäß starke Abweichungen zwischen adiabatischer
Näherung und exakter Lösung. Für den Fall a2 (0) = 0 stimmt der Verlauf der adiabatische Näherung mit der exakten Lösung überein. Durch nichtverschwindende Projektionen der Form (2.34), die in der adiabatischen Näherung vernachlässigt
werden, entsteht jedoch eine Abweichung.
betragsmäßig kleineren Energieimaginärteil als der Eigenwert (rot), der dem Koeffizienten a1 (t)
zugeteilt wird, besitzt. Allein die Energiespektren liefern damit Auskunft darüber, welche Anfangsbedingungen für einen adiabatischen Flip vorliegen müssen. In den numerischen Ergebnissen aus
Abbildung 5.6 lässt sich die Theorie nicht vollständig bestätigen. Dass die adiabatische Näherung
für den Anfangswert a2 (0) = 0 am Endzeitpunkt t = T nicht mit einer der exakten Lösungen
übereinstimmt, ist jedoch auf den Einfluss umliegender Resonanzen zurückzuführen. Der Einfluss
umliegender Resonanzen auf die adiabatische Näherung wird im Folgenden diskutiert.
Ein adiabatisches Verhalten fordert einen Populationstausch nach (2.32). Betrachtet man das Energiespektrum in Abbildung 5.7, so befindet sich nahe des exzeptionellen Punktes ein fast gebundener
Zustand, dieser zeigt nahezu keinen Zerfall auf und somit muss sich für große Zeiten t → ∞ die
Population in diesem Zustand befinden, sofern der Überlapp nach (2.34) nichtverschwindend ist. Ein
verschwindender Überlapp bedeutet in diesem Sinne ein orthogonaler Unterraum dieser Resonanz
bezüglich der Zustände, die den exzeptionellen Punkt beschreiben. Sind jedoch Übergänge vom
exzeptionellen Punkt in diese Resonanz möglich, so findet kein adiabatischer Zustandsflip statt, denn
die größte Wahrscheinlichkeit das System zum Zeitpunkt t = T aufzufinden, besitzt der nahezu
gebundene Zustand.
37
6. Adiabatische Näherung
Damit existieren zwei Prozesse, die vom Zerfall der einzelnen Zustände abhängen können. Zum
einen kann ein adiabatischer Zustandsflip nur durch dissipative Effekte auftreten, indem ein Zustand
des exzeptionellen Punktes schneller zerfällt als der andere, zum anderen zerfallen die Zustände
des exzeptionellen Punktes schneller als eine umliegende Resonanz und es kann durch nichtverschwindende Übergangswahrscheinlichkeiten ein Übergang in diese Resonanz stattfinden. Für eine
Zeit von T = 5 · 1010 [ a.u.] ist die adiabatische Näherung in Abbildung 5.6 für die Gesamtanzahl
von vier Resonanzen dargestellt. Zu erkennen ist, dass zum Endzeitpunkt der Umrundung der
Koeffizient des nahezu gebunden Zustands | a3 (t)|2 eine kleinere Wahrscheinlichkeit aufzeigt, als
die zum exzeptionellen Punkt gehörenden Koeffizienten | a1 (t)|2 respektive | a2 (t)|2 . Dennoch zeigt
das numerische Ergebnis der adiabatischen Näherung für die Anfangsbedingung a2 (0) = 1 eine
Abweichung zur exakten Zeitentwicklung. Nach Abschnitt 4 in Kapitel II würde man jedoch ein
komplett adiabatisches Verhalten des Systems erwarten, denn die Wahrscheinlichkeiten der Koeffizienten des exzeptionellen Punktes dominieren. Das Problem dieser Theorie hat den Ursprung in der
Missachtung umliegender Störungen. Nach (2.34) sind für nichtverschwindende Projektionen
hv3 (t) | vi (t + ∆t)i
i = 1, 2 ,
(5.29)
Übergänge vom exzeptionellen Punkt in umliegende Resonanzen möglich. Die adiabatische Näherung
nach (2.27) besteht jedoch gerade darin, Überlappe der Form (5.29) zu vernachlässigen, was zur
Abweichung der adiabatischen Näherung in Abbildung 5.6 für den Anfangszustand a2 (0) = 1 führt.
38
V. Exzeptionelle Punkte in Resonanzspektren des Wasserstoffatoms
0
λ1
λ2
λ3
λ4
-0.0005
0
-2e-11
-4e-11
-0.024
-0.0238
-0.0236
Im( E)
-0.001
-0.0015
-0.002
-0.0025
-0.024
-0.023
Re( E)
Abbil du n g 5 . 7 . : Energiespektren für die Umrundung eines Kreises mit dem Ursprung
( f 0 , γ0 ) = (0.00539, 0.0002619) und einem Radius von r = 0.02. Dabei beziehen sich die Energieeigenwerte λ1 und λ2 auf
den exzeptionellen Punkt. Durch die Vergrößerung des Eigenwertes λ3 lässt sich feststellen, dass dessen Imaginärteil
nahezu Null ist. Ein Imaginärteil von Null bedeutet im physikalischen Sinn, dass der Zustand zu diesem Eigenwert kaum
zerfällt und es sich somit um einen nahezu gebundenen Zustand handelt.
39
VI. Vergleich des 5 × 5-Matrixmodells mit dem
Wasserstoffproblem
Die gewählte 5 × 5-Matrix aus Kapitel IV besitzt, abgesehen vom Auftreten komplexer Eigenwerte
und der Existenz von exzeptionellen Punkten, keinerlei Eigenschaften eines bekannten physikalischen
Systems. Daher fällt es schwer, eine Interpretation der Störparameter si zu tätigen. Eine Kopplung
führt zu nichtverschwindenden Projektionen der Eigenzustände des exzeptionellen Punktes auf
umliegende Resonanzen. Gleiches gilt für das Wasserstoffatom in gekreuzten Feldern. Bezieht man
umliegende Resonanzen mit ein, so bricht die zweidimensionale Unterraumslösung des exzeptionellen Punktes zusammen. Die Abweichung, sowohl im Beispielmodell als auch im Wasserstoffatom, ist
dabei von der Größe des Radius, mit dem der Kreis im Parameterraum durchlaufen wird, abhängig.
Im Matrixmodell hängt die Kopplung der Zustände sowohl von Störparametern als auch vom Radius
ab. Für das Wasserstoffatom ergibt sich mit dem Radius nur ein Kopplungsparameter. Dabei muss
in beiden Fällen der Radius mit Sorgfalt gewählt werden. Einerseits nimmt die Genauigkeit eines
zweidimensionalen Lösungsansatzes ab, andererseits kann durch die Vergrößerung des Radius
ein exzeptioneller Punkt 3. Ordnung entstehen. Dabei handelt es sich um die Umkreisung zweier
exzeptioneller Punkte 2. Ordnung und es entsteht eine Dreifachvertauschung der Eigenwerte. Für das
5 × 5-Matrixmodell wurde dieser Fall behandelt, für das Wasserstoffproblem hingegen wird in dieser
Arbeit nur darauf verwiesen, das dieser Effekt bekannt ist [8] und in einer parallel angefertigten
Bachelorarbeit untersucht wird [14]. Tritt eine Dreifachvertauschung der Eigenwerte auf, so ist ein
Lösungsansatz, der lediglich zwei Zustände in die Rechnung einbezieht, hinfällig. Die Anzahl der
Zustände in der Näherungslösung muss immer gleich der Anzahl der Eigenwerte sein, die einen
exzeptionellen Punkt beschreiben.
In allen Fällen ist ein adiabatisches Verhalten nur für einen bestimmten Anfangswert erkennbar.
Im Matrixmodell kann es dabei zu einem positiven Imaginärteil des Eigenwertes kommen, dennoch
kann die Erklärung des adiabatischen Verhaltens beim Wasserstoffatom übernommen werden, denn
es zählt nur der relative Unterschied zwischen Im( E1 ) und Im( E2 ). Durch das Auftreten positiver
Imaginärteile erfährt ein Zustand eine Zunahme der Wahrscheinlichkeit. In Abbildung 4.1 tritt sogar
der Extremfall auf, dass ein Eigenwert einen Zerfall und ein Eigenzustand ein Wahrscheinlichkeitsgewinn aufzeigt. Für diesen Fall wird sich der Anfangswert a1 (0) = 1 adiabatisch verhalten, da
der zugehörige Energieeigenwert den größeren Imaginärteil aufbringt. Selbst ein starker Überlapp
hv1 (t) | v2 (t + ∆t)i würde dieses Verhalten nicht ändern, denn der dissipative Effekt des Zustands
|v2 (t)i würde überwiegen. Der Vorteil dieses nichtphysikalischen Matrixmodells, besteht darin, einen
Effekt zu erzeugen, der in der Praxis nicht kontrolliert werden kann und damit die Theorie des
adiabatischen Verhaltens verifiziert. Ein adiabatisches Verhalten ist zudem unabhängig von den
umliegenden Störungen. Sowohl eine Erhöhung der Kopplungsparameter si im Matrixmodell als
auch eine Betrachtung mehrerer Resonanzen in der Zeitentwicklung des Wasserstoffatoms, hatte
keinen gravierenden Einfluss auf das adiabatische Verhalten, sodass für eine reine Überprüfung der
Adiabatizität eines Systems ohne Bedenken ein Lösungsansatz herangezogen werden kann, welcher
nur die Zustände des exzeptionellen Punktes beinhaltet.
41
VII. Zusammenfassung
Das Hauptanliegen dieser Arbeit war, die Adiabatizität eines physikalischen Systems – des Wasserstoffatoms in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern – bei der Umrundung exzeptioneller
Punkte im Parameterraum zu untersuchen. Dazu wurde die Schrödingergleichung (5.17) in der
«zero-Basis» (5.24) numerisch gelöst und mit der adiabatischen Näherung aus (5.20) verglichen.
Durch die Betrachtung umliegender Resonanzen in der Zeitentwicklung (5.24) wurde neben der
adiabatischen Näherung auch eine zweidimensionale Näherungslösung, die nur den exzeptionellen
Punkt beinhaltet, auf ihre Genauigkeit überprüft. Für die Zeitentwicklung wurde die Abweichung
nach (5.27) für den 13. exzeptionellen Punkt aus Tabelle 5.1 untersucht.
Um einen Vergleich des Wasserstoffatoms in gekreuzten Feldern mit anderen nichthermiteschen
Systemen aufzustellen, wurden Beispielmodelle betrachtet, die keinen physikalischen Ursprung
besitzen. Damit lassen sich die Hauptaussagen und Theorien des physikalischen Problems bestätigen.
Die Matrixmodelle dienten hierbei hauptsächlich zur Einführung in die Theorie der exzeptionellen
Punkte und der nichthermiteschen Zeitentwicklung in der »zero«-Basis.
Das Ergebnis dieser Arbeit liegt in der Vorhersage, wann sich ein System adiabatisch verhält.
Detaillierter gesprochen, kann aus dem Energiespektrum in ausreichend übersichtlichen Situationen
die Anfangsbedingung herausgelesen werden, für die ein adiabatischer Zustandsflip nach (2.32)
stattfindet. Dazu muss das System in dem Anfangszustand präpariert sein, der integriert über
den Kreisdurchlauf, den größten Energieimaginärteil und einen nichtverschwindenden Überlapp
mit umliegenden Resonanzen nach (2.34), aufweist. Ein adiabatisches Verhalten zeigt sich dabei
beeinflusst von umliegenden Resonanzen, die als Störungen angesehen werden können, sodass
die Theorie eines adiabatischen Zustandflips nur dann vollständige Übereinstimmung mit den
numerischen Ergebnissen liefert, sofern man sich auf die reine Betrachtung eines exzeptionellen
Punktes – also die Vernachlässigung aller umliegender Resonanzen – beschränkt.
Für große Zeiten T kann die Anzahl umliegender Resonanzen die Zeitentwicklung der einzelnen
Koeffizienten beeinflussen. Dabei zeigt die Zeitentwicklung für kleine Radien eine Übereinstimmung
der approximativen Lösung, die aus den zwei Koeffizienten des exzeptionellen Punktes aufgebaut ist,
mit der Lösung, welche Koeffizienten aus umliegenden Resonanzen in die Zeitentwicklung miteinbezieht. Durch eine Erhöhung des Radius steigt jedoch die Abweichung und eine zweidimensionale
Lösung lässt sich nicht mehr rechtfertigen, sodass die Zerfallsrate umliegender Resonanzen dazu
führen kann, dass sich ein System, was anfänglich in einem Zustand des exzeptionellen Punktes
präpariert war, nach der Umrundung eines Kreises im Parameterraum in einem Resonanzzustand
befindet, der nicht mit dem exzeptionellen Punkt verknüpft ist. Der Endzustand ist neben der
anfänglichen Präparation des Systems stark davon abhängig, wie groß man die Umrundungszeit
wählt. Dabei ist es essentiell, zu erwähnen, dass für Zeiten T = 10 ps bereits die Dissipativität der
umliegenden Resonanzen überwiegt (Abbildung 5.3) und somit ein adiabatischer Zustandsflip im
Wasserstoffatom in statischen elektrischen und magnetischen Feldern nicht experimentell auftreten
wird.
In näherer Zukunft liefert das Gebiet der exzeptionellen Punkte in Quantensystemen viele neue
Untersuchungsmöglichkeiten. Im Wasserstoffatom in gekreuzten Feldern ist das genaue Verhalten
unübersichtlicher Energiespektren noch nicht verstanden. Dafür wären weitere Rechnungen, die aber
über den Umfang einer Bachelorarbeit hinausgehen, nötig. Interessant wäre es zudem, die Umrun-
43
dungszeit dahingehend zu untersuchen, inwiefern eine große Umrundungszeit die Adiabatizität
durch dissipative Effekte umliegender Resonanzen beeinflusst. Dazu müssten bessere numerische
Methoden zur adiabatischen Zeitentwicklung hervorgebracht werden.
Experimentell sind die adiabatischen Effekte des Wasserstoffatoms in gekreuzten Feldern durch
die kleinen Feldstärken nicht zugänglich. Für Exzitonen in Halbleitern kann ein Hamiltonoperator
niedergeschrieben werden, der die gleiche Form wie das Wasserstoffatom aufweist. Da es Halbleiter
mit großer Permitivität, zum Beispiel Kupfer(I)oxid Cu2 O gibt, treten exzeptionelle Punkte für
Energien auf, die einen experimentellen Zugang bieten könnten [15].
44
A. Hartree-Einheiten
Die Hartree-Einheiten werden durch vier grundlegende Naturkonstanten beschrieben:
• Die Masse des Elektrons: me .
• Die Ladung eines Elektrons: e.
• Der Planck-Konstante: h̄ =
h
2π .
• Die Längenskala des Bohr’schen Radius: a0 =
Physikalische Größe
Drehimpuls
Elektrisches Feld
Energie
Impuls
Ladung
Länge
Magnetische Flussdichte
Masse
Zeit
4πε 0 h̄2
.
m e e2
Hartree-Einheiten
h̄ = h/(2π )
Eh /(ea0 )
Eh = α 2 m e c 2
p = h̄/a0
e
a0 = 4πε 0 h̄2 /(me e2 )
h̄/(ea20 )
me
t = h̄/Eh
Wert in SI-Einheiten
1.054 571 628(53) · 10−34 J s
5.142 206 32(13) · 1011 V m−1
4.359 743 98(22) · 10−18 J
1.992 851 565(99) · 10−24 kg m s−1
1.601 764 87(40) · 10−19 C
0.529 177 208 59(36) · 10−10 m
2.350 517 382(59) · 105 T
9.109 382 15(45) · 10−31 kg
2.418 884 326 505(16) · 10−17 s
Ta b elle A.1.: Überblick Hartree-Einheiten und ihr Komplementär in SI-Einheiten
45
B. Lösung des ungestörten Wasserstoffatoms
Das Wasserstoffatom ist in der Quantenmechanik wie das Keplerproblem in der klassischen Mechanik
anzusehen. Bei dieser Betrachtung wird die relativistische Korrektur missachtet, zudem wird auch
der Spin der einzelnen Teilchen ignoriert. Dies dient lediglich zur Vereinfachung des Problems. Dabei
lautet die stationäre Schrödingergleichung in cgs Einheiten
p2
e2
−
|ψi = E |ψi
2m
r
(B.1)
mit dem Impuls p, der Ladung e und der Masse m des Elektrons. Aus der klassischen Mechanik
ist bekannt, dass für ein Zentralpotential ein effektives Potential eingeführt werden kann, welches den Drehimpuls enthält. Um dies auch im Wasserstoffatom zu erreichen, betrachten wir den
Drehimpulsoperator [16]
L2 =
3
∑
L2i = ε ijk x j pk ε irs xr ps
(B.2)
i =1
= x j pk x j pk − x j pk xk p j
2 2
2
= x p − ( x · p) + ih̄x · p .
(B.3)
(B.4)
Umgeformt nach dem Impuls ergibt sich
p2 =
i
1 2 r 2 h 2 2 2
L
−
r
∂
+
r
∂
r
r
r2
h̄2
(B.5)
wobei die Relation
x·p =
h̄
r∂r ,
i
(B.6)
verwendet wurde. Eingesetzt in die stationäre Schrödingergleichung (B.1), ergibt sich in Ortsdarstellung eine Gleichung, die ihren gesamten Winkelanteil im Drehimpulsoperator L2 bündelt.
"
#
2
2
h̄2
2
L
e
−
∂2r + ∂r +
−
ψ(r, ϑ, ϕ) = Eψ(r, ϑ, ϕ)
(B.7)
2m
r
2mr2
r
Da die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators bekannt sind, kann ein Separationsansatz der
Form
ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r )Y`m (ϑ, ϕ)
(B.8)
angewandt werden. Dabei sind die Kugelflächenfunktionen durch die zugeordneten Legendrepolynome P`m (z) und einigen Normierungsfaktoren über die Relation
s
1
2` + 1 (` − m)!
Y`m (ϑ, ϕ) = √
P`,m (cos ϑ ) eimϕ
(B.9)
2
(`
+
m
)
!
2π
47
festgelegt. Durch Einsetzen von (B.8) in (B.7) und der Relation R(r ) = u(r )/r, ergibt sich eine
Bestimmungsgleichung für den Radialteil.
"
#
h̄2 2 h̄2 `(` + 1) e2
−
u(r ) = Eu(r )
(B.10)
− ∂r +
2m
2mr2
r
Durch Einführung dimensionsloser Größen der Form
s
V
$0
=− ,
| E|
$
mit
$0 =
2m e2
,
| E| h̄
ergibt sich eine Differentialgleichung 2. Ordnung für $
`(` + 1) $0
2
+
∂$ −
u($) = 0 .
$2
$
(B.11)
(B.12)
Um diese nichtlineare Differentialgleichung zu lösen, benutzen wir den Ansatz
u($) = $`+1 e−$ w($)
(B.13)
$∂2$ w + 2(` + 1 − $)∂$ w + ($0 − 2(` + 1))w = 0 .
(B.14)
und erhalten durch Einsetzen in (B.12)
Dabei setzen wir für die Funktion w($) einen Potenzreihenansatz in (B.14) ein. Dieser lautet
∞
w($) =
∑
ak $k
(B.15)
k =0
und führt durch Einsetzen in (B.14) auf die Relation
∞
∑
h
i
ak k(k − 1)$k−1 + 2(` + 1)k$k−1 − 2k$k + [$0 − 2(` + 1)]$k = 0 .
(B.16)
k =0
Dabei müssen die Koeffizient für jede der Potenz von $ Null ergeben. Aus dieser Forderung lässt
sich eine Rekursionsgleichung aufstellen
0 = [k (k + 1) + 2(` + 1)(k + 1)] ak+1 + [$0 − 2(` + 1) − 2k ] ak 0
a k +1 =
2( k + ` + 1) − $0
a
(k + 1)(k + 2` + 2) k
(B.17)
Für k → ∞ ergibt sich ein Quotient ak+1 /ak
2
a k +1
⇒
ak
k
(B.18)
und verhält sich somit wie eine Exponentialreihe e2$ . Denn für diese gilt
e2$ =
∞
∑
k =0
∞
(2$)k
= ∑ bk $ k
k!
k =0
(B.19)
und somit für zwei aufeinanderfolgenden Koeffizienten der Potenzreihe
2k +1
k!
2
=
.
k
k+1
2 ( k + 1) !
48
(B.20)
B. Lösung des ungestörten Wasserstoffatoms
Für große k ergeben die Quotienten der Koeffizienten aus (B.18) und (B.20) die gleichen Werte, was
auf eine Abhängigkeit der Funktion w($) ∝ e2$ führt und damit u(r ) ∝ er . Die Radialwellenfunktion
divergiert somit für r → ∞. Es muss für die Rekursionsbedingung aus (B.17) eine Abbruchbedingung
geben, sodass a N +1 = a N +2 = · · · = 0 gilt. Setzen wir diese Forderung in (B.17) ein, erhalten wir eine
Relation für die Variable $0
$0 = 2( N + ` + 1)
⇒
E=−
2me4
$20 h̄2
=−
me4
2h̄2 ( N + ` + 1)2
.
(B.21)
Durch Einführen einer Hauptquantenzahl n = N + ` + 1 ergeben sich die Bindungsenergien im
Wasserstoffatom
E=−
me4
2h̄2 n2
.
(B.22)
Durch Verwendung der Relation n = N + ` + 1 in der Differentialgleichung aus (B.14) lassen sich
die Radialwellenfunktionen ableiten. Diese beinhalten die zugeordneten Laguerre-Polynome Lba und
lauten
1/2 `
4( n − ` − 1) !
2r
2r
−r/(na) 2`+1
R n ` (r ) = −
e
Ln+`
.
(B.23)
3
4
3
na
na
4n a0 [(n + `)!]
Dabei ist a0 = h̄2 /(me2 ) der Bohr-Radius.
49
C. Beispiele einiger exzeptioneller Punkte
Nach Kapitel V wurde die Schrödingergleichung (5.17) numerisch gelöst. Dabei wurde zur Sichtung
von exzeptionellen Punkten die Matrix mit Eigenzuständen multipliziert, die eine maximale Oszillatorquantenzahl nµ + nν = 30 aufweisen. Der Koeffizient |b|2 aus (5.17) enthält dabei den Wert 2.
Es werden dann die Parameter γ und f gesucht, für die ein exzeptioneller Punkt auftritt. Ist dieser
gefunden, wird ein Kreis der Form (5.18a) respektive (5.18b) mit Radius r durchlaufen. Einige Werte
für exzeptionelle Punkte sind in Tabelle C.1 zu finden. Die Abbildungen C.1 und C.2 zeigen die
Energiespektren für diese gewählten Parameter.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
γ0
f0
ReE
ImE
Radius r
0.00256
0.00272
0.00310
0.00314
0.00289
0.00376
0.00460
0.00434
0.00487
0.00529
0.00537
0.00539
0.00572
0.00611
0.00615
0.00776
0.000119
0.000117
0.000122
0.000131
0.000131
0.000152
0.000217
0.000225
0.000223
0.000201
0.000214
0.000262
0.000256
0.000256
0.000265
0.000301
−0.0176
−0.0150
−0.0121
−0.0157
−0.0156
−0.0124
−0.0221
−0.0245
−0.0121
−0.0148
−0.0188
−0.0236
−0.0198
−0.0159
−0.0158
−0.0179
−0.000135
−0.000100
−0.000100
−0.000151
−0.000251
−0.000152
−0.000068
−0.000089
−0.000700
−0.000134
−0.000067
−0.000150
−0.000257
−0.000242
−0.000374
−0.000756
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.01
0.01
0.02
0.01
0.01
0.01
Tabelle C.1.: Übersicht der verwendeten Parameter für die Abbildungen C.1 und C.2. Dabei sind alle Werte in HartreeEinheiten angegeben. Die jeweilige Nummerierung gibt dabei an, um welchen exzeptionellen Punkt es sich in Abbildung
C.1 bzw. C.2 handelt.
51
EP 1
EP 2
0
Im E
Im E
0
−0.0001
−0.0002
−0.018
−0.0176
Re E
−0.0172
−0.0001
−0.0002
−0.0152
EP 3
EP 4
−0.0001
Im E
Im E
0
−0.0001
−0.0002
−0.0003
−0.016
−0.012
Re E
EP 5
EP 6
−0.0001
0
−0.0002
−0.0001
−0.0003
−0.0156
Re E
−0.0152
−0.0002
−0.0003
−0.0128
EP 7
−0.0124
Re E
−0.012
EP 8
0
0
Im E
Im E
−0.0156
Re E
Im E
Im E
−0.0002
−0.0124
−0.0004
−0.016
−0.0148
Re E
−0.0001
−0.0002
−0.0224
−0.022
Re E
−0.0001
−0.0002
−0.0224
−0.022
Re E
A b b i l du n g C . 1 . : Energiespektren für die Umrundung einiger exzeptioneller Punkte für das Wasserstoffatom in
gekreuzten Feldern. Die jeweilige Stärke der Felder und der Radius des Kreises im Parameterraum sind Tabelle C.1 zu
entnehmen.
52
C. Beispiele einiger exzeptioneller Punkte
EP 10
0
Im E
Im E
EP 9
−0.0003
−0.0004
−0.0005
−0.0006
−0.0007
−0.0008
−0.0124
−0.012
Re E
−0.0116
−0.0001
−0.0002
−0.0003
−0.0156−0.0152−0.0148−0.0144
Re E
EP 11
EP 12
0
Im E
Im E
0
−0.0001
−0.0002
−0.0192
−0.0188
Re E
−0.0184
−0.0001
−0.0002
−0.0003
−0.024
EP 13
−0.0001
Im E
Im E
−0.0002
−0.0003
−0.0004
−0.02
Re E
−0.0196
−0.0002
−0.0003
−0.0004
−0.0164
EP 15
−0.0156
0
−0.0003
Im E
Im E
−0.016
Re E
EP 16
−0.0002
−0.0004
−0.0005
−0.016
−0.0232
EP 14
−0.0001
−0.0005
−0.0204
−0.0236
Re E
−0.0156
Re E
−0.0152
−0.0001
−0.0184
−0.018
Re E
−0.0176
A b b i l du n g C . 2 . : Energiespektren für die Umrundung einiger exzeptioneller Punkte für das Wasserstoffatom in
gekreuzten Feldern. Die jeweilige Stärke der Felder und der Radius des Kreises im Parameterraum sind Tabelle C.1 zu
entnehmen.
53
Erklärung
Ich erkläre,
• dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe,
• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder sinngemäß
aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet habe,
• dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines
anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
• dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht habe, es sei denn, der
Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt
• und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplars übereinstimmt.
Stuttgart, 13.08.2014
Marcel Klett
55
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen bedanken, die diese Bachelorarbeit ermöglicht haben.
Zuerst möchte ich mich bei Apl. Prof. Dr. Jörg Main bedanken, der den Prüfungsvorsitz dieser Arbeit
übernommen hat. Darüber hinaus gilt mein Dank Prof. Dr. rer. nat. Günter Wunner, der es mir
ermöglicht hat, meine Bachelorarbeit am 1. Institut für Theoretische Physik zu schreiben.
Besonders danken möchte ich Dr. Holger Cartarius, der jederzeit ein offenes Ohr für Fragen
hatte und mein Thema betreut hat. Ein Dank geht auch an meinen Bürokollegen Jan Schnabel,
mit dem es die reine Freude war, ein Büro zu teilen. Zudem ist er der allerbesteste Bürokollege.
Außerdem geht hier ein Dank an Henri Menke, der mir stets behilflich war, sofern Fragen zur
Numerik aufkamen. Zuletzt danke ich allen Mitarbeitern des 1. Instituts für Theoretische Physik für
eine tolle Arbeitsatmosphäre und unzählige unterhaltsame Gespräche in der Kaffeerunde.
57
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
3.3
3.4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Energieschema im feldfreien Wasserstoffatom und im Wasserstoffatom im elektrischen
Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verhalten der Energieeigenwerte im 2 × 2-Matrixmodell bei der Umrundung eines
exzeptionellen Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration einer Zeitentwicklung von zwei Zuständen, die zu einem exzeptionellen
Punkt gehören . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration für ein nichtadiabatisches Verhalten eines Systems . . . . . . . . . . . . . .
8
11
Zeitentwicklung nach (3.8) der Wahrscheinlichkeit des Systems (3.4) für eine Umrundungszeit von T = 20 und r = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitentwicklung mit adiabatische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitentwicklung für konstanten Radius und variabler Umrundungszeit . . . . . . . .
Zeitentwicklung für konstante Umrundungsdauer und variablen Radius . . . . . . .
14
15
15
16
Eigenwerte des 5 × 5-Modells (4.1) für einen Kreis im Parameterraum für einen
ungestörten und einen gestörten Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normierte Zeitentwicklung mit Unterraumnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abweichung der Näherungslösung von der gesamten Lösung nach (4.8) für Störungen,
die nur eine Kopplung betrifft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umrundung eines Kreises mit großen Radius und anliegender Störung der Form
s1 = 1, s2 = s3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energiespektren für die Umrundung eines Kreises mit Radius r = 0.1 im Modell (4.1),
wobei starke Kopplungen s1 = s2 = s3 = 5 verwendet werden. . . . . . . . . . . . . .
Zeitentwicklung des Systems für eine Dreifachvertauschung und eine anliegende
Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitentwicklung mit adiabatischer Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich der Koeffizienten aus »zero«- und instantaner Basis . . . . . . . . . . . . . .
Energiespektrum für die Parameter γ0 = 0.00539, f 0 = 0.0002619 und einen Radius
von r = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normierte und unnormierte Zeitentwicklung der Resonanzen eines exzeptionellen
Punktes im Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitentwicklung für vier Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abweichung der Näherungslösung für verschiedene Resonanzen . . . . . . . . . . . .
Adiabatische Näherung für die Betrachtung vier umliegender Resonanzen . . . . . .
Energiespektren der vier energetisch naheliegenden Resonanzen für die Parameter
( f 0 , γ0 ) = (0.00539, 0.0002619) und einem Radius von r = 0.02. . . . . . . . . . . . . .
C.1 Energiespektren einiger exzeptioneller Punkte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Energiespektren einiger exzeptioneller Punkte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
18
19
20
21
22
23
25
31
33
34
35
36
37
39
52
53
59
Tabellenverzeichnis
Übersicht der Parameter γ und f , für die ein exzeptioneller Punkt gefunden werden
kann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
A.1 Überblick Hartree-Einheiten und ihr Komplementär in SI-Einheiten . . . . . . . . . .
45
C.1 Übersicht einiger exzeptioneller Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.1
60
Literatur
[1] N. Moiseyev. Non-Hermitian Quantum Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press,
2011.
[2] R. Lefebvre u. a. „Resonance Coalescence in Molecular Photodissociation“. Phys. Rev. Lett. 103
(2009), S. 123003.
[3] H. Cartarius, J. Main und G. Wunner. „Exceptional points in the spectra of atoms in external
fields“. Phys. Rev. A 79.5 (2009), S. 053408.
[4] R. Uzdin, A. Mailybaev und N. Moiseyev. „On the observability and asymmetry of adiabatic
state flips generated by exceptional points“. J. Phys A 44.43 (2011), S. 435302.
[5] I. Gilary, A. A. Mailybaev und N. Moiseyev. „Time-asymmetric quantum-state-exchange
mechanism“. Phys. Rev. A 88.1 (2013), S. 010102.
[6] E.-M. Graefe, A. A. Mailybaev und N. Moiseyev. „Breakdown of adiabatic transfer of light in
waveguides in the presence of absorption“. Phys. Rev. A 88.3 (2013), S. 033842.
[7] A. Leclerc, G. Jolicard und J. P. Killingbeck. „Discussion of the adiabatic hypothesis in control
schemes using exceptional points“. Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics
46.14 (2013), S. 145503.
[8] H. Cartarius. Exceptional points in atomic spectra and Bose-Einstein condensates. Dissertation.
Universität Stuttgart, 2008.
[9]
D. C. Brody. „Biorthogonal quantum mechanics“. J. Phys. A 47.3 (2014), S. 035305.
[10]
I. Gilary und N. Moiseyev. „Asymmetric effect of slowly varying chirped laser pulses on the
adiabatic state exchange of a molecule“. J. Phys. B 45.5 (2012), S. 051002.
[11]
O. Atabek u. a. „Proposal for a Laser Control of Vibrational Cooling in Na2 Using Resonance
Coalescence“. Phys. Rev. Lett. 106 (2011), S. 173002.
[12]
G. Nenciu und G. Rasche. „On the adiabatic theorem for nonself-adjoint Hamiltonians“. J. Phys.
A 25.21 (1992).
[13]
M. V. Berry und R. Uzdin. „Slow non-Hermitian cycling: exact solutions and the Stokes
phenomenon“. J. Phys. A 44.43 (2011), S. 435303.
[14]
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[15]
T. Kazimierczuk u. a. Giant Rydberg Excitons in Cuprous Oxide. 2014. eprint: arXiv:1407.0691.
[16]
F. Schwabl. Quantenmechanik (QM I): Springer-Lehrbuch. Springer, 2002.
61