Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten Erläuterungen zu den

Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten, bearbeitet
von Paul Meulenbroek und Christian Glantschnigg,
Jänner 2004
Aufgabenstellung:
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der
Basis AB [A(-1/2), B(3/-2)]; die Spitze
r
1
2
C liegt auf der Geraden g : x =   + λ   ;
 − 1
6
Berechne die Koordinaten des Punktes C und den
Umfang des Dreiecks.
Erläuterungen zu den Lösungsschritten
Das gegebene Beispiel gehört zum Themenbereich
„analytische Geometrie im R2“: auf rechnerischen Wege
sind die Koordinaten der Spitze C und der Umfang eines
gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln.
Mathematische Kompetenzen:
Grundsätzliche Zielstellungen innerhalb der analytischen
Geometrie verstehen; Begriffe „gleichschenkliges Dreieck“
und „Umfang eines Dreiecks“ kennen und damit arbeiten
können;
Man fängt am besten mit einer Skizze an. Anhand einer
Skizze kann man einerseits rechnerisch erhaltene Lösungen
auf ihre Richtigkeit hin überprüfen. Andererseits gewinnt man
während der Anfertigung der Skizze in der Regel Hinweise
auf erfolgsversprechende rechnerische Lösungswege „von
der konstruktiven zur rechnerischen Lösung“ !
Beachte:
Die Gerade g ist in Vektorform (auch
Parameterdarstellung bzw. Punkt-Richtungs-Form
genannt) gegeben. Der Vektor  1  entspricht dem
6
 
Ortsvektor eines Punktes auf g ( „Einstiegspunkt“,
„Bahnhof“), der Vektor  2  zeigt die Richtung der
 − 1


Geraden an ( „Richtungsvektor“) !
Da das Dreieck gleichschenklig ist, verläuft die Höhe
auf die Seite c = AB durch den Mittelpunkt dieser
Seite.
Die Spitze C liegt einerseits auf der Höhe hc ,
andererseits gemäß Angabe auf der Geraden g.
Folglich muss C der Schnittpunkt von g mit der
Trägergeraden von hc sein.
Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB:
Gemäß der Mittelpunktsformel gilt
wobei
r
b
r
a
r r
r a +b
m=
2
dem Ortsvektor des Punktes A und
dem Ortsvektor des Punktes B entsprechen.
 − 1  3   2 
  +    
r  2   − 2   0   1  ; also: M(1/0)
Also: m
=
=
=  
2
2
0
Mathematische Kompetenzen:
Punkte auf Grund ihrer Koordinaten im 2-dimensionalen
Koordinatensystem einzeichnen können;
Geraden ausgehend von ihrer Vektorform einzeichnen
können;
Wissen, dass die Höhe hc einer Symmetrieachse des Dreiecks
entspricht, also durch den Mittelpunkt der Basis AB verläuft;
Den Schnittpunkt zweier Geraden anhand einer Skizze
bestimmen können;
Beginnen wir nun damit, diese Ideen rechnerisch umzusetzen:
Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, muss
die Höhe hc durch den Mittelpunkt der Strecke AB gehen
(natürlich verläuft sie als Höhe normal zur Dreiecksseite c =
AB). Also brauchen wir zuerst die Koordinaten des
Mittelpunktes der Seite AB. Diesen können wir am
schnellsten mit Hilfe der Mittelpunktsformel ermitteln. Diese
besagt: die Koordinaten des Mittelpunktes erhält man, indem
man zuerst die Koordinaten der Eckpunkte im Sinne von
(Orts-) Vektoren addiert und das Ergebnis dann halbiert, also
beide Koordinaten des Zwischenergebnisse durch 2 rechnet !
Mathematische Kompetenzen:
Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke rechnerisch
bestimmen können;
Gleichung der Trägergeraden der Höhe hc :
r r  3   − 1  4   1 
AB = b − a =   −   =   //  
 − 2   2   − 4   − 1
r 1
⇒ n =  
1
1
r 1
⇒ hc : x =   + λ ⋅  
1
0
1
r
hc in Normalvektorform: n =   ⇒
 − 1
hc : 1⋅x – 1⋅y = c
Wegen M(1/0) ∈ hc : 1 – 0 = c, also c = 1 und
x=1
y=0
somit hc : x – y = 1 ;
 1
2
g : x =   + λ   ⇒
 6
 − 1
 1
n =  
 2
⇒ g: x + 2y = 13
g: x + 2y = 13
hc : x – y = 1 / ⋅ (-1)
3y = 12
y=4
Einsetzen von y = 4 bei g (oder hc) liefert:
x + 2⋅4 = 13 ⇒ x = 5 und somit lautet C (5/4) !
Die Trägergerade der Höhe hc können wir nun wie folgt in
Vektorform aufstellen:
Als Einstiegspunkt verwenden wir M, als Richtungsvektor
verwenden wir den Normalvektor zum Vektor
dass hc normal auf die Seite AB steht !).
AB (beachte,
Zur Erinnerung:
Die Koordinaten eines Vektors von einem zu einem
anderen Punkt bekommt man mit Hilfe der „Spitze
minus Schaft – Regel“;
Den Normalvektor eines Vektors erhält man, indem
man die Koordinaten des Ausgangsvektors
vertauscht und dann noch ein Vorzeichen ändert.
Zum Weiterrechnen mit der Geraden hc ist es uns persönlich
nun aber lieber, sie in Normalvektorform umzuwandeln !
Zur Erinnerung:
Die Normalvektorform einer Geraden lautet
allgemein a⋅x + b⋅y = c, wobei a und b den
Koordinaten eines zur Geraden normal stehenden
Vektors entsprechen. Die rechts stehende Zahl c
erhält man, indem man für x und y die Koordinaten
eines auf der Geraden liegenden Punktes einsetzt.
Mathematische Kompetenzen:
Eine Gerade in Vektorform aufstellen und in die
Normalvektorform umwandeln können;
Als nächstes wandeln wir die Gerade g in die
Normalvektorform um. Dabei gehen wir gleich wie oben vor !
Nun zur Berechnung des Punktes C. Wie bereits eingangs
erläutert, entspricht C dem Schnittpunkt der beiden Geraden g
und hc. Die Koordinaten (x/y) des Punktes C müssen also
beide Geradengleichungen erfüllen und somit der Lösung
jenes Gleichungssystems entsprechen, welches aus den beiden
Gleichungen von g und hc besteht !
Für die Lösung eines solchen Gleichungssystems existieren
nun mehrere Lösungsmöglichkeiten, etwa das Eliminationsverfahren.
Dabei multipliziert man die beiden Gleichungen mit
passenden Zahlen so, dass bei ihrer anschließenden Addition
eine Unbekannte wegfällt (eliminiert wird). Als Ergebnis
erhält man eine Gleichung mit nur mehr einer Unbekannten,
aus welcher diese dann mit einfachen Äquivalenz Umformungen ermittelt werden kann. Die zweite Unbekannte
erhält man durch Einsetzen der bereits ermittelten
Unbekannten in eine der beiden Gleichungen.
Mathematische Kompetenzen:
Zwei Geraden rechnerisch miteinander schneiden können;
Ein Gleichungssystem mit Hilfe des Eliminationsverfahrens
(auch Additionsverfahren genannt) lösen können;
U=a+b+c
U = AB + BC + CA
U = / AB / + / BC + / CA /
Nun steht nur mehr die Berechnung des Umfang des Dreiecks
aus. Bekanntlich entspricht der Umfang eines Dreiecks der
Summe der drei Seitenlängen. Also müssen wir diese
Seitenlängen berechnen und dann addieren:
U=a+b+c
U=
4 2 + ( −4 ) 2 + 2 2 + 6 2 + 6 2 + 2 2
Die Seitenlängen können wir nun wiederum als Beträge der
entsprechenden „Seitenvektoren“ berechnen.
U=
32 + 40 + 40
Beträge von Vektoren berechnet man schließlich, indem man
ihre Koordinaten quadriert, dann addiert und zuletzt die
Wurzel zieht:
Somit: U = 18,31
 x
  = x 2 + y 2
 y
Mathematische Kompetenzen:
Wissen was Beträge von Vektoren bedeuten und man sie
berechnet;
Seitenlängen von Dreiecken als Beträge entsprechender
Vektoren berechnen können;
Begriff „Umfang“ eines Dreiecks kennen und damit arbeiten
können;