Analytische Geometrie 1

Aufgaben zur Vektorrechnung und zur analytischen Geometrie
1 Von einem Drehkegel kennt man die Spitze S und zwei Punkte P und
Q der Mantelfläche. Der Punkt A ist ein Punkt des Basiskreises und liegt
sowohl auf der Geraden g als auch in der erstprojizierenden Ebene .
Ermittle die Koordinaten des Mittelpunktes des Basiskreises, den
Radius, die Höhe und das Volumen des Drehkegels!
S( 7/ 10/ -2)
P( 3/ 4/ 6)
g[ G( 4/ 0/ 8); H( -5/ -3/ 2)]
[ Lösung:
M( -2/ 1/ 7);
h ≈ 15,95 LE;
Q( 5/ 6/ 1)
: x = y
r ≈ 4,24 LE;
V ≈ 293,8 VE]
2 Von einem Drehzylinder kennt man die Trägergerade g einer Mantelerzeugenden e, einen Punkt P des Basiskreises und einen Punkt Q des
Deckkreises. Ermittle die Koordinaten der Mittelpunkte des Basis- und
des Deckkreises, den Radius, die Höhe und das Volumen des Drehzylinders!
P( 0/ -6/ 1)
g[ G( 8/ -10/ 2); H( 2/ -7/ 8)]
[ Lösung:
MP( 4/ -3/ 3,5);
MQ( -2/ 0/ 9,5);
Q( 2/ 3/ 12)
eg
h = 9 LE;
r ≈ 5,59 LE;
V ≈ 883,6 VE]
3 Von einer regelmäßigen quadratischen Pyramide ABCDS kennt man
die Eckpunkte A, B, C und einen Punkt P der Seitenfläche ∆CDS.
Ermittle die z-Koordinate des Punktes C, die Koordinaten der Punkte D,
F (Fußpunkt der Höhe) und S, die Höhe h, das Volumen V und den
Winkel  zwischen Seitenfläche und Grundfläche!
A( 4/ 2/ 6)
[ Lösung:
zC = 1;
B( 2/ 6/ 1)
D( 10/ 5/ 6);
F( 6/ 5,5/ 3,5);
C( 8/ 9/ zC)
S( 3/ 11,5/ 9,5);
h = 9 LE;
P( 5/ 10/ 7,5)
V = 135 VE;
 ≈ 69,56°]
4 Von einer Parallelogramm ABCD kennt man die Eckpunkte A, B und
C; C liegt auf der Geraden g. Errichte über dem Parallelogramm eine
gerade Pyramide der Höhe h = 10· 2 , so dass der Fußpunkt der Höhe
der Diagonalenschnittpunkt ist. Ermittle die Koordinaten der Punkte C,
D, F (Fußpunkt der Höhe) und S! Berechne das Volumen V und den
Winkel , den die Seitenfläche ∆ABS mit der Grundfläche einschließt!
Welcher Punkt P der Kante AB besitzt von D den kürzesten Abstand?
Ermittle den Abstand des Punktes A von der Ebene  durch S und g!
A( -2/ 7/ 0) B( 13/ -2/ 12) C( 18/ yC / zC) g[ G( 3/ 8/ 12); H( -3/ 10/ 8)]
[ Lösung: C( 18/ 3/ 22); D( 3/ 12/ 10); F( 8/ 5/ 11); S( -2/ -1/ 19);
V = 1000 VE;  ≈ 70,53° P( 3/ 4/ 4); d(A;) ≈ 7,84 LE ]
Aufgaben zur Vektorrechnung und zur analytischen Geometrie
5 Von einem Tetraeder ABCD kennt man die Eckpunkte A, B und C. Die
Umkugel des Tetraeders hat ihren Mittelpunkt M in der Ebene . Der
Punkt D ist der höchste Punkt der Umkugel. Ist ABCD ein regelmäßiges
Tetraeder? Ermittle die Koordinaten der Punkte M und D, das Volumen
des Tetraeders und den Normalabstand der Seiten AB und CD! Wie
groß müsste die z-Koordinate von D gewählt werden, damit das Volumen des Tetraeders null wird?
A( 4/ 1/ -3)
B( 0/ -1/ 7)
C( -7/ 12/ -3)
: x + 2·y + z = 8
[Lösung: unregelm. IABI ≠ IBCI; M( -3/ 5/ 1); D( -3/ 5/ 10); V = 88 VE; d(AB;CD) ≈ 4,88 LE; D*( -3/ 5/ 2) ]
6 Von einer rechteckigen Pyramide ABCDS mit gleich langen Seitenkanten kennt man je eine Koordinate der Eckpunkte A und B. Die Seitenfläche ∆[ABS] liegt in der Ebene a, die Grundfläche [ABCD] in der
Ebene , und die Spitze S auf der Geraden g. Ermittle die Koordinaten
der Punkte A, B, C, D, F (Fußpunkt der Höhe) und S, die Höhe h, den
kürzesten Abstand der Geraden g und h[A;B] und den Winkel  zwischen den Ebenen a und !
a: 31·x + 28·y + 10·z = 188
: x – 2·y – 2·z = 2
xA = 6;
zB = -7;
g[ G( -2/ 9/ 5); H( 6/ 9/ 1)]
[ Lösung: A( 6/ -1/ 3); B( 2/ 7/ -7); C( -6/ 3/ -7);
h = 12 LE; d(g;h) ≈ 6,95 LE;  ≈ 69,56°]
D( -2/ -5/ 3);
F( 0/ 1/ -2);
S( -4/ 9/ 6);
7 Von einem Drehkegel mit der Höhe h kennt man die Koordinaten
zweier Punkte A und B des Basiskreises. Ein weiterer Punkt C des
Basiskreises liegt in der x-y-Ebene und auf der Geraden g. Ermittle die
Koordinaten des Punktes C, des Kreismittelpunktes M und der beiden
möglichen Kegelspitzen S1 bzw. S2. Berechne für einen dieser Kegel
den Mittelpunkt N der Umkugel!
A( 3/ -3/ 2)
[ Lösung:
B( 5/ 1/ 4)
C( 1/ 1/ 0);
M( 3/ 0/ 2);
g[ G( -5/ 3/ -4); H(4/ 0/ 2)]
S1( -2/ 0/ 7);
S2( 8/ 0/ -3);
h = 5· 2
N1( 0,95/ 0/ 4,05);
N2( 5,05/ 0/ -0,05) ]
8 Von einem Drehkegel kennt man die Koordinaten der Spitze S und des
Mittelpunktes M des Basiskreises. Die Gerade g ist eine Tangente an
den Kegelmantel. Ermittle den Radius r des Basiskreises, das Volumen
V und den Öffnungswinkel !
M( 6/ 0/ 3)
[ Lösung:
r ≈ 4,90 LE;
S( 8/ -4/ 11)
V ≈ 230,3 VE;
g[ G( -7/ -4/ -1); H(7/ 2/ 9)]
 ≈ 56,25°]