Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten:

Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten
(bearbeitet von: Manuel Peham, und Dominik Wanner,
Jänner 2004)
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck mit folgenden
Angaben: A(-2/0), B(2/-2), β =90°, C liegt auf der
Geraden h: x+y=9.
Gesucht sind C und die Fläche des Dreiecks.
Erläuterungen zu den Lösungsschritten:
Das Beispiel gehört zum Themenbereich “Analytische Geometrie
im R²“.Es geht also darum, geometrische Aufgabenstellungen
rechnerisch zu lösen. Im konkreten Fall sind von einem
rechtwinkligen Dreieck 2 Punkte und der rechte Winkel bei B
gegeben. Die Koordinaten von C sowie die Fläche des Dreiecks
sind zu ermitteln.
Mathematische Kompetenzen:
Zielstellungen innerhalb der analytischen Geometrie verstehen;
Begriff „rechtwinkliges Dreieck“ kennen und anwenden können;
Am besten beginnen wir mit einer Skizze. Anhand dieser Skizze
kann man einerseits die erhaltenen Lösungen kontrollieren.
Andererseits gewinnt man anhand einer Skizze leichter
entsprechende Ideen bezüglich möglicher Lösungswege.
A und B sind durch ihre Koordinaten festgelegt; bei B können
wir wegen β = 90° (bezugnehmend auf die Seite BA) einen
rechten Winkel einzeichnen.
C muss auf der Geraden h liegen. Diese ist in Normalvektorform
gegeben. Um sie zu zeichnen, bestimmen wir ihre Schnittpunkte
mit den Koordinatenachsen und erhalten Sx (9/0)sowie Sy (0/9).
Mathematische Kompetenzen:
Punkte aufgrund ihrer Koordinaten im 2 – dimensionalen
Koordinatensystem einzeichnen können;
Geraden in Normalvektorform mit Hilfe ihrer „Spurpunkte“ im
Koordinatensystem einzeichnen können.
 4   2  r 1
AB =   //   ⇒ rg =   ⇒
 2
 − 2   − 1
1 
r 2 
 + λ   ;
g: x = 
 2
 − 2
r
Der Normalvektor n g der Geraden g lautet:
Da ß = 90° ist, muss C eben auf einer Geraden liegen, welche
durch B geht und senkrecht auf AB steht. Die Gleichung von g in
r r
r
Vektorform (g: x = p + λr ) erhalten wir somit wie folgt :
Als Einstiegspunkt P verwenden wir den Eckpunkt B, als
v
Richtungsvektor r können wir den Normalvektor zum Vektor
AB verwenden. Also bestimmen wir zuerst mit Hilfe der
“Spitze – Minus - Schaft –Regel“ den Vektor AB . Anschließend
müssen wir diesen nur mehr “kippen“ und schon haben wir den
r
benötigten Richtungsvektor r .
r 2
ng =   ; somit können wir g in Normalvektorform als Um mit der Geraden g rechnerisch zu arbeiten, ist es uns lieber,
ihre Vektorform zuerst in Normalvektorform (a⋅x + b⋅y = c)
 −1
umzuwandeln. Dazu gehen wir folgenderweise vor: Wir wissen,
2x – y = c ansetzen. Setzen wir nun für x und y die
dass die Koeffizienten a und b bei x bzw. y den Koordinaten des
Koordinaten des Punktes (2/-2) in die Gleichung ein,
erhalten wir für c den Wert 2⋅2- (-2) = c, also c = 6. Die Normalvektors entsprechen. Da nun der Normalvektor einfach
Gerade g lautet in Normalvektorform somit insgesamt: dem Vektor AB entspricht, können wir die x-Koordinate von
g: 2x – y = 6 !
AB als Zahl a bei x und die y-Koordinate des Vektors AB als
Zahl b bei y verwenden. Wir erhalten somit 2x-1y = c.Um auch
die rechte Seite der Gleichung zu erhalten, setzen wir für x und y
die Koordinaten eines Punktes der Geraden ein, also von B.
Insgesamt erhalten wir somit: 2⋅2- (-2) = c, also c = 6.
Mathematische Kompetenzen:
Eine Gerade in Vektorform angeben und in Normalvektorform
umwandeln können; Begriffe „Richtungs- und Normalvektor“
kennen und damit arbeiten können.
I : 2x-y=6
II: x+y=9
3x =15
x =5
2⋅5 - y =6
y =4
C(5/4)
Nachdem wir nun die Gleichung der Geraden g ermittelt haben,
können wir uns dem eigentlichen Ziel zuwenden – der
Bestimmung des Punktes C. Da der Eckpunkt C laut Angabe auf
der Geraden h liegen muss, können wir C als den Schnittpunkt
der beiden Geraden g und h ermitteln. Für die Berechnung des
Schnittpunktes zweier Geraden existieren mehrere Methoden.
Wir bevorzugen folgende: Wir verwenden beide Geraden in der
Normalvektor - Gleichungsform. Diese Gleichungen fassen wir
zu einem Gleichungssystem zusammen. Der Schnittpunkt muss
beide Gleichungen erfüllen und somit der Lösung des
Gleichungssystems entsprechen.
Das Gleichungssystem könnte man auf mehrere Arten lösen. Wir
wählen die Eliminationsmethode. Im konkreten Fall müssen wir
die Gleichung einfach addieren, schon fällt y weg und wir
erhalten eine Gleichung mit nur mehr einer Unbekannten, eben x.
Für x erhalten wir 5. Durch Einsetzen in eine der oberen
Gleichungen (z.B. in :x + y = 9) erhalten wir für y den Wert 4.
C hat also die Koordinaten (5/4).
 2   − 2  4 
AB =   −   =   ⇒
 − 2 0   − 2
4 
 = 4² + (−2)² = 20
c = 
 − 2
5  2  3
BC =   −   =   ⇒
 4  − 2 6
3
a =   = 3² + 6² = 45
 6
A=
20 45
c⋅a
=
⋅
= 15 ;
2
2
2
Also:
A = 15cm²
Mathematische Kompetenzen:
Zwei Geraden schneiden können;
Ein lineares Gleichungssystem mit Hilfe des
Eliminationsverfahrens lösen können;
Um zuletzt auch noch den Flächeninhalt des rechtwinkligen
Dreiecks berechnen zu können, benutzen wir die Formel
A=
Kathete1 ⋅ Kathete2
a⋅c
, im Beispiel also : A=
.
2
2
Dazu brauchen wir die Längen der Katheten , also der Seiten AB
und BC. Diese beiden Seitenlängen erhält man, indem man die
entsprechenden Vektoren bestimmt und von diesen dann die
Beträge ermittelt.
Mathematische Kompetenzen:
Wissen was der Betrag eines Vektors bedeutet und wie man ihn
berechnet; Seitenlängen von Dreiecken als Betrag entsprechender
Vektoren berechnen können;
Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen können.