Übungsblatt 13 - Fakultät für Mathematik

Ellen Baake – Michael Baake
Bielefeld, 5. Juli 2013
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
Abgabe bis
12. Juli 2013 um 10:00 Uhr
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Sommersemester 2013
Übungsblatt 13
Aufgabe 1. Der Cholesterinspiegel einer Person eines Landes A sei normalverteilt
mit Erwartungswert 200 mg/100 mL und Standardabweichung 20 mg/100 mL.
a) (1,5 P) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass eine zufällig ausgesuchte
Person einen Cholesterinspiegel von weniger als 160 mg/100 mL besitzt?
b) (2 P) Wie groß ist der Anteil von Personen mit einem Cholesterinspiegel zwischen 170 und 230 mg/100 mL?
c) (3,5 P) In einem anderen Land B liegt der durchschnittliche Cholesterinspiegel
lediglich bei 190 mg/100 mL, wobei die Standardabweichung erneut 20 mg/100
mL beträgt. Beantworten Sie die Fragen a) und b) für dieses Land.
d) (2 P) In jedem der zwei Länder wird zufällig (unabhängig) je eine Person
ausgesucht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person aus Land A
einen höheren Cholesterinspiegel besitzt als die Person aus Land B?
Hinweis: Sind X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit zugehörigen Verteilungen N (µ, σ 2 ) und N (ν, δ2 ), so besitzt X − Y die Verteilung
N (µ − σ, σ 2 + δ2 ).
Aufgabe 2. Eine Krankheit X wird durch Parasiten im Blut verursacht. Die Infektion mit dieser Krankheit wird anhand einer Blutprobe nachgewiesen, indem ein
Blutstropfen auf einen Objektträger aufgebracht, mit einem Deckglas abgedeckt und
unter dem Mikroskop nach Parasiten durchsucht wird. Da die Erreger nicht in allzu
großer Zahl im Blut vorhanden sind, findet man bei einem infizierten Menschen nicht
in jeder Probe (=Blutstropfen auf Objektträger) Parasiten; tatsächlich beträgt die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe von einer infizierten Person positiv ausfällt (d.h.
dass ein oder mehrere Parasiten gefunden werden), nur 0.7. Deshalb wertet man pro
Person n Proben aus und diagnostiziert die Person als “infiziert”, wenn mindestens
eine dieser Proben positiv ist; ansonsten diagnostiziert man die Person als “nicht
infiziert”.
a) (1 P.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in Abhängigkeit von n) wird eine infizierte Person als “nicht infiziert” diagnostiziert?
b) (3 P.) Wie groß muss n mindestens sein, damit eine infizierte Person mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% auch als “infiziert” diagnostiziert wird?
c) (4 P.) Wissenschaftler A (etwas faul) führt die Untersuchung nur mit n = 2
durch. Er untersucht eine Stichprobe von 1324 Personen und diagnostiziert dabei 74 Personen als “infiziert”. Schätzen Sie (mit Hilfe der Momentenmethode)
den Anteil der (tatsächlich) Infizierten in der zugrundeliegenden Population.
d) (2 P.) Geben Sie (aufbauend auf den Ergebnissen in c)) ein 95% Konfidenzintervall für den Anteil der (tatsächlich) Infizierten der Population an. Begründen Sie die Auswahl der verwendeten Formel.
Aufgabe 3. Sie wollen entscheiden, welche von zwei Fußballmannschaften A und
B die stärkere ist. Zu diesem Zweck ist es üblich, A und B 90 Minuten (ggf. plus
Verlängerungen und Elfmeterschießen) gegeneinander spielen zu lassen. Wir wollen
uns nun mit folgender Frage beschäftigen: Wenn Mannschaft A gewinnt – ist das
dann einfach nur Glück, oder ist die Mannschaft wirklich stärker?
Wir nehmen an, dass Tore unabhängig voneinander fallen, und messen die Stärke
von Mannschaft A anhand des Parameters p, der Wahrscheinlichkeit, dass ein Tor,
das fällt, auf das Konto von Mannschaft A geht. Wenn A und B gleich stark sind,
ist also p = 1/2 – aber für den Betrachter ist das tatsächliche p unbekannt.
a) (1 P.) Nehmen Sie erst einmal an, die Mannschaften seien gleich stark. Welcher
Verteilung folgt dann die Zahl der Tore von Mannschaft A, wenn insgesamt n
Tore fallen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt A genau k Tore?
b) (2. P) Sie kennen nun p nicht, haben aber den Anfangsverdacht, dass A stärker
sein könnte als B. A spielt nun gegen B und gewinnt tatsächlich 4 : 0. Lässt
sich Ihr Verdacht erhärten (α = 0.05)?
c) (1 P.) Allgemeiner gefragt: Wie groß muss n mindestens sein, damit aus einem
n : 0 Sieg (A:B) geschlossen werden kann, dass A signifikant (α = 0.05) stärker
ist als B?
d) (2 P.) Wie groß muss m sein, damit aus einem m : 1 Ergebnis (A:B) geschlossen
werden kann, dass A signifikant (α = 0.05) stärker ist als B?
e) (3 P.) Jemand, der p nicht kennt, nimmt nun das in c) ermittelte n, lässt
die beiden Mannschaften gegeneinander spielen, bis n Tore gefallen sind, und
schließt im Fall eines n : 0 (und nur in diesem Fall), dass Mannschaft A
stärker ist. Wie groß ist der Fehler 2. Art, wenn die wahre Spielstärke von A
bei pw = 2/3 liegt? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Zusatzaufgabe 4. Ein Kindergarten registriert über 20 Jahre hinweg das Auftreten
von Zeckenstichen:
1980
1
1981
1
1982
1
1983
3
1984
2
1985
2
1986
0
1987
0
1988
3
1989
1
1990
2
1991
3
1992
1
1993
1
1994
0
1995
0
1996
1
1997
2
1998
1
1999
3
a) (4 P.) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle und zeichnen Sie das zugehörige
Histogramm. Berechnen Sie Stichprobenmittelwert und empirische Varianz.
b) (2 P.) Mit welcher Verteilung würden Sie die Anzahl der Zeckenstiche pro
Jahr beschreiben? Begründen Sie Ihre Antwort. (Sie brauchen keine(n) Zahlenwert(e) für den(die) Parameter der Verteilung anzugeben.)
c) (2 P.) Schätzen Sie nun (mit Hilfe der Momentenmethode) den oder die Parameter der Verteilung aus (b). Ist die Schätzung erwartungstreu? Warum bzw.
warum nicht (kurze Rechnung!)?
d) (4 P.) Es besteht der Verdacht, dass das Auftreten von Zeckenstichen in den
letzten Jahren gegenüber dem in (c) ermittelten Wert (der, weil er aus langjähriger Erfahrung stammt, als Referenzwert angesehen wird) zugenommen
2
hat. Tatsächlich werden im selben Kindergarten (bei unveränderter Gruppengröße) im Jahr 2010 5 Stiche beobachtet. Lässt sich der Verdacht erhärten
(α = 0.05)? (Führen Sie einen geeigneten Test durch, beginnend mit der Formulierung des Hypothesenpaars.)
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