Seminararbeit

Technische Universität Wien
Seminararbeit aus Fianz- und Versicherungsmathematik
Statistical Properties of Financial Market Data
Autor:
Olga Drewitz
Betreuer:
Stefan Gerhold
31. Juli 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Aktienindex
2.1 Was ist ein
2.2 ATX . . .
2.3 FTSE . . .
2.4 Nikkei . .
2.5 SP500 . .
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4
4
4
5
5
6
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8
8
9
10
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12
13
16
18
18
21
21
21
22
23
25
25
26
27
Aktienindex?
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3 Eigenschaften
3.1 Definition von Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Stylized Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Verteilung von Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Erwarteter Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Abweichung vom erwarteten Wert . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Assymterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Fat tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Test nach Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Test basierend auf den Momenten . . . . . . . . . .
3.8.2 Test basierend auf Dichten . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Korrelation von Returns . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Serial correlation in volatility . . . . . . . . . . . . .
3.9.3 Zeitabhängigkeit höherer Momente . . . . . . . . . .
3.10 Lineäre Abhängigkeit von Returns . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Parson’s Korrrelationskoeffizient . . . . . . . . . . .
3.10.2 Test nach Gleichheit zweier Korrelationskoeffizienten
3.10.3 Test nach Gleichheit zweier Korrelationsmatrizen . .
4 Literaturverzeichnis
29
1
1
Einleitung
Bei Personen, die mit Finanzmarktdaten zu tun haben, ist es bekannt, dass
der Gewinn/Verlust von diesen nicht Normal- oder Gaußverteilt ist. Dennoch basieren viele Modelle immer noch auf einer Normalverteilung wegen
ihrer einfachen Handhabung, aber vielleicht auch deswegen, weil andere Verteilungen und Modelle nicht so gut verstanden werden. Es kann aber sehr
gefährlich sein eine Verteilung anzunehmen, die gar nicht vorhanden ist, da
die Schlüsse dann nicht aussagekräftig sind.
In der folgenden Arbeit geht es um statistische Eigenschaften von Finanzmarktdaten. Zu Beginn werden kurz die verwendeten Aktienindizes und ihr
Verlauf innerhalb des beobachteten Zeitraums dargestellt. Danach kommen
einige wichtige Definitionen und Approximationen. Zum Schluss werden die
verschiedenen Eigenschaften beschrieben.
2
2
2.1
Aktienindex
Was ist ein Aktienindex?
Immer wieder hört man das Wort Aktienindex, doch was genau ist ein solcher
Index? Ein Aktienindex ist eine Kennzahl, die uns Informationen über die
Entwicklung bestimmter Aktienkurse liefert. Dabei dokumentiert diese einen
Teil des Geschehens vom gesamten Finanzmarkt. Im folgenden werden vier
Indizese in den Jahren 1992 bis einschließlich 2009 betrachtet.
2.2
ATX
Der Austrian Trade Index, kurz ATX, ist der wichtigste Aktienindex Österreichs. Er enthält die 20 wichtigsten börsenorientierten Unternehmen, wie
zum Beispiel die Erste Group, die Telekom Austria oder OMV.
2.3
FTSE
Der Financial Times Stock Exchange, kurz FTSE, ist der wichtigste britische
Aktienindex. Er ist der Leitindex für den britischen Markt und enthällt die
100 größten Unternehmen: Royal Dutch Shell, HSBC, BP, . . . .
3
2.4
Nikkei
Der Nikkei 225 ist ein Aktienindex an der Tokioter Börse und ist der bedeutenste Index im asiatischen Bereich. Er enhällt 225 verschiedene Unternehmen, wie z.B.: Mitsubishi, Canon oder Nissan.
4
2.5
SP500
Der Standanrd’ and Poor’s 500 ist ein US-amerikanischer Index. Er umfasst
500 Unternehmen, z.B. Wal-Art, IBM oder Apple. Zudem ist er ein auch in
der restlichen Welt sehr oft betrachtete Aktienindex.
5
3
3.1
Eigenschaften
Definition von Returns
Die meisten Modelle legen ihren Schwerpunkt auf Returns. Der Grund hierfür ist, dass im Allgemeinen Preise nicht stationär sind, Returns aber schon.
Der einfache Return für ein Asset nach einer Periode ist
Pt − Pt−1
Rt =
Pt−1
wobei Pt der Preis des Assets zum Zeitpunkt t ist.
Der einfache Return für ein Asset nach k Perioden ist somit
Pt − Pt−k
Rt [k] =
Pt−k
Als Beispiel, hier die einfachen Returns des ATX:
Der log-Return für ein Asset nach einer Periode wird definiert als
rt = log(Pt ) − log(Pt−1 ) = pt − pt−1
wobei pt = log(Pt ) der log-Preis ist.
Der log-Return für ein Asset nach k Perioden ist
rt [k] =
k−1
X
j=0
6
rt−j
. Zum Vergleich, die log-Returns des ATX:
Dabei ist zu beobachten: die log-Returns und die einfachen Returns unterscheiden sich vom Wert kaum. Deswegen ist eine Verwendung der log-Returns
unproblematisch und erleichtert viele Berechnungen.
3.2
Stylized Facts
Eigentlich sollten Warenpreise, Aktienkurse oder Wechselkurse keine bestimmte Tendenzen haben. Dennoch zeigen Studien bestimmte Regelmässigkeiten, die als stylized facts bekannt sind.
Zu diesen Faktoren zählen:
• Fat tails: Die unbedingte Verteilung von Returns nähert sich weniger
schnell der Null, als eine Normalverteilung.
• Assymetrie: Extreme negative Werte tauchen öfter auf als extreme
positive Werte.
• Aggregated normality: Wenn die Zeitspanne der Returns sich erhöht,
dann nähert sich die Return-Verteilung einer Normalverteilung.
• Abwesenheit von Reihenkorrelation: Returns zeigen keine Abhängigkeit vom vorhergehenden Wert, außer bei sehr kleinen Zeitintervallen.
• Anhäufung von Volatilität: Die Volatilität der Returns hängt von
7
den vorhergehenden Werten ab, insbesondere folgt oft eine großen Return (positiv oder negativ) wieder ein großer (positiv oder negativ).
• Zeitabhängigkeit von Kreuzkorrelation: Die Korrelation zwischen
Asset-Returns steigt während Perioden mit hoher Volatilität
3.3
Verteilung von Returns
Sei x eine stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion wobei fX die Dichtefunktion ist. Der k-te Moment von X wird definiert als
Z ∞
mk = E[X k ] =
xk fX (x)dx
k = 1, 2, . . .
−∞
Für k = 1 erhalten wir den Erwartungswer E[X] = µ. Mit einem gegebenen
Erwartungswert kann man somit die zentralen Momente berechnen
Z ∞
(x − m1 )k fX (x)dx
k = 1, 2, . . .
µk = E[(X − m1 )k ] =
−∞
wobei wir für k = 2 die Varianz V [X] bekommen, k = 3 liefert die nichtstandartisierte Schiefe und k = 4 die nicht-standartisierte Wölbung. Diese
zwei kann man wie Folgt standartisieren:
"
3 #
X −µ
µ3
v(X) = E
= 3
σ
σ
"
4 #
X −µ
µ4
w(x) = E
= 4
σ
σ
Die Schiefe beschreibt die Asymetrie der Kurve, d.h. bei negativem Wert
taucher mehr negative Werte auf und bei positiver Schiefe tauchen mehr
positive Werte auf. Eine Normalverteilung weist immer v(x) = 0 auf. Die
Wölbung beschreibt den Verlauf in Richtung Randbereiche. Ist |w| groß, so
nähert sich der Graph langsamer an die x-Achse. Die Normalverteilung hat
w(x) = 3.
3.4
Erwarteter Wert
Sei {rt }Tt=1 eine Zeitreihe von Returns. Um den erwarteten Wert berechnen
zu können, gibt es zwei Möglichkeiten:
- emprischer Mittelwert:
T
1X
µ
b=
rt
T t=1
8
- und Median m: m ist so, dass
P [rt ≤ m] = P [rt ≥ m] =
1
2
Hier ist eine Tabelle mit den Werten für unsere Aktienindizes:
empirischer Mittelwert:
SP500
ATX
FTSE
Nikkei
täglich
-0,000219 0,0002801 -0,000171 0,000173
wöchentlich -0,001060 -0,001311 -0,000828 0,000839
monatlich -0,004507 -0,005712 -0,003430 0,004227
Median:
SP500
ATX
FTSE
Nikkei
täglich
-0,000477 0,000766 -0,000336 0,000062
wöchentlich -0,002179 -0,003137 -0,001883 -0,000636
monatlich -0,009924 -0,011573 -0,007405 0,001574
Anhand der zwei Tabellen sieht man, dass der empirische Mittelwert betragsmäßig kleiner ist als der Median. In den folgenden Berechnungen wird
der empirische Mittelwert verwendet.
3.5
Abweichung vom erwarteten Wert
Sei {rt }Tt=1 eine Zeitreihe von Returns und µ
b der empirische Mittelwert.
Zwei mögliche Arten zur Berechnung der Varianz:
- empirische Varianz:
T
1 X
σ
b =
(rt − µ
b)2
T − 1 t=1
2
-mittlere absolute Abweichung (Mean Absolute Derivation):
T
1X
M AD =
|rt − µ
b|
T t=1
Für die vier betrachteten Aktienindizes erhält man folgende Werte:
9
empirische Varianz:
SP500
ATX
FTSE
Nikkei
täglich
0,011663 0,013432 0,012000 0,014282
wöchentlich 0,023871 0,031008 0,024308 0,023482
monatlich 0,043639 0,063989 0,043030 0,061751
MAD:
SP500
ATX
FTSE
Nikkei
täglich
0,007837 0,008995 0,008406 0,010442
wöchentlich 0,016856 0,021244 0,017216 0,023482
monatlich 0,032432 0,046105 0,032503 0,048913
An den beiden Tabellen erkennt man sehr gut, dass je größer das Zeitintervall ist, desto höher ist die Varianz. Bei den Berechnungen im folgenden
wird immer die empirische Varianz verwendet.
3.6
Assymterie
Die Schiefe gibt uns eine Aussage über die Symmetrie unser Verteilung. Zur
Berechnung dieser verwenden wir die empirische Schiefe.
b der empirische Mittelwert.
Sei {rt }Tt=1 eine Zeitreihe von Returns und µ
Dann berechnen wir die Schiefe folgendermaßen:
T
1 X rt − µ
b 3
sb =
(
)
T t=1
σ
b
Bei einer Normalverteilung ist sb = 0.
10
Falls s < 0, dann tauchen negative Werte öfters auf:
Bei s > 0 tauchen posite Werte häufiger auf:
11
Die Werte für unsere Aktienindizes sind:
SP500
ATX
FTSE
Nikkei
täglich
0,226665 -0,463357 0,099300 -0,030256
wöchentlich 0,717612 1,865185 0,971339 0,520279
monatlich 0,973601 1,304131 0,666940 0,451243
Hier kann man gut erkennen das die meisten Werte positiv sind, was zur
Folge hat, dass positive Werte häufiger vorkommen. Das ist ein Gegensatz
zur Festellung beim Erwartungswert, der meist Negativ war.
3.7
Fat tails
Damit man eine Aussage über das Verhalten in Richtung der Randbereiche
machen kann, braucht man die Wölbung. Sei {rt }Tt=1 eine Zeitreihe von Returns und µ
b der empirische Mittelwert.
Dann berechnen wir die empirische Wölbung folgendermaßen:
T
1 X rt − µ
b 4
κ
b=
(
)
T t=1
σ
b
Bei einer Normalverteilung ist die Wölbung k = 3. Je mehr der berechnete
Wert von der drei abweicht, desto Wahrscheinlicher sind extreme Werte.
Für die betrachteten Aktienindizes erhalten wir folgende Werte:
SP500
ATX
FTSE
Nikkei
täglich
8,686256 9,160890 6,245098 4,258892
wöchentlich 6,457322 19,722825 11,730943 5,463740
monatlich 2,088442 4,531531 0,891565 0,951733
Dabei fällt auf, dass die Abweichung für monatliche Werte am geringsten
ist.
12
Wir haben den größten Wert beim ATX für wöchentliche Werte:
3.8
Test nach Normalverteilung
Statistische Berechnungen zeigen, dass wir aufgrund der Tatsache, dass extreme Werte öfter auftauchen als bei einer Normalverteilung und, dass Zusammenbrüche öfters auftauchen als Aufschwünge, von keiner Normalverteilung ausgehen können.
3.8.1
Test basierend auf den Momenten
Der meist verbreitetste Test in diesem Bereich ist nach Jarque und Bera
(1980) und Bera und Jarque (1981). Er geht davon aus, dass bei einer Normalverteilung Schiefe gleich Drei und Wölbung gleich Null sind. Jarque und
Bera haben gezeigt, dass die standardisierte Schiefe und der Exzess der Wölbung asymptotisch unabhängig sind und folgende asymptotische Verteilungen besitzen:
ŝ
p
6/T
κ̂ − 3 H0
p
⇒ N (0, 1)
24/T
H
⇒0 N (0, 1)
13
Jarque und Bera’s Idee ist es folgende Teststatistik zu verwenden:
2
κ̂ − 3
ŝ
+
JB = T
6
24
Der Test ist möglich, weil diese Teststatistic asymptotisch Verteilt ist, nämlich χ2 (2). Hier eine Tabelle der vier betrachteten Aktienindizes:
SP500
ATX
FTSE Nikkei
Täglich
6149,87 6954,42 2002,59 292,94
Wöchentlich 547,67 10935,43 3130,13 278,36
Monatlich
41,41
78,14
55,76
44,88
Betrachtetet man nun eine Tabelle der χ2 (2)-Verteilung, so wird man feststellen: Egal welchen Freiheitsgrad man wählt, die Nullhypothesis wird abgeleht. Somit sind unsere Daten nicht Normalverteilt.
Eine starke Einschränkung des JB Tests ist, dass er nur für sehr viele Werte
asymptotisch Verteilt ist. Deswegen schlagen Doornik und Hansen (1994)
einen ”omnibus” test vor. Zuerst approximieren sie für das endliche Beispiel
Verteilungen von Schiefe und Wölbung unter den folgenden Annahmen:
• Normalverteilung
• Wölbung hat eine Gammaverteilung
• κ̂ > 1 + ŝ2
Seien z1 und z2 Schiefe und Wölbung für das Beispiel. Doornik und Hansen
(1994) zeigen:
app
W = z12 + z22 ⇒ χ2 (2)
p
1
log(g + 1 + g 2 )
z1 = p
log(ω)
1
χ 3
1
z2 =
−1+
2α
9α
app
wobei ⇒ die approximierte Verteilung beschreibt. Außerdem sind
s
ω 2 − 1 (T + 1)(T + 3)
g = ŝ2
2
6(T − 2)
14
ω2 =
p
2(b0 − 1) − 1
χ = 2b1 (κ̂ − 1 − ŝ2 )
α = b2 + b3 ŝ2
mit den folgenden Faktoren:
b0 =
3(T 2 + 27T − 70)(T + 1)(T + 3)
(T − 2)(T + 5)(T + 7)(T + 9)
(T + 5)(T + 7)(T 3 + 37T 2 + 11T − 313)
12τ
(T − 2)(T + 5)(T + 7)(T 2 + 27T − 70)
b2 =
6τ
(T − 7)(T + 5)(T + 7)(T 2 + 2T − 5)
b3 =
6τ
τ = (T − 3)(T + 1)(T 2 + 15T − 4)
b1 =
Eine weitere Schwachstelle ist, dass die empirische Schiefe und Wölbung über
Mittelwert und Varianz berechnet werden, die auch empirisch sind und somit
fehlerhaft sein können.
3.8.2
Test basierend auf Dichten
Eine weitere Möglichkeit ist der Kolmogorov-Smirnov (KS) Test. Dieser Test
vergleicht die empirische Dichte Fr (·) der Returns mit der Dichte der Normalverteilung F ∗ (·). Da die empirische Dichte unbekannt ist, nähert man
diese durch
T
1X
1{rt ≤x}
G(x) =
T t=1
an.
Die Nullhypothese ist H0 : ∀x : G(·) = F ∗ (x; θ) und die Gegenhypothese ist
H1 : ∃x : G(·) 6= F ∗ (x; θ). Der KS-Test geht davon aus, dass θ bekannt ist.
Der KS-Test schaut sich nun den Abstand zwischen G(x) und F ∗ (x; θ) an:
KS = sup |F ∗ (x; θ) − G(x)|
{x}
Ein Problem bei diesem Test ist, dass der Mittelwert und die Varianz unbekannt sind und nur durch empirische Werte angenähert werden können.
Dadurch kann es zu Fehlern bei der Auswertung kommen.
15
3.9
3.9.1
Zeitabhängigkeit
Korrelation von Returns
Für die Abhängigkeit der Returns während der Zeit muss man sich die Korrelation anschauen. Man geht bei der Nullhypothese davon aus, dass die ersten
p Korrelationen gleich Null sind.
Zum annähern der Korrelation, verwendet man:
T
P
p̂j =
(rt − µ̂)(rt−j − µ̂)
t=j+1
T
P
fr 0 ≤ j < T − 1
(rt − µ̂)2
t=1
Ein einfacher Test für die Nullhypothese ist die Ljung-Box Q Statistik:
Qp = T (T + 2)
p
X
j=1
1
p̂2j
T −j
Unter der Nullhypothese ist Qp asymptotisch χ2 (p) verteilt. Den Test führt
man für mehrere Werte von p durch.
3.9.2
Serial correlation in volatility
Um die Zeitabhängigkeit von Volatilität zu testen, braucht man für dies ein
geeignetes Maß. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: zum einen über absolute
Returns und zum anderen über den Mittelwert angepaste quadrierte Returns.
Seien µ der konstante Mittelwert, t die Mittelwert-angepassten returns, σt
die zeitabhängige Volatilität und zt ist eine standartnormalverteilte Innovation. Man nehme an, dass Returns folgende Dynamik haben:
rt = µ + t wobei ηt = σt zt
Da bis zum Zeitpunkt t − 1 die Variablen bekannt sind und zt2 ist χ21 verteilt,
gilt:
E[2t |Ft−1 ] = σt2 E[zt2 |Ft−1 ] = σt2 .
Also kann man 2t als Annäherung für die Volalität zum Zeipunkt t sehen.
Alternativ, wenn man µ weglässt, dann ist rt ∼ N (0, σt2 ) und
p
E[|rt |] = σt 2/π.
16
p
Somit ist |rt |/ 2/π eine Approximation für die Standartabweichung.
Die Verwendeten Methoden sind eher grobe Schätzer, aber man kann nun
für die Werte die Ljung-Box Statistik aus dem vorhergehenden Kapitel verwenden. Eine Korrelation ungleich Null deutet dabei auf eine Abhängigkeit
der Volatilität bzgl. der Zeit hin.
3.9.3
Zeitabhängigkeit höherer Momente
Ein weiterer Punkt ist die Variation der höheren Momente über Zeit. Um
das zu analysiren betrachtet man die Aktienindizes über ein Rollendes Zeitfenster. Bei der folgenden Betrachtung wurde ein Zeitfenster on 350 Daten
betrachtet, was ungefähr 1,5 Jahre sind.
17
18
3.10
Lineäre Abhängigkeit von Returns
Im folgenden wird die bedingte Verteilung von Returns betrachtet. Die Verteilung kann dadurch analysiert werden, dass man Radnverteilung und Abhängigkeitsstruktur trennt.
3.10.1
Parson’s Korrrelationskoeffizient
Das meistbenutzte Maß für die Abhängigkeit ist die lineare Korrelation oder
Person’s Korrelation:
Cov[X, Y ]
ρ[X, Y ] = p
V [X]V [Y ]
wobei Cov[X, Y ] die Kovarianz zwischen X und Y bezeichnet. Für die Person’s Korrelation gilt:
• −1 ≤ ρ[X, Y ] ≤ 1
• ρ[X, X] = 1
• ρ[X, Y ] = ρ[Y, X]
Eine perfekte Abhängigkeit hat man für ρ[X, Y ] = 1 und keine Korrelation hat man für ρ[X, Y ] = 0. Es ist noch wichtig zu erwähnen, dass aus
"keine Korrelation"nicht zwingend Unabhängigkeit folgt. Korrelation ist ein
gutes Maß für Abhängigkeit, wenn Returns elliptisch Verteilt sind. Ein guter
Schätzer für die Korrelation zwischen {xt }Tt=1 und {xt }Tt=1 ist
T
P
ρ̂ = s
(xt − µˆx )(yt − µˆy )
t=1
.
T
P
T
P
2
(xt − µˆx )
(yt − µˆy )2
t=1
t=1
ρ̂ besitzt folgende asymptotische Verteilung:
√
T (ρ̂ − ρ) ⇒ N (0, 1)
Betrachtet man die Korrelationskoeffizienten zwischen den einzelnen Aktienindizes kommt immer ein positiver Wert heraus. Außerdem fällt auf, dass je
größer das Zeitintervall ist, desto höher ist die Korrelation.
3.10.2
Test nach Gleichheit zweier Korrelationskoeffizienten
In der Literatur wurde viel darüber diskutiert wie sich die Korrelation verändert, wenn die Finanzmärkte unruhig sind. Diese Frage ist gerade bei der
19
Diversifikation eines Portfolios wichtig. Wenn die Korrelation in unruhigen
Zeiten steigt, dann verschwinden die Vorteile der Diversifikation obwohl sie
gebraucht werden. Um das genauer zu betrachten gibt es in Studien verschiedene Ansätze. Entweder man betrachtet die Korrelation über verschiedene
Zeit-Perioden an oder abhängig davon ob eine der Return-Zeitreihen einen
bestimmtem Schwellenwert übersteigt.
Zum ersten Typ gehören zum Beispiel die Studien von Kaplanis (1988) oder
Ratner (1922). Diese fanden heraus, dass die Korrelationsmatrix vor und
nach dem Börsencrash gleich ist. Koch und Koch (1991) hingegen fanden
heraus, dass Korrelation im laufe der Zeit ansteigt. King, Sentana und wadhwani (1994) argumentieren, dass der Börsencrash von 1987 dafür verantwortlich ist, dass die Korrelation seitdem steigt.
Zum zweiten Typ von Test gehören die Studien von Byer, Gibson und Loretan (1997), Loretan und English (1999) und Forbes und Rigobon (2002).
Diese Studien zeigen, dass der Korrelationskoeffizient für zwei Zeitreihen verzerrt ist. Das heißt also, sogar wenn man den auslösenden Zeitpunkt für den
Crash kennt, dann müssen unabhängige Schätzer für die Korrelation korrigiert werden bevor man etwas testet.
Um einen Änderung herauszufinden sind drei Voraussetzungen notwendig:
• Daten, die eine strukturelle Veränderung erlauben
• Daten, die die notwendigen Parameter annähern können
• Daten, die einen Test nach Veränderung erlauben
Man sieht also, wie komplex es ist, nach Korrelation zu testen.
Die einfachste Methode die Gleichheit zweier Korrelationskoeffizienten über
zwei nicht überlappende Zeitintervalle T1 und T2 zu testen basiert auf der
asymptotischen Verteilung des Korrelationskoeffizienten. Da die Verteilung
für ρ → 1 instabil wird, führt Fischer (1915) die z-transformation ein. Er
schlägt vor, dass der Test auf z(ρ̂) anstatt ρ̂ basieren soll. Dabei definiert
man:
1
1 + ρ̂
)
z(ρ̂) = log(
2
1 − ρ̂
Unter der Annahme, dass die zwei Beispiel von zwei unabhängigen bivariaten Normalverteilungen stammen, näher sich die Verteilung der Differenz
zwischen den beiden Schätzer z(ρ̂) gegen
N (0,
1
1
+
) .
t1 − 3 t2 − 3
20
3.10.3
Test nach Gleichheit zweier Korrelationsmatrizen
Jennrich (1970) entwickelte einen Test basierend auf die standardisierte Differenz zwischen zwei Korrelationsmatrizen.
Seien R1 und R2 zwei Korrelationsmatrizen für zwei unabhängige Teilbeispiele mit gleicher Größe T1 = T2 = T . R = 21 (R1 + R2 ) sei die durchschnittliche
Korrelationsmatrix mit Einträgen (p̂ij ) und mit Inverser R−1 = (p̂ij ). Die
standardisierte Differenz ist dann:
r
T −1
Z=
R (R1 − R2 )
2
Sei S = (δij + p̂ij p̂ij ) wobei
δij =
(
1 i=j
0 sonst
Man definiert dann folgende Teststatistik:
1
χ2 = tr(Z 2 ) − diag(Z)0 S −1 diag(Z)
2
diag(A) ist die Diagonale der quadratischen Matrix A in einer Spaltenform
und tr(B) ist die Spur von B. Diese Teststatistik hat eine asymptotische
chi-quadrat Verteilung mit p(p−1)
Freiheitsgraden (p ist die Dimension der
2
Korrelationsmatrix oder die Anzahl der Variablen).
21
4
Literaturverzeichnis
1. Eric Jondeau, Ser-Huang Poon, Michael Rockinger:
Financial Modeling Under Non-Gaussian Distribution
London: Springer-Verlag, Erste Auflage 2007.
2. finance.yahoo.com
Aufrufdatum: 8.4.13
3. wikipedia.org
Aufrufdatum: 8.4.13
22