Erfüllbarkeit von Formelmengen

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
75
Erfüllbarkeit von Formelmengen
bisher nur Erfüllbarkeit einzelner Formeln betrachtet
erweitere Begriff auf Mengen von Formeln
Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt erfüllbar, wenn es eine
Interpretation I gibt, so dass I |= ϕ für alle ϕ ∈ Φ gilt. Notation:
I |= Φ.
�
Für |Φ| < ∞ ist also Menge Φ erfüllbar gdw. Formel Φ erfüllbar
ist. Def. beinhaltet aber auch Fall unendlicher Mengen!
Bsp.:
• {Ai ↔ ¬Ai+1 | i ∈ N}
• {Ai ↔ Ai+2 | i ∈ N} ∪ {A2i ↔ ¬A2i+1 | i ∈ N}
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Motivation: der faule Wecker
Kann es einen Wecker mit folgender Spezifikation geben? (D.h. ist
folgende Menge von Aussagen erfüllbar?)
{
irgendwann klingele ich,
jetzt klingele ich nicht
wann wird diese Menge erst unerfüllbar?
}
76
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Erfüllbarkeit und endliche Konsistenz
Im folgenden nehmen wir an, dass V nur abzählbar unendlich viele
Variablen enthält, also o.B.d.A. V = {A0 , A1 , . . .}.
Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt endlich konsistent, wenn
für alle Ψ ⊆ Φ mit |Ψ| < ∞ gilt: Ψ ist erfüllbar.
beachte: der faule Wecker ist unerfüllbar, aber endlich konsistent!
was gilt jeweils (nicht)?
Φ erfüllbar und Ψ ⊇ Φ ⇒ Ψ erfüllbar
77
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Der Kompaktheitssatz
Theorem 9
Für alle Mengen Φ von Formeln gilt: Φ erfüllbar gdw. Φ endlich
konsistent.
Anders gesagt: Ist jede endliche Teilmenge einer Menge Φ
erfüllbar, so ist auch Φ erfüllbar.
Eigentlich nur für |Φ| = ∞ interessant. Wieso?
Notation: Ψ ⊆fin Φ gdw. Ψ ⊆ Φ und |Ψ| < ∞
Beweis von “⇒”: Sei I |= Φ, also gilt I |= ϕ für alle ϕ ∈ Φ.
Damit ist dann auch I |= Ψ für alle Ψ ⊆ Φ, insbesondere falls
Ψ ⊆fin Φ.
�
78
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
“⇐” ist schwieriger
Beachte: Bei endlich konsistentem Φ kann jedes Ψ ⊆fin Φ
verschiedenes Modell haben!
Bsp. Φ = {ϕn,m | 0 ≤ n ≤ m} mit ϕn,m =
m
�
Ai
i=n
Sei Ψ ⊆fin Φ und IΨ definiert durch
�
1 , falls min{n | ϕn,m ∈ Ψ} ≤ k ≤ max{m | ϕn,m ∈ Ψ}
IΨ (Ak ) =
0 , sonst
Beachte:
• Für alle Ψ ⊆fin Φ gilt IΨ |= Ψ, aber IΨ �|= Φ.
• Es gibt unendliche viele Ψ mit paarweise verschiedenen IΨ .
79
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Lemmas für die Kompaktheit
Lemma 1: Ist Φ erfüllbar, so ist Φ ∪ {A} oder Φ ∪ {¬A} erfüllbar.
Lemma 2: Ist Φ endlich konsistent, so ist Φ ∪ {A} oder Φ ∪ {¬A}
endlich konsistent.
Beweis: Ang. Φ ∪ {A} und Φ ∪ {¬A} sind nicht endlich
konsistent. Dann ex. unerfüllbare Ψ ⊆fin Φ ∪ {A} und
Ψ� ⊆fin Φ ∪ {¬A}. Somit ist auch Θ := Ψ ∪ Ψ� unerfüllbar, und
damit auch Θ ∪ {A} und Θ ∪ {¬A}. Dann muss aber bereits
Θ \ {{A}, {¬A}} unerfüllbar sein. Da Θ \ {{A}, {¬A}} ⊆fin Φ, ist
Φ also nicht endlich konsistent.
80
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Beweis des Kompaktheitssatzes
Beweis von “⇐” (“Φ endlich konsistent ⇒ Φ erfüllbar”).
Seien A0 , A1 , A2 , . . . Variablen in Φ.
Def. simultan Φ0 := Φ, Φi+1 := Φi ∪ {�i } und
�
Ai
, falls Φi ∪ {Ai } endlich konsistent
�i :=
¬Ai , sonst
Mit ob. Lemma und Induktion sind alle Φi endlich konsistent.
Definiere I über
�
1 , falls �i = Ai
I(Ai ) :=
0 , falls �i = ¬Ai
Behauptung: I |= Φ, also I |= ϕ für alle ϕ ∈ Φ
81
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Beweis des Kompaktheitssatzes
Sei ϕ ∈ Φ.
Wähle k := max{i | Ai ∈ Var (ϕ)}.
Da Φ = Φ0 ⊆ Φ1 ⊆ . . . gilt also ϕ ∈ Φk+1 und somit
Ψ := {ϕ, �0 , . . . , �k } ⊆fin Φk+1
Wegen endlicher Konsistenz von Φk+1 ist Ψ erfüllbar. Also ex. I � ,
so dass I � |= Ψ.
Beachte: I(A) = I � (A) für alle A ∈ Var (ϕ) und außerdem I � |= ϕ.
Nach Thm. 1 (Wert einer Formel hängt nur von Interpretation der
darin vorkommenden Variablen ab) gilt dann I |= ϕ.
82
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Was war jetzt mit dem faulen Wecker?
zur Erinnerung:
Φ =
{ irgendwann klingele ich } ∪
{ in n min klingele ich nicht | n ∈ N}
ist endlich konsistent aber unerfüllbar
wie kann das sein? Widerspruch zum Kompaktheitssatz?
Kompaktheit hat Konsequenzen für Szenarien, die in
Aussagenlogik ausgedrückt werden können
83
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Erste Anwendung des Kompaktheitssatzes
Theorem 10 (Königs Lemma)
Jeder endlich-verzweigende Baum, in dem Pfade beliebiger Länge
existieren, hat einen unendlichen Ast.
Beweis: Sei t Baum mit abzählbarer Knotenmenge V und Wurzel
w . Angenommen, es gibt Pfade beliebiger Länge in t. Wir
schreiben succ(v ) für die unmittelbaren Nachfolger von v .
Betrachte
�
�
�
�
�
ϕv := Xv → ExactlyOne(succ(v )) ∧ ¬Xv →
¬Xv �
v � ∈succ(v )
und Φ := {Xw } ∪ {ϕv | v ∈ V }.
84
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Beweis von Königs Lemma
wir zeigen: jedes Ψ ⊆fin Φ ist erfüllbar
Sei Ψ gegeben und d := max{dist(w , v ) | ϕv ∈ Ψ}. Betrachte
Ψ� := {X0 } ∪ {ϕv | dist(w , v ) ≤ d}
Beachte: Ψ� ⊇ Ψ. Also reicht es aus zu zeigen, dass Ψ� erfüllbar
ist.
Sei π Pfad der Länge d + 1 in t. Konstruiere Interpretation Iπ wie
folgt:
�
1 , falls j auf π liegt
Iπ (Xj ) =
0 , sonst
Beachte: Es gilt Iπ |= Ψ� , also auch Iπ |= Ψ.
Nach Kompaktheit ist dann auch ϕ erfüllbar. Sei I Modell von Φ.
Unendlicher Pfad in t ist gegeben durch {v | I(Xv ) = 1}.
85
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Zweite Anwendung des Kompaktheitssatzes
Kacheln sind Einheitsquadrate mit gefärbten Kanten:
Sei K eine endliche Menge von Kacheln. Dies induziert zwei
Relationen H und V , die besagen, ob zwei Kacheln horizontal bzw.
vertikal aneinanderpassen.
Eine K -Kachelung der n × n-Ebene ist eine Funktion
κ : {0, . . . , n − 1}2 → K , so dass für alle i = 0, . . . , n − 2,
j = 0, . . . , n − 1 gilt:
• (κ(i, j), κ(i + 1, j)) ∈ H
“horizontal passt alles”
• (κ(j, i), κ(j, i + 1)) ∈ V
“vertikal passt alles”
analog K -Kachelung der unendlichen N × N-Ebene definiert
86
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Beispiel
Bsp.: K =
K -Kachelung der 3 × 3-Ebene:
lässt sich dies zu Kachelung der 4 × 4-Ebene erweitern?
lässt sich 4 × 4-Ebene überhaupt mit K kacheln?
87
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Anwendung des Kompaktheitssatzes
Theorem 11
Sei K endliche Menge von Kacheln. Wenn jede n × n-Ebene
K -kachelbar ist, so ist auch die N × N-Ebene K -kachelbar.
Beweis: Benutze Aussagenvariablen Ati,j , i, j ∈ N, t ∈ K mit
Bedeutung “das Feld (i, j) ist mit Kachel t belegt”
drücke K -Kachelbarkeit der n × n-Ebene aus:
ϕn :=
88
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Anwendung des Kompaktheitssatzes
Beachte: Modelle für ϕn kodieren Kachelung der n × n-Ebene.
Sei Φ := {ϕn | n ∈ N}. Satz ist gezeigt, falls Φ erfüllbar ist.
“Jede n × n-Ebene ist K -kachelbar.” Also ist jedes ϕn erfüllbar.
fertig?
Sei Ψ ⊆fin Φ. Dann ist Ψ = {ϕi1 , . . . , ϕik } für ein k ∈ N und
i1 < i2 < . . . < ik .
Beachte: Wenn m ≤ n, dann ist ϕn → ϕm allgemeingültig.
(Intuitiv: n × n-Kachelung liefert auch immer eine
m × m-Kachelung.) Da ϕik erfüllbar ist, ist damit auch Ψ erfüllbar.
Aus dem Kompaktheitssatz folgt, dass auch Φ erfüllbar ist;
erfüllende Belegung induziert Kachelung der N × N-Ebene mit K .
89
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.6 Aussagenlogik – Kompaktheit
Fallstrick bei Kompaktheit
wichtig bei Anwendung von Kompaktheit: zeige Erfüllbarkeit jeder
endlichen Teilmenge
Übung: Finde unerfüllbare, unendliche Menge Φ, so dass jede
Einermenge {ϕ} ⊆ Φ erfüllbar ist.
Übung: Finde unerfüllbare, unendliche Menge Φ, so dass jede
Zweiermenge {ϕ1 , ϕ2 } ⊆ Φ erfüllbar ist
Hinweis: betrachte n-Damenproblem
90