ELEKTRODYNAMIK

Grundkurs Physik
ELEKTRODYNAMIK
Peter Ryder
Letzte Änderung: 19. März 2002
Universität Bremen
Fachbereich 1
i
Vorwort
Diese Einführung in die Elektrodynamik (Elektrizität und Magnetismus) wurde als elektroni”
sches“ Vorlesungsskript für das dritte Semester des Grundkurses Physik an der Universität Bremen
konzipiert. Die vorliegende Ausgabe wurde im Verlaufe des Wintersemesters 2001/02 überarbeitet.
Eine inhaltlich identische online-Version dieses Skripts, die sich besser zum Browsen eignet, ist
über die Seite http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/skripte.html“ zu ereichen.
”
James Clerk Maxwell (1831–1879) faßte die Gesetze der
Elektrodynamik in vier Differentialgleichungen zusammen,
berechnete die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen und
schloß daraus, daß Licht ein elektromagnetisches Phänomen sein
muß.
ii
VORWORT
iii
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
i
1
Einleitung
1
2
Elektrostatik
2.1 Experimentelle Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Das Gesetz von Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Arbeit und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Wirbelfreiheit und Quellenstärke des elektrostatischen Feldes
2.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Der Faradaysche Käfig . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Linienladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Flächenladungen: der Kondensator . . . . . . . . . .
2.6.5 Kugelsymmetrische Ladungsverteilung . . . . . . .
2.6.6 Leitende Kugel im E-Feld . . . . . . . . . . . . . .
2.6.7 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.8 Bildladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Elektrostatische Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Influenzmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Bandgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Elektrische Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Definitionen von Multipolen . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Suszeptibilität und Dielektrizitätszahl . . . . . . . .
2.9.3 Anisotropie und Orientierungspolarisation . . . . . .
2.9.4 Freie und gebundene Ladungen - das D-Feld . . . .
2.9.5 Ferro-, Pyro- und Piezoelektrizität . . . . . . . . . .
2.9.6 E-Felder in Dielektrika: Allgemein . . . . . . . . .
2.10 Die Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . .
2.11 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
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6
INHALTSVERZEICHNIS
Elektrische Leitung
3.1 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Leitungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Elektrische Leitung in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Elektrische Leitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Elektrische Leitung in wäßrigen Lösungen (Elektrolyten) . . . . . . .
3.2.4 Elektrische Leitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Technische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Einfache Schaltkreise und Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen und Kondensatoren
3.3.2 Ladung und Entladung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Innerer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Netzwerke: die Kirchhoffschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegte Ladungen und Magnetfelder
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grundeigenschaften des magnetischen Feldes . . . . . .
4.2.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Das B-Feld bewegter Ladungen . . . . . . . . .
4.2.3 Magnetfelder elektrischer Ströme . . . . . . . .
4.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Kraft zwischen stromführenden Leitern . . . . .
4.3.2 Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Magnetisches Dipolmoment einer Stromschleife
4.3.4 Magnetfeld eines Toroids . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Spezielle Stromkreise und Spulen . . . . . . . .
4.4 Das Vektorpotential des Magnetfeldes . . . . . . . . . .
4.5 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Magnetische Eigenschaften der Materie
5.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Vergleich zwischen elektrischer Polarisation und Magnetisierung
5.1.2 Magnetische Suszeptibilität, Permeabilität, das H-Feld . . . . . .
5.1.3 Magnetfelder in Materie: Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Klassifizierung magnetischer Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Messung der para- bzw. diamagnetischen Suszeptibilität . . . . .
5.2.4 Magnetische Ordnung: Ferro- Antiferro- und Ferrimagnetismus .
5.3 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitlich veränderliche Magnetfelder
6.1 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Das Feld eines bewegten magnetischen Dipols
6.1.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Beispiele für Induktionsvorgänge . . . . . . .
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v
INHALTSVERZEICHNIS
6.2
6.3
6.4
6.5
7
6.1.4 Gegeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wechselstromnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Wirkung einer periodischen Spannung auf R, C und L
6.2.2 Die Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Die Verwendung komplexer Zahlen . . . . . . . . . .
Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetische Strahlung
7.1 Maxwells Theorie der Elektrodynamik . . . . . . . . . .
7.1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Die elektrodynamischen Potentiale . . . . . . . .
7.2 Harmonische Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Die E- und B-Felder . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Transport von Energie . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Transport von Impuls . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Elektromagnetische Strahlung in Materie . . . . . . . .
7.3.1 Grenzbedingungen für elektromagnetische Felder
7.3.2 Transparente, isotrope Dielektrika . . . . . . . .
7.3.3 Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Schwingender Dipol . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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123
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126
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131
132
134
A Zusammenstellung einiger Formeln
137
A.1 Verwendete Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2 Formelliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
B Maßeinheiten der Elektrodynamik
143
C Thermodynamik der Magnetisierung
145
Index
149
Abbildungsverzeichnis
159
vi
INHALTSVERZEICHNIS
1
Kapitel 1
Einleitung
Zur Geschichte
Das Wort Elektrizität stammt ursprünglich vom griechischen Wort für Bernstein (elektron).
Schon vor 2600 Jahren bemerkten die Griechen, daß Bernstein (Fossilharz ) ein Phänomen zeigt,
das wir heute Reibungselektrizität nennen: Wird er mit einem Stück Stoff oder Fell gerieben, zieht
er leichte Gegenstände wie Haare oder Federn an. Der Name Magnetismus geht auf die Bezeichnung des magnetischen Minerals Magnetit (Eisenoxyd) zurück, das schon im ersten Jahrhundert
n. Chr. in China zur Konstruktion des ersten Kompasses verwendet wurde. 1600 veröffentlichte
der Engländer William Gilbert (1544–1603) ein Buch, in dem er die Unterschiede zwischen den
elektrischen und magnetischen Kräften beschrieb: Magnetit zieht Eisen an, nicht aber Papier oder
Federn. Für Bernstein gilt das Umgekehrte. Mit der Zeit verliert Bernstein seine Elektrizität“, die
”
aber durch erneute Reibung wiederhergestellt werden kann, während Magnetit seine magnetische
Eigenschaft auf unbestimmte Zeit behält.
Anfang des 18. Jahrhunderts entdeckte Stephen Gray (1666–1736), daß bestimmte Substanzen Elektrizität leiten können, andere aber nicht. 1733 machte der Franzose Charles du Fay die
wichtige Entdeckung, daß es zwei Sorten von Elektrizität gibt, und daß es nicht nur anziehende
sondern auch abstoßende Kräfte gibt: Gleichartig geladene Körper stoßen sich ab, während verschiedenartig geladene sich anziehen. Die Bezeichnungen positiv“ und negativ“ wurden zuerst
”
”
von Benjamin Franklin (1706–1790) eingeführt. Mit Fell geriebener Bernstein ist z.B. negativ, mit
Seide geriebenes Glas positiv geladen.
Die Menge der Elektrizität bezeichnet man als Ladung. Die Abhängigkeit der Kräfte, die zwischen zwei elektrisch geladenen Körpern wirken, von den Ladungen und dem Abstand der Körper
wurde von Joseph Priestley (1733–1804), Henry Cavendish (1731–1810) und Charles Coulomb
(736–1806) experimentell untersucht. Die Ergebnisse faßte Coulomb in dem nach ihm benannten
Gesetz zusammen (1785). Die heutige Einheit der elektrischen Ladung ist nach Coulomb benannt.
Es gibt Analogien zwischen elektrischen und magnetischen Kräften. Positive“ und negative“
”
”
magnetische Ladungen“ erscheinen jedoch nie getrennt, d.h. als sog. Monopole, sondern nur als
”
Plus-Minus-Paare (Dipole ). Die Erde hat ein Magnetfeld, das zur Navigation verwendet werden
kann (Kompaß).
Der Italiener Luigi Galvani, (1737–1798) Professor für Anatomie in Bologna, experimentierte
(um 1786) mit der Wirkung von Ladungen auf das Muskelgewebe von Froschschenkeln. Dabei
entdeckte er, daß zwischen zwei verschiedenen Metallen ein Ladungsfluß entstand, wenn sie in die
Körperflüssigkeit getaucht wurden. Diese Entdeckung führte später (um 1800) zur Erfindung der
ersten Batterie durch Allessandro Volta (1745–1827). Mit dieser Erfindung war es zum ersten Mal
2
KAPITEL 1. EINLEITUNG
möglich, kontinuierlich Ladungsflüsse (elektrische Ströme) zu erzeugen. Volta erfand auch den
Elektrophor (s. Abschnitt 2.1). Das erste Instrument zur Messung elektrischer Ströme (Galvanometer) wurde nach Galvani genannt. Zu Ehren Voltas heißt die Einheit der elektrischen Spannung
Volt (V).
Eine erste umfassende mathematische Theorie der elektrischen Leitung wurde von Georg Simon Ohm (1789–1854) aufgestellt. Sein 1827 veröffentlichtes Buch Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet enthält das nach ihm genannte Gesetz, das die quantitative Beziehung zwischen
Strom, Spannung und Widerstand beschreibt. Nach Ohm wurde die Einheit des elektrischen Widerstands () benannt.
Elektrizität und Magnetismus wurden lange als getrennte Phänomene angesehen. 1819 entdeckte jedoch der Däne Hans Christian Oersted (1777–1851), daß eine Kompaßnadel durch einen
elektrischen Strom abgelenkt wird. Damit zeigte er zum ersten Mal, daß zwischen Elektrizität und
Magnetismus eine enge Beziehung besteht. Die quantitativen Beziehungen zwischen dem elektrischen Strom und dem, was wir heute als magnetisches Feld bezeichnen, wurden von André Marie
Ampère (1775–1836), Jean-Baptiste Biot (1774–1862) und Félix Savart (1791–1841) aufgestellt.
Ampère entdeckte auch, daß sich zwei parallele, stromführende Leiter anziehen, wenn die Ströme
die gleiche Richtung haben, bzw. sich abstoßen, wenn die Stromrichtungen entgegengesetzt sind.
Dieser Effekt wird heute benutzt, um die nach Ampère genannte SI-Einheit des elektrischen Stroms
zu definieren.
Da elektrische Ströme Magnetismus erzeugen, ist es naheliegend anzunehmen, daß Magnete
auch Elektrizität“ hervorrufen können. Dieses Phänomen, das wir heute elektromagnetische In”
duktion nennen, wurde unabhängig voneinander von Michael Faraday (1791–1867) und Joseph
Henry (1797–1878) entdeckt. Faraday erfand das Dynamo, Henry das Elektromagnet. Die Namen
dieser beiden Wissenschaftler sind in den Bezeichnungen der Einheiten für Kapazität(Farad) und
Induktivität (Henry) verewigt.
Die Verknüpfung zwischen Elektrizität und Magnetismus läßt sich aus heutiger Sicht wie folgt
darstellen:
– Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder. Der Magnetismus von Atomen und Festkörpern
ist allein auf die Bewegungen der Elektronen zurückzuführen. Eine Spule, durch die ein
elektrischer Strom fließt, ist ein Magnet.
– Bewegte Magnete erzeugen elektrische Felder und damit Spannungen und (in Leitern)
Ströme. Nach diesem Prinzip arbeitet ein Dynamo, der elektrische aus mechanischer Energie
erzeugt.
– Bewegte Ladungen werden von Magneten abgelenkt. Magnetfelder üben Kräfte auf Ströme
aus. Nach diesem Prinzip arbeitet der Elektromotor.
Diese beiden Filme von der Fakultät für Physik und Astronomie der Universität Heidelberg1 veranschaulichen, wie ein Dynamo und ein Elektromotor funktionieren:
Dynamo: http://www.uni-heidelberg.de/media/physik/dynamo lan.asx
Elektromotor: http://www.uni-heidelberg.de/media/physik/motor lan.asx.
Wenn man, wie in der sog. Elektrostatik, nur ruhende Ladungen betrachtet, kommt man ohne
Magnetfelder aus. Ebenfalls kann man im Rahmen der Magnetostatik ruhende Magnete und zeitlich unveränderliche Magnetfelder behandeln, ohne daß elektrische Felder notwendig sind. Die
Verknüpfung von Elektrizität und Magnetismus zeigt sich in dynamischen Vorgängen, d.h. bei
Bewegungen und zeitlich veränderlichen Feldern. Das Gebiet der Physik, das elektrische und magnetische Phänomene sowie ihre wechselseitige Beziehungen beschreibt, heißt deshalb Elektrodynamik.
3
Eine komplette Theorie der Elektrodynamik wurde zuerst von James Clerk Maxwell (1831–
1879) aufgestellt. Aus Maxwells Theorie folgt zwangsläufig die Existenz von elektromagnetischer Strahlung, die auch von Heinrich Hertz (1857–1894) nachgewiesen wurden.
Zur Mathematik
Dieser Skript setzt gute Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung (einschließlich
Funktionen mehrerer Variablen), der Vektorrechnung und insbesondere der Vektoranalysis voraus.
Eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln befindet sich im Anhang A (zum Nachschlagen,
nicht zum Auswendiglernen!).
Um eine kompaktere Schreibweise zu ermöglichen, werden die kartesischen Koordinaten mit
x1 , x2 , x3 statt x, y, z bezeichnet. Gelegentlich werden auch Kugelkoordinaten (r, θ, φ) verwendet:
x1 = r sin θ cos φ, x2 = r sin θ sin φ, x3 = r cos θ .
Maßeinheiten
In der Vergangenheit wurden die armen Physikstudenten mit einer verwirrenden Vielfalt von
Einheiten in der Elektrodynamik geplagt. Man unterschied zwischen elektrostatischen, elektromagnetischen und praktischen“ Einheiten, zwischen CGS- (cm-g-s) und MKS- (m-kg-s) Einheiten
”
sowie zwischen rationalen und nichtrationalen Einheiten. Glücklicherweise wurde 1960 das Internationale Einheitensystem (Système International, SI) eingeführt, in dem auch für elektromagnetische Größen die Einheiten eindeutig festgelegt werden. In den meisten Industrieländern ist ihre
Verwendung gesetzlich vorgeschrieben.
In diesem Skript werden ausschließlich SI-Einheiten verwendet. Eine Zusammenstellung der
Definitionen befindet sich im Anhang B. Wer sich mit den alten Einheiten auseinandersetzen
will oder muß, um z.B. ältere Texte verstehen zu können, findet die Definitionen in den alten
Lehrbücher oder auch noch in einigen modernen2 .
2 Z.B.
Horst Hänsel, Werner Neumann, Physik: Elektrizität, Optik, Raum und Zeit, Kap. 8.
4
KAPITEL 1. EINLEITUNG
5
Kapitel 2
Elektrostatik
2.1
Experimentelle Verfahren
Eine einfache Apparatur zur Ladungserzeugung mittels Reibungselektrizität ist der von Volta
erfundene Elektrophor (s. Abb. 2.1): Eine Plexiglasplatte wird mit Seide gerieben. Dadurch wird
isolierender
Griff
Metall
Plexiglas
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + +
(a)
Abbildung 2.1: Der Elektrophor. (a) Mit Seide gerieben wird die Plexiglasplatte positiv geladen. (b) In der Metallplatte trennen
sich die positiven und negativen Ladungen.
(c) Bei Berührung fließen die positiven Ladungen zur Erde. (Eigentlich fließen nur die
Elektronen, s. Text.) (d) Die Metallplatte ist
jetzt negativ geladen.
+ + + + + + + + + +
(b)
-
-
-
-
-
Erde
- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + +
(c)
(d)
+ + + + + + + + + +
die Oberfläche positiv geladen. Eine mit einem isolierenden Griff versehene Metallplatte wird
auf die Plexiglasplatte gelegt. Die positive Ladung der Plexiglasplatte zieht die negativen Ladungen des Metalls an und stößt die positiven Ladungen ab. Es sind aber nur die negativen Ladungen
(Elektronen) beweglich. Die Elektronen bewegen sich auf die untere Oberfläche zu, und es entsteht
dort ein Überschuß an negativer Ladung. Dementsprechend entsteht an der oberen Oberfläche ein
positiver Ladungsüberschuß. Nun wird die Metallplatte durch Berührung der oberen Oberfläche
geerdet. Wenn die positiven Ladungen beweglich wären, würden sie zur Erde fließen. Stattdessen
fließen Elektronen von der Erde zur Platte, was makroskopisch den gleichen Effekt hat. Der Vorgang ist dann abgeschlossen, wenn die negative Oberflächenladung der Metallplatte betragsmäßig
genauso groß ist wie die positive Ladung der Plexiglasplatte, so daß die Kombination insgesamt
neutral ist. Nach Unterbrechung des Kontakts zur Erde wird die Metallplatte von der Plexiglasplatte getrennt. Die negative Ladung verteilt sich wegen der abstoßenden Kräfte über die Oberfläche
der Platte.
6
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Man beachte, daß bei diesem Prozeß die Ladung der Plexiglasplatte nicht verändert wird. (Sie
geht aber mit der Zeit durch Kriechströme“ verloren, besonders bei hoher Luftfeuchtigkeit). Der
”
Vorgang kann also beliebig oft wiederholt werden, solange die Ladung besteht.
Mit dem Elektrophor kann man Ladung auf beliebige Gegenstände bringen und z.B. die Kräfte
zwischen geladenen Körpern messen. Coulomb bestimmte die Kräfte mit Hilfe einer selbst konstruierten Torsionswaage, aber wie konnte er (1785!) die Ladungen messen? Ohne auf die experimentellen Einzelheiten einzugehen, sei hier nur das Prinzip erläutert: Wenn eine Kugel aus einem
leitenden Material geladen wird, verteilt sich die Ladung gleichmäßig über die Oberfläche (wegen
der abstoßenden Kräfte zwischen gleichen Ladungen). Bringen wir nun zwei identische Kugel miteinander in Kontakt, muß sich die Ladung aus Symmetriegründen gleichmäßig auf beide Kugeln
verteilen. Damit haben wir eine Methode, die Ladung einer Kugel zu halbieren: Wir berühren die
geladene mit einer nicht geladenen Kugel und entfernen diese. Auf diese Weise konnte Coulomb
mit verschiedenen Ladungen experimentieren, die in bekannten Verhältnissen zueinander standen.
Ein Instrument, mit dem man elektrostatische Ladungen messen kann, ist das Elektroskop
bzw. Elektrometer, das auf der Abstoßung gleichartiger Ladungen beruht. Abb. 2.2 zeigt zwei
Ausführungen des Elektroskops: das Braunsche Elektroskop und das Blättchenelektroskop. In beiden Fällen ist die Auslenkung von der Übertragenen Ladung abhängig und kann in Ladungseinheiten geeicht werden.
Abbildung 2.2: Zwei Arten von Elektroskopen. Das Braunsche Elektroskop hat einen
leichten, auf Nadelspitzen gelagerten Zeiger, der im ungeladenen Zustand vertikal
hängt, weil der Schwerpunkt knapp unterhalb der Achse liegt. Der Zeiger des
Blättchenelektroskops ist ein extrem dünnes
Metallblättchen, das in einem Glasgehäuse
eingeschlossen ist, um den Einfluß von Luftbewegungen Auszuschließen.
Zeiger
Braunsches Elektroskop
Blättchen
Blättchenelektroskop
Will man die Ladung einer Metallkugel vollständig auf das Elektroskop übertragen, geschieht
dies am einfachsten mit Hilfe des Faraday-Bechers (s. Abb. 2.3). Bringt man eine positiv geladene Kugel in einen geschlossenen Metallbehälter ein, sammelt sich eine gleich große negative Ladung auf der inneren Oberfläche des Behälters. Verbindet man den Becher mit einem Elektroskop,
sammelt sich dort eine entsprechende positive Ladung, die einen Ausschlag des Zeigers bewirkt.
Entfernt man die Kugel, ohne den Becher berührt zu haben, behält sie ihre Ladung, und die Ladungen verteilen sich wieder gleichmäßig zwischen Becher und Elektroskop, so daß der Ausschlag auf
Null zurückgeht. Man kann also die Ladung der Kugel messen, ohne daß die Ladung auf das Elektroskop übertragen wird. Berührt man dagegen den Becher mit der Kugel, neutralisieren sich die
positiven und negativen Ladungen, und es bleibt eine positive Ladung am Elektroskop. In diesem
Fall bleibt der Ausschlag erhalten, wenn die Kugel entfernt wird.
7
2.2. DAS GESETZ VON COULOMB
+
+
+
FaradayBecher
+
+
+ +
+
+
+
-+ +
-+
-+
+
+ +
-
+++-
Elektroskop
Abbildung 2.3: Zur Wirkung des FaradayBechers.
2.2
+ ++
+ +
+
+
+
+
+
Das Gesetz von Coulomb
Die Behauptung, daß Kräfte zwischen zwei Ladungen wirken, reicht als physikalisches Gesetz
noch nicht aus. Der Physiker möchte es genauer wissen: Wie groß ist die Kraft, und in welche
Richtung zeigt sie, in Abhängigkeit von den Ladungsmengen und der Entfernung der Ladungen
voneinander? Wie oben erwähnt, wurde diese Frage durch die Untersuchungen von Priestley, Cavendish und Coulomb im 18. Jahrhundert beantwortet. Die zu der Zeit vorhandenen Erkenntnisse
über statische Elektrizität lassen sich wie folgt zusammenfassen:
– Es gibt zwei Arten von Ladungen, die wir positiv und negativ nennen.
– Ladungen mit dem gleichen Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen
Vorzeichen ziehen sich an.
– Die zwischen zwei Punktladungen wirkende Kraft ist parallel zur Verbindungslinie.
– Die Stärke der Kraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands und proportional
zum Produkt der Ladungen.
– Die Kräftewirkungen mehrerer Ladungen sind additiv (Superpositionsprinzip):
P Die Gesamtkraft, die die Ladungen q1 , q2 , . . . auf eine bestimmt Ladung q ausüben, ist Fi , wo Fi die
Kraft ist, die q spüren würde, wenn nur die beiden Ladungen q und qi vorhanden wären.
– In einigen Substanzen, die als elektrische Leiter bezeichnet werden (z.B. Metalle), können
sich die Ladungen frei bewegen. Stoffe, in denen sich die Ladungen nicht bewegen können
heißen Nichtleiter oder Isolatoren.
Heute wissen wir, daß die elektrische Ladung eine Erhaltungsgröße ist: Die algebraische
Summe aller Ladungen in einem geschlossenen System ist konstant. Ferner ist die Ladung quantisiert : sie kann nur in Mengen übertragen werden, die ein Vielfaches der Elementarladung e sind.
Alle Elementarteilchen haben die Ladung 0, +e oder −e.
Bezeichnen wir die beiden Ladungen mit q1 bzw. q2 und den Abstandsvektor von q1 nach q2
mit r, so ist die Kraft, die auf die Ladung q2 wirkt, nach dem Coulomb-Gesetz durch
q q r
F = k 1 32
(2.1)
r
8
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
gegeben, wo k eine zunächst nicht bestimmte Konstante darstellt. Früher hatte man eine elektrostatische Einheit der Ladung dadurch definiert, daß man für diese Einheit k = 1 setzte. In dem
inzwischen international vereinbarten Einheitensystem (SI = Système International) wird die Ladung über die Einheit der Stromstärke definiert, die wiederum durch die Kraft zwischen Strömen
festgelegt wird. Die SI-Einheit der Ladung wurde nach Coulomb benannt (Symbol: C) und ist
gleich 1 Ampere-Sekunde (1 C = 1 As).
Die Konstante k in Gleichung (2.1) ist über die Beziehung k = 1/4π◦ mit einer anderen Größe
◦ , die sog. Influenzkonstante, verknüpft, deren Bedeutung wir später kennenlernen werden. Diese
Konstante ist wiederum durch
◦ = 1/µ◦ c2
gegeben, wo c die Lichtgeschwindigkeit und µ◦ die Permeabilität des Vakuums“ bedeuten. Der
”
Wert von c ist durch die Definition der Längeneinheit (siehe Mechanikskript, Kapitel 1) mit c =
299792458 m s−1 festgelegt. Ferner ist, wie wir später sehen werden, der Wert von µ◦ durch die
Definition des Ampere festgelegt (4π · 10−7 N A−2 ). Deshalb ist auch ◦ festgelegt:
◦ = 107 /4π c2 = 8,854187817 . . . · 10−12 C2 N−1 m−2 .
Damit lautet das Coulomb-Gesetz in SI-Einheiten:
q q r
F = 1 2 3.
4π ◦ r
(2.2)
Frage 2.1 Die Coulomb-Gleichung (2.2) ist formal identisch mit dem Gravitationsgesetz.
Vergleichen Sie die elektrostatische Kraft mit der Gravitationskraft zwischen zwei Protonen
(Masse= 1,67 · 10−27 kg, Ladung= 1,60 · 10−19 C). Sie werden dann verstehen, warum die
Gravitationskraft keine Rolle in der Atomphysik spielt.
Die Kraft zwischen zwei Ladungen von 1 C in einem Abstand von 1 m beträgt rd. 1010 N. Für
die Elektrostatik ist 1 C also eine unpraktisch große Einheit. Die Elementarladung e ist 1,602 ·
10−19 C. Die Ladung von L = 6,03 · 1023 Elektronen (1 mol) nennt man die Faraday-Konstante;
sie beträgt 9,648 · 104 C.
Um die Coulomb-Gleichung noch etwas zu verallgemeinern, bezeichnen wir die Ortsvektoren
der beiden Ladungen mit r1 bzw. r2 . Der Verbindungsvektor ist dann r = r2 − r1 , und wir erhalten
aus (2.2)
q q (r − r1 )
F = 1 2 2
.
(2.3)
4π ◦ |r2 − r1 |3
Mit mehr als 2 Ladungen erfährt jede Ladung einer Kraft von den übrigen Ladungen. Erfahrung
hat gezeigt, daß diese Kräfte sich einfach vektoriell addieren: Die von einer Ladung ausgeübte
Kraft ist unabhängig von den anderen (Superpositionsprinzip ). Die auf die Ladung q am Ort r
durch die Ladungen q1 , q2 , . . . qN ausgeübte Kraft ist damit
N
X
qi q(r − ri )
F (r) =
.
4π◦ |r − ri |3
(2.4)
i=1
Manchmal ist es nützlich, nicht individuelle Punktladungen sondern eine kontinuierliche Ladungsdichte ρ zu betrachten: ρ(r)dxdydz = ρ(r)dV ist die in dem am Ort r befindlichen Volumenelement dV enthaltene Ladung. Die Kraft, die eine kontinuierliche Ladungsverteilung auf eine
Punktladung q am Ort r ausübt, ist
Z
qρ(r 0 )(r − r 0 ) 0
F (r) =
dV .
(2.5)
0 3
V 4π◦ |r − r |
9
2.3. DAS ELEKTRISCHE FELD
2.3
Das elektrische Feld
Gleichung (2.4) läßt sich wie folgt umschreiben:
N
X
qi (r − ri )
F = q.
= qE(r).
4π ◦ |r − ri |3
i=1
Die Vektorgröße E(r) ist eine Eigenschaft des Raums, die durch die Anwesenheit der Ladungen
q1 , q2 , . . . qN bestimmt wird, und heißt das elektrische Feld der Ladungen. Der Wert des elektrischen Feldes an der Stelle r läßt sich dadurch bestimmen, daß man eine Probeladung“ an den
”
Ort bringt und die Kraft mißt. Die Kraft entspricht immer dem Produkt aus der Feldstärke und der
Ladung.
Es ist oft sehr anschaulich, ein elektrisches Feld durch sog. Feldlinien darzustellen. Eine Feldlinie kann als die Bahn einer Probeladung betrachtet werden, die sich langsam in Richtung des elektrischen Feldes bewegt. Feldlinien beginnen immer an positiven Ladungen (Quellen) und enden
an negativen Ladungen (Senken). Die Feldlinien einer isolierten Punktladung q sind einfach Geraden, die sich strahlenförmig von der Ladung divergieren. Die Anzahl der Feldlinien ist natürlich
unendlich, aber wenn wir uns eine endliche Zahl N symmetrisch angeordneter Linien vorstellen,
so wird jede Kugelfläche um q durch genau N Linien geschnitten. Die Dichte der Linien (Anzahl
pro m2 ) ist deshalb umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung und somit proportional
zur Feldstärke. Allgemein gilt: Dort, wo die Feldlinien dicht beieinander liegen, ist die Feldstärke.
Mit diesem Computerexperiment:
http://www.Colorado.EDU/physics/2000/applets/nforcefield.html
können Sie elektrische Felder mit Hilfe von Probeladungen untersuchen.
Analog zu den Gleichungen (2.4) und (2.5) gilt für das elektrische Feld einer Ansammlung von
Punktladungen
N
X
qi (r − ri )
E(r) =
.
(2.6)
4π◦ |r − ri |3
i=1
und für eine kontinuierliche Ladungsdichteverteilung ρ(r)
Z
ρ(r 0 )(r − r 0 ) 0
E(r) =
dV .
0 3
V 4π ◦ |r − r |
2.4
(2.7)
Arbeit und Potential
Wenn wir eine Punktladung q 0 im Feld der Ladung q bewegen, wird Arbeit geleistet. Nehmen
wir an, daß die Ladung q am Ursprung des Koordinatensystems sitzt. Wenn sich die Ladung q 0 an
der Stelle r befindet, ist die von q ausgeübte Kraft durch
F =
qq 0 r
4π◦ r 3
10
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
gegeben. Verschiebt man die Ladung q 0 um die Strecke dr ist die dafür erforderliche Arbeit
dW = −
qq 0 r.dr
.
4π ◦ r 3
Man kann aber leicht zeigen, daß r.dr = rdr ist, und damit
dW = −
qq 0 dr
.
4π ◦ r 2
Die Arbeit hängt also nur von der Änderung im Betrag von r ab. Der physikalische Grund hierfür
ist die Tatsache, daß die Kraft überall radial ist: Tangentiale Bewegungen erfordern also keine
Arbeit.
Frage 2.2 Beweisen Sie die behauptete Äquivalenz von r.dr und rdr.
Wird die Ladung q 0 von r1 nach r2 bewegt, ist die geleistete Arbeit
Z r
2 dr
qq 0
1
qq 0
1
W =−
−
.
=
4π ◦ r1 r 2
4π◦ r2 r1
Die geleistete Arbeit ist also unabhängig vom Weg und hängt nur von den Anfangs- und Endpositionen ab. Diese Behauptung haben wir zwar nur für den Spezialfall einer Punktladung bewiesen;
aufgrund des oben diskutierten Superpositionsprinzips gilt sie aber für ein beliebiges elektrostatisches Feld. Wie wir im Mechanikkurs gelernt haben, hat auch das Gravitationsfeld diese Eigenschaft. Dort haben wir den Begriff potentielle Energie eingeführt: Die geleistete Arbeit ist gleich
der Differenz in potentieller Energie. Dementsprechend ist die potentielle Energie der Ladung q 0
im Feld der Ladung q durch
qq 0
+ Konst.
Ep =
4π ◦ r
gegeben. Die willkürliche Festlegung Ep → 0 für r → ∞ ergibt die einfache Form
Ep =
qq 0
4π◦ r
für die potentielle Energie.
Bei der Einführung des elektrischen Feldes haben wir festgestellt, daß die auf eine Probe”
ladung“ q 0 wirkende Kraft gleich dem Produkt dieser Ladung mit einer Vektoreigenschaft des
Raums, dem elektrischen Feld E, ist. Die letzte Gleichung zeigt, daß die potentielle Energie einer Probeladung q 0 gleich dem Produkt von q 0 mit einer skalaren Eigenschaft des Raums ist. Diese
skalare Eigenschaft wird als elektrostatisches Potential bezeichnet. Das elektrostatische Potential
einer Punktladung q, die sich am Ursprung des Koordinatensystems befindet, ist daher
φ(r) =
q
.
4π◦ r
Da das Potential nur bis auf eine willkürliche Konstante definiert ist, läßt sich der absolute
Wert des Potentials nicht bestimmen; wir können nur Potentialdifferenzen messen. Eine Potentialdifferenz wird auch als Spannung bezeichnet. Die Einheit der Spannung wird nach Alessandro
VoltaVolt (V) genannt:
1 V = 1 J C−1 .
2.5. WIRBELFREIHEIT UND QUELLENSTÄRKE DES ELEKTROSTATISCHEN FELDES11
Frage 2.3 Was sind die Einheiten des elektrischen Feldes?
Das Superpositionsprinzip gilt für das Potential genauso wie für das Feld. Haben wir eine Reihe
von N Punktladungen q1 , q2 , . . . an den Stellen r1 , r2 , . . ., ist das elektrostatische Potential an der
Stelle r durch
N
1 X qi
φ(r) =
(2.8)
4π◦
|ri − r|
i=1
gegeben. Für eine kontinuierliche Ladungsdichteverteilung erhalten wir
Z
1
ρ(r 0 )dV 0
φ(r) =
.
4π◦ V |r 0 − r|
(2.9)
Frage 2.4 Schätzen Sie die Größenordnung der Ladungen, die durch einfache Versuche mit
Reibungselektrizität erzeugt werden können.
In der Atomphysik, wo die elektrostatische Wechselwirkung eine wichtige Rolle spielt, wird
Energie oft in Elektronenvolt (eV) angegeben: 1 eV ist die Energie, die benötigt wird, um eine
Elementarladung e durch eine Potentialdifferenz von 1 V zu bewegen. Da die Elementarladung
e = 1,60217733 · 10−19 C.
beträgt, gilt
1 eV = 1,60217733 · 10−19 J.
Frage 2.5 Nach dem Bohrschen Atommodell besteht das Wasserstoffatom im Grundzustand aus einem Proton (Ladung +e) und einem Elektron (Ladung −e), das sich auf einem
Kreisförmigen Bahn (Radius a◦ ) um das Proton bewegt. Um das Elektron vom Proton zu entfernen, benötigt man eine Energie von mindestens 13,6 eV. Berechnen Sie daraus den Bohrschen Radius a◦ .
2.5
Wirbelfreiheit und Quellenstärke des
elektrostatischen Feldes
In diesem Abschnitt wollen wir einige wichtige mathematische Eigenschaften elektrostatischer
Felder und Potentiale untersuchen.
Für eine bewegte Ladung q gilt für die Arbeit W :
dW = qdφ = −qE.dr.
Für das Differential dφ gilt also
dφ = −E.dr
bzw. in Komponentenschreibweise
3
3
X
X
∂φ
dx = −
Ei dxi .
∂xi i
i=1
i=1
Daraus folgt
Ei = −
bzw. in der Schreibweise der Vektoranalysis:
∂φ
∂xi
12
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
E = −∇φ = − grad φ.
(2.10)
Das elektrostatische Feld ist also gleich dem negativen Gradienten des Potentials. (Dies entspricht der Tatsache, daß die Kraft gleich dem negativen Gradienten der potentiellen Energie
ist). In 2 Dimensionen könnte man sich das Potential als Hügellandschaft“ vorstellen: Die
”
Höhenlinien verbinden Orte mit dem gleichen Potential, und die Feldlinien verlaufen senkrecht
zu den Höhenlinien. In 3 Dimension bilden die Orte gleichen Potentials jeweils eine Fläche, und
die Feldlinien sind überall senkrecht zu den Potentialflächen. Ein einfaches Beispiel: Für eine
Punktladung sind die Potentialflächen Kugeln und die Feldlinien sind von der Ladung ausgehende
Radien.
Bewegen wir eine Ladung auf einem geschlossen Weg zurück zum Ausgangspunkt, ist die
geleistete Arbeit immer Null, da sich die potentielle Energie nicht geändert hat. Für das elektrische
Feld bedeutet das, daß das Linienintegral um einen beliebigen geschlossenen Weg 0 immer Null
ist:
I
E.dr = 0.
0
Mit Hilfe des Satzes von
Stokes1
können wir das Linienintegral in ein Flächenintegral umformen:
I
Z
E.dr = (∇ × E).df = 0,
0
6
wo 6 eine beliebige von 0 begrenzte Fläche ist, und df das Flächenelement. Da diese Beziehung
für jede Wahl von 0 und 6 gilt, folgt zwangsläufig die Wirbelfreiheit des elektrostatischen
Feldes:
∇ × E = rot E = 0.
(2.11)
Die Wirbelfreiheit folgt auch aus der Beziehung E = −∇φ, da für jedes skalare Feld f ∇ × (∇f )
identisch gleich 0 ist. Jedes Vektorfeld, das als Gradient eines skalaren Feldes dargestellt werden
kann, ist wirbelfrei.
Eine sehr nützliche Beziehung erhalten wir, wenn wir das elektrische Feld über eine geschlossen Fläche integrieren. Betrachten wir zunächst wieder den einfachen Fall einer Punktladung q am
Ursprung und einer geschlossen Fläche 6, die die Ladung einschließt (s. Abb. 2.4(a)). Wir wollen
nun das Integral
Z
Z
q
r.df
E.df =
4π◦ 6 r 3
6
berechnen. Den Term r.df /r 3 können wir als df cos α/r 2 schreiben, wo α der Winkel zwischen
dem Radiusvektor r und der Flächennormalen df ist. Der zweite Ausdruck läßt sich wie folgt
interpretieren: Wir projizieren das Flächenelement df auf eine zu r senkrecht stehenden Ebene
und dividieren durch r 2 . Dies ist nichts anderes als der Raumwinkel (d) des Flächenelements df
bezogen auf den Ursprung (Abb. 2.4(b)). Es gilt also:
Z
Z
q
E.df =
d.
4π◦ 6
6
Das Integral über den Raumwinkel hat aber den Wert 4π, wenn der Ursprung innerhalb der Fläche
ist (Abb. 2.4(a)), sonst 0 (Abb. 2.4(c)). Es gilt also
Z
q/◦ q innerhalb 6
E.df =
0
q außerhalb 6.
6
1 S.
z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 580.
2.5. WIRBELFREIHEIT UND QUELLENSTÄRKE DES ELEKTROSTATISCHEN FELDES13
Nun können wir das Superpositionsprinzip wieder anwenden und das Ergebnis verallgemeinern:
Z
X
E.df =
qi /◦ ,
(2.12)
6
i
wo die Summe über alle Ladungen geht, die sich innerhalb der Fläche befinden. Dies ist der Satz
von Gauß2 .
Σ
df
E
Σ
E
df
r
r
α
q O
Abbildung 2.4: Der Satz von Gauß. (a) Integral des elektrischen Feldes über eine Fläche
6, die die Ladung q einschließt. (b) Zur Definition des Raumwinkels. (c) Integral des
elektrischen Feldes über eine Fläche 6, die
die Ladung q ausschließt.
r
df
qO
(a)
(c)
O
(b)
Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(r) nimmt der Satz von Gauß folgende Form an:
Z
Z
1
E.df =
ρ(r)dV ,
◦ V
6
wo V das von der Fläche 6 begrenzte Volumen ist. Ein anderer (mathematischer) Satz von Gauß3
besagt, daß man das Flächenintegral wie folgt umformen kann:
Z
Z
E.df =
∇.EdV .
6
V
Daraus folgt die differentielle Form des Gaußschen Satzes:
∇.E = div E = ρ/◦ .
(2.13)
Die Quellenstärke des elektrischen Feldes ist also proportional zur Ladungsdichte.
Aufgrund der Beziehung E = −∇φ folgt für φ die sog. Poisson-Gleichung:
∇ 2 φ = −ρ/◦ .
(2.14)
In einem elektrischen Leiter (z.B. Metall) können sich die Ladungsträger frei bewegen. Solange
ein elektrisches Feld innerhalb des Leiters existiert, werden die Ladungen in Richtung des Feldes
bewegt. Sie können sich aber nur bis zur Oberfläche bewegen. Dort sammeln sich positive bzw.
negative Ladungsüberschüsse, die ein Gegenfeld erzeugen. Die Bewegung der Ladung hört erst
dann auf, wenn das externe Feld durch das Gegenfeld vollständig kompensiert ist. Dies bedeutet,
daß im elektrostatischen Fall (keine Ströme) innerhalb eines Leiters
2 Karl
3 S.
Friedrich Gauß (1777–1855).
z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 578.
14
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
– das Feld E = 0 und
– das Potential φ = konstant ist.
Außerhalb des Metalls (in der Luft bzw. im Vakuum) kann ein elektrisches Feld existieren. Da
die Oberfläche eine Fläche konstanten Potentials ist, sind die Feldlinien überall an der Oberfläche
senkrecht zur Fläche.
2.6
Beispiele
Die meisten elektrostatischen Probleme gehören zu einem von zwei Typen:
1. Gegeben ist eine bestimmte Verteilung von Ladungen im Raum. Das elektrostatische Potentialläßt sich dann aus (2.8) bzw. (2.9) bestimmen, das elektrische Feld dann aus (2.10).
Alternativ kann das Feld direkt aus (2.6) bzw. (2.7) bestimmt werden. In Fällen mit besonderer Symmetrie ist es oft möglich, wie wir an einigen Beispielen sehen werden, eine
umständliche Integration durch Anwendung des Gaußschen Satzes zu vermeiden.
2. Gegeben ist ein bestimmte Anordnung von Elektroden (elektrische Leiter) mit gegebenen
Potentialen. Die Aufgabe besteht darin, die Gleichung (2.14) mit ρ = 0, d.h.
∇ 2φ = 0
(2.15)
(die sog. Laplace-Gleichung) mit den gegebenen Randbedingungen zu lösen.
Im folgenden werden einige einfache Beispiele erläutert.
2.6.1
Gleichgewicht
Ist es möglich, z.B. durch eine bestimmte Anordnung von Elektroden oder Ladungen, ein elektrostatisches Feld im Vakuum so zu gestalten, daß es für eine Ladung q ein stabiles, dreidimensionales Gleichgewicht gibt? Diese Frage läßt sich eindeutig verneinen.
Ein stabiles Gleichgewicht bedeutet ein Minimum in der potentiellen Energie und deshalb auch
im elektrostatischen Potential, d.h.
∂φ
=0
∂xi
und
∂ 2φ
> 0,
∂xi 2
(i = 1, 2, 3). Wenn aber die zweiten Ableitungen alle positiv sind, ist es nicht mehr möglich,
Gleichung (2.15) zu erfüllen. Es gibt also keine Lösung mit einem dreidimensionalen Minimum.
2.6.2 Der Faradaysche Käfig
Wenn man einen Raum mit einer elektrisch leitenden Schicht (z.B. einer Metallfolie) auskleidet, ist der Raum von den elektrischen Feldern aller Ladungen, die sich außerhalb des Raumes befinden, völlig abgeschirmt. Für viele Zwecke, z.B. wenn man einen begrenzten Bereich in einem
Labor abschirmen aber gleichzeitig beobachten möchte, genügt ein Käfig“ aus einem Drahtge”
flecht.
Um zu verstehen, wie ein sog. Faradayscher Käfig funktioniert, betrachten wir in Abb. 2.5
einen Hohlraum innerhalb eines metallischen Festkörpers. Wenn wir das Gaußsche Integral über
15
2.6. BEISPIELE
Metall
Σ1
Σ2
+
+
+
-
+
-
-
+
-
Abbildung 2.5: Zur Wirkungsweise des Faradayschen Käfigs. (a) Hohlraum in einem
Metall ohne Ladungen. (b) Der gleiche
Hohlraum mit Ladung. In beiden Fällen ergibt das Gaußsche Integral über die Fläche
61 Null. Dagegen ist das Gaußsche Integral
über die Fläche 62 im Fall (b) verschieden
von Null.
+
-
+
+
(a)
+
(b)
eine Fläche 61 ausrechnen, die vollständig innerhalb des Metalls liegt, ist das Ergebnis immer 0,
d.h.
Z
Edf = 0,
61
weil E überall auf der Fläche 0 ist. Dies bedeutet nach dem Satz von Gauß, daß die Summe über
alle Ladungen innerhalb der Fläche 61 gleich 0 sein muß. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Im Hohlraum befinden sich keine Ladungen (Abb. 2.5(a)). In diesem Fall verschwindet das
elektrische Feld wie im Metall auch im Hohlraum.
2. Es befinden sich Ladungen im Hohlraum (Abb. 2.5(b)). Jede Ladung q im Hohlraum induziert eine negative Ladung auf der inneren Oberfläche des Metalls. Da die Summe der Ladungen innerhalb der Fläche 61 immer noch gleich Null sein muß (Gauß), hat die induzierte
Ladung genau den Wert −q. Gleichzeitig erscheint eine Ladung +q auf der Außenfläche
des Metalls.
In beiden Fällen ist das elektrische Feld innerhalb des Hohlraums unabhängig von irgendwelchen
Ladungen, die sich außerhalb des Metalls befinden.
Es sollte betont werden, daß ein Faradayscher Käfig die Ladungen, die sich innerhalb des
Käfigs befinden, nicht nach außen hin abschirmt. In der in der Abb. 2.5(b) dargestellten Situation
sind die auf der Außenfläche induzierten Ladungen Quellen von Feldlinien. Innerhalb der Fläche
62 , die sich außerhalb des Metalls befindet, ist die Nettoladung gleich q, d.h. es gilt
Z
Edf = q/◦ ,
62
und das Feld ist nicht 0.
2.6.3
Linienladung
Wir berechnen das elektrostatische Feld einer Ladung, die gleichmäßig auf einer unendlich
langen Geraden verteilt ist. Dieses Problem läßt sich am einfachsten durch Anwendung von Symmetrieüberlegungen zusammen mit den Satz von Gauß lösen: Da die Anordnung zylindrische Symmetrie besitzt, muß das elektrische Feld überall radial sein. Es bleibt nur, den betrag des Feldes in
Abhängigkeit von der Entfernung r zu bestimmen.
16
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Dazu betrachten wir einen Zylinder mit dem Radius r und der Länge l, dessen Achse mit der
Linienladung übereinstimmt. Die lineare Ladungsdichte (Ladung pro Länge) sei λ. Das elektrische
Feld ist senkrecht zur Zylinderfläche und hat auf dieser Fläche überall den gleichen Wert E(r). Das
Gaußsche Integral des elektrischen Feldes über die Fläche des Zylinders läßt sich daher einfach als
Produkt der gesuchten Feldstärke E(r) mit der Fläche 2πrl. (Die Endfläche des Zylinders machen
keinen Beitrag zu diesem Integral, weil das Feld parallel zu diesen Flächen verläuft). Anwendung
des Gaußschen Satzes (2.12) ergibt
Z
E.df = 2πrlE = λl/◦ ,
und
E = λ/(2π ◦ r).
Das elektrostatische Potential ergibt sich durch Integration des Feldes:
φ(r) =
−λ
ln(r) + C.
2π◦
In diesem Fall kann man die Integrationskonstante nicht so wählen, daß φ → 0 für r → ∞ geht.
In der Praxis gibt es aber keine unendlich langen Linienladungen. Die obige Lösung gilt in guter
Näherung für eine endlich lange Linienladung, wenn die Entfernung r klein im Vergleich mit der
Länge ist.
Frage 2.6 Zeigen Sie, daß für eine endliche Linienladung die Bedingung φ → 0 für r → ∞
erfüllt werden kann.
2.6.4 Flächenladungen: der Kondensator
Als nächstes Beispiel betrachten wir eine Flächenladung, d.h. eine Ladung, die gleich-mäßig über eine unendliche Ebene verteilt ist. Aus Symmetrieüberlegungen folgt, daß die Feldlinien
senkrecht zur Ebene sein müssen. Damit sind die Feldlinien parallel zueinander, was wiederum
bedeutet, daß die Feldstärke im ganzen Raum konstant ist: Es handelt sich um ein homogenes
elektrisches Feld. (Die Felder auf beiden Seiten der Ebene unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen).
Eine einfache Anwendung des Gaußschen Satzes zeigt, daß die Feldstärke E durch
E=
σ
2◦
(2.16)
gegeben ist, wo σ die Ladung pro Flächeneinheit ist.
Frage 2.7 Wählen Sie eine geeignete Gauß-Fläche“, um die Gleichung (2.16) abzuleiten.
”
Ein für die Praxis wichtiges Ergebnis erhalten wir, wenn wir zwei parallele Flächenladungen mit dem gleichen Betrag σ aber unterschiedlichen Vorzeichen betrachten (Abb. 2.6). Jede
Flächenladung macht einen Beitrag +E oder −E zum Feld, wo E durch (2.16) gegeben ist. Die
beiden Ebenen teilen den Raum in drei Bereiche: In den Bereichen I (links von beiden Flächen) und
III (rechts von beiden Flächen) haben die Beiträge der beiden Flächenladungen unterschiedliche
Vorzeichen und heben sich auf. Im Bereich II (zwischen den Ebenen) addieren sich die Beiträge zu
17
2.6. BEISPIELE
Bereich I
+σ Bereich II
−σ Bereich III
-E
+E
+E
+E
+E
-E
d
Abbildung 2.6: Das Feld zweier Flächenladungen mit dem gleichen Betrag σ aber unterschiedlichen Vorzeichen. (Plattenkondensator ).
Spannung
U
einem Gesamtfeld, das doppelt so groß wie der Einzelbeitrag ist. Für das Feld der Doppelschicht
gilt daher
σ/◦ zwischen den Platten
E=
(2.17)
0
im übrigen Raum.
Ist d der Abstand zwischen den Ebenen, so ist die Spannung (Potentialdifferenz)
U = 1φ = σ d/◦ .
Eine Kombination aus zwei Leitern, die den gleichen Ladungsbetrag mit unterschiedlichen Vorzeichen tragen, wird als Kondensator bezeichnet. Ein Kondensator ist also insgesamt ladungsneutral, speichert aber Energie, wie wir später sehen werden. Die einfachste Form eines Kondensators
ist der Plattenkondensator, bestehend aus zwei parallelen Metallplatten. Das Feld eines Plattenkondensators ist näherungsweise durch (2.17) gegeben. Abweichungen gibt es aber im Randbereich,
weil Gleichung (2.17) nur für unendliche Ebenen gilt, während ein realer Kondensator notwendigerweise endlich ist. Wenn der Plattenabstand d viel kleiner als die seitlichen Abmessungen ist,
können wir die Randeffekte vernachlässigen. Die Spannung zwischen den Platten eines Kondensators, der die Ladung ±Q auf einer Fläche A trägt, ist damit
U=
Qd
.
◦ A
Die Spannung ist also proportional zur Ladung, und das Verhältnis Ladung/Spannung wird als
Kapazität bezeichnet. Die Kapazität eines Plattenkondensators mit der Fläche A und dem Abstand
d ist also
A
C= ◦
(2.18)
d
Die Einheit der Kapazität wird nach Michael Faraday Farad (F) genannt:
1 F = 1 C V−1 .
Zur Frage der gespeicherten Energie kommen wir später zurück (Abschnitt 2.10).
Frage 2.8 Mit welcher Kraft ziehen sich die beiden Platten eines Kondensators an?
18
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
2.6.5
Kugelsymmetrische Ladungsverteilung
Wir betrachten eine Ladungsverteilung, die kugelsymmetrisch um den Ursprung ist, d.h. die
Ladungsdichte ρ ist nur vom Betrag r abhängig. Aus Symmetriegründen muß das elektrische Feld
radial und richtungsunabhängig sein, wie das Feld einer Punktladung. Die Feldstärke in einer Entfernung r vom Ursprung ergibt sich direkt aus dem Gaußschen Gesetz:
Z
E.df = 4π r 2 E = Q/◦ ,
wo Q die Gesamtladung innerhalb der Kugelfläche ist. Das Feld ist also
E=
Q
4π◦ r 2 .
Das elektrische Feld einer kugelsymmetrischen Ladung in einer Entfernung r vom Mittelpunkt ist das gleiche, als ob sich die gesamte innerhalb der Entfernung r befindliche
Ladung am Mittelpunkt wäre.
Ein einfaches Beispiel: Eine leitende Kugel (Radius R) trage die Ladung Q. Wenn wir den
Mittelpunkt der Kugel als Ursprung wählen, ist das elektrische Feld
Q/(4π◦ r 2 ) (r ≥ R)
E=
(2.19)
0
(r ≤ R)
Die Feldstärke an der Kugeloberfläche (r = R) ist damit Q/(4π◦ R 2 ) und steigt bei gleichbleibender Ladung mit kleiner werdendem Kugelradius immer stärker an. Allgemein gilt für einen
geladenen Leiter, daß die Feldstärke an den Stellen besonders hoch ist, wo die Oberfläche eine
starke Krümmung aufweist, z.B. an Spitzen. Die Feldstärke kann so groß sein, daß die Luft in
unmittelbarer Nähe der Spitze durch Stoßionisation (s. Abschnitt 3.2.4) leitend wird, was zur Entladung des Leiters führt. Die Entladung wird oft von einer schwachen Leuchterscheinung, der sog.
Korona, begleitet. Man spricht daher von Korona-Entladung oder Spitzenentladung.
Der sog. Blitzableiter“, den man an vielen Gebäuden findet, sollte eigentlich Blitzverhinde”
”
rer“ heißen: Seine Aufgabe ist es, das elektrische Feld in der Nähe des Gebäudes durch Spitzenentladung abzubauen, bevor es zum Blitzeinschlag kommt.
2.6.6
Leitende Kugel im E-Feld
Als Beispiel für ein Problem, bei dem die Ladungsverteilung zunächst nicht bekannt ist, betrachten wir eine Kugel aus leitendem Material, die sich in einem sonst homogenen Feld befindet.
Um das Potential φ(r) außerhalb der Kugel zu bestimmen, müssen wir die Laplace-Gleichung
∇ 2φ = 0
lösen. Aber wie lauten die Randbedingungen?
Durch das elektrische Feld entsteht eine Ladungsverteilung auf der Kugeloberfläche, die das
örtliche Feld modifiziert. In einer großen Entfernung von der Kugel haben wir aber noch das ungestörte Feld (E◦ ). Nehmen wir den Mittelpunkt der Kugel (Radius R) als Ursprung des Koordinatensystems und die Feldrichtung als x3 -Achse. Wenn wir auch noch den Ursprung als Nullpunkt
19
2.6. BEISPIELE
des Potentials wählen, ist das ungestörte Potential gleich −E◦ x3 = −E◦ r cos θ . Ferner ist das
Potential der Kugel = 0. Die Randbedingungen sind also
φ = 0 für r = R
φ → −E◦ r cos θ für r → ∞.
Zur allgemeinen Lösung der Laplace-Gleichung sei auf die Mathematik-Literatur4 verwiesen. Die
Lösung des vorliegenden Falls ist, wie man leicht nachprüfen kann,
" #
R 3
φ = E◦ r cos θ
−1 .
(2.20)
r
Die Ladungsverteilung auf der Kugeloberfläche läßt sich durch folgende Überlegung bestimmen: Die Feldlinien schneiden die Kugeloberfläche senkrecht. In einer sehr kleinen Entfernung
von der Oberfläche ist die Situation die gleiche wie in der Nähe einer Platte des Kondensators:
Man hat eine bestimmte (lokale) Ladungsdichte σ auf der Oberfläche und ein einseitiges elektrisches Feld. Wir erwarten also die gleiche Beziehung zwischen σ und E, nämlich σ = ◦ E. In
diesem Fall erhalten wir das lokale Feld durch die radiale Ableitung von φ:
∂ σ = −◦
φ(r, θ) = 3◦ E◦ cos θ.
∂r r=R
2.6.7 Der elektrische Dipol
Potential und Feld eines Dipols
Ein Paar von Ladungen +q und −q in einem Abstand a nennt man einen Dipol. Das Produkt
des Ladungsbetrags mit dem Abstandsvektor (von −q nach +q) wird als Dipolmoment bezeichnet:
p = qa.
Wir berechnen zunächst das elektrische Potential eines Dipols, dessen Mittelpunkt sich am Ursprung des Koordinatensystems befindet. Da das Problem rotationssymmetrisch ist, verwenden
wir Polarkoordinaten und wählen die Richtung von a als x3 -Achse (Abb. 2.7). Das Potential am
Punkt P (r, θ) ist
q
1 1
−
,
φ=
4π◦ s
t
wo s und t die Entfernungen des Punktes P von der positiven bzw. der negativen Ladung sind. Aus
dem Kosinussatz folgt
s 2 = r 2 + a 2 /4 − ra cos θ, und
t 2 = r 2 + a 2 /4 + ra cos θ.
Das Potential als Funktion von r und θ ist damit
"
−1/2 −1/2 #
q
a2
a2
a
a
φ=
1 + 2 − cos θ
− 1 + 2 + cos θ
.
4π◦ r
r
r
4r
4r
4 Z.B.
I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik 3.3.2.3.
20
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
x3
P
s
+q
r
t
a/ 2 θ
a/ 2
-q
Abbildung 2.7: Zur Berechnung des elektrostatischen Potentials eines Dipols.
Eine für viele Fälle nützliche Näherung erhalten wir für r a. In diesem Fall gilt 1 + a 2 /4r 2 ≈ 1
und
(1 ± (a/r) cos θ )−1/2 ≈ 1 ∓ (a/2r) cos θ.
Im Bereich dieser Näherung erhalten wir für das Potential des Dipols
qa cos θ
.
4π ◦ r 2
φ=
(2.21)
Wenn wir (2.21) mit (2.20) vergleichen, sehen wir, daß das Potential der leitenden Kugel als
Überlagerung des ungestörten Potentials mit dem Potential eines punktförmigen Dipols, der sich
im Mittelpunkt der Kugel befindet, betrachtet werden kann. Das effektive Dipolmoment ist
p = 4π◦ R 3 E◦ .
Gleichung (2.21) können wir mit Hilfe der Vektorrechnung verallgemeinern. Es gilt nämlich
p.r = qar cos θ
und damit
φ=
p.r
.
4π ◦ r 3
(2.22)
Abb. 2.8 zeigt einen Schnitt durch die Flächen konstanten Potentials eines Dipols.
Das elektrische Feld eines Dipols erhalten wir aus der Beziehung E = −∇φ. Mit Hilfe der
leicht zu überprüfenden Beziehungen ∇(a.r) = a und ∇r n = nr n−2 r erhält man aus (2.22)
1
E=−
4π ◦
p
3(p.r)r
−
r3
r5
.
(2.23)
Das Feld setzt sich zusammen aus einem Beitrag parallel zu −p mit dem Betrag p/(4π◦ r 3 ) und
einem radialen Beitrag mit dem Betrag 3p cos θ/(4π◦ r 3 ).
21
2.6. BEISPIELE
Abbildung 2.8: Die Flächen konstanten Potentials eines Dipols.
Wechselwirkung eines Dipols mit einem elektrostatischen Feld
In einem homogenen elektrischen Feld E wirken auf einen Dipol die Kräfte qE und −qE. Die
resultierende Kraft ist daher Null, aber die Angriffspunkte der Kräfte unterscheiden sich durch den
Vektor a, so daß ein Drehmoment
M = qa × E = p × E
(2.24)
entsteht. Der Betrag des Drehmoments ist proportional zum Sinus des Winkels (α) zwischen p
und E und verschwindet deshalb, wenn p parallel zu E ist. Dipole haben also die Tendenz, sich
parallel zum Feld anzuordnen. Die potentielle Energie in Abhängigkeit vom Winkel α ist
Z
Ep = − Mdα = −pE cos α + Konst.
Wählen wir α = π/2 für den Nullpunkt der Energie, ist
Ep = −pE cos α = −p.E
(2.25)
In einem inhomogenen elektrischen Feld erfährt der Dipol eine resultierende Kraft. Wir berechnen
zunächst die x1 -Komponente: Wenn die x1 -Komponente des elektrischen Feldes den Wert E1 am
Ort der Ladung −q hat, ist der Wert am Ort der Ladung +q
E1 + δE1 = E1 + a1
∂E1
∂E1
∂E1
+ a2
+ a3
.
∂x1
∂x2
∂x3
Die resultierende x1 -Komponente der Kraft ist
F1 = qδE1 =
3
X
i=1
pi
∂E1
∂xi
Die anderen Komponenten lassen sich analog bestimmen, d.h.
Fk =
3
X
i=1
pi
∂Ek
∂xi
(k = 1, 2, 3).
(2.26)
22
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Aufgrund der Beziehung Ei = −
∂φ
(φ = Potential) ist
∂xi
∂Ej
∂Ei
∂ 2φ
∂ 2φ
=−
=−
=
,
∂xj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
∂xi
d.h., die sechs Ableitungen der Feldkomponenten bilden eine symmetrische Matrix. Dementsprechend läßt sich Gleichung (2.26) auch in folgender Form schreiben:
Fk =
3
X
pi
i=1
∂Ei
∂xk
(k = 1, 2, 3).
(2.27)
Frage 2.9 Zeigen Sie, daß es nicht möglich ist, ein elektrostatisches Feld mit folgenden
Eigenschaften zu erzeugen:
1. Die Feldlinien sind alle gerade, parallel zur x1 -Achse, d.h. E2 = E3 = 0.
∂E1
2. Die Feldstärke variiert in x2 -Richtung, d.h.
6= 0.
∂x2
Wechselwirkung zwischen 2 Dipolen
In diesem Abschnitt wollen wir die Kräfte und Drehmomente bestimmen, die zwischen zwei
Dipolen p, p 0 wirken. Der Vektor von p nach p 0 sei r. Wir nehmen wieder an, daß r sehr viel
größer als die Abmessungen der beiden Dipole ist. Das Feld des Dipols p am Ort des Dipols p 0
ist durch Gleichung (2.23) gegeben. Damit erhalten wir mit (2.21) für die potentielle Energie des
Dipols p 0 im Feld des Dipols p:
0
1
p .p 3(p.r)(p 0 .r)
0
Ep = −p .E =
.
−
4π ◦ r 3
r5
Die auf p 0 wirkende Kraft erhalten wir als Ableitung der potentiellen Energie:
F = −∇Ep .
Mit Hilfe der schon oben verwendeten Beziehungen ∇(a.r) = a und ∇r n = nr n−2 r erhält man
als Ergebnis
3
(p.p 0 )r + (p 0 .r)p + (p.r)p 0 5(p.r)(p 0 .r)r
F =
(2.28)
−
4π ◦
r7
r5
Um die Kraft F 0 zu bestimmen, die p 0 auf p ausübt, müssen wir in Gleichung (2.28) p und p 0
vertauschen und r durch −r ersetzen. Das Ergebnis ist
F 0 = −F ,
wie aus den 3. Newtonschen Gesetz (Impulserhaltung ) zu erwarten war. Aus (2.28) geht aber
hervor, daß F und F 0 nicht notwendigerweise parallel zu r sind. Sie üben daher ein Drehmoment
MF = r × F = −
3 (p 0 .r)(p × r) + (p.r)(p 0 × r)
4π ◦
r5
auf das System der beiden Dipole aus. Bedeutet dies eine Verletzung der Drehimpulserhaltung?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir noch zwei andere Drehmomente berücksichtigen: das
2.7. ELEKTROSTATISCHE GENERATOREN
23
Drehmoment M, das p 0 im Feld des Dipols p erfährt, und das Drehmoment M 0 , das p 0 auf p
ausübt. Diese sind nach (2.24):
0
1
p × p 3(p.r)(p 0 × r)
0
M =p ×E =−
−
4π ◦
r3
r5
1
p × p 0 3(p 0 .r)(p × r)
0
0
M =p×E =−
−
4π ◦
r3
r5
Die Summe ergibt
MF + M + M 0 = 0,
d.h. die Impulserhaltung gilt auch hier.
2.6.8
Bildladungen
Als ein Beispiel für ein elektrostatisches Problem, das mit Hilfe sogenannter Bildladungen
einfach gelöst werden kann, betrachten wir folgende Situation: Am Ursprung des Koordinatensystems befindet sich eine Punktladung q. In einer Entfernung a befindet sich die Oberfläche einer
geerdeten Metallplatte, die senkrecht zur x1 -Achse steht. Die Randbedingungen dieses Problems
lauten
φ→0
für
r→∞
φ → q/(4π◦ r)
für
r→0
φ(a, x2 , x3 ) = 0 für alle x2 , x3 .
Exakt die gleichen Randbedingungen gelten aber, wenn wir die Metallplatte durch eine Punktladung −q an der Stelle (2a, 0, 0) ersetzen, weil die Ebene x1 = a dann immer noch eine Ebene
konstanten Potentials (φ = 0) ist. Die Lösungen der Laplace-Gleichung sind aber eindeutig durch
die Randbedingungen bestimmt. Das elektrische Feld außerhalb der Metallplatte muß daher identisch mit dem Feld des Dipols im entsprechenden Raumbereich sein. Um z.B. die Kraft zu bestimmen, die die Metallplatte auf die Punktladung ausübt, brauchen wir nur die Kraft zwischen den
beiden Punktladungen auszurechnen, d.h. zwischen der echten Ladung +q an der Stelle (0, 0, 0)
und der Bildladung −q an der Stelle (2a, 0, 0). Diese sog. Bildkraft ist damit eine anziehende
Kraft mit dem Betrag
q2
.
F =
16π ◦ a 2
2.7
Elektrostatische Generatoren
Es gibt verschiedene Maschinen, mit denen man hohe elektrostatische Spannungen (bis ca.
100 kV im Labor) erzeugen und längere Zeit aufrechterhalten kann. Im folgenden wird das Arbeitsprinzip von zwei solchen Maschinen erläutert, ohne auf die technischen Einzelheiten einzugehen.
Trotz der hohen Spannung ist das Arbeiten mit diesen Geräten nicht lebensgefährlich, weil die
Ladungen sehr kleine sind, und hohe Ströme auch bei schneller Entladung nicht entstehen können.
24
KAPITELX’2. ELEKTROSTATIK
X
S
A
A’
K
Abbildung 2.9: Eine moderne Influenzmaschine.
C, C’: Kondensatoren,
K, K’: Kollektoren,
A, A’: leitende, mit Drahtpinseln versehenen
Verbindungsarme,
S: Sektoren aus Metallfolie
XX’: Funkenstrecke.
2.7.1
K’
C
C’
Influenzmaschine
Abb. 2.9 zeigt eine moderne Version der 1882 von James Wimshurst (1832–1903) erfundenen
Influenzmaschine (auch als Wimshurst-Maschine bekannt). Die Maschine besteht aus zwei Scheiben aus isolierendem Material (z.B. Plexiglas), die—angetrieben durch einen Elektromotor oder
über eine Handkurbel—gegenläufig rotieren. Beide Scheiben tragen auf der äußeren Oberfläche
in regelmäßigen Abständen Sektoren aus Metallfolie (S in Abb. 2.9). Zu jeder Scheibe gehört ein
feststehender, elektrisch leitender Verbindungsarm (A,A’), der an beiden Enden mit einem Drahtpinsel versehen ist, die über die Scheibe streicht. Jedesmal, wenn ein Sektor an einem Ende des
Arms vorbeigeht, wird er kurzzeitig mit dem 180◦ von ihm versetzt auf der gleichen Scheibe liegenden Sektor elektrisch verbunden. Die beiden Arme sind 90◦ gegeneinander versetzt.
Über zwei Kollektoren (K, K’) wird die Ladung auf die Kugeln X, X’ übertragen. Die Kollektoren sind Bürsten“ oder Kämme“ aus Metalldraht, die keinen direkten Kontakt mit den Sekto”
”
ren haben. Die Ladungsübertragung erfolgt durch Spitzenentladung (s. Abschnitt 2.6.5). Hat sich
eine genügend hohe Spannung aufgebaut, erfolgt eine Entladung durch einen Funkenübergang
zwischen X und X’. Die Elektroden können mit Kondensatoren (C, C’) verbunden werden; die
Ladungsmenge wird dadurch größer und der Funke entsprechend kräftiger.
Die Influenzmaschine benötigt kein Startpotential, etwa durch eine Batterie, sondern funktioniert durch die Verstärkung von zufällig vorhandenen Ladungen. Zur Erläuterung der Funktionsweise der Influenzmaschine zeigt Abb. 2.10 eine schematische Darstellung, in der die Scheiben
durch konzentrische Kreis ersetzt wurden. Wir nehmen an, daß sich die hintere Scheibe (Außenkreis) nach links dreht, die vordere Scheibe (Innenkreis) nach rechts. Wenn der an der Stelle 1
befindliche Sektor a der hinteren Scheibe zufällig negativ geladen ist, werden die Sektoren b und c
25
2.7. ELEKTROSTATISCHE GENERATOREN
hinten
1
b
vorne
5
2
Abbildung 2.10: Prinzip der Influenzmaschine. Die Scheiben sind in dieser schematischen Skizze durch konzentrische Kreise
Dargestellt. Die Sektoren sind entweder positiv (rot) oder negativ (blau) geladen.
+
6
a
c
3
4
auf der vorderen Scheibe durch Influenz positiv bzw. negativ geladen, weil sei gerade miteinander
verbunden sind. Die Verbindung zwischen b und c wird unterbrochen, bevor sie den Einflußbereich
von a verlassen, so daß sie ihre Ladung beibehalten.
An der Stelle 2 gibt der Sektor a seine negative Ladung ab und begegnet dem negativ geladenen
Sektor c an der Stelle 3. An dieser Stelle ist a mit seinem Gegenüber verbunden und wird nun durch
Influenz positiv geladen. Nach einer halben Umdrehung der beiden Scheiben befindet sich a an der
Stelle 4 und c an der Stelle 1. Der Sektor c hat seine negative Ladung bei 2 abgegeben und wir nun
bei 1 positiv geladen. Der Sektor a gibt seine positive Ladung bei 5 ab, wird bei 6 wieder positiv
geladen, usw. Sobald sich eine Polarität einmal eingestellt hat, wird sie also ständig durch Influenz
verstärkt.
2.7.2
Bandgenerator
Abb. 2.11 zeigt das Prinzip des Bandgenerators, der nach seinem Erfinder5 auch van-de-GraaffGenerator genannt wird, in seiner einfachsten Form. Im Bandgenerator wird Ladung kontinuierlich
über ein Band auf eine Metallkugel transportiert. Das Band aus isolierendem Material läuft zwischen zwei Umlenkrollen, die an einem vertikalen, ebenfalls isolierenden Träger befestigt sind.
Positive Ladungen werden durch Spitzenentladung über einen Metallkamm, der sich in der
Nähe der unteren Umlenkrolle befindet, auf das Band übertragen. Zu diesem Zweck wird zwischen
dem Kamm und einer auf der Rückseite des Bandes befindlichen Platte eine Spannung angelegt,
die groß genug ist (einige 100 V), um die gewünschte Spitzenentladung anzuregen.
Am oberen Kamm (Abb. 2.11), der mit der Metallkugel verbunden ist, werden die Ladungen
durch eine negative Spitzenentladung neutralisiert, wodurch die Kugel eine positive Ladung bekommt. Die maximal erreichbare Spannung ist durch das Gleichgewicht zwischen dem Ladestrom
und der Summe aller Verlustströme bedingt. Sie beträgt bei einfachen Laborgeräten rd. 100 kV.
Größere Geräte erreichen höhere Spannungen, weil die Verlustströme im wesentlichen von der
Feldstärke (Spannung/Abstand) abhängen.
Der van-de-Graaff-Generator hat in der Vergangenheit vielfach Anwendung als Spannungsquelle für Teilchenbeschleuniger gefunden. Die größten Geräte erreichen Spannungen bis zu
5 Robert
Jemison van de Graaff (1901–1967).
26
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
oberer Kamm
+
+
+
+
+
Anregungsspannung
+
-
Metallkugel
+
+
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
obere Umlenkrolle
+
+
Band
isolierender Träger
untere Umlenkrolle
Abbildung 2.11: Prinzip des Bandgenerators.
unterer Kamm
20 MV.
2.8
2.8.1
Elektrische Multipole
Definitionen von Multipolen
Der im Abschnitt 2.6.7 beschriebene Dipol ist ein Spezialfall einer Ladungsverteilung, die
insgesamt neutral ist, aber ein elektrisches Feld erzeugt. Für eine beliebige Ladungsverteilung ist
das Dipolmoment bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems6 durch
Z
p = ρrdV
definiert und ist im allgemeinen abhängig von der Wahl des Bezugspunktes. Verschieben wir den
Ursprung um den Vektor s ist das neue Dipolmoment
Z
Z
0
p = ρ(r − s)dV = p − s ρdV .
0
Das Dipolmoment ist daher immer dann
R unabhängig vom Bezugspunkt (p = p), wenn die Ladungsverteilung insgesamt neutral ist ( ρdV = 0).
Ist die Ladungsverteilung nicht neutral, gibt es immer einen Bezugspunkt, für den das Dipolmoment 0 ist. Diesen Punkt kann man als Ladungsschwerpunkt“ definieren, analog dem Massen”
schwerpunkt in der Mechanik. Da es aber keine negativen Massen gibt, existiert immer ein Massenschwerpunkt, und das Dipolmoment einer Massenverteilung ist abhängig vom Bezugspunkt.
Ein Monopol ist eine
R einzelne Ladung, und das ”Monopolmoment“ einer Ladungsverteilung
ist einfach die Summe ρdV . Neben dem Dipol gibt es weitere Multipole, die im einfachsten Fall
aus 4 (Quadrupol), 8 Oktupol usw. Ladungen bestehen. Jeder Multipol setzt sich zusammen aus
6 In
diesem Abschnitt beschränken wir uns der Einfachheit halber auf kontinuierliche Ladungsdichteverteilungen.
Die Umformung der Gleichungen auf Verteilungen von Punktladungen erfolgt analog den Gleichungen (2.4) bzw.
(2.5).
27
2.8. ELEKTRISCHE MULTIPOLE
2 Multipolen der nächstniedrigsten Stufe. Die Definitionen der verschiedenen Multipolmomenten folgt durch Verallgemeinerung der Definition des Dipolmoments. Sie lauten in Komponentenschreibweise:
Z
Monopolmoment:
q=
(2.29)
ρdV ,
Z
Dipolmoment:
ρxi dV ,
pi =
(2.30)
Z
Quadrupolmoment:
Qij =
ρxi xj dV
(2.31)
usw. Damit ist ein Monopolmoment (Ladung) eine skalare Größe, ein Dipolmoment ein Vektor,
und ein Quadrupolmoment ein Tensor zweiter Stufe. Die höheren Multipolmomente sind Tensoren entsprechend höherer Stufen.
Wir haben gesehen, daß das elektrostatische Potential eines Monopols nach 1/r abfällt, das
Potential eines Dipols dagegen nach 1/r 2 . Dies läßt vermuten, daß die höheren Multipolmomente Beiträge zum Potential liefern, die nach 1/r 3 , 1/r 4 usw. abfallen. Daraus ergibt sich die
Möglichkeit, das Potential einer Ladungsverteilung als eine Reihe von 1/r-Potenzen zu entwickeln. Die Terme einer solchen Entwicklung sind sukzessive Näherungen des Potentials an
einem Punkt, der weit entfernt ist im Vergleich mit der Ausdehnung der Ladungswolke. Dieses
Verfahren bezeichnet man als Multipolentwicklung.
2.8.2
Multipolentwicklung
dV
R-r
R
r
O
P
ρ( r)
Volumen Ω
Abbildung 2.12: Das Feld einer Ladungswolke.
Wir betrachten eine Ladungswolke“ (ρ(r)), die auf ein endliches Volumen  (s. Abb. 2.12),
”
das den Ursprung O des Koordinatensystems enthält, und berechnen das elektrostatische Potential
an einem Punkt P mit dem Ortsvektor R, wobei wir annehmen wollen, daß R r für alle r in 
ist. Aus (2.9) folgt
Z
1
ρ(rdV )
.
φ(R) =
4π◦  |R − r|
28
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Wenn wir den Winkel zwischen r und R mit α bezeichnen, ist
−1/2
1
1
r
r2
2
2
−1/2
= (R + r − 2rR cos α)
=
1 − 2 cos α − 2
.
|R − r|
R
R
R
Der Klammerausdruck läßt sich mit Hilfe der Legendre-Polynome als Potenzreihe in r/R entwickeln7 :
−1/2 X
∞
r l
r
r2
1 − 2 cos α − 2
=
Pl (cos α)
,
R
R
R
l=0
mit
1 dl 2
(x − 1)l .
l
l
2 l! x
Die gewünschte Reihenentwicklung des Potentials ist damit
Z
∞
X
1
φ(R) =
r l Pl (cos α)dV .
4π◦ R n+1 
Pl (x) =
l=0
Die ersten 3 Legendre-Polynome sind
P0 = 1, P1 = x, P2 = (3x 2 − 1)/2.
Dementsprechend erhalten wir für die ersten Terme der Reihenentwicklung:
Z
Z
Z
1
1
1
1
ρr 2 (3 cos2 α − 1)
ρdV + 2
dV + . . .
φ(R) =
ρr cos αdV + 3
4π ◦ R 
2
R 
R 
Der erste Term ist einfach der Beitrag eines Monopols q am Ursprung. Der Koeffizient von 1/R 2
kann man wie folgt umschreiben
Z
Z
ρr.R
p.R
ρr cos αdV =
dV =
.
R

 R
Dies ist die Komponente des Dipolmoments in Richtung von R.
Der Koeffizient von 1/R 3 läßt sich am einfachsten interpretieren, wenn wir unser Koordinatensystem zunächst so festlegen, daß die x3 -Achse parallel zu R ist. Es gilt dann α = θ und (mit
(2.31))
Z
Z
2
2
ρr (3 cos α − 1)dV =
ρ(3x32 − r 2 )dV = 2Q33 − (Q11 + Q22 ).


Mit dem gewählten Koordinatensystem lautet die Reihenentwicklung also
p3
Q33 − (Q11 + Q22 )/2
q
1
+
φ(R) =
+
+ ...
4π◦ R R 2
R3
Manchmal ist es nützlich, den Quadrupolbeitrag als Funktion der Hauptwerte Q1 , Q2 , Q3 des
Quadrupolmoment-Tensors darzustellen. Mit Hilfe der Transformationsgleichungen für Tensoren
beim Wechsel des Bezugssystems8 kann man folgende Beziehung ableiten
2Q33 − (Q11 + Q22 ) =
3
X
(3ai2 − 1)Qi .
i=1
7 S.
8 S.
z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 447.
z.B. S. Haussühl, Kristallphysik, 2.5.
(2.32)
29
2.9. DIELEKTRIKA
Hier ist ai der Kosinus des Winkels zwischen R und der zu Qi gehörenden Hauptachse.
Als Beispiel betrachten wir die verschiedenen Beiträge zum elektrostatischen Potential der
Atomkerne.
Die Atomkerne haben die Form von Rotationsellisoiden, wobei die Ladung Ze (Z = Ordnungszahl, e = Elementarladung) im Mittel gleichmäßig über das Volumen verteilt ist. Aufgrund
der Ladung gibt es immer einen Monopolbeitrag. Das Dipolmoment bezogen auf den Mittelpunkt
ist 0. Aufgrund der Symmetrie ist die Rotationsachse eine Hauptachse des QuadrupolmomentTensors. Wenn wir diese als x3 -Achse definieren, ist Q11 = Q22 , und Gleichung (2.32) (mit
a12 + a22 + a32 = 1) führt zu
2Q33 − (Q11 + Q22 ) = (3a32 − 1)(Q3 − Q1 ).
Der Quadrupolbeitrag zum elektrostatischen Potential hängt daher nur von einer einzigen Zahl
Q3 − Q1 ab. Diese kann positiv (gestrecktes Ellipsoid), negativ (gestauchtes Ellipsoid) oder Null
(Kugelsymmetrie) sein. In Tabellenwerken werde die Werte meistens durch e dividiert und in Einheiten von m2 angegeben.
2.9
Dielektrika
2.9.1
Polarisation
In nichtleitenden Stoffen sind die Elektronen fest an die Atome oder Moleküle gebunden und
können sich deshalb nicht frei bewegen. Unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes werden
die positiven und negativen Ladungen (d.h. die Atomkerne und die Elektronen) dennoch gegeneinander verschoben, so daß ein elektrisches Dipolmoment entsteht. Ein isoliertes Atom besitzt
im Grundzustand eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung und deshalb kein eigenes Dipolmoment. Das durch ein elektrisches Feld induzierte Dipolmoment ist in erster Näherung proportional
zur Feldstärke:
p = αE.
(2.33)
Diese Proportionalität folgt aus der Quantentheorie und wird experimentell bestätigt. Die Proportionalitätskonstante α ist eine Eigenschaft des Atoms, die als Polarisierbarkeit bezeichnet
wird.
Um mit einfachen Systemen anzufangen, beschränken wir uns zunächst auf nichtleitende Stoffe
(Gase, Flüssigkeiten oder Festkörper), die aus einzelnen Atomen eines Elements bestehen. Was
passiert, wenn der Raum zwischen den Platten eines Kondensators mit einem solchen Stoff gefüllt
wird? Abgesehen von den Randeffekten herrscht überall im Stoff eine konstante Feldstärke. Alle
Atome werden daher gleich polarisiert. Ist n die Anzahl der Atome pro Volumeneinheit und p das
Dipolmoment eines Atoms, entsteht überall im Stoff ein Dipolmoment
P = np
pro Volumeneinheit. Dieses Phänomen—die Entstehung eines Volumendipolmoments aufgrund
von Ladungsverschiebungen—wird als Verschiebungspolarisation oder dielektrische Polarisation bezeichnet. Einen Stoff, der das Phänomen zeigt, nennt man ein Dielektrikum.
Als Maß für die Polarisation dient die Größe P , d.h. das durch das Feld induzierte Dipolmoment pro Volumeneinheit. Für diese Größe wird auch die Bezeichnung Polarisation, oder besser
Polarisationsvektor verwendet.
30
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Frage 2.10 Wie lauten die SI-Einheiten des Polarisationsvektors?
d
Oberflächenladungen
Felder
Abbildung 2.13: Darstellung der Felder und
der Flächenladungen bei einem Dielektrikum, das sich zwischen den Platten eines
Kondensators befindet. Die Vakuumspalte
zwischen dem Dielektrikum und den Kondensatorplatten sollen viel kleiner als der
Plattenabstand d sein. Sie sind hier nur wegen der Klarheit der Darstellung größer gezeichnet.
2.9.2
−σ
+σ
−σp
E
Vakuum
+σp
Ei < E
E
Dielektrikum Vakuum
Suszeptibilität und Dielektrizitätszahl
Da das induzierte Dipolmoment des Atoms proportional zum lokalen Feld ist, wird der Polarisationsvektor proportional zu diesem Feld sein. Mit dem lokalen“ Feld meinen wir das Feld Ei
”
zwischen den Platten innerhalb des Dielektrikums (s. Abb. 2.13). Um die Felder und die Ladungen klar darstellen zu können, sind in Abb. 2.13 die Spalte zwischen dem Dielektrikum und den
Kondensatorplatten relativ groß gezeichnet. Bei der nachfolgenden Berechnung werden wir aber
davon ausgehen, daß sie im Vergleich mit dem Plattenabstand d verschwindend klein sind.
Die Proportionalität zwischen dem Polarisationsvektor P und dem lokalen elektrischen Feld
Ei schreibt man in folgender Form:
P = χe ◦ Ei .
(2.34)
Die Multiplikation mit der Konstanten ◦ sorgt dafür, daß die hiermit definierte Materialeigenschaft
χe —die dielektrische Suszeptibilität—dimensionslos ist. Tabelle 2.1 gibt die Werte von χe für
einige Substanzen wieder.
Tabelle 2.1: Typische Werte der dielektrischen Suszeptibilität einiger Stoffe.
Stoff
Luft
Öl
Glas
Tantaloxid
Wasser
Bariumtitanat
χe
0,006
1,5
4–73
26
80
∼ 103
Durch die Ladungsverschiebung entsteht auf der einen Oberfläche des Dielektrikums (in Feldrichtung) eine positive Flächenladung, und auf der anderen Oberfläche eine gleich große negative
Flächenladung (±σp , s. Abb. 2.13). Aus diesem Grund ist das interne Feld Ei kleiner als das externe Feld E. Offensichtlich muß es eine direkte Beziehung zwischen der Oberflächenladung σp
31
2.9. DIELEKTRIKA
und dem Polarisationsvektor P geben. Um diese Beziehung abzuleiten, denken wir uns einen aus
dem Dielektrikum herausgeschnittenen Zylinder, dessen Achse parallel zum Feld verläuft. Auf
den Endflächen des Zylinders (Fläche = A) befindet sich die Ladung +Aσp bzw. −Aσp . Der Abstand zwischen diesen Ladungen ist d. Sie haben damit das Dipolmoment Adσp . Der Betrag des
Dipolmoments ergibt sich aber auch durch Multiplikation der Polarisation P (Dipolmoment pro
Volumeneinheit) mit dem Volumen Ad des Zylinders. Da beide Berechnungsmethoden zum gleichen Ergebnis führen müssen, gilt
Adσp = AdP , also σp = P .
Die Oberflächenladung ist also gleich dem Betrag des Polarisationsvektors.
Wir haben hier allerdings nur den einfachen Fall betrachtet, wo der Polarisationsvektor überall
senkrecht zur Oberfläche steht. Ist dies nicht der Fall, trägt nur die senkrechte Komponente P cos θ
(θ = Winkel zwischen P und der Flächennormale) zur Oberflächenladung bei. Im allgemeinen Fall
ist also
σp = P cos θ = P .n,
wo n den zur Flächennormale parallelen Einheitsvektor darstellt. Auf einen Flächenelement df
befindet sich die Ladung
dq = P .df .
Wenden wir uns wieder dem in Abb. 2.13 Kondensator zu. Es sei ±σ die auf den Kondensatorplatten befindliche Ladungsdichte. Um die Felder E außerhalb und Ei innerhalb des Dielektrikums
zu berechnen, brauchen wir nur die Beiträge der vier Flächenladungen aufzusummieren, wie wir
es für die zwei Flächenladungen im Abschnitt 2.6.4 machten. Das Ergebnis ist
E = σ/◦ ; Ei = (σ − σp )/◦ .
Mit σp = P = χe ◦ Ei folgt
Ei = E/(1 + χe ).
Durch die Anwesenheit des Dielektrikums wird die Feldstärke und damit auch die Spannung zwischen den Platten—bei gleichbleibender Ladung—um den Faktor 1/(1 + χe ) vermindert. Dies ist
gleichbedeutend mit einer Erhöhung der Kapazität um den Faktor 1+χe . Die dimensionslose Zahl
r = 1 + χe
wird als Dielektrizitätszahl oder relative Permittivität des Materials bezeichnet. Im Falle eines
Kondensators mit Dielektrikum müssen wir Gleichung (2.18) für die Kapazität eines Plattenkondensators mit dem Faktor r ergänzen:
C=
r ◦ A
.
d
Das Produkt
= r ◦
heißt Dielektrizitätskonstante9 oder Permittivität des Stoffes. Demnach ist die universelle Konstante ◦ die Permittivität des Vakuums“.
”
Die Änderung der Kapazität eines Kondensators wird ausgenutzt, um die Dielektrizitätskonstanten von Stoffen zu messen. (Wir werden später sehen, wie die Kapazität eines Kondensators experimentell bestimmt werden kann).
9 Im
englischen Sprachgebrauch wird nicht sondern r als dielectric constant“ bezeichnet.
”
32
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
2.9.3
Anisotropie und Orientierungspolarisation
Besteht das Dielektrikum aus Molekülen, ist die Polarisierbarkeit im allgemeinen richtungsabhängig, und die Beziehung zwischen dem Dipolmoment p und dem elektrischen Feld E ist
etwas komplizierter:
X
pi =
αij Ei , i = 1, 2, 3.
(2.35)
j
Die Polarisierbarkeit ist also nicht, wie Gleichung (2.33) vermuten läßt, eine skalare Größe, sondern ein Tensor zweiter Stufe. Gleichung (2.33) ist ein Spezialfall der Gleichung (2.35) und gilt
dann, wenn die drei Hauptwerte des Polarisierbarkeitstensors alle gleich sind.
In Gasen und Flüssigkeiten sowie in amorphen und polykristallinen Festkörpern kommen die
Moleküle in allen möglichen Orientierungen vor, so daß der Stoff makroskopisch isotrop ist. Bei
Einkristallen—mit Ausnahme derer, die zum kubischen System gehören—sind die dielektrischen
Eigenschaften jedoch anisotrop, so daß die Suszeptibilität und die Dielektrizitätskonstante durch
Tensoren dargestellt werden müssen. Dies gilt für alle Kristalle nichtkubischer Symmetrie, auch
wenn sie nicht aus Molekülen bestehen. An dieser Stelle wollen wir die Konsequenzen des Anisotropie nicht weiter verfolgen. Einzelheiten findet man in Büchern über Kristallphysik.
Moleküle können ein eigenes Dipolmoment besitzen. Sind sie willkürlich orientiert, entsteht
keine makroskopische Polarisation. Beim Anlegen eines elektrischen Feldes haben die Dipole aber
aufgrund des Drehmoments (s. Abschnitt 2.6.7) die Tendenz, sich parallel zum Feld anzuordnen.
Dadurch entsteht ein mittleres Dipolmoment in Feldrichtung, das sich als Polarisation äußert. Diese Art der Polarisation wird als Orientierungspolarisation oder paraelektrische Polarisation bezeichnet. Die temperaturbedingte Rotationsbewegung der Moleküle wirkt der Orientierungspolarisation entgegen. Der Beitrag der Orientierungspolarisation zur Suszeptibilität ist daher temperaturabhängig: Der Effekt ist bei absoluten Nullpunkt maximal und nimmt mit steigender Temperatur
ab. Dagegen ist die Verschiebungspolarisation temperaturunabhängig.
2.9.4
Freie und gebundene Ladungen - das D-Feld
Im Gegensatz zu den freien“ Ladungen, die sich unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes
”
durch einen Leiter bewegen können, sind die Oberflächenladungen der Polarisation an die Atome
oder Moleküle gebunden. Beide Ladungsarten sind Quellen des elektrischen Feldes E. Es hat
sich als zweckmäßig erwiesen, neben E eine andere Feldgröße (D) zu definieren, deren Quellen
nur die freien Ladungen sind. In einem Kondensator (s. Abb. 2.13) hat dieses Feld den gleichen
Wert innerhalb und außerhalb des Dielektrikums. Diese Bedingung wird offensichtlich durch die
Definition
D = r ◦ E
(2.36)
erfüllt. Mit r = 1 + χe und P = χe ◦ E folgt aus dieser Definition
D = ◦ E + P
(2.37)
In den Lehrbüchern ist die Bezeichnung des D-Feldes nicht einheitlich: man findet elektrische
Verschiebung (englisch electric displacement) und auch Verschiebungsdichte. Im folgenden werden wir die BezeichnungD-Feld und E-Feld verwenden.
Frage 2.11 Was sind die Einheiten des D-Feldes?
33
2.9. DIELEKTRIKA
In isotropen Stoffen sind die Vektoren E, D und P parallel zueinander. Im allgemeinen Fall
bilden sie aufgrund der Vektorbeziehung (2.37) ein Dreieck.
Der Satz von Gauß (Gleichungen (2.12) und (2.13)) nimmt für das D-Feld folgende Formen
an: Die Integralgleichung lautet
Z
X
D.df =
qifrei ,
(2.38)
6
i
und die Differentialform ist
∇.D = div D = ρ frei .
(2.39)
Daraus folgt für das D-Feld einer Punktladung q
D=
qr
,
4πr 3
und das Gesetz von Coulomb hat in einem Dielektrikum die Form
F =
q1 q2 r
.
4π r ◦ r 3
2.9.5 Ferro-, Pyro- und Piezoelektrizität
Unter bestimmten Umständen (entscheidend ist die Kristallstruktur ) stellen sich die Dipolmomente polarer Moleküle aufgrund ihrer gegenseitigen Wechselwirkung ohne die Einwirkung
eines elektrischen Feldes parallel zueinander. Auf diese Weise entsteht eine spontane Polarisation.
Dieses Phänomen wird in Analogie zum Ferromagnetismus als Ferroelektrizität bezeichnet.
Auch nichtmolekulare Kristalle zeigen eine spontane elektrische Polarisation, wenn sie eine
entsprechende Anordnung von positiven und negativen Ionen enthalten. Im Gegensatz zur spontanen Magnetisierung bleibt die spontane Polarisation nicht erhalten, weil sie mit der Zeit durch
die Bewegung von freien Ladungen kompensiert wird. Die spontane Polarisation ist aber im allgemeinen temperaturabhängig. Eine Temperaturänderungen führt daher kurzfristig zu einer erneuten
Polarisation. Diesen Effekt nennt man Pyroelektrizität.
Ein weiteres Phänomen, bei dem die Polarisation eine Rolle spielt, ist die sog. Piezoelektrizität, die Entstehung einer Polarisation unter dem Einfluß einer mechanischen Spannung. Dieser
Effekt wird in vielen Geräten (z.B. in Tonabnehmern oder Mikrophonen) ausgenutzt, um mechanische Kräfte in elektrische Signale umzuwandeln.
Der inverse piezoelektrische Effekt ist eine Dehnung des Kristalls infolge eines elektrischen
Feldes. Eine Anwendung dieses Effektes ist die kontrollierte Steuerung von mikroskopisch kleinen Bewegungen, z.B. im Rastertunnelmikroskop. Eine andere Anwendung findet man in den
bekannten Quarz-Oszillatoren, die für genaue Zeit- bzw. Frequenzmessungen eingesetzt werden:
Das Herzstück eines solchen Oszillators ist ein geeignet orientierter Quarzkristall, der sich zwischen zwei parallelen Elektroden befindet. Eine auf die Elektroden aufgebrachte Wechselspannung bewirkt entsprechende elastische Schwingungen des Kristalls. Eine Resonanz findet dann
statt, wenn die Frequenz der Wechselspannung mit der Frequenz einer Normalschwingung des
Kristalls übereinstimmt.
2.9.6 E-Felder in Dielektrika: Allgemein
Bringt man einen beliebig geförmten Körper aus einem diekeltrischen Material in ein elektrisches Feld, hängt das Feld innerhalb des Körpers von der Verteilung der Oberflächenladungen
34
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
und deshalb von der Form des Körpers ab. Das allgemeine Problem ist die Lösung der PoissonGleichung (2.14), die in Dielektrika die Form
ρ
∇ 2φ = −
(2.40)
r ◦
annimmt. Auf die Rand- bzw. Grenzbedingungen für die Felder an der Grenze zwischen zwei
Medien kommen wir später zurück (s. Abschnitt 7.3.1). Es lassen sich aber zwei Grenzfälle ohne
komplizierte Mathematik behandeln:
Dünne Platte Den Fall einer dünnen Platte, die senkrecht zu einer homogenen elektrischen Feld
E angeordnet ist, haben wir schon im Rahmen des Kondensators behandelt. Das E-Feld innerhalb
der Platte ist Ei = Di /r ◦ = D/r ◦ = E/r . Die Polarisation ist P = ◦ χe Ei = ◦ χe E/r . Die
Beziehung zwischen der Polarisation und dem externen (ursprünglichen) Feld ist also
χ
P = ◦ e E.
(2.41)
1 + χe
Langer Stab Bei einem langen, parallel zum Feld angeordneten Stab haben die Oberflächenladungen — bis auf Endeffekte — keine Auswirkung, so daß in diesem Fall Ei = E und
infolgedessen
P = ◦ χe E
(2.42)
gilt. Bei schwachen“ Dielektrika, d.h. χe 1, geht (2.41) in (2.42) über. Für die meisten Dielek”
trika gilt diese Näherung allerdings nicht.
2.10 Die Energie des elektrischen Feldes
Ein elektrisches Feld beinhaltet Energie. Um das zu erkennen, betrachten wir noch einmal den
Plattenkondensator mit Dielektrikum. Die Spannung U ist
q
U=
C
(q = Ladung, C = Kapazität). Wenn wir die Ladung um dq erhöhen, indem wir diese Ladung von
der negativen zur positiven Elektrode übertragen, leisten wir die Arbeit
dW = U dq.
Bei der Ladung Q ist die im Kondensator gespeicherte Energie
Z Q
q
Q2
W =
dq =
.
2C
0 C
Mit Hilfe der Beziehung Q = U/C können wir die in einem Kondensator gespeicherte Energie in
folgenden Formen schreiben
Energie eines Kondensators:
W =
Q2
1
1
= CU 2 = QU.
2C
2
2
35
2.11. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
d
E'
E
E'
D
D
D
Vakuum
Abbildung 2.14: Die Felder E und D in einem Kondensator.
Dielektrikum
Vakuum
Um einen Ausdruck für die in einem elektrischen Feld gespeicherte Energiedichte zu erhalten, wollen wir die Energie des Kondensators als Funktion der E- und D-Felder ausdrücken. In
Abb. 2.14 sind die internen Felder mit E und D bezeichnet. Das externe E-Feld ist nach (2.17
E 0 = σ/◦ = Q/A◦ (A = Fläche, Q = Ladung). Die Spannung ist U = Ed (d = Plattenabstand).
Für die Energie folgt daher
1
1
W = QU = AdDE.
2
2
Nun ist aber Ad das Volumen des Dielektrikums. Wir erhalten also für die Energiedichte w pro
Volumeneinheit
Energiedichte des elektrischen Feldes:
1
w = ED = ◦ r E 2 .
2
2
Diese Beziehung haben wir zwar für einen sehr speziellen Fall abgeleitet, sie gilt aber ganz allgemein. In anisotropen Medien, wo E und D nicht notwendigerweise parallel zueinander sind,
gilt
1
w = E.D.
2
Frage 2.12 Wieviel Energie steckt in dem elektrischen Feld der im Abschnitt 2.6.5 behandelten geladenen Kugel?
2.11 Antworten zu den Fragen
Frage 2.1 Der Betrag der elektrostatischen Kraft ist für einen Abstand r
Fe =
e2
4π ◦ r 2
36
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
und der der Gravitationskraft
Gm2
Fg = 2 .
r
Das Verhältnis ist
Fg
Fe
=
4πG◦ m2
.
e2
Mit G = 6,67·10−11 m3 kg−1 s−2 , ◦ = 8,85·10−12 C2 N−1 m−2 und den gegebenen Werte für m
und e erhalten wir Fg /Fe ≈ 10−36 .
Frage 2.2 Die Äquivalenz folgt aus der Tatsache, daß das Skalarprodukt eines Vektors mit sich
selbst gleich dem Quadrat des Betrags ist:
r.r = r 2 .
Die Ableitung der linken Seite ergibt
d(r.r) = r.dr + dr.r = 2r.dr.
Die Ableitung der rechten Seite ist
d(r 2 ) = 2rdr.
Daraus folgt
r.dr = rdr.
Frage 2.3 Ein elektrisches Feld entspricht einer Kraft pro Ladung; die Einheiten sind demnach N C−1 . Aufgrund der Definitionen 1 V = 1 J C−1 und 1 J = 1 N m kann man die elektrische
Feldstärke auch in V m−1 angeben. Letztere sind die üblichen Einheiten.
Frage 2.4 Die elektrostatischen Kräfte, die durch Reibungselektrizität hervorgerufen werden,
sind relativ klein, da nur leichte Objekte (Papierschnipsel, Federn usw.) angehoben werden können.
Nehmen wir als Beispiel zwei Punktladungen +q und −q, die sich in einer Entfernung von 1 cm
mit einer Kraft von 1 N anziehen. Der Betrag der Ladung als Funktion der Kraft F und der Entfernung r ist
p
q = 2r π◦ F .
Mit F = 1 N und r = 0,01 m erhalten wir q ≈ 10−7 C. (Das entspricht immerhin rd. 1012
Elektronen!)
Frage 2.5 Die potentielle Energie des Elektrons im Feld des Protons ist
Ep = −
e2
.
4π◦ a◦
Die Geschwindigkeit v auf der Kreisbahn ergibt sich aus der Bedingung Kraft = Masse (m) mal
Zentripetalbeschleunigung:
e2
mv 2
=
.
a◦
4π◦ a◦2
37
2.11. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
Damit ist die kinetische Energie
Ek =
Ep
mv 2
e2
=
=− ,
2
8π ◦ a◦
2
und die Gesamtenergie ist
e2
E=−
.
8π ◦ a◦
Setzen wir E = 13,6 eV = 13,6e J, erhalten wir
a◦ = 5,294 · 10−11 m.
Frage 2.6 Mit etwas Integralrechnung kann man das Potential einer endlichen Linienladung
analytisch berechnen. Dies ist zur Beantwortung der gestellten Frage aber nicht notwendig. Es
sei l die Länge der Linienladung. Wenn r gegen ∞ geht, gilt irgendwann r l. Die Ladung ist
dann nicht mehr von einer Punktladung zu unterscheiden. d.h. es gilt bei entsprechender Wahl der
Integrationskonstante φ ≈ lλ/(4π◦ r).
Flächenladung
-E
E
Fläche F
Abbildung 2.15: Zur Bestimmung des Feldes einer Flächenladung.
Frage 2.7 Als Gauß-Fläche“ nimmt man am besten einen Zylinder (s. Abb. 2.15), dessen Ach”
se senkrecht zur Ebene und damit parallel zum Feld verläuft. Zum Gauß-Integral tragen nur die
beiden Endflächen (Fläche jeweils F ) bei. Innerhalb des Zylinders befindet sich die Ladung F σ .
Damit gilt nach Gauß
Z
E.df = 2EF = F σ/◦
und
E = σ/2◦ .
38
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Frage 2.8 Auf einer Platte befindet sich die Ladung Q. Die Kraft ergibt sich durch Multiplikation dieser Ladung mit dem Feld der anderen Platte. Diese ist nicht Q/◦ A, sondern nur die Hälfte
davon. Die Kraft ist also
AE 2
Q2
F =
= ◦
.
2◦ A
2
∂E2
∂E1
6 = 0 ist, dann darf
nicht gleich Null sein, weil diese beiden Differen∂x2
∂x1
tialkoeffizienten gleich sind. Dies ist nicht kompatibel mit der Bedingung E2 = 0 überall. Fazit:
eine Änderung der Feldstärke ist immer mit einer Krümmung der Feldlinien verbunden.
Frage 2.9 Wenn
Frage 2.10 Ein Dipolmoment pro Volumeneinheit hat die Dimensionen (Ladung) mal (Länge)
durch (Volumen). Die Einheiten sind daher C m−2 .
Frage 2.11 Aus Gleichung (2.37) folgt, daß D die gleiche Einheiten wie P hat, d.h C m−2 .
Frage 2.12 Das Volumenelement zwischen zwei Kugelschalen der Radien r und r + dr ist
4π r 2 dr. Die gesuchte Energie ist damit
Z
Z ∞
◦ ∞
2
2
W =
r 2 E 2 dr.
[E(r)] .4πr dr = 2π◦
2 0
0
Mit dem Feld aus (2.19) haben wir
Q2
W =
8π ◦
Z
∞
r◦
dr
Q2
.
=
8π◦ r◦
r2
39
Kapitel 3
Elektrische Leitung
3.1
Strom und Stromdichte
Wird ein Metalldraht an eine Spannungsquelle (z.B. eine Batterie) angeschlossen, bewegen
sich Ladungen von dem einen zum anderen Pol der Spannungsquelle, d.h. es fließt ein elektrischer
Strom durch den Draht. Die Stärke des elektrischen Stroms wird in Ampere (A) gemessen:
1 A = 1 C s−1 .
Elektrische Ströme können auch in Halbleitern, Flüssigkeiten und Gasen fließen. Die Ladungsträger können positiv oder negativ geladen sein. Das Vorzeichen des elektrischen Stroms wird aber
immer so definiert, daß die positive Richtung den Nettofluß positiver Ladungen angibt. In Metallen
wird der Strom durch negativ geladene Elektronen getragen. Die Richtung des elektrischen Stroms
ist daher der Bewegungsrichtung der Elektronen entgegengesetzt.
Fließt ein elektrischer Strom I durch einen Draht, dessen Querschnitt A beträgt, ist die Stromdichte j definiert durch
j = I /A.
In einem Draht wird der Strom gezwungen, in einer bestimmten Richtung zu fließen, und die
Stromdichte ist überall konstant. In einem ausgedehnten Stoff ist dies aber nicht notwendigerweise
der Fall. Die örtliche Stromdichte ist durch ein Vektorfeld j (r) definiert, das folgende Bedeutung
hat: Durch ein Flächenelement df an der Stelle r fließt der Strom
dI = j (r).df .
Ein wichtiger Erfahrungssatz der Physik, den wir schon erwähnt haben, ist die Ladungserhaltung: Betrachten wir ein durch eine Fläche 6 begrenztes Volumen V . Die in V enthaltene
Ladung kann sich nur dann ändern, wenn es einen Nettofluß von Ladungen durch die Fläche 6
gibt. Die Beziehung zwischen der Änderung der Ladungsdichte innerhalb des Volumens A und der
Stromdichte an der Fläche 6 läßt sich wie folgt mathematisch formulieren:
Z
Z
d
ρ(r)dV = −
j .df .
dt V
6
Das Flächenintegral läßt sich mit Hilfe des (mathematischen) Satzes von Gauß umformulieren:
Z
Z
j .df = (∇.j )dV .
6
V
40
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
Dies führt uns zu einer allgemeinen mathematischen Darstellung der Ladungserhaltung, die als
Kontinuitätsgleichung bekannt ist:
Kontinuitätsgleichung:
∇.j = −ρ̇.
Die Stromdichte ist im allgemeinen eine Funktion des Ortes und der Zeit (j (r, t)). In diesem Kapitel werden wir uns aber hauptsächlich mit homogenen, zeitlich konstanten Stromdichten
befassen.
3.2
3.2.1
Leitungsmechanismen
Elektrische Leitung in Metallen
Modell der freien Elektronen
In Metallen wird der Strom durch freie“ Elektronen getragen. Die Elektronen werden vom
”
elektrischen Feld beschleunigt. Experimentell beobachtet man aber, daß der Strom in sehr kurzer
Zeit nach dem Einschalten der Spannung einen konstanten Wert erreicht. Es muß also Mechanismen geben, die die Elektronen abbremsen, so daß sie eine konstante mittlere Driftgeschwindigkeit
ū erreichen. Die Stromdichte ist dann
j = −neū,
wo n die Anzahl der Leitungselektronen pro Volumeneinheit ist.
Fläche A
Länge d
Stromdichte j
Feld E
_
Driftgeschwindigkeit u
e-
Spannung U
Abbildung 3.1: Zum Mechanismus der elektrischen Leitung in Metallen
Die erste Theorie der elektrischen Leitung in Metallen wurde 1900 von Drude1 vorgeschlagen.
Abb. 3.1 zeigt einen zylindrischen Metallstück (Länge d, Querschnittsfläche A), auf das eine elektrische Spannung U wirkt. Die elektrische Feldstärke ist E = U/d. Die Elektronen bewegen sich
nach links, der Strom ist nach rechts gerichtet. Als Parameter zur Beschreibung der Bremswirkung
führte Drude die mittlere Stoßzeit oder Relaxationszeit (τ ) ein. Dies ist die mittlere Zeit, in der
1 Paul
Drude (1863–1906).
41
3.2. LEITUNGSMECHANISMEN
sich ein Elektron im Metall frei bewegen kann, bevor es z.B. durch Wechselwirkung mit Gitterschwingungen oder Fehlstellen abgebremst wird. Die Beschleunigung des Elektrons (Masse m)
ist −eE/m (E = Feldstärke). In der Zeit τ nimmt die Geschwindigkeit um den Betrag eEτ/m
zu. Wenn wir davon ausgehen, daß die Beschleunigung immer bei der Geschwindigkeit 0 anfängt,
beträgt die mittlere Driftgeschwindigkeit
ū = −eEτ/2m,
und die Stromdichte ist
ne2 τ
E.
2m
Wenn τ unabhängig von E ist, ist j proportional zu E:
j=
j = σ E.
(3.1)
Die Materialeigenschaft σ nennt man die elektrische Leitfähigkeit des Materials2 . Die Proportionalität zwischen Stromdichte und Feldstärke hat sich experimentell bestätigt. Zur richtigen Berechnung der Leitfähigkeit benötigt man aber die Quantentheorie3 .
Mit j = I /A und E = U/d (Abb. 3.1) folgt aus (3.1)
U = I R,
(3.2)
wo
d
ρd
=
Aσ
A
der elektrische Widerstand des Drahtes ist. Der Widerstand ist proportional zur Länge und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Drahts. Der Umkehrwert der Leitfähigkeit (für den
leider auch das Symbol ρ üblich ist) heißt spezifischer elektrischer Widerstand.
Das Gesetz (3.2) wurde experimentell von Georg Simon Ohm gefunden und ist nach ihm benannt. Die Einheit des elektrischen Widerstands heißt auch Ohm ():
R=
1  = 1 V A−1 .
Der Umkehrwert des Widerstands (1/R) nennt man den Leitwert. Der Einheit des Leitwertes
hat man zur Ehre von Werner von Siemens (1816–1892) den Namen Siemens (S) gegeben: 1 S =
1 −1 .
Frage 3.1 Was sind die Einheiten des spezifischen Widerstands und der elektrischen
Leitfähigkeit?
Der spezifische Widerstand von Metallen setzt sich zusammen aus einem Beitrag der Verunreinigungen und Gitterfehler, der temperaturunabhängig ist, und dem Beitrag der Gitterschwingungen, der stark temperaturabhängig ist. Eine für die Gitterschwingungen charakteristische Temperatur ist die sog. Debye-Temperatur4 θD . Der Beitrag der Gitterschwingungen zum spezifischen
2 Die
Leitfähigkeit ist—wie die Dielektrizitätszahl—eigentlich ein Tensor zweiter Stufe. Wir beschränken uns hier
aber auf den isotropen Fall.
3 S. z.B. K. Kopitzki, Einführung in die Festkörperphysik 3.3.
4 Petrus (Peter) Josephus Wilhelmus Debye, 1884–1966, Nobelpreis (Chemie) 1936.
42
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
Widerstand ist für T θD proportional zu T 5 und geht bei T ≈ θD in eine lineare Beziehung
über. Wenn man den linearen Teil in der Form
ρ = ρ◦ [1 + β(T − T◦ )]
schreibt, wo ρ◦ der Wert bei T◦ = 273 K ist, findet man für die meisten Metalle β ≈ 1/250 K−1 .
Tabelle 3.1 gibt die spezifischen Widerstände bei 0◦ C, die Debye-Temperaturen und die Temperaturkoeffizienten einiger Metalle wieder.
Tabelle 3.1: Spezifischer Widerstand ρ bei 0◦ C, Temperaturkoeffizient β und Debye-Temperatur
θD einiger Metalle.
Metall
Aluminium
Gold
Kupfer
Molybdän
Niob
Platin
Silber
Titan
Wolfram
ρ◦ · 107 [m] 1/β[K]
0,24
214
0,20
244
0,15
253
0,50
212
1,3
250
1,0
256
0,15
238
4,3
233
0,50
210
θD [K]
390
175
310
375
275
225
220
428
315
Frage 3.2 Welchen Widerstand hat ein 1 m langer Kupferdraht mit einem Radius vom 1 mm
bei 25◦ C?
Leistung des elektrischen Stroms
Wenn eine Ladung Q durch einen Widerstand R fließt, an dem die Spannung UR liegt, verliert
sie die Energie QUR . Diese Energie erscheint als Wärme im Widerstand. Die Leistung ist
L = I UR = I 2 R = UR2 /R.
(3.3)
Diese Beziehung wurde zuerst von Joule5 gefunden. Deshalb wird die in einem Widerstand entwickelte Wärme auch als Joulesche Wärme bezeichnet.
Diese Leistung wird in elektrischen Heizelementen eingesetzt. In den Leitungen, die eine
Stromquelle mit einem Verbraucher verbindet, stellt sie aber einen Verlust dar. Bei der Übertragung
elektrischer Leistung von Kraftwerken über große Strecken sind die Verlustleistungen besonders
problematisch. Stellen wir uns den Fall vor, daß ein Kraftwerk einen Strom I bei der Spannung U
in eine Doppelleitung mit dem Gesamtwiderstand R einspeist. Von der Leistung U I geht der betrag
I 2 R auf dem Weg zum Verbraucher verloren. Den Widerstand kann man durch Verwendung eines
Materials hoher Leitfähigkeit (z.B. Cu) und Drähten mit großem Querschnitt verringern. Hier gibt
es aber wirtschaftliche und technische Grenzen. Eine andere Möglichkeit, die Verluste zu reduzieren, besteht darin hohe Spannungen zu verwenden. Wenn die Spannung verdoppelt wird, braucht
man bei gleichbleibender Leistung nur die Hälfte des Stroms. Die Verlustleistung ist aber proportional zu I 2 . Eine Verdoppelung der Spannung reduziert die Verlustleistung also auf ein Viertel.
Aus diesem Grund verwendet man hohe Spannungen (mehrere kV) bei Überlandleitungen.
Frage 3.3 Zu Hause wird der Stromverbrauch in kW h (Kilowattstunden) abgerechnet. Was
ist das für eine Einheit?.
5 James
Prescott Joule (1818–1889)
3.2. LEITUNGSMECHANISMEN
43
Glühlampen
Bei genügend hoher Leistung wird ein stromführender Draht so heiß, daß er glüht und als
Lichtquelle dienen kann. Um möglichst hohe Temperaturen und damit weißes Licht zu erhalten,
verwendet man hochschmelzende Materialien. Die erste kommerziell erfolgreiche, 1879 von Edison6 erfundene Glühlampe verwendete Kohlenstoff. Moderne Glühlampen haben eine Wendel aus
Wolfram (Schmelzpunkt 3695 K). Bei den üblichen Betriebstemperaturen (fast 3000 K) muß die
Wendel durch Vakuum oder Schutzgas gegen Oxidation geschützt werden. Die Lebensdauer der
Lampe (rd. 1000 Betriebsstunden) ist im wesentliche durch das Verdampfen der Metallatome begrenzt. Leider wird nur etwa 7% der von der Lampe verbrauchten elektrische Energie als sichtbares
Licht ausgestrahlt.
Die Helligkeit einer Lichtquelle hängt nicht nur von der im sichtbaren Bereich ausgestrahlten Leistung, sondern auch von der spektralen Verteilung, weil das Auge für verschiedene Wellenlängen unterschiedlich empfindlich ist. Die photometrische Basiseinheit für die Lichtstärke in
einer bestimmten Richtung—die Candela (cd)—bezieht sich daher auf eine bestimmte Lichtwellenlänge:
Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle,
die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz1 aussendet und deren
Strahlstärke in dieser Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt.
Die Gesamthelligkeit (den Lichtstrom“) einer Lichtquelle erhält man durch Integration der
”
Lichtstärke über den gesamten Ramwinkel. Die dadurch definierte Einheit wird als Lumen (lm)
bezeichnet: 1 lm = 1 cd sr. Als Maß für die Effizienz von Lampen verwendet man gewöhnlich die
Kennzahl Lumen pro Watt elektrische Leistung (lm/W). Eine Lampe, die die elektrische Energie
zu 100% in monochromatische Strahlung bei der Frequenz 540 · 1012 Hz ausstrahlt, hätte also
4π · 683 = 8582, 8 lm/W. Eine Glühbirne erreicht gerade 17 lm/W.
Bei den sog. Halogen-Glühlampen wird der Verdampfungsverlust der Wendel durch einen
Trick vermindert: Die Gasfüllung enthält Jod- ober Bromverbindungen unter hohem Druck. In
der Gasphase reagieren die Metallatome mit dem Halogen und bilden gasförmige Verbindungen. Durch die kleinen Abmessungen des Quarzglaskolbens erreichen die Wände Temperaturen
bis 600◦ C. Bei diesen Temperaturen setzen sich die Wolframverbindungen nicht ab, sonder bleiben in der Gasphase. Trifft ein Molekül der Verbindung jedoch auf den heißen Draht, wird es
thermisch zersetzt, und das Metallatom wird dadurch zum Draht zurückgeführt. Gegenüber der
herkömmlichen Glühlampe erreicht die Halogen-Glühlampe höhere Temperaturen (rd. 3300 K) bei
gleichzeitig verlängerter Lebensdauer (rd. 3000 Betriebsstunden). Sie sind auch etwas effizienter
(ca. 20 lm/W).
Supraleitung
Einige Metalle zeigen ein besonderes Verhalten bei tiefen Temperaturen: Beim Abkühlen
springt der spezifische Widerstand bei einer kritischen Temperatur, der sog. Sprungtemperatur
auf 0, d.h. auf einen Wert, der so klein ist, daß er nicht mehr gemessen werden kann. Dieses
Phänomen—die sog. Supraleitung—wurde zuerst 1911 von Kamerlingh Onnes7 an Quecksilber
beobachtet.
6 Thomas
Alva Edison (1847–1931)
dieser Frequenz, die einer Wellenlänge von 555 nm entspricht, hat das Auge bei heller Beleuchtung die maximale spektrale Empfindlichkeit.
7 Heike Kamerlingh Onnes (1853–1926), Nobelpreis 1913.
1 Bei
44
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
Die Sprungtemperaturen der reinen metallischen Supraleiter liegen im Bereich zwischen
0,14 K (Iridium) und 7,22 K (Blei). Legierungen haben dagegen Sprungtemperaturen bis über 20 K
(z.B. Nb2 Se: 23,2 K). Supraleiter sind von großem technologischen Interesse, besonders dort, wo
hohe Ströme benötigt werden, z.B. um starke Magnetfelder zu erzeugen, weil sie Strom praktisch
verlustfrei führen. Es ist aber sehr aufwendig, die notwendigen tiefen Temperaturen aufrechtzuerhalten. Den Physikern Müller und Bednorz8 gelang 1986 ein großer Durchbruch: sie fanden
einen keramischen Supraleiter mit einer Sprungtemperatur von rd. 30 K. Bis dahin hatte sich die
Supraleiter-Forschung auf die Metalle und Legierungen konzentriert. Die Entdeckung der keramischen Supraleiter leitete eine neue Entwicklung ein, die zu den sog. Hochtemperatur-Supraleitern
führte. Die 1987 entdeckte Verbindung YBa2 Cu3 O7 (Sprungtemperatur 92 K) ist schon bei der
Temperatur von flüssigem Stickstoff supraleitend. Der Weltrekord“ liegt heute bei 127 K.
”
3.2.2
Elektrische Leitung in Halbleitern
Einteilung der Festkörper nach Leitfähigkeit
Aufgrund ihrer Raumtemperatur-Leitfähigkeit teilt man die Festkörper grob in 3 Kategorien
ein:
1. Leiter (Metalle), σ ≈ 107 S m−1 , z.B. Cu, Ag,
2. Halbleiter, σ ≈ 10−5 bis 10 S m−1 , z.B. Si, Se, Ge.
3. Isolatoren, σ < 10−8 S m−1 , z.B. Porzellan, Glas, Bernstein.
Typische Halbleiter sind die Elemente der 4. Gruppe des Periodische Systems sowie Verbindungen
von Elementen aus symmetrisch zur Gruppe IV stehenden Gruppen (II-VI- und III-V-Halbleiter).
Halbleiter und Metalle unterscheiden sich auch in ihren Temperaturverhalten: Während die
Leitfähigkeit eines Metalls mit steigender Temperatur abnimmt, nimmt die eines Halbleiters exponentiell mit der Temperatur zu.
Die Erklärung für dieses unterschiedliche Verhalten findet sich im sog. Bändermodell9 : Aufgrund der periodischen Kristallstruktur sind die Energiezustände der Elektronen in Bänder gruppiert, zwischen denen es Bandlücken gibt, in denen es keine den Elektronen zugänglichen Zustände
gibt. Keine zwei Elektronen können den gleichen Energiezustand besetzen. Beim absoluten Nullpunkt werden die Energiebänder und die in jedem Band vorhandenen Zustände von unten aufgefüllt. Das oberste vollständig gefüllte Band wird als Valenzband, das nächste darüberliegende
band, das entweder leer oder nur zum Teil besetzt ist, als Leitungsband bezeichnet.
Um einen Strom zu leiten, müssen einige Elektronen ihren Zustand ändern, damit eine mittlere Driftgeschwindigkeit entsteht. Dies ist aber in einem gefüllten Band nicht möglich, weil alle
Zustände besetzt sind. Voraussetzung für die elektrische Leitung ist also eine teilbesetztes Band.
In Metallen (s. Abb. 3.2a) ist das Leitungsband aufgrund der Anzahl der zur Verfügung stehenden
Elektronen, oder weil sich die Valenz- und Leitungsbänder überlappen, zum Teil gefüllt. Bei Halbleitern (s. Abb. 3.2b) ist das Leitungsband beim absoluten Nullpunkt leer, aber die Bandlücke ist
so klein (maximal rd. 3 eV), daß Elektronen durch thermischen Anregung aus dem Valenzband in
das Leitungsband gelangen können. Bei Isolatoren (s. Abb. 3.2c) ist die Bandlücke so groß, daß
das Leitungsband auch bei Raumtemperatur und darüber praktisch leer bleibt. (Bei hohen Temperaturen werden manche Isolatoren aufgrund von Ionenleitung leitend, s. Abschnitt 3.2.3).
8 Karl
Alexander Müller (geb. 1927) und Johannes Georg Bednorz (geb. 1950), Nobelpreis 1987.
Bändermodell wird im Rahmen der Quantenphysik (4. Semester) behandelt. Wir nennen hier nur die wichtigsten Ergebnisse.
9 Das
45
3.2. LEITUNGSMECHANISMEN
Energie
besetzt
unbesetzt
Leitungsband
Valenzband
Abbildung 3.2: Elektronenenergiebänder in
(a) Metallen, (b) Halbleitern und (c) Isolatoren.
(a)
Metall
(b)
Halbleiter
(c)
Isolator
Eigenleitung in Halbleitern
Durch thermische Anregung gelangen einige Elektronen in das Leitungsband und hinterlassen
Löcher“ im Valenzband, die sich praktisch wie positiv geladene Teilchen verhalten. Sowohl die
”
Elektronen im Leitungsband als auch die Löcher im Valenzband können zum elektrischen Strom
beitragen. Die elektrische Leitfähigkeit ist proportional zur Anzahl der Ladungsträger pro Volumeneinheit. Die Anzahl der Leitungselektronen (ne ) bzw. der Löcher (nh ) pro Volumeneinheit ist
durch das Boltzmann-Gesetz10 gegeben:
ne = nh = n◦ e−Eg /kT ,
wo Eg die Größe der Bandlücke ist. Die Leitfähigkeit von reinen Halbleitern steigt deshalb mit der
Temperatur exponentiell an.
Störstellenleitung in Halbleitern
Ersetzen wir einige der Atome im Kristallgitter eines elementaren Halbleiters (z.B. Si) durch
Atome eines Elements aus der nächsthöheren Gruppe V (z.B. P), so hat dieses Fremdatom ein Elektron mehr, als es für die Valenzen der 4 nächsten Nachbarn im Gitter benötigt. Das überschüssige
Elektron besetzt einen lokalen Zustand in der Bandlücke und kann leichter als die Elektronen des
Valenzbands in das Leitungsband gelangen (Abb. 3.3a). Durch diese sog. Dotierung mit P-Atomen
wird das Si elektrisch leitend.
Dotiert man Si dagegen mit einem Element der 3. Gruppe (z.B. In), hat das Fremdatom ein
Elektron zu wenig und kann ein Elektron aus dem Valenzband aufnehmen, wodurch Leitung durch
Löcher im Valenzband möglich wird.
Atome, die—wie P in Si—ein Elektron abgeben, heißen Donatoren. Die Ladungsträger in
mit Donatoren dotierten Halbleitern sind negativ geladene Elektronen. Man spricht daher von nDotierung und n-Leitung (n = negativ). Atome, die—wie In in Si—ein Elektron aufnehmen, heißen
Akzeptoren. In mit Akzeptoren dotierten Halbleitern sind die Ladungsträger Löcher, die sich wie
positive Ladungen verhalten. In diesem fall spricht man daher von p-Dotierung und p-Leitung (p
= positiv).
10 Ludwig
Boltzmann, 1844–1906.
46
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
Energie
besetzt
unbesetzt
Leitungsband
+ + + + +
Elektronen
Donatoren
- - - - -
Akzeptoren
Löcher
Valenzband
Abbildung 3.3: Zum Mechanismus der nund p-Leitung in Halbleitern.
(a)
n-Leiter
(b)
p-Leiter
Dioden und Transistoren
Bringt man einen p-dotierten mit einem n-dotierten Halbleiter in Kontakt, entsteht ein sog.
p-n-Übergang (s. Abb. 3.4). Elektronen aus dem Leitungsband des n-Leiters können ihre Energie
dadurch verringern, daß sie in den p-Leiter wandern und dort die vakanten Zustände (Löcher )
besetzen. Es entsteht also zunächst ein Diffusionsstrom der Elektronen vom n- zum p-Leiter. Die
n-Seite der Grenze wird aber dadurch positiv geladen, und eine entsprechende negative Ladung
sammelt sich auf der p-Seite an. Entsprechend der Ladungsverteilung entsteht in der Grenze ein
vom n- zu p-Leiter gerichtetes elektrisches Feld, das einen dem Diffusionsstrom entgegengerichteten Strom (Feldstrom) bewirkt. Es stellt sich schließlich ein Gleichgewicht zwischen Feld- und
Diffusionsstrom ein. Die so entstandene Ladungsdichteverteilung ist schematisch in Abb. 3.4 wiedergegeben.
Schaltsymbol
Ladungsdichte
I
p
n
U
E-Feld
Strom-Spannungscharakteristik
Abbildung 3.4: Der p-n-Übergang (Diode).
Im Bereich des p-n-Übergangs fehlen die Ladungsträger, d.h. die Elektronen auf der n-Seite
und die Löcher auf der p-Seite. Diese Region hat also einen hohen Widerstand und wirkt als Sperrschicht für den Transport des elektrische Stroms. Das elektrische Verhalten des Übergangs ist
47
3.2. LEITUNGSMECHANISMEN
jedoch sehr stark von der Richtung der angelegten Spannung abhängig. Legen wir die Spannung
so an, daß das elektrisch Feld am Übergang vom n- zum p-Leiter hin gerichtet ist, laufen die Ladungsträger auf beide Seiten des Übergangs von der Grenze weg, so daß die an Ladungsträgern
verarmte Zone vergrößert wird. Wird die Spannung aber umgepolt, fließen die Ladungsträger zum
Übergang hin und verringern dadurch die breite der verarmten Zone, so daß schließlich in dieser
Richtung ein Strom fließen kann.
Ein solcher, auch als Diode bezeichneter p-n-Übergang hat also eine Sperrichtung und eine
Durchlaßrichtung. Abb. 3.4 zeigt das übliche Symbol für eine Diode in Schaltkreisen und die—
extrem nichtlineare—Abhängigkeit des Stroms von der Spannung.
n
p
n
p
C
E
n
p
C
E
B
B
E
C
Transistiorsymbol
Abbildung 3.5: Aufbau eines Transistors.
B
Ein Transistor ist eine Folge von drei Regionen (entweder p-n-p oder n-p-n ) mit zwei p-nÜbergängen (s. Abb. 3.5). Die Anschlüsse werden mit Kollektor (C), Basis (B) und Emitter (E)
bezeichnet. Der Transistor besteht im Prinzip aus 2 Dioden in Reihe, die entgegengesetzte Sperrichtungen haben. Legt man eine Spannung zwischen C und E an, fließt also normalerweise kein
Strom. Durch Anlegen einer Spannung an den Anschluß B kann man jedoch erreichen, dann ein
Strom entweder zwischen C und B oder zwischen E und B fließt. Wenn die Zwischenschicht so
dünn ist, daß sich die beiden Übergänge gegenseitig beeinflussen können, wird der Übergang der
in Sperrichtung gepolten Diode von den einfließenden Ladungsträgern so beeinflußt, daß auch dort
ein Strom fließen kann. Die an B liegende Spannung steuert also die zwischen C und E fließenden
Strom.
Im Praktikum werden Sie mehr über den Transistor erfahren.
3.2.3
Elektrische Leitung in wäßrigen Lösungen (Elektrolyten)
Leitung unter dem Einfluß einer externen Spannung
In diesem Abschnitt wollen wir untersuchen, was passiert, wenn wir eine elektrische Spannung
zwischen zwei Elektroden anbringen, die in einer wäßrigen Lösung getaucht sind.
Destilliertes Wasser ist ein relativ schlechter elektrischer Leiter. Lösungen von Salzen oder
Säuren sind dagegen gute Leiter, weil die Moleküle in Ionen zerfallen, die dann als Ladungsträger
dienen. Eine solche Lösung wird als Elektrolyt bezeichnet. Beispiele für elektrolytische Dissozia-
48
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
tionsprozesse sind
NaOH Na+ + OH−
H2 SO4 2H+ + SO−−
4
++
ZnSO4 Zn + SO−−
4
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Experimentell findet man auch in Elektrolyten eine Proportionalität zwischen Stromdichte und
Feldstärke, zumindest für nicht zu große Felder, d.h. das Ohmsche Gesetz gilt auch für Ionenleitung
in Flüssigkeiten. Die Leitfähigkeit hängt von der Konzentration des gelösten Stoffes, von dem
Dissoziationsgrad und von den Beweglichkeiten der Ionen ab.
Die positiven Ionen bewegen sich zur negativen Elektrode, der Kathode, die negativen Ionen
zur positiven Elektrode, der Anode, hin. Aus diesem Grunde nennt man die positiven Ionen Kationen und die negativen Ionen Anionen. An den Elektroden werden die Ionen neutralisiert, und
es finden meistens weitere chemische Reaktionen statt. In der Reaktion (3.4) z.B. reagieren die an
der Kathode entstehenden Natriumatome mit dem Wasser unter Entwicklung von Wasserstoffgas:
2Na + 2H2 O → 2NaOH + H2 ↑,
während an der Anode die OH-Radikale Sauerstoff und Wasser bilden:
4OH → 2H2 O + O2 ↑ .
Das Nettoergebnis ist also die elektrolytische Zersetzung (Elektrolyse) von Wasser in seine Bestandteile Sauerstoff und Wasserstoff. Das NaOH wird nicht verbraucht.
Dagegen wird im Falle der ZnSO4 (3.6) Zink in metallischer Form an der Kathode ausgeschieden. Besteht die Anode aus Zink, wird eine entsprechende Menge dieses Elements durch die
Reaktion
Zn + SO4 → ZnSO4
nachgeliefert, so daß die Zn-Konzentration in der Lösung konstant bleibt. Das elektrolytische Verzinken von Eisenteilen zum Zwecke des Korrosionsschutzes ( Galvanisierung) funktioniert nach
diesem Prinzip.
Ionenleitung findet auch in Festkörpern statt, spielt aber bei Raumtemperatur oder darunter
meistens keine Rolle, weil die Ionen zu unbeweglich sind. Glas wird z.B. bei Temperaturen von
mehreren hundert Grad Celsius ein guter Ionenleiter.
Die galvanische Zelle
Wenn wir zwei verschiedene Metalle (z.B. Kupfer und Zink) in einen Elektrolyt (z.B. Kupfersulfatlösung ) tauchen und ein Spannungsmeßgerät (Voltmeter) an die beiden Elektroden anschließen, stellen wir fest, das die Elektroden unterschiedliche Potentiale haben, d.h. wir haben
eine Spannungsquelle (Batterie ). Wie kommt diese Spannung zustande?
Wenn wir ein Metall in Wasser eintauchen, gehen immer einige Atome bzw. Ionen in Lösung.
Das Wassermolekül besitzt ein Dipolmoment und hat daher eine größere Affinität für Ionen als
für neutrale Atome. Das Metall geht daher bevorzugt als positive Ionen in Lösung. Dadurch bildet
sich auf der Oberfläche des Metalls eine Doppelschicht aus negativen Ladungen im Metall und positiven Ladungen in der Flüssigkeit. Diese Ladungsverteilung erzeugt einen Potentialunterschied
1φ zwischen dem Elektrolyt und dem Metall, der einen dem Auflösungsprozeß entgegengerichteten Ionenstrom bewirkt. Ein Gleichgewicht entsteht dann, wenn die beiden Ströme gleich sind. Der
49
3.2. LEITUNGSMECHANISMEN
sich dann einstellende Potentialunterschied ist vom Metall, vom Elektrolyt und von der Temperatur
abhängig.
Der Potentialunterschied zwischen der Elektrode und dem Elektrolyt läßt sich nicht direkt
messen. In Tabellen findet man daher die Potentiale relativ zu einer Standardelektrode, der sog.
Wasserstoffelektrode. Diese besteht aus einer von Wasserstoff umspülten Platinelektrode in einer
Säurelösung mit 1 mol l−1 (1N-Lösung). Tabelle 3.2 gibt die so definierten Elektrodenpotentiale einiger Metalle wieder. Metalle mit hohen Potentialen (z.B. Au, Ag,) werden als edel“ bezeichnet,
”
weil sie schlecht in Lösung gehen und deshalb korrosionsresistent sind.
Tabelle 3.2: Standard-Elektrodenpotentiale einiger Metalle. Gemessen wurde das Potential einer
Elektrode des jeweiligen Metalls in einer 1N-Lösung des angegebenen Ions relativ zur Wasserstoffelektrode.
Metall
Li+
Rb+
K+
Na+
Zn++
Fe++
Pot. [V]
-2,959
-2,926
-2.924
-2.715
-0,762
-0,44
Metall
Cd++
Sn+++
Pb++
Cu++
Hg++
Ag+
Pot. [V]
-0,402
-0,336
-0,12
+0,345
+0,799
+0,798
R
2e-
Zn
+
Cu
CuSO4 -
Lösung
Abbildung 3.6: Zum Prinzip der galvanischen Zelle. Durch den Widerstand R fließen Elektronen von der Zink- zur Kupferelektrode. An der Zinkelektrode gehen
Zn++ -Ionen in Lösung, wodurch Elektronen
frei werden. An der Kupferelektrode nehmen Cu++ -Ionen Elektronen auf und scheiden sich als Cu-Atome aus.
++
Zn --> 2e- + Zn
++
Cu + 2e- --> Cu
Kehren wir zu unserem Beispiel—Cu und Zn in CuSO4 —zurück (s. Abb. 3.6). Die Potentialdifferenz ergibt sich in guter Näherung durch die Differenz der in der Tabelle 3.2 aufgeführten
Werte, also in diesem Fall
U = [0,345 − (−0,762)] V = 1,107 V,
wobei Cu positiv und Zn negativ ist. Verbinden wir die beiden Elektroden z.B. über einen Widerstand R miteinander, fließen Elektronen vom Zink zum Kupfer. Die unmittelbare Auswirkung des
Elektronenflusses ist eine Erhöhung des Potentials der Zinkelektrode und eine Erniedrigung des
Potentials der Kupferelektrode. Diese Potentialänderungen würden aber die oben angesprochenen Auflösungsgleichgewichte stören und werden daher dadurch kompensiert, daß Zink in Lösung
50
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
geht, während Kupfer ausgeschieden wird. An der Zinkelektrode erfolgt die Reaktion
Zn → Zn++ + 2e− ,
wodurch für jedes Zinkatom, das in Lösung geht, 2 Elektronen nachgeliefert werden. An der Kupferelektrode werden 2 Elektronen verbraucht, um ein Kupferatom auszuscheiden:
Cu++ + 2e− → Cu.
Die Nettoreaktion ist
Zn + Cu++ → Zn++ + Cu.
Pro zwei Elektronen, die als Strom fließen, wird ein Cu++ -Ion in der Lösung durch ein Zn++ Ion ersetzt. Die von der Zelle gelieferte Energie stammt also vom Unterschied der chemischen
Energien der beiden Ionen in der Lösung.
Alle Batterien arbeiten nach den eben beschriebenen Prinzip. Im Detail haben industriell hergestellte Batterien aber einen viel komplizierteren Aufbau, der aus der Optimierung der Eigenschaften resultiert hat. Wichtige Eigenschaften sind z.B. die gespeicherte Energie bezogen auf das
Volumen oder das Gewicht, oder der innere Widerstand, auf den wir später zurückkommen.
Akkumulatoren sind Batterien, die durch Anschluß an eine Spannungsquelle wieder aufgeladen
werden können. Als Beispiel betrachten wir den in den meisten Autos eingesetzten Bleiakkumulator: Beide Elektroden sind aus Blei, und der Elektrolyt ist Schwefelsäure (H2 SO4 ). Durch chemische Reaktion mit der Säure bildet sich auf den Elektroden eine Schicht von Bleisulfat (PbSO4 ,
kaum in Wasser löslich). Dies ist natürlich der entladene Zustand, weil sich die beiden Elektroden
nicht unterscheiden. Beim Ladevorgang finden folgende Reaktionen statt:
Anode:
Kathode:
−
PbSO4 + 2H2 O → PbO2 + 4H+ + SO−−
4 + 2e
PbSO4 + 2e− → Pb + SO−−
4 .
Am Ende des Ladevorgangs ist die Anode mit PbO2 bedeckt, während die Kathode eine freie Bleioberfläche aufweist. Bei der Entladung laufen die umgekehrten Reaktionen ab, und die Elektroden
werden allmählich mit Bleisulfat bedeckt.
Wenn kein Strom gezogen wird, beträgt die Spannung des Bleiakkumulators 2,02 V, praktisch unabhängig vom Ladezustand. Während der Entladung nimmt der innere Widerstand (s.
3.3.3) aber zu, weil die aktive Fläche der Elektroden verringert wird. Bei niedrigem Ladezustand
bricht die Spannung deshalb zusammen, wenn ein Verbraucher angeschlossen wird, der viel Strom
braucht. Eine andere Indikation für den Ladezustand ist die Dichte des Elektrolyts: Beim Laden
geht Schwefelsäure in Lösung, und die Dichte wird größer, beim Entladen umgekehrt.
3.2.4
Elektrische Leitung in Gasen
Um die Moleküle eines Gases zu ionisieren, werden Energien der Größenordnung von einigen
eV benötigt (s. Tabelle 3.3). Bei Raumtemperatur ist kT ≈ 0,027 eV. Daraus folgt, daß Gase im
thermischen Gleichgewicht bei Raumtemperatur praktisch keine Ladungsträger enthalten und deshalb Isolatoren sind. Damit Gase Strom leiten können, muß es Mechanismen geben, die Moleküle
ionisieren. Die wichtigsten sind Photoionisation und Stoßionisation.
51
3.2. LEITUNGSMECHANISMEN
Tabelle 3.3: Ionisierungsenergien Ei einiger Moleküle.
Gas
He
Ne
A
N2
H2
CO2
CO
H2 O
O2
Ei [eV]
24,46
21,47
15,68
15,5
15,6
14,4
14,1
12,56
12,5
Gas Ei [eV]
Hg
10,39
Pb
7,38
Mg
7,61
Ca
6,09
Ba
5,19
Li
5,36
Na
5,12
K
4,32
Rb
4,16
Photoionisation
Ein Photon hat die Energie hν (h = Plancksche Konstante, ν = Lichtfrequenz). Wenn ein
Molekül M von einem Photon getroffen wird, dessen Energie größer als die Ionisierungsenergie
ist, kann es durch die Reaktion
M + hν → M+ + e−
ionisiert werden. Die hierfür benötigten Photonenenergien liegen im UV-Bereich. Die UV-Strahlung der Sonne ist verantwortlich für die Entstehung einer stark ionisierten Schicht—die Ionosphäre—in der Erdatmosphäre.
Röntgen- und Gammaphotonen haben aufgrund ihrer höheren Energie eine viel stärkere Ionisationswirkung. Sie können nicht nur die äußeren Elektronen der Moleküle entfernen, sondern auch
Elektronen aus tieferen Schalen. Die Differenz zwischen der Photonenenergie und der Energie,
die benötigt wird, um das Elektron auszulösen, erscheint als kinetische Energie. Entsprechend den
Massenverhältnissen (selbst die Masse des H2 -Moleküls ist fast das Viertausendfache der Elektronenmasse) trägt das Elektron aufgrund der Impulserhaltung fast die gesamte kinetische Energie
(s. Mechanikskript 3.3). Der Nachweis von Röntgen- und Gammastrahlen mit dem Geigerzähler
beruht auf der Photoionisation. (Alpha- und Betastrahlen werden auch detektiert, weil sie Stoßionisation bewirken.)
Die primären Produkte der Photoionisation sind positive Ionen und Elektronen. Im Falle der
Ionisation durch Röntgen- oder Gammastrahlung haben die Primärelektronen so viel Energie, daß
sie weitere Moleküle durch Stoßionisation (s. unten) ionisieren können. Ein Elektron kann sich
auch mit einem neutralen Molekül verbinden, um ein negatives Ion zu bilden. Diese Vorgänge sind
jedoch extrem selten: Bei einem von rd. 4·104 Stößen eines O2 -Moleküls mit einem langsamen
Elektron entsteht ein O−
2 -Ion. Zweifach geladene positive Ionen können durch Photoionisation
von einfach geladenen Ionen entstehen:
M+ + hν → M++ + e− .
Da die Anzahl der positiven Ionen viel kleiner als die Anzahl der neutralen Moleküle ist, ist der
Anteil der zweifach geladenen Ionen sehr klein. Die Ladungsträger in photoionisierten Gasen sind
also hauptsächlich positive Ionen und Elektronen.
Trifft ein Elektron auf ein positives Ion, bilden sie mit hoher Wahrscheinlichkeit wieder ein
neutrales Molekül unter Ausstrahlung eines Photons :
M+ + e− → M + hν 0 .
52
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
Bei konstanter Strahlungsintensität ergibt sich ein Gleichgewicht, wenn die Ionisationsrate und die
Rekombinationsrate gleich sind.
Stoßionisation
Durch ein elektrisches Feld werden die Elektronen und die positiven Ionen beschleunigt. Wir
überlegen zunächst, was mit einem Elektron passieren kann. Bei einem unelastischen Stoß mit
einem Molekül geht wegen des schon erwähnten Massenverhältnisses praktisch die ganze kinetische Energie des Elektrons verloren, d.h. diese Energie steht im vollen Umfang für die Ionisation
zur Verfügung. Ein Elektron braucht daher eine Energie, die nur geringfügig größer als die Ionisierungsenergie ist, um das Atom ionisieren zu können. In Luft bei Raumtemperatur und unter
normalem Druck beträgt die mittlere freie Weglänge (λ) der Elektronen ungefähr 10−6 m. Bei der
Feldstärke E haben die Elektronen am Ende der Strecke λ die kinetische Energie eEλ. Um O2 oder N2 -Moleküle ionisieren zu können, benötigt das Elektron eine Energie von rd. 20 eV. Um diese Energie auf der Strecke 10−6 m zu erreichen, benötigt man eine Feldstärke von 2 · 107 V m−1 .
Experimentell beobachtet man jedoch, daß eine Entladung in Luft schon bei einer Feldstärke von
3 · 106 V m−1 stattfindet. Die Gründe für diese Diskrepanz sind:
1. Die mittlere freie Weglänge λ ist eine statistische Größe. Von N◦ Elektronen erfahren N =
N◦ exp(−d/λ) den nächsten Stoß nach der Strecke d, die größer als λ sein kann.
2. Das Elektron kann einige elastische Stöße erfahren, bevor eine Ionisation stattfindet. Dadurch kann die Energie zum Zeitpunkt des unelastischen Stoßes größer als Eλ sein.
Die positiven—und die wenigen negativen—Ionen werden auch beschleunigt, tragen aber nicht
zur Stoßionisation bei. Zum einen haben sie eine um etwa eine Größenordnung kleinere mittlere
freie Weglänge als die Elektronen. Zum anderen steht bei einem unelastischen Stoß mit einem
ruhenden Molekül der gleichen Masse nur die Hälfte der kinetischen Energie für die Ionisation zur
Verfügung.
Entladungstypen
Dunkelentladung In Gasen gibt es immer eine geringe Konzentration von Elektronen und positiven Ionen aufgrund der natürlichen Radioaktivität. Diese können einen kleinen, kaum meßbaren
Strom leiten, den man als Dunkelentladung oder Dunkelstrom bezeichnet.
Funken, Blitz Wenn wir die Spannung zwischen zwei Körpern z.B. mit einem Bandgenerator
langsam steigern, erfolgt beim Erreichen einer bestimmten Feldstärke (rd. 3 · 106 V m−1 unter normalen Bedingungen in Luft) eine plötzliche Entladung mit Funkenbildung. Bei dieser Feldstärke
können die Elektronen Moleküle unter Freisetzung weiterer Elektronen ionisieren. Durch die Lawinenwirkung steigt die Anzahl der freien Elektronen und damit die Stromstärke rapide an, bis
die Ladung verbraucht ist. Bei der Vielzahl von Ionisations- und Rekombinationsvorgängen entstehen angeregte Atome, die beim Übergang in den Grundzustand Energie in Form von Photonen
angeben. Entladungen dieser Art sind daher immer mit Leuchterscheinungen verbunden.
In der Natur entstehen bei Gewittern gewaltige Entladungen in Form von Blitzen (s. Abb. 3.7).
Blitze sind in ihrer Stärke sehr unterschiedlich, aber typischerweise wird in einem Blitz eine
Energie der Größenordnung 1010 –1011 J freigesetzt. Ein einzelnes Gewitter entwickelt in seiner
Lebensdauer eine Gesamtenergie von rd. 1013 J. Zum Vergleich: 1995 verbrauchten alle privaten
Haushalte in der Bundesrepublik Deutschland 4 · 1015 J.
53
3.2. LEITUNGSMECHANISMEN
Abbildung 3.7: Blitzentladungen.
Blitze strahlen u.a. elektromagnetische Strahlung im Lang- und Mittelwellenbereich aus. Diese Strahlung kann verwendet werden, um Blitze zeitlich und örtlich zu erfassen. Ein einfaches
Verfahren besteht darin, von einer Empfangsstation aus die Richtung mit einer Richtantenne zu
bestimmen und die Entfernung aus der Signalstärke abzuschätzen (s. z.B. www.blitz-radar.de).
Wenn man die Blitze gleichzeitig in mehreren, räumlich verteilten Stationen registriert, kann man
den Ort genauer über die Laufzeiten und zusätzlich die Stärke des Blitzeinschlags bestimmen.
Bogenentladung Bringt man zwei Elektroden aus Kohlenstoff (Graphit), die an eine Stromquelle angeschlossen sind, in Kontakt und zieht sie auseinander, entsteht eine kontinuierliche Entladung, die als Bogenentladung bezeichnet wird. Voraussetzung dafür ist, daß die Stromversorgung
in der Lage ist, 10–100 A bei rd. 50 V zu liefern. An der Anode entstehen hohe Temperaturen (fast
4000 K) durch Elektronenbeschuß, und dort entwickelt sich die größte Lichtintensität. Der elektrische Strom im Lichtbogen wird durch Elektronen aufrechterhalten, die thermisch oder durch
Photoemission an der Kathode ausgelöst werden.
Korona Bei der Korona-Entladung (s. 2.6.5) werden Elektronen, die sich in der Nähe einer
Spitze befinden, so weit beschleunigt, daß sie Moleküle ionisieren können. Handelt es sich bei den
Spitzen um Kathoden, treffen die positive Ionen dort auf und können weitere Elektronen auslösen,
was die Entladung beschleunigt.
Glimmentladung Bei niedrigen Drucken entstehen Entladungen schon bei kleinen Feldstärken, weil die freie Weglänge der Elektronen größer ist. Bei einem Druck der Größenordnung
54
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
100 Pa genügen Feldstärken von einigen 100 V m−1 . Die Stromstärken solcher Glimmentladungen liegen gewöhnlich im mA-Bereich und können durch Elektronenemission von der Kathode
unbegrenzt aufrechterhalten. Die Spannung, die benötigt wird, um eine Glimmentladung in Gang
zu bringen, heißt Zündspannung. Nach der Zündung muß die Spannung reduziert werden, um die
Entwicklung einer Bogenentladung zu verhindern. Unterhalb einer bestimmten Minimalspannung
(Löschspannung ) erlischt die Glimmentladung. Wegen der unterschiedlichen Beweglichkeiten der
Elektronen und Ionen entwickelt sich in einer Glimmentladung eine komplexe Struktur mit Bereichen, in denen unterschiedliche Ionisations-, Rekombinations- und Strahlungsreaktionen ablaufen11
3.2.5
Technische Anwendungen
Bei der Umsetzung elektrischer Energie in elektromagnetischer Strahlung im sichtbaren und
UV-Bereich sind Glimm- und Bogenentladungen effizienter als die Glühlampe. Beide Entladungsarten werden daher vielfach in der Lichttechnik eingesetzt.
Gewöhnliche Leuchtstofflampen arbeiten mit einer Glimmentladung in Quecksilberdampf12
bei einem Druck von einigen 100 Pa. Die dabei entstehende Strahlung liegt hauptsächlich im UVBereich (254 nm). Daneben gibt es 3 Linien im sichtbaren Bereich des Spektrums (violett, blau,
grün). Die auf der Innenseite des Glaskolbens befindliche Leuchtstoffschicht hat die Aufgabe, die
UV-Anteile in sichtbares Licht umzuwandeln. Diese Schicht enthält Stoffe, die UV-Licht absorbieren und einen Teil der absorbierten Energie im sichtbaren Spektralbereich wieder ausstrahlen.
(Dieses Phänomen heißt Fluoreszenz). Jeder Stoff fluoresziert in einer für ihn charakteristische
Farbe. Durch Kombination verschiedener Stoffe in der Leuchtstoffschicht kann man eine für die
jeweilige Anwendung geeignete Farbe einstellen (z.B. ein warmes“ Weiß für Raumbeleuchtung).
”
Die Leuchtstofflampe wird parallel zum Starter“ und in Reihe mit einer Spule geschaltet.
”
Der Starter unterbricht den Stromkreis kurz nach dem Einschalten, wodurch eine hohe Spannung
durch Selbstinduktion an der Spule entsteht. Durch den Spannungsstoß wird die Lampe gezündet.
Danach dient die Spule zur Strombegrenzung und wird daher auch als Ballast bezeichnet. Leuchtstofflampen erreichen mit bis zu 100 lm/W das Sechsfache der Effizienz von Glühlampen.
Die modernen Energiesparlampen sind U-förmig gebogene Leuchtstoffröhren, die zusammen
mit dem Starter und dem Ballast auf einem Sockel untergebracht sind, damit sie anstelle von konventionellen Glühlampen eingesetzt werden können.
Für hohe Beleuchtungsstärken wie z.B. Straßenbeleuchtung verwendet man Hochdruck-Natriumdampf- oder Quecksilberdampf-Lampen, in denen das Licht durch eine Bogenentladung erzeugt wird. In diesen Lampen ist die (heiße) Kathode mit einer Oxydschicht versehen, die den
Austritt von Elektronen erleichtert. Die höchsten Wirkungsgrade erzielt man mit NatriumdampfLampen: Die Hochdruckausführung erreicht 100 lm/W, die Niedrigdrucklampe sogar 180 lm/W,
das Zehnfache der Effizienz einer Glühlampe.
Frage 3.4 Wieviel Strom spart man prozentual durch die Verwendung von Energiesparlampen statt Glühlampen?
11 Für
weitere Einzelheiten s. z.B. Horst Hänsel und Werner Neumann, Physik, Band II, Abschnitt 3.4.
Leuchtstofflampen gehören deshalb zum Sondermüll.
12 Defekte
55
3.3. EINFACHE SCHALTKREISE UND NETZWERKE
3.3
3.3.1
Einfache Schaltkreise und Netzwerke
Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen und
Kondensatoren
Wenn eine Anzahl von Widerständen R1 , R2 , . . . hintereinander, d.h. in Reihe (s. Abb. 3.8(a))
an eine Spannungsquelle U angeschlossen werden, fließt zwangsläufig durch jeden Widerstand der
gleiche Strom I . Für den Spannungsabfall Ui am Widerstand Ri gilt daher
Ui = I Ri ,
und die Gesamtspannung ist
U =I
X
Ri = I Rr .
i
Der gleiche Strom würde fließen, wenn wir einen einzelnen Widerstand
Rr =
X
Ri
i
an die Spannungsquelle anschließen würden.
Der effektive Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung von Widerständen ist die Summe
der Einzelwiderstände.
I
U1
R1
U2
R2
U3
R3
I
U
U4
Abbildung 3.8: (a) Reihenschaltung und (b)
Parallelschaltung von Widerständen.
R1
R2
R3
R4
I1
I2
I3
I4
U
R4
(a)
(b)
Betrachten wir nun eine Anzahl von Widerständen, die parallel geschaltet sind (Abb. 3.8(b)).
In diesem Fall liegt an allen Widerständen die gleiche Spannung, wobei die Ströme I1 , I2 , . . .
unterschiedlich sind. Für den Strom Ii gilt
Ii = U/Ri ,
und der Gesamtstrom ist
I =U
X
i
(1/Ri ) = I /Rp .
56
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
Der effektive Gesamtwiderstand Rp ist durch
X 1
1
=
Rp
Ri
i
gegeben. Bei Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die reziproken Widerstände, d.h.
die Leitwerte.
Der effektive Leitwert einer Parallelschaltung von Widerständen ist die Summe der einzelnen Leitwerte.
Bei Parallel- bzw. Reihenschaltung von Kondensatoren verhält sich die Kapazität wie der Leitwert von Widerständen: Die Gesamtkapazität (Cp ) von parallelgeschalteten Kondensatoren ist die
Summe der Einzelkapazitäten:
X
Cp =
Ci .
i
Bei Reihenschaltung addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten :
X 1
1
=
.
Cr
Ci
i
Frage 3.5 Beweisen Sie die o.a. Beziehungen für die Parallel- bzw. Reihenschaltung von
Kondensatoren.
3.3.2 Ladung und Entladung von Kondensatoren
Ein zunächst ungeladener Kondensator C sei über einen Schalter S1 und einen Widerstand R
an eine zeitlich konstante Spannung U◦ angeschlossen, s. Abb. 3.9. Wenn der Schalter geschlossen
wird, fließt ein Strom durch den Widerstand, und der Kondensator wird geladen. Der Ladevorgang
ist abgeschlossen, wenn die Spannung des Kondensators den Wert U◦ erreicht hat, aber wie ist der
zeitliche Verlauf?
U
Ladung
Uo
S1
RC
S2
I
t
Uo
C
U
Abbildung 3.9: Links: Schaltung zum Laden
bzw. Entladen eines Kondensators. Rechts:
Zeitlicher Verlauf der Spannung beim Laden
und Entladen.
R
U Entladung
Uo
RC
t
3.3. EINFACHE SCHALTKREISE UND NETZWERKE
57
Zum Zeitpunkt t sei die Kondensatorspannung U (t). Die am Widerstand R an liegende Spannung ist U◦ − U . Der Strom ist damit
I = (U◦ − U )/R.
Der Strom ist aber gerade die Ableitung der Kondensatorladung Q, d.h.
I = Q̇ = C U̇ .
Wenn wir I aus den letzten beiden Gleichung eliminieren, erhalten wir eine Differentialgleichung
für U :
RC U̇ = U◦ − U.
Die Lösung mit der Anfangsbedingung U (0) = 0 ist
U = U◦ 1 − e−t/RC .
Die Spannung nähert sich also exponentiell dem Endwert U◦ (s. Abb. 3.9). Ähnlich läßt sich zeigen,
daß, wenn wir beim voll geladenen Kondensator den Schalter S1 öffnen und den Kondensator durch
Schließen des Schalters S2 entladen, die Spannung nach
U = U◦ e−t/RC
exponentiell auf Null fällt (Abb. 3.9). Sowohl beim Laden als auch beim Entladen ist die Zeitkonstante durch das Produkt RC gegeben.
Die Energie, die beim Laden des Kondensators als Wärme im Widerstand verloren geht, ist
nach Gleichung (3.3)
Z
Z ∞
U◦2 ∞ −2t/RC
CU◦2
(U◦ − U )2
dt =
e
dt =
.
R
R 0
2
0
Dieser Verlust ist, unabhängig von der Größe des Widerstands R, genauso groß wie die im Kondensator gespeicherte Energie (s. 2.10). Beim Laden eines Kondensators geht also immer die Hälfte
der Energie verloren!
3.3.3
Innerer Widerstand
Wie schon oben (s. 3.2.3) erwähnt wurde, haben normale Stromquellen (Batterien) einen inneren Widerstand, durch den der Strom auch fließen muß. Es sei U die Spannung, die an den
Klemmen einer Batterie liegt, wenn keine Last angeschlossen ist. Diese wird auch als Urspannung bezeichnet. Schließen wir einen Widerstand R an die Batterie an, fließt nicht der Strom
U/R, sondern U/(R + Ri ), wo Ri der innere Widerstand der Batterie ist. An den Klemmen liegt
jetzt nicht mehr die Urspannung sondern die sog. Klemmspannung:
Uk =
U
.
1 + Ri /R
(3.7)
Für R Ri ist der Spannungsabfall vernachlässigbar, d.h. Uk ≈ U . Für R Ri erreicht man den
Kurzschlußstrom, d.h. den maximalen Strom, den die Batterie liefern kann:
Imax = U/Ri .
58
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
Mit fortschreitender Entladung steigt der innere Widerstand eines Bleiakkumulators (s. S. 50).
So kann es vorkommen, daß der Anlasser eines Autos, der sehr viel Strom braucht, nicht in der
Lage ist, den Motor zu starten, obwohl kleine Verbraucher wie die Scheinwerfer oder das Radio
noch funktionieren.
Elektronisch stabilisierte Spannungsquellen haben eine interne Regelung, die dafür sorgt, daß
die Klemmspannung unabhängig vom Strom (innerhalb gewisser Grenzen) konstant bleibt. Eine
solche Quelle verhält sich wie eine Batterie mit einem verschwindend kleinen inneren Widerstand.
Schließt man ein Spannungsmeßgerät, d.h. ein Voltmeter oder ein als Voltmeter geschaltetes
Multimeter an eine Batterie an, um die Spannung zu messen, wird die Messung gem. Gleichung
(3.7) verfälscht, wo R hier den inneren Widerstand des Meßinstruments darstellt. Der innere Widerstand eines Voltmeters muß daher möglichst hoch sein. Dieses Problem kann man aber mit einer
sog. Kompensationsschaltung umgehen (s. Abb. 3.10). Eine Quelle mit bekannter Spannung U◦
Galvanometer
I =0
Uo
(bekannt)
Abbildung 3.10: Kompensationsschaltung
zur Bestimmung der Urspannung einer
Spannungsquelle. Wenn kein Strom durch
den rechten Kreis fließt, gilt U = U◦ l/ l◦ .
lo
l
U
(unbekannt)
Potentiometer
wird an ein sog. Potentiometer angeschlossen. In seiner einfachsten Form besteht ein Potentiometer aus einem langen Draht mit einem Schleifkontakt. Unter der Annahme, daß der Querschnitt des
Drahts über die gesamte Länge (l◦ ) konstant bleibt, fällt das Potential linear von einem Ende zum
anderen ab. Greift man also eine Länge l ab, entspricht dies der Spannung U◦ l/ l◦ . Der Widerstand
des Drahts kann immer so hoch gewählt werden, daß der innere Widerstand der Standardquelle
keine Rolle spielt.
Die unbekannte Spannung U wird über ein Galvanometer (ein empfindliches Strommeßgerät,
das jedoch nicht geeicht sein muß) an das Potentiometer angeschlossen, und der Schleifkontakt
wird bewegt, bis kein Strom durch das Galvanometer fließt. Unter diesen Bedingungen ist die
abgegriffene Spannung gleich der Klemmspannung der unbekannten Quelle, die im stromlosen
Zustand gleich der Urspannung ist.
3.3.4
Netzwerke: die Kirchhoffschen Gesetze
1854 veröffentlichte Kirchhoff13 zwei Gesetze, die es uns erleichtern, den Stromfluß in komplexen Netzwerken zu berechnen. Um zunächst die Begriffe zu erläutern, die zur Beschreibung von
Netzwerken verwendet werden, zeigt Abb. 3.11 einen Ausschnitt aus einem möglichen Netzwerk.
Die Verzweigungspunkte (A,B,C,D in der Abbildung) bezeichnet man als Knoten. Die Verbin13 Gustav
Robert Kirchhoff (1824–1887).
59
3.3. EINFACHE SCHALTKREISE UND NETZWERKE
I5 A
I6
R1
R2
D
I4
I3
R3
R5
I1
U1
+
-
R4
-
B
+
I2
Abbildung 3.11: Ausschnitt aus einem Netzwerk: A, B, C, D sind Knoten, AB, BC, CD
und DA sind 4 Zweige, die zusammen eine
Masche bilden.
C
U2
dung zwischen zwei benachbarten Knoten (z.B. AB, BC, CD) nennt man einen Zweig. Schließlich
wird ein geschlossener Weg im Netz (z.B. ABCDA) als Masche bezeichnet.
Das 1. Kirchhoffsche Gesetz bezieht sich auf die Ströme, die sich in einem Knoten treffen, und
wird daher auch als Knotengesetz bezeichnet:
1. Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die algebraische Summe der eintreffenden Ströme gleich Null:
X
Ii = 0.
Knoten
Dieses Gesetz folgt aus der Ladungserhaltung: An einem Knotenpunkt kann Ladung weder erzeugt
noch vernichtet werden. Das Wort algebraisch‘ bedeutet, daß wir die Vorzeichen genau beachten
’
müssen. Rechnen wir alle Ströme, die zum Knoten hin fließen, als positiv, müssen wir die Ströme,
die vom Knoten weg fließen, mit einem negativen Vorzeichen versehen (oder umgekehrt). Dies bedeutet z.B. für den Knoten A in Abb. 3.11 mit den dort durch Pfeile angezeigten Stromrichtungen:
−I1 + I4 − I5 + I6 = 0.
Das 2. Kirchhoffsche Gesetz ergibt sich aus der Tatsache, daß die Summe aller Spannungen
auf einem geschlossenen Weg immer Null sein muß (s. 2.5). Kirchhoff wandte dieses Prinzip auf
eine Masche an, deshalb heißt das Gesetz auch Maschengesetz:
2. Kirchhoffsches Gesetz: Die algebraische Summe aller Spannungsabfälle in einer Masche ist Null:
X
Ui = 0.
Masche
Um das 2. Kirchhoffsche Gesetz auf eine Masche anzuwenden, müssen wir eine Umlaufrichtung festlegen und die Spannungsabfälle aufaddieren. Der Spannungsabfall über einen Widerstand
R, der den Strom I führt, ist I R in Stromrichtung bzw. −I R entgegen der Stromrichtung. Der
Spannungsabfall über eine Batterie mit der Spannung U ist U von plus nach minus bzw. −U in
umgekehrter Richtung. Für die Masche ABCDA in Abb. 3.11 gilt also (links herum):
I1 R3 + U1 + I2 R4 − U2 + I3 R5 + I4 (R1 + R2 ) = 0.
60
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
A
4R
+
-
R
I2
B
U
I1
2R
R
I3
D
C
4R
Abbildung 3.12: Beispiel für ein Netzwerk.
Als Beispiel für die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze zeigt Abb. 3.12 ein Netzwerk
mit 4 Knoten (A, B, C, D) und 6 Zweigen. Ein Zweig ist mit einer Batterie mit der Spannung
U , die übrigen mit Widerständen der angegebenen Werte besetzt. Wir wollen die Ströme in allen
6 Zweigen bestimmen, d.h. es gibt 6 Unbekannte. Mit einem einfachen Trick können wir aber
die Anzahl der Unbekannten reduzieren, wobei das 1. Kirchhoffsche Gesetz automatisch erfüllt
wird: Wir stellen den Stromfluß als Kreisströme I1 , I2 , I3 in den 3 Maschen ABD, ACB bzw. BCD
dar. Der Strom I1 fließt durch alle 3 Zweige AB, BD und DA, der Strom I2 durch AC, CB und
BA, und der Strom I3 durch BC, CD und DB. Solche Kreisströme erfüllen offensichtlich das 1.
Kirchhoffsche Gesetz, so daß wir nur noch das zweite berücksichtigen müssen. In den Zweigen,
die zu zwei Maschen gehören, ergibt sich der tatsächliche Strom aus der algebraische Summe der
entsprechenden Kreisströme. Die in den 6 Zweigen fließenden Ströme sind also:
AB: I1 − I2 BC: I3 − I2 BD: I1 − I3
DA: I1
AC: I2
CD: I3
Das Problem ist vollständig gelöst, wenn wir die 3 Unbekannten I1 , I2 , I3 bestimmt haben.
Hierfür benötigen wir 3 lineare Gleichungen, die wir durch Anwendung des 2. Kirchhoffschen
Gesetzes auf die 3 Maschen ABD, ACB und BCD erhalten:
ABD:
ACB:
BCD:
4R(I1 − I2 ) + R(I1 − I3 ) − U = 0
RI2 + 2R(I2 − I3 ) + 4R(I2 − I1 ) = 0
2R(I3 − I2 ) + 4RI3 + R(I3 − I1 ) = 0
Durch Umformen erhalten wir die Gleichungen
5I1 − 4I2 − I3 = U/R
4I1 − 7I2 + 2I3 = 0
I1 + 2I2 − 7I3 = 0,
mit den Lösungen:
I1 =
U
U
U
, I2 =
, I3 =
.
2R
3R
6R
61
3.4. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
3.4
Antworten zu den Fragen
Frage 3.1 Der spezifische Widerstand ist Widerstand × Fläche/Länge. Die Einheiten sind damit
m. Die Einheiten der Leitfähigkeit ergeben sich aus dem Kehrwert: S m−1 .
Frage 3.2 Der spezifische Widerstand bei 25◦ C ist
ρ = (1 + 25/253) · 1,5 · 10−8 m = 1,65 · 10−8 m.
Für die Länge d = 1 m und die Querschnittsfläche A = πr 2 = 10−6 π m2 beträgt der Widerstand
R=
dρ
= 5,25 · 10−3 .
A
Frage 3.3 Die Einheit kW h entspricht dem Produkt einer Leistung (kW) mit einer Zeit (h), also
einer Arbeit bzw. Energie. 1 kW ist 1000 W, und 1 h ist 3600 s. Es gilt also
1 kW h = 3,6 · 106 J.
Frage 3.4 Bei gleicher Lichtleistung ist der Stromverbrauch umgekehrt proportional zur
Leuchteffizienz (17 bzw. 100 lm/W). Das Verhältnis ist also in diesem Fall 17/100 = 0,17. Man
spart also 83%.
Frage 3.5 Bei Parallelschaltung haben alle Kondensatoren die gleiche Spannung. Die im Kondensator Ci gespeicherte Ladung ist Qi = U Ci und die Gesamtladung ist
Q=U
X
Ci = U C p .
i
Bei Reihenschaltung haben alle Kondensatoren die gleiche Ladung, und die Spannung ist
U =Q
X
(1/Ci ) = Q/Cr .
i
62
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEITUNG
63
Kapitel 4
Bewegte Ladungen und Magnetfelder
4.1
Einleitung
Magnetische Stoffe haben nur ein Dipolmoment und nie eine magnetische Ladung“, d.h. ma”
gnetische Monopole sind nie beobachtet worden. Im Prinzip kann man jedoch die Wechselwirkung
zweier Monopole mit Hilfe von zwei langen Stabmagneten simulieren, indem man ein Ende des
einen Magnets in die Nähe eines Pols des anderen bringt, während die beiden anderen Enden
möglichst weit voneinander entfernt gehalten werden. Man findet dann ein dem Coulomb-Gesetz
entsprechendes Kraftgesetz. Verfolgt man mit Hilfe eines solchen Monopols“ die Feldlinien eines
”
magnetischen Dipols, findet man das gleiche Bild wie beim Feld eines elektrischen Dipols.
Die Pole des magnetischen Dipols bezeichnet man nicht wie in der Elektrostatik als Plus”
pol“ und Minuspol“, sondern als Nord- und Südpol. Der Nordpol einer Kompaßnadel zeigt nach
”
Norden1 . Früher hat man elektromagnetische“ Einheiten für Polstärke und magnetisches Dipol”
moment über das o.g. Kraftgesetz definiert. Heute verwendet man nur das Ampere als einzige
SI-Basiseinheit der Elektrodynamik.
In diesem Kapitel wollen wir die Beziehungen zwischen elektrischen und magnetischen
Größen untersuchen. Zunächst stellen wir fest, daß zwischen einer ruhenden Ladung und einem
ruhenden Magneten keine Wechselwirkung stattfindet. Dagegen werden bewegte Ladungen von
einem Magnetfeld abgelenkt. Wir stellen also fest:
1. Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf bewegte Ladungen aus. Diese Kraft wird als Lorentz-Kraft bezeichnet.
Durch Anbringen einer Gegenkraft könnten wir die Ladung dazu zwingen, sich geradlinig mit
konstanter Geschwindigkeit an einem ruhenden Magneten vorbei zu bewegen. Betrachten wir nun
den gleichen Versuch aus einem Bezugssystem, in dem die Ladung ruht und der Magnet sich bewegt: Da dieses auch ein Inertialsystem ist, müssen die gleichen Kräfte herrschen. Die Kräfte, die
auf eine ruhende Ladung einwirken, müssen wir aber als elektrostatische Kräfte interpretieren, damit unsere Definition des elektrischen Feldes konsistent ist. Aufgrund der Bewegung des Magneten
entsteht also am Ort der Ladung ein elektrisches Feld. Die primäre Wirkung der Bewegung ist aber
einer Änderung des magnetisches Feldes am Ort der Ladung. Als Konsequenz der Beobachtung 1
können wir also auch folgendes feststellen:
2. Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.
1 Dies
hat zu Konsequenz, daß der magnetische Nordpol“ der Erde eigentlich ein Südpol ist!
”
64
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
Wenn ein ruhender magnetischer Dipol eine Kraft auf eine bewegte Ladung ausübt, so wird er
eine Reaktionskraft erfahren. Daraus müssen wir schließen, daß durch die Bewegung der Ladung
ein Magnetfeld am Ort des Dipols entsteht:
3. Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder.
Durch die Bewegung der Ladung ändert sich das elektrische Feld am Ort des magnetischen
Dipols mit der Zeit. Wenn wir die gleiche Änderung des E-Felds mit anderen Mitteln (z.B. der
Bewegung mehrerer Ladungen) bewirken, ist die Wirkung für den Dipol die gleiche. Die Änderung
des elektrischen Feldes ist daher die Ursache des magnetischen Feldes:
4. Ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld.
Im folgenden wollen wir diese verschiedenen Effekt quantitativ beschreiben, wobei wir uns
in diesem Kapitel auf die Effekte 1 und 3 beschränken wollen. Die explizit Behandlung zeitlich
veränderlicher E- und B-Felder erfolgt später.
4.2
Grundeigenschaften des magnetischen Feldes
4.2.1
Die Lorentz-Kraft
Experimentell findet man, wenn wir das magnetische Feld mit B bezeichnen, daß die LorentzKraft proportional zur Ladung q, zur Geschwindigkeit v, zur Feldstärke B und zum Sinus des
Winkels zwischen v und B. Die Kraft ist ferner parallel zu v × B, steht also senkrecht auf v und
B. Diese Beobachtungen kann man in folgender Form zusammenfassen:
Die Lorentz-Kraft:
FL = kqv × B.
(4.1)
Diese Beziehung verwendet man, um die Einheiten des Feldes B (magnetische Induktion oder
einfach B-Feld) festzulegen, indem man die Proportionalitätskonstante k gleich 1 setzt. Damit
ergibt sich für die Einheiten des B-Feldes (mit 1 N = 1 kg m s−2 ): kg C−1 s−1 . Dieser Einheit hat
man den Namen Tesla (T)2 gegeben. Es ist also
1 T = 1 kg C−1 s−1 .
Eine Ladung von 1 C, die sich mit einer Geschwindigkeit von 1 m s−1 senkrecht zu einem Feld von
1 T bewegt, erfährt eine Kraft von 1 N. Die Stärke des Erdmagnetfeldes liegt in der Größenordnung
von 10−4 T.
Frage 4.1 Welche Kraft wirkt auf eine Ladung von 0,1 C, die sich mit einer Geschwindigkeit
von 10 m s−1 in einem Winkel von 30◦ zu einem B-Feld von 0,5 T bewegt?
Als Konsequenz der Lorentz-Kraft erfährt ein stromführender Leiter, der sich in einem Magnetfeld befindet, eine Kraft, die senkrecht zum B-Feld und zur Richtung des Stroms steht. Es sei
n die Anzahl der Ladungsträger, von den jeder die Ladung q 0 trägt, pro Länge des Drahts und v
ihre Geschwindigkeit. Der Strom ist
I = nq 0 v,
(4.2)
2 Nach
Nikola Tesla (1856–1943).
4.2. GRUNDEIGENSCHAFTEN DES MAGNETISCHEN FELDES
65
und die Lorentz-Kraft, die auf ein Stück ds des Drahts wirkt, ist
dF = nq 0 vds × B = I ds × B.
(4.3)
Steht das B-Feld senkrecht zum Draht, ist der Betrag der Kraft pro Längeneinheit gleich I B. Wenn
wir die Stromrichtung als x1 -Richtung und B als x2 -Richtung nehmen, zeigt die Kraft in Richtung
(0, 0, 1).
Da die Lorentz-Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung ist, kann sie keine Arbeit leisten. Die
kinetische Energie eines geladenen Teilchens kann nur mit Hilfe eines elektrischen Feldes erhöht
werden. Bewegt sich ein Teilchen (Masse m, Ladung q) in einer Ebene, die senkrecht zu einem
homogenen B-Feld steht, beschreibt es eine Kreisbahn (Radius r, Kreisfrequenz ω), bei der die
Lorentz-Kraft qωrB die Zentripetalkraft mω2 r liefert. Die Gleichheit der beiden Kräfte ergibt
ω = qB/m,
d.h. die Kreisfrequenz ist unabhängig von der Teilchenenergie. Dieses Phänomen ist die Basis für
das Zyklotron, in dem Teilchen (Elektronen ) durch eine Wechselspannung der Frequenz ω beschleunigt werden. Die Frequenz ω wird aus diesem Grunde als Zyklotronfrequenz bezeichnet. Die
Konstanz der Zyklotronfrequenz gilt allerdings nur im nichtrelativistischen Bereich. Bei höheren
Energien muß die Frequenz der Wechselspannung laufend der Bewegung des Elektrons angepaßt
werden. Dies geschieht im sog. Synchrotron.
Frage 4.2 Berechnen Sie die Zyklotronfrequenz in Hz eines Protons (q = 1,60·10−19 C,
m =1,67·10−27 kg) im Magnetfeld der Erde (10−4 T).
4.2.2
Das B-Feld bewegter Ladungen
Die experimentellen Beobachtungen lassen sich wie folgt zusammenfassen:
B=
µ◦ qv × r
.
4πr 3
(4.4)
Diese Formel gibt das B-Feld an, das an einem bestimmten Punkt P von einer Punktladung q erzeugt wird, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wobei r der Vektor vom augenblicklichen
Ort der Ladung zum Punkt P ist. Demnach ist der Betrag des B-Feldes proportional zu qvB sin α
(α = Winkel zwischen r und v) und fällt quadratisch mit der Entfernung ab. Ferner steht das BFeld senkrecht zu der von den Vektoren v und r aufgespannten Ebene. Die Feldlinien sind also
Kreise um die Richtung von v. Ist q positiv, entspricht das Vorzeichen von B einer Rechtsschraube
in Richtung von +B. Bei einer negativen Ladung ist die Drehrichtung umgekehrt. Die Proportionalitätskonstante in Gleichung (4.4) wird aus historischen Gründen in der Form µ◦ /4π geschrieben.
Auf den Wert von µ◦ kommen wir später zurück.
Frage 4.3 Eine Punktladung q bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v auf der x1 Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Geben Sie die 3 Komponenten des B-Feldes als
Funktionen der Raumkoordinaten (x1 , x2 , x3 ) an, wenn sich die Ladung gerade am Ursprung
befindet.
Ein scheinbares Problem taucht auf, wenn wir die Wechselwirkung zwischen zwei bewegten
Ladungen betrachten. Die Ladungen seien q1 , q2 mit den Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 , und r sei
der Verbindungsvektor von q1 nach q2 . Es seien ferner Eij , Bij die Felder der Ladung qi an der
66
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
Stelle der Ladung qj und Fij die auf qj wirkende Kraft. Aus (4.1), (4.4) und dem Coulomb-Gesetz
folgt für F12
F12
q1 r
,
4π◦ r 3
µ◦ q1
v × r,
4π r 3 1
q1 q2 r
= q2 (E12 + v2 × B12 ) =
+ µ◦ v2 × (v1 × r) .
4πr 3 ◦
E12 =
B12 =
und für F21
F21
q2 r
,
4π◦ r 3
µ◦ q2
v × r,
4πr 3 2
q1 q2 r
= q1 (E21 + v1 × B21 ) = −
+ µ◦ v1 × (v2 × r) .
4πr 3 ◦
E21 = −
B21 = −
Im allgemeinen gilt nicht F12 = −F21 . Somit verletzt diese Wechselwirkung das 2. Newtonsche
Gesetz und damit scheinbar die Impulserhaltung, die eine Konsequenz des Gesetzes ist. Ferner
sind die Kräfte nicht parallel zum Verbindungsvektor (d.h. nicht zentral), womit auch die Drehimpulserhaltung anscheinend verletzt wäre. Das Problem kann nur durch Betrachtung der elektromagnetischen Strahlung aufgelöst werden: Durch die Kräfte werden die Ladungen beschleunigt;
beschleunigte Ladungen senden elektromagnetische Strahlung aus; elektromagnetische Strahlung
trägt sowohl Impuls als auch Drehimpuls.
Es ist experimentell schwierig, die Magnetfelder einzelner bewegter Ladungen zu messen. Die
Erkenntnisse, die zur Gleichung (4.4) geführt haben, wurden daher weitgehend aus Messungen an
elektrischen Strömen gewonnen.
4.2.3 Magnetfelder elektrischer Ströme
v
q
P
+B
r
(a)
I
ds
r
Abbildung 4.1: Zur Berechnung des Magnetfeldes (a) einer bewegten Punktladung,
(b) eines Stromes.
P
+ dB
(b)
Aus (4.4) wollen wir eine Gleichung ableiten, die auf stromführende Leiter anwendbar ist.
Dazu zeigt Abb. 4.1 die Äquivalenz zwischen einer bewegten Punktladung (a) und einem Element
der Länge ds eines Stromkreises mit der Stromstärke I . Wir berechnen den Beitrag, den dieses
67
4.2. GRUNDEIGENSCHAFTEN DES MAGNETISCHEN FELDES
Stromelement zum B-Feld am Punkt P macht (Abb. 4.1(b)). Im Leiterstück ds befindet sich die
Ladung nq 0 ds, die sich mit der Geschwindigkeit
v=
I ds
nq 0 ds
bewegt, wo n und q 0 die gleiche Bedeutung wie in (4.2) haben. Setzen wir diese Größen für q und
v in (4.4) ein, erhalten wir
dB =
µ◦ I ds × r
4πr 3
(4.5)
Dies ist das Biot-Savart-Gesetz. Das B-Feld einer Stromschleife 6 ist
I
µ◦ I
ds × r
B=
.
4π 6 r 3
Frage 4.4 Benutzen Sie das Biot-Savart-Gesetz (4.5), um das B-Feld in einer Entfernung a
von einem langen, geraden Leiter zu berechnen, der einen Strom I trägt.
Eine sehr nützliche Beziehung erhalten wir, wenn wir das Linienintegral des Feldes um einen
geschlossenen Weg 0 bilden:
I
I I
ds × r.dr
µ◦ I
B.dr =
.
(4.6)
4π 0 6
r3
0
Abb. 4.2 (a) zeigt eine geometrische Interpretation dieser Doppelintegration: Der Punkt P wird um
Q
P
ds
dr
r
Integrationsweg Γ
Abbildung 4.2: Zur Ableitung des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes:
(a) Doppelintegral über ds und dr. Der
Punkt P bewegt sich um den Stromkreis 6,
der Punkt Q um den Weg 0.
(b) Äquivalente Darstellung: Der Punkt P
wird festgehalten, und der Punkt Q wird in
den Schritten dr und −ds zweidimensional
verschoben.
I
(a)
-d s d r
Q
Stromkreis Σ
P
r
Γ
(b)
den Vektor ds, der Punkt Q um dr verschoben. Zur vollständigen Auswertung des Integrals muß
P einmal um den Weg 6—den Weg des elektrischen Stroms—und Q einmal um den gewählten
Integrationsweg 0 laufen.
Eine Äquivalente geometrische Darstellung ist in Abb. 4.2 (b) wiedergeben: P wird nun festgehalten, und der Weg 0 wird insgesamt um den Vektor −ds verschoben. Zur Auswertung des
Integrals muß jeder auf 0 liegende Punkt einmal um einen zu 6 parallelen Weg laufen. Dadurch
wird eine geschlossene Fläche aufgespannt. Aufgrund der Vektorbeziehungen
a.(b × c) = c.(a × b) = b.(c × a) = −a.(c × b) usw.
68
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
läßt sich Gleichung (4.6) wie folgt umformen:
I
I I
µ◦ I
r.[(−ds) × dr]
B.dr =
.
4π 0 6
r3
0
Das Vektorprodukt −ds × dr ist das vom Punkt P aus gesehen nach außen gerichtetes
Flächenelement, und das skalare Produkt dieses Flächenelements mit dem Vektor r, dividiert durch
r 3 , ist der Raumwinkel des Flächenelements bezogen auf den Punkt P. Die Integration ergibt also
den gesamtem Raumwinkel der geschlossenen Fläche am Punkt P, d.h. 4π oder 0, je nach dem, ob
der Punkt P innerhalb oder außerhalb der Fläche liegt. P liegt aber nur dann innerhalb der Fläche,
wenn die beiden Wege 0 und 6 ineinandergreifen, d.h. wenn der Strom I durch den Integrationsweg 0 hindurchfließt und außerhalb 0 zurückfließt. (Aufgrund der Ladungserhaltung bilden
Ströme immer geschlossene Schleifen, s. auch 3.3.4).
Wir erhalten also das Ergebnis:
I
µ◦ I, wenn 0 den Strom einschließt,
B.dr =
(4.7)
0
sonst.
0
Die beiden Fälle der Gleichung (4.7) werden in Abb. 4.3 (a) und (b) veranschaulicht. Wenn der
Stromkreis Σ
Σ
I
I
Γ
Integrationsweg Γ
(a)
I1 I2 I3 I4 I5 ........
(b)
Fläche F
j
df
Γ
Abbildung 4.3: Das Linienintegral von B
um Heinen geschlossenen Weg 0:
(a) H0 B.dr = µ◦ I ,
(b) H 0 B.dr = 0,
(c) H0 B.dr = µ◦ (I
R 1 + I2 + . . .),
(d) 0 B.dr = µ◦ F j .df .
(c)
Γ
(d)
Weg 0 mehrere Ströme einschließt (Abb. 4.3 (c)), muß die rechte Seite der Gleichung (4.7) durch
die Summe über alle Ströme ersetzt werden. Wir erhalten dann das sog. Durchflutungsgesetz, daß
zuerst von Ampère aufgestellt wurde:
Durchflutungsgesetz von Ampère:
I
X
B.dr = µ◦
Ii ,
(4.8)
0
i
wo die Summe über alle Ströme geht, die durch die Schleife 0 hindurchfließen.
Wenn der Stromfluß durch eine Stromdichte (s. 3.1) dargestellt wird, nimmt das Durchflutungsgesetz folgende Form an:
I
Z
B.dr = µ◦
0
j .df ,
F
(4.9)
69
4.3. ANWENDUNGEN
wo die Integration über eine beliebige Fläche F geht, die durch 0 begrenzt ist. Dieser Fall ist in
Abb. 4.3 (d) dargestellt. Wie im Abschnitt 2.5 können wir das Linienintegral auf der linken Seite
der Gleichung (4.9) mit Hilfe des Satzes von Stokes in ein Flächenintegral umrechnen:
I
Z
B.dr =
∇ × B.df .
0
F
Da Gleichung (4.9) für jeden beliebigen geschlossenen Weg gilt, folgt schließlich die Beziehung
∇ × B = µ◦ j ,
(4.10)
die als Differentialform des Durchflutungsgesetzes betrachtet werden kann.
Aus der Quellenfreiheit des B-Feldes (es existieren offenbar keine Monopole, so daß die ma”
gnetische Ladungsdichte“ überall gleich Null ist) folgt die Differentialbeziehung
∇.B = 0.
(4.11)
In den Gleichungen (4.10) und (4.11) werden die Grundeigenschaften des magnetischen Feldes
zusammengefaßt:
1. Gleichung (4.10) ist, wie das Durchflutungsgesetz, eine Konsequenz der Gleichung (4.4),
die das B-Feld einer bewegten Ladung angibt, und besagt, daß die Wirbelstärke des B-Feldes
proportional zur Stromdichte ist.
2. Gleichung (4.11) resultiert aus der Tatsache, daß es keine magnetischen Monopole gibt:
Die magnetischen Feldlinien haben keine Quellen oder Senken und bilden daher immer geschlossene Schleifen.
Frage 4.5 Vergleichen Sie die Eigenschaft des B-Feldes mit denen des E-Feldes.
4.3
Anwendungen
4.3.1 Kraft zwischen stromführenden Leitern
Betrachten wir zwei lange, gerade, parallele Leiter im Abstand d, die die Ströme I1 bzw.
I2 führen. Das Magnetfeld eines solchen Leiters kann man durch Anwendung des Biot-SavartGesetzes bestimmen (s. Frage 4.4). Es geht aber einfacher mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes.
Da die Feldlinien kreisförmig sind, ergibt das Linienintegral um einen Kreis mit dem Radius d das
Ergebnis 2π dB = µ◦ I . Das B-Feld des Stroms I1 am Ort des Stroms I2 ist damit
B12 =
µ◦ I1
,
2π d
und die auf eine Länge l des Stroms I2 ausgeübte Lorentz-Kraft ist nach (4.3)
F12 =
µ◦ lI1 I2
.
2πd
(4.12)
Die Leiter ziehen sich an, wenn I1 und I2 das gleich Vorzeichen haben.
Gleichung (4.12) wird verwendet, um die SI-Basiseinheit der Elektrodynamik, die Einheit des
elektrischen Stroms, zu definieren:
70
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
Das Ampere ist die Stärke eines konstanten Stroms, der, wenn er in zwei geradlinigen,
parallelen Leitern unendlicher Länge und vernachlässigbar kleinen, kreisförmigen Querschnitts fließt, die im Abstand von einem Meter voneinander im Vakuum angeordnet
sind, eine Kraft von 2 · 10−7 Newton pro Meter Länge verursacht.
Durch diese Definition wird der Wert von µ◦ , der Permeabilität des Vakuums, mit
µ◦ = 4π · 10−7 N A−2
festgelegt.
4.3.2
Der Hall-Effekt
Abb. 4.4 zeigt einen Ausschnitt eines Leiters, der einen rechteckigen Querschnitt hat und einen
Strom I führt. Die Richtung des Stroms nehmen wir als x1 -Achse des Koordinatensystems. Ein
B-Feld wird in x3 -Richtung angelegt. Nehmen wir an, daß die Ladungsträger positiv geladen sind.
Sie bewegen sich dann mit dem Strom in +x1 -Richtung und werden durch die Lorentz-Kraft nach
rechts (Richtung −x2 ) abgelenkt. Sie können den Leiter nicht verlassen, so daß sich eine positive
Ladung auf der einen Fläche und eine entsprechende negative Ladung auf der gegenüberliegenden
Fläche ansammelt. Dadurch entsteht ein elektrische Feld EH in −x2 -Richtung (s. Abb. 4.4). Dieser
Effekt wurde 1879 von Edwin H. Hall entdeckt und ist nach ihm benannt. Mit Hilfe eines Voltmeters mißt man zwischen den beiden Flächen eine Spannung UH = aEH , die sog. Hall-Spannung.
B
UH
a
b
EH
x3
x2
I
Abbildung 4.4: Zur Entstehung des HallEffekts.
x1
Sind die Ladungsträger aber negativ geladen, bewegen sie sich nach −x1 und werden nach links
abgelenkt, d.h. in −x2 -Richtung, genauso wie die positiven Ladungsträger. Das Feld ist also nicht
nach +x2 , sondern nach −x2 gerichtet. Aus dem Vorzeichen der Hall-Spannung kann man daher
auf das Vorzeichen der Ladungsträger schließen, z.B. ist es möglich, zwischen n- und p-Leitung in
Halbleitern (s. 3.2.2) zu unterscheiden.
Bei n Ladungsträgern pro Volumeneinheit mit der Ladung q und der Driftgeschwindigkeit ū
ist die Stromdichte (s. 3.2.1) j = nq ū. Der im betrachteten Leiter (Breite a, Dicke b) fließende
Strom ist damit
I = nabq ū.
(4.13)
71
4.3. ANWENDUNGEN
Die auf die Ladungsträger in x2 -Richtung wirkenden Kräfte sind −q ūB (Lorentz-Kraft) und qEH
(elektrostatische Kraft). Im Gleichgewicht müssen sich diese beiden Kräfte zu Null addieren, d.h.
(4.14)
EH = ūB.
Aus Messungen der Hall-Spannung bzw. des Hall-Feldes können wir also die mittlere Driftgeschwindigkeit ū der Ladungsträger (unabhängig von ihrer Ladung) nach
ū =
EH
U
= H.
B
aB
bestimmen. Wenn wir ū aus (4.13) und (4.14) eliminieren, erhalten wir folgende Gleichung für die
Hall-Spannung:
IB
UH =
.
(4.15)
nqb
Die Hall-Spannung hängt also von der Konzentration der Ladungsträger und ihrer Ladung ab.
Kennen wir die Ladung (z.B. bei Elektronen q = −e), könne wir aus der Hall-Spannung die
Dichte der Ladungsträger (n) bestimmen.
4.3.3 Magnetisches Dipolmoment einer Stromschleife
Betrachten wir eine rechteckige Stromschleife (Strom = I ) in einem homogenen Magnetfeld
B. Die Seiten des Rechtecks seien die Vektoren a, b, −a, −b, mit a ⊥ b, wobei das Vorzeichen
die Richtung des Stroms angibt (s. Abb. 4.5 (a)). Die auf die Stromelemente I a, I b, −I a, −I b
B
F1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
a
F4
I -b
b
-a
Abbildung 4.5: (a) Zur Bestimmung des
magnetischen Dipolmoments einer Stromschleife. (b) Aufbau einer beliebigen ebenen Stromschleife aus kleinen quadratischen
Schleifen.
F2
F3
(a)
wirkenden Kräfte sind nach (4.3) in der angegebenen Reihenfolge
F1 = I a × B, F2 = I b × B, F3 = −F1 , F4 = −F2 .
Die resultierende Kraft ist also 0, aber es gibt ein Drehmoment
M = −b × F1 + a × F2 = I [a × (b × B) − b × (a × B)] .
(b)
72
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
Mit Hilfe der Vektorbeziehung
p × (q × r) + r × (p × q) + q × (r × p) = 0
folgt
M = I (a × b) × B.
Das Drehmoment, das auf ein elektrisches Dipolmoment p in einem Feld E wirkt ist nach Gleichung (2.24) p × E. Wir können daher der oben betrachteten Stromschleife das magnetische Dipolmoment
pm = I a × b = I f
zuordnen, wobei f ein Vektor ist, der senkrecht zur Ebene der Stromschleife steht und dessen
Betrag gleich der von der Stromschleife eingeschlossenen Fläche ist. Dieses Ergebnis können
wir verallgemeinern, wenn wir von der Tatsache Gebrauch machen, daß jede ebene Stromschleife
sich beliebig genau durch eine Anordnung von kleinen quadratischen Schleifen annähern läßt (s.
Abb. 4.5 (b)). Die Ströme der inneren Schleifen heben sich gegenseitig auf, und die Summe über
alle kleinen Schleifen ergibt das Produkt der Stromstärke mit der Gesamtfläche.
Der Betrag des magnetischen Moments einer ebenen Stromschleife ist gleich dem Produkt der Stromstärke mit der von dem Strom eingeschlossenen Fläche. Das magnetische
Moment steht senkrecht zur Ebene der Stromschleife
Aus dieser Beziehung folgt eine für die Atomphysik wichtige Beziehung zwischen Drehimpuls
und magnetischem Moment: Stellen wir uns ein Teilchen (Masse m, Ladung q) vor, das sich auf
einer kreisförmigen Bahn (Radius r) mit der Drehgeschwindigkeit ω bewegt. Der Betrag des Drehimpulses ist L = mωr 2 . Gleichzeitig stellt die bewegte Ladung einen Strom dar, dessen Betrag
Ladung durch Umlaufzeit ist, d.h. I = qω/(2π ). Das magnetische Moment dieses Stroms ist
pm = π r 2 I = ωqr 2 /2.
Da pm und L parallel zueinander sind, gilt die Vektorbeziehung
pm =
q
L.
2m
Wenn wir für m die Massen des Elektrons me und für q die Ladung −e einsetzen, erhalten wir die
experimentell bestätigte Beziehung zwischen dem Bahndrehimpuls eines Elektrons in einem Atom
und dem damit verbundenen magnetischen Moment. Der Drehimpuls ist von der Größenordnung
~ (Planck-Konstante), und die Größe
µB =
e~
= 9,274 · 10−24 A m2
2me
wird als Bohrsches Magneton bezeichnet. Die magnetischen Dipolmomente der Atome sind also
in der Größenordnung von einigen µB .
Das Feld an einem Punkt, der sehr weit entfernt im Vergleich mit den Dimensionen des Stromkreises ist, können wir durch Analogie mit Gleichung (2.23) für den elektrostatischen Dipol angeben:
µ◦ pm 3(pm .r)r
B=−
−
.
(4.16)
4π r 3
r5
73
4.3. ANWENDUNGEN
R
I
r
Abbildung 4.6: Zur Berechnung des Magnetfeldes eines Toroids.
4.3.4
Magnetfeld eines Toroids
Unter einem Toroid versteht man eine ringförmige Spule, die auf einem Kern mit der Form eines Torus gewickelt ist (s. Abb. 4.6). Das Feld einer solchen Spule läßt sich am besten mit Hilfe des
Durchflutungsgesetzes bestimmen. Es sei R der Radius der Mittellinie der Spule (rot in Abb. 4.6)
und r der Radius der Wicklungen. Aus dem Biot-Savart-Gesetz und der Symmetrie des Problems
folgt, daß die B-Feldlinien überall parallel zur Spulenachse sind, d.h. sie sind kreisförmig. Trägt
die Spule N Wicklungen, schließt jeder Weg innerhalb der Spule den Strom NI ein, wo I der
Strom ist, der durch die Spule fließt. Für das Feld B auf der Achse der Spule gilt also
I
µ NI
B.dr = 2π RB = µ◦ N I ⇒ B = ◦
= µ◦ nI,
2π R
wo n die Anzahl der Wicklungen pro Länge der Spule ist.
Für R r gilt, daß sich die Feldstärke annähernd konstant über den Querschnitt der Spule ist.
Eine unendlich lange, gerade Spule kann man als Grenzfall eines Toroids für R → ∞ betrachten.
Es gilt daher
B = µ◦ nI = µ◦ i
(4.17)
(i = Strom pro Länge) für den gesamten Querschnitt einer solchen Spule. Diese ist auch eine gute
Näherung für den Mittelbereich einer endlich langen Spule, wenn die Länge viel größer als r ist.
Frage 4.6 Eine lange Spule hat 104 Wicklungen pro Meter. Welches B-Feld entsteht in der
Mitte bei einem Strom von 1 A?
4.3.5
Spezielle Stromkreise und Spulen
Kreisförmige Stromschleife
Abb. 4.7 (a) zeigt eine kreisförmige Stromschleife, die den Strom I trägt. Wir berechnen das
B-Feld an einem Punkt P auf der Symmetrieachse in einer Entfernung x vom Mittelpunkt des
Kreises. Der Beitrag des Stromelements I ds ist nach dem Biot-Savart-Gesetz
dB =
µ◦ I ds
.
4π(x 2 + r 2 )
74
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
Der Vektor B steht senkrecht zur Verbindungslinie von ds zum Punkt P. Wir können diesen Vektor
als Summe einer Radialkomponente dBr = dB cos α und einer Axialkomponente dBx = dB sin α
betrachten, s. Abb. 4.7 (a). Bei der Integration um die Stromschleife heben sich die Radialkomponenten auf, während sich die Axialkomponenten aufaddieren. Das resultierende Feld ist
Z
B=
µ◦ I sin α
dBx =
4π(x 2 + r 2 )
I
ds.
√
H
Mit sin α = r/ x 2 + r 2 und ds = 2πr folgt
B=
µ◦ I r 2
.
2(x 2 + r 2 )3/2
(4.18)
d Br
ds
I
x
r
α
dB
. dBx
P
(a)
Abbildung 4.7: Zur Berechnung des BFeldes (a) einer kreisförmigen Stromschleife, (b) einer endlichen Spule.
dx
...................................................................
x
b
a
.
Q
...................................................................
(b)
Spule endlicher Länge
Das Ergebnis des letzten Abschnitts können wir verwenden, um das B-Feld auf der Achse einer
endlich langen Spule exakt zu berechnen (Abb. 4.7 (b)). Bei einem Strom I und n Windungen pro
Längeneinheit der Spule stellt eine Scheibe der Dicke dx eine Stromschleife mit dem Strom nI dx
dar. Der Beitrag der Scheibe zum B-Feld am Punkt Q ergibt sich daher aus (4.18), indem wir I
durch nI dx ersetzen. Das Feld an der Stelle Q erhalten wir durch Integration zwischen den xKoordinaten der beiden Enden der Spule relativ zum Punkt P (a bzw. b):
nµ I r 2
B= ◦
2
Z
b
−a
dx
nµ I
= ◦
2
2
3/2
2
(x + r )
√
a
a2 + r 2
+√
b
b2 + r 2
.
(4.19)
Für a, b r geht diese Lösung in die aus dem Toroid abgeleitete Näherungslösung über.
Außerdem erkennt man, daß das Feld an den beiden Enden der Spule (a = 0 bzw. b = 0) auf die
Hälfte des Maximalwertes gefallen ist.
75
4.3. ANWENDUNGEN
Helmholtz-Spulen
Einen besonderen Trick, ein gut zugängliches, homogenes Magnetfeld zu erzeugen, entdeckte
Helmholtz3 : Er stellte zwei gleiche, kurze Spulen, die den gleichen Strom führten, parallel zueinander im Abstand des Radius auf. Das B-Feld auf der Symmetrieachse als Funktion der Entfernung
x vom Mittelpunkt der einen Spule läßt sich einfach aus (4.18) bestimmen:
B=
µ◦ I r 2 2
[x + r 2 ]−3/2 + [(r − x)2 + r 2 ]−3/2 .
2
r
r
B
x
1
B/Bmax
0,95
Abbildung 4.8: Helmholtz-Spulen. Die Kurve zeigt den Verlauf des Feldes auf der Achse zwischen den Spulen
0
0,5
x/r
1
Abb. 4.8 zeigt den Verlauf des Felds zwischen den Spulen. Man erkennt einen sehr flachen
Verlauf im zentralen Bereich. Selbst am Mittelpunkt einer Spule hat das Feld noch fast 95% des
Maximums.
Das Magnetfeld von Stromleitern
Ein Kabel, das eine Stromquelle mit einem Verbraucher verbindet, muß immer aus zwei Leitungen bestehen, weil der Strom in einem geschlossenen Kreislauf fließen muß. Solche Leitungen können Magnetfelder erzeugen, die störend wirken können, besonders dann, wenn es sich
um Wechselströme handelt, weil das magnetische Wechselfeld zu elektromagnetischer Strahlung
führt, die einen Energieverlust bedeutet.
Nehmen wir als Beispiel ein Kabel, das aus zwei parallelen Leitern im Abstand d besteht. Auf
einer Länge l hat das Leiterpaar die Fläche dl und bei der Stromstärke I das Dipolmoment I DL.
Das Dipolmoment pro Längeneinheit ist damit I d.
Strahlungsverluste sind insbesondere bei hohen Frequenzen bedeutend. Deshalb verwendet
man z.B. für die Leitung zu Fernsehantennen Koaxialkabel : Der Strom fließt in einer Richtung
durch einen Draht und entgegengesetzt durch einen mit diesem koaxialen Zylinder. Eine einfache
Anwendung des Durchflutungsgesetzes zeigt, daß das B-Feld außerhalb des Kabels verschwindet.
3 Hermann
Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821–1894
76
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
4.4
Das Vektorpotential des Magnetfeldes
Gibt es ein magnetisches Äquivalent zum elektrostatischen Potential? Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir zunächst einmal die wichtigsten Eigenschaften der E- und B-Felder
:
∇.E = ρ/◦
∇ ×E =0
∇.B = 0
∇ × B = µ◦ j
Wir haben gesehen, daß die Rotationsfreiheit des E-Feldes eine Konsequenz der Tatsache ist, daß
das E-Feld als Gradient eines skalaren Potentials (E = −∇φ) dargestellt werden kann. Folglich
können wir das B-Feld nicht als Gradient eines skalaren Potentials darstellen, weil die Rotation
nicht überall verschwindet. Die Quellenfreiheit des B-Feldes (∇.B = 0) hat jedoch zur Folge, daß
es sich als Rotation eines Vektorfeldes darstellen läßt:
B = ∇ × A,
(4.20)
da ∇.∇ × X = 0 für ein beliebiges Vektorfeld X ist4 . Das Vektorfeld A wird als Vektorpotential
des Magnetfeldes B bezeichnet.
Gleichung (4.20) reicht jedoch nicht aus, um das Vektorpotential eindeutig festzulegen, da
jedes Feld der Form
A0 = A + ∇ψ
die gleiche Rotation wie A hat (wegen ∇ × (∇ψ) = 0). Alle Funktionen sind jedoch physikalisch äquivalent, weil sie alle das gleiche B-Feld ergeben. Es steht uns also frei, die Funktion auszuwählen, die die einfachsten mathematischen Beziehungen ergibt. Eine sehr naheliegende Wahl
ergibt sich, wenn wir B in der Gleichung ∇ × B = µ◦ j durch ∇ × A ersetzen:
∇ × (∇ × A) = ∇(∇.A) − ∇ 2 A = µ◦ j .
Diese Gleichung nimmt eine besonders einfache Form an, wenn wir die weitere Festlegung
∇.A = 0
(4.21)
∇ 2 A = −µ◦ j .
(4.22)
machen, nämlich
Das Vektorpotential wird durch die Gleichungen (4.20) und (4.21) definiert. Gleichung (4.22)
ist dann eine Differentialgleichung, deren Lösungen das so definierte Potential sind.
Der besondere Vorteil dieser Darstellung wird klar, wenn wir Gleichung (4.22) in Komponenten schreiben
∇ 2 Ai = −µ◦ ji
(i = 1, 2, 3)
und mit Gleichung (2.14) vergleichen. Die Gleichungen sind formal identisch, und wir können
daher die Lösungen des elektrostatischen Falls (2.9) hier übernehmen, wobei wir 1/4π◦ durch
µ◦ /4π und ρ durch ji ersetzen müssen:
Z
ji (r 0 )dV 0
µ◦
Ai (r) =
(i = 1, 2, 3)
(4.23)
4π
|r − r 0 |
4 S.
z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 4.2.2.9.
77
4.4. DAS VEKTORPOTENTIAL DES MAGNETFELDES
bzw. als Vektorgleichung
Z
µ◦
j (r 0 )dV 0
A(r) =
(4.24)
4π
|r − r 0 |
Mit Hilfe der Gleichungen (4.23) bzw. (4.24) kann man das Vektorpotential einer beliebigen
Stromverteilung berechnen. Das B-Feld ist dann durch (4.20) gegeben. Wenn man den Operator
∇× auf Gleichung (4.24) anwendet, erhält man
Z
j (r 0 ) × (r − r 0 ) 0
µ◦
dV .
(4.25)
B=
4π
|r − r 0 |3
Gleichung (4.25) ist eine Verallgemeinerung des Biot-Savart-Gesetzes (4.5).
Frage 4.7 Zeigen Sie, daß das Biot-Savart-Gesetz aus (4.25) folgt.
Ersetzen wir das B-Feld durch das Vektorpotential, nimmt das Biot-Savart-Gesetz folgende
Form:
µ◦ I ds
dA =
(4.26)
4π |r − r 0 |
x2
x3
I
pm
a2
Abbildung 4.9: Zur Berechnung des Vektorpotentials eines magnetischen Dipols. Das
Bild zeigt eine rechteckige Stromschleife,
die symmetrisch zum Ursprung in der x1 x2 -Ebene liegt. Links: Blickrichtung −x3 ,
rechts: Blickrichtung x2 . Berechnet wird A
an der Stelle P mit dem Ortsvektor r. Es
wird r a1 , a2 angenommen.
x1
a1
P
s2
θ
a1
r
s1
x1
Als Anwendungsbeispiel soll das Vektorpotential einer kleinen Stromschleife, d.h. eines magnetischen Dipols (s. Abb. 4.9) berechnet werden. Die Stromschleife sei rechteckig und liege in
der x1 -x2 -Ebene symmetrisch zum Ursprung mit den Kanten parallel zu den x1 - bzw. x2 -Achsen
(Abb. 4.9 links). Die Kantenlängen seien a1 bzw. a2 und die Stromstärke sei I . Das Dipolmoment
ist parallel zur x3 -Achse, und dessen Betrag ist pm = I a1 a2 .
Der rechte Teil von Abb. 4.9 zeigt die gleiche Stromschleife mit Blickrichtung parallel zur x2 Achse. Es sei P ein Punkt in der x1 -x3 -Ebene mit dem Ortsvektor r. Nach Gleichung (4.26) setzt
sich das Vektorpotential am Punkt P aus vier Beiträgen zusammen, die jeweils parallel zu den vier
Kanten der Stromschleife sind. Die Beiträge der beiden parallel zur x1 -Achse liegenden Kanten
heben sich auf, weil sie von P gleich weit entfernt sind und entgegengesetzte Ströme tragen. Das
Vektorpotential am Punkt P ist daher parallel zur x2 -Achse, d.h. A1 = A3 = 0. Gleichung (4.26)
ergibt
µ◦ I a2 1
1
−
,
A2 =
4π
s1 s2
78
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
wo s1 und s2 die Entfernungen der beiden zu x2 parallelen Kanten von P sind. Anwendung des
Kosinussatzes auf die beiden durch r, s1 und s2 definierten Dreiecke ergibt
!
2
a
a
1
+ 1 − 1 sin θ ,
s12 = r 2
r
4r 2
!
2
a
a
1
s22 = r 2
+ 1 + 1 sin θ .
r
4r 2
Mit der Näherung a1 r folgt
1
1
≈
1+
s1
r
1
1
≈
1−
s2
r
a1
sin θ ,
2r
a1
sin θ ,
2r
und damit
µ◦ I a1 a2 sin θ
µ◦ pm sin θ
=
.
(4.27)
4πr 2
4π r 2
Im Rahmen der gemachten Näherung, d.h. bei Entfernungen, die viel größer als die Abmessungen der Stromschleife sind, ist das Feld Rotationssymmetrisch um pm . Dies bedeutet, daß A
immer senkrecht zu r und pm ist. Gleichung (4.27) läßt sich daher in folgender, von dem Koordinatensystem unabhängiger Form schreiben
µ p ×r
A= ◦ m 3 .
4πr
A2 =
4.5
Antworten zu den Fragen
Frage 4.1 Der Betrag der Kraft ist
F = qvB sin α = 0,1 · 10 · 0,5 · 0,5 N = 0,25 N.
Frage 4.2 Die Frequenz als Umdrehungen pro Sekunde ist
qB
.
2πm
Mit den angegebenen Werten erhalten wir f =1,52 kHz.
f =
Frage 4.3 Die Vektoren v und r in Gleichung (4.4) haben die Komponenten
v = (v, 0, 0); r = (x1 , x2 , x3 ),
und das Vektorprodukt ist
v × r = (0, −vx3 , vx2 ).
Das B-Feld ist also
B=
µ◦ qv(0, −x3 , x2 )
4π(x12 + x22 + x32 )3/2
.
79
4.5. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
P
r
a
I
x
α
dx
Abbildung 4.10: Zur Berechnung des Magnetfeldes eines unendlich langen, geradlinigen Stromleiters mit Hilfe des BiotSavart-Gesetzes.
Frage 4.4 Wir wenden das Biot-Savart-Gesetz an, um den Beitrag des Linienelements dx am
Punkt P (s. Abb. 4.10) zu bestimmen. Zunächst stellen wir fest, daß die Beiträge aller Elemente
die gleiche Richtung haben (senkrecht zur Ebene des Bildes, zum Betrachter hin), so daß wir nur
die Beträge addieren müssen. Der Betrag des Beitrags des Stromelements I dx ist
µ◦ I sin αdx
.
4πr 2
dB =
Mit
x = −a cot α ⇒ dx =
und r = a/ sin α folgt
Z
µI
B= ◦
4πa
π
sin αdα =
0
adα
sin2 α
µ◦ I
.
2π a
Frage 4.5 Die Quellen des elektrostatischen Feldes sind die Ladungen (∇E = ρ/◦ ), während
das B-Feld quellenfrei ist (∇B = 0). Die Wirbelstärke des B-Feldes ist die Stromdichte (∇ × B =
µ◦ j ), während das elektrische Feld wirbelfrei ist. (Die Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes gilt
aber nur für den Fall, daß B zeitlich konstant ist, wie wir später sehen werden.)
Frage 4.6
Anwendung der Formel B = µ◦ nI ergibt B ≈ 1,4 · 10−4 T
Frage 4.7 Aus Gleichung (4.5) folgt, daß das Magnetfeld an der Stelle r, das durch ein Stromelement I dr 0 an der Stelle r 0 hervorgerufen wird, durch
dB =
µ◦ I dr 0 × (r − r 0 )
4π |r − r 0 |3
gegeben ist. Es sei A die Querschnittsfläche des Drahts. Die Stromdichte ist
j=
I dr 0
I dr 0
=
,
Adr 0
dV 0
80
KAPITEL 4. BEWEGTE LADUNGEN UND MAGNETFELDER
wo dV 0 = Adr 0 das Volumen des Drahtstücks ist. Ersetzen wir j in Gleichung (4.25) durch
I dr 0 /dV 0 , erhalten wir die obige Form des Biot-Savart-Gesetzes.
81
Kapitel 5
Magnetische Eigenschaften der Materie
5.1
5.1.1
Magnetisierung
Vergleich zwischen elektrischer Polarisation und
Magnetisierung
Im Abschnitt 2.9 haben wir das Phänomen der Polarisation kennengelernt: in einem elektrischen Feld entsteht in einem Stoff ein Dipolmoment. In der Magnetostatik gibt es einen analogen
Effekt: Ein B-Feld induziert in Stoffen ein magnetisches Dipolmoment. Quantitativ wird der Effekt ebenfalls durch das Dipolmoment pro Volumeneinheit angegeben. Das magnetische Dipolmoment pro Volumeneinheit wird als Magnetisierung bezeichnet. In diesem Abschnitt wollen wir
das Phänomen der Magnetisierung genauer untersuchen und die damit verbunden physikalischen
Größen definieren. Zunächst sei aber auf einen wichtigen Unterschied zwischen elektrischen und
magnetischen Dipolen hingewiesen.
+
Abbildung 5.1: Die Feldlinien eines elektrischen und eines magnetischen Dipols.
elektrischer
Dipol
magnetischer
Dipol
Abb. 5.1 zeigt schematisch die Feldlinienverteilung eines elektrischen und eines magnetischen
Dipols. Im Fernfeld sind die Felder gleich, sie unterscheiden sich aber erheblich im Nahbereich.
Ein elektrischer Dipol entsteht durch Ladungstrennung: Die Feldlinien beginnen und enden an
den positiven bzw. negativen Ladungen. Dagegen ist eine Trennung der magnetischen Ladungen“
”
82
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
nicht möglich. Man muß sich jeden magnetischen Dipol als Stromschleife vorstellen, durch die alle
Feldlinien verlaufen. Die Folge ist, daß alle Feldlinien eines magnetischen Dipols geschlossene
Schleifen bilden, während die elektrischen Feldlinien von den Monopolen unterbrochen werden.
Der deutlichste Unterschied besteht im Zentrum des Dipols: Dort ist das Magnetfeld parallel, das
elektrische Feld dagegen antiparallel zum jeweiligen Dipolmoment.
Polarisation
B
E
l
A
Magnetisierung
E'
B'
+
+++
++ + ++
++ + ++
+++
+
Oberflächenladung
Oberflächenstrom
Abbildung 5.2: Vergleich der dielektrischen
Polarisation mit der Magnetisierung.
In Abb. 5.2 wird die Magnetisierung mit der dielektrische Polarisation verglichen. Es wird jeweils ein Zylinder mit der Länge l und der Querschnittsfläche A in ein homogenes Feld gebracht,
wobei die Zylinderachse parallel zum Feld liegt. Im dielektrischen Fall erscheint eine positive bzw.
negative Flächenladung (σ ) an den Stirnflächen des Zylinders. Das Dipolmoment ist Aσ l und die
Polarisation damit P = σ (Einheiten C m−2 ). Im magnetischen Fall entstehen im Material Kreisströme, die sich innen gegenseitig aufheben, aber außen zu einem Oberflächenstrom führen. Es
sei i der Oberflächenstrom pro Länge des Zylinders. Das magnetische Dipolmoment des Zylinders
ist (Strom mal Fläche)
pm = ilA = iV ,
wo V = lA das Volumen des Zylinders ist. Für die Magnetisierung M gilt also
M = i.
Die Magnetisierung ist also gleich dem Oberflächenstrom pro Längeneinheit (Einheiten: A m−1 ).
Als Folge der oben beschriebenen Unterschiede zwischen elektrischen und magnetischen Dipolen entsteht im Inneren des magnetisierten Materials ein zusätzliches B-Feld, das parallel zu
M ist, während das zusätzlich E-Feld im Dielektrikum antiparallel zu P ist. In Abb. 5.2 wurde
angenommen, daß M parallel zum B-Feld ist (wie in sog. paramagnetischen Stoffen). In diesem
Fall wird das B-Feld durch die Magnetisierung verstärkt (B 0 > B), während das elektrische Feld
durch die Polarisation abgeschwächt (E 0 < E) wird.
Frage 5.1 Bevor Sie den nachfolgenden Abschnitt lesen, versuchen Sie, die Beziehung zwischen B, B 0 und M in Abb. 5.2 abzuleiten.
83
5.1. MAGNETISIERUNG
5.1.2
Magnetische Suszeptibilität, Permeabilität, das H-Feld
Zwischen den in Kapitel 3 diskutierten elektrischen Strömen und den oben eingeführten Oberflächenströmen besteht grundsätzlich der gleiche Unterschied, wie zwischen den freien und gebundenen Ladungen in der Elektrostatik. Bei der Behandlung der Dielektrika haben wir ein Feld
eingeführt (das D-Feld), das nur die freien Ladungen als Quellen hat. Wir wollen nun ein entsprechendes Feld für die Magnetisierung einführen, d.h. ein Feld, das nur die wirklichen“ Ströme
”
(Bewegung freier Ladungen) sieht“, nicht aber die durch die Magnetisierung hervorgerufenen
”
Oberflächenströme.
..............................
B
H
H'
M
B'
B
H
..............................
Spule
Abbildung 5.3: Zur Definition des H-Feldes.
Dazu zeigt Abb. 5.3 einen Ausschnitt aus einer langen Spule, die einen Kern aus einem Material enthält, das durch das Magnetfeld magnetisiert wird. Innerhalb des Materials wirkt der Oberflächenstrom wie eine zusätzliche Spule, die nach (4.17) ein Feld
B 0 = µ◦ i = µ◦ M
hervorruft. Das B-Feld innerhalb des Materials ist daher
Bi = B + B 0 = B + µ◦ M.
Die sog. magnetische Feldstärke, oder kurz H-Feld, wird durch
H =
B
−M
µ◦
definiert. Nach dieser Definition ist das H-Feld innerhalb des Materials
Hi =
Bi
− M = H.
µ◦
Das H-Feld wird also von den Oberflächenströmen nicht beeinflußt.
Aus der Definition ist zu erkennen, daß die Einheiten des H-Feldes die gleichen wie die der
Magnetisierung sind, d.h. A m−1 .
84
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
Experimentell stellt man fest, daß es bei manchen Stoffen eine lineare Beziehung zwischen der
Magnetisierung und den Feldern gibt, wie in der Elektrostatik. Die magnetische Suszeptibilität
χm ist durch die Beziehung
M = χ m Hi
definiert. Sie ist damit, wie die elektrische Suszeptibilität, dimensionslos. Aus den Definitionen
von H und χm folgt allgemein (unter Weglassen des Index i)
B = µ◦ (H + M) = µ◦ (1 + χm )H = µ◦ µr H = µH ,
wobei die Materialparameter µ und µr analog den elektrostatischen Größen und r definiert
werden: µ ist die sog. Permeabilität des Materials. Deshalb wird µ◦ auch als Permeabilität des
”
Vakuums“ bezeichnet. Die dimensionslose Größe µr = µ/µ◦ = 1 + χm ist die relative Permeabilität. (Die Materialparameter µ, µr und χm sind—wie , r und χe —eigentlich Tensoren).
5.1.3
Magnetfelder in Materie: Allgemein
Der allgemeine Fall läßt sich analog zu der Behandlung der elektrostatischen Polarisation (s.
Abschnitt 2.9.6) beschreiben. Hier müssen wir die Poissonschen Gleichungen für die Komponenten des Vektorpotentials (4.22) lösen, die nun durch den Faktor µr erweitert werden muß:
∇ 2 A = −µr µ◦ j .
Wieder gibt es zwei Spezialfälle, die wir ohne Komplikationen behandeln können. Für einen langen, parallel zu einem homogenen Feld angeordneten Stab gilt, wie wir oben gesehen haben, daß
die H-Felder innen und außen gleich sind (Hi = H ). Daher gilt, analog zu dielektrischen Fall
(2.42),
M = χm H.
(5.1)
Bei einer großen, zum Feld senkrecht angeordneten Platte kann man die Oberflächenströme vernachlässigen. Dann gilt Bi = B und Hi = B /µr µ◦ = H /µr = H /(1 + χm ), so daß wir wieder
das zum dielektrischen Fall analogen Ergebnis
M=
χm
H
1 + χm
(5.2)
erhalten. Bei paramagnetischen (5.2.1) und diamagnetischen (5.2.2) Stoffen gilt immer |χm | 1,
so daß Gleichung (5.1) immer in guter Näherung gilt, unabhängig von der Form.
5.2
Klassifizierung magnetischer Stoffe
Stoffe können in allen Aggregatzuständen magnetische Eigenschaften zeigen. Sie werden nach
ihrem magnetischen Verhalten als paramagnetisch, diamagnetisch, ferromagnetisch, antiferromagnetisch oder ferrimagnetisch klassifiziert. Im folgenden werden die wesentlichen Charakteristika
dieser verschiedenen Stoffe und die physikalische Grundlagen ihres Verhaltens diskutiert.
5.2. KLASSIFIZIERUNG MAGNETISCHER STOFFE
5.2.1
85
Paramagnetismus
Paramagnetische Stoffe sind durch folgende Merkmale gekennzeichnet: Die magnetische Suszeptibilität ist
1. positiv χm > 0,
2. umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur (χm ∼ 1/T , Curie-Gesetz1 ),
3. bei Raumtemperatur sehr klein χm 1.
In paramagnetischen Stoffen haben die Atome bzw. Moleküle im Grundzustand ein eigenes
magnetisches Moment. Ohne externes Feld sind diese Momente willkürlich orientiert, so daß insgesamt keine Magnetisierung vorhanden ist. In einem externen B-Feld orientieren sich die atomaren magnetischen Momente bevorzugt parallel zum Feld, weil diese Orientierung einem Minimum der potentiellen Energie entspricht. Aufgrund der Thermodynamik haben aber nicht alle
Atome die minimale Energie, außer beim absoluten Nullpunkt. Bei gegebener Feldstärke ist die
Orientierungsordnung um so schlechter, je höher die Temperatur. Hieraus resultiert die Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilität.
Frage 5.2 Wir behandeln gleich die Theorie des Paramagnetismus. Versuchen Sie vorher
zu erraten, wie die Abhängigkeit der Magnetisierung von der Feldstärke bei sehr niedrigen
Temperaturen qualitativ aussieht. Was heißt niedrige Temperatur“ in diesem Zusammenhang?
”
Eine vollständige Theorie des Paramagnetismus erfordert die Quantentheorie. Um eine Idee
davon zu bekommen, nehmen wir folgendes vereinfachtes Modell an: Die Atome bzw. Moleküle
mit dem magnetischen Dipolmoment pm haben nur 2 mögliche Orientierungen, parallel oder antiparallel zum B-Feld. Zwischen diesen beiden Orientierungen besteht der Energieunterschied
1E = 2pm B. Von insgesamt n Molekülen pro Volumeneinheit seien n+ parallel und n− = n − n+
antiparallel zum Feld. Die Magnetisierung ist
M = (n+ − n− )pm .
Unter der Annahme der Gültigkeit der Boltzmann-Verteilung gilt aber
n+ /n− = e1E/kT .
Aus diesen beiden Gleichungen und n = n+ + n− folgt
pm B
M = npm tanh
kT
(5.3)
Dies ist eine Funktion, die linear anfängt und schließlich in eine Sättigung übergeht (s. Abb. 5.4).
Alle paramagnetische Moleküle bzw. Atome zeigen prinzipiell das gleich Verhalten. Gleichung
(5.3) ist sogar die exakte Lösung für bestimmte Atome (z.B. die Alkalimetalle), die nur aufgrund
eines nicht gepaarten Elektrons ein magnetisches Dipolmoment haben.
Die Sättigung wird erreicht, wenn die magnetische Energie (pm B) viel größer als die thermische Energie (kT ) ist. Die magnetische Dipolmomente sind dann fast alle parallel zum B-Feld, und
eine weitere Erhöhung der Magnetisierung ist nicht möglich. Das magnetische Dipolmoment eines Atoms (s. 4.3.3) ist einige µB , d.h. von der Größenordnung 10−23 J T−1 . Bei Raumtemperatur
1 Nach
dem Entdecker Pierre Curie, 1859–1906, Nobelpreis 1903.
86
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
1,0
M 0,8
npm
0,6
0,4
0,2
0
Abbildung 5.4: Die paramagnetische Magnetisierung M als Funktion des Magnetfeldes B und der Temperatur T . pm ist das magnetische Dipolmoment des Atoms.
0
1
2
Bpm
kT
3
entspricht kT der Energie 4 · 10−21 J. Bei einer Feldstärke bis maximal 10 T gilt also pm B kT .
Unter diesen Bedingungen folgt aus (5.3) in guter Näherung
2
npm
M=
B
kT
und damit
2
C
nµ◦ pm
=
(Curie-Gesetz).
kT
T
Die Sättigung wird nur bei tiefen Temperaturen erreicht.
Die allgemeine quantenmechanische Behandlung des Atoms ergibt
χm =
(5.4)
pm = gµB
mit
g =1+
J (J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)
2J (J + 1)
und
2
nµ◦ J (J + 1)pm
,
3kT
wo J , S und L sog. Quantenzahlen des Atoms (L ∈ N, 2S ∈ N, 2J ∈ N). Gleichung (5.4) gilt für
den Spezialfall L = 0, S = J = 1/2 (z.B. für die Atome Li, Na, K, Rb, Cs, Ag, Au.)
Die Thermodynamik der Magnetisierung wird ausführlicher im Anhang C diskutiert.
χm =
5.2.2 Diamagnetismus
Manche Substanzen zeigen eine negative magnetische Suszeptibilität, d.h. die Magnetisierung
ist dem H-Feld entgegengesetzt. Sie werden als diamagnetisch bezeichnet. Die experimentellen
Beobachtungen lassen sich wie folgt zusammenfassen:
1. χm < 0,
2. |χm | 1,
3. χm ist temperaturunabhängig.
87
5.2. KLASSIFIZIERUNG MAGNETISCHER STOFFE
B
pm
x3
M
α
L
x2
x1
ωL
Abbildung 5.5: Zur klassischen Theorie des
Diamagnetismus.
Den Diamagnetismus kann man nur mit Hilfe der Quantenmechanik richtig“ erklären. Es
”
gibt aber eine einfache klassische Theorie, die zum gleichen Ergebnis führt: Dazu betrachten
wir zunächst den Einfluß eines B-Feldes auf die Bahn eines einzelnen Elektrons in einem Atom
(Abb. 5.5). Zwischen dem Drehimpuls L und dem magnetischen Dipolmoment pm der Bahnbewegung besteht die Beziehung (s. 4.3.3)
pm = −
e
L
2me
(me = Masse des Elektrons). Wenn pm nicht parallel zu B ist, gibt es ein Drehmoment M =
pm × B. Wenn dieses Drehmoment als eine kleine Störung betrachtet werden kann, d.h. wenn
die magnetische Energie klein im Vergleich mit der elektrostatischen Energie ist, kann man die
Reaktion des Elektrons als Präzessionsbewegung beschreiben. Die Präzessionsfrequenz ωL —auch
als Larmor-Frequenz bezeichnet—läßt sich wie beim Kreisel aus der Bedingung M = L̇ ableiten.
Da die Vektoren M und L bei der Präzession immer senkrecht aufeinander stehen, genügt es, die
Beträge zu berechnen:
Der Betrag von L̇ ist die Geschwindigkeit, mit der die Spitze des Vektors L um einen Kreis
mit dem Radius L sin α läuft, wo α der Winkel zwischen pm und B bzw. zwischen L und −B ist
(s. Abb. 5.5). Es ist also L̇ = LωL sin α und damit
ωL =
M
p B
eB
= m =
.
L sin α
L
2me
(Die Larmor-Frequenz entspricht der Zyklotronfrequenz eines freien Elektrons. ) Das Vorzeichen
ist positiv in Richtung des B-Feldes.
Ein (neutrales) Atom mit der Ordnungszahl Z hat Z Elektronen, die alle eine
Präzessionsbewegung machen. Da die Larmor-Frequenz nur von B, e und me abhängt, ist sie für
alle Elektronen des Atoms gleich. Die Präzession erzeugt also einen Strom
I =−
ZeωL
Ze2 B
=−
.
2π
4π me
Um den Beitrag dieses Stroms zur Magnetisierung zu berechnen, müssen wir noch mit der Fläche
des Stromkreises multiplizieren. Diese beträgt π s 2 für ein Elektron, das sich in einer Entfernung
88
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
s von der Drehachse befindet. Diese Größe müssen wir über alle Elektronen des Atoms mitteln.
Nehmen wir die Richtung des B-Feldes als x3 -Achse, gilt
s 2 = x12 + x22 = x12 + x22 .
Ferner gilt für eine kugelsymmetrische Verteilung
x12 = x22 = x32
und damit
2
2
s 2 = (x12 + x22 + x32 ) = r 2 .
3
3
Mit n Atomen pro Volumeneinheit ist die Magnetisierung
M=−
ne2 BZr 2
.
6me
Daraus folgt, daß die diamagnetische Suszeptibilität durch
χm = −
ne2 µ◦ Zr 2
6me
gegen ist.
Alle Atome machen einen negativen (diamagnetischen ) Beitrag zur Suszeptibilität. Bei Atomen, die ein eigenes magnetisches Dipolmoment besitzen, überwiegt meistens der positive Beitrag,
so daß diese Stoffe paramagnetisch (oder ferromagnetisch ) sind. In Metallen ist der paramagnetische Beitrag der Leitungselektronen von der gleichen Größenordnung wie der diamagnetische
Beitrag der Atomrümpfe, so daß Metalle, die kein eigenes magnetisches Dipolmoment besitzen,
sowohl paramagnetisch als auch diamagnetisch sein können. Supraleiter sind ideale Diamagneti”
ka“: Im Inneren ist im supraleitenden Zustand B = 0, d.h. χm = −1.
Frage 5.3 Ein kleiner Stab aus (a) paramagnetischem bzw. (b) diamagnetischem Material ist
parallel zu einem magnetischen Dipol pm . Für die beiden Spezialfälle, wo die Verbindungslinie
zwischen dem Stab und dem Dipol (i) parallel bzw. (ii) senkrecht zu pm ist, überlegen Sie, ob
die Wechselwirkung anziehend oder abstoßend ist.
5.2.3 Messung der para- bzw. diamagnetischen Suszeptibilität
Para- bzw. Diamagnetika lassen sich qualitativ durch verschiedene Verhaltensweisen unterscheiden:
– Ein drehbar aufgehängter Stab, der sich in einem (homogenen) B-Feld befindet, orientiert
sich parallel bzw. senkrecht zum Feld, je nachdem, ob das Material para- oder diamagnetisch
ist.
– In einem stark inhomogenen B-Feld erfährt ein paramagnetisches Material eine Kraft, die
es zum Bereich der größten Feldstärke zieht, während ein diamagnetisches Material vom
starken Feld abgestoßen wird.
Die Methoden zur quantitativen Bestimmung des magnetischen Suszeptibilität basieren auf
der Messung der Kräfte, die eine Probe in einer inhomogenen magnetischen Feld erfährt. Es sollen
zwei experimentelle Situationen hier behandelt (s. Abb. 5.6):
89
5.2. KLASSIFIZIERUNG MAGNETISCHER STOFFE
– Eine kleine“ Probe, d.h. eine, bei der man annehmen kann, daß die Variation der Feldstärke
”
innerhalb der Probe vernachlässigbar ist. (Abb. 5.6a).
– Eine lange, stabförmige Probe mit einem im obigen Sinne kleinen“, konstantem Querschnitt
”
a. (Abb. 5.6b).
In beiden Fällen befindet sich die Probe in der Symmetrieebene des Magnetfeldes zwischen den
Polen eines Permanent- bzw. Elektromagneten.
F1
x2
Abbildung 5.6: Zum Prinzip der experimentellen Bestimmung der para- bzw. diamagnetischen Suszeptibilität. (a) Kleine Probe.
(b) Lange, stabförmige Probe.
F1
x1
(a)
(b)
Kleine Probe Es sei v das Volumen der Probe und χm ihre magnetische Suszeptibilität. Das
induzierte magnetische Moment ist vχm H , und die Kraftkomponenten ergeben sich analog aus
Gleichung (2.27):
3
3
X
X
∂Hi
∂Bi
Fk = vχm
= vµ◦ χm
Hi
Hi
∂xk
∂xk
i=1
i=1
Die letzte Summe läßt sich auch schreiben als
H.
∂H
1 ∂H 2
=
.
∂xk
2 ∂xk
Die Kraftkomponenten sind also
Fk =
vµ◦ χm ∂H 2
;
2
∂xk
k = 1, 2, 3.
Mit anderen Worten: Die Kraft ist proportional zum Gradienten von H 2 .
In der in Abb. 5.6 dargestellten, symmetrischen Situation befindet sich die Probe auf einer
Linie, auf der die Variation des Betrags der Feldstärke mit x2 und x3 jeweils ein Minimum hat, d.h.
dH 2
dH 2
=
= 0.
dx2
dx3
Es gibt daher nur die Komponente F1 :
F1 =
vµ◦ χm ∂H 2
.
2
∂x1
90
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
Diese Methode reagierte empfindlich auf die genaue Positionierung der Probe. Wenn genügend
Stoff zur Verfügung steht, ist daher das folgende Verfahren vorzuziehen.
Stabförmige Probe
trachtung die Kraft
Ein Abschnitt des Stabs mit der Länge δx1 erfährt nach der obigen BeδF1 =
aδx1 µ◦ χm ∂H 2
,
2
∂x1
und die Gesamtkraft ergibt sich durch Integration. Es sei x1 = p die Position des oberen Endes
des Stabs und x1 = q die Koordinate des anderen Endes, das sich im Bereich des starken Feldes
befindet. Die Kraft ist
Z
i
aµ◦ χm x1 =q ∂H 2
aµ χ h
F1 =
dx1 = ◦ m H 2 (q) − H 2 (p) .
2
2
x1 =p ∂x1
Bei genügend großer Länge des Stabs kann man H 2 (p) = 0 annehmen. Befindet sich das untere
2 , und die Kraft ist nicht empfindlich
Ende im Bereich des Maximums (Hmax ) ist H 2 (q) = Hmax
von der exakten Position des Stabs abhängig:
1
2
F1 = aµ◦ χm Hmax
.
2
5.2.4 Magnetische Ordnung: Ferro- Antiferro- und
Ferrimagnetismus
Ferromagnetismus
Ferromagnetische Stoffe—wie z.B. Eisen—zeichnen sich durch folgendes Verhalten aus:
Oberhalb einer bestimmten kritischen Temperatur Tc , die als ferromagnetische Curie-Temperatur bezeichnet wird, verhalten sich ferromagnetische Stoffe ähnlich wie paramagnetische Stoffe.
Für die Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilität gilt aber anstelle des Curie-Gesetzes (5.4) das
sog. Curie-Weiss-Gesetz2
C
.
(5.5)
χm =
T −2
2 ist die sog. paramagnetische Curie-Temperatur. Sie liegt nahe bei Tc , ist aber immer etwas
größer. Abb. 5.7 vergleicht das Temperaturverhalten der Suszeptibilität für paramagnetische und
ferromagnetische Stoffe. Sowohl das Curie-Gesetz als auch das Curie-Weiss-Gesetz ergeben eine
Gerade bei der Auftragung von 1/χm gegen T . Bei ferromagnetischen Stoffen weicht die Kurve jedoch vom Curie-Weiss-Gesetz in der Nähe von 2 ab und geht erst bei Tc durch Null (entsprechend
χm → ∞).
Unterhalb der ferromagnetischen Curie-Temperatur zeigen diese Substanzen das typische ferromagnetische Verhalten:
– Sie können eine endliche Magnetisierung ohne externes Feld, d.h. eine spontane Magnetisierung aufweisen. Nach der für paramagnetische Stoffe gültige Definition entspricht dies
einem unendlichen Wert der Suszeptibilität.
– Bei Raumtemperatur zeigen sie eine viel stärkere Magnetisierung als paramagnetische Stoffe
und erreichen schon bei moderaten Feldstärken eine Sättigung.
2 Pierre-Ernest
Weiss, 1865–1940.
91
5.2. KLASSIFIZIERUNG MAGNETISCHER STOFFE
ch
m
Abbildung 5.7: Auftragung von 1/χm gegen T für paramagnetische (Curie-Gesetz)
und ferromagnetische (Curie-Weiss-Gesetz)
Stoffe.
0
0
Tc Θ
ro
ma
fer
pa
ra
m
ag
ne
gn
e
tis
tis
ch
1/ χ
T
– Der Magnetisierungsprozeß ist nicht reversibel. Vielmehr weist die Kurve von M gegen H
eine Hysterese auf.
– Die maximale Magnetisierung, die sog. Sättigungsmagnetisierung, ist temperaturabhängig:
sie hat den größten Wert beim absoluten Nullpunkt, fällt monoton mit steigender Temperatur
ab und erreicht den Wert 0 bei Tc
Tabelle 5.1 zeigt die Parameter einiger Ferromagnetika.
Tabelle 5.1: Ferromagnetische Curie-Temperatur (Tc ), paramagnetische Curie-Temperatur (2),
Curie-Konstante (C) und Sättigungsmagnetisierung bei 0 K (Ms (0)) einiger ferromagnetischer
Stoffe.
Fe
Co
Ni
EuO
EuS
Tc [K]
1043
1395
629
69,4
16,5
2[K] C[K]
1100 2,22
1415 2,24
649 0,558
78 4,68
19 3,06
Ms (0)[106 A m−1 ]
1,746
1,446
0,510
1,930
1,240
Frage 5.4 Welche magnetische Suszeptibilität hat Nickel bei 500◦ C?
Abb. 5.8 zeigt schematisch die Hysteresekurve eines ferromagnetischen Stoffes. Ausgehend
von einem nichtmagnetisierten Zustand steigt die Kurve zunächst steil an. Wenn man die Suszeptibilität als die maximale Steigung dieser Kurve definiert, so gilt für alle ferromagnetischen
Stoffe (mit Ausnahme des Temperaturbereichs kurz unterhalb von Tc ) χm ≈ µr 1. Mit steigendem H-Feld geht die Magnetisierung in eine Sättigung (Ms ) über. Das Teilbild oben links in
Abb. 5.8 zeigt den prinzipiellen Verlauf der Ms (T )-Kurve. Der stärkste Abfall ist im Bereich der
Curie-Temperatur. Dies bedeutet, daß der Übergang von den hohen µr -Werten zum quasiparamagnetischen Verhalten in einem engen Temperaturbereich stattfindet.
Wenn das H-Feld nach dem Erreichen der Sättigung wieder verringert wird, geht die Magnetisierung nicht auf dem gleichen Weg zurück, sondern bleibt länger in der Sättigung und hat immer
noch einen endlichen Wert, wenn das H-Feld wieder Null erreicht hat. Diese verbleibende Magnetisierung wird als Remanenz bezeichnet. Um die Magnetisierung weiter zu verringern, muß man
92
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
M
Ms
Ms
MR
Tc
Abbildung 5.8: Schematische Darstellung
der Magnetisierung M eines ferromagnetischen Stoffes als Funktion des H-Feldes
unterhalb der ferromagnetischen CurieTemperatur. Ms : Sättigungsmagnetisierung,
MR : Remanenz, Hc : Koerzitivfeldstärke.
Oben links: Abhängigkeit der Sättigungsmagnetisierung von der Temperatur.
T
Hc
H
ein H-Feld in negativer Richtung anlegen. Die Magnetisierung verschwindet erst bei der Feldstärke
−Hc , der sog. Koerzitivfeldstärke.
Wird das Feld weiter in negativer Richtung gesteigert, erreicht die Magnetisierung die
Sättigung −Ms . Bei wieder steigendem H-Feld ist der Verlauf symmetrisch: die Kurve schneidet die M-Achse bei −MR und die H -Achse bei Hc . Ferromagnetische Stoffe werden als hart“
”
oder weich“ bezeichnet, je nachdem, ob sie hohe oder niedrige Werte der Remanenz und Koerzi”
tivfeldstärke aufweisen. Harte magnetische Materialien werden für Permanentmagneten benötigt.
Dagegen braucht man für Transformatorkerne weiche Materialien, weil die Energieverluste proportional zur Fläche der Hysteresekurve sind.
Das oben beschriebene Verhalten ferromagnetischer Stoffe ist auf das Auftreten magnetischer
Ordnung zurückzuführen: Aufgrund der gegenseitigen Wechselwirkungen haben die atomaren magnetischen Dipole die Tendenz, sich parallel zueinander und parallel zu bestimmten Kristallrichtungen einzustellen. Im allgemeinen ist die Magnetisierung aber nicht im ganzen Körper homogen,
weil es auch bei einem Einkristall mehrere mögliche Magnetisierungsrichtungen gibt. Die Bereiche einheitlicher Magnetisierung werden magnetische Domäne oder Weiss-Bezirke genannt.
Befinden sich im Körper viele Domänen mit unterschiedlicher Magnetisierungsrichtung, heben
sich die magnetischen Dipolmomente makroskopisch auf. Bringt man den Körper in ein Magnetfeld, verschieben sich die Domänengrenzen (die sog. Bloch-Wände) derart, daß die Domänen, die
annähernd parallel zum Feld gerichtet sind, auf Kosten der anderen wachsen. Je stärker das Magnetfeld, um so größer werden die günstig orientierten Domänen. Die Sättigung ist dann erreicht,
wenn bei einem Einkristall der ganze Körper bzw. bei einem polykristallinen Körper jeder einzelne
Kristall aus einer einzigen Domäne besteht.
Reduziert man das Feld wieder auf Null, bilden sich wieder Domänen mit unterschiedlicher
Orientierung. Die treibende Kraft hierfür ist die Energie, die im externen Feld steckt, wenn die
Magnetisierung vollständig ist. Die Entmagnetisierung ist jedoch nicht vollständig, weil Energie
benötigt wird, um die Domänengrenzen zu bewegen. Es bleibt also eine Restmagnetisierung, die
Remanenz.
1907 veröffentlichte Weiss3 die sog. Molekularfeld-Theorie des Ferromagnetismus. Die
Grundlage dieser Theorie ist die Überlegung, daß die Wechselwirkung zwischen den magnetischen
Dipolen nur über das Magnetfeld geht: Ein Dipol stellt sich nur deshalb parallel zu den anderen in
3 Pierre-Ernest
Weiss, 1865–1940.
5.2. KLASSIFIZIERUNG MAGNETISCHER STOFFE
93
seiner Umgebung, weil diese an seinem Ort ein Magnetfeld erzeugen, das parallel zu der örtlichen
Magnetisierung ist. Das Atom sieht“ also ein internes Feld Hi , das sich aus dem externen Feld H
”
und einem Molekularfeld“, das proportional zur Magnetisierung ist, zusammensetzt:
”
Hi = H + γ M.
Im Bereich der schwachen Magnetisierung (T > Tc ) können wir davon ausgehen, daß für die
Beziehung zwischen der Magnetisierung und dem lokalen Feld das Curie-Gesetz gilt:
C
H.
T i
Wenn wir Hi aus diesen beiden Gleichungen eliminieren und nach M auflösen erhalten wir genau
das Curie-Weiss-Gesetz (5.5) mit 2 = γ C.
Im Bereich der starken Magnetisierung unterhalb von Tc , können wir das Curie-Gesetz nicht
mehr ansetzen, sondern wir müssen den vollen Ausdruck für die paramagnetische Magnetisierung,
die auch für den Bereich der Sättigung gilt, verwenden. Im Rahmen des im Abschnitt 5.2.1 verwendeten einfachen Modells (nur 2 Orientierungen der magnetischen Dipolmomente) gilt Gleichung
(5.3), wobei wir für B in diesem Fall µ◦ Hi einsetzen müssen. Die spontane Magnetisierung innerhalb einer Domäne entspricht der Sättigungsmagnetisierung und ist praktisch unabhängig vom
externen Feld H . Wir setzen daher H = 0 und Hi = γ M, womit wir aus (5.3)
M
pm µ◦ γ M
= tanh
npm
kT
M=
erhalten. Dies ist eine implizite Gleichung für M, deren Lösungen aber wie folgt graphisch verdeutlicht werden können: Wir definieren α = pm µ◦ γ M/kT . Die Lösungen für M sind dann durch
die Schnittpunkte der Geraden
M
kT
y=
= 2
α
npm
npm µ◦ γ
mit der Kurve
y = tanh(α)
gegeben (s. Abb. 5.9).Für T > Tc ist die Steigung der Geraden größer als die Anfangssteigung
der Kurve, und es gibt keine Lösung M > 0, d.h. keine spontane Magnetisierung. Dies erklärt die
Existenz der Curie-Temperatur als kritischer Größe. Für T > Tc gibt es einen Schnittpunkt, und
der entsprechende Wert von M geht gegen Ms (0) = npm für T → 0. Bei der kritischen Temperatur
ist die Steigung der Geraden (kTc /pm µ◦ γ ) gleich der Anfangssteigung der Kurve (npm ), d.h.
2
Tc = npm
µ◦ γ /k.
Nach (5.4) ist aber
2
µ◦ /k.
C = npm
Es gilt also im Rahmen der Molekularfeld-Theorie
Tc = 2 = γ C.
Die Molekularfeld-Theorie erklärt sehr gut dasCurie-Weiss-Gesetz und den qualitativen Verlauf der Ms (T )-Kurve. Sie versagt aber wegen der gemachten Vereinfachungen in der Nähe der
kritischen Temperatur. Die erste vollständige Theorie des Ferromagnetismus wurde erst kürzlich
von Chamberlin4 veröffentlicht.
4 R.
V. Chamberlin, Nature 408 337 (2000).
94
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
M
npm
1,0
0,8
0,6
T=Tc
T>Tc
T<Tc
0,4
0,2
Abbildung 5.9: Graphische Lösung für die
spontane Magnetisierung im Rahmen der
Molekularfeld-Theorie.
0
0
1
2
α
3
Antiferro- und Ferrimagnetismus
In manchen Substanzen, die magnetische Ordnung zeigen, ordnen sich die Dipole nicht alle
parallel, sondern paarweise antiparallel zueinander. Unterhalb der kritischen Temperatur, die in
diesem Fall Néel-Temperatur (TN ) heißt5 , zeigen diese Substanzen genauso wie die Ferromagnetika eine Ordnung, aber die Magnetisierung ist in Abwesenheit eines externen Feldes immer
Null. Oberhalb von TN gilt wie bei Ferromagnetika das Curie-Weiss-Gesetz (5.5), jedoch mit dem
Unterschied, daß 2 im antiferromagnetischen Fall negativ ist (2 ≈ −TN ).
Der Ordnungszustand eines antiferromagnetischen Stoffes läßt sich beschreiben als eine ferromagnetische Ordnung mit unterschiedlichen Vorzeichen auf zwei identischen Untergittern. Wenn
die Gitter unterschiedlich sind, heben sich die beiden Magnetisierungen nicht auf. Solche Stoffe
werden als ferrimagnetisch bezeichnet.
5.3
Antworten zu den Fragen
Frage 5.1 Das zusätzliche B-Feld entspricht dem Feld in einer Spule mit dem Strom i = M pro
Längeneinheit. Es ist also
B 0 = B + µ◦ M.
Frage 5.2 Je niedriger die Temperatur, bzw. je höher das Magnetfeld, umso besser sind die atomaren Dipolmomente parallel zum Feld orientiert. Irgendwann wird eine Sättigung erreicht, d.h.
eine Erhöhung des Feldes bringt keine weitere Erhöhung der Magnetisierung, weil die magnetische Ordnung maximal ist. Je niedriger die Temperatur, umso kleiner ist die Feldstärke, bei der die
Sättigung erreicht wird. Entscheidend ist das Verhältnis der magnetischen Wechselwirkungsenergie pm B zur thermische Energie kT . Die Sättigung wird für pm B kT erreicht, was offenbar bei
Raumtemperatur bei den erreichbaren Feldstärken nicht möglich ist. Eine niedrige“ Temperatur
”
5 Nach
Louis Néel, geb. 1904, Nobelpreis 1970.
5.3. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
95
bedeutet also in diesem Zusammenhang T pm Bmax , wo Bmax das maximal erreichbare B-Feld
ist.
Frage 5.3 Im Fall (i) ist die Kraft anziehend, wenn das induzierte Dipolmoment parallel zum
Vektor pm ist, was bei paramagnetischen Stoffen der Fall ist. Im Fall (ii) ist die Kraft dann anziehen, wenn das induzierte Dipolmoment antiparallel zu pm , was wieder für den paramagnetischen
Fall gilt, weil das Feld des Dipols dort antiparallel zum Dipol ist. Die Kraft ist daher in beiden
Positionen für paramagnetische Stoffe anziehend und für diamagnetische Stoffe abstoßend.
Frage 5.4 Gleichung (5.5) ergibt mit C = 0,558, 2 = 649 K und T = 773 K χm = 0,0045.
96
KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE
97
Kapitel 6
Zeitlich veränderliche Magnetfelder
6.1
6.1.1
Induktion
Das Feld eines bewegten magnetischen Dipols
Am Anfang von Kapitel 4 wurde die Vermutung geäußert, daß die zeitliche Veränderung eines
Magnetfeldes zu einem elektrischen Feld führen sollte. Wir wollen nun diese Behauptung näher
untersuchen:
System S'
x'3
-v
q
S N
F (Lorentz-Kraft)
q
N
x'1
System S
x3
Abbildung 6.1: Die Wechselwirkung zwischen einer Ladung q und einem magnetischen Dipol in 2 verschiedenen Bezugssystemen. In S ruht die Ladung, in S 0 der Dipol.
x'3
x'2
x3
F (elektrostat. Kraft)
q
q
E-Feldlinie
S N
v
x1
N
x2
Betrachten wir folgende Situation (s. Abb. 6.1): Ein kleiner Stabmagnet mit dem Dipolmoment
pm ruht am Ursprung eines Bezugssystems S0 , wobei der Vektor pm in Richtung +x10 zeigt. Das BFeld ist damit rotationssymmetrisch um die x10 -Achse. Eine Punktladung q befindet sich am Punkt
r 0 und bewegt sich der Geschwindigkeit −v parallel zur x10 -Achse. Wir wollen annehmen, daß sich
die Punktladung nicht zufällig gerade auf der x10 -Achse befindet, so daß sie eine Lorentz-Kraft
F = qv × B erfährt, die parallel zur x20 -Achse ist.
Nun betrachten wir den gleichen Vorgang in einem System S, in dem die Punktladung ruht und
der Magnet sich mit der Geschwindigkeit +v auf der x1 -Achse bewegt. In diesem System kann es
keine Lorentz-Kraft geben, weil die Ladung in Ruhe ist. Die Kraft, die dennoch auf die Ladung
98
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
wirkt, müssen wir als elektrostatische Kraft interpretieren. Im System S existiert also ein elektrisches Feld, das durch die Bewegung des magnetischen Dipols hervorgerufen wird. Die Punktladung merkt“ die Bewegung dadurch, daß das örtliche B-Feld nicht konstant ist. Wir erwarten
”
also, daß es eine Beziehung zwischen E und Ḃ gibt. Bevor wir diese Beziehung quantitativ untersuchen, wollen wir zunächst überlegen, wie das Feld des bewegten magnetischen Dipols qualitativ
aussieht.
Da die Kraft immer senkrecht zum Ortsvektor r und zur x1 -Achse ist, gilt dies auch für die
E-Feldlinien. Alle E-Feldlinien haben also die Form von Kreisen, deren Mittelpunkte auf der
Symmetrieachse—in diesem Fall der x1 -Achse—liegen. Die im Abschnitt 2.5 gemachte Behauptung, daß die E-Feldlinien nie geschlossene Kurven bilden, sondern immer an Ladungen beginnen
bzw. enden, müssen wir also relativieren: Sie gilt nur für den elektrostatischen bzw. magnetostatischen Fall. Sobald wir eine zeitliche Veränderung des Magnetfeldes zulassen, entsteht ein elektrisches Wirbelfeld. Wir haben hier den speziellen Fall betrachtet, daß die relative Bewegung parallel
zum magnetischen Dipolmoment ist. Im allgemeinen Fall ist das Feld nicht mehr rotationssymmetrisch, aber die E-Feldlinien bilden auch dann geschlossene Kurven.
Bewegung
N
S
Strom
mag. Moment
Kraft
Abbildung 6.2: Induktion eines Stroms in einer Leiterschleife durch die Bewegung eines
Stabmagneten. Zwischen den magnetischen
Dipolmoment des Stabs und dem des induzierten Stroms entsteht eine Kraft, die der
Bewegung entgegenwirkt (Lenzsche Regel).
Bewegung
S
N
Strom
mag. Moment
Kraft
Befindet sich eine kreisförmige Leiterschleife senkrecht und symmetrisch zur Bahn des Magneten (Abb. 6.2), entsteht in diesem Kreis eine Spannung U nach der Beziehung
I
U = E.ds,
die gemäß dem Ohmschen Gesetz einen Strom hervorrufen kann. Dieses Phänomen heißt Induktion. Man beachte, daß die gleiche Spannung induziert wird, wenn der Magnet ruht, und die
Leiterschleife mit der gleichen relativen Geschwindigkeit bewegt wird. Das Gemeinsame der beide Vorgänge ist, wie wir später genauer sehen werden, die zeitliche Änderung des Magnetfeldes
im Bereich des Stromkreises. Der induzierte Strom erzeugt seinerseits ein magnetisches Dipolmoment (s. Abb. 6.2), das auf den Stabmagneten eine Kraft ausübt. Die Kraft hat immer die Tendenz,
die Bewegung zu bremsen. Dies ist ein Beispiel für die Lenzsche Regel:
Die Induktionsspannung und der Strom, den sie hervorruft, sind stets so gerichtet, daß
sie ihrer Ursache entgegenwirken.
Wir wollen jetzt das elektrische Feld quantitativ bestimmen, aber für einen weiteren Spezialfall,
um die Mathematik zu vereinfachen (s. Abb. 6.3):
99
6.1. INDUKTION
– Der Dipol befindet sich am Ursprung beider Koordinatensysteme, wobei pm parallel zur
x3 -Achse ist, d.h. pm = pm (0, 0, 1).
– Die Ladung q befindet sich auf der x1 -Achse, d.h. r = x1 (1, 0, 0).
– Im System S0 ruht der Dipol, und die Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit v =
v(1, 0, 0).
– Im System S ruht die Ladung, und der Dipol bewegt sich mit der Geschwindigkeit −v.
System S'
System S
x'3
x3
pm
pm
-v
v
x'2
q
q
E
F
x'1
x2
x1
B
B
Abbildung 6.3: Zur quantitativen Bestimmung der E- und B-Felder bei bewegten Ladungen und magnetischen Dipolen.
Betrachten wir zunächst die Situation im System S0 . Das B-Feld eines magnetischen Dipols ist
durch (2.23) gegeben, wenn ◦ durch 1/µ◦ und p durch pm ersetzt wird. Das B-Feld am Ort der
Ladung ist daher (mit x1 = x10 ):
µp
B 0 = − ◦ m3 (0, 0, 1).
4πx1
Die daraus resultierende Lorentz-Kraft ist
F = qv × B 0 =
qµ◦ vpm
4πx13
(0, 1, 0).
Im System S entspricht die Kraft F der elektrischen Feldstärke
E=
F
µ vp
= ◦ 3m (0, 1, 0).
q
4π x1
Die Rotation dieses Feldes ist
∇ ×E =−
3vµ◦ pm
(0, 0, 1).
4πx14
Wenn wir annehmen, daß sich das B-Feld des Dipols mit dem Dipol bewegt und sonst nicht
verändert wird (experimentell wird dies bestätigt), ist das B-Feld am Ort der Ladung im System S
B = B0 = −
µ◦ pm
4π x13
(0, 0, 1).
100
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
Bilden wir nun die zeitliche Ableitung des B-Feldes, finden wir
Ḃ =
3vµ◦ pm
(0, 0, 1) = −∇ × E.
4π x14
So erhalten wir die wichtige Beziehung
∇ × E = −Ḃ
(6.1)
die nicht nur für den hier betrachteten Spezialfall sondern allgemein gilt.
6.1.2 Das Induktionsgesetz
Die in einem Stromkreis 0 induzierte Spannung U ist
I
U=
E.dr.
0
Mit Hilfe des Stokesschen Satzes der Vektoranalysis läßt sich das Linienintegral wie folgt in ein
Flächenintegral transformieren:
I
Z
E.dr =
∇ × E.df ,
0
F
wo F eine beliebige, durch 0 begrenzte Fläche ist. Mit (6.1) folgt dann
Z
U = − Ḃ.df = −8̇.
F
Die Größe
Z
B.df
8=
(6.2)
F
wird als magnetischer Flußbezeichnet. (Die Beziehung zwischen dem magnetischen Fluß 8 und
der magnetischen Flußdichte B ist die gleiche wie zwischen dem Strom I und der Stromdichte j ).
Die Einheit des magnetischen Flusses heißt Weber1 (Wb). (1 Wb = 1 T m2 ).
Die Beziehung
I
U=
E.dr = −8̇
(6.3)
0
ist die Integralform von (6.1) und wird als Induktionsgesetz bezeichnet. Es wurde zuerst experimentell von Faraday entdeckt und wird deshalb auch Faradaysches Gesetz genannt. In Worten:
Die in einem Stromkreis induzierte Spannung ist dem Betrag nach gleich der
Änderungsrate des magnetischen Flusses durch den Kreis.
Wie wir an einigen Beispielen sehen werden, ist das Minuszeichen in der Gleichung (6.3) ein
Ausdruck der Lenzschen Regel.
Das Induktionsgesetz gilt unabhängig davon, wie die Änderung des magnetischen Flusses zustandekommt. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die wir im folgenden Abschnitt einzeln
besprechen wollen.
1 Nach
Wilhelm Eduard Weber, 1804–1891.
101
6.1. INDUKTION
6.1.3
Beispiele für Induktionsvorgänge
Konstantes, homogenes B-Feld
ω
x
B
l
Abbildung 6.4: Zwei Möglichkeiten, in einem konstanten, homogenen magnetischen
Feld den magnetischen Fluß durch einen
Stromkreis zu ändern: (a) Veränderung der
Fläche, (b) Veränderung der Orientierung
des Stromkreises.
B
a
b
(a)
(b)
Abb. 6.4 zeigt zwei Möglichkeiten, eine Spannung in einem Stromkreis zu indizieren, der sich
in einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld B befindet. In Abb. 6.4(a) steht der Stromkreis senkrecht zum Vektor B, und der magnetische Fluß wird durch Veränderung der Fläche
beeinflußt. Bewegt sich eine Seite des Rechtecks (Länge l) mit der Geschwindigkeit v, so gilt
U = 8̇ = Bl ẋ = Blv.
Ist der Stromkreis geschlossen, fließt ein Strom I = U/R, und es wird die Leistung I U = I Blv
in Wärme umgewandelt. Woher kommt diese Leistung? Auf das bewegte Leiterstück wirkt die
Lorentz-Kraft FL = I lB. Die mechanische Leistung, die aufgebracht werden muß, um das Leiterstück mit der Geschwindigkeit v zu bewegen, ist FL v = I Blv und damit gleich der elektrischen
Leistung.
Die zweite Möglichkeit, den magnetischen Fluß bei konstant bleibenden B-Feld zu ändern,
besteht darin, die Orientierung des Stromkreises zu verändern. Wenn wir uns der Einfachheit halber
zunächst auf Leitungswege 0 beschränken, die in einer Ebene liegen, ergibt sich der magnetische
Fluß einfach als BA cos θ , wo A die (ebene) Fläche des Kreises ist, und θ der Winkel zwischen
dem Vektor B und der Flächennormalen. Abb. 6.4(b) zeigt z.B. einen quadratischen Stromkreis
mit der Fläche A = ab, der mit der Drehgeschwindigkeit ω um eine Achse rotiert, die in der
Ebene des Kreises liegt. Bei geeigneter Wahl des Zeitnullpunktes ist in diesem Fall θ = ωt, und
die (zeitabhängige) induzierte Spannung ist
d
BA cos(ωt) = ωBA sin(ωt).
dt
Dies ist das Grundprinzip des Wechselstromgenerators: Wenn eine Spule mit n Wicklungen und
der Fläche A in einem Feld B rotiert, ist die induzierte Spannung
U =−
U = nωBA sin(ωt).
Diese Spannung wird über Schleifkontakte an die Anschlüsse des Generators geleitet und kann
von dort an eine Last angeschlossen werden, um elektrische Energie zu liefern.
102
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
Das Prinzip des Generators zeigt dieses Applet:
http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/applets/phd/generatorplain.html
von Walter Fendt.
Während der Wechselstromgenerator elektrische in mechanische Energie umwandelt, bewirkt
der Elektromotor den umgekehrten Prozeß: Aus einer externen Quelle fließt Strom durch die
Spule und erzeugt dadurch ein magnetisches Moment, das wiederum in Wechselwirkung mit dem
Magnetfeld eine Drehmoment erzeugt. Der Strom von einer Gleichstromquelle muß zweimal pro
Umdrehung umgepolt werden, damit das Drehmoment immer das gleiche Vorzeichen hat. Dies
geschieht über unterbrochene Schleifkontakte (Kommutator).
Das Prinzip des Elektromotors zeigt ein anderes Applet:
http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/applets/phd/elektromotorplain.html
von Walter Fendt.
Selbstinduktivität
Fließt ein Strom I in einem Stromkreis 0, wird dieser durch ein vom Strom erzeugtes Magnetfeld durchflutet, dessen Stärke proportional zu I ist. Integration über eine durch 0 begrenzte
Fläche ergibt einen magnetischen Fluß, der ebenfalls proportional zu I ist:
8 = LI.
(6.4)
Die Proportionalitätskonstante L ist eine Eigenschaft des jeweiligen Stromkreises, die nur von
dessen Gestalt und der Permeabilität des Mediums, in dem sich der Stromkreis befindet, abhängt;
sie wird als Induktivität (genauer Selbstinduktivität) bezeichnet. Die Induktivität ist also das
Verhältnis des magnetischen Flusses zur Stärke des erzeugenden Strom. Die Einheit der Induktivität heißt Henry (H) nach dem amerikanischen Physiker Joseph Henry (1797–1878). Es gilt also
1 H = 1 Wb A−1 .
Eine Änderung der Stromstärke führt zu einer Änderung des magnetischen Flusses und damit—
ohne externen Einfluß—zu einer induzierten Spannung
U = −8̇ = −LI˙.
(6.5)
Dieses Phänomen—die Induktion einer Spannung durch eine Änderung des Stroms im gleichen
Kreis—bezeichnet man als Selbstinduktion. Die Induktivität kann also auch als das Verhältnis der
induzierten Spannung zur negativen Stromänderungsrate definiert werden. Das Minuszeichen in
Gleichung (6.5) deutet darauf hin, daß die indizierte Spannung—gemäß der Lenzschen Regel—
der Stromänderung entgegenwirkt.
Wie kann man die Induktivität eines Stromkreises berechnen? Als einfaches Beispiel betrachten wir eine lange Spule, bei der wir die Endeffekte vernachlässigen können (s. 4.3.4). Die Länge
sei l, der Radius r und die Anzahl der Windungen N. Das Magnetfeld ist nach (4.17)
B=
µ◦ µr NI
,
l
wobei wir µ◦ durch µ◦ µr ersetzt haben, um die Möglichkeit eines magnetischen Mediums zuzulassen. Um den Fluß zu berechnen, müssen wir B noch mit der Anzahl der Windungen und der
Querschnittsfläche multiplizieren:
8 = π r 2 NB =
µ◦ µr N 2 πr 2 I
.
l
103
6.1. INDUKTION
Damit ist die Induktivität
µ◦ µr N 2 πr 2
L=
.
l
(6.6)
Frage 6.1 Um eine Idee von der Größe der Einheit Henry zu bekommen, berechnen Sie die
Induktivität einer 1 m-langen Spule mit einem Radius von 2 cm und 104 Wicklungen in Luft
(µr = 1).
Auf das Verhalten von Induktivitäten (Spulen) in elektrischen Schaltkreisen kommen wir
später. Zunächst soll als zweites Beispiel die Induktivität pro Länge einer Doppelleitung berechnet
werden. Abb. 6.5(a) zeigt zwei parallele Leitungen im Abstand d, die den Strom I bzw. −I tragen.
l
l
2r
+I
+λ
d
dx
dx
x
-I
Abbildung 6.5: Zur Berechnung (a) der Induktivität und (b) der Kapazität einer Doppelleitung.
2r
(a)
−λ
x
(b)
Das Magnetfeld in einer Entfernung x von einem Leiter ist (s. Abschnitt 4.3.1)
µ◦ µr I 1
1
B=
.
+
2π
x d −x
Der Fluß durch eine Länge l der Doppelleitung ergibt sich durch Multiplikation von B mit dem
Flächenelement ldx und Integration. Wir wollen annehmen, daß der Radius r der Drähte viel kleiner als der Abstand d ist, so daß wir den Beitrag des Feldes innerhalb der Drähte vernachlässigen
können. Der Fluß ist dann
Z
1
µ◦ µr I l
d −r
µ◦ µr I l d−r 1
+
dx =
ln
.
8=
2π
x d −x
π
r
r
Die Induktivität pro Länge des Leiterpaares ist also
µ◦ µr
d −r
L̂ =
.
ln
π
r
(6.7)
Es ist interessant, die Induktivität einer Doppelleitung mit ihrer Kapazität zu vergleichen. Wenn
die Leiter eine Ladung λ bzw. −λ pro Längeneinheit tragen, ist das elektrische Feld in einer Entfernung x von einem Leiter (s. Abschnitt 2.6.3)
λ
1
1
.
E=
+
2π◦ r x d − x
104
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
Damit ist die Potentialdifferenz
Z
U=
r
d−r
λ
d −r
Edx =
ln
.
π◦ r
r
Die Kapazität einer Länge l ist λl/U , und die Kapazität pro Längeneinheit damit
Ĉ =
π◦ r
.
ln[(d − r)/r]
(6.8)
Aus (6.7) und (6.8) folgt, daß das Produkt Ĉ L̂ unabhängig von den geometrischen Parametern ist:
Ĉ L̂ = ◦ r µ◦ µr .
(6.9)
Dies gilt auch für andere Geometrien (z.B. Koaxialkabel ).
Die Gleichungen (6.7) und (6.8) zeigen, daß der Radius r nicht beliebig klein sein kann, weil
8 und U für r → 0 unendlich groß werden. Wir haben aber schon des öfteren null- bzw. eindimensionale Objekte (Punktladungen, Linienladungen, linienförmige Ströme) als Näherungen für
die physikalische Wirklichkeit verwendet, ohne daß Probleme aufgetreten sind. Warum geht das
im vorliegenden Fall nicht?
Das Problem liegt darin, daß punkt- oder linienförmige Ladungsdichte- oder Stromdichteverteilungen Singularitäten darstellen, die in der physikalischen Wirklichkeit keine Entsprechung
haben. Die Abstraktion eines linien- bzw. punktförmigen Objektes darf aber trotzdem verwendet
werden, wenn die Singularität bei der Berechnung der gerade interessierenden Größe keine Rolle
spielt. Ein Beispiel: Zur Berechnung der Coulombschen Kraft zwischen zwei geladenen Körpern
darf man diese als Punkte betrachten, wenn die Abmessungen beider viel kleiner als der Abstand
zwischen ihnen ist. Man multipliziert die eine Ladung mit dem Feld der anderen, dessen Gradient unter den genannten Umständen vernachlässigt werden kann. Ganz anders sieht es aus, wenn
ich die Energie des elektrischen Feldes einer Punktladung berechnen will: Die Annahme eines
geometrische Punktes führt zu einer unendlichen Energie.
Frage 6.2 Ein kugelförmiger Leiter trägt eine Ladung q. Berechnen Sie die Feldenergie als
Funktion des Kugelradius r◦ und zeigen Sie, daß die Energie für r◦ → 0 divergiert.
Ein weiteres Beispiel betrifft die Berechnung des magnetischen Flusses in einem Stromkreis.
Stammt das Magnetfeld B, das über eine durch den Stromkreis 0 begrenzte Fläche integriert werden soll, von einem anderen Stromkreis, darf 0 problemlos als geometrische Raumkurve idealisiert
werden. Bei der Berechnung der Selbstinduktivität muß aber über das B-Feld eines Stroms integriert werden, der durch den Kreis 0 selbst fließt. Wie im oben diskutierten Fall der Parallelleitung
ist es dann notwendig, einen endlich großen Radius des Leiters anzunehmen.
Schwingkreise
Wir betrachten zunächst eine einfache Schaltung bestehend aus einem Kondensator mit der
Kapazität C und einer Spule mit der Induktivität L, die über einen Schalter miteinander verbunden
sind. Nehmen wir an, daß der Schalter zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen wird, und daß der Kondensator zu diesem Zeitpunkt die Ladung q◦ trägt. Der Kondensator entlädt sich durch die Spule,
aber in einer endlichen Zeit, weil der Strom durch die Induktivität der Spule begrenzt wird. Für die
Spannung gilt
dI
d2 q
q
U=
=L
= −L 2 .
C
dt
dt
105
6.1. INDUKTION
Wir erhalten für q(t) also die bekannte Differentialgleichung des harmonischen Oszillators
√
q̈ = −ω◦2 q
(ω◦ = 1/ LC).
Die Lösung mit den Anfangsbedingungen q(0) = q◦ , q̇(0) = 0ist
q = q◦ cos ω◦ t;
I = −q̇ = ω◦ q◦ sin ω◦ t.
Die hier betrachtete Schaltung ist die einfachste Form eines Schwingkreises. Die Frequenz wird
durch das Produkt LC bestimmt.
Frage 6.3 Welche Schwingungsperiode hat ein LC-Schwingkreis mit L = 0,1 H und C =
0,1 µF?
Zum Zeitpunkt, wo die Ladung des Kondensators den maximalen Wert (q◦ ) hat, steckt im Kondensator die elektrische Energie
W = q◦2 /2C.
Zu diesem Zeitpunkt sind der Strom I und deshalb das B-Feld in der Spule gleich 0. Eine Viertelperiode später ist die Ladung auf 0 gesunken, und die Energie W ist vollständig aus dem Kondensator verschwunden. Sie muß sich also in der Spule, d.h. im Magnetfeld befinden. Dies gibt uns
die Möglichkeit die Energie des Magnetfeldes zu bestimmen, ähnlich wie wir im Abschnitt 2.10
die Energie des elektrischen Feldes bestimmt haben: Wenn q = 0 ist, hat der Betrag des Stromes
den Maximalwert
I = I◦ = ω◦ q◦ .
Die in der Spule gespeicherte Energie ist
W =
I◦2
LI◦2
=
.
2
2Cω◦2
Nehmen wir an, es handelt sich um eine lange Spule mit N Windungen, der Querschnittsfläche
A und der Länge l. Es gilt dann
µ◦ µr N 2 A
L=
l
und
H =
N I◦
,
l
und die Energie ist
1
1
W = Alµ◦ µr H 2 = AlH B.
2
2
Um die Energiedichte zu erhalten, müssen wir durch das Volumen der Spule (Al) dividieren:
1
w = H B.
2
Man kann zeigen, daß in magnetisch anisotropen Medien die allgemeinere Beziehung
1
w = H .B
2
gilt. Die Gesamtenergiedichte eines elektromagnetischen Feldes ist also
1
w = (E.D + H .B).
2
(6.10)
106
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
Wenden wir uns wieder dem Schwingkreis zu: Befindet sich ein Widerstand R in Reihe mit
der Spule und dem Kondensator, werden die Schwingungen gedämpft. Die Differentialgleichung
lautet
q
U=
= I R + LI˙,
C
d.h.
2
2L
q̈ + q̇ + ω◦2 q = 0
mit
τ=
.
τ
R
Die Lösung ist für kleine Dämpfung
q = q◦ e−t/τ cos ωt
mit
ω ≈ ω◦ .
Mit diesem Applet: http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/applets/phd/schwingkreis.htm
von Walter Fendt können Sie das Verhalten einfacher Schwingkreise simulieren.
6.1.4
Gegeninduktivität
Betrachten wir zwei Stromschleifen 01 , 02 , die die Ströme I1 bzw. I2 führen. Beide Ströme
tragen zum magnetischen Fluß im eigenen und im anderen Kreis bei. Für die jeweiligen Flüsse gilt
daher allgemein:
81 = L11 I1 + L12 I2
82 = L21 I1 + L22 I2 .
Entsprechend gilt für die induzierten Spannungen bei zeitlich veränderlichen Strömen:
U1 = L11 I˙1 + L12 I˙2
U2 = L21 I˙1 + L22 I˙2 .
Die Größen L11 und L22 sind die oben definierten Selbstinduktivitäten der beiden Kreise. Die
nichtdiagonalen Terme L12 und L21 werden als Gegeninduktivitäten bezeichnet.
Es läßt sich einfach zeigen, daß immer L12 = L21 gilt: Es seien B1 und B2 die Magnetfelder
der Kreise 01 bzw. 02 . Die Flüsse sind
Z
Z
81 =
F1
B1 .df +
Z
82 =
F2
F1
B2 .df
Z
B1 .df +
F2
B2 .df ,
woraus folgt
Z
Z
L12 I2 =
F1
B2 .df =
(∇ × A2 ).df =
Z
Z
L21 I1 =
F1
I
F2
B1 .df =
F2
01
A2 .ds1
I
(∇ × A1 ).df =
02
A1 .ds2
107
6.1. INDUKTION
Es gilt aber nach (4.24), wenn wir das Stromelement j dV 0 durch Ii dsi (i = 1, 2) ersetzen und die
Ortsvektoren der Linienelmente dsi mit ri bezeichnen:
I
µ◦ µr Ii
dsi
Ai =
.
4π
0i |r1 − r2 |
Daraus erhalten wir schließlich
L12 = L21
µµ
= ◦ r
4π
I
I
01
02
ds1 .ds2
.
|r1 − r2 |
Wir haben hier beide Stromkreise als Linien approximiert. Nach der Diskussion des letzten Abschnitts dürfen wir dies in diesem Fall tun, weil wir jeweils über das Feld des anderen Kreises
integrieren.
Als Beispiel berechnen wir die Gegeninduktivität eines Spulenpaares bestehend aus zwei konzentrischen, zylindrischen Spulen mit N1 bzw. N2 Wicklungen. Die beiden Spulen sollen direkt
aufeinander gewickelt sein, d.h. sie haben die gleiche Querschnittsfläche A. Ihre Längen seien l1
bzw. l2 mit l1 > l2 . Wir nehmen an, daß die Spule 1 eine lange“ Spule ist, d.h. l12 A. Das durch
”
den Strom I1 in dieser Spule erzeugte B-Feld ist
B1 =
µ◦ µr N1 I1
,
l1
und der daraus resultierende Fluß in der zweiten Spule, die nicht lang sein muß, ist
821 = N2 AB1 =
Es ist also
L12 = L21 =
µ◦ µr N1 N2 AI1
.
l1
µ◦ µr N1 N2 A
.
l1
Γ
I1
I2
U1
N1
N2
U2
Abbildung 6.6: Das Prinzip des Transformators
Ein besonderer Fall einer Gegeninduktivität ist der Transformator, der aus 2 Spulen besteht,
die auf einem gemeinsamen Kern aus ferromagnetischem Material besteht (s. Abb. 6.6). Der Kern
108
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
ist meistens rechteckig, bildet also einen geschlossen Weg. Dies bewirkt, daß die magnetische
Feldlinien fast vollständig innerhalb des Kerns bleiben und geschlossene Kurven bilden, die durch
beide Spulen laufen. Für das Linienintegral des Feldes um den Weg 0 gilt in sehr guter Näherung
I
H .ds = H l,
0
wo l die Länge des Weges ist. Mit Hilfe des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes folgt
H l = N1 I1 + N2 I2
und somit
81 = kN1 (N1 I1 + N2 I2 )
82 = kN2 (N1 I1 + N2 I2 )
mit
k = Aµ◦ µr / l.
Die Matrix der Induktivitäten ist damit
L=k
N12 N1 N2
N1 N2 N22
.
Die Spannungen, die bei zeitlich veränderlichen Strömen entstehen, sind
U1 = L11 I˙1 + L12 I˙2 = kN1 (N1 I˙1 + N2 I˙2 )
U2 = L21 I˙1 + L22 I˙2 = kN2 (N1 I˙1 + N2 I˙2 ).
(6.11)
Daraus folgt die allgemeine Beziehung
N
U1
= 1.
U2
N2
Die Spannungen sind in gleichem Verhältnis wie die Wicklungszahlen der Spulen. Diese Beziehung gilt unabhängig von der Form der zeitlichen Abhängigkeit der Ströme. Transformatoren werden aber insbesondere in Wechselstromkreisen eingesetzt (s. Abschnitt 6.2), in denen die zeitliche
Abhängigkeit der Ströme und Spannungen sinusförmig ist.
6.2
Wechselstromnetzwerke
Beim Wechselstrom sind Strom und Spannung harmonische Funktionen der Zeit. Die Frequenz
f wird in Hertz (Hz) angegeben. In den mathematischen Formeln verwendet man aber häufig die
Kreisfrequenz ω = 2πf .
109
6.2. WECHSELSTROMNETZWERKE
6.2.1
Wirkung einer periodischen Spannung auf R, C und L
Betrachten wir zunächst die Wirkung einer Wechselspannung
U = U◦ cos ωt
auf einen Widerstand R, eine Kapazität C und eine Induktivität L. Für den Widerstand gilt das
Ohmsche Gesetz. Der resultierende Strom ist also
I = I◦ cos ωt
mit
I◦ = U◦ /R.
Die Ladung des Kondensators ist
Q = CU◦ cos ωt.
Der Strom ist die zeitliche Ableitung der Ladung:
I = Q̇ = −ωCU◦ sin ωt = I◦ cos(ωt + π/2)
mit
I◦ = ωCU◦ .
Im Falle der Induktivität ist die Spannung gleich der zeitlichen Ableitung des Stroms:
U◦ cos ωt = LI˙.
Integration ergibt
I = I◦ cos(ωt − π/2)
mit
I◦ = U◦ /ωL.
Wir sehen also, daß auch im Falle eines Kondensators oder einer Spule ein Strom fließt, dessen
Amplitude proportional zur Spannung ist. Es gibt aber zwei wesentliche Unterschiede zum Fall
des Widerstandes:
1. Der effektive Widerstand, d.h. das Verhältnis U◦ /I◦ ist abhängig von der Frequenz: 1/ωC
bzw. ωL.
2. Zwischen dem Strom und der Spannung gibt es einen Phasenunterschied π/2 bzw. −π/2.
Tabelle 6.1: Effektiver Wechselstromwiderstand und Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung
für einen Widerstand R, einen Kondensator C und eine Induktivität L.
R
C
L
U◦ /I◦
R
1/ωC
ωL
φ
0
+π/2
−π/2
In Abb. 6.7 (Mitte) sind die Ströme und Spannungen in den drei Schaltungselementen als
Funktionen der Zeit dargestellt. Da es sich um harmonische Schwingungen handelt, besteht auch
die Möglichkeit, die Größen in einem Amplituden-Phasen-Diagramm darzustellen: Dort wird jede
Schwingungen durch einen zweidimensionalen Vektor (Pfeil) dargestellt. Die Länge des Vektors
entspricht dabei der Amplitude der Schwingung, und die Phase wird als Winkel zwischen dem
Vektor und der horizontalen Achse dargestellt. In Abb. 6.7 (unten) werden die Amplituden-PhasenDiagramme für die drei Fälle wiedergegeben, wobei die Phase der Spannung gleich Null gesetzt
wird.
Mit Hilfe dieses Applets:
http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/applets/phd/wstromkreis.htm von Walter Fendt
können Sie das Wechselstromverhalten von Widerstand, Kapazität und Induktivität in
einer Simulation studieren.
110
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
C
R
I
I
U
I
U
ωCUo
Uo
~
~
U
Uo
Uo
Uo /R
U
~
U
I
Uo/ω L
I
Abbildung 6.7: Graphische Darstellungen
der Ströme und Spannungen bei der Anwendung einer Wechselspannung auf einen Widerstand, einen Kondensator und eine Spule. Oben: die Schaltungen. Mitte: Strom und
Spannung als Funktionen der Zeit. Unten:
Amplituden-Phasen-Diagramme
6.2.2
I
U
L
I
Uo /R
ωCUo
I
Uo ω L
U
U
U
I
Die Leistung
Die Leistung eines Stroms ist das Produkt aus Spannung und Stromstärke. Im Falle des Wechselstroms ist sie eine Funktion der Zeit:
L(t) = I (t)U (t).
Uns interessiert insbesondere die mittlere Leistung, die wir durch Integration über eine Periode
erhalten:
Z
1 T
2π
L̄ =
I U dt,
T =
.
T 0
ω
Für den Widerstand erhalten wir
ωU◦2
L̄ =
2πR
wobei
Z
2π/ω
cos2 (ωt)dt =
0
U2
U◦2
= eff ,
2R
R
√
Ueff = U◦ / 2
die effektive Spannung ist: Eine Gleichspannung Ueff würde die gleiche Leistung ergeben wie
die Wechselspannung der Amplitude U◦ . Aus diesem Grund wird bei der Angabe der Stärke einer Wechselspannung (z.B. der Netzspannung) immer die effektive Spannung Ueff und nicht √
die
Amplitude U◦ genannt. Das gleiche gilt für die Angabe der Stromstärke: Es wird Ieff = I◦ / 2
angegeben. Die mittlere Leistung ist dann
L̄ = Ieff Ueff ,
entsprechend L = I U beim Gleichstrom.
Wird nun ein Kondensator oder eine Spule an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen,
besteht zwischen Strom und Spannung die Phasendifferenz ±π/2. Der Integrand bei der Berechnung der mittleren Leistung ist dann nicht mehr cos2 (ωt), sondern cos ωt sin ωt, was immer Null
ergibt. Eine reine Kapazität oder eine reine Induktivität verbraucht also im Mittel keine Energie:
Es wird zwar Energie benötigt, um das elektrische bzw. das magnetische Feld aufzubauen, dies
111
6.2. WECHSELSTROMNETZWERKE
Energie wird aber wieder abgegeben, wenn die Feldstärke wieder auf Null geht. Man spricht daher von einer Blindleistung. Eine ideale Induktivität hat den (Ohmschen) Widerstand 0, was nur
mit supraleitendem Material realisiert werden kann. Eine ideale Kapazität sollte einen unendlich
großen Widerstand haben, was in der Praxis nicht erreicht werden kann.
Wie wir später sehen werden, kann in komplexen Schaltungen der Phasenwinkel φ zwischen
Strom und Spannung beliebig sein. Wir können aber den Strom in zwei Komponenten aufspalten:
eine Komponente mit der Amplitude I◦ cos φ und der Phase 0 und eine Komponente mit der Amplitude I◦ sin φ und der Phase π/2. (Man kann sich dies am einfachsten mit Hilfe eines AmplitudenPhasen-Diagramms klar machen). Nur die zur Spannung parallele“ Komponente trägt zu Leistung
”
bei. Die mittlere Leistung ist daher im allgemeinen
L̄ = Ieff Ueff cos φ.
(6.12)
Frage 6.4 Wenn Ihnen dieses Vektorargument nicht gefällt, beweisen Sie die Richtigkeit der
Schlußfolgerung durch direkte Integration.
6.2.3 Die Verwendung komplexer Zahlen
Bei der Behandlung der Interferenz von Lichtwellen (s. Optik-Skript, Abschnitt 5.4) haben wir
gesehen, daß es vorteilhaft ist, Schwingungen als komplexe Zahlen darzustellen: Der Vektor in der
komplexen Ebene entspricht genau der Darstellung im Amplituden-Phasen-Diagramm. Um die
Ergebnisse des Abschnitts 6.2.1 in komplexen Zahlen darzustellen, schreiben wir die Spannung
als
Ũ = U◦ eiωt ,
wobei wir die Tilde ( ˜ ) verwenden wollen, um die komplexen Größen anzuzeigen. Der Strom ist
dann allgemein
I˜ = I◦ ei(ωt+φ) = I˜◦ eiωt .
Hier bedeutet I˜◦ = I◦ eiφ die komplexe Amplitude, die sowohl die reelle Amplitude I◦ als auch
die Phase φ enthält. Für die im Abschnitt 6.2.1 abgeleiteten Ströme gilt in der komplexen Schreibweise:
R:
C:
L:
φ = 0,
φ = π/2
φ = −π/2.
I◦ = U◦ /R,
I◦ = ωCU◦ ,
I◦ = U◦ /ωL,
Allgemein läßt sich die Beziehung zwischen Strom und Spannung in folgender Form schreiben:
Ũ = Z̃ I˜,
wobei Z̃ für die hier betrachteten drei Fälle folgende Werte hat:
Z̃R = R,
−i
1
e−iπ/2
=
=
,
ωC
ωC
iωC
Z̃L = ωLeiπ/2 = iωL.
Z̃C =
(6.13)
112
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
Gleichung (6.13) kann man als das Ohmsche Gesetz für Wechselströme betrachten. Z̃ ist der komplexe Widerstand oder Impedanz. Für einen Widerstand ist Z̃ identisch mit dem Ohmschen Widerstand R. Die Impedanz einer Spule oder eines Kondensators ist dagegen imaginär und frequenzabhängig.
Da Ũ und I˜ den Faktor eiωt enthalten, gilt auch Ũ◦ = Z̃ I˜◦ . Da wir uns aber meistens nur für die
Amplitude und die Phase interessieren, nicht für die periodische Änderung der Größen, können wir
auf den Index verzichten und Ũ und I˜ in Gleichung (6.13) als die komplexen Amplituden (ohne
den Faktor eiωt ) betrachten.
Die Impedanz einer Parallel- oder Reihenschaltung von Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten ist im allgemeinen eine komplexe Zahl mit reellem und imaginärem Anteil. Der Vorteil der Darstellung der Impedanzen als komplexe Zahlen liegt darin, daß wir bei der Berechnung
der Gesamtimpedanz genauso vorgehen können, wie bei der Berechnung des Gesamtwiderstands
von Gleichstromschaltungen. Dazu betrachten wir zunächst eine Reihenschaltung Z̃1 , Z̃2 , Z̃3 , . . ..
Durch alle Impedanzen fließt der gleiche Strom I˜. Die Gesamtspannung ist also
Ũ =
X
Ũi =
i
X
Z̃i I˜.
i
Die Reihenschaltung verhält sich also wie ein Einzelelement mit der Impedanz
Z̃ =
X
Z̃i .
i
Für eine Parallelschaltung mit der gemeinsamen Spannung Ũ gilt für den Gesamtstrom
I˜ =
X
Z̃i−1 Ũ ,
i
und die effektive Impedanz ist damit durch
Z̃ −1 =
X
Z̃i−1 .
i
Die Regeln sind also die gleichen wie für Widerstände (s. Abschnitt 3.3.1), nur muß man natürlich
die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen beachten.
Wir wollen einige einfache Beispiele betrachten:
Beispiel 1: Resonanzschaltung, bestehend aus einem Widerstand R, einer Kapazität C und
einer Induktivität L in Reihe: Die Impedanz ist
1
i,
Z̃ = R + ωL −
ωC
und die Amplitude des Stroms ist damit
U
I=
=q
Z
U
R 2 + ωL −
1
ωC
"
2 #1/2
U
ω
ω
◦
2
2 = R 1 + Q ω − ω
◦
113
6.2. WECHSELSTROMNETZWERKE
mit
ω◦ = (LC)
−1/2
1
Q=
R
,
r
L
.
C
√
Der Strom hat ein Maximum bei der Resonanzfrequenz ω◦ = 1/ LC. Bei dieser Frequenz ist
der imaginäre Beitrag zur Impedanz Null, und der Strom hat den gleichen Wert (U/R), als ob die
Schaltung nur aus dem Widerstand bestünde. Die Schärfe der Resonanz wird durch die sog. Güte
Q (auch Q-Faktor genannt) ausgedrückt. Abb. 6.8 zeigt das Resonanzverhalten bei verschiedenen
Werten von Q. Im Gegensatz zum mechanischen Oszillator ist die Resonanzfrequenz unabhängig
von der Dämpfung.
1,0
I/Imax Q = 1
0,8
0,6
0,4
Abbildung 6.8: Abhängigkeit des Stroms
von der Frequenz für einen Resonanzkreis
mit verschiedenen Werten der Güte Q. Aufgetragen ist das Verhältnis der Stromamplitude I zur maximalen Amplitude Imax als
Funktion des Verhältnisses der Frequenz ω
zur Resonanzfrequenz ω◦ .
Q = 10
0,2
Q = 100
0
0,8
Q = 1000
0,9
1,0
1,1
ω/ωo
1,2
Frage 6.5 Wenn der Widerstand 1, beträgt, welche Werte müssen C und L haben, um eine
Resonanzfrequenz von 1 kHz und eine Güte von 100 zu erreichen?
~
Z1
~
Z2
~
Uein
I
Abbildung 6.9: Eine einfache Filterschaltung mit 2 Impedanzen Z̃1 , Z̃2 .
~
Uaus
114
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
Beispiel 2 Filter. Abb. 6.9 zeigt das Prinzip einer einfachen Filterschaltung. Zwischen den
Eingangs- und Ausgangskontakten ist eine Impedanz Z̃1 in Reihe und eine Impedanz Z̃2 parallel
geschaltet. Wir nehmen an, daß der Primärkreis den Strom I˜ trägt, während der Sekundärkreis
offen ist. Für die Eingangs- und Ausgangsspannung gilt dann
Ũ1 = (Z̃1 + Z̃2 )I˜,
Ũ2 = Z̃2 I˜.
Daraus folgt
Ũ2 = F̃ (ω)Ũ1
mit
F̃ (ω) =
Z̃2
Z̃1 + Z̃2
.
Wenn Z̃1 und Z̃2 beide Ohmsche Widerstände sind, handelt es sich um einen einfachen Spannungsteiler (U2 = R2 U1 /(R1 + R2 )). Durch geeignete Wahl der Glieder kann man Filter herstellen, die nur tiefe Frequenzen (Tiefpaß ), nur hohe Frequenzen (Hochpaß) oder ein Frequenzband
(Bandpaß ) durchlassen:
Wählt man Z̃1 = R (Widerstand) und Z̃2 = (iωC)−1 (Kondensator) wählt, erhält man einen
Tiefpaß. Der Betrag von F̃ ist
−1/2
ω2
F = 1+ 2
mit
ω◦ = (CR)−1 .
ω◦
Mit Z̃1 = R (Widerstand) und Z̃2 = iωL (Spule) erhält man einen Hochpaß mit
ω◦2
F = 1+ 2
ω
−1/2
mit
ω◦ = R/L.
Die oben diskutierte Resonanzschaltung dient als Bandpaß : Ũ1 ist die Gesamtspannung und Ũ2
die Spannung am Widerstand R. In diesem Fall ist
"
−1/2 #
ω
ω
F = 1 + Q2
− ◦
.
ω◦
ω
Abb. 6.10 Zeigt die Funktion |F̃ | als Funktion von ω/ω◦ für die drei Filterarten, wobei eine
logarithmische Frequenzskala verwendet wurde.
Bei Verwendung der komplexen Schreibweise für Ströme, Spannungen und Impedanzen gelten
die Kirchhoffschen Gesetze (s. Abschnitt 3.3.4) auch für Wechselstromnetzwerke.
6.3
Vierpole
Die oben besprochenen Filternetzwerke sind Beispiele für sog. Vierpole. Ein Vierpol ist ein
schwarzer Kasten“ mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen, die über ein beliebig kom”
pliziertes Netzwerk miteinander verbunden sind, wobei im allgemeinen auch im Ausgangskreis
ein Strom fließen kann. Enthält das Netzwerk nur lineare, passive Elemente (d.h. nur Impedanzen
und keine Transistoren oder Dioden), besteht zwischen den Spannungen und Strömen eine lineare
Beziehung, die z.B. durch eine Matrizengleichung ausgedrückt werden kann:
Ũ2
Ã11 Ã12
Ũ1
=
.
(6.14)
I˜2
Ã21 Ã22
I˜1
115
6.4. WELLENLEITER
1,0
F
0,8
0,6
Q = 10
0,4
0,2
Abbildung 6.10: Der Betrag Filterfunktion
F̃ (ω) als Funktion von ω/ω◦ (logarithmische Skala) für Hoch-, Tief- und Bandpaß.
0
−2
10
10
−1
10
0
1
10
ω/ωο
10
2
Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, daß das Hintereinanderschalten von mehreren Vierpolen der Multiplikation der Matrizen entspricht.
Für die in der Abb. 6.9 gezeigte Schaltung gilt
Ã11 Ã12
1
−Z̃1
=
Ã21 Ã22
1/Z̃1 1 − Z̃1 /Z̃2
Der Transformator (s. Abschnitt 6.1.4) ist ein Beispiel für einen Vierpol. Aus (6.11) folgt in
der komplexen Schreibweise mit I˙˜j = iωI˜j :
Ũ2
I˜2
=
N2 /N1
0
(iωkN1 N2 )−1 N1 /N2
Ũ1
I˜2
mit
k = µ◦ µr A/ l.
Daraus folgt die schon bekannte Beziehung
Ũ2 = (N2 /N1 )Ũ1 .
Wenn eine Last Z̃ an den Ausgang des Transformators angeschlossen wird, beträgt der Sekundärstrom
I˜2 = Ũ2 /Z̃ = N2 Ũ1 /(N1 Z̃).
6.4
Wellenleiter
Nehmen wir an, ein Verbraucher wird über eine Doppelleitung an eine Spannungsquelle angeschlossen. Ändert sich die Ausgangsspannung der Quelle, erscheint diese Änderung nicht sofort am Verbraucher, sondern die Änderung pflanzt sich mit einer endlichen Geschwindigkeit fort.
Abb. 6.11 zeigt einen Ausschnitt aus einem sog. Wellenleiter, bestehend aus zwei parallelen Leitungen. Im allgemeinen sind Strom und Spannung von der Zeit und von der Ortskoordinate x
abhängig. Wie wir im Abschnitt 6.1.3 gesehen haben, besitzt eine solche Doppelleitung sowohl
Induktivität als auch Kapazität. Es seien Ĉ die Kapazität und L̂ die Induktivität pro Längeneinheit.
116
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
I+δ I
I
U+δ U
U
δx
Abbildung 6.11: Oben: Wellenleiter. Unten:
Ersatzschaltbild eines Abschnitts der Länge
δx. Ĉ ist die Kapazität und L̂ die Induktivität der Leitung, jeweils bezogen auf eine
Einheitslänge.
Lδx
Cδ x
Einen Abschnitt der Länge δx verhält sich wie das in Abb. 6.11 (unten) gezeigte Ersatzschaltbild,
bestehend aus einer Induktivität L̂δx und einer Kapazität Ĉδx.
Die Änderungsrate der Ladung δQ im Abschnitt δx ist
∂δQ
∂ I˜
=
δx.
∂t
∂x
Dies ist aber gerade die Ladung des Kondensators mit der Kapazität Ĉδx. Für die zeitliche
Änderung der Spannung folgt daher
1 ∂ I˜
∂ Ũ
=−
∂t
Ĉ ∂x
(6.15)
Die Änderung der Spannung über die Induktivität L̂δx ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des
Stroms. Daraus folgt
∂ I˜
∂ Ũ
= −L̂
(6.16)
∂x
∂t
Durch Bildung der zweiten Ableitungen kann man entweder Ũ oder I˜ aus (6.15) und (6.16) eliminieren. Man erhält in beiden Fällen die Wellengleichung:
∂ 2 Ũ
1 ∂ 2 Ũ
=
−
∂t 2
Ĉ L̂ ∂x 2
bzw.
∂ 2 I˜
1 d2 I˜
=
−
.
∂t 2
Ĉ L̂ dx 2
Die Lösungen als harmonische Wellen sind
Ĉ
I˜ = ± Ũ ,
L̂
wobei das obere Vorzeichen
qfür eine nach +x und das untere Vorzeichen für eine nach −x laufende
Ũ = U◦ exp[i(ωt ∓ kx)],
Welle gilt. Der Parameter L̂/Ĉ wird als Wellenwiderstand bezeichnet. Die Phasengeschwindigkeit der Wellen ist, unter Berücksichtigung der Gleichung (6.9)
ω
1
1
=p
,
=√
k
µ◦ µr ◦ r
Ĉ L̂
117
6.5. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
wo die Parameter µr und r für das Material gelten, in dem der Wellenleiter eingebettet ist. Wie wir
im nächsten Kapitel sehen werden, ist dies aber gerade die Geschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen (z.B. Lichtwellen) im betreffenden Medium. In einem Wellenleiter pflanzen sich die
Wellen also mit Lichtgeschwindigkeit fort.
In der obigen Behandlung haben wir den Ohmschen Widerstand der Leitung vernachlässigt. In
der Praxis führt dieser zu einer Dissipation der Energie und einer entsprechenden Dämpfung der
Welle.
Am Ende einer Wellenleitung (z.B. von einer Fernsehantenne) soll die Energie an den
Empfänger übergeben werden. Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß der Verbraucher als
Ohmscher Widerstand R an der Stelle x = 0 dargestellt werdenqkann. An der Stelle x = 0 muß
also gelten Ũ /I˜ = R. Für die laufende Welle ist aber Ũ /I˜ = ± L̂/Ĉ. Die Bedingung kann also
nur durch eine Kombination von zwei Wellen mit unterschiedlichen Laufrichtungen, d.h. einer einfallenden und einer reflektierten Welle, erfüllt werden. Wir legen die Amplitude der einfallenden
Spannungswelle willkürlich mit 1 fest und bezeichnen die Amplitude der reflektierten Welle mit r̃
(|r|2 ist der Reflexionskoeffizient). Das Schwingung an der Stelle x = 0 ist also
s
Ũ = (1 + r̃)eiωt ,
I˜ =
Ĉ
L̂
(1 − r̃)eiωt .
Die Bedingung Ũ /I˜ = R ergibt
1 + r̃
R
=q
.
1 − r̃
L̂/Ĉ
q
Der Reflexionskoeffizient ist dann 0 (keine Reflexion), wenn R = L̂/Ĉ ist. Damit haben wir eine
einfache Bedingung für die Anpassung: Der Wellenwiderstand der Leitung muß genauso groß sein
wie der Eingangswiderstand des Verbrauchers.
Frage 6.6 Überlegen Sie, was passiert, wenn das Ende der Leitung (a) kurzgeschlossen
(R = 0) oder (b) offen (R = ∞) ist.
6.5
Antworten zu den Fragen
Frage 6.1 Mit µ◦ = 4π · 10−7 V s A−1 m−1 , µr = 1, N = 104 , r = 0,02 m und l = 1 m folgt
L=
µµr N 2 π r 2
= 0,158 H.
l
Frage 6.2 Da die Kugel leitend ist, verteilt sich die Ladung gleichmäßig über die Oberfläche.
Die elektrische Feldstärke ist (s. auch Abschnitt 2.6.5)
q/(4π ◦ r 2 ) r > r◦ ,
E=
0
r ≤ r◦ .
118
KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER
Die Energiedichte ist ◦ E 2 /2, und das Volumenelement zwischen den Kugelschalen mit den Radien r und r + dr ist 4πr 2 dr. Die Gesamtenergie ist daher
Z ∞
q2
dr
q2
W =
=
.
8π ◦ r◦ r 2
8π◦ r
Frage 6.3 Die Schwingungsperiode ist
T =
√
2π
= 2π LC = 0,628 ms.
ω◦
Frage 6.4 Mit U = U◦ cos ωt und I = I◦ cos(ωt + φ) ist die mittlere Leistung
Z
Z
I◦ U◦ 2π/ω
I◦ U◦ 2π
L̄ =
cos ωt cos(ωt + φ)dt =
cos α cos(α + φ)dα
2π/ω 0
2π 0
Z
I◦ U◦ 2π
=
(cos2 α cos φ − cos α sin α sin φ)dα
2π 0
Es ist aber
Z
2π
2
Z
cos αdα = π
2π
und
0
cos α sin αdα = 0.
0
Daraus folgt
L̄ = I◦ U◦ cos φ/2 = Ieff Ueff cos φ.
Frage 6.5 Es gilt
ω
1
f◦ = ◦ =
√
2π
2π CL
und
1
Q=
R
r
L
.
C
Mit R = 1 , f◦ = 103 Hz und Q = 100 erhalten wir zwei Gleichungen für L und C:
1
= 4π 2 · 106 H−1 F− ,
LC
L
= 104 HF−1 .
C
Die Lösungen sind:
C=
1
F = 1,592 µF,
2π 105
L=
0,05
H = 15,92 mH.
π
Frage 6.6 In beiden Fällen ist der Reflexionskoeffizient gleich 1, d.h. es gibt eine stehende
Welle. Im Falle (a) hat bei x = 0 der Strom ein Maximum und die Spannung einen Knoten, im
Falle (b) ist es umgekehrt.
119
Kapitel 7
Elektromagnetische Strahlung
7.1
7.1.1
Maxwells Theorie der Elektrodynamik
Die Maxwell-Gleichungen
James Clerk Maxwell faßte die gesamte Elektrodynamik in vier Differentialgleichungen zusammen, die als mathematischer Ausdruck der experimentellen Beobachtungen aufgefaßt werden
können. Im Abschnitt 2.5 wurde gezeigt, wie die Quellenstärke (Divergenz) des E-Feldes mit der
Ladungsdichte zusammenhängt: ∇.E = ρ/◦ . Diese Gleichung gilt allerdings nur im Vakuum; in
einem Medium müssen wir gemäß dem geänderten Kraftgesetz ◦ durch ◦ r ersetzen. Unabhängig
von den Materialkonstanten läßt sich die Gleichung auch als
∇.D = ρ
schreiben. Diese ist eine der vier Maxwell-Gleichungen. Eine weitere ist uns schon begegnet als
Differentialform des Induktionsgesetzes (6.1):
∇ × E = −Ḃ.
Die dritte Maxwell-Gleichung1 ist der Ausdruck der Quellenfreiheit des B-Feldes (4.11):
∇.B = 0.
Schließlich basiert die vierte Gleichung auf dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz, dessen Differentialform wir als Gleichung (4.10) kennengelernt haben, die allgemeiner lautet
∇ × B = µ◦ µr j ,
oder einfacher
∇ × H = j.
Maxwell merkte jedoch, daß diese Gleichung nicht im Einklang mit der Kontinuitätsgleichung
∇.j = −ρ̇
1 Zufällig
hier die dritte—die Reihenfolge ist nicht festgelegt.
120
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
ist, weil die Divergenz einer Rotation immer identisch gleich Null ist:
∇.j = ∇.(∇ × H ) ≡ 0.
Er führte daher einen zusätzlichen Term ein, der dafür sorgt, daß die Kontinuitätsgleichung erfüllt
wird, wie man leicht nachprüfen kann. Die entsprechende Maxwell-Gleichung lautet
∇ × H = j + Ḋ.
Der zusätzliche Term Ḋ wird als Verschiebungsstromdichte bezeichnet. Die physikalische Bedeutung des Verschiebungsstroms sei hier an zwei Beispielen demonstriert:
1. Bewegte Ladung Eine Punktladung q bewege sich mit der Geschwindigkeit v und befinde
sich gerade am Ursprung des Koordinatensystems. Am Punkt r herrscht nach (4.4) mit v = −ṙ
das H-Feld
qr × ṙ
.
H =
4πr 3
Gleichzeitig besteht nach dem Coulombschen Gesetz das D-Feld
D=
qr
.
4πr 3
Mit Hilfe der Vektoranalysis kann man jedoch zeigen, daß
r × ṙ
∂ r
∇×
=
∂t r 3
r3
ist. Damit ist
∇ × H = Ḋ,
im Einklang mit der vierten Maxwell-Gleichung bei j = 0.
Γ
F
F'
I
I
D
Abbildung 7.1: Zur Berechnung des Verschiebungsstroms in einem Plattenkondensator. Durch die Fläche F fließt der Strom I ,
durch die Fläche F0 nur der Verschiebungsstrom.
121
7.1. MAXWELLS THEORIE DER ELEKTRODYNAMIK
2. Plattenkondensator Abb. 7.1 zeigt einen Plattenkondensator, durch den ein Strom I fließt.
Wir vergleichen das Integral der Stromdichte über zwei Flächen, die eine gemeinsame Grenzlinie
0 haben: Die Fläche F schneidet den Leiter und wird daher von dem Strom durchflossen, während
die Fläche F0 zwischen den Kondensatorplatten verläuft. Nach dem Durchflutungsgesetz gilt
I
Z
H .ds = j .df = I.
0
F
I
Z
Für die Fläche F0 folgt aber
H .ds =
F0
0
jv .df ,
wo jv die Verschiebungsstromdichte bedeutet. Unter Vernachlässigung der Randeffekte ist jv über
die Gesamtfläche A des Kondensators konstant, und es ist daher
jv = I /A.
Das D-Feld im Plattenkondensator ist aber D = Q/A, und die Ableitung nach der zeit ergibt
Ḋ =
Q̇
I
= = jv .
A
A
Wir fassen die Maxwell-Gleichungen zusammen:
Die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik
7.1.2
∇.D = div D = ρ
Quellenstärke von D
(7.1)
∇ × E = rot E = −Ḃ
∇.B = div B = 0
Induktionsgesetz
Quellenfreiheit von B
(7.2)
(7.3)
∇ × H = rot H = j + Ḋ
Durchflutung + Verschiebungsstrom
(7.4)
Die elektrodynamischen Potentiale
In Abschnitt 4.4 wurde das Vektorpotential A eingeführt. Es gilt B = ∇ ×A und ∇.A = 0. Die
Beziehung E = −∇φ für das elektrostatische Potential gilt nur für ein wirbelfreies E-Feld, d.h.
nur für den elektrostatischen Fall. Die allgemeine Potentialdarstellung des dynamischen E-Feldes
läßt sich aus den Maxwell-Gleichungen ableiten: Aus (7.2) folgt
∇ × E = −∇ × Ȧ,
d.h.
∇ × (E + Ȧ) = 0.
Das Vektorfeld (E + Ȧ) ist also wirbelfrei und kann als Gradient eines skalaren Potentials dargestellt werden. Das skalare Potential φ wird deshalb so definiert, daß sein negativer Gradient dem
Feld (E + Ȧ) entspricht. Die Potentialdarstellungen der Felder sind also zusammengefaßt
B = ∇ × A,
E = −∇φ − Ȧ.
Wenn wir D in (7.1) durch −◦ r (∇φ + Ȧ) und H in (7.4) durch ∇ × A/µ◦ µr ersetzen, erhalten
wir mit der weiteren Festlegung (nach Lorentz)
∇.A = −µ◦ µr ◦ r φ̇
folgende Differentialgleichungen für die Potentiale:
122
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
Die Differentialgleichungen für φ und A:
∇ 2 φ − µ◦ µr ◦ r φ̈ = −
ρ
◦ r
∇ 2 A − µ◦ µr ◦ r Ä = −µ◦ µr j
(7.5)
(7.6)
Im Vakuum (r = µr = 1, ρ = 0, j = 0) haben die Gleichung folgender Form
∇ 2 φ − µ◦ ◦ φ̈ = 0,
(7.7)
∇ 2 A − µ◦ ◦ Ä = 0.
(7.8)
Für beide Potentiale erhalten wir die bekannte Wellengleichung. Sie zeigt, daß sich jede
Veränderung eines elektromagnetischen Feldes mit der Geschwindigkeit
√
c = 1/ µ◦ ◦
fortpflanzt. Ein Ergebnis der Maxwell-Theorie war, daß man den Wert der Konstante c aus Labormessungen der zwischen Ladungen und zwischen Strömen wirkenden Kräfte bestimmen konnte.
Die Übereinstimmung des so bestimmten Wertes mit der gemessenen Lichtgeschwindigkeit war
der wichtigste Hinweis darauf, daß Licht eine elektromagnetische Welle ist.
Heute verwendet man die Naturkonstante c, um die SI-Einheit der Länge festzulegen. Damit
wird dieser Konstante der feste Wert
c = 299 792 458 m s−1
zugeordnet. Aus der Definition der Stromeinheit Ampere (s. Anschnitt 4.3.1 und Anhang B) folgt
für µ◦ ebenfalls ein fester Wert:
µ◦ = 4π · 10−7 N A−2 ,
und wegen der obigen Beziehung zwischen c, µ◦ und ◦ liegt der Wert von ◦ ebenfalls fest:
◦ = 1/(µ◦ c2 ).
Der nächste Abschnitt behandelt harmonische (ebene) Wellen im Vakuum. Vorher sei aber auf
eine sehr allgemeine Lösung der Gleichungen (7.5) und (7.6) für den Fall hingewiesen, daß die
Strom- und Ladungsdichten als Funktionen des Ortes und der Zeit (j (r, t) bzw. ρ(r, t)) bekannt
sind. Wir verzichten allerdings auf den strengen mathematischen Beweis und begnügen uns mit
einem intuitiven“ Argument. Als Ausgangspunkt dienen die Gleichungen (2.9) und (4.24), die für
”
den statischen Fall gelten. In diesen Gleichungen werden die Potentiale an der Stelle r berechnet,
die ein Ladungs- bzw. Stromelement an der Stelle r 0 verursacht. Um nun im dynamischen Fall die
Potentiale zum Zeitpunkt t zu berechnen, dürfen wir nicht die Dichten zum gleichen Zeitpunkt t
verwenden, sondern zum Zeitpunkt t − t 0 , wo t 0 die Zeit ist, die eine Störung benötigt, um vom
Punkt r 0 zum Punkt r zu gelangen, d.h.
t 0 = |r − r 0 |/c0 ,
wo c0 die Geschwindigkeit der elektromagnetischen Strahlung in dem Medium ist. Mit diesen
retardierten Potentialen erhalten wir aus (2.9) und (4.24):
Lösungen mit retardierten Potentialen:
Z
Z
1
ρ(r 0 , t − t 0 )dV 0
µ◦
j (r 0 , t − t 0 )dV 0
φ(r, t) =
,
A(r, t) =
4π◦ V
|r 0 − r|
4π V
|r − r 0 |
123
7.2. HARMONISCHE WELLEN IM VAKUUM
7.2
7.2.1
Harmonische Wellen im Vakuum
Die E- und B-Felder
Eine ebene harmonische Welle mit der Amplitude A◦ , der Frequenz ω dem Wellenvektor k und
der Phase φ wird (s. Optik-Skript, Abschnitt 5.2) durch die Funktion
A = A◦ cos(ωt − k.r + φ)
beschrieben. Wir wollen hier aber die komplexe Darstellung verwenden:
à = Ã◦ exp[i(ωt − k.r)],
wo die Phase in der komplexen Amplitude Ã◦ enthalten ist. Ein Vorteil der komplexen Darstellung
ist, daß es für eben Wellen eine sehr einfache Beziehung zwischen den Differentialoperatoren und
den Größen ω und k gibt. Es gilt nämlich
∂ Ã
= iωÃ,
∂t
∂ Ã
= −ikj (j = 1, 2, 3),
∂xj
so daß wir allgemein schreiben können
∂
≡ iω,
∇ ≡ −ik.
(7.9)
∂t
Im Gegensatz zu den Wechselströmen ist es hier nicht notwendig, explizit zwischen reellen und
komplexen Größen zu unterscheiden, so daß wir auf die Tilde verzichten können.
In der Optik wurde behauptet, daß bei linear polarisierten Wellen die Vektoren E, B und k
senkrecht aufeinander stehen. Dies können wir jetzt beweisen. Die Wellen für E und B können
wir wie folgt schreiben:
E = E◦ exp[i(ωt − k.r)]
B = B◦ exp[i(ωt − k.r)]
wo E◦ und B◦ konstante Vektoren sind. Wenn wir diese Ausdrücke in die Maxwell-Gleichungen
(7.2) und (7.4) (mit j = 0) einsetzen und die Operatoren nach (7.9) umsetzen, erhalten wir
k × E = ωB,
c2 k × B = −ωE.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt sofort, daß die drei Vektoren senkrecht zueinander sind, und
daß sie in der Reihenfolge E, B, k ein rechtshändiges Achsenkreuz bilden. (Der Vektor E × B ist
parallel zur Fortpflanzungsrichtung k). Für die Amplituden gilt mit ω/k = c
E◦ = cB◦ .
Das Verhältnis ist also eine reelle Zahl, was bedeutet, daß die E- und B-Felder in Phase schwingen.
Wir fassen zusammen:
Eigenschaften einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle im Vakuum:
– Es handelt sich um eine transversale Welle: Sowohl E als auch B liegen in der
Phasenebene, d.h. senkrecht zum Wellenvektor k.
– E und B stehen auch senkrecht aufeinander.
– Die beiden Felder schwingen in Phase miteinander.
– Das Verhältnis der Amplituden ist E◦ /B◦ = c.
– Die Phasengeschwindigkeit ist ω/k = c.
124
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
7.2.2
Transport von Energie
Betrachten wir ein durch eine Fläche F begrenztes Volumen V , in dem Vakuum herrscht. Da
das Volumen keine Ladungen und keine Massen enthält, kann Energie nur in Form von Feldenergie
vorhanden sein. Die im Volumen V enthaltene Energie ist also nach (6.10)
Z
1
W =
(H .B + E.B)dV .
2 V
Der Fluß von Energie aus dem Volumen heraus oder in das Volumen hinein können wir durch
einen Vektor S beschreiben, der die Energiestromdichte darstellt, so wie j die Ladungsstromdichte
angibt, d.h.
Z
Z
1∂
(H .B + E.D)dV .
S.df = −
2 ∂t V
F
Die zeitlich Ableitung des Integrands ist
∂
(H .B + E.B) = (H .Ḃ + Ḣ .B + E.Ḋ + Ė.D) = 2(H .Ḃ + E.Ḋ).
∂t
Wenn wir das Flächenintegral nach dem Gaußschen Satz umformen erhalten wir
∇.S = −(H .Ḃ + E.Ḋ).
Die rechte Seite können mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen (7.2) und (7.4) umformen:
H .Ḃ + E.Ḋ = −H .(∇ × E) + E.(∇ × H ) = −∇.(E × H ).
Die letzte Gleichung folgt aus einem Satz der Vektoranalysis2 Daraus folgt S = E × H + X, wo
X ein beliebiges nichtdivergentes Vektorfeld ist. Da nur divergiernde Energieflüsse nachweisbar
sind, hat X keine physikalische Bedeutung, und wir können
S =E×H
(7.10)
festlegen. Diese ist die sog. Poynting-Vektor3 .
Im Falle einer ebenen Welle ist S k k, und der Betrag ist S = EH = E 2 /µ◦ c. Der mittlere
Energieflußdichte einer elektromagnetischen Welle ist daher
E◦2
S̄ =
.
2µ◦ c
Der Energiefluß, d.h. die Intensität der Welle, ist also proportional zum Quadrat der Amplitude.
Frage 7.1 Auf der Erdoberfläche hat das Sonnenlicht eine maximale Leistungsdichte von rd.
1 kW m−2 . Berechnen Sie die entsprechende Amplitude des elektrischen Feldes.
Gleichung (7.10) wurde ohne Bezug zu harmonischen Wellen abgeleitet und gilt demnach ganz
allgemein. Dazu ein Beispiel: Ein Strom I fließt in einem langen, geraden Draht mit dem Radius r.
Das tangentiale H-Feld an der Oberfläche des Drahts ist H = I /2π r (s. Abb. 7.2). An der gleichen
Stelle herrscht das elektrische Feld E = RI / l, wo R der Widerstand einer Länge l des Drahts ist.
2 S.
z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 577.
John Henry Poynting, 1852–1914.
3 Nach
125
7.2. HARMONISCHE WELLEN IM VAKUUM
l
r
I
E
S
Abbildung 7.2: Die elektrischen und magnetischen Felder auf der Oberfläche eines Drahts, der einen Strom I trägt. Der
Poynting-Vektor S zeigt radial nach innen.
B
E ist parallel zum Strom, also senkrecht zu H . Der Poynting-Vektor S = E × H ist senkrecht zur
Drahtoberfläche und zeigt nach innen, weil die H-Feldlinien im Uhrzeigersinn laufen, wenn man
in Stromrichtung blickt. Der Betrag des Poynting-Vektors ist
S = EH = RI 2 /2πrl.
Auf einer Länge l mit der Zylinderfläche 2πrl fließt also die Leistung
L = S.2π rl = RI 2
in den Draht hinein. Dies ist aber gerade die Leistung, die als Joulesche Wärme erscheint.
7.2.3
Transport von Impuls
Daß eine elektromagnetische Welle neben Energie auch Impuls überträgt, läßt sich durch folgenden Gedankenversuch demonstrieren: Eine linear polarisierte Welle fällt auf einen langen,
dünnen Draht, der genau parallel zum elektrischen Feld—und damit senkrecht zu k und B—orientiert ist. In diesem Zusammenhang bedeutet ”dünn”, daß der Drahtradius r sehr viel kleiner als die
Wellenlänge der Strahlung ist, so daß die E- und B-Felder im Draht überall in Phase schwingen.
Das E-Feld erzeugt den Strom I = lE/R, wo R der Widerstand einer Länge l des Drahts ist. Die
momentane Leistungsaufnahme in einem Abschnitt der Länge l ist damit
L = I 2 R = l 2 E 2 /R.
Auf den gleichen Drahtabschnitt wirkt aber die Lorentz-Kraft
F = lI B = lI E/c = l 2 E 2 /Rc = L/c
parallel zu k. Die Kraft ist aber die Rate des Impulstransfers. Das Beispiel zeigt also, daß, wenn
eine elektromagnetische Welle eine bestimmte Energiemenge W abgibt, der Impuls W/c gleichzeitig in Richtung von k übergeben wird. Der Impulsflußvektor, der angibt, wie viel Impuls pro
Zeit- und Flächeneinheit von der Welle transportiert wird, ist also
π = S/c = E × H /c.
126
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
Wird eine Welle von einem Körper absorbiert oder reflektiert, übt sie auf die Oberfläche des
Körper einen Druck aus. Bei senkrechtem Einfall auf einer Oberfläche beträgt der Druck
P = EH /c = EB/µ◦ c = E 2 /µ◦ c2 = ◦ E 2 ,
wenn die Strahlung vollständig absorbiert wird. Bei totaler Reflexion entsteht der doppelte Druck.
Frage 7.2 Welchen Druck übt das Licht einer 100 W-Glühbirne auf einen Spiegel in einer
Entfernung von 1 m?
7.3
Elektromagnetische Strahlung in Materie
Die Theorie der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in kristallen, die im allgemeinen anisotrop sind und Doppelbrechung zeigen, ist relativ kompliziert und wird deshalb nicht im
Rahmen des Grundkurses behandelt. Das gleiche gilt für optisch aktive Stoffe (Drehung der Polarisationsebene). Wir beschränken uns hier auf zwei Arten von Medien: (a) transparente, isotrope
Dielektrika wie Gase, Flüssigkeiten, Gläser (b) Stoffe mit hoher elektrischer Leitfähigkeit (Metalle). Vorher wollen wir aber überlegen, welche Grenzbedingungen für elektrische und magnetische
Felder beim Übergang von einem Medium zu einem anderen gelten. Es sind gerade diese Grenzbedingungen, die das Reflexions- und Brechungsverhalten von Wellen an Grenzflächen bestimmen.
7.3.1
Grenzbedingungen für elektromagnetische Felder
Abb. 7.3 zeigt schematisch eine Grenzfläche (im Bild horizontal) zwischen zwei Medien. Die
Felder unmittelbar an der Grenze seien E, D, B, H auf der einen Seite (unten) bzw. E 0 , D 0 , B 0 , H 0
auf der anderen Seite. Die im folgenden abgeleiteten Grenzbedingungen gelten jeweils für eine
bestimmte Komponente des betreffenden Feldes, entweder die Normalkomponente (senkrecht zur
Grenzfläche, Index n) oder die Tangentialkomponente (parallel zur Grenzfläche, Index t).
E't
D'n
B'n
H't
F
l
A
δx
V
F'
Et
Abbildung 7.3: Zur Bestimmung der Grenzbedingungen der elektromagnetischen Felder an der Grenze zwischen zwei Medien.
Dn
Bn
Wir berechnen für jedes Feld zwei Integrale (s. Abb. 7.3):
Ht
Γ
127
7.3. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG IN MATERIE
– Ein Flächenintegral über einen Zylinder mit der Fläche A und der Länge δx, der von der
Grenzfläche senkrecht zur Achse symmetrisch geschnitten wird.
– Ein Linienintegral über ein Rechteck der Länge l (parallel zur Grenzfläche) und der Breite
δx, das ebenfalls von der Grenze symmetrisch geteilt wird.
Um die Werte der Felder unmittelbar an der Grenze zu erfassen, lassen wir δx gegen Null gehen.
Die Größen A und l werden so klein gewählt, daß wird die Variation der elektromagnetischen
Größen (neben den Feldern auch ρ und j ) parallel zur Grenzfläche vernachlässigen können.
Für das Flächenintegral gilt nach dem Gaußschen Satz
Z
Z
Z
D.df =
ρdV
bzw.
B.df = 0.
F
V
F
Wenn wir δx beliebig klein machen, geht die rechte Seite der ersten Gleichung auch gegen Null,
weil die Ladungsdichte immer endlich ist. Ferner tragen für δx → 0 nur noch die Stirnflächen
des Zylinders zum Flächenintegral bei: Das Ergebnis ist A(Dn0 − Dn ) bzw. A(Bn0 − Bn ). Die
Normalkomponenten haben also auf beiden Seiten der Grenzfläche den gleichen Wert:
Dn0 = Dn ,
bzw.
Bn0 = Bn .
Das Linienintegral berechnet sich nach dem Induktions- bzw. nach dem Durchflutungsgesetz:
Z
I
Z
I
H .ds =
j .df .
E.ds =
Ḃ.df
bzw.
0
F0
0
F0
Die rechten Seiten dieser Gleichungen gehen für δx → 0 gegen Null, weil Ḃ und j nicht unendlich werden können. Gleichzeitig tragen nur noch die Tangentialkomponenten zum Ergebnis des
Linienintegrals bei. Wir erhalten also
Et0 = Et ,
bzw.
Ht0 = Ht .
An einer Grenze zwischen zwei Medien sind die Normalkomponenten von D und B
sowie die Tangentialkomponenten von E und H stetig.
Dagegen gibt es eine sprunghafte Änderung der Tangentialkomponenten von D und B sowie
der Normalkomponenten von E und H . In einem homogenen Medium, bzw. in einem Medium, in
dem sich die Eigenschaften nur kontinuierlich verändern, kann es keine Unstetigkeiten der Felder
geben.
Frage 7.3 Wie lauten die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten von D und B
und die Normalkomponenten von E und H ?
7.3.2
Transparente, isotrope Dielektrika
Wenn wir davon ausgehen, daß im Dielektrikum keine freien Ladungen und keine Ströme vorkommen, unterscheiden sich die Maxwell-Gleichungen in solchen Medien von denen des Vakuums
nur dadurch, daß das Produkt µ◦ ◦ durch µ◦ µr ◦ r ersetzt wird. Die Geschwindigkeit der Wellen
im Medium ist
1
c
c0 = √
=√
.
µ◦ µr ◦ r
µr r
128
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
√
Aus der Definition des Brechungsindex n folgt n = µr r . Für die meisten transparenten Stoffe
kann man aber die magnetischen Effekte vernachlässigen (µr ≈ 1), so daß in guter Näherung
√
n ≈ r gilt.
Für die Dielektrizitätszahl r darf man aber nicht den statischen Wert einsetzen. Bei hohen
Frequenzen macht sich die Trägheit der Ladungen (Elektronen), die von dem elektrischen Feld
bewegt werden, bemerkbar, und n ist frequenzabhängig (Dispersion).
Bezeichnen wir die Wellenlänge bzw. die Wellenzahl der Strahlung im Vakuum mit λ bzw.
k = 2π/λ, so gelten für das Medium die Werte
λ0 = λ/n
k 0 = nk.
bzw.
Mit Hilfe der oben abgeleiteten Grenzbedingungen sind wir nun in der Lage, genau zu beschreiben, was passiert, wenn eine Welle auf eine Grenze zwischen zwei transparenten Medien
mit unterschiedlichen Dielektrizitätszahlen bzw. Brechungsindizes fällt. Aus den Grenzbedingungen folgen nicht nur die Reflexions- und Brechungsgesetze, sondern auch die Reflexions- und
Transmissionskoeffizienten. Abb. 7.4 zeigt schematisch die Reflexion und Brechung einer ebenen
Welle an einer Grenzfläche, wobei zwischen zwei Polarisationszuständen unterschieden wird: (a)
parallel und (b) senkrecht zur Grenzfläche.
Die folgenden Überlegungen gelten aber zunächst für beide Polarisationszustände: Es seien ke ,
kr und kt die Wellenvektoren der einfallenden, der reflektierten und der gebrochenen Welle. Die
Beträge dieser Vektoren sind:
√
ke = kr = n1 k = k 1 ,
√
kt = n2 k = k 2 ,
Wo k der Wert für das Vakuum ist, und die Indizes 1 und 2 sich auf die beiden Medien beziehen.
Ee
He
ε
1
ε
Abbildung 7.4: Reflexion und Brechung an
einer Grenze zwischen zwei transparenten
Medien: (a) Polarisationsebene parallel zur
Grenzfläche, (b) Polarisationsebene senkrecht zur Grenzfläche. (Das Symbol stellt
einen Vektor dar, der senkrecht zur Bildebene Steht und zum Betrachter hin zeigt.)
ke
Ee x3
x3
Er
Er
α α'
2
β
Ht
(a)
kr
kt
Hr
x1
He
ε1
Hr
ke
α α'
ε2
β
Et
Ht
(b)
kr
x1
kt
Et
Wir wählen die Normalrichtung der Grenzfläche als x3 -Achse unseres Koordinatensystems,
d.h. die Grenzfläche ist die x1 -x2 -Ebene. Eine ebene Welle mit dem Wellenvektor k erzeugt in der
x1 -x2 -Ebene (x3 = 0) das Feld
E(x1 , x2 , t) = E◦ exp[i(ωt − k1 x1 − k2 x2 )].
129
7.3. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG IN MATERIE
Damit die Grenzbedingungen an jedem Punkt der x1 -x2 -Ebene eingehalten werden, müssen alle
drei Wellen die gleiche Periodizität in der Grenzfläche haben, d.h.
ke 1 = kr 1 = kt 1
und
ke 2 = kr 2 = kt 2 .
Dies ist nur dann der Fall, wenn alle drei Vektoren und die Normalrichtung in einer Ebene liegen
und die Projektionen der Wellenvektoren in der Grenzfläche gleich sind. Mit den Bezeichnungen
α, α 0 und β für Einfalls- Reflexions- und Brechungswinkel folgt
n1 k sin α = n1 k sin α 0 = n2 sin β,
und damit die bekannten Gesetze der Reflexion und Brechung:
1. Der einfallende Strahl, der reflektierte Strahl und der gebrochene Strahl liegen in
einer Ebene, die senkrecht zur Grenzfläche ist.
2. Der Reflexionswinkel ist gleich dem Einfallswinkel (α 0 = α).
3. Die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel und dem Brechungswinkel lautet
n1 sin α = n2 sin β.
Zur Berechnung der Reflexionskoeffizienten betrachten wir zunächst die Situation, wo das EFeldvektor parallel zur Grenzfläche, d.h. senkrecht zur Bildebene ist (Abb. 7.4a). Wir definieren die
positive Richtung des Feldvektors als die Richtung, die zum Betrachter hin zeigt. Diese Richtung
wird in Abb. 7.4 durch das Symbol dargestellt. Die durch die Pfeile angezeigten Richtungen der
H-Vektoren ergeben sich aus der Bedingung, daß das Vektorprodukt E × H in Fortpflanzungsrichtung zeigt. Die Bedingung, daß die Tangentialkomponente des E-Feldes stetig sein muß, ergibt für
diesen Polarisationszustand
Ee + Er = Et .
Die entsprechende Bedingung für das H-Feld ergibt
(He − Hr ) cos α = Ht cos β.
In einem Medium ist aber H = B/µ◦ µr und im Falle einer elektromagnetischen Welle B =
√
√
E µ◦ µr ◦ r . Unter den angenommenen Bedingungen µr ≈ 1 und n = r folgt dann aus der
letzten Gleichung
n1 (Ee − Er ) cos α = n2 Et cos β.
Aus den beiden Gleichung für die E-Felder können wir Et eliminieren. Wenn wir ferner n1 /n2
durch sin β/ sin α ersetzen, erhalten wir für den Reflexionskoeffizienten
r⊥ =
Er
sin(α − β)
=−
Ee
sin(α + β)
E ⊥ Einfallsebene.
(7.11)
Beim anderen Polarisationszustand (Abb. 7.4b) ergibt die Bedingung für die Tangentialkomponente des E-Feldes
(Ee − Er ) cos α = Et cos β,
und für die Tangentialkomponente des H-Feldes
He + Hr = Ht .
130
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
Mit den gleichen Substitutionen wie oben wird aus dieser Gleichung
(Ee + Er ) sin α = Et sin β,
und das Ergebnis für den Reflexionskoeffizienten ist
rk =
Er
tan(α − β)
=
Ee
tan(α + β)
E in Einfallsebene.
(7.12)
Wenn man die Gleichungen nach Et /Ee auflöst, erhält man die Transmissionskoeffizienten
Et
2 sin β cos α
=
Ee
sin(α + β)
E
2 sin β cos α
tk = t =
Ee
sin(α + β) cos(α − β)
t⊥ =
E ⊥ Einfallsebene.
(7.13)
E in Einfallsebene.
(7.14)
Die Gleichungen (7.11) bis (7.14) sind die sog. Fresnelschen Formeln. Man erkennt aus (7.12),
daß der Reflexionskoeffizient der in der Einfallsebene polarisierten Welle verschwindet, wenn α +
β = π/2 ist, d.h. α = αB mit
αB = arctan(n2 /n1 ).
(7.15)
Der Winkel αB heißt Brewster-Winkel4 . Fällt eine nichtpolarisierte Welle mit diesem Einfallswinkel auf die Grenzfläche, ist die reflektierte Welle vollständig polarisiert.
Das Reflexionsvermögen, definierte als das Verhältnis der reflektierten zur einfallenden Intensität, ist durch |r k |2 bzw. |r ⊥ |2 gegeben.
Reflexionsvermögen
Rk
Abbildung 7.5: Reflexionsvermögen
(=
|r k |2 ) bzw. R ⊥ (= |r ⊥ |2 ) nach den Fresnelschen Formeln, für n1 /n2 = 1,7 bzw. 0,7.
n2 / n1 = 0,7
n2 / n1 = 1,7
1
0.8
Brewsterwinkel
0.6
Totalreflexion
Brewsterwinkel
0.4
R
0.2
0
0
R
0.1 0.2 0.3 0.4
Einfallswinkel/ π
R
R
0.1 0.2 0.3
Einfallswinkel/π
0.5 0
Abb. 7.5 zeigt das Reflexionsvermögen beider Polarisationszustände für n1 /n2 = 1,7 n1 /n2 =
0,7. Im zweiten Fall (n1 /n2 < 1) gibt es Totalreflexion; in beiden Fällen existiert ein BrewsterWinkel.
4 Nach
dem Schotten David Brewster, 1781–1868.
7.3. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG IN MATERIE
7.3.3
131
Metalle
Metalle haben typischerweise ein hohes Reflexionsvermögen für elektromagnetischer Strahlung im sichtbaren Bereich, werden aber bei höheren Frequenzen, meistens schon im UV, transparent. Dieses Verhalten läßt sich durch die Anwesenheit von freien“ Elektronen erklären. Die
”
Bewegungsgleichung für ein freies Elektron (Masse me , Ladung −e) in einem Feld E = E◦ eiωt
ist
me r̈ = −eE◦ eiωt
mit der Lösung
r=
eE◦ iωt
e .
me ω 2
Eine um den Vektor r verschobene Ladung −e stellt ein Dipolmoment −er dar. Mit N freien
Elektronen pro Volumeneinheit ergibt dies eine Polarisation
P = −N er = −
Ne2 E◦ iωt
N e2
e
=
−
E.
me ω 2
me ω 2
Aus Gleichung (2.34) folgt für die Suszeptibilität
χe = −
Den Brechungsindex n =
√
N e2
.
◦ me ω2
p
1 + χe kann man also in folgender Form schreiben:
s
"
2 #1/2
ωp
Ne2
n= 1−
mit
ωp =
.
ω
me ◦
r =
(7.16)
Die Materialeigenschaft ωp wird als Plasmafrequenz bezeichnet. Gleichung (7.16) zeigt, daß n
imaginär ist, wenn die Frequenz der Welle kleiner als die Plasmafrequenz ist. Dies bedeutet, daß
der betrag des Wellenvektors im Metall ebenfalls imaginär wird (k = iλ). Bei senkrechtem Einfall
hat die Wellenfunktion im Metall dann folgende Form (wir nehmen die Normalrichtung wieder als
x3 -Achse)
E = E◦ e−λx3 eiωt .
Der räumliche Teil der Welle ist eine exponentiell abklingende Funktion und oszilliert nicht.
Wir wollen das Reflexionsvermögen hier nur für den Fall des senkrechten Einfalls berechnen.
Die Gleichungen (7.11) und (7.12) ergeben im Grenzfall α, β → 0 mit n1 /n2 = sin β/ sin α
r = rk = r⊥ =
n2 − n1
.
n2 + n1
Für den Übergang Luft-Metall erhalten wir
r=
n−1
,
n+1
wo n durch Gleichung (7.16) gegeben ist. Das Reflexionsvermögen ist für den Fall komplexer
Amplituden
n − 1 n∗ − 1
∗
.
.
R = rr =
n + 1 n∗ + 1
132
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
Wenn n imaginär ist (ω < ωp ) ist n∗ = −n und R = 1. Dagegen gilt für ω > ωp n∗ = n und
R = (n − 1)2 /(n + 1)2 :
q
1
ω ≤ ωp
R=
mit
n
=
1 − (ωp /ω)2 .
(7.17)
(n − 1)2 /(n + 1)2 ω ≥ ωp
1,0
R
0,8
0,6
0,4
0,2
Abbildung 7.6: Das optische Reflexionsvermögen eines idealen“ Metalls in Abhängig”
keit vom Verhältnis der Lichtfrequenz ω zur
Plasmafrequenz ωp .
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
ω/ωp
1,6
1,8
2,0
Abb. 7.6 zeigt den Verlauf von R als Funktion von ω/ωp nach Gleichung (7.17). Bei allen
Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz wird das Licht zu 100% reflektiert d.h. es dringt keine Energie in das Metall ein. Oberhalb von ωp fällt das Reflexionsvermögen rapide ab und beträgt bei ω = 1,2ωp weniger als 10%. Bei den meisten Metallen ist die Plasmafrequenz im UVBereich. Das Modell erklärt also qualitativ die oben erwähnten Beobachtungen. Quantitativ ist die
Übereinstimmung jedoch nicht sehr gut: Reale Metalle erreichen nie ein Reflexionsvermögen von
100%, und der Übergang zum Bereich der Transparenz ist weniger scharf.
Frage 7.4 Wie könnte man das Modell der freien Elektronen“ verbessern, um die optischen
”
Eigenschaften der Metalle besser zu beschreiben?
7.3.4 Schwingender Dipol
Eine wichtige Anwendung der Elektrodynamik ist die Berechnung des Strahlungsfeldes eines
schwingenden Dipols. Der Dipol bestehe aus zwei Ladungen q bzw. −q mit dem Abstandsvektor
s (s. Abb. 7.7). Dabei soll die Ladung harmonisch mit der Frequenz ω schwingen: q = q◦ eiωt .
Dies ergibt ein zeitabhängiges Dipolmoment
p(t) = q(t)s = q◦ seiωt = p◦ eiωt
und ein zeitabhängiges Stromelement
I (t)s = q̇s = iωp◦ eiωt .
Wir nehmen den Mittelpunkt des Dipols als Ursprung unseres Koordinatensystems und berechnen
zunächst die elektrodynamischen Potentiale an einem Punkt r, wobei wir annehmen wollen, daß
133
7.3. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG IN MATERIE
stets r s gilt. Unter diesen Bedingungen gilt Gleichung (2.22) für den statischen Fall. Hier
müssen wir noch die Retardierung berücksichtigen und erhalten
φ(r, t) =
p(t − r/c).r
p◦ .r
=
exp [i(ωt − kr)]
3
4π ◦ r
4π◦ r 3
(mit k = ω/c). Das Vektorpotential erhalten wir aus (4.26), wieder unter Berücksichtigung der
Retardierung:
iωµ◦ p(t − r/c)
iωµ◦ p◦
A(r, t) =
=
exp [i(ωt − kr)] .
4πr
4πr
E
B
r
+q
Abbildung 7.7: Zur Berechnung des Strahlungsfeldes eines schwingenden Dipols.
Fortpflanzungsrichtung
α
s
-q
Das B-Feld bestimmen wir nun aus der Beziehung B = ∇ × A. Mit Hilfe der Rechenregeln
der Vektoranalysis kann man zeigen, daß, wenn f (r) eine skalare Funktion und b ein konstanter
Vektor ist, dann gilt
∇ × (f b) = (∇f ) × b.
Angewandt auf die obige Gleichung für A ergibt dies
B=−
(1 + ikr)iωµ◦ r × p◦
exp [i(ωt − kr)] .
4π r 3
Wir wollen jetzt die weitere Annahme machen, daß die Entfernung r viel größer als die Wellenlänge λ ist, d.h. unsere Lösung gilt nur für das sog. Fernfeld, nicht für das Nahfeld. Dann gilt
die Näherung kr 1, und das Ergebnis für B vereinfacht sich zu
B = B◦ ei(ωt−kr)
mit
B◦ =
ωkµ◦ r × p◦
.
4πr 2
(7.18)
Das E-Feld kann man entweder aus der Beziehung E = −∇φ − Ȧ oder aus der MaxwellGleichung (7.4) mit j = 0 und Ė = iωE bestimmen. Das Ergebnis ist—wieder in der FernfeldNäherung:
E = cB × r/r.
(7.19)
134
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
E ist also senkrecht zu B, und das Verhältnis E/B ist gleich c. Die Amplituden der Felder sind als
Funktionen von α, dem Winkel zwischen r und p, und r (mit k = ω/c)
ω2 µ◦ p◦ sin α
ω2 µ◦ p◦ sin α
;
E◦ =
.
4πrc
4πr
Die Gleichungen (7.18) und (7.19) stellen eine elektromagnetische Kugelwelle dar, die in der durch
r und p definierten Ebene linear polarisiert ist. Die Intensität ist proportional zu (sin α/r)2 .
Die mittlere Strahlungsleistungsdichte in einer gegebenen Richtung ist
B◦ =
S̄ =
E◦ B◦
ω4 µ◦ p◦2 sin2 α
=
.
2µ◦
32π 2 r 2 c
Wenn wir diese Leistungsdichte über eine Kugelfläche integrieren, erhalten wir die Gesamtleistung, die vom Dipol ausgestrahlt wird:
ω4 µ◦ p◦2
.
(7.20)
12π c
Die sehr starke Abhängigkeit der Strahlungsleistung von der Frequenz hat zur Konsequenz, daß es
besonders in Hochfrequenzschaltungen wichtig ist, Maßnahmen zu ergreifen, die Strahlungsverluste verringern (z.B. Verwendung von Koaxialkabel). Nehmen wir ein einfaches Zahlenbeispiel:
Eine Ladung von 0,1 C schwingt über eine Strecke von 1 cm, d.h. p◦ = 0,001 C m. Die Frequenz
in Hz sei f , d.h. ω = 2πf . Wir erhalten dann aus (7.20)
W =
W = af 4
mit
a = 1,7 · 10−19 W Hz−4 .
Dies ergibt 0,17 µW bei 1 kHz, 1,7 mW bei 10 kHz und schon 17 W bei 100 kHz.
Elektromagnetische Strahlung tritt immer dann auf, wenn ein geladenes Teilchen eine (positive oder negative) Beschleunigung erfährt. Werden Elektronen oder andere geladene Elementarteilchen in einem Festkörper abgebremst, entsteht ein kontinuierliches Spektrum, die sog. Bremsstrahlung. In einem Synchrotron werden geladene Teilchen mit Magnetfeldern gezwungen, sich
auf einer kreisförmigen Bahn zu bewegen. Überall auf dieser Bahn tritt aufgrund der Beschleunigung Strahlung, hauptsächlich im Röntgenbereich, auf. Diese sog. Synchrotronstrahlung hat sich
als sehr nützliches Nebenprodukt erwiesen: Sie findet als intensive Röntgenquelle vielfach Anwendung in der Strukturforschung.
Die elektromagnetische Strahlung einer beschleunigten Ladung verursachte zunächst große
Schwierigkeiten bei der Entwicklung eines Atommodells: In einem Atom bewegen sich (nach
den klassischen Vorstellungen) leichte, negative geladene Elektronen auf Umlaufbahnen um einen
schweren, positiv geladenen Kern. Rein mechanisch betrachtet sind diese Bahnen stabil, ähnlich
den Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, aber das Elektron sollte nach der Maxwell-Theorie
ständig Energie durch Strahlung verlieren. Es gibt aber offenbar bestimmte stationäre Zustände“,
”
die zuerst im Rahmen des Atommodells von Niels Bohr 5 und später allgemeiner in der Quantentheorie beschrieben und erklärt wurden.
7.4
Antworten zu den Fragen
Frage 7.1
Die Gleichung E◦ =
q
868 V m−1 .
5 Niels
Bohr 1885–1962, Nobelpreis 1922.
2µ◦ cS̄ ergibt mit S̄ = 1000 W m−2 das Ergebnis E◦ =
135
7.4. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
Frage 7.2 In einer Entfernung r ist die Leistung L auf eine Fläche von 4πr 2 verteilt, was den
Druck P = L/(4π r 2 c) ergibt. Wenn wir annehmen, daß fast die gesamte Leistung der Glühbirne
als elektromagnetische Strahlung erscheint, ist L ≈ 100 W. (Die auf Seite 43 angegebene Effizienz
von 7% bezieht sich auf den sichtbaren Anteil). Der Druck ist dann nur 2,65·10−8 Pa.
Frage 7.3 Mit D = ◦ r E folgt aus Dn0 = Dn r0 En0 = r En usw. Es gibt insgesamt 8 Beziehungen zwischen den Komponenten:
Dn0
Bn0
Et0
Ht0
= Dn
= Bn
= Et
= Ht
⇔
⇔
⇔
⇔
r0 En0
µ0r Hn0
r Dt0
µr Bt0
= r En
= µr Hn
= r0 Dt
= µ0r Bt
Frage 7.4 Es gibt hauptsächlich zwei Punkte, bei denen das Modell eine sehr starke Vereinfachung der Wirklichkeit darstellt:
1. Die Elektronen sind nicht vollkommen frei, sondern werden durch Wechselwirkung mit
dem Gitter gebremst. Diese Wechselwirkung könnte man durch Einführung einer Reibung“
”
berücksichtigen. Eine richtige Behandlung erfordert aber eine Anwendung der Quantenmechanik.
2. Die an die Atome gebundenen Elektronen tragen auch zur Dielektrizitätszahl bei, wurden
aber im Modell nicht berücksichtigt.
136
KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
137
Anhang A
Zusammenstellung einiger Formeln
A.1
Verwendete Symbole
Symbol
Bezeichnung
SI-Einheit
A
B
C
Vektorpotential
magnetische Induktion
(a) Kapazität
(b) Materialparam. im Curie-Gesetz
Lichtgeschwindigkeit
elektrische Verschiebung
Abstand
elektrisches Feld
Kraft
Fläche
Flächenelement
magnetisches Feld
elektrischer Strom
Magnetisierung
komplexer Wechselstrom
Impulsflußvektor
Stromdichte
Induktivität
Länge
Drehmoment
Flächennormale (Einheitsvektor)
dielektrische Polarisation
Leistung
elektrisches Dipolmoment
magnetisches Dipolmoment
Leistungsdichte
Ladung
Widerstand
T m(V s m−1 )
T (V s m−2 )
F (C V−1 )
K
m s−1
C m−2
m
V m−1
N
m2
m2
A m−1
A (C s−1 )
A m−1
A
N m−2 (Pa)
A m−2
H (V s A−1 )
m
Nm
—
C m−2
W
Cm
A m2
W m−3
C

c
D
d
E
F
F
df
H
I
I
I˜
J
j
L
l
M
n
P
P
pe
pm
p
Q, q
R
138
r
S
ds
T
t
U, V
v
Ũ
dV 0
W
w
Z̃
r
µr
ω
ρ
σ
8
φ
χe , χm
ANHANG A. ZUSAMMENSTELLUNG EINIGER FORMELN
Ortsvektor
m
Poynting-Vektor
W m−2
Linienelement
m
Temperatur
K
Zeit
s
Spannung
V
Geschwindigkeit
m s−1
komplexe Wechselspannung
V
Volumenelement
m3
Energie
J
Energiedichte
J m−3
komplexer Widerstand (Impedanz)

Dielektrizitätszahl
—
relative Permeabilität
—
Kreisfrequenz
s−1
Ladungsdichte
C m−3
elektrische Leitfähigkeit
S m−1
magnetischer Fluß
Wb (V s)
elektrostatisches Potential
V
dielektrische, magnetische Suszeptibilität—
Durch die Definitionen der SI-Einheiten sind die numerischen Werte folgender Universalkonstanten exakt festgelegt:
– Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c = 299 792 458 m s−1 .
– Permeabilität des Vakuums: µ◦ = 4π · 10−7 N A−2 = 12,566370614. . . ·10−7 N A−2 .
– Permittivität des Vakuums: ◦ = 1/(µ◦ c2 ) = 8,854187817 . . . · 10−12 F m−1 .
A.2
Formelliste
q1 q2 (r1 − r2 )
3
4πr ◦ r1 − r2 Z
1
(r − r 0 )ρ(r 0 ) 0
E(r) =
dV
4πr ◦
|r − r 0 |3
F =
D = r ◦ E = ◦ E + P
P = ◦ χe E (r = 1 + χe )
Z
1
ρ(r)
φ(r) =
dV 0
|r − r 0 |
4πr ◦
pe .r
φ(r) =
4πr ◦ r 3
Coulomb-Gesetz
Elektrisches Feld einer statischen
Ladungsverteilung
Verschiebungsfeld
Polarisation
Potential einer statischen
Ladungsverteilung
Potential eines elektrischen Dipols
139
A.2. FORMELLISTE
1
E(r) =
4πr ◦ r 3
3(pe .r)r
− pe
r2
Auf elektr. Dipol wirkendes
Drehmoment
Energie eines Dipols im E-Feld
M = pe × E
W = −pe .E
Z
D.df =
X
F
qi
i
E(r) = −∇φ(r)
Satz von Gauß
Feld als Gradient des Potentials
Kapazität eines Kondensators
C = Q/V
I = V /R
Elektrisches Feld eines Dipols
j = σE
bzw.
Ohmsches Gesetz
P = I V = RI 2 = V 2 /R
Leistung eines elektrischen Stroms
p = j .E = j 2 /σ = σ E 2

X

Ik = 0 (Knoten)



k
X

Uj = 0 (Maschen) 



Leistungsdichte
Kirchhoffsche Gesetze für Netzwerke
j
F = qv × B
I
Lorentz-Kraft
Z
B.ds = µr µ◦
j .df
F
B =∇ ×A
Z

j (r 0 )
µr µ◦
0


A(r) =
dV

|r − r 0 |
4π
Z
µµ
j (r 0 ) × (r − r 0 ) 0 

B(r) = r ◦
dV 
4π
|r − r 0 |3
Z

ds
µr µ◦ I


A(r) =

|r − r 0 |
4π
Z
µ µI
ds × (r − r 0 ) 


B(r) = r ◦
4π
|r − r 0 |3
pm = I F n
A(r) =
µr µ◦ pm × r
4πr 3
Durchflutungsgesetz
Magnetfeld als Rotation des
Vektorpotentials
Vektorpotential und Magnetfeld einer
zeitlich konstanten
Stromdichteverteilung
Vektorpotential und Magnetfeld eines
Leiters mit einer zeitlich konstanten
Stromstärke I
Magnetisches Dipolmoment eines
Stromkreises
Vektorpotential eines Dipols
140
ANHANG A. ZUSAMMENSTELLUNG EINIGER FORMELN
µµ
B(r) = r ◦
4π
3(pm .r)r
− pm
r2
Auf mag. Dipol wirkendes
Drehmoment
Energie eines Dipols im Magnetfeld
M = pm × B
W = −pm .B
I = χm H
(µr = χm + 1)
B = µ◦ (M + H ) = µr µ◦ H
)
Magnetisierung
C
χm =
T
Z
8=
B.df
Curie-Gesetz
Magnetischer Fluß
F
V =−
d8
dt
Induktionsgesetz
dI
dt
φ = LI
⇒
V = −L
φ j k = Lj k I k
⇒
Vj k = −Lj k
F =
Selbstinduktion
dIk
dt
µr µ◦ I1 I2 l
2π d
dH =
Biot-Savart-Gesetz
Ampèresches Gesetz
dF = I ds × B
Lj k = Lkj
Z Z
ds .ds
j k
rj − rk 1
w = (E.D + B.H )
2
Ũ = Z̃ I˜
I˜ = I˜◦ exp(iωt)
1
Z̃ = R + ωL −
i
ωC

∇.D = ρ




∇.B = 0
∇ × H = j + Ḋ
Gegeninduktivität
Energiedichte
Ohmsches Gesetz für Wechselströme
Ũ = Ũ◦ exp(iωt)
∇ × E = −Ḃ
Gegeninduktion
Kraft zwischen Leitern
I ds × r
4πr 3
µµ
= r ◦
4π
Magnetfeld eines Dipols
Komplexe Spannung
Komplexer Strom
Komplexer Widerstand (Impedanz)
Die Maxwell-Gleichungen




141
A.2. FORMELLISTE
Z

1
ρ(r 0 , t 0 ) 0 
φ(r, t) =
dV 

|r − r 0 |
4πr ◦
Z
µµ
j (r 0 , t 0 ) 0 

A(r, t) = r ◦
dV 
0
|r − r |
4π
1
t 0 = t − r − r 0 c
c
1
=√ 0
c=√
r ◦ µr µ◦
r µr
)
E(r, t) = −∇φ(r, t) − Ȧ(r, t)
B(r, t) = ∇ × A(r, t)
)
Dn0 = Dn Et0 = Et
Bt0 = Bt Hn0 = Ht
S =E×H
1
J = (E × H )
c
Lösungen der Maxwell-Gleichungen
für beliebige Ladungs- und
Stromverteilungen
Retardierte Zeit
Lichtgeschwindigkeit im Medium
Lösungen für die Felder
Randbedingungen für die Felder an
den Grenzen zwischen zwei Medien
Poynting-Vektor (Energiefluß)
Impulsfluß
142
ANHANG A. ZUSAMMENSTELLUNG EINIGER FORMELN
143
Anhang B
Maßeinheiten der Elektrodynamik
Elektrische Stromstärke: Ampere (A)
Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt
fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft 2 · 10−7 Newton
hervorrufen würde. Das Ampere ist eine SI-Basiseinheit.
Elektrische Ladung: Coulomb (C)
von 1 A transportiert wird: 1 C = 1 As
1 Coulomb ist die Ladung, die in 1 s von einem Strom
Elektrische Spannung: Volt (V) Um eine Ladung von 1 C durch eine Spannung von 1 V zu
verschieben, benötigt man die Energie 1 J: 1 V = 1 J C−1 = 1 W A−1
Elektrischer Widerstand: Ohm () Wenn eine Spannung von 1 V an einen Widerstand von
1  angelegt wird, fließt eine Strom von 1 A: 1  = 1 V A−1 = 1 W A−2 .
Elektrischer Leitwert: Siemens (S)
1 S = 1 −1 .
Elektrische Kapazität: Farad (F) Bei einer Spannung von 1 V trägt ein Kondensator mit
einer Kapazität von 1 F eine Ladung von 1 C: 1 F = 1 C V−1 = 1 A2 s2 J−1 .
Induktivität: Henry (H) In einem Stromkreis mit einer Induktivität von 1 H induziert eine
Stromänderung von 1 A s−1 eine Spannung von 1 V: 1 H = 1 V s A−1 = 1 J A−2 .
Magnetische Flußdichte: Tesla (T) Eine Ladung von 1 C, die sich senkrecht zu einem Magnetfeld von 1 T mit einer Geschwindigkeit von 1 m s−1 bewegt, erfährt eine Lorentz-Kraft von
1 N: 1 T = 1 N m−1 A−1
Magnetischer Fluß: Weber (Wb) 1 Wb ist der magnetische Fluß durch eine Fläche von 1 m,
die senkrecht zu einem Magnetfeld von 1 T steht: 1 Wb = 1 T m2 = 1 J A−1 .
144
ANHANG B. MASSEINHEITEN DER ELEKTRODYNAMIK
Lichtstärke: Candela (cd) Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer
Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und
deren Strahlstärke in dieser Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt. Die Candela ist eine
SI-Basiseinheit.
Lichtstrom: Lumen (lm) Das Lumen ist ein Maß für die effektive Stärke einer Lichtquelle
und entspricht dem Integral der Lichtstärke (cd) über den gesamten Raumwinkel: 1 lm = 1 cd sr.
145
Anhang C
Thermodynamik der Magnetisierung
Allgemeine thermodynamische Betrachtung
Betrachten wir eine lange Spule mit n Windungen pro Längeneinheit und der Querschnittsfläche
A. Befindet sich ein Stoff innerhalb der Spule, wird er magnetisiert, wenn ein Strom durch die
Spule fließt. Um den Strom aufzubauen, wird Arbeit geleistet. Es soll nun eine Formulierung des
ersten Hauptsatzes der Thermodynamik für diesen Prozeß gefunden werden.
Dazu betrachten wir zunächst die leere Spule. Alle nachfolgenden Rechnungen beziehen sich auf
einen Abschnitt der Länge l, der so weit von den beiden Enden der Spule entfernt sei, daß die Felder
im ganzen Volumen als homogen betrachtet werden können. Ein Strom i erzeugt ein Feld H =
ni und einen magnetischen Fluß 8 = nlAµ◦ H in der Spule. Eine Änderung des Magnetfeldes
verursacht durch Induktion eine Gegenspannung V = 8̇ = nlAµ◦ Ḣ , so daß die Stromversorgung
die Leistung P = iV = lAµ◦ H Ḣ aufbringen muß, um die Änderung aufrechtzuerhalten. Das
Produkt Al ist das Volumen des betrachteten Abschnitts. Als System“ (im thermodynamischen
”
Sinne) wählen wir nun ein Einheitsvolumen innerhalb dieses Raumes. Für dieses System gilt, daß
die Arbeit
dA◦ = µ◦ H dH
(C.1)
geleistet werden muß, um eine Änderung dH zu bewirken.
Nun betrachten wir das gleiche System, wenn die gesamte Spule mit einem magnetischen Material
ausgefüllt ist. Der Fluß ist in diesem Fall1 8 = nlAB = nlAµ◦ (H + M), wo M = χm H die
Magnetisierung des Stoffes ist. Die Leistung ist somit P = iV = lAµ◦ H (Ḣ + Ṁ), und die Arbeit,
die auf unser System (Einheitsvolumen) geleistet wird, ist
dA0 = µ◦ H (dH + dM) = µ◦ H (dH + χm dH ) = dA◦ + dA.
(C.2)
Gleichung (C.2) zeigt, daß die Arbeit, die geleistet werden muß, um die Magnetisierung des Einheitsvolumens zu ändern, aus zwei Beiträgen besteht. Der erste Beitrag dA◦ ist die Arbeit, die nach
Gleichung (C.1) geleistet werden muß, um das für die Magnetisierung benötigte Feld H zu ändern.
Diese Arbeit wird als innere Energie des Feldes gespeichert. Es steht uns frei, dieses Feld als Teil
unseres Systems zu betrachten oder nicht, da es völlig unabhängig von der Anwesenheit des Materials ist. Da wir uns aber hier für die Eigenschaften des Materials interessieren, ist es zweckmäßig,
das H -Feld als extern zum System, d.h. als Teil unseres Magnetisierungsapparats“, zu betrachten.
”
Dies ist möglich, auch wenn das Feld räumlich mit dem System zusammenfällt.
Der zweite Beitrag dA = χm dA◦ ist die Energie, die zusätzlich benötigt wird, wenn der magnetische Stoff vorhanden ist. Die Gesamtarbeit ist dA0 = (1 + χm )dA◦ = µr dA◦ = BdH .
1 Der
Einfachheit halber gehen wir von einem isotropen Stoff aus, d.h. H und M sind parallel zueinander.
146
ANHANG C. THERMODYNAMIK DER MAGNETISIERUNG
Die Verhältnisse lassen sich mit Hilfe einer mechanischen Analogie verdeutlichen: Betrachten wir
ein aus zwei Federn bestehendes System, die in Reihe miteinander verbunden sind, so daß sie die
gleiche Dehnungskraft K erfahren. Die Federn haben die Längen x1 , x2 und die Federkonstanten
α1 bzw. α2 . Die Arbeit, die bei einer Krafterhöhung dK geleistet wird, ist
dA0 = K(dx1 + dx2 ) = α1 KdK + α2 KdK.
(C.3)
Mit den Entsprechungen K ↔ H , α1 ↔ µ◦ und α2 ↔ χm µ◦ sind die Gleichungen (C.2) und
(C.3) völlig äquivalent. Die erste Feder stellt das magnetisierende Feld, und die zweite die Magnetisierung dar.
Für das System bestehend aus dem magnetisierten Stoff (ohne H -Feld) läßt sich der erste Hauptsatz der Thermodynamik daher wie folgt formulieren2 :
dU = dQ + dA = T dS + µ◦ H dM.
(C.4)
Wir betrachten nun den allgemeinen Fall, wo M nicht unbedingt linear von H abhängt. Bei der
Betrachtung von bestimmten magnetischen Systemen ist es oft wichtig zu wissen, wie die innere
Energie vom Magnetfeld bei konstanter Temperatur abhängt. Dazu bilden wir aus (C.4) die Ableitung:
∂U
∂S
∂M
=T
+ µ◦ H
.
(C.5)
∂H T
∂H T
∂H T
Wenn wir (C.4) mit der mechanischen Form dU = T dS − P dV vergleichen, sehen wir, daß wir
die Maxwell-Gleichungen der Thermodynamik anwenden können, indem wir P durch µ◦ H und
V durch −M ersetzen. Dadurch erhalten wir u.a. die Beziehung:
∂M
∂S
= µ◦
.
(C.6)
∂H T
∂T H
Einsetzen in (C.5) ergibt
∂U
∂H
= µ◦ T
T
∂M
∂T
+ µ◦ H
H
∂M
∂H
.
(C.7)
T
Im folgenden wird gezeigt, wie diese Gleichung bei den verschieden Typen von magnetischen
Stoffen angewendet werden kann.
Paramagnetische Stoffe
Zunächst kann man allgemein feststellen, daß die isotherme Magnetisierung eines paramagnetischen Materials mit einer Erhöhung der Ordnung und daher mit einer Abnahme der Entropie
verbunden ist. Aufgrund der Beziehung 1S = 1Q/T folgt daher Q < 0, d.h. Wärme wird abgegeben.
Für einen ideal paramagnetischen Stoff (keine Wechselwirkung zwischen den Magnetmomenten
innerhalb des Stoffes) gilt, daß die Magnetisierung eine Funktion von H /T ist, d.h. M = f (H /T )
und somit
∂M
Hf 0
f0
∂M
= − 2 und
= .
∂T H
∂H T
T
T
2 Wir
nehmen hier an, daß eine möglich Volumenänderung während der Magnetisierung so klein ist, daß wir die
mechanische Arbeit P dV vernachlässigen können.
147
Einsetzen in (C.7) ergibt
∂U
∂H
= 0,
T
d.h. die innere Energie eines paramagnetischen Stoffes ist unabhängig von der Magnetisierung bei
konstanter Temperatur. Damit verhält sich ein paramagnetischer Stoff gegenüber einer Magnetisierung wie ein ideales Gas gegenüber einer Volumenänderung. Die bei der Magnetisierung geleistete
Arbeit muß daher vollständig als Wärme abgeführt werden, wenn die Temperatur konstant bleiben
soll. Wird die Magnetisierung adiabatisch durchgeführt, steigt die Temperatur3 .
Bei der Entmagnetisierung wird Wärme aufgenommen, oder, wenn der Vorgang adiabatisch erfolgt, sinkt die Temperatur. Die adiabatische Entmagnetisierung“ist ein bekanntes Verfahren zum
”
Erreichen sehr tiefer Temperaturen.
Im Linearitätsbereich M = χm H können wir (C.4) einfach integrieren und erhalten mit U =
konstant folgenden Ausdruck für die Wärmemenge Q, die bei der isothermen Magnetisierung frei
wird:
1
1
Q = µ◦ χm H 2 = µ◦ H M.
2
2
Diamagnetische Stoffe
Bei diamagnetischen Stoffen ist die magnetische Suszeptibilität unabhängig von der Temperatur,
d.h.:
∂M
= 0.
∂T H
Wir erhalten daher aus (C.6) direkt
dQ = T dS = T
∂S
∂H
µ◦ T
T
∂M
∂T
dH = 0.
H
Es gibt daher bei diamagnetischen Stoffen keine Wärmeentwicklung. Die Magnetisierung führt, da
χm < 0 ist, zu einer Erniedrigung der inneren Energie.
Ferromagnetische und Antiferromagnetische Stoffe
Für antiferromagnetische Stoffe und für ferromagnetische Stoffe oberhalb der Curie-Temperatur
TC gilt χm = C/(T − 2), wobei 2 < 0 für antiferromagnetische Stoffe gilt. Die Koeffizienten auf
der rechten Seite der Gleichung (C.7) sind daher
∂M
CH
C
∂M
=
;
=−
.
∂H T
T −2
∂T H
(T − 2)2
Einsetzen in (C.7) ergibt
µ◦ χm 2 2H
dH,
C
und aus (C.4) mit M = χm H erhalten wir schließlich für die abgegebene Wärmemenge
dU = −
1
χ 2
Q = (1 + m )µ◦ χm H 2 .
2
C
3 Die
magnetischen Dipole geben dabei Entropie (und Wärme) an das Gitter ab. Deshalb kann die Magnetisierungsentropie abnehmen (M steigt), obwohl die Entropie des Gesamtsystems (Dipole + Gitter) konstant bleibt.
148
ANHANG C. THERMODYNAMIK DER MAGNETISIERUNG
Die Behandlung der Magnetisierung von ferromagnetischen Stoffen unterhalb TC ist im allgemein
schwierig, weil die Beziehungen nichtlinear sind. Außerdem finden nichtreversible Prozesse statt.
Für einen kompletten Umlauf durch eine Hystereseschleife gilt aber 1U = 0, und die freigesetzte
Wärmemenge ist gleich der Arbeit:
I
Q = µ◦ H dM.
Diese Wärme führt zu Verlusten in Transformatoren.
Index
Alkalimetall, 85
Ampere (A), 2, 8, 39, 63, 70, 122, 143
Ampère, André Marie, 2
Ampèresches Gesetz, 140
Amplitude, 109, 110, 112
Amplitude, komplexe, 111
Amplituden-Phasen-Diagramm, 109, 111
Anionen, 48
anisotrope Medien, 32, 35, 105, 126
Anlasser, 58
Anode, 48
Antiferromagnetismus, 84, 94, 147
B-Feld, 139
der Magnetisierung, 82
einer bewegten Ladung, 65, 99
einer endlichen Spule, 74
einer harmonischen Welle, 123
einer langen Spule, 73
einer Stromschleife, 67
kreisförmig, 73
eines Dipols, 140
eines Helmholtz-Spulenpaares, 75
eines Koakialkabels, 75
eines mag. Dipols, 99
eines Stromelements, 67
eines Toroids, 73
in Materie, 83
Quellenfreiheit, 69, 76, 119
Vergleich mit E-Feld, 76
von Stromleitern, 75
Wirbelstärke, 69
Bandgenerator, 25, 26, 52
Batterie, 1, 48, 50
innerer Widerstand, 50, 57
Klemmspannung, 57, 58
Kurzschlußstrom, 57
Urspannung, 57, 58
Bednorz, Johannes, 44
Bernstein, 1, 44
Betastrahlen, 51
Bezugssystem, 63, 97
Bildkraft, 23
Bildladung, 23
Biot, Jean-Baptiste, 2
Biot-Savart-Gesetz, 77, 140
Anwendung, 67, 69, 73, 79
mit Vektorpotential, 77
Verallgemeinerung, 77
Blättchenelektroskop, 6
Blei, 44
Bleiakkumulator, 50, 58
innerer Widerstand, 50
Spannung, 50
Blitz, 18, 52, 53
Energie, 52
Bogenentladung, 53, 54
Bohr, Niels, 134
Bohrscher Radius, 11
Bohrsches Atommodell, 11, 134
Bohrsches Magneton, 72
Boltzmann, Ludwig, 45
Boltzmann-Gesetz, 45, 85
Braunsches Rohr, 6
Bremsstrahlung, 134
Brewster, David, 130
Brewster-Winkel, 130
Candela (cd), 43, 143
Cäsium, 86
Cavendish, Henry, 1, 7
China, 1
Coulomb (C), 1, 8, 143
Coulomb, Charles, 1, 6, 7
Coulomb-Gesetz, 1, 7, 8, 138
im Dielektrikum, 33
149
150
magnetisches, 63
Curie, Pierre, 85
Curie-Gesetz, 85, 86, 93, 140
Curie-Konstante
Tabelle, 91
Curie-Temperatur
ferromagnetische, 90, 91, 93, 147
Tabelle, 91
paramagnetische, 90
Tabelle, 91
Curie-Weiss-Gesetz, 90, 93, 94
D-Feld, 32, 138
Quellen, 32
Debye, Peter, 41
Debye-Temperatur, 41, 42
Tabelle (Metalle), 42
Diamagnetismus, 84, 86–88, 95, 147
Dielektrikum, 29–33, 126, 127
Dielektrizitätskonstante, 31, 32
Dielektrizitätszahl, 31, 128, 138
Diode, 47, 114
Durchlaßrichtung, 47
Sperrichtung, 47
Dipol, elektrischer, 19
Drehmoment, 21, 23, 32
Energie, 139
Feldlinien, 81
Kraft auf, 21
potentielle Energie, 21
schwingender, 132
B-Feld, 133
retard. Potential, 133
Strahlung (Kugelwelle), 134
Strahlungsleistung, 134
Vektorpotential, 133
Wechselwirkung mit E-Feld, 21
Wechselwirkung zwischen 2, 22
Dipol, magnetischer, 1, 63, 64, 82, 97
B-Feld, 99
Drehmoment, 140
Energie, 140
Feldlinien, 81
Nordpol, 63
Südpol, 63
Dipolmoment, elektrisches, 19, 27, 28, 137
Bezugspunkt, 26
INDEX
einer Ladungsverteilung, 26
einer Oberflächenladung, 31
eines Atomkerns, 29
eines Atoms, 29
einesMoleküls, 32
Dipolmoment, magnetisches, 63, 137
einer Stromschleife, 71, 72
eines Atoms, 72, 85
eines Stromkreises, 139
induziert, 95
induziertes, 81
Dispersion, 128
Dissoziation, 48
Doppelbrechung, 126
Drehimpuls, 66, 72, 87
Drehimpulserhaltung, 66
Drehmoment, 137
Drude, Paul, 40
Dunkelentladung, 52
Durchflutungsgesetz, 68, 119, 139
Ableitung, 67
Anwendung, 69, 73, 75, 108, 121, 127
Differentialform, 69
Dynamo, 2
E-Feld, 32, 138, 139
Abschirmen, 14
einer bewegten Ladung, 99
einer harmonischen Welle, 123
eines Dipols, 20, 139
Quellen, 32
Quellenstärke, 13, 119
Rotationsfreiheit, 76
Vergleich mit B-Feld, 76
Einkristall, 92
Eisen, 1
Eisenoxyd, 1
elektrische Verschiebung, 137
Elektrizität, 1
Elektrode, 14, 47–50
Elektrodynamik, 2
Elektrolyse, 47, 48
Elektrolyt, 47–50
Ladungsträger, 47
Beweglichkeit, 48
Elektromagnet, 2
INDEX
elektromagnetische Strahlung, siehe Welle, Faraday-Konstante, 8
elektromagnetische
Faradaysches Gesetz, 100
Elektrometer, 6
Fay, Charles du, 1
Elektromotor, 2, 24, 102
Feldlinie, 9, 12, 14
Drehmoment, 102
Feldstärke, magnetische, siehe H-Feld
Elektron
Fernsehantenne, 75, 117
Bahndrehimpuls, 72
Ferrimagnetismus, 84, 94
freies, 40, 87, 131
Ferroelektrizität, 33
im Atom, 134
Ferromagnetismus, 84, 88, 90–93, 147, 148
im Zyklotron, 65
Bloch-Wände, 92
in Metallen, 39, 41
Domäne, 92, 93
Elektronenvolt (eV), 11
Hysterese, 91
Elektrophor, 2, 5, 6
Koerzitivfeldstärke, 91, 92
Elektroskop, 6
Magnetisierung, spontane, 90, 93
Elektrostatik, 2
Molekularfeld-Theorie, 92, 93
Element, 44, 48
Remanenz, 91, 92
Elementarladung, 7, 8, 11
Sättigungsmagnetisierung, 90, 91, 93
Elementarteilchen, 7
Tabelle, 91
Energie
Weiss-Bezirke, 92
chemische, 50
Festkörper, 2, 44, 48, 134
der Magnetisierung, 145
Flächenladung, 16, 17, 30, 31, 37, 82
des elektrischen Feldes, 34, 104
Fluoreszenz, 54
des EM-Feldes, 105, 140
Fluß, magnetischer, 101
des Kondensators, 17, 34, 57
Fluß, magnetischer, 100–102, 138, 140, 145
des Magnetfeldes, 105
Flußdichte, magnetische, 100
des Photons, 51
Flüssigkeit, 126
einer Schwingung, 105
Fortpflanzungsrichtung, 123
einer Spule, 105
Fossilharz, 1
innere, 146, 147
Franklin, Benjamin, 1
Ionisierungs-, 50, 52
Frequenz, 108
Tabelle, 51
Frequenzmessungen, 33
Energie, potentielle, 10
Funke, 24, 52
Energiefluß, siehe Poynting-Vektor
Galvani, Luigi, 1
Energietransport, siehe Poynting-Vektor
galvanische Zelle, 2, 48, 49
Energieverlust, 75, 92
Galvanisierung, 48
Entladung
Galvanometer, 2, 58
in Luft, 52
Gammastrahlung, 51
Entmagnetisierung, 92
Gas, 50–52, 126
adiabatische, 147
Gauß, Karl Friedrich, 13
Erde
Gegeninduktivität, 106, 140
Atmosphäre, 51
eines Transformators, 107
Magnetfeld, 1, 64, 65
konzentrischer Spulen, 107
Farad (F), 2, 17, 143
Geigerzähler, 51
Faraday, Michael, 2
Gewitter, 52
Faraday-Becher, 6, 7
Gilbert, William, 1
Gitterfehler, 41
Faraday-Käfig, 14
151
152
Gitterschwingungen, 41
Glas, 1, 44, 48, 126
Gleichgewicht in einem E-Feld, 14
Glimmentladung, 54
Löschspannung, 54
Zündspannung, 54
Gold, 49, 86
Graaff, Robert Jamison van de, 25
Graphit, 53
Gravitation, 8, 10, 36
Gray, Stephen, 1
Grenzbedingungen, 34, 126, 127, 129
H-Feld, 83, 86, 91
einer bewegten Punktladung, 120
Halbleiter, 39, 44–46, 70
Akzeptor, 45
Bändermodell, 44
Bandlücke, 44, 45
Donator, 45
Dotierung, 45
Eigenleitung, 45
Ladungsträger, 45–47
Driftgeschwindigkeit, 44
Leitfähigkeit, 45
Leitungsband, 44–46
Leitungselektron, 45
Loch, 45, 46
n-dotiert, 45, 46
p-dotiert, 45–47, 70
p-n-Übergang, 46, 47
Störstellenleitung, 45
Valenzband, 44, 45
Hall, Edwin H., 70
Hall-Effekt, 70
Hall-Spannung, 70, 71
Hauptsatz, erster, 145, 146
Haushalte, Stromverbrauch, 52
Heizelement, 42
Helmholtz, Hermann von, 75
Helmholtz-Spulen, 75
Henry (H), 2, 102, 103, 143
Henry, Joseph, 2, 102
Hertz (Hz), 108
Hertz, Rudolf Heinrich, 3
Hochfrequenzschaltungen, 134
Hysterese, 91, 92, 148
INDEX
Impuls, 66, 125
Impulserhaltung, 22, 23, 51, 66
Impulsfluß, 137, 141
Induktion, 98, 102, 145
Induktion, magnetische, 137
Induktionsgesetz, 100, 140
Anwendung, 127
Differentialform, 119
Induktivität, 102, 103, 111, 137
einer Doppelleitung, 103
einer Spule, 103
eines Transformators, 108
Inertialsystem, 63
Influenz, 25
Influenzkonstante, 8
Influenzmaschine, 24
Ion, 47, 48, 50, 51
Ionenleitung, 48
Ionisation, 50–52
Iridium, 44
Isolator, 7, 44, 50
Bandlücke, 44
Joule, James Prescott, 42
Joulesche Wärme, 42
Joulesche Wärme, 125
Kamerlingh Onnes, Heike, 43
Kapazität, 17, 31, 56, 137
einer Doppelleitung, 103, 104
Kathode, 48
Kationen, 48
Kern, 134
Kilowattstunde, 42
Kirchhoff, Gustav Robert, 58
Kirchhoffsche Gesetze, 58, 139
Beispiel, 60
Knotengesetz, 59
Maschengesetz, 59
Knoten, 58
Koaxialkabel, 75, 104, 134
Kohlenstoff, 53
Kommutator, 102
Kompaß, 1, 2, 63
Kompensationsschaltung, 58
Kondensator, 17, 30, 31, 56, 61
Entladung, 56
Kapazität, 139
INDEX
Ladung, 56
Parallelschaltung, 56, 61
Reihenschaltung, 56, 61
Kontinuitätsgleichung, 40, 119, 120
Korona-Entladung, 18, 53
Korrosionsschutz, 48
Kraft zwischen Leitern, 140
Kraftwerk, 42
Kreisbahn, 65
Kreisfrequenz, 65, 108, 138
Kreisstrom, 60, 82
Kristall, 32, 33, 92, 126
Kupfer, 42, 44, 48, 49
Kupfersulfatlösung, 48
Ladung, 1, 7, 137
Ladung, freie, 32, 33
Ladungsarten, 32
Ladungsdichte, 8, 9, 13, 16, 119, 138
Ladungserhaltung, 7, 39, 40, 59, 68
Ladungserzeugung, 5
Ladungsträger, 13, 39, 64, 70, 71
Driftgeschwindigkeit, 40, 41, 70
Ladungsverteilung, 8, 13, 19, 26
Ladungsverteilung, kugelsymmetrische, 18
Lampe
Betreibszeit, 43
Betriebstemperatur, 43
Betriebszeit, 43
Effizienz, 43, 135
Energiesparlampe, 54
Glühlampe, 43, 54
Halogen, 43
Helligkeit, 43
Hochdruck, 54
Leuchtstoff, 54
Niedrigdruck, 54
Laplace-Gleichung, 14, 18, 19, 23
Larmor-Frequenz, 87
Legendre-Polynome, 28
Legierungen, 44
Leistung
des elektr. Stroms, 42, 139
induzierte, 101
Leiterpaar, 103
Leiterschleife, 98
Leitfähigkeit, 41, 44, 48, 61, 126, 138
153
Leitung, 1, 7
in Gasen, 50
Ladungsträger, 50, 51
in Halbleitern, 44
in Lösungen, 47
in Metallen, 40
in Wasser, 47
Ionen-, 44
Theorie, 2, 40
Leitungselektronen, 40, 88
Leitwert, 41, 56
Lenzsche Regel, 98, 100
Leuchteffizienz, 61
Leuchterscheinung, 18, 52
Lichtbogen, 53
Lichtfrequenz, 51
Lichtgeschwindigkeit, 8, 117, 122, 137, 138
in Materie, 141
Lichtintensität, 53
Lichttechnik, 54
Lichtwelle, siehe Welle, elektromagnetische
Linienladung, 16, 104
Lithium, 86
Lorentz-Kraft, 65, 139
Luft, 52
Lumen (lm), 43, 144
Magnet, 2, 63
Magnetfeld, 2, 63, 64, 83, 137
eines Toroids, 73
homogenes, 75
veränderliches, 97
Magnetisierung, 81, 137, 140, 145
Bezug zum Oberflächenstrom, 82
diamagnetische, 86–88
ferromagnetische, 91
paramagnetische, 85
Vergleich mit Polarisation, 81, 82
Magnetisierungsrichtung, 92
Magnetismus, 1, 2
Magnetit, 1
Magnetostatik, 2, 81
Masche, 59
Maxwell, James Clerk, i, 3
Maxwell-Gleichungen, 119–121, 124, 127, 133,
140
der Thermodynamik, 146
154
INDEX
Phase, 109–112, 123
Phasengeschwindigkeit, 116, 123
Phosphor, 45
Photoemission, 53
Photoionisation, 50, 51
Photon, 51
Piezoelektrizität, 33
Planck-Konstante, 51, 72
Plasmafrequenz, 131, 132
NaOH, 48
Plattenkondensator, 17, 31
Natrium, 48, 86
Poisson-Gleichung, 13
Néel, Louis, 94
Polarisation, dielektrische, 29–32, 137, 138
Néel-Temperatur, 94
in Metallen, 131
Netzspannung, 110
Orientierungspolarisation, 32
Netzwerk, 55, 58
paraelektrische, 32
Nichtleiter, 7, 29
spontane, 33
Nickel, 91
Vergleich mit Magnetisierung, 81, 82
Nobel-Preis
Verschiebungspolarisation, 29
Bednorz, 44
Polarisation, lineare, 123, 128, 130
Bohr, 134
Polarisation,dielektrische
Curie, Pierre, 85
Polarisationsvektor, 29
Debye, 41
Polarisierbarkeit, 29, 32
Kamerlingh Onnes, 43
Tensor, 32
Müller, 44
Polstärke, magnetische, 63
Néel, 94
Potential, 122
retardiertes, 122
Oberflächenladung, 5, 31, 32
Potential, elektrostatisches, 10, 121, 138
Oberflächenstrom, 82, 83
einer Linienladung, 16
Oersted, Hans Christian, 2
einer Ladungsverteilung, 14, 138
OH-Radikale, 48
einer leitenden Kugel, 18
Ohm (), 2, 41, 143
einer Linienladung, 37
Ohm, Georg Simon, 2, 41
einer Punktladung, 12
Ohmsches Gesetz, 41, 98, 109, 139
eines Dipols, 19, 138
Ionenleitung, 48
im Elektrolyt, 48, 49
Oktupol, elektrischer, 26
Potential, skalares, 121
optische Aktivität, 126
Potentialfläche, 12
Ordnung, magnetische, 90, 92, 94, 146
Potentiometer, 58
Oszillator, harmonischer, 105
Poynting, John Henry, 124
Paramagnetismus, 82, 84, 85, 88, 90, 95, 146, Poynting-Vektor, 124, 125, 138, 141
Präzession, 87
147
Priestley, Joseph, 1, 7
Permanentmagnet, 92
Primärelektronen, 51
Permeabilität, 83, 84, 102
Probeladung, 9
des Vakuums, 8, 70, 84, 138
Proton, 8, 11, 36, 65
relative, 84, 138
Punktladung, 7, 9, 23, 104
Permittivität, 31
bewegte, 120
des Vakuums, 31, 138
Pyroelektrizität, 33
relative, 31
Lösungen, 141
Metall, 7, 14, 40–44, 48, 88, 126
Monopol, elektrischer, 26, 28, 29
Monopol, magnetischer, 63, 69
Monopolmoment, elektrisches, 27
Müller, Karl Alexander, 44
Multipol, elektrischer, 26
Multipolentwicklung, 27
155
INDEX
Quadrupol, elektrischer, 26, 28
Quadrupolmoment, elektrisches, 27–29
Quantenmechanik, 7, 29, 85–87, 134
Quarzkristall, 33
Quarzoszillator, 33
Quecksilber, 43
Radioaktivität, 52
Randbedingungen, 19, 23, 34, 141
Randeffekte, 17, 121
Rastertunnelmikroskop, 33
Raumbeleuchtung, 54
Reaktion, chemische, 48, 50
Reibungselektrizität, 1, 5, 11, 36
Relaxationszeit, 40
Resonanz, 33
Richtantenne, 53
Röntgenstrahlung, 134
Satz von Gauß, 13, 139
Anwendung, 15, 16, 18, 127
D-Feld, 33
Differentialform, 13
mathematischer, 13, 39, 124
Satz von Stokes, 12, 69, 100
Sauerstoff, 48
Savart, Félix, 2
Schaltkreis, 55, 103
Schwingkreis, 104, 105
Dämpfung, 106
Schwingung, harmonische, 109, 111
Selbstinduktivität, 102, 106, 140
einer Spule, 102
SI-Einheiten
elektr. Kapazität (F), 2, 17, 143
elektr. Ladung (C), 1, 8, 143
elektr. Leitwert (S), 41, 143
elektr. Spannung (V), 2, 10, 143
elektr. Stromstärke (A), 2, 8, 39, 63, 70, 122,
143
elektr. Widerstand (), 2, 41, 143
Induktivität (H), 2, 102, 103, 143
Lichtstärke (cd), 43, 143
Lichtstrom (lm), 43, 144
mag. Fluß (Wb), 100, 143
mag. Flußdichte (T), 64, 143
Siemens (S), 41, 143
Siemens, Werner von, 41
Silber, 44, 49, 86
Silizium, 44, 45
Singularität, 104
Sonnenlicht, 124
Spannung, 10, 138
Spannungsquelle, 48
Spannungsteiler, 114
Spitzenentladung, 18, 25
Sprungtemperatur, 43
Spule, 2, 73, 83, 94, 101, 103
endlich lange, 74
Stabmagnet, 63, 97, 98
Standard-Elektrodenpotentiale, 49
Tabelle (Metalle), 49
Standardelektrode, 49
Starter, 54
Stoßionisation, 18, 50–52
Stoßzeit, 40
Strahlungsverluste, 134
Straßenbeleuchtung, 54
Strom, 2, 39, 100, 137
Stromdichte, 39, 100, 137
Strommeßgerät, 58
Stromschleife, 71–74, 82
Drehmoment, 71
Stromverbrauch, 42
Stromverteilung, 77
Superpositionsprinzip, 7, 8, 10, 11, 13
Supraleitung, 43, 44, 88
Hochtemperatur, 44
Sprungtemperatur, 44
Suszeptibilität, dielektrische, 30, 32, 131, 138
Tabelle, 30
Suszeptibilität, magnetische, 83–86, 88, 90, 91,
138, 147
Synchrotron, 134
Synchrotronstrahlung, 134
Teilchenbeschleuniger, 25
Tesla (T), 64, 143
Tesla, Nikola, 64
Thermodynamik, 85, 86, 145
Toroid, 73, 74
Torsionswaage, 6
Transformator, 92, 107, 108, 115, 148
Transistor, 47, 114
Basis, 47
156
INDEX
Emitter, 47
Kollektor, 47
Ladungsträger, 47
n-p-n, 47
p-n-p, 47
Überlandleitungen, 42
Urspannung, 58
UV-Strahlung, 51, 54, 131, 132
van-de-Graaff-Generator, 25
Vektorpotential, 76, 77, 121, 137, 139
eines Dipols, 77, 139
Verlustleistung, 42
Verschiebung, elektrische, 32
Verschiebungsdichte, 32
Verschiebungspolarisation, 32
Verschiebungsstrom, 120, 121
Verschiebungsstromdichte, 120
Verzinken, 48
Volt (V), 2, 10, 143
Volta, Alessandro, 1, 5, 10
Voltmeter
innerer Widerstand, 58
Wasser, 47, 48
destilliertes, 47
Wassermolekül, 48
Wasserstoff, 48
Wasserstoffatom, 11
Wasserstoffelektrode, 49
Weber (Wb), 100, 143
Weber, Wilhelm Eduard, 100
Wechselstrom, 75, 108–110, 137, 138
Blindleistung, 111
effektive Spannung, 110
effektive Stromstärke, 110
Filter, 113, 114
Bandpaß, 114
Tiefpaß, 114
Impedanz, 112, 114, 138, 140
einer RCL-Schaltung, 112
Parallelschaltung, 112
Reihenschaltung, 112
Kirchhoffsche Gesetze, 114
komplexe Spannung, 140
komplexe Zahlen, 111
komplexer Strom, 140
Leistung, 110, 111
Ohmsches Gesetz, 112, 140
RCL-Schaltung, 112
Q-Faktor, 113
Resonanz, 113
Resonanzschaltung, 112
Vierpol, 114, 115
Wechselstromgenerator, 101, 102
Wechselstromnetzwerke, 108
Weiss, Pierre-Ernest, 90, 92
Welle, elektromagnetische, 3, 66, 75, 117, 119,
122
eben Welle, 124
Energietransport, 124
Impulstransport, 125
in Metallen, 131
Brechungsindex, 131
Reflexionsvermögen, 131, 132
Wellenvektor, 131
in transparenten Medien, 126
Brechung, 126, 128
Brechungsindex, 128
Fresnelsche Formeln, 130
Geschwindigkeit, 127
Reflexion, 128
Totalreflexion, 130
Wellenlänge, 128
Wellenzahl, 128
Welle, harmonische, 116, 123
Wellengleichung, 116, 122
Wellenleiter, 115, 117
Dämpfung, 117
Ersatzschaltbild, 116
Reflexion, 117
Wellenvektor, 123
Wellenwiderstand, 116, 117
Widerstand, 2, 41–43, 49, 55, 61, 137
komplexer, 112
Parallelschaltung, 55, 56
Reihenschaltung, 55
spezifischer, 41–43, 61
Tabelle (Metalle), 42
Wimshurst, James, 24
Wimshurst-Maschine, 24
Wirbelfeld, elektrisches, 98
Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes, 12
Wolfram, 43
INDEX
Zeit, retardierte, 141
Zink, 48, 49
Zweig, 59
Zyklotron, 65
Zyklotronfrequenz, 65, 87
157
158
INDEX
159
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
Der Elektrophor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei Arten von Elektroskopen . . . . . . . . . .
Zur Wirkung des Faraday-Bechers . . . . . . . .
Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Wirkungsweise des Faradayschen Käfigs . .
Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . .
Das elektrostatische Potential eines Dipols . . . .
Die Flächen konstanten Potentials eines Dipols .
Influenzmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der Influenzmaschine . . . . . . . . . . .
Prinzip des Bandgenerators . . . . . . . . . . . .
Das Feld einer Ladungswolke . . . . . . . . . .
Dielektrikum in einem Kondensator . . . . . . .
Die Felder E und D in einem Kondensator . . .
Zur Bestimmung des Feldes einer Flächenladung
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5
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7
13
15
17
20
21
24
25
26
27
30
35
37
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Elektrische Leitung in Metallen . . . . . . . . . .
Elektronenenergiebänder in Festkörpern . . . . .
Mechanismus der p- und n-Leitung . . . . . . . .
Der p-n-Übergang (Diode) . . . . . . . . . . . .
Aufbau eines Transistors . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der galvanischen Zelle . . . . . . . . . .
Blitzentladungen. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen
Ladung und Entladung eines Kondensators . . . .
Kompensationsschaltung . . . . . . . . . . . . .
Ausschnitt aus einem Netzwerk . . . . . . . . . .
Beispiel für ein Netzwerk . . . . . . . . . . . . .
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46
46
47
49
53
55
56
58
59
60
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Ampèresche Durchflutungsgesetz . . . . . . . . .
Das Linienintegral von B um einen geschlossenen Weg
Zur Entstehung des Hall-Effekts . . . . . . . . . . . .
Magnetisches Dipolmoment einer Stromschleife . . . .
Zur Berechnung des Magnetfeldes eines Toroids . . . .
B-Feld: kreisförmiger Strom, endlich lange Spule . . .
Helmholtz-Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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66
67
68
70
71
73
74
75
160
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.9 Zur Berechnung des Vektorpotentials eines magnetischen Dipols . . . . . . . . . . 77
4.10 Zur Berechnung des Magnetfeldes eines unendlich langen Leiters . . . . . . . . . 79
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Feldlinien eines elektrischen und eines magnetischen Dipols . .
Vergleich der dielektrischen Polarisation mit der Magnetisierung
Zur Definition des H-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paramagnetische Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur klassischen Theorie des Diamagnetismus . . . . . . . . . .
Messung der Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curie-Gesetz und Curie-Weiss-Gesetz . . . . . . . . . . . . . .
Ferromagnetische Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösung nach der Molekularfeld-Theorie . . . . . . . . . . . . .
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87
89
91
92
94
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
Wechselwirkung zwischen Ladung und mag. Dipol . . . . . .
Die Lenzsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E- und B-Felder bewegter Ladungen und magnetischer Dipole
Änderung von P hi bei B =konst. . . . . . . . . . . . . . . .
Induktivität und Kapazität einer Doppelleitung . . . . . . . . .
Prinzip des Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wechselströme in R, C und L . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resonanz bei verschiedenen Q-Faktoren . . . . . . . . . . . .
Eine einfache Filterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hoch-, Tief- und Bandpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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110
113
113
115
116
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Verschiebungsstrom im Plattenkondensator
Felder auf der Oberfläche eines Drahts . . .
Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . .
Reflexion und Brechung . . . . . . . . . .
Fresnelsche Reflexion . . . . . . . . . . . .
Reflexionsvermögen eines idealen Metalls .
Strahlungsfeld eines Dipols . . . . . . . . .
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