Beispiel für metrische Daten

Beispiel für metrische Daten
Alter der 44 US-Präsidenten bei Amtsantritt
Stem-and-Leaf-Plot
Einzeldaten
57
57
49
52
50
42
54
55
64
61
61
64
56
47
51
51
56
46
57
54
50
46
55
56
60
61
54
58
68
58
54
55
55
62
52
47
58
51
65
49
54
51
43
69
The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
4
4
5
5
6
6
|
|
|
|
|
|
23
667799
0011112244444
5555666777888
0111244
589
Boxplot
45
50
55
60
65
70
0.0
0.2
0.4
Fn(x)
0.6
0.8
1.0
Empirische Verteilungsfunktion
40
45
50
55
60
Alter
1
65
70
Gruppierte Daten
(39.5,44.5]
(44.5,49.5]
(49.5,54.5]
(54.5,59.5]
(59.5,64.5]
(64.5,69.5]
absolut relativ kumuliert
2
0.045
0.045
6
0.136
0.182
13
0.295
0.477
13
0.295
0.773
7
0.159
0.932
3
0.068
1.000
8
6
0
2
4
Frequency
10
12
Histogramm − konstante Breiten
40
45
50
55
60
65
70
alter
0.04
0.02
0.00
Density
0.06
Histogramm − variable Breiten
40
45
50
55
60
65
70
alter
2
1
Deskriptive Statistik
1. Die Aktienkurse jeweils zu Quartalsbeginn eines Jahres lauten:
130
175
151
184
(a) Wie hoch sind die Kursanstiege in den Quartalen?
(b) Wie hoch ist der durchschnittliche Kursanstieg?
(c) Wenn der Kurs der Aktie im letzten Quartil um 12% fällt, wie hoch ist der Kurs am
Jahresende?
2. Die Altersverteilung der Mitarbeiter eines Betriebes ist in der folgenden Tabelle gegeben:
Alter
15-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-65
Anzahl Mitarbeiter
16
13
28
41
29
17
(a) In welchen Klassen liegen die Quartile?
(b) Bestimmen Sie den Median!
(c) Berechnen Sie den Quartilsabstand!
(d) Erstellen Sie ein Histogramm und diskutieren Sie dieses!
3. Die Verteilung der Jahresgehälter (in 1000 Euro) in einem Betrieb ist in der folgenden Tabelle
gegeben:
Gehalt
10-13
13-16
16-20
20-25
25-30
30-37
37-45
45-70
Prozent an Mitarbeitern
11
15
21
26
13
8
4
2
(a) In welchen Klassen liegen die Quartile?
(b) Bestimmen Sie den Median!
(c) Berechnen Sie den Quartilsabstand!
(d) Erstellen Sie ein Histogramm und diskutieren Sie dieses!
4. Die Dauer (in Minuten), die 50 Schüler (im Alter zwischen 12 und 15 Jahren) wöchentlich mit
Computerspielen verbringen, ist in folgender Tabelle zusammen gefasst:
Spielzeit
Häufigkeit
0-60
5
60-120
8
120-240
9
240-360
13
360-540
7
540-900
8
(a) Erstellen Sie ein Histogramm mit Fläche 1!
(b) Bestimmen Sie Median und 3.Quartil!
(c) Wieviel der Schüler haben mehr als 6 Stunden in der Woche gespielt?
3
5. Gegeben sind die Beobachtungen
24 25 27 28 30 31 31 32 32 33 37 39 12 15 19 22
(a) Erstellen Sie einen Boxplot!
(b) Wie groß ist der Quartilsabstand?
6. Welche Aussagen zum Histogramm aus Abbildung 1 sind richtig?
0
50
100
150
Histogramm
0
2
4
6
8
10
Abbildung 1: Histogramm
(a) Der Median ist kleiner als der Mittelwert.
(b) Die Verteilung ist schief.
(c) Mehr als die Hälfte der Werte ist über 6.
7. Welche Aussagen zum Boxplot aus Abbildung 2 sind richtig?
(a) Der Median ist kleiner als der Mittelwert.
(b) Die Verteilung ist schief.
(c) Mehr als die Hälfte der Werte ist über 6.
(d) Der Quartilsabstand ist kleiner als 4.
8. Ordnen Sie in Abbildung 3 Histogramme und Boxplots richtig zu.
9. In folgendem Stem&Leaf-Plot sind 18 Nitratwerte von Badeseen zusammen gefasst.
3
3
4
4
5
5
|
|
|
|
|
|
2
034
689
12334
556789
(a) Bestimmen Sie alle Quartile!
(b) Ist die Verteilung der Daten eher schief oder symmetrisch?
4
0
2
4
6
8
Boxplot
Abbildung 2: Boxplot
Hist 2
Hist 3
0
2
4
6
8
10
200
0
0
0
50
50
50
100
100
150
100
150
250
200
150
300
250
350
Hist 1
0
4
6
8
10
0
Box 2
8
8
8
0
0
0
2
2
2
4
4
4
6
6
6
Abbildung 3: Histogramm-Boxplot
5
2
4
6
Box 3
10
10
Box 1
2
8
10
20
15
10
5
0
A
B
Abbildung 4: Boxplots
10. Von 2 Datensätzen (A und B) sind in Abbildung 4 die Boxplots gegeben.
(a) Geben Sie die Quartile von A an.
(b) Geben Sie den Quartilsabstand von B an.
(c) In welchem Datensatz ist die Streuung größer?
(d) Welcher Datensatz ist eher symmetrisch verteilt?
11. Die Ausgaben (in Euro pro Woche), die 200 Touristen in ihrem Haupturlaub getätigt haben,
sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Ausgaben
[400 − 600)
[600 − 800)
[800 − 1000)
[1000 − 1300)
[1300 − 1600)
Häufigkeit
22
28
64
44
42
(a) Berechnen Sie Mittelwert und Median!
(b) Berechnen Sie die Quartile und den Quartilsabstand!
(c) Wie hoch ist in einem Histogramm mit Fläche 1 der Balken der ersten Klasse?
12. Die Ergebnisse (benötigte Schläge für alle vier Runden) des traditionellen US-Masters in Augusta
aus dem Jahr 2009 sind im Plot der empirischen Verteilungsfunktion (Abbildung 5) dargestellt.
(a) Weiviel Schläge benötigte der Sieger?
(b) Wieviel Schläge benötigten die meisten Teilnehmer?
(c) War nach vier Runden das Turnier schon entschieden oder war ein Stechen notwendig?
13. Abbildung 6 enthält drei empirische Verteilungsfunktionen und drei Histogramme. Was gehört
zu wem?
14. ev. histo besprechen
6
0.0
0.2
0.4
Fn(x)
0.6
0.8
1.0
US−Masters Augusta 2009
275
280
285
290
295
300
Gesamt
Abbildung 5: Empirische Verteilungsfunktion
Hist 2
Hist 3
−2
−1
0
1
2
0
0
0
2
5
4
5
6
10
8
10
15
10
12
20
15
14
Hist 1
−2
−1
0
2
0
0
1
2
1
2
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.4
0.2
0.0
−1
−1
EVfn 3
0.6
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
−2
−2
EVfn 2
1.0
EVfn 1
1
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
Abbildung 6: Empirische Verteilungsfunktionen und Histogramme
7
1
2
2
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Zwei kleine Vereine fusionieren. Ein Verein hat 12 Mitglieder, der andere 17. Ein neuer Vorstand
aus vier Personen soll gebildet werden.
(a) Wieviel überhaupt denkbare Vorstände gibt es?
(b) Bei der Fusion wird vereinbart, dass im Vorstand aus jedem früheren Verein mindestens
eine Person im Vorstand vertreten sein soll. Wieviel Vorstände sind denkbar, wenn das
berücksichtigt werden soll?
2. Drei Spieler beteiligen sich an folgendem Spiel mit einem Würfel: Spieler 1 würfelt; hat er eine
Augenzahl ≥ 5, so hat er gewonnen. Ansonsten kommt Spieler 2 zum Würfeln; erzielt er eine
Augenzahl ≥ 4, so gewinnt er. Kommt Spieler 3 zum Zug, so gewinnt dieser, falls er eine
Augenzahl ≥ 3 würfelt.
(a) Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten für alle drei Spieler mit Hilfe eines
Wahrscheinlichkeitsbaumes.
(b) Warum ist die Summe der Gewinnwahrscheinlichkeiten <1?
3. Auch Ärzte irren. Bei einem bestimmten Hautausschlag verordnet ein praktischer Arzt in 50%
der Fälle die richtige, in 20% die falsche Therapie und bei 30% delegiert er an eine
Spitalsambulanz. Die dort tätigen Turnusärzte behandeln zu 60% richtig, zu 15% falsch und zu
25% ziehen sie den verantwortlichen Oberarzt bei. Dieser entscheidet zu 85% richtig, zu 15%
falsch. Wie groß ist die Gefahr, nicht richtig behandelt zu werden, wenn man sich mit dem
bestimmten Hautausschlag in die medizinische Mühle begibt?
4. Geburtstage
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 5 Personen alle an
verschiedenen Tagen Geburtstag haben?
(b) Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit bei 20 Personen?
(c) Ab wieviel Personen ist diese Wahrscheinlichkeit < 0.5?
5. In einer Ortschaft wurden alle arbeitenden und arbeitsuchenden Personen erhoben und eine
Aufteilung bezüglich Geschlecht ergab folgende Tabelle:
Beschäftigt
Arbeitslos
Weiblich
553
45
Männlich
857
36
Die Ereignisse A, B, W, M seien für zufällig ausgewählte Personen wie folgt definiert:
A
B
W
M
...
...
...
...
die
die
die
die
Person
Person
Person
Person
ist
ist
ist
ist
arbeitslos
beschäftigt
weiblich
männlich
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der jeweiligen Ereignisse.
(b) Berechnen Sie p(A|W ) und p(W |A) . Sind A und W unabhängig?
(c) Geben Sie die Frauenarbeitslosigkeit als bedingte Wahrscheinlichkeit an.
(d) In Ö1 wurde in einem Journal-Panorama über die Region Braunau der folgende Satz
geäußert: ’Die Arbeitslosenrate liegt bei 8% und ist bei Frauen und Männern in etwa
gleich, nämlich ca. 4%’. Was ist an dieser Aussage vom statistischen Standpunkt aus ein
Schwachsinn?
6. In einem Unternehmen wird ein Produkt an drei unterschiedlich alten Maschinen gefertigt; die
alte Maschine I wird nur mehr bei Produktionsengpässen eingesetzt, die zweitälteste Maschine
(II) wird noch regelmäßig eingesetzt, die neueste Maschine (III) ist aber schneller und
verlässlicher. Dies kommt in der folgenden Übersicht zum Vorschein.
8
Maschine
I
II
III
Produktionsanteil (in %)
10
40
50
Ausschussrate (in %)
5
2
1
(a) Man bestimme die Ausschussrate der Produktion.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde ein defektes Stück an der alten Maschine produziert?
7. In einer Bevölkerung beträgt die Wahrscheinlichkeit, älter als 70 Jahre zu werden, 0.6 und die
Wahrscheinlichkeit, älter als 80 zu werden, 0.2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die soeben 70 Jahre alt wurde, ihren 80.
Geburtstag noch erlebt?
8. Eine Zeitschrift hat in Altersgruppen unterschiedliche Leseranteile, die in folgender Tabelle
enthalten sind.
Altersgruppe Bevölkerungsanteil (in %) Leseranteil (in %)
15 - 29
25
8
35
7
30 - 49
50 +
40
4
(a) Wie hoch ist der Leseranteil in der Gesamtbevölkerung?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein Leser der Zeitschrift aus der jüngsten
Altersgruppe?
9. Eine Elektrohandelskette mit 3 Filialen in einer Stadt ist immer wieder mit Reklamationen
konfrontiert. Die Umsatzanteile und die Reklamationshäufigkeit (in%) sind folgender Tabelle zu
entnehmen:
Filiale
Umsatz Reklamationen
Innenstadt
25
4
Shopping Mall
45
10
Peripherie
30
3
(a) Wie hoch ist die durchschnittliche Reklamationsrate?
(b) In einer Konsumentenzeitung erscheint ein Bericht über einen Reklamationsfall dieser
Elektrohandelskette. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um die Filiale in der
Shopping Mall?
10. In einer Stadt werden Diebstähle von Fahrzeugen untersucht. In Abhängigkeit vom Fahrzeugtyp
sind Daten zu Diebstahl und Aufklärungsrate in folgender Tabelle enthalten.
Fahrzeug
Auto (incl. LKW)
Motorrad, Mofa
Fahrrad
Anteil an
Diebstählen (in %)
25
10
65
Aufklärungsrate (in %)
18
27
9
(a) Wie hoch ist die Aufklärungsrate insgesamt bei Fahrzeugdiebstählen?
(b) Eine Polizeistreife ertappt einen Dieb direkt beim Diebstahl eines Fahrzeugs. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wollte der Dieb ein Auto stehlen?
9
3
Zufallsvariable und Verteilungen
1. In einem neu eröffneten Einkaufszentrum wird als Attraktion folgendes Glücksspiel veranstaltet:
Zu jeder vollen Stunde (täglich von 11 bis 18 Uhr, also 8-mal) wird am zentralen Platz des
Einkaufszentrums eine Person zufällig ausgewählt, die ein Glücksrad (mit den Zahlen 1 bis 10)
drehen kann. Jede Zahl gewinnt einen Sachpreis, die 10 gewinnt zusätzlich 500 Euro.
(a) Sei X die Anzahl Spieler, die an einem Tag den Geldpreis gewinnen. Berechnen Sie
Erwartungswert und Varianz von X!
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mindestens 2 Spieler einen
Geldpreis gewinnen?
(c) Sei Y die Summe Geldes, die an einem Tag von den Teilnehmern an diesem Spiel
gewonnen wird. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von Y !
2. In England und Amerika wurde auf Jahrmärkten das folgende Glücksspiel (Chuck a luck) gerne
gespielt: Ein Spieler wählt eine Zahl zwischen 1 und 6 und wirft dann drei Würfel. Zeigen alle
drei Würfel die angesagte Zahl, erhält er drei Pfund (bzw. Dollar); zeigen zwei Würfel diese
Zahl, erhält er zwei Pfund (Dollar); zeigt ein Würfel diese Zahl, erhält er ein Pfund (Dollar).
Nur wenn kein Würfel diese Zahl anzeigt, muss der Spieler ein Pfund zahlen.
(a) Der Gewinn des Spielers ist eine Zufallsvariable G. Geben Sie die Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion von G an.
(b) Berechnen Sie den erwarteten Gewinn des Spielers.
3. In einem neu eröffneten Einkaufszentrum wird als Attraktion folgendes Glücksspiel veranstaltet:
ein Kind, das Geburtstag hat, und seine Begleitperson drehen jeweils ein Glücksrad (mit den
Zahlen 1 bis 6). Das Maximum X der beiden Zahlen wird bestimmt.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X!
(b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X!
(c) Für jeden Punkt von X erhält die Begleitperson Einkaufsgutscheine im Wert von 150 Euro.
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz des Gesamtwerts der Einkaufsgutscheine!
4. Ein Reiseveranstalter führt wöchentliche Kreuzfahrten auf einem Segelschiff mit Platz für 14
Gäste durch. Da aus Erfahrung ca. 20% der Buchungen storniert werden, nimmt der
Veranstalter 16 Buchungen für die 14 Plätze entgegen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wollen mehr Leute die Kreuzfahrt antreten als Plätze vorhanden
sind?
5. Aus einem gut gemischten Kartenspiel von 52 Karten (4 Farben von jeweils 13 Werten) werden
8 Karten zufällig gezogen.
(a) Wie ist die Anzahl gezogener Caro-Karten verteilt (Name der Verteilung, Werte der
Parameter)?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Caro unter den gezogenen Karten
ist?
(c) Wie ist die Anzahl gezogener Asse verteilt (Name der Verteilung, Werte der Parameter)?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 As unter den gezogenen Karten ist?
6. Die Warenübernahme eines Kaufhauses übernimmt eine Lieferung von 50 Sonnenbrillen nur
dann, wenn die Lieferung höchstens 2 defekte Brillen enthält. Wenn die ausgehende Ware der
Brillenfirma genau 2% defekte Brillen enthält, mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung
nicht akzeptiert? Vergleichen Sie die Ergebnisse der Binomialverteilung mit der
Poissonverteilung!
10
7. Geben Sie für folgenden Beispiele an, welcher Verteilung die Zufallsvariable folgt. Geben Sie
auch die entsprechenden Parameterwerte an.
(a) Im öffentlichen Straßenbahnnetz einer Stadt blockieren durchschnittlich vier falsch (oder
schlecht) geparkte Autos oder LKWs pro Tag die Weiterfahrt der Straßenbahnen.
Wie ist die Anzahl solch blockierender Fahrzeuge an einem Tag verteilt?
(b) Die Meldungen über solch blockierende Fahrzeuge gehen in der Leitzentrale des
Verkehrsunternehmens ein, dort wird dann die Beseitigung der Blockade eingeleitet.
Wie ist die Zeit zwischen zwei Blockademeldungen verteilt?
(c) In einem Ausflugsgasthof wird ein Bus mit 50 Besuchern erwartet, denen zwei
Mittagsmenüs zur Auswahl angeboten werden. Aus Erfahrung ist bekannt, dass 60% das
Menü mit Wiener Schnitzel auswählen.
Wie ist die Anzahl derer verteilt, die das Menü mit Wiener Schnitzel auswählen?
8. Die wöchentliche Nachfrage nach einem Produkt ist normalverteilt mit µ = 300 und σ = 20. Im
Lager befinden sich 330 Stück.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann die Nachfrage nicht gedeckt werden?
(b) Wie hoch müsste der Lagerbestand sein, damit nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%
die Nachfrage nicht gedeckt werden kann?
(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Nachfrage von 5 Wochen
über 305 Stück liegt?
9. In einer Bevölkerungsgruppe sei der Intelligenzquotient IQ normalverteilt mit
IQ ∼ N (105, 100).
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person einen IQ über 110?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der durchschnittliche IQ von 4 zufällig ausgewählten
Personen über 110?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der durchschnittliche IQ von 25 zufällig ausgewählten
Personen über 110?
10. Eine Fluggesellschaft nimmt für einen bestimmen Flug mit 180 Plätzen 205 Buchungen
entgegen, weil von diesem Flug bekannt ist, dass durchschnittlich 15% der Buchungen storniert
werden.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt die Fluggesellschaft durch die Überbuchung in
Schwierigkeiten?
11. Eine Kulturzeitschrift verzeichnet pro Woche 4 neue AbonnentInnen.
(a) Unter der Annahme der Poissonverteilung für die Anzahl von Neuabos berechne man die
Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche mehr als zwei Neuabos erfolgen.
(b) Angenommen es wurde gerade eine neue Abonenntin gewonnen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Woche bis zum Abschluss eines neuen Abos
vergeht?
12. Für eine Lehrveranstaltung werden 120 Anmeldungen angenommen, obwohl im Hörsaal nur
Platz für 100 Studierende ist, weil durchschnittlich 15 Prozent der angemeldeten Studierenden
im Lauf eines Semesters ausfallen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit, gibt es bei der Prüfung nicht ausreichend Platz, weil mehr als
100 Studierende den Endtest absolvieren wollen?
13. An einem Flughafen ereignen sich durchschnittlich 3 kritische Landungen pro Monat, bei denen
aufgrund Technikausfällen im Flugzeug vorsichtshalber Feuerwehr und Ambulanz alarmiert
werden müssen.
11
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Monat höchstens 2 kritische Landungen
passieren?
(b) Soeben ist eine kritische Landung erfolgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bis zur
nächsten kritischen Landung mehr als ein halber Monat vergeht?
14. In einem neu eröffneten Einkaufszentrum wird als Attraktion folgendes Glücksspiel veranstaltet:
eine Person zieht aus einer Urne mit 4 roten und 3 weißen Kugeln ohne Zurücklegen solange
eine Kugel, bis eine rote Kugel gezogen wird. Sei X die Zahl von Ziehungen, bis eine rote Kugel
gezogen wird.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X!
(b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X!
(c) Wird schon nach einer gezogenen Kugel eine rote Kugel erwischt, gibt es einen
Einkaufsgutschein von 300 Euro. Mit jeder weiter gezogenen Kugel erhöht sich der Wert
des Gutscheines um 100 Euro. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz des
Gesamtwerts der Einkaufsgutscheine!
15. Eine Autohandelsfirma hat von einem bestimmten Automodell 47 Stück im letzten Jahr
verkauft. Der Hersteller meldet, dass bei 15 dieser verkauften Autos die Lackierung schadhaft ist
und beim nächsten Service erneuert werden muss.
(a) Für die nächste Woche sind 6 Autos dieses Modells zum Service angemeldet. Wie ist die
Anzahl an Autos mit einer schadhaften Lackierung verteilt (Name der Verteilung, Werte
der Parameter)?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss bei höchstens einem dieser Autos die Lackierung
ausgebessert werden?
(c) Die Ausbesserung der Lackierung bei einem Auto verursacht Kosten von 1200 Euro. Wie
hoch sind Erwartungswert und Varianz der Gesamtkosten durch schadhafte Lackierung für
diese Woche?
16. In der Kantine eines Produktionsbetriebs werden jeden Tag drei Menüs angeboten. Aus langer
Erfahrung kennt man die Auswahlwahrscheinlichkeiten für die drei Menüs und bereitet etwas
mehr als die erwartete Anzahl vor. Für einen bestimmten Freitag sind die drei Menüs, die
langjährigen Auswahlwahrscheinlichkeiten und die vorbereiteten Portionen für jedes Menü in der
folgenden Liste gegeben:
Menü
Lachs
Ravioli
Gemüselasagne
Auswahlwahrscheinlichkeit
0.5
0.3
0.2
vorbereitete Portionen
170
100
65
An diesem Freitag suchen 300 Personen die Kantine auf.
(a) Welcher Verteilung folgen die ausgewählten Menüs mit Lachs?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die vorbereiteten Portionen für das Menü mit Lachs
nicht aus?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau 150 Menüs mit Lachs bestellt?
17. Ein Speditionsunternehmen weiß, dass die Fahrtdauer (in Minuten) zwischen zwei Städten
normalverteilt mit µ = 230 und σ = 15 ist.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fahrt länger als 4 Stunden dauert?
(b) Wöchentlich gibt es 5 Fahrten zwischen diesen Städten. Wie ist die durchschnittliche
Fahrtdauer verteilt?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Fahrtdauer über 4 Stunden
liegt?
12
18. In der deutschen Fußball-Bundesliga fallen pro Spiel durchschnittlich drei Tore.
(a) Man berechne für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass genau k Tore
fallen.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Spiel mit mindestens 5 Toren?
(c) Wie groß ist der Erwartungswert der gefallenen Tore pro Spiel?
(d) Welcher Verteilung folgen die erzielten Tore pro Halbzeit?
(e) In der Halbzeit steht es in einem Spiel 0:0. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
Spiel torlos endet?
13
4
Schätzen und Testen
1. Eine Sportwissenschaftlerin untersucht die Laufwege von Fußballspielern. Bei sechs
Außenverteidigern beobachtete sie in sechs Spielen der nationalen Meisterschft folgende
Laufstrecken (in km):
13 12 14 10 11 12
(a) Bestimmen Sie Mittelwert und Standardabweichung in der Stichprobe!
(b) Ermitteln Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Laufstrecke!
(c) Kann man aufgrund des Konfidenzintervalls schließen, dass die Spieler auf Laufstrecken
von 13km kommen?
2. In der Marketingabteilung eines Betriebs wird an der Markteinführung eines neuen Produktes
gearbeitet. Welche Schätzverfahren sind für die folgenden Fragestellungen angebracht?
(a) Nach einer einmonatigen Werbekampagne soll erhoben werden, welchen Bekanntheitsgrad
das neue Produkt schon erreicht hat.
(b) Nach zwei Monaten soll der Wochenumsatz geschätzt werden.
(c) Nach einem halben Jahr soll erhoben werden, wieviel Prozent der Konsumenten schon das
Produkt gekauft haben.
3. Aus einer Stichprobe von 16 Beobachtungen wurde ein Mittelwert von 85 und eine
Stichprobenvarianz von 9 berechnet.
(a) Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert!
(b) Wenn Kenntnis vorliegt, dass die der Varianz in der Grundgesamtheit den Wert 9 hat,
welchen Effekt hätte das auf das Konfidenzintervall?
4. Ein Paketzustelldienst stellt in Stoßzeiten angelernte Kräfte zur Paketsortierung ein. Nach einer
eintägigen Einschulung arbeiten sie selbstständig in der Paketsortierung. Natürlich sind diese
Aushilfskräfte nicht so schnell wie dauernd angestelltes Personal (diese sortieren durchschnittlich
480 Pakete in der Stunde). Die Managerin der Paketsortierung hofft aber, dass 90% von deren
Leistung auch die Anlernkräfte erbringen können.
Bei einer Stichprobe von 6 Anlernkräften wurden folgende Sortierleistungen festgestellt:
410 430 440 450 420 430
(a) Bestimmen Sie Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe!
(b) Ermitteln Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Sortierleistung der
Anlernkräfte!
(c) Kann man aufgrund des Konfidenzintervalls schließen, dass die Alernkräfte auf 90% der
Leistung des dauernd angestellten Personals kommen?
5. 65 Personen gaben ihr Urteil über zwei Verpackungen (A und B) eines Produktes ab. Die
Präferenzen der Personen sind hier angegeben.
B A A A B B A B B B B A A B B B A A B B A B B B A B A A A B
B B B B A A B A A B B B A B B A A A B A B A A B B B A A B A
B B A B B
(a) Geben Sie ein Konfidenzintervall für den Anteil derer an, die Verpackung B bevorzugen!
(b) Wie verhält sich dazu das Konfidenzintervall für den Anteil der Befürworter von A?
6. Bei der sog. Sonntagsfrage sind bei 500 Befragten für vier Parteien die Prozentsätze 40%, 30%,
20% und 10% ermittelt worden.
14
(a) Unterscheiden sich die Längen der Konfidenzintervalle?
(b) Um wieviel würden sich die Längen bei 2000 Befragten unterscheiden (bei denselben
Prozentsätzen für die Parteien)?
7. In der Marketingabteilung eines Betriebs wird an der Markteinführung eines neuen Produktes
gearbeitet worden. Welche statistischen Tests sind für die folgenden Fragestellungen einsetzbar?
(a) Nach einer einmonatigen Werbekampagne soll überprüft werden, ob das neue Produkt
schon einen Bekanntheitsgrad von 10% erreicht hat.
(b) Nach zwei Monaten soll über 10 Wochen getestet werden, ob der Wochenumsatz über
15.000.- Euro liegt.
(c) Nach zwei Monaten soll über 10 Wochen getestet werden, ob die Umsätze in
Supermärkten über jenen in Spezialmärkten liegen.
(d) Nach einem halben Jahr soll überprüft werden, ob schon 5% der Konsumenten das
Produkt gekauft haben.
8. Ein neues Medikament wurde intensiv bei ÄrztInnen beworben. Ziel war es, das Medikament bei
mehr als einem Drittel der Ärzte so bekannt zu machen, dass Sie es ihren PatientInnen
verschreiben. Einen Monat nach der Werbekampagne ergab eine Umfrage unter 170 ÄrtzInnen,
dass 74 das Medikament schon verwendet (verschrieben) hatten.
Kann man daraus schließen, dass das Ziel der Werbekampagne erreicht wurde?
9. In einem Tourimusort werden die täglichen Ausgaben von Gästen untersucht. Der Vergleich der
beiden Hauptherkunftsländer (A und B) liefert folgendes Resultat:
Stichprobenumfang
Mittelwert
Standardabweichung
n
x̄
s
Land
A
B
30
40
140 150
20
20
Geben Gäste aus B signifikant mehr aus?
10. 65 Personen gaben ihr Urteil über zwei Verpackungen (A und B) eines Produktes ab. Die
Präferenzen der Personen sind hier angegeben.
B A A A B B A B B B B A A B B B A A B B A B B B A B A A A B
B B B B A A B A A B B B A B B A A A B A B A A B B B A A B A
B B A B B
Kann man aufgrund der Stichprobe aussagen, dass eine Verpackung klar bevorzugt wird?
11. In einem Unternehmen soll bei Spesen gespart werden, durchschnittlich sollen nicht mehr als 80
Euro anfallen. Aus einer Stichprobe von 16 Spesenabrechnungen wurde ein Mittelwert von 83
Euro und eine Standardabweichung von 6.5 berechnet.
(a) Kann daraus abgeleitet werden, dass der Mittelwert nicht 80 Euro beträgt?
(b) Kann geschlossen werden, dass die Spesen über 80 Euro liegen?
(c) Kann geschlossen werden, dass die Spesen unter 80 Euro liegen?
12. Nach der Katastrophe von Fukushima gaben 295 von 350 Befragten an, gegen jede Nutzung der
Atomkraft zur Energiegewinnung zu sein.
Ist der Anteil der Atom-Gegner nach Fukushima gestiegen (er lag vorher bei 70%)?
13. Die Morde in New Jersey im Jahr 2003 nach Wochentagen aufgegeliedert, gibt die folgende
Tabelle wieder:
So Mo Di Mi Do Fr Sa
53 42 51 45 36 37 65
Man führe einen Test durch, ob für Morde jeder Wochentag gleich wahrscheinlich ist.
15
14. Notenverteilung
An einem Department werden Prüfungsmodalitäten geändert. Die Vertretung der Studierenden
befürchtet eine Verschärfung der Prüfungen und damit einhergehend eine Verschlechterung der
Noten.
Noten
1 2-4 5
frühere Anteile (in %) 15 60 25
Stichprobe (absolut)
4
31
5
(a) Hat sich durch diese Änderung überhaupt eine Veränderung in der Notenverteilung
ergeben?
(b) Hat sich der Anteil an negativen Benotungen verringert?
15. Die Bearbeitungszeit von Versicherungsschadensmeldungen werden erhoben und gegen einen
Sollwert getestet.
One Sample t-test
data: zeit
t = 2.99, df = 49, p-value = 0.004359
alternative hypothesis: true mean is not equal to 27
95 percent confidence interval:
27.40 29.03
sample estimates:
mean of x
28.21
(a) Welche Hypothesen liegen dem Test zugrunde?
(b) Wie groß war die Stichprobe? Welchen Wert hat die Teststatistik?
(c) Wie lautet die Entscheidung nach dem Test?
16. Die Behandlungskosten bei einer bestimmten Diagnose werden zwischen zwei Spitälern
verglichen.
Two Sample t-test
data: Kosten by Spital
t = -1.171, df = 33, p-value = 0.25
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-20.15
5.43
sample estimates:
mean in group Spital A mean in group Spital B
462.7
470.0
(a) Welche Hypothesen liegen dem Test zugrunde?
(b) Wie groß war die Stichprobe? Welchen Wert hat die Teststatistik?
(c) Wie lautet die Entscheidung nach dem Test?
16
5
Lösungen
• Deskriptive Statistik
Gehalt der Mitarbeiter
0.03
0.02
Density
0.015
0.00
0.000
0.005
0.01
0.010
Density
0.020
0.04
0.025
0.05
Alter der Mitarbeiter
20
30
40
50
60
10
20
30
Alter
Abbildung 7: Histogramme für zwei Aufgaben
1. (a) 34.6%
(b) 12.28%
(c) 161.92
− 13.72%
21.85%
2. Klassengrenzen als 19.5, 20.5 etc. wählen!
(a)
(b)
(c)
(d)
Q1 in 30-39, Q2 in 40-49, Q3 in 50-59.
Q2 = 43.2
QD = 53.15 − 32.32 = 20.83
Siehe Abbildung 7 links
3. (a)
(b)
(c)
(d)
Q1 in 13-16, Q2 in 20-25, Q3 in 25-30.
Q2 = 20.6
QD = 25.8 − 15.8 = 10
Siehe Abbildung 7 rechts
30
25
0.0015
20
0.0010
15
0.0005
0.0000
Density
0.0020
35
0.0025
40
Computerspiele
0
200
400
40
Gehalt
600
800
Dauer
Abbildung 8: Grafiken für zwei Aufgaben
4. (a) Siehe Abbildung 8 links
(b) Q2 = 267.7, Q3 = 424.3
(c) 15, das sind 30%.
17
50
60
70
5. (a) Siehe Abbildung 8 rechts
(b) QD = 9
6. (a) Der Median ist kleiner als der Mittelwert (falsch).
(b) Die Verteilung ist schief (richtig).
(c) Mehr als die Hälfte der Werte ist über 6 (richtig).
7. (a)
(b)
(c)
(d)
Der Median ist kleiner als der Mittelwert (richtig).
Die Verteilung ist schief (richtig).
Mehr als die Hälfte der Werte ist über 6 (faslch).
Der Quartilsabstand ist kleiner als 4 (falsch).
8. Hist1-Box2, Hist2-Box3, Hist3-Box1
9. (a) Q1 = 46, Q2 = 52.5, Q3 = 55.
(b) schief.
10. Ungefähres Ablesen der Werte.
(a)
(b)
(c)
(d)
Q1 = 7, Q2 = 11, Q3 = 14.
QD = 10
B
A
11. (a) x̄ = 998.5
x̃ = 956.25
(b) Q1 = 800
Q3 = 1245.45
(c) f1 ⋆ = 0.00055
IQR = Q3 − Q1 = 445.45
12. (a) 276
(b) 286
(c) Stechen notwendig
13. Hist1 - EVfn2, Hist2 - EVfn1, Hist3 - EVfn3,
• Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. (a) 570024
(b) 501024
2. (a) p(Spieler1) = 1/3, p(Spieler2) = 1/3, p(Spieler3) = 2/9.
(b) Es kann auch kein Spieler gewinnen.
3. p = 0.2563.
4. (a) p = 0.9729
(b) p = 0.5886
(c) n = 23
5. (a) p(W ) = 0.4011, p(M ) = 0.5989, p(A) = 0.0543, p(B) = 0.9457
(b) p(A|W ) = 0.0752, p(W |A) = 0.5556
(c) p(A|W )
6. (a) p(A) = 0.018.
(b) p(M I|A) = 0.278
7. p = 1/3.
8. (a) p(L) = 0.0605
(b) p(15 − 29|L) = 0.3306
9. (a) p(R) = 0.064
(b) p(ShM |R) = 0.703
10. (a) p(A) = 0.1305
(b) p(Auto|A) = 0.345
18
• Zufallsvariable und Verteilungen
1. (a) E(X) = 0.8, V ar(X) = 0.72
(b) 0.187
(c) E(Y ) = 0.400, V ar(Y ) = 180000
-1
1
x
f (x) 0.5787 0.3452
F (x) 0.5787 0.9259
(b) E(X) = −0.0789
2. (a)
2
0.0694
0.9953
3
0.0046
1.0000
1
2
3
4
x
f (x) 1/36 3/36 5/36 7/36
(b) E(X) = 4.4722, V ar(X) = 1.97
(c) E(G) = 670.8, V ar(G) = 44325
5
9/36
3. (a)
4. p = 0.141
5. (a)
(b)
(c)
(d)
H(N = 52, M = 13, n = 8)
p = 0.918
H(N = 52, M = 4, n = 8)
p = 0.392
6. Binomialverteilung (B(50, 0.02)): p = 0.078
Poissonverteilung (P (1)): p = 0.080
7. (a) P (4)
(b) Exp(4)
(c) B(50, 0.6)
8. (a) p = 0.067
(b) xL = 346.5
(c) p = 0.288
9. (a) p=0.3085
(b) p=0.1587
(c) p=0.0062
10. p = 0.11
11. (a) p = 0.7616
(b) p = 0.0183
12. X ∼ B(120, 0.15) ≈ N (18, 15.3), p = 0.648.
13. (a) p = 0.4232
(b) p = 0.223
1
2
3
x
f (x) 0.5714 0.2857 0.1143
(b) E(X) = 1.6, V ar(X) = 0.64
(c) E(G) = 360, V ar(G) = 64000
14. (a)
4
0.0286
15. (a) X ∼ H(N = 47, M = 15, n = 6)
(b) p(X ≤ 1) = 0.0844 + 0.2813 = 0.3657
(c) E(X) = 1.915, V ar(X) = 1.162
16. (a) X ∼ B(300, 0.5) ≈ N (150, 75)
(b) p = 0.009
(c) p = 0.046
17. (a) X > 240) = 0.252
(b) X̄5 ∼ N (230, 45)
19
6
11/36
(c) p = 0.068
18. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
0
1
2
3
k
f (k) 0.0498 0.1494 0.2240 0.2240
p(X ≥ 5) = 0.1847
E(X) = 3
X ∼ P (3)
X2.H ∼ P (1.5), p(X2.H = 0) = 0.2231
4
0.1680
5
0.1008
• Schätzen und Testen
1. (a) x̄ = 12
s = 1.4142
(b) (10.516; 13.484)
(c) Ja.
2. (a) KI für Anteilswert
(b) KI für Erwartungswert
(c) KI für Anteilswert
3. (a) 85 ± 4.795
(b) 85 ± 4.41
4. (a) x̄ = 430, s = 14.14
(b) 430 ± 14.84
(c) 432 (=90% von 480) ist im KI, daher ja.
5. (a) 0.5692 ± 0.1204
(b) 0.4308 ± 0.1204
6. (a) Ja (0.4 ± 0.0429, 0.3 ± 0.0402, 0.2 ± 0.0351, 0.1 ± 0.0263).
(b) Jeweils halb so breit.
7. (a)
(b)
(c)
(d)
Test
Test
Test
Test
für
für
für
für
Anteilswert
Erwartungswert
Differenz zwischen Erwartungswerten
Anteilswert
8. H1 : p > 1/3, T = 2.82, Entscheidung für H1 .
9. H1 : µA < µB , T = −2.07, Entscheidung für H1 .
10. H1 : p > 1/2, T = 1.11, Entscheidung für H0 .
11. (a) Nein
(b) Ja
(c) Nein
12. H1 : p > 0.7, T = 5.83, Entscheidung für H1 .
(χ2 )
13. T = 13.3, Q6
(0.95) = 12.59, Entscheidung für H1 .
(χ2 )
14. (a) T = 5.29, Q2
(b) T = 3.33,
(0.95) = 5.99, Entscheidung für H0
(χ2 )
Q1 (0.95)
= 3.84, Entscheidung für H0
15. H1 : µ 6= 27, n = 50, T = 2.99, Entscheidung für H1 .
(t)
16. H1 : µA 6= µB , T = −1.171, Q33 (0.95) = 2.034, Entscheidung für H1 .
20