18 Elektromagentismus und Ampersches Gesetz
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Magnetostatik 1. Permanentmagnete 2. Magnetfeld stationärer Ströme i. Elektromagnetismus Phänomenologie ii. Magnetischer Fluss Amperesches Gesetz iii. Feldberechnungen mit Amperschen Gesetz iv. Das Vektorpotenzial v. Biot-Savartsches Gesetz und Anwendungen 3. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld 4. Materie im Magnetfeld Magnetfeld eines Leiters Strom I 1 Magnetfeld des elektrischen Stromes I Stromdurchflossener Leiter N r B S Magnetnadel Stromdurchflossener Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben Feldlinien: konzentrische Kreise Wenn der abgespreizte Daumen der rechten Hand in die technische Stromrichtung zeigt, so gibt die Richtung der anderen Finger die Richtung des Magnetfeldes an. Feldberechnung in der Elektrostatik Wie kann aus einer vorgegebenen Ladungsverteilung das elektrische Feld berechnet werden? Superpositionsprinzip Überlagerung der Felder der Teilladungen, immer möglich, aber mathematisch aufwändig bis unmöglich Gauß‘scher Satz Feld durch Hüllfläche, gilt immer, aber Feldberechnung nur für Anordnungen mit Symmetrien möglich Feldberechung aus Potenzial Überlagerung der Potenziale der Teilladungen und Bildung des Gradienten, für beliebige Anordnungen mit endlichem Aufwand lösbar (Lösung der Poissongleichung) 2 Magnetischer Fluss Fakt: Strom ist Ursache des magnetischen Feldes Magnetfeld eines Leiters: konzentrische Kreise Frage: Wie groß ist das Magnetfeld? Anleihe Elektrostatik: Ladungen Ursache von E-Feld Satz von Gauss zur Feldberechnung r r Elektrischer Fluss Φ el = ∫ EdA = Q / ε 0 A Magnetischer Fluss durch eine Fläche A r r Φ m = ∫ Bd A A Maß für Anzahl der Feldlinien durch eine Fläche A Magnetischer Fluss Für Feldberechnungen Fluss durch geschlossene Fläche r r B ∫ dA = ? A Magnetische Feldlinien sind geschlossen Egal wie ich Fläche wähle r r B ∫ dA ≡ 0 A 3 Magnetische Monopole? r r B ∫ dA ≡ 0 Satz von Gauß A r r r B d A ≡ div B ∫ ∫ dV ≡ 0 A V r divB = 0 Mathematische Formulierung der experimentellen Beobachtung, dass keine magnetischen Monopole existieren N und S kommen immer nur gemeinsam vor Amperesches Gesetz 1 Elektrisches Feld = konservatives Kraftfeld r r E ∫ ds = 0 Arbeit zur Verschiebung einer Ladung längs eines geschlossenen Weg = 0 Ist das Magnetfeld auch ein konservatives Feld? Strom I r r Arbeit A = ∫ Fds r r Kraft F ∝ B prop. zu Feldstärke Arbeit längs geschlosse ner Kurve r v ds v B (Kreis um Leiter = Feldlinie) r r v r A = ∫ Fds = k ∫ Bds ≠ 0 weil | B |= konst ≠ 0 v r und B || ds Magnetisches Feld ist kein konservatives Kraftfeld !! 4 Amperesches Gesetz 2 Experimentell gefunden: Bei einem geschlossenen Umlauf ist das Linienintegral der magnetischen Fehlstärke gleich dem umfassten Strom I. Für n-fachen Umlauf der n-facher Strom Amperesches Gesetz (klassisch) r Hd s ∫ =I I Mit „moderner“ magnetischen Feldstärke ds ds v r ∫ Bds = µ 0 I v r B ∫ ds = µ 0 I v r B ∫ ds = Nµ0 I N −fach v r B ∫ ds = 0 Differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes 1 Integrale Form des Ampereschen Gestzes v r B ∫ d s = µ 0I Strom I = r v C j d A Integral über Stromdicht e ∫ Fläche v r B ∫ d s = µ 0I = µ 0 C r v ∫ j dA Fläche Erinnerung Elektrostatik: differenzielle Form für Feldberechnungen oft besser geeignet: r r integrale Form EdA = Q / ε 0 Umformung mit Gauß‘schen Integralsatz ∫ A ⇒ differenzielle Form divE = ρ / ε 0 Kann ich eine ähnliche Formulierung für das Magnetfeld finden? 5 Mathematik Wiederholung Kreuzprodukt zweier Vektoren Kreuzprodukt mit Nabla Operator: Rotation Differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes 2 C B Magnetfeld Geschlossene Kurve C Für Amperesches Gesetz Frage: Wie groß ist das Ringintegral ? r r Γc = ∫ Bds = ? C Kurve C ds Fläche F B Ring kann in Teile zerlegt werden Vorzugsweise Quadrate mit Γq Γc = ∑ Γqi = ∑ i i r r B ∫ ds quadrat 6 Differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes 3 Ringintegral für differenziell kleines Quadrat quadrat quadrat Fläche des Quadrats Entspricht z-Komponente von rot B Differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes 4 r ∫ Bds = (∇ × B )dA v r v quadrat v r B ∫ ds = ∑ C v r ∫ Bd s = C v r B ∫ ds quadrat Integral über C = Summe über Quadrate r ∫ (∇ × B )dA v Fläche v r ∫ Bds =µ I C r Stoke‘scher Integralsatz Amperesches Gesetz 0 r r ∫ (∇ × B )dA = µ ∫ j dA v Differenzielles Quadrat Stoke und Stromdichtedefinition 0 Fläche Fläche r v ∇ × B = µ0 j bzw. r v rot B = µ0 j Amperesches Gesetz in differenzieller Form: Rotation eines Magnetfeldes ist gleich der lokalen Stromdichte 7 Wirbelfeld - Quellenfeld In einem Wirbelfeld gilt: Feld bildet Wirbel um Quelle herum, d.h. Feldlinien sind geschlossene Kurven (keine Quellen und Senken) Arbeit längs einer geschlossenen Kurve ungleich null Rotation eines Vektorfeldes Maß für die Stärke der Wirbel In einem Quellenfeld gilt: Feld geht von Quelle aus, d.h. Feldlinien beginnen und/oder enden bei Quellen des Feldes Arbeit längs einer geschlossenen Kurve ist null Divergenz eines Vektorfeldes Maß für die Stärke der Quellen Hat das elektrostatische Feld Wirbel? v r E ∫ ds = 0 C Definition eines konservativen Kraftfeldes r r r ∫ Eds = ∫ (∇ × E )dA = ∫ (rot E )dA = 0 C v v Fläche r ⇒ rot E ≡ 0 v Stoke‘scher Integralsatz Fläche Wirbeldichte = 0 Alternative Überprüfung Quellenfeld als Gradient eines Potenzials darstellbar E = −gradϕ Wie groß ist die Wirbelstärke (Berechnung von rot) r v r rot E = rot (− gradϕ ) = −∇ × ∇ϕ ≡ 0 Kreuzprodukt paralleler Vektoren = 0 Elektrostatisches Feld hat keine Wirbel! Allgemein: jedes Feld, das als Gradient eines skalaren Potenzials dargestellt werden kann ist wirbelfrei 8 Elektrostatik Magnetostatik Wirbeldichte Quelldichte r v ∇ × B = µ0 j bzw. r v rot B = µ0 j v ∇B = 0 bzw. v div B = 0 Magnetfeld Elektrisches Feld v ∇E = ρ / ε 0 bzw. v div E = ρ / ε r ∇ × E = 0 bzw. r rot E = 0 Magnetfeld: Quellenfreies Wirbelfeld (Statisches) elektrisches Feld: Wirbelfreies Quellenfeld B- Feld eines geraden Leiters I Homogener Leiter mit Radius r0 Von Strom I durchflossen Feldlinien kreisförmig B auf Kreis konstant B || ds r ds B r r B ( r ) d s = 2πr B(r ) = µ0Iein ∫ Iein eingeschlossener Strom B Für r > r0 Iein = I B( r ) = µ 0 I 2π r Für r < r0 Iein = I (r/r0 ) 2 B( r ) = µ 0 I ⎛r ⎞ ⎜ ⎟ 2π r ⎜⎝ r0 ⎟⎠ ∝r ∝1r 2 r0 r 9 Magnetfeld einer Spule Magnetfeld einer Spule Experimentelle Ergebnisse • homogenes Feld im Inneren • an Enden divergentes Feld • zwischen den Windungen weitgehende Kompensation • im Außenraum verschwindet das Feld (sofern Spule ∞ lang) Feld hat sehr einfache Konfiguration: Berechnung mit Ampereschen Gesetz möglich! 10 Magnetfeld einer Spule L 1 Spule N Windungen Länge L 2 Amperescher Verkettungssatz Rechteckförmiger Integrationsweg (1-2-3-4) 4 3 1→ 2 : B || ds ⇒ 2→3: B ⊥ ds ⇒ Bs2−3 = 0 3 → 4: B || ds ⇒ 3 → 4 : B ⊥ ds ⇒ v v ∫ B ds = BL = µ0NI B = µ0 NI L Bs1−2 = BL Bs3 − 4 = 0 B ≈ 0 Bs3 − 4 = 0 Magnetfeld im Inneren einer Spule Exakte Feldberechnungen Spulen Feld einer langen dünnen Spule: innen homogen außen vernachlässigbar Feld einer kurzen dicke Spule: innen inhomogen außen nicht vernachlässigbar 11 Ringspule Zylinderspule zu Ring gebogen r B r r r Symmetrie ⇒B(r ) = B(r ) ⋅ eϕ r r r ∫ B(r )ds = 2π r ⋅ B(r ) r µ0 I = µ0 NI0 B(r ) = I0 µ0 N I0 ⋅ 2π r Windungszahl N Magnetfeld im Inneren nicht homogen Ampereschen Gesetz: B verschwindet außen Amperesches Gesetz Gültigkeit /Anwendungen Amperesches Gesetz nur gültig, wenn keine zeitlich veränderlichen E-Felder involviert B -Q +Q Zwei geladene Kugeln verbunden: Ladungsaustausch Magnetfeld nicht mit AG berechenbar (Maxwell‘sche Erweiterung) C Integrationsweg Amperesches Gesetz gültig, Aber Symmetrie nicht ausreichend Leiterschleife für Berechnung : nur für Anordnungen mit hohen Grad an Symmetrie 12
