DAS GRAVITATIONSFELD

DAS GRAVITATIONSFELD
VON MAX ABRAHAM.
Nachdem es Maxwell gelungen war, die Fernkräfte aus der Elektrodynamik zu
verbannen, entstand die Aufgabe, auch die Gravitation auf Nahewirkungen zurückzuführen.
Eine solche Nahewirkungstheorie muss Differentialgleichungen des
Schwerkraftfeldes angeben, durch deren Integration das Newtonsche Gesetz, wenigstens mit der durch die astronomischen Erfahrungen gewährleisteten Annäherung,
folgt. Sie muss ferner die vom Gravitationsfelde an die Materie abgegebene Energie
und Bewegungsgrösse aus dem Energiestrom und den fiktiven Spannungen, sowie aus
Dichte der Energie und Bewegungsgrösse des Feldes ableiten.
Der erste Ansatz für eine Theorie des statischen Gravitationsfeldes rührt von
Maxwell selbst her*. Er ist der Elektrostatik nachgebildet; entsprechend dem
verschiedenen Vorzeichen der Kraft zwischen gleichnamigen Massen wird indessen
die Energiedichte des Schwerkraftfeldes negativ, wenn man sie bei verschwindendem
Felde gleich null setzt. An dieser Schwierigkeit scheitert jeder Versuch, die Theorie
des Schwerkraftfeldes nach dem Vorbilde des elektromagnetischen Feldes zu konstruieren, d. h. sie auf die Wechselwirkungen zweier Vektoren zurückzuführen, welche
durch Differentialgleichungen von der Art der Maxwellschen miteinander verknüpft
sind.
Eine glückliche Idee von A. Einstein f bot die Aussicht dar, von einer anderen
Seite aus dem Problem der Schwerkraft beizukommen. Er nahm an, dass eine
Funktionsbeziehung zwischen dem Gravitationspotential und der Lichtgeschwindigkeit bestehe. Hieran anknüpfend, habe ich Ausdrücke für die fiktiven Spannungen,
die Energiedichte, den Energiestrom (©) und die Impulsdichte (g) des Schwerkraftfeldes angegeben, welche diese durch die ersten Ableitungen des Gravitationspotentials nach den Koordinaten und nach der Zeit ausdrückenJ; diese Ausdrücke
umfassen auch die Theorie des zeitlich veränderlichen Feldes. Dabei wird zwischen
Impulsdichte und Energiestrom die in der Elektrodynamik gültige Beziehung
(çj = (g/c2) angenommen. In der Sprache der vierdimensionalen Vektoranalysis kann
man sagen : Die zehn Grössen, nämlich die sechs Spannungskomponenten, die drei
Komponenten des Vektors cg = @/c, und die Energiedichte e bilden die Komponenten
* J. Cl. Maxwell, Scientific papers I, S. 570.
t A. Einstein, Ann. d. Phys. 35, 898, 1911.
X M. Abraham, Physik. Zeitschr. 13, 1, 1912.
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DAS GRAVITATIONSFELD
eines vierdimensionalen Tensors. Dabei hängen die Komponenten des Gravitationstensors von denjenigen eines Vierervektors ab, nämlich des Gradienten des
Gravitationspotentials, während diejenigen des elektromagnetischen Zehnertensors
durch die Komponenten eines Sechservektors bestimmt sind.
Ich habe mich soeben der Sprache der Relativitätstheorie bedient. Doch wird
sich zeigen, dass diese Theorie mit den hier vorgetragenen Ansichten über die
Schwerkraft nicht zu vereinbaren ist, schon darum nicht, weil das Axiom von der
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit aufgegeben wird. Ich habe in meinen früheren
Arbeiten über die Gravitation versucht, wenigstens im unendlich kleinen, die Invarianz
gegenüber den Lorentz-Transformationen zu bewahren. Doch habe ich mich davon
überzeugt, dass meine Bewegungsgleichungen des materiellen Punktes sich nicht
mit den Prinzipien der analytischen Mechanik vereinbaren lassen. Andrerseits hat
sich die von Einstein zugrunde gelegte " Aquivalenzhypothese " ebenfalls als unhaltbar erwiesen. Ich möchte es daher hier vorziehen, die neue Gravitationstheorie zu
entwickeln, ohne auf das Raum-Zeit-Problem einzugehen. Ich gehe aus von den
geeignet verallgemeinerten Ausdrücken der zehn Komponenten des Gravitationstensors und von den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen, und suche im übrigen
die Voraussetzungen möglichst wenig einzuschränken.
Es sei
w — iu(c)
(1)
eine zunächst beliebige Funktion der Lichtgeschwindigkeit c, a eine universelle, auch
von c unabhängige Konstante. Unsere Ausdrücke für die fiktiven Spannungen
lauten
1 /dw\2 1 /dwy
1 fdwX2 i /dwy '
aX, —
+
~2\dx)
2\dy)
*2\dz) ~2c*\dt)
aY„ =
OLZZ =
1 (dw\*
2\dx)
1 (dw\2 1 fdwV
2\dy) +2\dz)
1 (dwX2 1 fdiv\2
2\dx) + 2 V 8 y J
vr
1 /div\2
2c2\dt)
1 (dwV
2\dz)
(irr),
1 /dwy
Yc2\dt) ,
dw dw )
aA1/ = aFT ra . = - r - s r dx dy
ir
„
dw dw
>
(16).
„
dwdw
v
aZx = a A
z = — -— —
dz dx
Die Vektoren, Energiestn3m und Impulsdichte seien bestimmt durch
a© = ac% - — ~- grad iii
(1c),
«e=^grad,^ + A ( | | y .
.(lrf).
und die Energiedichto e sei
Es ist bemerkenswert, dass diese auch im zeitlich veränderlichen Felde stets positiv
ausfällt.
M.
c. n.
17
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MAX ABRAHAM
Zur Berechnung der Schwerkraft f, die auf die Volumeinheit der Materie wirkt,
bedienen wir uns des Impulssatzes, indem wir setzen
_ dXx
dx
dXy
dy
Ix — "^
y
r "~«
dx
+
dXz
dz
d§~ \
dt
dz
dt ^
dy
(2).
f = - ^ + ^1 -f ^—~ - ^
dx
dy
dz
dt
Entsprechend berechnet sich aus dem Energiesatze die vom Gravitationsfelde an die
Volumeinheit der Materie abgegebene Energie
/^ = - d i v © - |
(2ü).
Setzt man in (2) und (2 a) die Ausdrücke (1 a—d) ein, so erhält man
f
_
dw (d2w
dx \dx2
d2w
dy2
d2w\
dz2)
ldw d /ldw\
c dt 'dx\c dt)
d fldw ldw
dt\c dt ' c dx
oder, wenn man abkürzungshalber schreibt,
d2w
aw=
d^
,
d2w
+
d2w
1 d /ldw\
+
/ox
(3)
W- dï~cdt[cdti
diu
dx
ldw [d (ldw\
c dt \dt\c dx)
d /ldw\)
dx\c dt))
/0
'
x
Da nun, vermöge Gl. (1), w nur von c, d. h. auch von 1/c, abhängt, so gilt
3c dw
3cdw _
Ttdx~Tx~dt~
_,.
; (e }'
und es ergibt sich
*
dw
Es folgt also aus dem Impulssatz (2) die S c h w e r k r a f t pro V o l u m e i n h e i t
f = — D w. grad iv
(4),
andererseits berechnet sich aus dem Energiesatz (2a) die pro R a u m - u n d Z e i t e i n h e i t an die M a t e r i e a b g e g e b e n e E n e r g i e *
j
k
1
< = aaw-dt
dw
tA
.
(4a)
-
Noch haben wir keine Annahme über die Funktion w (c) gemacht. Wir wollen
annehmen, es sei w gleich c\ Wir sagen dann, w ist "vom Grade X." Es mag
hinsichtlich der Längenmessung die folgende Festsetzung getroffen werden : dieselbe
hat so zu geschehen, dass die Abmessungen eines hinreichend kleinen Körpers die
* Obwohl die Impulsgleichungen (2) und die Energiegleichung (2 a) nicht die geeignete Form haben, um
allgemein aus einem Zehnertensor einen Vierervektor abzuleiten, so haben doch in diesem besonderen Falle
infolge der Belation (3 b) die Ausdrücke (4), (4 a) für die Schwerkraft die Form eines Vierervektors.
DAS GRAVITATIONSFELD
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gleichen bleiben, wenn er an verschiedene Orte des Schwerkraftfeldes gebracht wird.
Dann ersieht man aus (ld), dass die Dichte der Energie, und folglich auch die
Energie selbst, vom Grade 2 \ sind. Dasselbe wird auch von der Energie der Materie
gelten müssen.
Es sei nun
E=M.®(c)
(5)
die Energie eines ruhenden materiellen Punktes im statischen Schwerkraftfelde ;
M sei eine, dem materiellen Punkte individuelle, von c unabhängige Konstante
(Massenkonstante), von zunächst unbekannter Dimension.
Dann ist, wie E, auch <P, das Gravitationspotential, vom Grade 2\.
Aus der Arbeit bei Verschiebung des Punktes im Felde —dE= — Md& folgt für
die Schwerkraft der Wert
® = -Mgrad <ï>
(5 a)
oder nach (5)
5Ï = - ^ . grad <t>
(ob).
Wir wollen nun annehmen, dass dieser letztere Ausdruck für die Schwerkraft auch
im Falle der Bewegung gelte, sowohl für einen materiellen Punkt als auch für ein
beliebiges physikalisches System von hinreichend geringer Ausdehnung. Diese
Annahme besagt: Es soll a l l g e m e i n die S c h w e r e eines S y s t e m s p r o p o r t i o n a l
seinem E n e r g i e i n h a l t sein. Die Gesetze der E r h a l t u n g der E n e r g i e und
der E r h a l t u n g der Schwere werden dann i d e n t i s c h . Doch ist natürlich das
Verhältnis von Energie und schwerer Masse von c, d. h. vom Orte im Gravitationsfelde,
abhängig.
Wir wenden nun, um über den Grad (2\) von <3>, und damit auch über den
Grad (\) von tv, Aufschluss zu erhalten, die Gleichungen der analytischen Mechanik
an. Es sei die Lagrangesche Funktion des materiellen Punktes
L = L(v, <î>)
(6).
Dann sind Betrag des Impulses (67) und Energie
v±
dv '
E=v°£-L
dv
.(6 a)..
Da man hat
dL
dx
dL
did®
ox
dL x
= --- - - . - =
av v
£
[*)x,
so ergeben die Lagrangeschen Gleichungen
d /d_L\
dt\dx)
dL _
dx
.(6 b)
die Vektorgleichung
w
+
^grad$ = 0
wobei das erste Glied die T r ä g h e i t s k r a f t ,
darstellt.
das zweite die
(7),
Schwerkraft
17—2
260
MAX ABRAHAM
Durch Vergleichung mit (5 b) folgt
E
=-*m
<7a>-
Hieraus und aus (6 a) erhalten wir
dL
T
x
- dL
= vaü + * 3 *
/0v
<8>-
Es muss also, nach einem Satze von Euler, die L a g r a n g e s c h e F u n k t i o n eine
homogene F u n k t i o n e r s t e n G r a d e s von v und <Ê> sein. Wir können diese, ohne
Einschränkung der Allgemeinheit, schreiben
Z= -W(J)
(9).
wo / ( 0 ) = 1.
Da das Vorzeichen von v nicht von Einfluss sein kann, wird die Reihenentwicklung v o n / n a c h Potenzen des Quadrats (u/<î>)2 fortschreiten
/(i)-1-»©'*
«>">
Die Koeffizienten dieser Reihenentwicklung müssen universelle Konstanten sein ;
denn die Massenkonstante ist die einzige dem materiellen Punkte individuelle
Konstante.
<ï> = c2A
Sei nun
(10);
alsdann ist der Koeffizient a im allgemeinen keine dimensionslose Grösse, sondern
die ( 4 \ — 2)te Potenz einer Geschwindigkeit. Man wird also dazu genötigt, eine
universelle Konstante c„ von der Dimension einer Geschwindigkeit einzuführen und
zu setzen
a=f.c„ 4 A - 2
(10 a.)
(Ç eine reine Zahl).
Diese neue Konstante c0 geht in den Ausdruck der trägen Masse des materiellen
Punktes ein, deren Grenzwert für kleine Geschwindigkeit (Ruhmasse) definiert ist
durch
m0 = lim (0/v) = Hm( - --•• ) ;
v=o
v=i)\vdvJ
aus (9), (9 a), (10) und (10 a) folgt nämlich
m0 = J f . | = ^ . C ~ ^ ~ 2
(106).
Wenn man die Einführung einer universellen Geschwindigkeit von zweifelhafter
physikalischer Bedeutung in den Ausdruck der Ruhmasse vermeiden will und diese
als lediglich durch die Massenkonstante M und durch die Lichtgeschwindigkeit in
dem betreffenden Punkte bestimmt ansieht, so bleibt nichts anderes übrig, als zu
setzen
2 \ = 1 , \ = £.
Dann wird
<I> = c
(11)
und
w = \Jc
(IIa).
DAS GRAVITATIONSFELD
261
D a m i t ist die F u n k t i o n w (c) b e s t i m m t , von der die K o m p o n e n t e n (la—d)
des G r a v i t a t i o n s t e n s o r s und d i e j e n i g e n der S c h w e r k r a f t (4, 4a) a b h ä n g e n * .
Die Ruhmasse ist, nach (10 6),
M
w*o = ?.-T
.(116).
c
Die t r ä g e R u h masse ist also vom Grade — 1 in c, entsprechend meiner früheren
Behauptung-)*.
Kehren wir nun zurück zu den Ausdrücken (4), (4 a), welche die pro Raum- und
Zeiteinheit vom Schwerkraftfelde an die Materie abgegebenen Beträge von Impuls
und Energie bestimmen. F ü r den von M a t e r i e und E n e r g i e leeren R a u m folgt
aus i h n e n
ow = 0
(12),
mit
(VJ =
\/c)
als D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d e s G r a v i t a t i o n s f e l d e s (verallgemeinerte Laplacesche Gleichung). Wo aber Materie mit der Energiedichte rj den Raum erfüllt,
müssen wir setzen
WQW
= 2CLì]
«
(12
a)
(verallgemeinerte Poissonsche Gleichung)^.
Es folgt nämlich dann aus (4) für die S c h w e r k r a f t pro V o l u m e i n h e i t
f=
grad c
\ grad w =
w °
c
und durch Integration über das Volumen ergibt sich die Gesamtkraft
=
E
grad c
c
(13),
(13 a),
in Übereinstimmung mit (5 6) und (11).
Entsprechend folgt aus (4 a)
2n)dw __7)dc
w dt
cdt'
und durch Volumintegration
*-**
w
als Wert der in der Sekunde vom veränderlichen Schwerefelde a b g e g e b e n e n
Energie.
* Die Ausdrücke (1 a—d) mit w = s/c gehen aus denen meiner ersten Note hervor, indem man setzt
$ = ±c2 = lEiui,
Try=ac2 = aiüG,
dabei bedeutet 7 die Gravitationskonstante im gewöhnlichen Sinne, die somit vom Grade 3 in c ist.
f M. Abraham, Physik. Zeitschr. 13, 314, 1912. Allerdings sehe ich die dort angegebene Ableitung nicht
mehr als stichhaltig an.
X In (12 a) ist die linke Seite invariant gegenüber Lorentz-Transformationen, die rechte Seite aber
nicht, weil die Energiedichte keine Invariante im Sinne der vierdimensionalen Vektoranalysis ist. Es ist
demnach gerade die physikalisch so plausibele Hypothese der Proportionalität von Energie und Schwere,
welche dazu zwingt, der Differentialgleichung des Schwerefeldes eine der Relativitätstheorie nicht
entsprechende Gestalt zu geben.
262
MAX ABRAHAM
Es lauten somit I m p u l s - u n d E n e r g i e s a t z für e i n e n m a t e r i e l l e n
(und für ein System, das einem solchen äquivalent ist)
dE
dt
Edc
c dt
/1yl
Punkt
x
Es bedingt also ein Gefälle von c ein Anwachsen des Impulsvektors, eine lokale
zeitliche Z u n a h m e von c ein Anwachsen der Energie des P u n k t e s ; im statischen
Felde bleibt die Energie des bewegten materiellen P u n k t e s konstant, wenn ausser
der Schwerkraft keine andere Kraft wirkt.
Die Feldgleichungen (12), (12 a) gehen für den speziellen Fall des statischen
Feldes in die von A. Einstein angegebenen* über. Doch erscheinen dessen Entwicklungen als einigermassen willkürlich und nicht widerspruchsfrei, insofern, als sie auf
der Äquivalenzhypothese beruhen, die sich gerade m i t diesen Feldgleichungen nicht
vereinbaren lässt. Auf die Bewegungsgleichungen (14), (14 a) kommen wir am
Schlüsse zurück.
WTir betrachten zw^ei ruhende materielle P u n k t e , P und P', von den Massenkonstanten M und M'. Auf P wirkt, nach (5 a) und (11), die Kraft
§t: = - M grad c = - 2Mw grad w
(15),
in dem von P' erregten F e l d e ; dieses Feld bestimmt sich gemäss ( 1 2 a ) durch
Integration von
dhv d2w d2w _ 2ar]
dx2
dy2
dz2
iu
für den Grenzfall einer in P' konzentrierten Energie E' = M'c.
Es folgt
a M'w
/_, K .
w = fx — «
(15 a),
2ir r
wo wK den W e r t von \/c für r = oo angibt. Aus (15) erhält man für den B e t r a g der
Kraft, mit der P' den P u n k t P anzieht,
ir
K=
our
ÜW
OL MIV . M'w'
2Mw-^ = dr
IT
._, r 7 .
—„•
v
(156).
Da n u n aber, nach (15 a), w selbst von r abhängt, so ist die Anziehungskraft nicht
streng proportional zu r~"2. Man h a t vielmehr f
OL MM'
,/
a w M'\
1Z
K = - .—^— .w^w
1 - —. — . —
7T
V
\
Z7T Woo
r }
A1. N
(loc).
Nach der hier e n t w i c k e l t e n T h e o r i e gilt also das N e w t o n s c h e
n i c h t s t r e n g ; es i s t d u r c h e i n G e s e t z v o n d e r F o r m
A
K = -.--„
Gesetz
Ti
(16)
zu e r s e t z e n .
* A. Einstein, Ann. d. Phys. 38, Wo, 1912.
| Streng genommen hängt auch iv' von r ab ; jedoch in dem Falle, wo M klein gegen M' ist (z. 13. wenn
P den Planeten, P' die Sonne bedeutet), ist dieser Umstand ohne Einfluss.
DAS GRAVITATIONSFELD
263
Für die numerische Berechnung des Quotienten B/A genügt es, zu setzen:
a = 7T7/cü (7 Gravitationskonstante), M' = m'c, wo ra' die Masse des anziehenden
Körpers bedeutet,
W'/W OD = L
Man erhält dann für die Sonne, wenn r in astronomischen Einheiten gemessen wird,
B/A = 7 ra72c 2 = 10- 8 .
Die in (16) eingeführte Korrektion des Newtonschen Gesetzes dürfte mithin zu
klein sein, um die Planetenbewegung merklich zu beeinflussen.
Ich möchte betonen, dass die hier vorgetragene Theorie von besonderen
Annahmen über die Lagrangesche Funktion unabhängig ist. Letztere ist, wie
wir gesehen haben, eine homogene Funktion von v und <3> = c, die wir schreiben
können (vgl. 9, 9 a)
ß = Vr
L = -Mcf(ß),
mit
/(£) = ! _ ! . £ • +
(17),
(17a).
Setzt man speziell*, indem man für konstantes c, d. h. ausserhalb des Schwerefeldes, die Relativtheorie als gültig ansieht,
/(/3) = V l - " ^ = 1 - i/Sa +
2
so wird
2
L = - M. »Je - v
(18),
(18 a),
und die Bewegungsgleichung (14) nimmt dann die von A. Einstein angegebene Form
an. Da hier f = 1 ist, so folgt aus (11 6) für die Ruhmasse der Wert
m0 = ^ = ^ 0 (E0 Ruhenergie)
(18 6).
c
c
Doch könnte sehr wohl £ = 1 sein, ohne dass die Koeffizienten der höheren Glieder in
der Reihenentwicklung der Funktion f(ß) mit den von der Relativtheorie geforderten
übereinstimmen.
In meiner Dynamik des Elektrons ist*)*
1 _ ß2
/ l + /3\
2
man hat also Ç = | , und daher
M
4Jf
4ä;
«=3 r ^
(19a
>
Von den schwebenden Fragen der Dynamik des Elektrons ist die oben entwickelte Theorie des Gravitationsfeldes ganz unabhängig. Ihre Voraussetzungen sind,
ausser der Grundannahme, dass das Schwerkraftfeld durch die Lichtgeschwindigkeit
bestimmt sei : Die Gültigkeit der Ausdrücke (1 a—d) für den Gravitationstensor, die
Prinzipien der Mechanik (d. h. die Impuls- und Energiesätze und die Lagrangeschen
Gleichungen) und endlich die Hypothese der Proportionalität von Schwere und
Energie.
* M. Planck, Verh. d. D. Phys. Ges. 8, 140, 1906.
f M. Abraham, Theorie der Elektrizität n, 2. Aufl. S. 167, 1908.