Ergebnis: F~1/r 2 - User web pages on web
Werbung
Gravitationskraft Für die Anziehung zwischen zwei relativ kleinen Massen (Raumschiff, Komet) variiert das Ergebnis nur noch vom Abstand r. Ergebnis: F~1/r2 Hyperbel Direkt auf der Oberfläche des Kometen (r=100m) beträgt die Anziehung 1/100N, bei doppelten Abstand nur noch 1/400N. 1. kosmische Geschwindigkeit Damit ein Satellit die Erde umkreist, muß er sich auf einer Kreisbahn mit einer bestimmten Bahngeschwindigkeit bewegen. Mit der Radialkraft gleich Gravitationskraft gilt hier m v2 m mE f 2 rE rE Die Gleichung wird nach v aufgelöst v mE f rE Setzt man die entsprechenden Werte f=6,67*10-11 [m3kg-1s-2], mE=5,97*1024kg und rE=6370km in die Gleichung ein, so erhält man für die Grenzgeschwindigkeit vgr=7,91[km/s] Potentielle Energie im Gravitationsfeld Im erdnahen Bereich ist die Hubarbeit gegeben durch W m g h Die allgemeine Formel für die Arbeit ist W Fs s m1 mE FE f rE2 m mE In der Höhe r1 wirkt die Kraft F f 1 1 r12 Auf der Erdoberfläche rE gilt Ist das erste Intervall nicht zu groß,so ist der Mittelwert F m1 mE f r1 rE Potentielle Energie im Gravitationsfeld Für die Hubarbeit gilt dann: m1 mE W Fs s f r1 rE r1 rE Dies läßt sich noch umformen zu 1 1 W f m1 mE rE r1 Unterteilt man die Strecke in kleine Intervalle, so gilt auch 1 1 1 1 W f m1 mE rE r2 r2 r1 Für f=6,67*10-11 [m3kg-1s-2], mE=5,97*1024 kg und rE=6370km gilt näherungsweise m m W f E 2 E r m1 r1 rE 9,81 s 2 m1 r1 rE Arbeit im Gravitationsfeld Im folgenden soll ein Körper vom Punkt P1 zum Punkt P2 gehoben werden 1 1 W2 f m1 mE rE r2 1 1 W1 f m1 mE rE r1 Die Differenz aus beiden Beträgen ist die gesuchte Arbeit 1 1 1 1 1 1 W1, 2 f m1 mE f m1 mE rE r2 rE r1 r1 r2 Arbeit im Gravitationsfeld Bei der Arbeit kommt es nur auf die Abstände zum Erdmittelpunkt am Anfang und Ende an. Arbeit wird nicht geleistet, wenn der Abstand konstant bleibt. Beispiel: Ein Satellit wird von der Erdoberfläche auf eine geostationäre Bahn gebracht. 2. kosmische Geschwindigkeit Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein senkrecht nach oben geschossener Körper haben muß, um das Gravitationsfeld der Erde verlassen zu können. Für r1 gilt 1 W f m mE 0 rE Diese notwendige potentielle Energie kann dem Körper in Form von kinetischer Energie mitgegeben werden. 1 1 2 m v 2 f m mE rE mE Die Gleichung wird nach v aufgelöst v 2 f rE Setzt man die entsprechenden Werte f=6,67*10-11 [m3kg-1s-2], mE=5,97*1024kg und rE=6370km in die Gleichung ein, so erhält man für die Fluchtgeschwindigkeit vErde=11,18[km/s] vSonne=42 [km/s], v’Sonne=16,5 [km/s], vMilchstrasse=100 [km/s] Energie im Gravitationsfeld Will man das Gravitationsfeld verlassen, so setzt man den Endabstand auf unendlich. Diese Flucht aus dem Gravitationsfeld läßt sich durch eine hohe StartGeschwindigkeit erreichen. Die kinetische Energie entspricht der potentiellen Energie im Unendlichen Für die Erde beträgt diese Geschwindigkeit 11,2km/s. Gravitationsfeld Modellexperiment: Die Kraftrichtungen verlaufen strahlenförmig zum zentralen Mittelpunkt Definition einer Feldstärke: Man dividiert die Kraft durch die Masse des Probekörpers. Als Feldlinien soll man sich die Bewegungslinien von zunächst ruhenden Probekörpern vorstellen. Gravitationsfeld Wirken in einem Raum Kräfte, für deren Übertragung keine Materie nötig ist, so spricht man von einem Kraftfeld. Die Größe der Gravitationskraft nimmt mit der Entfernung ab. Die Kraftrichtung wird durch Kraftlinien dargestellt. Der Raum, in dem die Kräfte wirken wird Gravitationsfeld genannt. Gravitationsfeld Interessiert man sich für den Verlauf des Gravitationsfeldes, so spielt die Masse eines Körpers keine Rolle V1, 2 W1, 2 m 1 1 f m mE r1 r2 m Das Gravitationspotential ist gegeben durch 1 1 V1, 2 f mE r1 r2 Das Gravitationspotential gibt an, welche Arbeit pro Kilogramm Masse eines Körpers nötig ist, um ihn vom Punkt P1 (Nullniveau) zum Punkt P2 zu transportieren. Im folgenden sei r1 und mE die felderzeugende Masse m V f r Gravitationsfeld Bewgt man sich mit einem Körper entlang eines Trichters aufwärts, so muß Arbeit verrichtet werden, der Körper benötigt Energie. Bewgt man sich hingegen abwärts, so wird Energie frei. Für die Mondlandung müßte man Arbeit verrichten, um die Raumkapsel bis zum Punkt P zu transportieren. Vom Punkt P ab würde die Kapsel aufgrund der Anziehungskraft des Monds von alleine auf die Mondoberfläche fallen.(mM=1/81mE) Fragen zur Gravitation 1. 2. 3. Ein Satellit der Masse m=200kg soll von einer Höhe von h1=500km auf eine Höhe h2=36000km gehoben werden. Welche Arbeit ist dafür zu verrichten (mE=5,97*1024kg, f=6,67*10-11[m3kg-1s-2])? Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit vom Mond (rM=1738km, mM=7,35*1022kg, mE=5,97*1024kg, f=6,67*10-11[m3kg-1s-2])? Was passiert, wenn man eine Raumkapsel vom Mond aus abschießt mit a)v=3km/s, b)v=0,9km/s und c)v=1,8km/s ?
