Prädikatenlogik

Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Abstrakter Datentyp Wissensbasis
Interaktion mit der Wissensbasis:
mitteilen (tell): (Wissen × Aussage)Problemlösungstechnik −→ Wissen
anfragen (ask): (Wissen × Anfrage)Problemlösungstechnik −→ Ergebnis
Teil II
Logik-basierte Wissensmodellierung
Das repräsentierte Wissen ist anwendungsabhängig.
Die verwendete Problemlösungstechnik ist unabhängig von der
Anwendungsdomäne.
Vorteil: Hoher Grad an Modularität, Trennung von Kontrollstruktur und
Wissen, Unabhängigkeit von Wissenseinheiten.
Vorsicht: Es ist noch nichts darüber ausgesagt, wie zu einer Anfrage ein
Ergebnis generiert wird, oder wie neu mitgeteiltes Wissen in bestehendes
Wissen integriert wird.
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2 -1
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Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Programmiersprachen vs. deklarative Wissensverarbeitung
◮
◮
2 -2
Architektur eines wissensbasierten Systems (vereinfacht)
Programme in (konventionellen) Programmiersprachen beschreiben wie
etwas getan werden soll.
Benutzer
In einem deklarativen System (z. B. Prolog) wird beschrieben was getan
werden soll.
Abfragekomponente
Beispiel:
Bestimmung des numerisch größten Elements einer Liste/Feld:
In Java:
int x = liste[0];
for (int i=0; i<liste.length; i++)
if (x<liste[i]) x=liste[i];
Experte
Bedienungsschnittstelle
Wissenserwerbskomponente
Steuerungssystem
Problemlösungstechnik
(Inferenzkomponente)
In Prolog:
maxliste(X,L) :- element(X,L),
groesser_liste(X,L).
groesser_liste(X,[]).
groesser_liste(X,[Y|Rest]) :- X >= Y,
groesser_liste(X,Rest).
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bereichsbezogenes
Fachwissen
x ∈L
x gdw. |L| = 1
...
fallbasiertes Wissen
Wissen
x ≥ y, ∀y ∈ L
2 -3
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2 -4
Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Prädikatenlogik
Gruppen logischer Schlussfolgerungssysteme
Theorembeweiser / logische Programmiersprachen: Verwendung von
Resolution (oder anderen Schlussfolgerungsmethoden) zur
Beweisfindung von Theoremen in PL1. Mitteilungen entsprechen
zusätzlichen Termen; Anfragen entsprechen Beweisen mit zugehörigen
Variablenbindungen.
Auffrischung der wichtigsten Begriffe der Prädikatenlogik 1. Stufe (PL1 / FOL)
als Referenzsprache für die nachfolgenden Themen.
Semantische Netze und Framesysteme: Abbildung von Objekten als Knoten
in einem Graph mit hierarchischer Strukturierung und binären
Beziehungen als Kanten oder Slots.
Motivation:
In der Aussagenlogik sind atomare Aussagen die einzig möglichen Bausteine
(keine interne Struktur)
Beschreibungslogiken: Weiterentwicklung Semantischer Netze mit formaler
Semantik und hierarchischer Strukturierung als primärem
Organisationsprinzip. Komplexe Begriffe werden aus atomaren
Begriffen und Beziehungen mittels einer Menge von Konstruktoren
erzeugt.
Keine Aussagen und Ableitungen möglich wie:
Produktionssysteme: Verwendung von Implikationen als primäres
Repräsentationsprinzip. Die Konsequenz jeder Implikation entspricht
einer Operation (z. B. Einfügung/Löschung) auf Wissensbasis.
Produktionssysteme basieren auf vorwärts-verkettetem Kontrollfluss mit
Konfliktresolution.
In PL1 erlauben durch die Verwendung von Prädikaten, Funktionen,
Variablen und Quantoren solche Aussagen.
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Alle Studenten im Hauptstudium beherrschen formale Logik.
Peter ist ein Student im Hauptstudium.
Peter beherrscht formale Logik.
2 -5
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Logik-basierte Wissensmodellierung
Warum Logik?
Syntax von PL1 (Symbole & Terme)
Die Syntax legt die Bezeichner fest und definiert damit die Sprache in der
logische Aussagen formuliert werden können.
Primitive Symbole:
Die GrundsŠ‹e der Logik sollen niemanden fremd bleiben, der auf den
Besi‹ von Bildung Anspru… erhebt. Mann kann zwar ri…tig denken,
ohne je eine Logik ‚udirt zu haben, sowie man ohne Kenntni der
Grammatik ri…tig spre…en und s…reiben lernen kann; aber glei…wie nur
derjenige eine Spra…e ganz in seiner Gewalt hat, der sie ni…t blo
dur… praktis…e Uebung erlernt, sondern au… ihre allgemeinen Gese‹e
si… zum Bewutsein gebra…t hat, so i‚ au… nur derjenige des Denken
vollkommen mŠ…tig, der si… der Gese‹e deselben vollkommen bewut i‚.
Konstantensymbole: (0-stellige Funktionssymbole) mit z. T. indizierten
Bezeichnern wie c1 , k1 , s1 , frodo, sam, ...
Funktionssymbole: mit kleingeschr. Bezeichnern wie f(..), alter von(..),
freunde(..), ...
Variablensymbole: mit unindizierten Bezeichnern wie x, y, z, ...
Prädikatsymbole: mit großgeschr. Bezeichnern P(..), Motor(..),
HatAlsTeil(..), ...
Die Menge der primitiven Symbole zusammen mit ihrer Stelligkeit bilden eine
Signatur.
Aus dem Vorwort von Josef Mich, Grundriß der Logik, 3. Auflage, Verlag von
Buchholz & Diebel, 1877
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Terme:
2 -7
t
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→
|
|
x
f (t1 , . . . , tn )
c1
Variable
Funktionsanwendung
Konstante
2 -8
Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Syntax von PL1 (Formeln)
Formeln:
φ, ψ
→
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Semantik von PL1 (Idee)
P(t1 , . . . , tn )
T
F
¬φ
φ∨ψ
φ∧ψ
φ⇒ψ
Atomare Formel
Wahr
Falsch
Negation
Disjunktion
Konjunktion
Implikation
φ⇔ψ
∀x(φ)
∃x(φ)
Äquivalenz
Universelle Quantifikation
Existentielle Quantifikation
Wie in der Aussagenlogik kann einer PL1-Formel φ der Wahrheitswert wahr
oder falsch in Abhängigkeit einer gegebenen Interpretation zugeordnet
werden. I : φ → {T , F }
Diese Interpretation I bildet wie folgt in das Universum (universe of
discourse) mit entsprechender Stelligkeit ab (Tarski-Modell):
Konstantensymbole auf Objekte des Universums
Prädikatsymbole auf Relationen über Objekte des Universums
Funktionssymbole auf funktionale Relationen über Objekte des
Universums
Gibt es eine Interpretation I für eine Formel φ, die diese erfüllt, ist diese ein
Modell für die Formel. Geschreiben I |= φ bzw. I 6|= φ wenn I kein Modell
darstellt.
Quantoren binden eine Variable. Nicht gebundene Variablen heissen freie
Variablen.
Üblicherweise betrachtet man alle potentiellen nicht-leeren Universen.
Grundterme, Grundatome, usw. sind Terme, Atome, usw. ohne
Variablenvorkommen. Z. B. freunde(frodo, sam)
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Erfüllbarkeit und Gültigkeit wird bzgl. dieser Strukturen betrachtet.
2 -9
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Logik-basierte Wissensmodellierung
2 - 10
Logik-basierte Wissensmodellierung
Formale Semantik von PL1 (Interpretation)
Formale Semantik von PL1 (Beispiel)
Interpretation I = (D, ·I ) mit D 6= ∅ und Interpretationsfunktion ·I , die alle:
◮
◮
◮
n-stelligen Funktionssymbole auf n-stellige funkionale Relationen:
f I ∈ [Dn → D],
Konstantensymbole (als Spezialfälle von Funktionen) auf Objekte:
aI ∈ D,
n-stelligen Prädikatssymbole auf n-stellige Relationen: P I ⊆ Dn abbildet.
Interpretation von Grundtermen:
(f (t1 , . . . , tn ))
I
=
f
I
(t1I , . . . , tnI )
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gdw.
=
{d1 , . . . , dn } mit n > 1
D
=
{1, 2, 3, . . .}
=
d1
1I
=
1
bI
=
d2
2I
2
BlockI
=
{d1 }
RedI
=
..
.
=
D
(∈ D)
Erfüllbarkeit von von Grundatomen:
I |= P(t1 , . . . , tn )
D
aI
ht1I , . . . , tnI i
∈P
I
2 - 11
I
|=
Red(b)
I
6|=
Block(b)
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EvenI
=
{2, 4, 6, . . .}
succI
=
{(1 7→ 2), (2 7→ 3), . . .}
I
6|=
Even(3)
I
|=
Even(succ(3))
2 - 12
Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Formale Semantik von Variablen in PL1
Formale Semantik von PL1 (Fortsetzung des Beispiels)
Abbildung von Variablen:
Funktion α : V → D (Menge aller Variablen V ).
Notation:
α[x/d] ist identisch zu α bis auf die Variable x. Für x gilt
α[x/d](x) = d.
Für die Interpretation von Grundtermen bzgl. I und α folgt:
x I,α
=
α(x)
aI,α
=
aI
I,α
=
f I (t1I,α , . . . , tnI,α )
(f (t1 , . . . , tn ))
D
=
{d1 , . . . , dn } mit n > 1
aI
=
d1
bI
=
d2
I
=
{d1 }
RedI
=
D
Block
α
=
{(x 7→ d1 ), (y 7→ d2 )}
I, α
|=
Red(x)
I, α
6|=
Block(y)
I, α [z/d1 ]
|=
Block(z)
′
Dergleichen für Grundatome:
I, α |= P(t1 , . . . , tn )
gdw.
ht1I,α , . . . , tnI,α i ∈ P I
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Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Erfüllbarkeit von Formeln in PL1
Terminologie (1)
Eine PL-Formel mit den Teilformeln φ und ψ und folgenden Konstruktoren ist
erfüllbar durch I unter α wenn folgendes gilt:
I, α |= T
und
I, α 6|= F
I, α |= P(t1 , . . . , tn )
gdw.
ht1I,α , . . . , tnI,α i ∈ P I
I, α |= ¬φ
gdw.
I, α 6|= φ
I, α |= φ ∨ ψ
gdw.
I, α |= φ oder I, α |= ψ
I, α |= φ ∧ ψ
gdw.
I, α |= φ und I, α |= ψ
I, α |= φ ⇒ ψ
gdw.
falls I, α |= φ dann I, α |= ψ
I, α |= φ ⇔ ψ
gdw.
I, α |= φ gdw. I, α |= ψ
I, α |= ∀x(φ)
gdw.
für alle d ∈ D gilt, dass I, α[x/d] |= φ
I, α |= ∃x(φ)
gdw.
es ein d ∈ D gibt, so dass I, α[x/d] |= φ
2 - 14
Interpretation:
I, α : φ → {T , F }
Modell:
I, α |= φ
I, α 6|= φ
(I, α ein Modell der Formel φ, gdw. I, α : φ → T )
(I, α kein Modell der Formel φ, gdw. I, α : φ → F )
Es werden vier Fälle unterschieden: Eine Formel heisst
erfüllbar, falls sie sie mindestens eine Interpretation besitzt, sodass
die Formel wahr wird.
falsifizierbar, falls sie mindestens eine Interpretation besitzt, sodass
die Formel falsch wird.
allgemein gültig oder Tautologie, falls sie unter jeder Interpretation
wahr wird.
unerfüllbar, falls keine Interpretation existiert, die sie wahr macht.
allg. gültige
Formeln
erfüllbare, aber
nicht gültige unerfüllbare
Formeln
Formeln
Menge erfüllbarer Formeln = allg. gültige F. ∪ erfüllbaren, aber nicht gültigen F.
Menge falsifizierbare Formeln = unerfüllbare F. ∪ erfüllbaren, aber nicht gültigen F.
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Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Terminologie (2)
Formale Semantik von PL1 (Fortsetzung des Beispiels)
Zwei Formeln sind logisch äquivalent (φ ≡ ψ) gdw. für alle I, α gilt:
I, α |= φ gdw. I, α |= ψ.
Für Mengen von Formeln Θ gilt (Endlichkeitssatz / compactness theorem):
I, α |= Θ
gdw.
Θ
I, α |= ψ für alle ψ ∈ Θ
D
Im Kontext der logik-basierten Wissensrepräsentation ist folgende
Fragestellung interessant:
gdw.
Block(a), Block(b),
∀x(Block(x) ⇒ Red(x))
=
d1
bI
=
d2
ff
BlockI
=
{d1 }
I
=
D
α
=
{(x 7→ d1 ), (y 7→ d2 )}
Red
Fragestellungen:
1. I, α |= Block(a) ∨ ¬Block(a)?
2. I, α |= Block(x) ⇒ (Block(x) ∨ ¬Block(y))?
Geschrieben Θ |= ψ
Θ |= ψ

{d1 , . . . , dn } mit n > 1
I
a
“Wird eine Formel ψ durch eine gegebenen Mengen von Formeln Θ
impliziert?”
“Ist ψ eine logische Folgerung von Θ?”
=
=
3. I, α |= Block(x) ⇒ Block(y)?
I, α |= ψ für alle Modelle I, α für die gilt I, α |= Θ
4. I, α |= Block(a) ∧ Block(x)?
5. I |= ∀x(Block(x) ⇒ Red(x))?
6. I |= Θ?
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Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Beispiel: Logische Folgerung
Θ
=
8
9
< Top(k1 ),
=
Top(z) ∨ ¬Clear(z),
:
;
On(x, y) ⇒ ¬Top(y)
Ist ψ eine logische Folgerung von Θ?
2 - 18
Inferenzprozeduren
D
=
{a, b, c}
ψ
=
{On(x, y) ⇒ ¬Clear(y)}
Gesucht: automatisierbares Verfahren zur Berechnung logischer
Folgerungen → Inferenzprozedur
Zunächst Aussagenlogik:
?
Θ |= ψ
◮
Naives Verfahren: Wahrheitstabelle
◮
Einfache Schlussregeln:
Modus ponens:
◮
2 - 19
Modus tolens:
A→B
¬B
¬A
Jedoch:
A→B
B
A
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A→B
A
B
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i. S. des log. Folgerungsbegriffs keine korrekte Schlussregel!
2 - 20
Logik-basierte Wissensmodellierung
Logik-basierte Wissensmodellierung
Ableitbarkeit
Korrektheit / Vollständigkeit von Inferenzprozeduren
Schlüsselkriterien von Inferenzprozeduren mit Inferenzprozedur i,
Formelmenge Θ, Formel ψ und Inferenzergebnis Ai :
Unterscheidung zwischen zwei Ebenen der Folgerung:
◮
Semantische Ebene mit der logischen Folgerung, d. h. Θ |= φ
◮
Inferenzebene mit syntaktischer Ableitbarkeit
Korrektheit
Die Prozedur i is korrekt, falls immer wenn Θ ⊢i ψ wahr ist, auch Θ |= ψ wahr
ist.
Ableitbarkeit:
Eine Formel φ ist aus der Formelmenge Θ mit Hilfe einer Inferenzprozedur i
ableitbar, geschrieben
Vollständigkeit:
Die Prozedur i is vollständig, falls immer wenn Θ |= ψ wahr ist, auch Θ ⊢i ψ
wahr ist.
Θ ⊢i φ
Entscheidbarkeit:
wenn eine endliche Folge von Inferenzschritten existiert, sodass man von Θ
zu φ gelangt.
Ai =
Die Aussage φ lässt sich (durch Anw. der Prozedur i) aus der Menge der
Aussagen Θ ableiten.
Bemerkung: Ableitbarkeit hängt offensichtlich von der zugrundeliegenden
Inferenzprozedur ab.
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
1,
0,
falls Θ ⊢i ψ
falls Θ 6⊢i ψ
Komplexität:
Fragestellung, ob i ∈ P
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Logik-basierte Wissensmodellierung
2 - 22
Logik-basierte Wissensmodellierung
Inferenzprozedur Resolution
Logik: Zusammenfassung
Widerspruchsbeweis: Θ |= φ äquivalent mit Θ ∧ ¬φ ist widersprüchlich.
Idee: Reduktion von PL1 auf aussagenlogische Erfüllbarkeit:
1. Pränex-Normalform (Quantoren + Matrix); Eliminieren von Implikation
und Äquivalenz; Negation nach innen; Quantoren nach außen
Logik erlaubt die Axiomatisierung einer Anwendungsdomäne und das
Schlussfolgern auf diesem Wissen
2. Skolemisierung (Eleminierung von existentiellen Quantoren)
Skolem-Normalform (Pränex-Normalform ohne Existenzquantoren)
Eckpunkte:
3. Umwandlung in KNF (Klauselmenge)
◮
Syntax
4. Herbrand-Interpretation/Model:
Universum besteht aus allen möglichen Grundtermen (mind. einer
Konstante); beliebige Interpretation der Prädikate; Funktionen
syntaktisch interpretiert.
◮
Semantik
◮
Kriterium: Korrekte und vollständige Schlussfolgerungsprozedur
Probleme:
5. Wiederholte Anwendung der Inferenzregel (Ziel: leere Klausel als
Resolvente).
◮
◮
Eine Inferenzregel:
Seine C1 und C2 Klauseln und L ein Literal mit L ∈ C1 und ¬L ∈ C2 , dann
heisst die Klausel (C1 \{L}) ∪ (C2 \{¬L}) Resolvente von C1 und C2 .
Unerfüllbarkeit und Gültigkeit von PL1 semi-entscheidbar.
Resolution als Inferenzprozedur:
◮
◮
◮
Wenig zielgerichtete Problemlösungverfahren
Z. T. schlecht erweiterbar.
Schlussfolgerungsprozess i. d. R. ungeeignet für Begründung/Erklärung.
Theorem: Menge von Formeln hat Modell gdw. sie ein Herbrand-Modell hat.
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