Summen, Indices und Multiindices 1 Einleitung 2 Die Indexnotation

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Summen, Indices und Multiindices
1 Einleitung
Möchten wir zwei Zahlen a und b addieren, so schreiben wir für gewöhnlich
a + b.
Genauso schreiben wir
a + b + c,
für die Summe von drei Zahlen a, b und c. Im letzten Ausdruck müssen wir keine Klammern setzen, da die Addition assoziativ ist. Wegen der Kommutativität ist auch die
Reihenfolge in diesem Ausdruck nicht relevant. In gewissem Sinne ist die Addition also
nicht nur eine Operation zwischen zwei Zahlen sondern auch eine Operation, die als
Eingabe eine Multimenge 1 von Zahlen bekommt und die Summe über alle diese Zahlen
bildet. Wir erläutern dieses Konzept an einem Beispiel.
Beispiel:
„Summe der Zahlen 2, 8, 9, 9“ =
Das Symbol
P
X
{2, 8, 9, 9} = 2 + 8 + 9 + 9 = 28
steht hier für die Summe.
2 Die Indexnotation
Obige Schreibweise ist allerdings unüblich. Typischerweise sind die Zahlen, die wir addieren wollen durch eine andere Menge indiziert. Das selbe Beispiel mit Indexnotation
sieht dann so aus.
Beispiel:
a1 := 2
a2 := 8
a3 := 9
a4 := 9
1
Eine Multimenge ist ähnlich zu einer Menge. Im Gegensatz zu einer Menge darf aber ein Element
nicht maximal einmal sondern öfters darin vorkommen.
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und
X
„Summe der Zahlen a1 , a2 , a3 , a4 “ =
ai
i∈{1,2,3,4}
= a1 + a2 + a3 + a4
=2+8+9+9
= 28
Die Hilfsvariable i nimmt also die verschiedenen Werte in der Indexmenge {1, 2, 3, 4}
an, zu jedem dieser Werte gibt es eine zugehörige Zahl ai und diese Zahlen sind es, die
addiert werden.
Der Fall der Indizierung mit aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist so häufig, dass er
meist abgekürzt wird.
Beispiel:
X
ai =
i∈{1,2,3,4}
4
X
ai .
i=1
Manchmal schreibt man auch etwas inexakt
4
X
ai = a1 + · · · + a4 .
i=1
Bis jetzt wirkt das Indizieren vielleicht etwas umständlich. Nachfolgend sind zwei typischere Beispiele.
Beispiel: Sei
ai := „Anzahl der Buchstaben im Wort für die Zahl i“,
also etwa
a15 = „Anzahl der Buchstaben in ’fünfzehn’“ = 8.
Dann ist
20
X
ai = 4 + 4 + 3 + 5 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 7 = 79.
i=9
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Beispiel:
4
X
i2 = 4 + 9 + 16 = 29
i=2
Wir sehen, dass es reicht, wenn wir die zu addierenden Zahlen implizit definieren.
Die Summe über die leere Menge ist als 0, das neutrale Element der Addition, definiert,
X
∅ = 0.
In Indexnotation kann dies manchmal verwirrend aussehen.
Beispiel:
X
(1 + i2 ) = 0
i∈∅
Beispiel:
2
X
(1 + i2 ) = 0
i=3
Ist der obere Index kleiner als der untere Index, interpretieren wir die Indexmenge als
leer.
Weitere Beispiele mit Erklärungen.
Beispiel:
4
X
i=2
i2 =
4
X
j2 =
j=2
4
X
♥2
♥=2
Das Symbol für die Hilfsvariable beim Indizieren ist egal. Von ausserhalb der Summe
betrachtet ist die Hilfsvariable quasi unsichtbar.
Beispiel:
5
X
2 = 10
i=1
Die Hilfsvariable kann auch (scheinbar) gar nicht vorkommen.
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Beispiel: Es gilt
X
i=
n
X
i=
i=1
i∈{1,...,n}
n(n + 1)
2
für jede natürliche Zahl n. Die Anzahl der Zahlen, die wir summieren, kann also auch variabel sein. In diesem Beispiel werden für jedes n auch genau n viele Zahlen aufsummiert.
Im Allgemeinen ist die Indexmenge eine beliebige endliche Menge I und jedem i ∈ I ist
auf irgendeine Art und Weise eine Zahl ai zugeordnet. Formal handelt es sich also um
eine Funktion a : I → R. Wir könnten auch a(i) schreiben, traditionell wird aber meist
ai bevorzugt. Der Ausdruck für eine Summe sieht also im Allgemeinen so aus:
X
ai :=
X
{ai : i ∈ I}.
i∈I
Man beachte wieder, dass auf der rechten Seite die Summe einer Multimenge gebildet
wird. Wir müssen also für jedes i ∈ I die Zahl ai bestimmen und alle diese Zahlen
addieren (wobei Zahlen natürlich mehr als einmal auftreten dürfen).
Algorithmisch gedacht würden wir etwa so vorgehen: Ist die Menge I leer, dann ist
das Ergebnis der Summe 0. Ist die Menge I nicht leer, dann wählen wir ein beliebiges
Element aus I aus, sagen wir i0 , und benutzen die rekursive Formel
X
X
ai = ai0 +
i∈I
ai .
i∈I\{i0 }
Da I endlich ist, terminiert der Algorithmus. Diese Vorgangsweise ist im Wesentlichen
sogar die formale Definition des Summenausdrucks.
Das Verwenden einer Indexmenge ist keine Einschränkung, wir gehen darauf aber nicht
näher ein. Da ausserdem, wie bereits erwähnt, die Multimengennotation unüblich ist,
werden wir sie nicht weiter verwenden.
Es folgen einige Beispiele mit etwas komplizierteren Indexmengen.
Beispiel:
X
i2 = 0 +
i∈{0, 32 ,1}
13
4
+1=
9
9
Beispiel: Sei I die Menge aller geraden ganzen Zahlen zwischen 1 und 10, dann ist
X
i∈I
i=
10
X
i = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.
i=1
i gerade
Die zweite Summe ist also so zu verstehen, dass i diejenigen Werte zwischen 1 und 10
annimmt, welche die Bedingung „i gerade“ erfüllen.
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Beispiel:
4
X
ai =
i=1
i6=2
X
ai
i∈{1,3,4}
Folgende Substitutionsregel ist oft hilfreich. Seien I und J endliche Mengen und v : J → I
eine bijektive Funktion. Es gilt
X
ai =
i∈I
X
av(j) .
j∈J
Beispiel: Sei n eine natürliche Zahl und definiere v : {2, . . . , n + 1} → {1, . . . , n} durch
v(j) = j − 1.
Dann gilt
n
X
ai =
i=1
n+1
X
aj−1 .
j=2
Dieser spezielle Vorgang wird Indexverschiebung genannt.
3 Multiindices
Ist die Indexmenge ein kartesisches Produkt oder eine Teilmenge davon, so spricht man
von Multiindices. Da dieser spezielle Fall häufig ist, sind dafür verschiedene Schreibweisen
gebräuchlich.
Beispiel:
X
k∈I×J
ak =
X
(i,j)∈I×J
a(i,j) =
X
(i,j)∈I×J
ai,j =
X
i∈I
j∈J
ai,j =
X
aij
i∈I
j∈J
Beim letzten Ausdruck besteht die Gefahr der Verwechslung mit ai·j . Hier muss immer
auf den Kontext geachtet werden. Ähnliches gilt etwa für a15 . Dies kann entweder „a
Index fünfzehn“ oder „a Index 1 und 5“ heissen.
Eine solche Summe lässt sich immer als Verkettung von Summationen schreiben.
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Beispiel:


X
ai,j =
X
X

i∈I
(i,j)∈I×J
ai,j  =
XX
ai,j
i∈I j∈J
j∈J
Beachte, dass der Wert der inneren Summe von i abhängt. Genauso gilt
X
ai,j =
XX
ai,j .
j∈J i∈I
(i,j)∈I×J
Man spricht hierbei von einer Doppelsumme oder allgemeiner von einer Mehrfachsumme.
Beispiel: Sei K eine Teilmenge von I × J. Es gilt
X
ak =
XX
ai,j ,
i∈I j∈Ji
k∈K
wobei Ji := {j ∈ J : (i, j) ∈ K}.
Sind die einzelnen Indexmengen aufeinander folgende ganze Zahlen, schreibt man gerne
wie in folgenden Beispielen.
Beispiel:
X
ai,j,k =
X
i=1,...,n
j=1,...,n
i≤j
ai,j =
ai,j,k =
i=1,...,n1
j=1,...,n2
k=1,...,n3
(i,j,k)∈{1,...,n1 }×{1,...,n2 }×{1,...,n3 }
Beispiel:
X
n
X
i,j=1
i≤j
ai,j =
n X
n
X
n1 X
n2 X
n3
X
ai,j,k
i=1 j=1 k=1
ai,j
i=1 j=i
Man beachte, dass im letzten Ausdruck die innere Summation bei i startet.
4 Andere binäre Operationen
Alles bisher gesagte gilt nicht nur für die Addition, sondern sinngemäss auch für viele
andere binäre Operationen. Es ist dabei auch nicht von wesentlicher Bedeutung auf
welche Elemente diese Operationen wirken.
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Operation
Addition
Produkt
Vereinigung
Schnitt
kartesisches Produkt
..
.
kleines Symbol
+
·
∪
∩
×
..
.
grosses Symbol
P
Q
S
T
× oder
Q
..
.
Wir schliessen mit einem etwas längeren Beispiel.
Beispiel: Gegeben M1 , . . . , Mn ⊆ R. Angenommen jede dieser Mengen ist eine Vereinigung endlich vieler Mengen, also
Mi =
ki
[
Ti,j
j=1
für Mengen Ti,j ⊆ R und natürliche Zahlen ki . Die Menge Mi entsteht also als Vereinigung von ki vielen Teilmengen.
Für drei Mengen A, B, C gilt
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
Das kartesische Produkt × verhält sich also distributiv bezüglich der Vereinigung ∪.
Für das kartesische Produkt der Mengen M1 , . . . , Mn erhalten wir daher
M1 × M2 × . . . × Mn =
k1
[
(T1,j1 × M2 × · · · × Mn )
j1 =1
=
k1 [
k2
[
j1 =1 j2 =1
[
=
...
kn
[
(T1,j1 × T2,j2 × · · · × Tn,jn )
jn =1
(T1,j1 × T2,j2 × · · · × Tn,jn ) .
j1 =1,...,k1
j2 =1,...,k2
..
.
jn =1,...,kn
Etwas exakter könnten wir auch schreiben
n
×M
i
=
i=1
wobei
[ n
×T
i,ji
j∈J i=1
n
J :=
×{1, . . . , k }.
i
i=1
Was als einfacher zu lesen empfunden wird, ist von Person zu Person verschieden.
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Zuletzt noch eine Bemerkung zur oben gewählten Notation. Oft verwendet man für die
Teilmengen das gleiche Symbol wie für die Vereinigung. In diesem Fall also
Mi =
ki
[
Mi,j .
j=1
Formal gesehen erzeugt dies einen Notationskonflikt, da einerseits M : {1, . . . , n} → P(R)
S
und andererseits M : ni=1 {i} × {1, . . . , ki } → P(R). In der Praxis entsteht daraus aber
selten ein Problem.
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