0.¨Ubung Höhere Mathematik - Lehrstuhl II für Mathematik

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
http://www.math2.rwth-aachen.de
WS 2007/2008
0. Übung Höhere Mathematik
Themen: Logik, Mengen, Abbildung, Funktionen, Injektiv, Surjektiv
Aufgabe 1.
a)* Zeigen Sie, dass die logische Aussage A ⇒ B gleichwertig mit der Aussage ¬A ∨ B ist.
b) Zeigen Sie, dass die logische Aussage A ⇔ B gleichwertig ist mit der Aussage
(¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B).
c) Zeigen Sie: Ist (A∨B) wahr, so ist (A∧C)∨(B ∧C) gleichwertig mit (A ⇒ C)∧(B ⇒ C).
d) Zeigen Sie die Distributivgesetze für logische Aussagen:
1. (A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C).
2. (A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C).
Aufgabe 2. Bilden Sie die Negation der folgenden Behauptungen:
a) Alle Hunde essen Käse.
b) Die sieben Zwerge wohnen hinter sieben Bergen.
c) Es gibt Elefanten, die sprechen können.
d) Jede Giraffe kann springen, wenn sie glücklich ist.
Aufgabe 3. Bilden Sie von folgenden Behauptungen die Negation und überprüfen Sie den
Wahrheitsgehalt der Negation:
a) Für alle x ∈ R existiert ein y ∈ N mit x < y.
b) Für alle x ∈ Q existieren n, m ∈ N, so dass x =
n
.
m
c) Es existiert ein x ∈ Q, so dass für alle n, m ∈ N gilt: x =
n
.
m
d) Für alle x ∈ R und für alle y ∈ R existiert ein z ∈ R, so dass z 2 > x + y gilt.
e) Für alle x ∈ R existiert ein z ∈ R, so dass für alle y ∈ R gilt: z 2 > x + y.
f) Es existiert ein z ∈ R, so dass für alle x ∈ R und alle y ∈ R gilt: z 2 > x + y.
Aufgabe 4. Bilden Sie den Schnitt (A ∩ B), die Vereinigung (A ∪ B), die Differenz (A \ B)
und das kartesische Produkt A × B der folgenden Mengen:
a) A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {1, 6, 7, 8, 2}.
b) A = {1, 2, {3, 4}, 5} und B = {1, 3, 4}.
c) A = Z und B = R.
d) A = {x ∈ Z | x < 3} und B = {x ∈ Z | x > −3}.
e) A = {x ∈ R | 2 < 7} und B = {x ∈ Z | 2 < 7}.
f) A = Q und B = {x + π | x ∈ N}.
g) A = N und B = {x ∈ R | x2 = 1}.
Aufgabe 5. Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf dem angegebenen Definitionsund Wertebereich auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
a) f : R → R, f (x) = x3 − 4x2 − x + 4.
b) f : R → R, f (x) = x + 2.
e) f : Z → N, f (x) = |x|.
f) f : (0, ∞) → (0, ∞), f (x) =
i) f : R → [0, ∞], f (x) = x2 .
j) f : Z → Z, f (x) = x2 .
c) f : R → R, f (x) = x2 − 1.
g) f : [0, ∞] → [0, ∞], f (x) = x2 .
Lösung:
a) nicht injektiv, surjektiv
c) nicht injektiv, nicht surjektiv
e) nicht injektiv, surjektiv
g) bijektiv
i) nicht injektiv, surjektiv
d) f : [−1, 1] → R, f (x) =
x−3
.
x2 −2
h) f : [0, ∞] → R, f (x) = x2 .
b) bijektiv
d) nicht injektiv, nicht surjektiv
f) injektiv, nicht surjektiv
h) injektiv, nicht surjektiv
j) nicht injektiv, nicht surjektiv
√
x + 5.
Information: Mengen
Eine Zusammenstellung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit
nennt man Menge. Die Objekte heißen Elemente. Zwei Mengen A und B nennt
man gleich, wenn sie genau diesselben Elemente enthalten. Geschrieben A = B.
Wir nennen A eine Teilmenge der Menge B, kurz: A ⊂ B, wenn jedes Element
von A auch zu B gehört. A 6⊂ B bedeutet, dass A mindestens ein Element
enthält, das nicht in B liegt. Die leere Menge bezeichnen wir mit ∅. Sie ist
Teilmenge jeder Menge. Enthalten zwei Mengen A und B überhaupt kein gemeinsames Element, so sagt man, dass A und B disjunkt sind. Das bedeutet:
A ∩ B = ∅.
Folgende Operationen sind mit Mengen möglich:
• Durchschnitt Der Durchschnitt von zwei Mengen A und B ist die Menge A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Sie besteht aus allen Elementen, die in beiden Mengen A und B enthalten sind. Bildet man den
Durchschnitt der Mengen A1 , ..., An , so kann man abkürzend schreiben
T
n
i=1 Ai := {x | x ∈ A1 ∧ ... ∧ An }.
• Vereinigung Die Vereinigung von zwei Mengen A und B ist die Menge
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Sie besteht aus allen Elementen, die
mindestens in einer der Mengen A oder B enthalten sind. Bildet man die
Vereinigung der Mengen A1 , ..., An , so kann man abkürzend schreiben
S
n
i=1 Ai := {x | x ∈ A1 ∨ ... ∨ An }.
• kartesisches Produkt Das kartesische Produkt von zwei Mengen A und
B ist die Menge A × B := {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}. Sie besteht aus allen
Paaren (x, y), wobei das erste Element aus der Menge A und das zweite
Element aus der Menge B stammt. Bildet man das kartesische
Q Produkt
der Mengen A1 , ..., An , so kann man abkürzend schreiben ni=1 Ai :=
{(x1 , ..., xn ) | x1 ∈ A1 ∧ ... ∧ xn ∈ An }.
• Differenz Die Differenz von zwei Mengen A und B ist die Menge
A \ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}. Sie besteht aus allen Elementen, die in
der Menge A und nicht in B enthalten sind.