2.2 Elektrisches Feld

2.2. ELEKTRISCHES FELD
2.2
9
Elektrisches Feld
Coulomb Gesetz: Fi ∼ Qi
Fi = Qi
!
j+i
"
1 Qj Ri − Rj
2
4π "0 Rij
Rij
#$
%
(2.6)
elektrisches Feld am Ort Ri
Das elektrische Feld, das die Ladung am Ort Ri spürt - also das Feld, das von allen anderen
Ladungen erzeugt wird - ist lediglich eine Funktion des Ortes Ri der Ladung, aber nicht der
Ladung selbst an diesem Punkt.
Elektrisches Feld, das eine individuelle Ladung Qj am Ort R erzeugt:
E(R) =
Qj R − Rj
4π "0 |R − Rj |3
(2.7)
Man kann sehen, dass an jeder Stelle im Raum die Komponenten des E-Feldes kontinuierliche
Funktionen sind und differenzierbar, außer an der Stelle, an der eine Punktladung Qj sitzt - dort
divergiert das elektrische Feld - der Nenner der rechten Seite von Gleichung (2.7) ist null.
Qj ist positiv
positive Ladungen sind die Quellen des
elektrischen Feldes
Qj ist negativ
negative Ladungen sind die Senken des
elektrischen Feldes
Wie man aus Gleichung (2.6) ablesen kann, ist die Richtung des elektrischen Feldes so defi-
10
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
niert, dass es in Richtung der Kraft zeigt, die es auf eine positive Ladung ausübt. Damit laufen
die Feldlinien radialsymmetrisch aus einer positiven Punktladung heraus (Quelle) und in eine
negative Punktladung (Senke) hinein.
Allgemeine Eigenschaften von Feldlinien:
• Feldlinien haben keine Start- oder Endpunkte ausser in Ladungen.
• Feldlinien kreuzen sich nicht, da das E-Feld an jedem Punkt im Raum (in dem keine
Punktladung sitzt) einen eindeutigen Wert hat und differenzierbar ist.
Dipole und Dipolfelder
Ein Dipol ist eine Ladungsverteilung, die aus zwei (oder auch mehreren) Ladungen besteht, die
in der Summe neutral ist (und kein verschwindendes erstes Moment hat, siehe unten), also im
Falle zweier Ladungen wiefolgt dargestellt werden kann:
PSfrag replacements
−Q
+Q
d
Das Dipolfeld ergibt sich aus der Überlagerung der Felder der involvierten Ladungen. Es kann
wiefolgt skizziert werden:
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
2.2. ELEKTRISCHES FELD
11
Als idealen Dipol bezeichnet man den (hypothetischen) Grenzfall, in dem der Abstand zwischen
den Ladungen d → 0 geht und Q → ∞, sodass p = Q · d konstant bleibt. In vielen Situationen
kann man Dipole als ideal nähern, was deren mathematische Beschreibung ungemein vereinfacht,
z.B. die Wechselwirkung von Wassermolekülen in der Gasphase.
Eigenschaften von Dipolen:
• Die Kraft, die ein Dipol auf eine Probeladung ausübt, ist in der Regel nicht in Richtung
des Dipols gerichtet, d.h. der Dipol übt keine Zentralkraft aus.
• Das Feld eines Dipols hängt offensichtlich von seiner Orientierung bzw. Richtung ab Daher
ist er ein Vektor, der wiefolgt definiert ist (warum diese Definition sinnvoll ist sehen wir
!
später): p =
Qn Rn
z.B. bei H2 O
n
y
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
x
RO = 0; RH = (x0 , ±y0 , 0) ; p = QO ·0+QH ·((x0 , y0 , 0) + (x0 , −y0 , 0)) = 2QH x0 (1, 0, 0)
Der Dipol liegt also auf der x-Achse und entspricht dem Dipol, den man hätte wenn beide
H-Atome auf der x-Achse lägen.
• Einheit des Dipols: [p] = C · m
”typische” molekulare Dipolmomente: ≈ 1, 6 · 10−29 Cm
Angabe sehr unpraktisch ⇒ Einführung der Einheit Debye D
12
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
[p] = 1 D = 3, 336 · 10−30 Cm
in der Gasphase:
p = 0, 11 D
" CO
pH2 O = 1, 8 D (gas)/ 2, 3 D (liq)
#$
pNaCl = 8, 5 D
%
Wir sehen, dass für die kondensierten Phasen (fest, flüssig) dieser Moleküle (die jeweils
eine abgeschlossene Elektronenschale haben und daher miteinander weder eine kovalente
noch eine metallische Bindung miteinander eingehen) die Schmelztemperatur und Siedetemperatur stark mit dem Dipol ansteigen. Der Dipol ist damit eine wichtige Größe zum
Verständnis der Materialeigenschaften dieser und vieler anderer Substanzen.
• Da der Dipol die Einheit C·m (statt [Q]=C) hat muss sein E-Feld für große Abstände wie
1/R3 abfallen - statt 1/R3 wie bei einer Punktladung.
Anmerkung für Fortgeschrittene: Eine Ladungsverteilung, die sich aus zwei identischen aber
entgegengesetz gerichteten Dipolen zusammensetzt, hat keinen (endlichen) Dipol. Die Ladungsverteilung wird dann in führender Ordnung als Quadrupol beschrieben, der die Einheit C·m2 hat
und ähnlich wie das Trägheitsmoment in der Mechanik ein 2. Moment darstellt. Ein Quadrupol
wird - wie das Trägheitsmoment auch - über eine Matrix (genau genommen einen Tensor zweiter
Stufe) beschrieben. Das Feld eines Quadrupols muss aus Einheitengründen mit 1/R4 abfallen.
Elektrisches Feld einer homogen geladenen Platte
In Übungsaufgabe 1.3 haben wir das Feld eines geladenen Rings auf seiner Symmetrieachse
berechnet:
E(Achse) = Ex · ex
Ex =
1
Q·x
&√
'3
4π "0
R 2 + x2
Wir betrachten nun einen Ring endlicher Breite ∆R als Teil einer Ebene. Diese Ebene habe eine
konstante (Flächen-)Ladungsdichte.
σ=
∆Q
= const.
∆A
PSfrag replacements
2.2. ELEKTRISCHES FELD
+Q
−Q
13
y
R + ∆R
d
R
X
x
Die Ladung auf einem Ring ergibt sich damit zu:
& 2
'
2
∆Q = σ πRaußen
− πRinnen
&
'
= σπ (R + ∆R)2 − R2


&
'


= σπ R2 + 2R · ∆R + O ∆R2 −R2 
" #$ %
Ordnung
≈ 2π R · ∆R · σ,
(2.8)
sprich die Fläche eines Rings in der Ebene ist Umfang mal Breite - von Korrekturen der Ordung
Breite/Umfang abgesehen. ⇒ Beitrag zum Feld durch einen Ring mit Radius R und Breite ∆R:
∆E =
1
x R · ∆R
(2π σ) · √
3
4π "0
R 2 + x2
(2.9)
Nun muss über unendlich vieler solcher Ringe addiert werden. Wir führen wie vorher auch schon
den Übergang von einer Summation zu einem Integral via
!
Ringe
∆R...... →
.
0
∞
dR.........
14
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
durch.
Ex
σ
=
2 "0
.
0
∞
√
xR
R 2 + x2
3 dR
R
dR
Substitution : r = ; dr =
macht Integrationsvariable einheitenlos
x
. ∞ x
σ
r
=
√
3 dr
2 "0
0
1 + r2
"
#$
%
rein numerischer Ausdruck N = 1
σ
=
2 "0
⇒ Feld der Platte wird nur über die Oberflächenladungsdichte definiert, also
E∼σ
[σ] =
Q
R2
Felder homogen geladener Platten:
eplacements
PSfrag replacements
+Q
+Q
−Q
−Q
≈
d
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
d
d
A = π · L2
2.2. ELEKTRISCHES FELD
15
An den Ecken des Kondensators im Bereich der Ordnung d wird es zu signifikanten Störfeldern.
Ist d >> L ergibt sich ein Dipol.
Felder an Metalloberflächen
Metalle haben freie Ladungsträger, die sich so lange bewegen bis kein E-Feld mehr im Metall
besteht.
E-Feld bewirkt Ladungsfluss, sodass
Feld einer Ladung vor Metalloberfläche
rag replacements
PSfrag replacements
die transversale Komponente ver+Q
+Q
Q
schwindet.
−Q
−Q
d
E-Feld
Metall
d
Metall
rag replacements
+Q
−Q
E-Feld
d
• im Metall keine Feldlinien
• ABER: Feldlinien laufen in die Ladung
Metall
⇒ auf Metallen stehen Feldlinien senkrecht
Das Feld vor einer Metallplatte sieht also ähnlich aus wie das Feld eines realen Dipols, der
aus zwei Ladungen besteht. In der Tat sind die Felder sogar identisch, was relativ zwanglos
mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes, einer alternativen Formulierung des Coulombschen Gesetzes,
gezeigt werden. Die Punktladung sitzt also in einem Feld, das genauso groß ist wie das Feld einer
entgegengesetzten “Spiegelladung” im Metall. Daher werden Ladungen von Metalloberflächen
angezogen.
16
KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK
Bewegung einer Punktladung in einem externen E-Feld
Zwei planparallele Platten sind auch als Plattenkondensatoren bekannt. Diese finden unzählige
Anwendung in elektronischen Geräten. Eine ist die gezielte Ablenkungen von Elektronen oder
anderen Ladungsträgern auf einen Schirm oder ein Target. Die Grundzüge der Dynamik dieser
Ladungen werden hier kurz angerissen.
PSfrag replacements
+Q
• Braunsche Röhre, Kathodenstrahlröhre
−Q
d
v
Schirm
−
e
Lk
Ls
Die Überlegungen sind analog zum freien Fall ode zum schiefen Wurf in der Mechanik.
Typische Fragestellung: Wie hängt die Position an der die Ladung auf den Schirm trifft
von Ey , vx , Lk , Ls ab?
Anfangsbedingungen:
v = (vx , 0)
a=
⇒ Zeit im Kondensator :
q
· (0, Ey )
m
tkond =
Lk
vx
Beim Austritt:
0 1 L 22
1 /q
k
y =
Ey ·
2 " m#$ %
vx
" #$ %
a
t2
/q
0 1L 2
k
vy =
Ey ·
m
vx
(2.10)
(2.11)