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Kapitel 1 Optik: Allgemeine Eigenschaften des Lichts Licht: elektromagnetische Welle Wellenlänge: λ= 400 nm bis 700 nm Frequenz: f = 4 ,1014 Hz bis 8 ,1014 Hz c=f·λ c: Lichtgeschwindigkeit = 2,99792458 , 108 m/s ≈ 300 000 km/s = 3 · 108 m/s Astronomie: gängige Einheit sind Lichtjahre, 1 Lj = 9,46·1015 m (c · t = 3·108 m/s · 3,156·107s) Jahr in Sekunden Fermat`sches Prinzip: Licht nimmt immer denjenigen Weg, der die kürzeste Zeit benötigt. (Beachte: Dies muss nicht der kürzeste Weg sein!) Kapitel 1 Optik: Allgemeine Eigenschaften des Lichts Kapitel 1 Optik: Allgemeine Eigenschaften des Lichts Lochdurchmesser α d l Schirm, Wand Lichtquelle 𝒅 ≫ 𝝀 : geometrische Optik (diese Woche) 𝒅 ~ 𝝀: Wellenoptik (in ca. 2 Monaten) Licht breitet sich in homogenen Stoffen geradlinig aus. Die Ausbreitungsrichtung wird durch das Konzept des Lichtstrahls beschrieben. Kapitel 1 Optik: Lichtbündel Schirm, Wand α d l α /2 l d 2 𝒅 ≫ 𝝀 : geometrische Optik 𝑑 ~ 𝜆: Wellenoptik 𝑠𝑠𝑠 Für kleine Winkel: 𝑠𝑠𝑠 α 2 α 2 = ≈ 𝑑 2𝑙 α 2 𝑑 α= 𝑙 (Anmerkung: α ist sehr viel kleiner als 1. Deshalb ist die Ankathede (l) und die Hypothenuse fast gleich lang.) Öffnungswinkel α = Bündeldurchmesser d Laufweg l α 𝑑> 𝑙 α d< 𝑙 => Strahl => Welle Homogene Stoffe: Licht breitet sich geradlinig aus. Die Ausbreitungsrichtung wird durch das Konzept des Lichtstrahls beschrieben. Kapitel 1 Optik: Reflexion Reflexion einfallender Strahl Lot α β reflektierter Strahl Einfallswinkel = Ausfallswinkel α=β - Beachte: Dieses Reflexionsgesetz gilt für alle Arten von Wellen - Reflexion an einer glatten Oberfläche heißt Spiegelreflexion - Diffuse Reflexion: regellose Reflexion in unterschiedliche Richtungen (Nachts im Auto: Teil des Scheinwerferlichts wird von der Straße zum Fahrer zurückreflektiert) Optische Bank Kapitel 1 Optik: Reflexion Snellius’sches Brechungsgesetz Lot einfallender Strahl reflektierter Strahl (Luft-Glas: 4% reflektiert) α1 durchsichtiges Medium n1 α2 gebrochener Strahl n2 α2: Brechungswinkel 𝑠𝑠𝑠𝛼1 𝑐1 𝑐/𝑛1 𝑛2 = = = 𝑠𝑠𝑠𝛼2 𝑐2 𝑐/𝑛2 𝑛1 Brechung des Lichts, n2 (Glas) > n1 (Luft) Brechungsindizes (bzw. Brechzahl) für λ = 590 nm Medium definiert 𝒄 𝒏 ≡ Vakuum Luft Wasser Äthylalkohol Glas Quarzglas Flintglas Plexiglas Natriumchlorid Diamant 𝒄𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 1.0000 1.0003 1.33 1.36 1.46 1.58 1.51 1.53 2.42 Kapitel 1 Zur Übung . Licht fällt unter dem Einfallswinkel 𝛼1 auf eine Platte aus transparentem Material, wie in der Abbildung gezeigt ist. Die Platte hat die Dicke h, und ihr Material hat den Brechungsindex n. Zeigen Sie, dass gilt: 𝑛= 𝑠𝑠𝑠𝛼1 𝑑 𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ℎ . Lösung: An der oberen Grenze gilt gemäß dem Brechungsgesetz, Aus den geometrischen Zusammenhängen ergibt sich Und damit: n = sin α1 d sin arctan h n = sin α1 sin α 2 da der Brechungsindex von Luft 1 ist. d = h tan α 2 und daher α 2 = arctan d h Kapitel 1 Optik: Reflexion Totalreflexion 𝑠𝑠𝑠𝛼1 𝑛2 = 𝑠𝑠𝑠𝛼2 𝑛1 n2 > n1 (=1) Hier: n1 sei Luft einfallender Strahl α1 n1 α2 n2 In diesen Bereich kann von außen kein Licht eindringen Optische Bank 𝑠𝑠𝑠𝛼1 𝑐1 𝑐/𝑛1 𝑛2 = = = 𝑠𝑠𝑠𝛼2 𝑐2 𝑐/𝑛2 𝑛1 Kapitel 1 Optik: Reflexion Totalreflexion Ziel: Berechnung des Grenzwinkels der Totalreflexion: αg Lichtleiter: Der Lichtstahl befindet sich im optisch dichteren Medium n1 > n2 (=1) 90° sinαg sin90° n2 sinαg n2 c1 c/n1 = c = c/n = n 1 sin90° 2 2 αg n1 einfallender Strahl Falls 𝑠𝑠𝑠𝛼𝑔 > 𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = sinαg n2 ndünn sinαg = n = n 1 dicht kann der Lichtstrahl nicht entweichen optische Bank Kapitel 1 Optik: Reflexion Totalreflexion αg : Grenzwinkel n2 sinαg = n 1 n2 > n1 (=1) n2 αg n1 αgGlas = 41° einfallender Strahl Lichtleiter, Endoskope, Glasfasern Optisch dünneres Medium Optisch dichteres Medium Optisch dünneres Medium Lichtleiter . Kapitel 1 Zur Übung In einer Glasfaser breiten sich Lichtstrahlen über eine lange Wegstrecke aus, wobei sie total reflektiert werden. Die Faser besteht aus einem Kern mit dem Brechungsindex n2 und dem Radius R. Der Kern ist umgeben von einem Mantel mit der Brechzahl n3 < n2. Die „numerische Apertur“ der Faser ist definiert als 𝑠𝑠𝑠𝛼1 . Dabei ist 𝛼1 der Einfallswinkel eines Lichtstrahls an der Stirnfläche der Faser, der an der Grenzfläche zum Mantel unter dem kritischen Winkel der Totalreflexion reflektiert wird. Zeigen Sie, dass bei einem aus der Luft in die Glasfaser eintretenden Lichtstrahl für die numerische Apertur gilt: Lösung Der Grenzwinkel zwischen Kern und Mantel lässt sich wie folgt berechen: sin α g = Aus dem Brechungsgesetz folgt, dass sin α 1 = n 2 sin( 90° − α g ) = n 2 cos α g 2 2 1 n2 n3 Aus dem trigonometrische Gesetze folgt, dass sin α g + cos α g = 1 , und n1 = nLuft =1 Damit gilt sin α 1 = n 2 cos(α g ) = n 2 1− sin α g = n 2 2 n 1− 3 n2 2 = n 22 − n32 = n3 n2 𝑠𝑠𝑠𝛼1 𝑛2 = 𝑠𝑠𝑠𝛼2 𝑛1 Kapitel 1 Optik: Reflexion n2 > n1 => Licht wird zum Lot hingebrochen α1 > α2 n2 < n1 => Licht wird vom Lot weggebrochen α1 < α2 Münze/Fisch im Wasser Luft: n=1 Wasser: n= 1.33 Glas: n = 1.46 Scheinbare Knickung eines ins Wasser getauchten Stabs www.cartoonstock.com/newscartoons/cartoonists/rsu/lowres/rsun198l.jpg Wasserglas mit Stab Kapitel 1 Zur Übung Der Brechungswinkel von Wasser relativ zu Luft beträgt 1.33. Der Brechungswinkel eines Stücks Kronglas relativ zu Luft 1.54. Berechnen Sie den Brechungswinkel von Glas relativ zu Wasser und den Grenzwinkel zwischen Glas und Wasser. Lösung: Seien c, cw, cg die Lichtgeschwindigkeit in Luft, Wasser and Glas. Der Brechungsindex von Glas relativ zu Wasser beträgt: n′ = cw cg c ng nw 1, 54 = c = = = 1,16 nw 1, 33 ng Glas ist ein stärker brechendes Medium als Wasser. Somit kann es keinen Grenzwinkel für Licht beim Übergang von Wasser in Glas geben, da der Brechungswinkel immer kleiner ist als der Einfallswinkel. Es gibt jedoch den Grenzwinkel für Totalreflexion ag für Licht beim Übergang von Glas in Wasser. sin α g = 1 1, 33 1 = = = 0 ,862 1, 54 1,16 n′ und daher α g = 59 , 6° Kapitel 1 Zur Übung . Ein kleiner leuchtender Körper liegt auf dem Grund eines 1 m tiefen Schwimmbades (n=4/3). Er emittiert nach oben Strahlen in alle Richtungen. An der Oberfläche des Wassers wird ein Lichtkreis durch die in die Luft gebrochenen Strahlen gebildet. Außerhalb dieses Kreises werden die Strahlen in das Wasser zurück reflektiert. Bestimmen Sie den Radius des Kreises. Lösung: Totalreflexion tritt auf, wenn der Einfallswinkel im Wasser größer als der Grenzwinkel αg ist. sin α g 1 1 = = = 0 , 75 und 4/3 n α g = 48, 6 Damit folgt für den Radius des Kreises: R = h tan α g = 1m ⋅ tan 0 , 75 = 1.13 m R αg h Kapitel 1 Optik: Prisma Totalreflexion im Prisma αgGlas ≈ 41° α2 = 45° α2 > αgGlas Lichtstrahl kann nicht entweichen => Totalreflexion 45° 45° α2 α2 90° 90° 45° ⇒ Umlenkung eines Lichtstrahls mittels eines Prismas (wird in fast allen optischen Aufbauten genutzt) 15 Prisma Kapitel 1 Zur Übung Wie groß ist der minimale Wert für den Brechungsindex eines 45° Prismas ABC, das ein Lichtbündel durch Totalreflexion um 90° drehen soll? Lösung: Der Strahl tritt ohne Ablenkung in das Prisma ein, da er senkrecht auf die Seite AB auftrifft (siehe Abbildung in der Vorlesung). Er bildet einen Einfallswinkel von 45° mit der Normalen and der Seite AC. Der Grenzwinkel des Prismas muß kleiner als 45° sein, um den Strahl an der Seite AC total zu reflektieren und ihn somit um 90° zu drehen. Für den minimalen Brechungsindex nmin folgt: n min sin 90° 1 = = = 1, 414 sin 45° 0 , 7071 Kapitel 1 Optik: Prisma Spektrale Zerlegung von Licht mittels eines Prismas Prisma (Dreieck als Grundfläche) Lichtstrahl wird um den Winkel δ abgelenkt Symmetrischer Durchgang: Licht im Prisma läuft senkrecht zur Symmetrieebene δ α1 α2 http://www.prisma-seminare.de/images/prisma_floyd_verwandelt.jpg Kapitel 1 Optik: Prisma Prisma (Dreieck als Grundfläche) Haupteigenschaft: Prisma bricht Licht wellenlängenabhängig Licht wird nach den Wellenlängen (spektral) zerlegt Grund: Brechzahl n eines Stoffes ist abhängig von der Wellenlänge Dispersion : Abhängigkeit der Lichtbrechung (n) von λ weißes Licht => Spektrale Zerlegung von Licht mittels eines Prismas Prisma Kapitel 1 Optik: Prisma Dispersion 1.5 1.4 λ/nm normale Dispersion: anomale Dispersion: Im Bereich von Absorptionslinien) bzw. bzw. 19 1.5 Kapitel 1 Optik: Regenbogen 1.4 λ Dispersion Sonnenlicht, weißes Licht Brechung Reflexion 42° Hauptregenbogen 1. Brechung des weißen Lichts. 2. Teil des Lichtes wird an rückwärtigen Grenzfläche reflektiert 3. Brechung des Strahls beim Austritt aus dem Tropfen . Brechung Das rote Licht wird am wenigsten, das blaue Licht wird am stärksten gebrochen. => rotes Licht hat einen etwas größeren Ablenkungswinkel als blaues. http://www.leifiphysik.de/web_ph09/umwelt_technik/13regenbogen/regenbogen_h.gif Winkel zwischen einfallendem und austretedem Strahl nimmt ab maximaler Winkel Winkel nimmt zu 42° Mittelstrahl Häufung der austretenden Strahlen etwa beim Winkel 42°! http://www.leifiphysik.de/web_ph09/umwelt_technik/13regenbogen/regenbogen_h.gif Vom obersten Tropfen fällt rotes Licht (größter Ablenkungswinkel), vom untersten Tropfen blaues Licht in unser Auge. ⇒ Außen sehen wir rot und innen blau. Beachte: In der Realität ist das Auge weit vom Regentropfen entfernt. => Die Winkel den das rote bzw. blaue Licht bilden sind nahezu gleich, nämlich ca. 42°. http://www.leifiphysik.de/web_ph09/umwelt_technik/13regenbogen/regenbogen_h.gif Kapitel 1 Optik: Prisma Regenbogen: Beispiel für Dispersion - Brechung und Reflexion des Sonnenlichts an Regentropfen Regentropfen Sonnenlicht Beobachter 42° Vor.: Der Beobachter hat die Regenwand vor und die Sonne hinter sich. Nur dann kann er in 42° - Richtung den Regenbogen sehen Wassertropfen bricht weißes Licht abhängig von λ unterschiedlich stark 23 Linse Kapitel 1 Optik: Linse Deetjen/Speckmann - Physiologie Kapitel 1 Optik: Linse Augapfel Hornhaut Linse Kapitel 1 Optik: Linse Sammellinse: Lichtstrahl α1 .α 2 Optische Achse ⇒ Licht wird 2 mal gebrochen 𝑠𝑠𝑠𝛼1 𝑛2 = 𝑠𝑠𝑠𝛼2 𝑛1 Kapitel 1 Optik: Linse Sammellinse (vereinfachte Zeichung) Lichtstrahl Optische Achse * Brennpunkt Hauptebene (Mittelebene) Licht vereinigt parallel zur optischen Achse einfallende Stahlen Kapitel 1 Optik: Linse Sammellinse (vereinfachte Zeichung) Lichtstrahl Optische Achse * Brennpunkt Hauptebene Kapitel 1 Optik: Linse Sammellinse (vereinfachte Zeichung) Lichtstrahl Optische Achse Brennweite f D= 1 f * Brennpunkt D: Brechkraft ist Kehrwert der Brennweite [D]= Dioptrin, dpt Beispiel: Sammellinse mit f = 20 cm => D = 5 dpt Dünne Linsen in kleinem Abstand: => D = D1 + D2 Linse Beachte: Reduzierung der Brennweite, wenn zwei Linsen hintereinander angebracht werden. Deshalb müssen die inversen Brennweiten addiert werden. Kapitel 1 Optik: Linse Sphärische Aberration Achsenferne Strahlen: Brennpunkt liegt näher an der Linse achsenferne Strahlen achsennahe Strahlen ⇒ Ausblenden der achsenfernen Strahlen (auch bei Spiegeln). Ansonsten ist das Bild unscharf. Linse muss darauf korrigiert werden. Optische Bank Kapitel 1 Optik: Linse Chromatische Aberration (tritt nur bei Linsen, nicht bei Spiegeln auf) Abbildungsfehler bei Linsen, rührt von der Variation der Brechzahl mit der Wellenlänge her blaues Licht ist wird stärker gebrochen - Brennweite von blauem Licht ist etwas geringer als die Brennweite von rotem Licht => Brennpunkt ist etwas dichter an der Linse http://www.rose-hulman.edu/Users/groups/packets/HTML/physopt/sphmir.gif Optische Bank Kapitel 1 Optik: Linse Zerstreuungslinse Lichtstrahl * * Optische Achse Kapitel 1 Optik: Linse Zerstreuungslinse Lichtstrahl * * virtuelles Bild Optische Achse Kapitel 1 Optik: Linse Negative Brennweite => negative Dioptrin * D= 1 f <0 f Dünne Linsen in kleinem Abstand: Beispiel: Sammellinse mit f = 10 cm => D = 10 dpt Brechkraft wird meist in reziproken Metern angegeben. D = D1 + D2 Kapitel 1 Optik: Linse Weitsichtigkeit - Hyperopie Augapfel Hornhaut Normal geformter Augapfel Korrektur des Brechkraftfehlers Augapfel verkürzter Augapfel Sammellinse Linsen Kapitel 1 Optik: Linse Kurzsichtigkeit - Myopie Augapfel Augapfel Hornhaut Normal geformter Augapfel Korrektur des Brechkraftfehlers verlängerter Augapfel Streulinsen Linsen Kapitel 1 Optik: Linse a) a) b) c) d) e) b) d) c) e) Normalsichtigkeit Kurzsichtigkeit Fern-/Weitsichtigkeit Korrektur der Kurzsichtigkeit Korrektur der Weitsichtigkeit Deetjen,Speckmann Kapitel 1 Optik: Bildkonstruktion Bildkonstruktion Kapitel 1 Optik: Bildkonstruktion Spiegel Gegenstand P Spiegelebene Bild P` des Gegenstands P virtuelles Bild (da keine „wirklichen“ Strahlen von P`ausgehen) Beachte: Nach der Spiegelung laufen die Strahlen so auseinander als kämen sie vom Punkt P` - Bei der Abbildung durch einen ebenen Spiegel werden vorn und hinten vertauscht
