Aufgaben Kreisbewegung

Übungsaufgaben zum Thema Kreisbewegung
Lösungen
1. Ein Käfer (m = 1 g) rotiert windgeschützt auf der Flügelspitze einer Windkraftanlage. Die
Rotoren der Anlage haben einen Durchmesser von 30 m und benötigen für eine
Umdrehung 2 s.
Mit welcher Kraft muss sich der Käfer mit seinen kleinen Käferbeinen am Flügel festhalten,
damit er darauf sitzen bleiben kann?
Der Käfer muss sich mit einer Kraft festhalten, die mindestens so groß ist wie die Zentripetalkraft,
die sich aus der Kreisbewegung ergibt. Es gilt also:
2
 
2⋅⋅r
2
T
v
F K = F Z = m⋅ = m⋅
r
r
= m⋅
4⋅ 2⋅r
T2
mit: m = 0,001 kg
r = 15 m
T = 2s
F Z = 0,001 kg⋅
4⋅ 2⋅15 m
 2 s
2
= 0,15 N
F Z = 0,15 N
Der Käfer muss sich also mit einer Kraft festhalten, die dem 150fachen seines Körpergewichts
entspricht.
2. Eine Achterbahn soll einen Looping durchfahren. Dabei durchfährt sie den höchsten Punkt
des Loopings mit v = 50 km/h.
Wie groß darf der Radius des Loopings höchstens sein?
Was passiert am höchsten Punkt des Loopings? Durch die angegebene Geschwindigkeit können wir
eine Zentripetalkraft berechnen. Mit actio = reactio erhalten wir eine Zentrifugalkraft, die die
Wagen der Achterbahn gegen die Schienen drückt. Diese muss mindestens so groß sein wie die
Gewichtskraft der Wagen, die nach unten zeigt. Also:
FG  FZ
v2
m⋅g  m⋅
r
2
v
r
g
km
m
= 13,89
h
s
m
g = 9,81 2
s
r  19,69 m
mit : v = 50
Der Radius des Loopings darf nicht größer als 19,7 m sein.
3. Aus welcher Höhe h muss eine Kugel reibungsfrei herabrollen, um einen senkrechten Kreis
mit dem Radius 2 m (Looping) ohne herabzufallen durchrollen zu können?
Wie schnell muss die Kugel im tiefsten und im höchsten Punkt des Loopings sein?
Um den Looping durchrollen zu können, muss die Zentripetalkraft und damit die Zentrifugalkraft
gleich der Gewichtskraft der Kugel sein. Wir können also zunächst notieren:
FG = FZ
v2
m⋅g = m⋅
r
 v =  r⋅g
Das ist die Mindestgeschwindigkeit vmin der Kugel am höchsten Punkt des Loopings.
Zuerst eine Skizze:
1
Für die erforderliche Höhe h, die die Kugel vor
dem Looping herabrollt, benötigen wir den
Energieerhaltungssatz. Am Punkt 1 haben wir
ausschließlich potentielle Energie vorliegen,
die sich auf dem Weg in Richtung des tiefsten
Punkts 2 in kinetische Energie umwandelt. Im
Punkt 3, dem höchsten Punkt, widerum haben
wir kinetische und potentielle Energie
vorliegen. Daraus folgt:
3
h1
r
E pot ,1 = E kin,2 = E kin ,3 E pot ,3
1
1
2
2
2
m⋅g⋅h1 = ⋅m⋅v 2 = ⋅m⋅v 3  m⋅g⋅h3
2
2
In der letzten Zeile bedeuten:
h1 die Höhe, von der die Kugel herabrollen muss
v2 die Geschwindigkeit im Punkt 2 (= vmax)
v3 die Geschwindigkeit im Punkt 3 (= vmin)
h3 die Höhe von Punkt 3 (= 2r)
Zunächst wollen wir die benötigte Höhe berechnen:
1
m⋅g⋅h1 = ⋅m⋅v 23  m⋅g⋅h3
2
mit : v 3 =  r⋅g
h3 = 2⋅r
1
m⋅g⋅h1 = ⋅m⋅r⋅g  m⋅g⋅2⋅r
2
1
5
h1 = ⋅r  2⋅r = ⋅r
2
2
mit: r = 2 m
h1 = 5 m
h3
Die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt (Punkt 2) erhalten wir auch aus der Energieerhaltung:
1
m⋅g⋅h1 = ⋅m⋅v 22
2
v 2 =  2⋅g⋅h1

m
v 2 = 2⋅9,81 2⋅5m
s
m
v 2 = 9,9
s
Für die Geschwindigkeit in Punkt 3 haben wir schon notiert: v 3 =  r⋅g

v 3 = 2 m⋅9,81
v 3 = 4,43
m
s
m
s2
4. Wie oft müsste sich die Erde täglich um ihre Achse drehen, damit die Erdanziehung am
Äquator aufgehoben werden würde (g am Aquator: 9,78 m/s2, Erdradius: 6370 km)?
Es gilt:
FG = FZ
v2
m⋅g = m⋅
 v =  r⋅g
r
mit : v = 2⋅⋅r⋅f
 2⋅⋅r⋅f =  r⋅g
f=
f=

 r⋅g
2⋅⋅r
6370⋅103 m⋅9,78
m
s2
2⋅⋅6370⋅10 3 m
−4 −1
f = 1,97⋅10 s
Da die Drehfrequenz pro Tag gefragt war, müssen wir das Ergebnis noch umrechnen:
60 s 60 min 24 h 86400 s
⋅
⋅
=
1 min
1h
1d
1d
Damit:
f = 1,97⋅10−4 s−1⋅
86400s
1d
−1
f = 17 d
Die Erde müsste sich am Tag 17-mal um die eigene Achse drehen, damit die Schwerkraft am
Äquator aufgehoben würde.
5. Eine fiktive Raumstation hat die Form einer Tonne mit einem Radius von 9 m.
Wie schnell müsste sie sich in der Schwerelosigkeit drehen, damit an der
Außenwand künstlich die Schwerkraft der Erde hergestellt würde?
Wie groß ist die Drehfrequenz?
Die Schwerkraft der Erde weist einen Ortsfaktor von 9,81 m/s2 auf. Also muss hier gelten:
FG = FZ
v2
m⋅g = m⋅
r
v =  r⋅g

v = 9m⋅9,81
v = 9,4
m
s2
m
s
Mit dem Ergebnis kann man weiterrechnen:
v = 2⋅⋅r⋅f
v
f=
2⋅⋅r
m
9,4
s
f=
2⋅⋅9m
f = 0,17 s−1 oder
f = 9,96 min−1
6. Angenommen, zwei identische Gegenstände bewegen sich auf Kreisen mit gleichem
Durchmesser, der eine Gegenstand bewegt sich aber zweimal so schnell wie der andere.
Die Zentripetalkraft, die erforderlich ist, um den schnelleren Gegenstand auf der
kreisförmigen Bahn zu halten, ist
1.
2.
3.
4.
genauso groß wie die Kraft, die den langsameren Gegenstand auf der Bahn hält.
ein Viertel so groß wie die Kraft, die den langsameren Gegenstand auf der Bahn hält
halb so groß wie die Kraft, die den langsameren Gegenstand auf der Bahn hält
viermal so groß wie die Kraft, die den langsameren Gegenstand auf der Bahn hält.
Bitte begründe die Antwort.
Der Zusammenhang zwischen Zentripetalkraft FZ und der Geschwindigkeit v ist folgender:
FZ ∼ v2
Daraus folgt: Wenn die Geschwindigkeit verdoppelt wird, vervierfacht sich die
Zentripetalkraft, also ist Antwort 4 die richtige.
7. Mit welcher Geschwindigkeit darf ein Auto höchstens um die Kurve fahren, wenn diese
einen Radius von 75 m aufweist? Die Fahrbahn ist nicht geneigt und der Reibkoeffizient
zwischen Reifen und Straße beträgt f = 0,6.
Die einzige Kraft, die die Kreisbewegung ermöglicht, ist die Reibkraft zwischen Reifen und Straße.
Damit können wir schreiben:
FR = FZ
v2
m⋅g⋅f = m⋅
r
v =  r⋅g⋅f

m
v = 75m⋅9,81 2⋅0,6
s
m
v = 21,01 oder
s
km
v = 75,64
h
8. Auf einer um 30° geneigten Kurve sollen drei Radfahrer im Abstand von 1 m nebeneinander
im Kreis fahren. Der Kurveninnenradius, und damit die Fahrbahn des untersten Radfahrers,
beträgt 20 m. Die Reibung zwischen der Fahrbahn und den Autoreifen wird durch den
Koeffizienten f = 0,5 berücksichtigt.
Mit welcher Geschwindigkeit muss der mittlere Radfahrer fahren, damit er nicht mit
dem unteren Fahrer zusammenstößt?
Gefragt ist nach der Geschwindigkeit:
√
F Z⋅r
v2
F Z = m⋅
→ v=
r
m
Der Radius des mittleren Radfahrers beträgt r = 21 m. Die Zentripetalkraft wird durch die geneigte
Fahrbahn und durch die Reibung erbracht. Hier gilt der Zusammenhang:
F Z = F G⋅ ( tan α + f )
Die erbrachte Zentripetalkraft (zweite Frmel) wird in die erste Formel mit der benötigten
Zentripetalkraft eingesetzt:
√
√
v=
v=
F G⋅ ( tan α + f )⋅r
m
m⋅g⋅ ( tan α + f )⋅r
m
v = √ g⋅ ( tan α + f )⋅r
√
m
⋅ ( tan 30 ° + 0,5 )⋅21 m
s2
m
v = 14,90
oder
s
km
v = 53,63
h
v = 9,81
Er muss also mit mindestens 53,63 km/h fahren, um auf der Position zu bleiben.
9. Eine Eistänzerin dreht auf dem Eis eine Pirouette. Sie dreht sich in einer Sekunde drei Mal
um die eigene Achse. Dabei hat sie die Arme weit von sich gestreckt und man kann den
Radius ihres sich drehenden Körpers mit r = 0,8 m annehmen.
Auf welche Frequenz steigt ihre Drehbewegung, wenn sie die Arme an den Körper zieht
und damit einen Körperradius von etwa 0,3 m erzeugt? Die Geschwindigkeit v verändert
sich dadurch nicht.
Die Geschwindigkeit hängt sowohl von dem Radius als auch von der Frequenz ab:
v = 2⋅π⋅r⋅f
Da die Geschwindigkeit als konstant gelten soll, ist das Produkt aus Radius und Frequenz konstant:
v
= r⋅f
2⋅π
r⋅f = konstant
r1⋅f 1 = r 2⋅f 2
mit :r 1 = 0,8 m
r 2 = 0,3m
f 1 = 3 s−1
r
0,8 m
f 2 = 1 ⋅f 1 =
⋅3 s−1
r2
0,3 m
f 2 = 8 s−1