Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen
1. Lineare Gleichungen
Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist und a, b reelle Zahlen sind.
Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = ab , falls a 6= 0 ist. Es reicht
durch den Koeffizienten von x zu teilen und man findet sofort x.
Sei jetzt a = 0 also 0x = b, d.h. 0 = b. Wir dürfen nie durch Null teilen!
Falls b = 0, ist für alle x ∈ R die Identität 0 = b wahr. Die Lösungsmenge der Gleichung
ist R (alle reelle Zahlen).
Falls b 6= 0, ist für alle x ∈ R die Identität 0 = b falsch. Die Lösungsmenge der Gleichung
ist ∅ (die leere Menge).
ax = b
man teilt durch den Koeffizienten a, falls a 6= 0
Beispiel: x = 8 ergibt x = 8 also L = {8}.
Beispiel: 2x = 6 ergibt x = 3 also L = {3}.
Beispiel: 2x = 4π ergibt x = 2π also L = {2π}.
Beispiel: 3x = 4π ergibt x = 43 π also L = { 34 π}.
Beispiel: πx = 4 ergibt x =
4
π
also L = { π4 }.
Beispiel: 0x = 0 ergibt L = R.
Beispiel: 0x = 1 ergibt L = ∅.
Beispiel: x = 0 ergibt L = {0}.
Die Gleichung ax + c = 0 ist auch eine lineare Gleichung in einer Variablen. Wir können
sie als ax = −c umformen, also gibt es hier nichts Neues.
Beispiel: 2x + 6 = 0 ergibt 2x = −6, also x = −3, also L = {−3}.
Beispiel: 2x − 6 = 0 ergibt 2x = 6, also x = 3, also L = {3}.
2. Quadratische Gleichungen
Sei die Gleichung ax2 + bx + c = 0 gegeben, wobei x die Unbekannte ist und a, b, c reelle
Zahlen sind, und a 6= 0. Wir definieren
∆ = b2 − 4ac
Die Gleichung hat:
• falls ∆ < 0: keine reelle Lösung
• falls ∆ = 0: genau die reelle Lösung x = −b
2a
• falls ∆ > 0: genau die zwei reellen Lösungen
√
√
√
−b + ∆
−b − ∆
−b ± ∆
x1 =
x2 =
also x1,2 =
2a
2a
2a
Es reicht die Formeln
1
∆ = b2 − 4ac
x1,2 =
√
−b± ∆
2a
zu merken, indem man natürlich nur eine Lösung findet falls ∆ = 0 und indem man keine
Lösung findet falls ∆ < 0 (negative Zahlen besitzen keine Quadratwurzel!).
√
2± 0
= 1, also L = {1}.
2
√
3x2 − 6x + 3 = 0 ergibt ∆ = 0 und x = 6±6 0 = 1, also L = {1}.
√
x2 − 2x = 0 ergibt ∆ = 4 und x1,2 = 2±2 4 also L = {0, 2}.
√
3x2 − 6x = 0 ergibt ∆ = 36 und x1,2 = 6±6 36 also L = {0, 2}.
2
Beispiel: x2 − 2x + 1 = 0 ergibt ∆ = 0 und x =
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel: x − 2x + 3 = 0 ergibt ∆ = −8 also L = ∅.
Beispiel: 3x2 − 6x + 9 = 0 ergibt ∆ = −72 also L = ∅.
Beispiel: x2 − 2x − 3 = 0 ergibt ∆ = 16 und x1,2 =
√
2± 0
2
6± 144
also L = {−1, 3}.
6
√
√
√
x2 − 3x + 1 = 0 ergibt ∆ = 5 und x1,2 = 3±2 5 also L = { 3+2 5 , 3−2 5 }.
√
√
√
3x2 − 9x + 3 = 0 ergibt ∆ = 45 und x1,2 = 9±6 45 also L = { 3+2 5 , 3−2 5 }.
2
Beispiel: 3x2 − 6x − 9 = 0 ergibt ∆ = 144 und x1,2 =
Beispiel:
Beispiel:
also L = {−1, 3}.
√
Die Gleichung 0x + bx + c ist keine quadratische Gleichung, wir kehren zurück zu einer
linearen Gleichung.
Die Gleichung x2 = x + 1 ist immer noch eine quadratische Gleichung, nur anders geschrieben. Die Gleichung ex + x2 = ex + x + 1 ist immer noch eine quadratische Gleichung,
nach Abziehen von ex aus beiden Seiten.
3. Anordnung der reellen Zahlen
Die reellen Zahlen sind angeordnet, da wir diese wie üblich auf der Zahlgeraden veranschaulichen können. Seien a und b reelle Zahlen. Wir sagen a < b (kleiner ), falls sich a
links von b befindet. Mit dem Begriff a ≤ b (kleiner-gleich) erlauben wir sowohl a < b,
als auch a = b. Analog definiert man a > b (größer ) und a ≤ b (größer-gleich).
Für alle reellen Zahlen a, b, c gelten:
a < b und b < c
a<b
⇒
a < b und c > 0
a < b und c < 0
⇒
a<c
(Analog : a > b und b > c
⇒
a > c)
(Analog : a > b
⇒ a + c > b + c)
(Analog : a > b und c > 0 ⇒ ac > bc)
(Analog : a > b und c < 0 ⇒ ac < bc)
a+c<b+c
⇒ ac < bc
⇒ ac > bc
Beispiele: e < 3 und 3 < π implizieren e < π; e < π impliziert e + 5 < π + 5; e < π
impliziert 2e < 2π; e < π impliziert −e > −π.
Beispiele: e > 2 und 2 > 1 implizieren e > 1; e > 1 impliziert e + 5 > 6; e > 1 impliziert
5e > 5; e > 1 impliziert −5e < −5.
Analoge Regeln gelten für a ≥ b bzw. a ≤ b.
Vorsicht: Mit a > b (bzw. a < b) und c ≥ 0 weiss man nur ac ≥ bc (bzw. ac ≤ bc). Mit
a > b (bzw. a < b) und c ≤ 0 weiss man nur ac ≤ bc (bzw. ac ≥ bc).
Zum Beispiel: 3 > 2 aber 3 · 0 6> 2 · 0, da 3 · 0 = 2 · 0 = 0 ist.
2
4. Lineare Ungleichungen
Sei die Ungleichung ax ≥ b gegeben, wobei x die Unbekannte ist und a, b reelle Zahlen
sind und a 6= 0. Dann haben wir x ≥ ab falls a > 0 und x ≤ ab falls a < 0.
Analog bearbeitet man ≤, >, <. Also teilt man durch den Koeffizient a (selbstverständlich
nur falls dies 6= 0 ist). Man muss die Ungleichung umdrehen, wenn man durch eine
negative Zahl geteilt hat. Warum eigentlich?
Erklärung mit einem Beispiel: −x > 6
x < −6
die Gegenzahl ist sehr positiv ⇔ die Zahl ist sehr negativ
Beispiel: −2x > 12
durch −1 geteilt).
−x > 6 (wir haben einfach durch 2 geteilt)
x < −6 (wir haben
Beispiel: 5x > 7 ergibt x > 57 , also L = ( 75 , +∞).
−7
, also L = ( −7
, +∞).
5
5
x < 57 , also L = (−∞, 75 ).
< −7
, also L = (−∞, −7
).
5
5
Beispiel: 5x > −7 ergibt x >
Beispiel: −5x > −7 ergibt
Beispiel: −5x > 7 ergibt x
Beispiel: −5x > 0 ergibt x < 0, also L = (−∞, 0).
Anmerkung: mit a = 0 hat man 0 ≥ b, was für ein festes b entweder wahr oder falsch ist.
Die Lösungsmenge ist dann L = R bzw. L = ∅.
Die Ungleichung ax + c ≥ 0 schreibt man auch als ax ≥ c, also ist dies eine lineare
Ungleichung.
Graphisch: Eine Ungleichung ax+b ≥ 0 mit a 6= 0 kann man mit der Geraden y = ax+b
veranschaulichen. Man untersucht welche Werte für x einem positiven y entsprechen (also
wann“ die Gerade oberhalb der x-Achse liegt).
”
3
3
2
2
1
1
−3 −2 −1
−1
1
2
−3 −2 −1
−1
3
−2
−2
−3
−3
Beispiele: (mit y = x + 1) x + 1 > 0
1
2
3
x > −1 und (mit y = −x + 1) −x + 1 > 0
x < 1.
5. Quadratische Ungleichungen
Sei die Ungleichung ax2 + bx + c > 0 gegeben, wobei x die Unbekannte ist und a, b
reelle Zahlen sind und a 6= 0. Wir lösen am besten zunächst die Gleichung ax2 + bx +
c = 0 und zeichnen die entsprechende Parabel. Dann lesen wir am Graphen ab, welche
Intervalle richtig sind. (Die Nullstellen der Gleichung ergeben, wo die Parabel die x-Achse
schneidet.)
3
y = x2 − 3x + 2
y = x2 − 4x + 4
3
3
2
2
1
1
−1
1
2
3
4
5
−1
1
2
3
−1
Beispiel: x2 − 3x + 2 < 0 hat Lösungsmenge (1, 2).
Beispiel: x2 − 3x + 2 ≤ 0 hat Lösungsmenge [1, 2].
Beispiel: x2 − 3x + 2 > 0 hat Lösungsmenge (−∞, 1) ∪ (2, ∞).
Beispiel: x2 − 3x + 2 ≥ 0 hat Lösungsmenge (−∞, 1] ∪ [2, ∞).
Beispiel: x2 − 4x + 4 < 0 hat Lösungsmenge ∅.
Beispiel: x2 − 4x + 4 ≤ 0 hat Lösungsmenge {2}.
Beispiel: x2 − 4x + 4 > 0 hat Lösungsmenge R \ {2} = (−∞, 2) ∪ (2, ∞).
Beispiel: x2 − 4x + 4 ≥ 0 hat Lösungsmenge R.
y = x2 − 3x + 3
y = −x2 + 3x − 3
1
3
−2
−1
2
1
2
3
−1
1
−2
−3
−1
1
2
3
4
Beispiel: x2 − 3x + 3 < 0 hat Lösungsmenge ∅.
Beispiel: x2 − 3x + 3 ≤ 0 hat Lösungsmenge ∅.
Beispiel: x2 − 3x + 3 > 0 hat Lösungsmenge R.
Beispiel: x2 − 3x + 3 ≥ 0 hat Lösungsmenge R.
Beispiel: −x2 + 3x − 3 < 0 hat Lösungsmenge R.
Beispiel: −x2 + 3x − 3 ≤ 0 hat Lösungsmenge R.
Beispiel: −x2 + 3x − 3 > 0 hat Lösungsmenge ∅.
Beispiel: −x2 + 3x − 3 ≥ 0 hat Lösungsmenge ∅.
6. Gleichungen oder Ungleichungen mit dem Betrag
Wie man direkt am Graphen der Betragsfunktion ablesen kann:
• Es gilt
|x| < c ⇐⇒ −c < x < c ⇐⇒ x ∈ (−c, c)
insbesondere gibt es für c ≤ 0 keine Lösung.
4
• Es gilt
|x| ≤ c ⇐⇒ −c ≤ x ≤ c ⇐⇒ x ∈ [−c, c]
Insbesondere gibt es für c < 0 keine Lösung und für c = 0 nur die Lösung x = 0.
• Es gilt
|x| > c ⇐⇒ x > c oder x < −c ⇐⇒ x ∈ (−∞, −c) ∪ (c, +∞)
insbesondere hat man für c < 0 als Lösungsmenge R und für c = 0 als Lösungsmenge
R \ {0}. Anmerkung: |x| > c ist das Gegenteil von |x| ≤ c deswegen sind die entsprechenden Lösungsmengen komplementär.
• Es gilt
|x| ≥ c ⇐⇒ x ≥ c oder x ≤ −c ⇐⇒ x ∈ (−∞, −c] ∪ [c, +∞)
insbesondere hat man für c ≤ 0 als Lösungsmenge R. Anmerkung: |x| ≥ c ist
das Gegenteil von |x| < c, deswegen sind die entsprechenden Lösungsmengen
komplementär.
Lösungsverfahren für Gleichungen oder Ungleichungen mit dem Betrag: Jeder
Betrag entspricht zwei Fällen. Jeder Fall ergibt ein zu lösendes System. Die Lösungsmenge
eines Systems ist der Durchschnitt der Lösungsmengen der ensprechenden Gleichungen/Ungleichungen. Um die verschiedenen Fälle zu kombinieren, also um die endgültige
Lösungsmenge zu bestimmen, bilden wir die Vereinigung der Lösungsmengen der verschiedenen Fälle.
Beispiel: |x| = 3 ergibt
x≥0
x=3
x<0
−x = 3
und
also L = {3} ∪ {−3} = {3, −3}
Beispiel: |x − 7| = 3 ergibt
x−7≥0
x−7=3
und
x−7<0
also L = {10} ∪ {4} = {10, 4}
−(x − 7) = 3
Beispiel: |x − 7| > 3 ergibt
x−7≥0
x−7<0
und
x−7>3
−(x − 7) > 3
Das erste System ist zu x−7 > 3 äquivalent und hat Lösungsmenge (10, +∞). Das zweite
System ist zu (x − 7) < −3 äquivalent und hat Lösungsmenge (−∞, 4). Die ursprüngliche
Ungleichung hat Lösungsmenge L = (−∞, 4) ∪ (10, +∞).
Beispiel: |x2 − 9| ≤ x + 3 ergibt
2
x2 − 9 ≥ 0
x −9<0
und
x2 − 9 ≤ x + 3
−(x2 − 9) ≤ x + 3
Für das erste System: die erste Gleichung hat Lösungsmenge (−∞, −3] ∪ [3, +∞) und
die zweite Gleichung hat Lösungsmenge [−3, 4]. Die Lösungsmenge des ersten Systems
ist dann der Schnitt {−3} ∪ [3, 4]. Für das zweite System: Die erste Gleichung hat
Lösungsmenge (−3, 3) und die zweite Gleichung hat Lösungsmenge (−∞, −3] ∪ [2, +∞).
Die Lösungsmenge des ersten Systems ist dann der Schnitt [2, 3). Die ursprüngliche Ungleichung hat Lösungsmenge L = {−3} ∪ [3, 4] ∪ [2, 3) = {−3} ∪ [2, 4].
5
Gleichungen und Ungleichungen mit dem Betrag sollten Sie sich veranschaulichen, indem
Sie die entsprechenden Funktionen zeichnen. Der Graph der Funktion |f (x)| ist gleich dem
Graphen der Funktion f (x), wobei aber die negativen Werte bzgl. der x-Achse gespiegelt
werden. Falls f z.B. eine Gerade bzw. eine Parabel ist, dann ist |f | stückweise eine Gerade
bzw. eine Parabel. Für die obigen Beispiele zeichnet man:
y = |x − 7| und y = 3
y = |x2 − 9| und y = x + 3
10
10
5
5
4
7
10
−3
234
7. Gleichungen mit Wurzeln, Exponential und Logarithmus
Um einfache Gleichungen mit Quadratwurzeln zu lösen, ist das übliche Lösungsverfahren
Quadrieren. Vorsicht: Durch Quadrieren kann man zu viele Lösungen finden. Beispiel:
√
√
x−3= x−1
x−3=x−1
x=2
aber diese Lösung können wir nicht akzeptieren, da wir ansonsten die Quadratwurzel von
x − 3 = −1 ziehen. Also gibt es keine Lösung.
Lösungsverfahren: Eine Gleichung mit Wurzeln kann man potenzieren. Mit Exponentialfunktionen bzw. Logarithmen kann man logarithmieren bzw. exponentieren. Wichtig ist,
dass man nichts verbotenes macht, z.B. darf man keine Quadratwurzel oder Logarithmus
einer negativen Zahl ziehen.
Am besten die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung oder Ungleichung
einsetzen und verifizieren, dass es sich um gültige Lösungen handelt.
√
Beispiel: x = 2 ergibt x = 4 und die Lösungsmenge ist {4}.
√
Beispiel: x = −2 ergibt x = 4 und die Lösungsmenge ist ∅.
√
Beispiel: − x = −2 ergibt x = 4 und die Lösungsmenge ist {4}.
√
Beispiel: − x = 2 ergibt x = 4 und die Lösungsmenge ist ∅.
√
Beispiel: Für 5 x = 2 potenzieren wir und finden x = 32.
√
Beispiel: Für 5 x = −2 potenzieren wir und finden x = −32.
Beispiel: Für 2x = 8 ziehen wir log2 und finden x = 3.
Beispiel: Für 2x = −8 dürfen wir nicht den Logarithmus von −8 ziehen. Diese Gleichung
hat keine Lösung da 2x ≥ 0 und −8 < 0 ist.
Beispiel: Für log10 x = 2 exponentieren wir und finden x = 102 = 100.
6