Energetik der Elektronen

5. Energetik der Elektronen
5.1 Elektrische Leitfähigkeit kondensierter Materie
Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe bei Raumtemperatur
s
-1
-1
W cm
10+6
10+3
1
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
Cu
Metalle
Bi
Graphit
Salzschmelzen Flüssigkeiten
Feste
Elektrolyte
Halbleiter Reines
Wasser
Ge
Si
NaCl
Luft
Glas
Isolatoren
PVC
Bernstein,Teflon
Glimmer, Diamant
1
Valenzelektronen der Atome werden bei Metallen zu den Leitungselektronen
· Bildung eines „Sees“ aus freien Elektronen
· Elektronische Bindung, Elektronenleitung
+ + + + + + + +
Leitungselektronen
+ + + + + + + +
Ionenrümpfe
+ + + + + + + +
Anteil der Ionenrümpfe
am Kristallvolumen:
Alkalimetalle: 10-20%
Edelmetalle: 80-95%
E
+ + + + -+ + + +
-
-
-
-
-
-
+ + -+ + + + + +
-
-
-
-
-
+ + + + + + + +
Kraft F auf Leitungselektronen im
Elektrischen Feld E:
F = me·dv/dt = - eoE
dv = - eoE·dt/me
2
5.2 Streuung der Elektronen im Kristall
Leerstelle
Oberfläche
Zwischengitteratom
Konzentrationsschwankung
ElektronPhononStreuung
Versetzung
Kaum Elektron-Elektron
Streuung!!!
Pauli-Prinzip
streuendes Elektron
Isotopenschwankung
Mittlere freie Weglänge:
Stromdichte j im elektrischen Feld:
j=sE
In der Zeit ∆t zurückgelegte Wegstrecke: l = vF ∆t
Definition der elektrischen Stromdichte: j = - eo (N/V)∆v
∆v = - eo E l / (mevF)
Cu:
Neo2 l
Elektrische Leitfähigkeit: s =
l = 4·10-8 m (T=300 K)
V me v F
l = 0,4 cm (T=4 K)
3
Hall-Effekt in Metallen:
Lorentz-Kraft:
F = eo (v x B)
Bestimmung der
Ladungsträgerkonzentration N
Hallfeld:
Ey = Rh jx Bz
Bz
Hallkonstante:
Rh = - (eo N / V)-1
+ + + + + + +
jx
jx
Ey
Metall
Rh(exp.) [10-24
CGS Einheiten]
Ladungsträger Rh(ber.) [10-24
/Atom
CGS Einheiten]
Li
- 1,89
1 Elektron
- 1,48
Na
- 2,619
1 Elektron
- 2,603
Cu
- 0,6
1 Elektron
- 0,82
Al
+ 1,136
1 Loch
+ 1,135
In
+ 1,774
1 Loch
+ 1,780
4
5.3 Fermiverteilung der Elektronen
Elektronen: halbzahliger Spin
Pauli-Prinzip: jeder Energiezustand ist einfach besetzt.
System mit Einteilchenenergieniveaus Ei, Entartungsgrad gi für jedes Niveau
und Besetzungszahl ni (ni ≤ gi)
Thermisches Gleichgewicht:
dF = Â
i
∂F
d ni
∂ ni
Teilchenzahlerhaltung:
Âd n
i
=0
i
Freie Energie F des Elektronensystems:
†
F = U - T S; U = Â n i E i ; S = kB†
ln P
i
Zahl der Permutationen bei der Besetzung der Zustände durch die Elektronen:
†
P=
gi!
’ n !(g - n )! ; S = kB Â [lngi! - lnni! - ln(gi - ni )!]
i
i
i
i
i
Chemisches Potential µ:
†
∂F
ni
m=
= E i + kB T ln
∂ ni
gi :-n i
5
Fermi-Dirac Verteilung
†
f (E,T)
f (E,T) =
Gilt nur für Fermiteilchen
mit halbzahligem Spin
1
E-m
exp
+1
kB T
T = 0K: µ = EF
EF: “Fermi-Energie”
TF = EF/kB = 5·104 K
2T
1
0K
300 K
5000 K
1
2
3
4
5
6
E/k B
6
5.4 Fermikante und Fermienergie
T = 0K: Alle Zustände E < EF besetzt.
Große mittlere freie Weglänge l und hohe Fermi-Temperatur TF ≈ 50 000 K
nur quantenphysikalisch erklärbar.
f(E,T)
de
de
1
3
fE
1
2
EF
fE
E
7
Zahl der Elektronen, die miteinander wechselwirken:
de/EF ≈ eo|E| l /EF
|E| = 1000 V/m
EF = 10-18 J
l = 4·10-8 m
de/EF = 5·10-6
WW nur mit jedem
200 000 st Elektron!
Fermi-Energie und -Geschwindigkeit des freien Elektronengases bei T = 0K.
EF =
h2
2 me
(3
#2
vF = h kF/me
Ekin = p2/2 me
p = h k = me v
n)2/3
Beispiel: Cu
n = 8,5·1022 cm-3
kF = 1,36 ·108 cm-1
vF = 1,57 ·108 cm/s
EF = 7,0 eV
TF = 81 600 K
8
5.5 Zustandsdichte freier Elektronen
Hohe Fermi-Energie:
1.) Fermiteilchen (Pauli-Prinzip)
2.) kleine Elektronenmasse
3.) Elektronenzahldichte
Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im 3-dimensionalen Raum:
h2 Ê ∂2
∂2 ∂2 ˆ
⋅ Á 2 + 2 + 2 ˜ ⋅ y k ( r ) = Ek y k ( r )
2me Ë ∂x ∂y ∂z ¯
Periodische Randbedingungen
†
†
y k ( r + L, y, z ) = y k ( x, y, z )
Lösung der Schrödinger-Gleichung: laufende ebene Wellen
yk = exp (i k·r)
kx = 0; ±2π/L; ±4π/L
9
F
Energieeigenwerte:
kz
h2 2 h2
Ek =
k =
( kx2 + k 2y + k z2 )
2me
2me
kF
ky
Zahl der Zustände E ≤ EF
†
Fermi-Fläche bei
der Energie EF
kx
4p kF3
V
3
N = 2⋅
=
⋅
k
F
3( 2p / L )3 3p 2
D(E)
T=0K
Zustandsdichte der Elektronen:
T>0K
†
3/2
Ê
ˆ
dN
V
2m
D( E ) =
= 2 ⋅ Á 2 e ˜ ⋅ E1 / 2
dE 2p Ë h ¯
EF E
10
†
5.6 Elektronenwellen
U
Vakuum
L
Vakuum
Austrittsarbeit
a
0
r
Periodisches Gitterpotential
Laufende Welle
~ cos(p x/a)
yy+
l = 2a
y+
x
~ sin(p x/a)
destruktiv
Elektronen-Interferenz
Aufenthaltswahrscheinschlichkeit
x
y+
y-
2
2
a
Verschiedene Energien für |y+|2 und |y-|2
konstruktiv
· Energielücke bei k = n#/a (n=0,1,2..)
· erlaubte Zonen (Energiebänder)
· verbotene Zonen (Bandlücken)
x
11
x
5.6 Brillouin-Zonen und Elektronenwellen
Brillouinzonen im dreidimensionalen Gitter:
Streuung der Elektronenwellen am Rand der Brillouin-Zonen
Resonanz-Stellen l = 2 a/n oder |k| = n#/a
3. Brillouin-Zone
E
y+
y-
∆E2 {
2. Brillouin-Zone
y+
y-
∆E1 {
1. Brillouin-Zone
2p
a
k
p
a
0
p
a
2p
a
E(k): Dispersionsrelation:
Weit weg von Resonanzstellen
E ~ k2 (freie Elektronen)
In der Nähe der Resonanzstellen
E(k) hängt vom Gitterpotential
U(r) ab.
Energielücke ∆E an den
Resonanzstellen k = n#/a
a
12
Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter
Kubisch raumzentriertes Gitter
mit drei markierten Richtungen
Bloch-Funktionen in den drei
ausgezeichneten Richtungen
[111]
[110]
[100]
Wellenfunktion eines Elektrons
im Gitter yk setzt sich zusammen
aus freiem Elektronen-Anteil yk(f)
und dem Gitterpotential uk:
yk (r) = yk(f) (r)· uk(r) =
A·exp(ikr)· uk(r)
yk (r): „Bloch-Funktionen“
Die gestrichelten Kurven entsprechen den
Zuständen freier Elektronen yk(f) , die rot
durchgezogenen Kurven den für ein
bestimmtes Gitterpotential berechneten
Zuständen der Elektronen yk = yk(f) uk.
13
Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter
Kubisch raumzentriertes Gitter
mit drei markierten Richtungen
Bloch-Funktionen in den drei
ausgezeichneten Richtungen
[111]
[110]
[100]
Wellenfunktion eines Elektrons
im Gitter yk setzt sich zusammen
aus freiem Elektronen-Anteil yk(f)
und dem Gitterpotential uk:
yk (r) = yk(f) (r)· uk(r) =
A·exp(ikr)· uk(r)
yk (r): „Bloch-Funktionen“
Die gestrichelten Kurven entsprechen den
Zuständen freier Elektronen yk(f) , die rot
durchgezogenen Kurven den für ein
bestimmtes Gitterpotential berechneten
Zuständen der Elektronen yk = yk(f) uk.
14
5.7 Energieniveaus, Zustandsdichte und Fermiverteilung
Fermienergie:
EF = h2(3#2n)2/3/me
EF = mevF2/2
Emax
D(E)
E
fF(E,T > 0K)
w*(Ei)
EF
Ei
fF(E,T = 0 K)
Grundzustand
0
fF = 1
w*, D, fF
Fermiverteilung:
fF(E,T) = 1/(exp(E-µ)/kBT + 1)
T = 0K: µ = EF
fF << 1 bzw. E >> kBT
Boltzmannverteilung
fB (E,T) = 1/exp(E/kBT)
Emax: Bindungsenergie der
Elektronen im Kristall
15
5.8 Spezifische Wärme der Elektronen
Analog zum Verfahren zur Bestimmung der spezifischen Wärme des Gitters
E
ˆ
Ê dE e ˆ
d Ê max
ÁÁ Ú E ⋅ f F ( E,T )⋅ D( E ) dE ˜˜
C =Á
˜ ª
Ë dT ¯V dT Ë 0
¯V
e
V
Zustandsdichte eines freien Elektronengases:
†
( 2me )3 / 2
D( E ) =
⋅ E
2 3
p h
T << TF:
†
†
p2
p2
T
2
C ª
D( EF )k B T ª nkB ⋅
≡ gT
3
2
TF
e
V
Aus Messungen der spezifischen Wärme als Funktion der Temperatur bei
tiefen Temperaturen wird die elektronische Zustandsadichte D(EF) bestimmt.
16
Gesamte spezifische Wärme eines kristallinen Metalls bei tiefen Temperaturen:
CV = gT + bT3;
CV/T = g + bT2
Beiträge der Elektronen und
Phononen zur spezifischen Wärme;
Zusätzliche Beiträge in:
• amorphen Metallen
• magnetischen Metallen
Metall
g exp
(10-3 J mol-1K-2)
g
Li
Na
K
Cu
Ag
Al
Fe
Co
Ni
1.7
1.7
2.0
0,69
0,66
1,35
4,98
4.98
7,02
g exp
g fEl
2,3
1,5
1,1
1,37
1,02
1,6
10,0
10,3
15,3
17
5.9 Magnonen
Strukturelle und magnetische Ordnung
Beispiel: krz Eisen
parallele Ausrichtungen permanenter Spins
Ferromagnetismus
Magnetische Überstrukturen:
Beispiel: Antiferromagnetisches MnO
(311)
80 K, T < TN
293 K, T > TN
(311)
k' = k + G
18
Magnetische Überstruktur, durch elastische Neutronenbeugung nachgewiesen.
Magnetische Anregungen
Wechselwirkung von N Spins S:
N.
(Heisenberg-Modell)
U = - 2J S p S p+1
Â
p=1
Grundzustand:
†
Uo = - 2 N J S2
Angeregter Zustand
U1 = Uo + 4 J S2
Anregung von Spinwellen
niederenergetisch
Quantelung der Spinanregungen:
Magnonen
19
†
†
†
Bestimmung der Dispersionsrelation, Zustandsdichte und Energie analog zu Phononen:
Dispersionsrelation:
È
˘
hw = 2J S Íz - Â cos( k ⋅ d )˙; hw = ( 2J S a 2 )k 2
Î
˚
d
ka << 1
Quantisierung der Spinwellen:
Ê
1ˆ
Ek = Á nk + ˜⋅ hw k ; nk = 0, 1, 2.......
2¯
Ë
Zustandsdichte:
3/2
Ê
ˆ
1
h
1/ 2
g( w ) = 2 ⋅ Á
⋅
w
˜
4p Ë 2J S a 2 ¯
†
Verteilungsfunktion:
1
f ( E,T ) =
exp( hw / k B T ) -1
Magnonen sind Bosonen und
gehorschen der Bose-Einstein Statistik!
20
Anzahl der bei der Temperatur T angeregten Magnonen:
3/2 •
Ê
ˆ
1
h
w1 / 2
 nk = 4p 2 ÁË 2J S a2 ˜¯ Ú exp( hw / k T ) -1
B
0
k
Änderung der Magnetisierung:
†
3/2
Ê
ˆ
nk
DM ( T ) DM ( T ) 0,0587 kB T
=
 N S DM ( 0 ) ; DM ( 0 ) = SQ ⋅ ÁË 2J S ˜¯
k
Blochsche T3/2 - Gesetz
E max
†
†
UM =
Ú E ⋅ f ( E,T )⋅ g( E ) dE
0
Zustandsdichte
Verteilungsfunktion
Energie der Magnonen UM
Energie einer Mode
UM
N 3 ( kB T )5 / 2
= 2⋅
⋅
3/2
4p ( 2J S )
•
Ú
0
x1 / 2
⋅ dx
exp( x ) -1
21
Inelastische Neutronenstruktur: · Dispersionskurven
Erhaltungssätze für Energie und Wellenvektor
h 2 k 2 h 2 k' 2
=
± hw k
2Mn 2Mn
†
†
k` = k+G± K
Akustische Phononen:
K(w=0)=0
Gleichphasige Schwingungen
,
benachbarter
Atome
Optische Phononen:
Gegenphasige Schwingungen
Longitudinal
,
Transversal
22
5.10 Spezifische Wärme der Magnonen
Spezifische Wärme isolierender
ferromagnetischer Kristalle:
3/2
Ê
ˆ
dU
k T
CVM =
= 0,113k B ⋅ Á B 2 ˜
dT
Ë 2J sa ¯
M
experimentelle Bestimmung von a:
· Austauschwechselwirkung J
CVT-3/2 = a + bT3/2
CVT3/2 [erg/cm3/2]
†
C V = C VM + C VG
Ni: J = 2,14·10-2 eV
200
Y3Fe5O12
160
120
80
40
0
1
2
3
4
5
6
T3/2 [K3/2]
7
8
9
10
J etwa um Faktor 2,4
höher als in der
Molekularfeld-Theorie
(lokale Momente)
berechnet · Modell des
itineranten Magnetismus
(Bänder-Modell)
23
5.11 Niederenergetische Anregungen in amorphen Metallen
Zwei-Niveau-Systeme/Tunnelsysteme
|1>
Potential U
Eo
|2>
V
∆
-d
0 +d
x
|y|2
verallgemeinerte Koordinate q
Bei Überlappung der Wellenfunktionen:
· Tunnelprozesse
+•
Ú y ⋅ y dx = exp( -l )†≠ 0
1
-•
2
y1 ≈ exp -a2(x+d)2
y1 ≈ exp -a2(x-d)2
Eo = hw o ; Vo = 1/ 2 mw o d 2
Tunnelparameter:
l= (2m Vo d2/h2)1/2
Tunnelaufspaltung:
∆ = hwo exp(-l)
24
Asymmetrisches Doppelmuldenpotential
Zwei-Niveau-System mit den Energien:
E1/2 = ±(e2+∆2)1/2
Beispiel:
m = 100 AME, d = 0,5Å, ∆/kB = 100 mK, ∆/h = 2ns
e
t max
Dichte der ZNS mit konstanter
Zustandsdichte P:
P Ê 4t ˆ
n( E,t ) = Ú P( E,t ) = lnÁ
˜
2
t
Ë min ¯
t min
2
Ê
ˆ
Jedes ZNS trägt mit einer C ( T ,t ) = k B Á E ˜ ⋅ exp( -E / kB T ) n( E,t )dE
Ú
ZNS
2
r
Schootky-Anomalie zur
d 0 Ë kB T ¯
(exp( -E / kB T ) + 1)
spezifischen Wärme bei
Ê 4t ˆ
†
p2 2
p2 2
=
kB P lnÁ
k B no ⋅ T
˜⋅ T ª
12
6
Ë t min ¯
•
Amorphe Metalle:
†
CV = Cvel + CVZNS + CVG = gT + aT + bT3
25
5.12 Amorphe Supraleiter
T << TC: Kondensation der Quasi-Teilchen (Elektronen) in den supraleitenden
Grundzustand · Elektronen sind vom Energieaustausch entkoppelt
Spezifische Wärme
Wärmeleitfähigkeit im Nullfeld
und im Magnetfeld B
26
5.13 Kalorimeter
27