Formelsammlung Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Formelsammlung
Theoretische Physik II: Quantenmechanik
<[email protected]>
Stand: 21.07.2006 - Version: 1.0.0
Erhältlich unter http://privat.macrolab.de
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung
“Theoretische Physik II: Quantenmechanik” von Prof.
Karlheinz Langanke an der Technischen Universität
Darmstadt im Sommersemester 2006.
2.5.1
Gebundene Zustände . . . . . . .
5
2.5.2
freier Zustand . . . . . . . . . . .
5
Endlicher Potentialtopf . . . . . . . . .
6
2.6.1 Gebundener Zustand . . . . . . .
Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen
Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und son2.6.2 Streulösung . . . . . . . . . . . .
stige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständig3 Formalisierung der Quantenmechanik
keit der Inhalte übernehmen kann.
3.1 Funktionenräume . . . . . . . . . . . . .
6
2.6
Inhaltsverzeichnis
1 Wellenfunktion
2
6
6
6
3.1.1
Hilbertraum . . . . . . . . . . . .
7
3.1.2
Verallgemeinerte statistische Interpretation . . . . . . . . . . . .
7
3.1.3
Vorgehen . . . . . . . . . . . . .
7
3.1.4
Projektor / Basiswechsel . . . . .
7
3.1.5
diskretes Spektrum . . . . . . . .
7
1.1
Schrödinger Gleichung . . . . . . . . . .
2
1.2
statistische Interpretation . . . . . . . .
2
1.3
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . .
2
3.1.6
kontinuierliches Spektrum . . . .
7
1.3.1
Diskrete Verteilung . . . . . . . .
2
3.1.7
Heisenberg’s Unschärfe . . . . . .
8
1.3.2
Wahrscheinlichkeitsdichten . . .
2
3.1.8
Energie-Zeit Unschärfe . . . . . .
8
1.4
Normierung . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.1.9
Zeitverhalten von Observablen .
8
1.5
Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4 QM in 3 Dimensionen
2 Zeitunabhängige Schrödinger Gl.
2.1
2.2
3
Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . .
8
4.1.1
Harmonische Oszillator in 3d . .
8
Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Stationäre Zustände . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Statistische Interpretation . . . .
3
2.1.2
Zustand definierter Energie (E) .
3
4.2.1
Bahndrehimpuls . . . . . . . . .
9
2.1.3
Allgemeine Lösung . . . . . . . .
3
4.2.2
Spin . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.4
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .
3
4.2.3
Spin beim Elektron . . . . . . . .
9
2.1.5
Besondere Eigenschaften . . . . .
3
Radiale Schrödingergleichung . . . . . .
10
4.3.1
∞ kugelsymmetrisches Potential
10
Wasserstoff Atom . . . . . . . . . . . . .
10
Kastenpotential mit unendlich hohen
Wänden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Harmonische Oszillatoren . . . . . . . .
4
2.3.1
Potential . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.2
Algebraische Lösung . . . . . . .
4
2.3.3
Analytische Lösung
. . . . . . .
5
2.4
Das “freie” Teilchen . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
4.1
8
4.2
4.3
4.4
5 Identische Teilchen
5.1
System unabhängiger Teilchen
11
. . . . .
6 Zeitunabhängige Störungstheorie
1
11
11
6.1
Nicht-entarteter Fall . . . . . . . . . . .
11
6.2
Entartete Störungstheorie . . . . . . . .
12
2
1 WELLENFUNKTION
12
7 Variationsverfahren
7.1
Obere Schranke . . . . . . . . . . . . . .
12
7.2
Spin / Drehimpuls Kopplung . . . . . .
12
8 Zeitabhängige Störungstheorie
1
13
~2 ∂ 2 ψ (x, t)
∂ψ (x, t)
+ V · ψ (x, t)
=−
∂t
2m ∂x2
h
2π
= 1, 0545727 · 10
• ~ =
10−22 M eV s
• de Broglie p =
−34
2π~
λ
R∞
Wahrscheinlichkeitsverteilung −∞ ̺ (x) dx = 1
Js = 6582122 ·
R∞
Mittelwert hf (x)i = −∞ f (x) · ̺ (x) dx
statistische Interpretation
2
|ψ (x, t)| dx =
Wahrscheinlichkeitsdichte ̺ (x)
a
• Ist linear in ψ. D.h. wenn ψ1 , ψ2 Lsg., dann auch
c1 ψ1 + c2 ψ2 für feste c1 , c2 .
1.2
x kontinuierlich
• Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss im Intervall
[a, b]
Z b
Pab =
̺ (x) dx
Schrödinger Gleichung
i~
Wahrscheinlichkeitsdichten
• Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereigniss zufällig zwischen x und x + dx liegt ist ̺ (x) · dx.
Wellenfunktion
1.1
1.3.2
• hxi =
R∞
−∞
x · ̺ (x) dx
2
Varianz σ 2 = x2 − hxi
1.4
Normierung
Wahrscheinlichkeit ein Teilchen
im Intervall [x, x + dx] zu finden
Normierungsbedingung Falls sich ψ statistisch interpretieren lassen soll, muss gelten
• Durch Messung Kollabiert die Wellenfunktion zu
Z ∞
2
einem Peak am gemessenen Wert
|ψ (x, t)| dx = 1
−∞
1.3
Wahrscheinlichkeit
1.3.1
Falls ψ Lösung der Schwingungsgleichung, dann ist
auch Aψ Lösung (A =Konstante).
Diskrete Verteilung
von Ereignissen N (j) mit 0 ≤ j ≤ ∞ und N (j) ≥ 0
für alle j.
totale Anzahl von Ereignissen N =
P∞
j=0
Wahrscheinlichkeitsverteilung P (j) =
•
N (j)
• Falls ψ = 0 ⇒ auch nicht normierbar / keine Beschreibung eines qm Teilchens
N (j)
N
P∞
j=0 P (j) = 1
Wahrscheinlichstes Ereigniss max {P (j)}
P∞
PNmed
mittleres Ereigniss
j=Nmed P (j)
j=0 P (j) =
Mittelwert
/ Erwartungswert hf (j)i
P∞
j=0 f (j) · P (j)
• hji = j =
1
N
P∞
j=0
j · N (j) =
E
D
2
Varianz σ = (j − hji)
2
• ∆j = j − hji
2
• σ 2 = j 2 − hji
2
• σ 2 ≥ 0 ⇒ j 2 ≥ hji
• σ =Standardabweichung
P∞
j=0
j · P (j)
R∞
2
• Falls ψ Lösung, aber −∞ |ψ| dx ist nicht endlich, dann beschreibt ψ keinen quantenmechanischen Zustand.
=
• Multiplikation von ψ mit A = eiα mit α ∈ R ändert nichts an der Wahrscheinlichkeitsverteilung
R∞
d
• dt
|ψ (x, t)|2 dx = 0
−∞
2
∂ψ ∗
i~ ∂
∂
∗ ∂ψ
ψ
|ψ (x, t)| = 2m
−
ψ
• ∂t
∂t
∂x
∂x
1.5
Impuls
d
hxit =
hvit ≡
dt
Z
hxit =
Z
∞
−∞
∞
ψ
∗
~ ∂
im ∂x
ψ dx
ψ ∗ (x) ψ dx
−∞
Impuls p ≡
~ ∂
i ∂x
• Messgröße klassisch A (p, x) ⇒ Messgröße q.m.
∂
,x
A ~i ∂x
3
2.1 Stationäre Zustände
• es kommt entscheident darauf an, an welcher stelle
der Operator in Ausdrücken steht
• Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung lässt sich
schreiben als
d
• m dt
hxi = hpi
Ĥϕ (x) = Eϕ (x)
was einer Eigenwertgleichung entspricht
Kinetische Energie T =
p2x
2m
=
~2 ∂ 2
− 2m
∂x2
Heisenbergsche Unschärferelation σx · σpx ≥
2
~
2
Zeitunabhängige Schrödinger
Gl.
2.1
Stationäre Zustände
• hHi
2 = E 2
H =E
σ=0
Grundzustand x0 ist der Zustand in dem ϕ (x) keine
Nullstellen (außer evtl. am Rand) bestitzt
• dies ist auch der Zustand mit der geringsten Energie
Angeregte Zustände haben n = 1, 2, . . . Knoten
• Potential V (x) ist Zeitunabhängig
• Schrödinger Gleichung lässt sich schreiben als
~2 d2
∂
+
V
(x)
ψ (x, t)
i~ ψ (x, t) = −
∂t
2m dx2
gebundener Zustand erhält man, falls gilt E <
limx→±∞ V (x)
• Dies bedeutet, dass das Teilchen nicht in die Unendlichkeit verschwinden kann, sondern an eine
Ortsumgebung gebunden ist
• Seperationsansatz
ψ (x, t) = ϕ (x) · f (t)
• Löse für E ∈ R>0
~2 d2
−
2m dx2
d
i~ f (t) = Ef (t)
dt
+ V (x) ϕE (x) = EϕE (x)
die zweite Gleichung heißt Zeitunabhängige Schrödingergleichung
• Lösung
i
ψ (x, t) = φE (x) · e− ~ Et
• Falls sich das System in einem stationären Zustand
mit der Energie E befindet:
∂
ψ (x, t) = Eψ (x, t)
i~ ∂t
2.1.3
Da die Schrödinger Gleichung linear ist, ergibt sich die
allgemeine Lösung als Superponierung über alle Eigenlösugnen
X
~
ci ϕEi (x) e− i Ei t
ψ (x, t) =
i
2.1.4
Statistische Interpretation
• ψ Normierbar ⇔ ϕE Normierbar
• Jeder Erwartungswert einer dynamischen Variable
d
(Operator) A x, ~i dx
hängt nicht von t ab. (in einem Eigenzustand )
→ hxi = const,
2.1.2
d
dt
hxi = 0 =
1
m
hpi
Zustand definierter Energie (E)
• Analog zur klassischen Hamilton Funktion q.m.
Hamilton Operator
Ĥ = −
~2 d2
+ V (x)
2m dx2
Stetigkeit
• ϕE ist überall stetig
•
dϕE
dx
ist überall stetig, wo das Potential nicht unendlich wird. Es gilt
Z x+ǫ
2m
dϕE
V (x) · ϕE (x) dx
= 2 lim
∆
dx
~ ǫ→0 x−ǫ
2.1.5
2.1.1
Allgemeine Lösung
Besondere Eigenschaften
Symmetrie Ist V (x) = V (−x) ist zu gegebenen ϕ (x)
auch ϕ (−x) eine Lösung der zeitunabhängigen
Schrödingergleichung zur gleichen Energie.
• Falls es je Energie nur eine Lösung gibt, muss dies
Folglich eine gerade oder eine ungerade Funktion
sein.
Merkregel für Bereich mit Konstanten Potential
V0 gilt
• bei E√< V0 ist ϕ (x) = Aekx + Be−kx
2m(V0 −E)
κ=
~
• bei E√> V0 ist ϕ (x) = A sin (ωx) + B cos (ωx)
2m(E−V0 )
ω=
~
4
2
2.2
ZEITUNABHÄNGIGE SCHRÖDINGER GL.
Kastenpotential mit unendlich ho- 2.3.2 Algebraische Lösung
hen Wänden
V (x) =
(
0 0≤x≤a
∞ sonst
• ψ muss stetig in x sein!
=
ϕn (x) =
a+
:=
a−
:=
1
~ d
√
+ imωx
2m i dx
~ d
1
√
− imωx
2m i dx
• Operatoridentitäten
• Lösung im Intervall [0, a] ist
En
• Definiere
~2 π 2 2
n
2ma2
r
π 2
sin n x
a
a
außerhalb des Intervalls ist ϕn (x) = 0. mit n ≥ 1
• Die ϕi bilden ein Orthonormalsystem, und sogar
eine Basis
ϕ∗i ϕj = δij
=
a+ a−
=
1
~2 d2
+ mω 2 x2 +
2
2m dx
2
~2 d2
1
−
+ mω 2 x2 −
2m dx2
2
−
1
~ω
2
1
~ω
2
• Hamilton Operator
1
Ĥ = a− a+ − ~ω
2
• Impuls
p=
die Fourier Basis
P
→ Falls f (x) = i ci ϕi (x)
R∞
→ gilt ci = −∞ ϕ∗i (x) f (x) dx
a− a+
• Ort
x=i
r
r
m
(a+ + a− )
2
1
(a− − a+ )
2mω 2
• Mittelwert von x ist Genau in der Mitte des Po- Kommutator [A, B] = AB − BA
tentials, im Symmetriepunkt
• [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B
hxi = a2
P
~
• [x, p] = i~
• ψ (x, t) = i ci ϕi (x) e− i Ei t
• [a− , a+ ] = ~ω
P
2
→
i |ci | = 1
falls die ϕi eine Orthonormalbasis bilden
Lösungen falls ϕ Lösung der Schrödinger Gleichung
für Energie E, dann ist (a+ ϕ) Lösung für die EnerP
2
• hHi = i |ci | Ei
gie
E + ~ω und (a− ϕ) Lösung für die Energie
d.h. die |ci |2 sind die Warscheinlichkeiten als EnerE − ~ω.
gie Ei zu messen
R∞
2
Normierung falls −∞ |ϕ| dx = 1 gilt
Z ∞
1
2.3 Harmonische Oszillatoren
|a− ϕ|2 dx = E − ~ω
2
−∞
• In der Umgebung eines lokalen Extremums lässt Lösungen
sich jede Funktion Näherungsweise als Parabel
mω 2
ϕn (x) = An (a+ )n e− 2~ x
auffassen.
1
• Harmonische Oszillatoren in klassischer Mechanik
En =
n+
~ω
2
1
V (x) = kx2
Iterative Lösung
2
√
a− ϕn = −i n~ωϕn−1
p
2.3.1 Potential
a+ ϕn = i (n + 1) ~ωϕn+1
V (x) =
1
mω 2 x2
2
• die Phase von ±i ist eigentlich irrelevant, ist aber
so in der Konvention
• hat Lösung
i
Ψ (x, t) = ϕ (x) e− ~ Et
• Lösungsansatz
"
#
2
~ d
1
2
+ (mωx) ϕ (x) = Eϕ (x)
2m
i dx
• a+ a− ϕn = n~ωϕn
a− a+ ϕn = (n + 1) ~ωϕn
q
√
√
~
( mδn,m−1 + nδm,n−1 )
• hn|x|mi = 2mω
Viralsatz besagt (nur beim harmonischen Oszillator)
1
hEi = hT i = hV i
2
5
2.5 Delta
2.3.3
Geschwindigkeit der Welle ist
Analytische Lösung
Phasengeschwindigkeit vp =
Lösung
ϕn (ξ)
ξ (x)
En
mω 41
=
ξ2
1
√
Hn (ξ) e− 2
2n n!
π~
r
mω
x
=
~
1
=
n+
~ω
2
2.5
=
=
1
2x
H2 (x)
=
Hn (x)
=
4x2 − 2
n
X
aj xn
~k
m
Delta
• Entspricht Einem unendlich hohen Spike im Potential am Punkt x = 0
2.5.1
j=0
• aj+2 =
~k
2m
Gruppengeschwindigkeit vg = dω
dk k=K0 =
Potential V (x) = −αδ (x)
H0 (x)
H1 (x)
=
=
Dirac Delta δ (x) Definition siehe mein Skript für die
theoretische Physik 1
Hermite Polynome
=
ω
k
dn − x2
e 2
dxn
xHn−1 (x) − nHn−2 (x)
(−1)n e
x2
2
Gebundene Zustände
Bedingung E < 0, α > 0
Lösung
ϕ (x)
2j+2n
(j+1)(j+2) aj
• an = 2 n
E
√
mα − mα
e ~2 |x|
~
mα2
= − 2
2~
=
• Es kommen je nachdem ob n gerade oder ungerade
ist nur gerade oder ungerade Potenzen in Hn (x) 2.5.2 freier Zustand
vor.
Beschreibung Es wird angenommen, das hier Teil• Bilden ein Orthogonalsystem
chen von −∞ in die Anordnung kommen und
Z ∞
2
√
durch das Potential gestreut werden.
− x2
∗
dx = n! 2πδnm
Hn (x) Hm (x) e
−∞
• Lösen die DGL mit n ∈ N
y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0
2.4
Das “freie” Teilchen
• Die Lösung in der Vorlesung hat einiges an Beweisen ausgespart, und ist nur Oberflächlich korrekt.
Es würde aber ein Korrekter Beweis das gleiche
Liefern
Reflexionskoeffizient R =
Potential V (x) = 0
Lösung mit k =
√
2mE
~
1
Ψ (x, t) = √
2π
• β=
Z
∞
dk φ (k) e
“
”
2
i kx− ~k
2m t
−∞
• k=
β2
1−β 2
=
1
2E
1+ 2~
mα2
mα
~2 k
√
2mE
~
• Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen reflektiert
wird
• Bestimmung von φ (k) durch Fouriertransformation der Anfangsbedingung
• man hat Reflexion, obwohl der Spike weit unter
Z ∞
dem Potential liegt
1
dk φ (k) eikx
Ψ (x, 0) = √
2π −∞
Z ∞
1
1
Transmissionskoeffizient T = 1+β
2 =
1
mα2
1+ 2~
2E
dx Ψ (x, 0) e−ikx
φ (k) = √
2π −∞
• Vorraussetzung ist, das die folgenden Integrale existieren
Z ∞
dx |Ψ (x, 0)|2 < ∞
−∞
Z ∞
2
dk |φ (x0)| < ∞
−∞
• Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen passieren
kann
• R+T =1
• Unabhängig vom Vorzeichen von α bzw. der Richtung des Potential-Spikes (±). Das heißt, das ein
Teilchen durch eine Barriere Durchtunneln kann
6
3
2.6
Endlicher Potentialtopf
Potential V (x) =
(
−V0
0
−a ≤ x ≤ a
sonst
• V0 > 0
2.6.1
2.6.2
Streulösung
Transmissionskoeffizient T mit
2a p
V02
2m (E + V0 )
T −1 = 1 + sin2
~
4E (E + V0 )
• Bei bestimmten Energieen
2a p
2m (E + V0 ) = nπ
~
Gebundener Zustand
• κ=
• l=
FORMALISIERUNG DER QUANTENMECHANIK
√
−2mE
~
erhält man vollständige Transmission
√
2m(V0 +E)
~
∈R
Reflexionskoeffizient R = 1 − T
gerade Lösungen

−κx

F e
ϕ (x) = D cos (lx)


ϕ (−a)
3
x>a
0≤x≤a
sonst
• F e−κa = D cos (la)
• κ = l tan (la)
2
2
• (κa) + (la) =
2mV0 2
~2 a
Formalisierung der Quantenmechanik
3.1
Funktionenräume
Vektoren |αi entspricht einer Funktionen α (x). Diese
Funktionen bilden einen C Vektorraum.
Lineare Abbildungen Sind lineare Operatoren X̂.
Diese sind im endlichdimensionalen mit Matrizen
vergleichbar
• Es gibt immer mindestens eine gerade Lösung!
• Anzahl der Lösungen ist größtes n das die Gleichung
√
(n − 1) π ≤ mV0 ~a
erfüllt
• Im Grenzfall mV0 a2 → ∞ ergibt sich
la = π2 , 32 π, . . . , n + 12 π, . . .
ungerade Lösungen

−κx

x>a
F e
ϕ (x) = D sin (lx) 0 ≤ x ≤ a


−ϕ (−a) sonst
• F e−κa = D sin (la)
• κ = −l cot (la)
2
2
• (κa) + (la) =
2mV0 2
~2 a
• Anzahl der Lösungen ist größtes n das die Gleichung √
n + 21 π ≤ mV0 ~a
erfüllt
• Im Grenzfall mV0 a2 → ∞ ergibt sich
la = π, 2π, . . . , nπ, . . .
Insgesamt haben wir im Grenzfall den Unendlichen
Potentialtopf um V0 nach unten verschoben.
d̂
• Bsp: dx
in Polynomen vom Grad N , x̂ im formaten
Potenzreihen
Eigenfunktion T̂ |αi = λ |αi α heißt Eigenfunktion
zum Eigenwert λ von T̂
R
Skalarprodukt hα|βi = α∗ (x) β (x)dx
• Die Grenzen müssen Passend zu Problem definiert
werden
• Funktionen müssen Quadratintegrable sein ⇔
hα|βi < ∞
D
E
D
E
α|T̂ β = T̂ α|β für
hermitesche Operatoren
alle |αi , |βi
•
~ ˆd
i dx
ist hermitesch, falls
→ α (a) = α (b) für alle |αi (a, b sind Integrationsgrenzen)
→ oder bei quadrat-integrable Funktionen in
[−∞, ∞]
Eigenschaften einer
T̂ † = T̂
hermiteschen
→ Alle Eigenwerte sind reel
Operation
→ Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal
7
3.1 Funktionenräume
→ Für endlich dimensionale Vektorräume span- 3.1.3 Vorgehen
nen die Eigenvektoren den ganzen Raum auf
D E
1. Q̂ |ψλ i = λ |ψλ i bestimmen des Eigenspektrum
P
2
→ T̂ = i |ci | λi Erwartungswert der Mes(Menge der Eigenwerte) mit den zugehörigen Eisung
genvektoren
→ Eigenwerte von T̂ =Mögliche Messwer2. Bilden einer Orthonormalbasis aus den |ψλ i
te
jeweils
mit
Wahrscheinlichkeit
2
|hEigenvektori |ψi|
3. Ein belibiger Zustand
linear komP ist aus aus Basis
2
binierbar |ψi =
λ aλ |ψλ i, |aλ | ist die Wahrscheinlichkeit λ bei einer Messung von Q̂ in |ψi zu
3.1.1 Hilbertraum
finden.
In der QM sind wir an Fkt. interressiert, die quadrat3.1.4 Projektor / Basiswechsel
integrabel sind
Z ∞
P
Einsoperator 1 = n |en i hen |
Ψ∗ (x) Ψ (x) dx < ∞
−∞
Der Raum der von solchen Funktionen aufgespannt
wird, wird mit
L2 (−∞, ∞)
bezeichnet.
Ein Vektorraum H mit einem inneren Produckt, h·|·i
heißt Hilbertraum, falls alle Konvergenten Reihen in H
gegen einen Vektor in H konvergieren (Vollständig).
• Falls {|en i} eine Vollständige, orthonormierte Basis bilden
Projektor ist ein Operator, für den gilt P |βi =
P 2 |βi
• Eigenwerte 0, 1
Zerlegung Q̂ =
3.1.2
Verallgemeinerte statistische Interpretation
1. Ein Teilchen wird repräsentiert durch eine Wellenfunktion Ψ (x, t)
2
2. |Ψ (x, t)| dx ist die Warscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [x, x + dx] zur Zeit t zu finden
3. RDie
∞
Normierung
2
|Ψ
(x,
t)| dx
−∞
muss
erfüllt
sein:
Dann haben wir Ψ (x,Rt) ∈ L2 (−∞, ∞) mit dem inne∞
ren Produkt hα|βi = −∞ α∗ β dx
P
n
λn |en i hen |
• Jeder hermitesche Operator lässt sich auf “Diagonalgestalt” bringen
3.1.5
diskretes Spektrum
P
Vollständigkeit |ψi = n cn |en i
hek |ψi = ck
Wahrscheinlichkeit dass λn Auftritt
2
2
|cn | = |hen |ψi|
3.1.6 kontinuierliches Spektrum
1. Wir Identifizieren ein Teilchen mit einem Vektor
′
in L2 und bezeichnen es als |Ψi. Die Normierung Eigenzustände ex′ = δ (x − x )
Z ∞
fordert hΨ|Ψi = 1
|Ψi =
dk ck |ek i
2. Meßgrößen sind hermitesche Operatoren Q̂. Der
−∞
Erwartungswert von Q̂ ist
Eigenwertgleichung Q̂ |en i = λn |en i mit n kontinuD E D
E
Q̂ = Ψ|Q̂Ψ
ierlich und −∞ ≤ λn ≤ ∞
3. Messungen von Observablen liefern die Eigenwerte (reellen) von Q̂ und zwingen das System einen
Eigenzustand anzunehmen
Othogonale Basis hen |ek i = δ (n − k)
∗
• hx|ψi = ψ (x) = hψ|xi
• hp|ψi = ψ (p) = hψ|pi∗
2
=
4. Die Varianz der Messung ist σQ̂
D E2 R∞
Q̂ − Q̂
= 0 genau dann , wenn sich das Vollständigkeit 1 = −∞ dk |ek i hek |
System in einem Eigenzustand von Q̂ befindet.
Wahrscheinlichkeitsdichte |ck |2 dk = |hek |ψi|2 dk
8
4 QM IN 3 DIMENSIONEN
3.1.9
Fourier Transformation
1 i
≡ hx|pi = √ e ~ px
2π
Ψx (p) ≡ hp|xi
Ψp (x)
iE
d D E
i Dh
Q̂ =
Ĥ, Q̂ +
dt
~
∗
= hx|pi
1
i
= √ e− ~ px
2π
damit gilt
Ψ (x)
Z
=
dp Ψp (x) Ψ (p)
Z ∞
i
1
√
dp e ~ px Ψ (p)
2π −∞
Z ∞
i
1
√
dx e− ~ px Ψ (x)
2π −∞
−∞
=
Ψ (p) =
Mittelwerte von Kontinuierlichen Spektren
(R
d
Ψ∗ Q̂(x, ~i dx
,t)Ψdx
im Ortsraum
hQ (x, p, t)i = R ∗
~ d
Ψ Q̂(− i dp ,p,t)Ψdp im Impulsraum
3.1.7
Heisenberg’s Unschärfe
2 2
σÂ
σB̂ ≥
4
iE2
1 Dh
Â, B̂
2i
*
∂ Q̂
∂t
+
QM in 3 Dimensionen
4.1
∞
Zeitverhalten von Observablen
Verallgemeinerungen
Kinetische Energie T =
• klassisch → qm: qi →
p
~2
2m
=
1
2m
p2x + p2y + p2z
~ d
i dxi
Schrödinger Gleichung
∂Ψ (~r)
i~
= HΨ (~r) =
∂t
~2
−
△ +V (~r) Ψ (~r)
2m
Statistische Interpretation
Z
2
|Ψ (~r)| d~r = 1
Für zeitunabhängige Potentiale vereinfacht sich
dies zu
i
Ψ (~r) = ϕn (~r) · e− ~ En t
• Mit  = x̂ und B̂ = p̂ folgt die Heisenbergsche
Unschärfe
~2
△ +V (~r) ϕn (~r) = En ϕn (~r)
−
• Falls
2m
h die
i beiden Observablen  und B̂ vertauschen
( Â, B̂ = 0) und Hermitesch sind, gibt es eine
Z
Basis in der  und B̂ gleichzeitig diagonal werden
|ϕn (~r)|2 d~r = 1
(scharf gemessen werden können).
h
i
• Wenn Â, B̂ 6= 0 dann existiert keine Basis in der Kommutatoren zwischen Ort und Impuls
 und B̂ gleichzeitig diagonal werden
• Bei einer Transformation S die H invariant läßt
S −1 HS = H
• [ri , pi ] = i~δij
• [ri , rj ] = [pi , pj ] = 0
(entspr. [H, S] = 0). Ist |ni ist Eigenzustand von Ehrenfest Theorem
H mit Eigenwert En , dann ist auch S |ni Eigend
zustand von H mit gleichen Eigenwert En .
h~ri =
dt
d
→ entweder |ni und S |ni sind die gleichen Zuh~
pi =
dt
stände oder das Spektrum von H ist entartet.
3.1.8
Energie-Zeit Unschärfe
∆t · ∆E ≥
~
2
• nicht vom gleichen Typ wie x, p Unschärfe, weil t
keine Observable ist.
4.1.1
1
h~
pi
m
D
E
~
−∇V
Harmonische Oszillator in 3d
ϕn (~r) = ϕnx (x) · ϕny (y) · ϕnz (z)
Entartete Zustände liegen vor, wenn es zu einem
Energiewert mehrere Eigenzustände existieren.
9
4.2 Drehimpuls
4.2
Drehimpuls
• für festes λ gibt es Maximum und Minimum für µ
p
~2
2m
∂
r2 ∂r
Transformation
2
1 ∂
r 2 ∂r
~
− 2m
+
→
~2
L
2mr 2
2
~
− 2m
△
=
• [Li , rj ] = εijk i~rk
[Li , pj ] = εijk i~pk
i
h
• Ĥ, Li = 0
falls V nur von r abhängt
4.2.1
+
+
Bahndrehimpuls
L̃ =
• Bilden eine SU (2) Algebra (Li Algebra)
Betrag L =
µ2min − ~µmin
• zu jedem l gibt es 2l + 1 verschiedene Werte von
m
• mit i, j, k ∈ {x, y, z}
L2y
=
• 2 · l ∈ N (also l halbzahlig)
Kommutator [Li , Lj ] = i~εijk Lk
L2x
µ2max + ~µmax
• −l ≤ m ≤ l in ganzzahligen Schritten.
• in Kugelkoordinaten
2
λ =
L2z
~
~
~r × ∇
i
• entspricht ~r × ~p
• L2 |l, mi = l (l + 1) ~ |l, mi
• m muss ganzzahlig sein ⇒ l auch
• L2 , Li = 0
• Dies ist der einzige Operator der mit Li vertauscht
• gleichzeitig Diagonalisierbar sind also L2 und eine
Komponente von L
• |l, mi = Yl,m (ϑ, ϕ)
q
(l−m)! m
i·m·ϕ
• Yl,m (ϑ, ϕ) = 2l+1
4π (l+m)! Pl (cos ϑ) · e
• Plm (x) =
• Pl (x) =
→ Konvention: dies sind L2 , Lz
±Operatoren
4.2.2
L+
=
Lx + iLy
L−
=
Lx − iLy
(−1)m
2l l!
1 ∂l
2l l! ∂xl
1 − x2
x2 − 1
m2
∂ l+m
P
∂xl+m l
(x)
l
Spin
Ist ein innerer Freiheitsgerad von Elementarteilchen.
Er entspricht ebenfalls einem Drehimpuls.
• (L+ ) = L−
†
(L− ) = L+
~ entspricht dem L
~ beim Bahndrehimpuls
• S
• L+ , L− sind nicht hermitesch
• L2 , L± = 0
• Alle vom Bahndrehimpuls bekannten Beziehungen
gelten analog auch für den Spin
†
• s entspricht dem l beim Bahndrehimpuls
• s ist für eine Teilchenart fest
• [Lz , L+ ] = ~L+
[Lz , L− ] = −~L−
→ s = 21 für: Elektronen, Proton, Neutron, . . .
(Fermionen, da s halbzahlig)
2
• L |l, mi = l (l + 1) ~ |l, mi
Lz |l, mi = m~ |l, mi
p
• L+ |l, mi = pl (l + 1) − m (m + 1)~ |l, m + 1i
L− |l, mi = l (l + 1) − m (m − 1)~ |l, m − 1i
• Lx =
Ly =
1
2 (L+ + L− )
1
2i (L+ − L− )
→ s =ganzzahlig für Bosonen
4.2.3
Spin beim Elektron
Elektron Spin s =
1
2
Eigenzustände
2
Eigenwerte Falls f Eigenfunktion von L mit Eigenwert λ = l (l + 1) ~ und zu Lz mit Eigenwert
µ = m~
• dann ist auch L± f Eigenfunktion von L2 und Lz
zu Eigenwerten λ, µ ± ~.
• λ ≥ µ2
χ+
=
χ−
=
• Spin up: χ+
Spin down: χ−
1 1
|smi1 = ,
2 2
1 1
|smi2 = , −
2 2
10
4 QM IN 3 DIMENSIONEN
4.3.1
Operatoren in Basis aus Eigenzuständen
3 2 1 0
ˆ
2
S
=
~
0 1
4
~
Ŝi =
σi
2
0 1
Ŝ+ = ~
0 0
0 0
Ŝ− = ~
1 0
• βn,l = ka = nπ
• En,l =
• sphärische Bessel Funktion
l
d l sin(x)
jl (x) = (−x) x1 dx
x
• sphärische von Neumann Funktion
l
d l cos(x)
ul (x) = − (−x) x1 dx
x
Pauli Matrizen sind
=
σx
=
σy
=
σz
0 1
1 0
0 −i
i 0
1 0
0 −1
4.4
• Masse Proton ∞
• Schwerpunkt im Proton
2
e
Potential V (r) = − 4πε
0r
Eigenwertgleichung
• trace (σi ) = 0
• E<0
• λ1/2 = ±1
•
=
1
0
0
1
• ̺0 =
=
=
= 1−
̺0
̺
+
l(l+1)
̺2
u (̺)
r
an
me2
2πε0 ~2 κ
• u (̺) = P
̺l+1 e−̺ v (̺)
v (̺) = j=0 aj ̺j
=E
2(l+j+1)−̺0
aj
aj+1 = (j+1)(j+2l+2)
ajmax +1 = 0
• n = jmax + l + 1
2 2 1
e
m
• E = − 2~
2
4πε0
n2
a
(z)
(z)
= aχ+ + bχ−
b
a + b (x) a − b (x)
√ χ+ + √ χ−
2
2
E1
n2
E=
E1 =
4.3
d2 u
d̺2
−2mE
~
• ̺ = κr =
Zustand
χ
√
• κ=
• Eigenvektoren
für σx (z)
(z)
(x)
1
√
χ+ = 2 χ+ + χ−
(x)
(z)
(z)
χ− = √12 χ+ − χ−
Wasserstoff Atom
Annahmen zur vereinfachten Rechnung
• det (σi ) = −1
σi2
~2
2
2ma2 βn,l
• u (r) = A · r · jl (k · r)
• Eigenwerte von Ŝi = ± ~2
∞ kugelsymmetrisches Potential
(
0 r<a
V (r) =
∞ r≥a
Radiale Schrödingergleichung
~2 ∂ 2 ul (r)
l (l + 1) ~2
−
+
V
(r)
+
−
E
ul (r) = 0
2m ∂r2
2mr2
• ul (0) = 0
da Ψ (~r) sonst in 0 singulär wird
totale Lösung Ψ (~r) =
ul (r)
r Yl,m
(ϑ, ϕ)
=
1
a·n
4πε0 ~2
me2
e2
4πε0
2
= −13, 59 eV
= 0, 529 · 10−10 m Bohr Radius
• v (̺) = L2l+1
n−l−1 (̺)
p d p
p
Lq−p (x) = (−1) dx
L (x)
−x q q
x d q
Lq (x) = e dx (e x ) Laquerre Polynome
• 0≤l ≤n−1
• Die Parität (ob es eine gerade oder ungerade Funkl
tion ist) der Funktionen ist (−)
• für festes m, l verschiedene Eigenwerte die mit n
durchnummeriert sind
R∞
2
Normierung 0 |ul (r)| dr
R
2
|Ψ (~r)| d~r = 1
• κ=
a=
m
2~2
1
⇒
• Die Entartung des Zustandes mit Energie E =
ist n2
• Eγ = h λc = Ei − Ef = R n12 − n12
f
i
1
Rydberg-Konstante
R = 1, 097 · 107 m
E1
n2
11
5
Identische Teilchen
Pauli Prinzip da Determinante für zwei
gleiche Zustände mit = 0 reagiert sind
solche zustände nicht mehr normierbar
und damit Verboten
In der QM sind identische Teilchen ununterscheidbar
Austauschoperator
• dieses ϕ ist antisymmetrisch
P ϕ (~r1 , ~r2 ) = ϕ (~r2 , ~r1 )
unterscheidbare Bosonen gleiche formel wie
bei Fermionen, blos das alle Terme der Determinante positiv abgeändert werden.
• lässt sich auch Erweitern auf eine Wellenfunktion
von mehr als 2 Teilchen
• dieses ϕ ist symmetrisch
• Eigenwerte ±1
• Die Grundzustandsenergie eines Bosonen Systems
ist immer kleinergleich der eines Fermionensystems
E0B ≤ E0F
• Eigenfunktionen ±ϕ (~r1 , ~r2 ) = ϕ (~r2 , ~r1 )
• H und P sind simultan diagonalisierbar
Symmetrische Wellenfunktionen
ϕ (~r1 , ~r2 ) = ϕ (~r2 , ~r1 )
System aus zwei Teilchen. gesucht ist
bei einem System mit
D
2
(x1 − x2 )
E
ϕ (x1 , x2 ) = ϕa (x1 ) · ϕb (x2 )
• ident. Teilchen, die gegen Vertauschung symmetrisch sind, heißen Bosonen
unterscheidbare Teilchen
E D
(x1 − x2 )2 = x2 a + x2 b − 2 hxia hxib
• dies sind genau die Teilchen mit ganzzahligen Spin
• Wechselwirkungsteilchen:
Photonenm, W,Z Boson, Gluonen
identische Bosonen
2
h(x1 −x2 )2 i=hx2 ia +hx2 ib −2hxia hxib −2|hxiab |
R
• hxiab = dx ϕ∗a (x) · x · ϕb (x)
Antisymmetrische Wellenfunktion
ϕ (~r1 , ~r2 ) = −ϕ (~r2 , ~r1 )
• Bosonen rücken durch Wechselwirkungstherm also näher zusammen→ spielt nur bei
sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle
• Fermionen
• dies sind genau die Teilchen mit halbzahligen Spin
identische Fermionen
• Bausteine der Natur
Neutrinos, Elektronen, Protonen, Neutronen,
Quarks
5.1
h(x1 −x2 )2 i=hx2 ia +hx2 ib −2hxia hxib +2|hxiab |2
• Fermionen entfernen sich also durch Wechselwirkungstherm → spielt nur bei sehr nahe
Benachbarten Teilchen eine Rolle
System unabhängiger Teilchen
Potential läss sich hier schreiben als
V (r1 , . . . , rn ) =
n
X
6
Vi (ri )
Zeitunabhängige
theorie
Störungs-
i=1
Lösung der Schrödingergleichung über Trennung der
Variablen
unterscheidbare Teilchen
ϕ (r1 , . . . , rn ) =
6.1
Nicht-entarteter Fall
H = H0 + H′
mit
n
Y
ϕi (ri )
i=1
ununterscheidbare Fermionen
i = 1, . . . , n
1
ϕ (r1 , . . . , rn ) = √ det {ϕi (rj )}
j
= 1, . . . , n
n!
1. H 0 ϕ0n = En0 ϕ0n bekannt
2. ϕ0n |ϕ0m = δnm
3. H ′ ≪ H 0 “kleine” Störung
Energieskala
von H ′ ist
0
0
En − Em
klein
gegenüber
12
7
Entwickeln mit λ ∈ [0, 1] Entwicklungsparameter
Löse das Eigenwertproblem
Ŵ (αi ) = E 1 (αi )
H ′ → λH ′
H 0 + λH ′ ϕn
VARIATIONSVERFAHREN
mit
Ŵ =
= En ϕn
ϕn
= ϕ0n + λϕ1n + λ2 ϕ2n + . . .
En
= En0 + λEn1 + λ2 En2 + . . .
0 ′ 0 ϕi |H |ϕj i,j
• Sei α̃ = (α̃i ) Eigenvektor zum Eigenwert Ẽ 1
n
X
ϕ0 =
Einsetzen in Schrödingergleichung und sortieren nach
Koeffizienten ergibt folgendes Gleichungssystem
α̃i ϕ0αi
i=1
ist Eigenfunktion von H + H ′ zur Energie E 0 + Ẽ 1
H 0 ϕ0n
=
En0 ϕ0n
H 0 ϕ1n + H ′ ϕ0n
H 0 ϕ2n + H ′ ϕ1n
=
=
..
.
En0 ϕ1n + En1 ϕ0n
En0 ϕ2n + En1 ϕ1n + En2 ϕ0n
7
Variationsverfahren
7.1
Obere Schranke
Falls man nur an En1 interessiert ist, und danach die Gegeben
Entwicklung abbricht erhält man
Störungstheorie 1.ter Ordnung
En1 = ϕ0n |H ′ |ϕ0n
• En ≈ En0 + En1
Hϕn = Eϕn
• Nähern ϕn durch normierte parameterisierte Wellenfunktion φ [ai ] mit ai als Parameter
• Entwickele φ in der ϕn Basis
X
φ [ai ] =
ck ϕk
k
• ϕn ≈ ϕ0n
Erwartungswert der Energie ist
Störungstheorie 2.ter Ordnung
En2 = ϕ0n |H ′ |ϕ1n
X ϕ0n |H ′ |ϕ0m 2
=
0
En0 − Em
m6=n
0
X ϕm |H ′ |ϕ0n
1
ϕ0m
ϕn =
0
En0 − Em
m6=n
E [φ]
=
hφ|H|φi
hφ|φi
Es gilt
E [φ] − E0 =
P
k
2
|ck | (Ek − E0 )
≥0
P
2
k |ck |
• dies ist genau dann = 0, wenn φ = ϕ0 ist.
• wir haben also eine obere Schranke für die Energie.
• En ≈ En0 + En1 + En2
• ϕn ≈ ϕ0n + ϕ1n
7.2
Spin / Drehimpuls Kopplung
• Allgemein:
Für Störungstheorie n-ter Ordnung in der Ener- Kopplung von 2 beliebigen Drehimpulsen (j1 , j2 )
gie benötigt man Störungstheorie (n − 1)-ter OrdJ~ = J~(1) + J~(2)
nung in den Eigenfunktionen
ist wieder ein Drehimpuls. Es gilt
6.2
J 2 |jmi = j (j + 1) ~2 |jmi
Entartete Störungstheorie
Jz |jmi = mj ~ |jmi
gegeben
ϕ0 =
n
X
αi ϕ0αi
i=1
ist Eigenfunktion für alle αi zu Eigenwert E 0
0 0
0 0
H ϕ =E ϕ
• Es gelte das die ϕαi orthonormal sind
hϕαi |ϕαι i = δαi αj
mit
j = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2 |
und wie gehabt
j ≤ mj ≤ j
• Addition von n Spins in gleicher Richtung
⇒ immer symmetrisch gegen index Vertauschung
• Addition von 2 gleichen entgegengesetzten Spins
⇒ antisymmetrisch gegen index Vertauschung
13
8
Zeitabhängige
rie
wir betrachten
stem mit
Störungstheo-
ein betrachten ein 2 ZustandssyH0 ψa
= Ea ψa
H0 ψb
= Eb ψb
mit othonormalen zeitunabhängigen ψa , ψb . Ein beliebiger Zustand ist also gegeben durch
i
i
Ψ (t) = ca ψa e− ~ Ea t + cb ψb e− ~ Eb t
2
2
mit zeitunabhängigen ca , cb für die gilt |ca | + |cb | = 1
Schalten zeiabhängige Störung ein
H = H0 + H ′ (t)
Annahme
ψa , ψb
spannen den Hilbert-Raum von H auf. Das bedeutet
das die Wirkung von H ′ ca , cb zeitabhängig macht.
Lösen des Gleichungssystems
i
′
′
ca (t) Haa
(t) + cb (t) Hab
(t) e−iω0 t
~
i
′
′
c˙b = − cb (t) Hbb
(t) + ca (t) Hba
(t) e+iω0 t
~
mit der Bohrfrequenz
c˙a
=
−
ω0 =
Eb − Ea
~
und
′
hψi |H ′ (t) |ψj i = Hij
(t)
′
′ ∗
Es gilt Hij
= Hji
Lösen durch Iteration (Picard Lindelöf ) liefert
kann bei der Randbedingung
′
′
Haa
= Hbb
=0
bei Annahme
c(0)
a (t) =
1
(0)
cb
0
(t) =
zu den folgenden ersten Iterationsgliedern
c(1)
a (t) = 1
(1)
cb (t) = −
c(2)
a
(2)
(t) =
cb (t) =
i
~
Z
0
t
′
′
Hba
(t) eiω0 t dt′
Z
Z ′
1 t ′ ′ −iω0 t′ t ′ ′′ iω0 t′′ ′′ ′
H (t ) e
Hba (t ) e
dt dt
1−
~ 0 ab
0
Z
′
i t ′
Hba (t) eiω0 t dt′
−
~ 0
Index
Angeregte Zustände, 3
Antisymmetrische Wellenfunktion, 11
Austauschoperator, 11
Bahndrehimpuls, 9
Basiswechsel, 7
Bosonen, 9, 11
Broglie, de, 2
de Broglie, 2
diskretes-Spektrum, 7
Drehimpuls, 9
Ehrenfest Theorem, 8
Eigenfunktion, 6
Einsoperator, 7
Ereigniss, 2
Erwartungswert, 2
Fermionen, 9, 11
Fourier Basis, 4
Fourier-Transformation, 8
freie Teilchen, 5
Funktionenräume, 6
sphärische Bessel Funktion, 10
sphärische von Neumann Funktion, 10
Spin, 9
Spin Kopplung, 12
Störungstheorie, 11, 12
Standardabweichung, 2
Symmetrische Wellenfunktion, 11
Transmissionskoeffizient, 5
Unschärfe, 8
Unschärferelation, 3
Varianz, 2
Variationsverfahren, 12
Verteilung, 2
Wahrscheinlichkeit, 2
Wahrscheinlichkeitsdichte, 2
Wahrscheinlichkeitsdichten, 2
Wahrscheinlichkeitsverteilung, 2
Wasserstoff Atom, 10
Wellenfunktion, 2
Zeitunabhängige Schrödingergleichung, 3
gebundener Zustand, 3
Grundzustand, 3
Hermite Polynome, 5
hermitesche Operatoren, 6
Hilbertraum, 7
Identische Teilchen, 11
Impuls, 2
Kastenpotential, 4
Kinetische Energie, 3
Kollabiert, 2
kontinuierlich, 2
kontinuierliches Spektrum, 7
Laquerre Polynome, 10
Mittelwert, 2
Normierung, 2
Normierungsbedingung, 2
Operatoren, 6
Orthonormalsystem, 4
Pauli Matrizen, 10
Pauli Prinzip, 11
Potentialtopf, 6
Projektor, 7
Reflexionskoeffizient, 5
Rydberg-Konstante, 10
Schrödinger Gleichung, 2
Skalarprodukt, 6
14