Formelsammlung Theoretische Physik II: Quantenmechanik <[email protected]> Stand: 21.07.2006 - Version: 1.0.0 Erhältlich unter http://privat.macrolab.de Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung “Theoretische Physik II: Quantenmechanik” von Prof. Karlheinz Langanke an der Technischen Universität Darmstadt im Sommersemester 2006. 2.5.1 Gebundene Zustände . . . . . . . 5 2.5.2 freier Zustand . . . . . . . . . . . 5 Endlicher Potentialtopf . . . . . . . . . 6 2.6.1 Gebundener Zustand . . . . . . . Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und son2.6.2 Streulösung . . . . . . . . . . . . stige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständig3 Formalisierung der Quantenmechanik keit der Inhalte übernehmen kann. 3.1 Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . 6 2.6 Inhaltsverzeichnis 1 Wellenfunktion 2 6 6 6 3.1.1 Hilbertraum . . . . . . . . . . . . 7 3.1.2 Verallgemeinerte statistische Interpretation . . . . . . . . . . . . 7 3.1.3 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.4 Projektor / Basiswechsel . . . . . 7 3.1.5 diskretes Spektrum . . . . . . . . 7 1.1 Schrödinger Gleichung . . . . . . . . . . 2 1.2 statistische Interpretation . . . . . . . . 2 1.3 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . 2 3.1.6 kontinuierliches Spektrum . . . . 7 1.3.1 Diskrete Verteilung . . . . . . . . 2 3.1.7 Heisenberg’s Unschärfe . . . . . . 8 1.3.2 Wahrscheinlichkeitsdichten . . . 2 3.1.8 Energie-Zeit Unschärfe . . . . . . 8 1.4 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.1.9 Zeitverhalten von Observablen . 8 1.5 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 QM in 3 Dimensionen 2 Zeitunabhängige Schrödinger Gl. 2.1 2.2 3 Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . 8 4.1.1 Harmonische Oszillator in 3d . . 8 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Stationäre Zustände . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Statistische Interpretation . . . . 3 2.1.2 Zustand definierter Energie (E) . 3 4.2.1 Bahndrehimpuls . . . . . . . . . 9 2.1.3 Allgemeine Lösung . . . . . . . . 3 4.2.2 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.4 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . 3 4.2.3 Spin beim Elektron . . . . . . . . 9 2.1.5 Besondere Eigenschaften . . . . . 3 Radiale Schrödingergleichung . . . . . . 10 4.3.1 ∞ kugelsymmetrisches Potential 10 Wasserstoff Atom . . . . . . . . . . . . . 10 Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Harmonische Oszillatoren . . . . . . . . 4 2.3.1 Potential . . . . . . . . . . . . . 4 2.3.2 Algebraische Lösung . . . . . . . 4 2.3.3 Analytische Lösung . . . . . . . 5 2.4 Das “freie” Teilchen . . . . . . . . . . . . 5 2.5 Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 4.1 8 4.2 4.3 4.4 5 Identische Teilchen 5.1 System unabhängiger Teilchen 11 . . . . . 6 Zeitunabhängige Störungstheorie 1 11 11 6.1 Nicht-entarteter Fall . . . . . . . . . . . 11 6.2 Entartete Störungstheorie . . . . . . . . 12 2 1 WELLENFUNKTION 12 7 Variationsverfahren 7.1 Obere Schranke . . . . . . . . . . . . . . 12 7.2 Spin / Drehimpuls Kopplung . . . . . . 12 8 Zeitabhängige Störungstheorie 1 13 ~2 ∂ 2 ψ (x, t) ∂ψ (x, t) + V · ψ (x, t) =− ∂t 2m ∂x2 h 2π = 1, 0545727 · 10 • ~ = 10−22 M eV s • de Broglie p = −34 2π~ λ R∞ Wahrscheinlichkeitsverteilung −∞ ̺ (x) dx = 1 Js = 6582122 · R∞ Mittelwert hf (x)i = −∞ f (x) · ̺ (x) dx statistische Interpretation 2 |ψ (x, t)| dx = Wahrscheinlichkeitsdichte ̺ (x) a • Ist linear in ψ. D.h. wenn ψ1 , ψ2 Lsg., dann auch c1 ψ1 + c2 ψ2 für feste c1 , c2 . 1.2 x kontinuierlich • Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss im Intervall [a, b] Z b Pab = ̺ (x) dx Schrödinger Gleichung i~ Wahrscheinlichkeitsdichten • Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereigniss zufällig zwischen x und x + dx liegt ist ̺ (x) · dx. Wellenfunktion 1.1 1.3.2 • hxi = R∞ −∞ x · ̺ (x) dx 2 Varianz σ 2 = x2 − hxi 1.4 Normierung Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall [x, x + dx] zu finden Normierungsbedingung Falls sich ψ statistisch interpretieren lassen soll, muss gelten • Durch Messung Kollabiert die Wellenfunktion zu Z ∞ 2 einem Peak am gemessenen Wert |ψ (x, t)| dx = 1 −∞ 1.3 Wahrscheinlichkeit 1.3.1 Falls ψ Lösung der Schwingungsgleichung, dann ist auch Aψ Lösung (A =Konstante). Diskrete Verteilung von Ereignissen N (j) mit 0 ≤ j ≤ ∞ und N (j) ≥ 0 für alle j. totale Anzahl von Ereignissen N = P∞ j=0 Wahrscheinlichkeitsverteilung P (j) = • N (j) • Falls ψ = 0 ⇒ auch nicht normierbar / keine Beschreibung eines qm Teilchens N (j) N P∞ j=0 P (j) = 1 Wahrscheinlichstes Ereigniss max {P (j)} P∞ PNmed mittleres Ereigniss j=Nmed P (j) j=0 P (j) = Mittelwert / Erwartungswert hf (j)i P∞ j=0 f (j) · P (j) • hji = j = 1 N P∞ j=0 j · N (j) = E D 2 Varianz σ = (j − hji) 2 • ∆j = j − hji 2 • σ 2 = j 2 − hji 2 • σ 2 ≥ 0 ⇒ j 2 ≥ hji • σ =Standardabweichung P∞ j=0 j · P (j) R∞ 2 • Falls ψ Lösung, aber −∞ |ψ| dx ist nicht endlich, dann beschreibt ψ keinen quantenmechanischen Zustand. = • Multiplikation von ψ mit A = eiα mit α ∈ R ändert nichts an der Wahrscheinlichkeitsverteilung R∞ d • dt |ψ (x, t)|2 dx = 0 −∞ 2 ∂ψ ∗ i~ ∂ ∂ ∗ ∂ψ ψ |ψ (x, t)| = 2m − ψ • ∂t ∂t ∂x ∂x 1.5 Impuls d hxit = hvit ≡ dt Z hxit = Z ∞ −∞ ∞ ψ ∗ ~ ∂ im ∂x ψ dx ψ ∗ (x) ψ dx −∞ Impuls p ≡ ~ ∂ i ∂x • Messgröße klassisch A (p, x) ⇒ Messgröße q.m. ∂ ,x A ~i ∂x 3 2.1 Stationäre Zustände • es kommt entscheident darauf an, an welcher stelle der Operator in Ausdrücken steht • Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung lässt sich schreiben als d • m dt hxi = hpi Ĥϕ (x) = Eϕ (x) was einer Eigenwertgleichung entspricht Kinetische Energie T = p2x 2m = ~2 ∂ 2 − 2m ∂x2 Heisenbergsche Unschärferelation σx · σpx ≥ 2 ~ 2 Zeitunabhängige Schrödinger Gl. 2.1 Stationäre Zustände • hHi 2 = E 2 H =E σ=0 Grundzustand x0 ist der Zustand in dem ϕ (x) keine Nullstellen (außer evtl. am Rand) bestitzt • dies ist auch der Zustand mit der geringsten Energie Angeregte Zustände haben n = 1, 2, . . . Knoten • Potential V (x) ist Zeitunabhängig • Schrödinger Gleichung lässt sich schreiben als ~2 d2 ∂ + V (x) ψ (x, t) i~ ψ (x, t) = − ∂t 2m dx2 gebundener Zustand erhält man, falls gilt E < limx→±∞ V (x) • Dies bedeutet, dass das Teilchen nicht in die Unendlichkeit verschwinden kann, sondern an eine Ortsumgebung gebunden ist • Seperationsansatz ψ (x, t) = ϕ (x) · f (t) • Löse für E ∈ R>0 ~2 d2 − 2m dx2 d i~ f (t) = Ef (t) dt + V (x) ϕE (x) = EϕE (x) die zweite Gleichung heißt Zeitunabhängige Schrödingergleichung • Lösung i ψ (x, t) = φE (x) · e− ~ Et • Falls sich das System in einem stationären Zustand mit der Energie E befindet: ∂ ψ (x, t) = Eψ (x, t) i~ ∂t 2.1.3 Da die Schrödinger Gleichung linear ist, ergibt sich die allgemeine Lösung als Superponierung über alle Eigenlösugnen X ~ ci ϕEi (x) e− i Ei t ψ (x, t) = i 2.1.4 Statistische Interpretation • ψ Normierbar ⇔ ϕE Normierbar • Jeder Erwartungswert einer dynamischen Variable d (Operator) A x, ~i dx hängt nicht von t ab. (in einem Eigenzustand ) → hxi = const, 2.1.2 d dt hxi = 0 = 1 m hpi Zustand definierter Energie (E) • Analog zur klassischen Hamilton Funktion q.m. Hamilton Operator Ĥ = − ~2 d2 + V (x) 2m dx2 Stetigkeit • ϕE ist überall stetig • dϕE dx ist überall stetig, wo das Potential nicht unendlich wird. Es gilt Z x+ǫ 2m dϕE V (x) · ϕE (x) dx = 2 lim ∆ dx ~ ǫ→0 x−ǫ 2.1.5 2.1.1 Allgemeine Lösung Besondere Eigenschaften Symmetrie Ist V (x) = V (−x) ist zu gegebenen ϕ (x) auch ϕ (−x) eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung zur gleichen Energie. • Falls es je Energie nur eine Lösung gibt, muss dies Folglich eine gerade oder eine ungerade Funktion sein. Merkregel für Bereich mit Konstanten Potential V0 gilt • bei E√< V0 ist ϕ (x) = Aekx + Be−kx 2m(V0 −E) κ= ~ • bei E√> V0 ist ϕ (x) = A sin (ωx) + B cos (ωx) 2m(E−V0 ) ω= ~ 4 2 2.2 ZEITUNABHÄNGIGE SCHRÖDINGER GL. Kastenpotential mit unendlich ho- 2.3.2 Algebraische Lösung hen Wänden V (x) = ( 0 0≤x≤a ∞ sonst • ψ muss stetig in x sein! = ϕn (x) = a+ := a− := 1 ~ d √ + imωx 2m i dx ~ d 1 √ − imωx 2m i dx • Operatoridentitäten • Lösung im Intervall [0, a] ist En • Definiere ~2 π 2 2 n 2ma2 r π 2 sin n x a a außerhalb des Intervalls ist ϕn (x) = 0. mit n ≥ 1 • Die ϕi bilden ein Orthonormalsystem, und sogar eine Basis ϕ∗i ϕj = δij = a+ a− = 1 ~2 d2 + mω 2 x2 + 2 2m dx 2 ~2 d2 1 − + mω 2 x2 − 2m dx2 2 − 1 ~ω 2 1 ~ω 2 • Hamilton Operator 1 Ĥ = a− a+ − ~ω 2 • Impuls p= die Fourier Basis P → Falls f (x) = i ci ϕi (x) R∞ → gilt ci = −∞ ϕ∗i (x) f (x) dx a− a+ • Ort x=i r r m (a+ + a− ) 2 1 (a− − a+ ) 2mω 2 • Mittelwert von x ist Genau in der Mitte des Po- Kommutator [A, B] = AB − BA tentials, im Symmetriepunkt • [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B hxi = a2 P ~ • [x, p] = i~ • ψ (x, t) = i ci ϕi (x) e− i Ei t • [a− , a+ ] = ~ω P 2 → i |ci | = 1 falls die ϕi eine Orthonormalbasis bilden Lösungen falls ϕ Lösung der Schrödinger Gleichung für Energie E, dann ist (a+ ϕ) Lösung für die EnerP 2 • hHi = i |ci | Ei gie E + ~ω und (a− ϕ) Lösung für die Energie d.h. die |ci |2 sind die Warscheinlichkeiten als EnerE − ~ω. gie Ei zu messen R∞ 2 Normierung falls −∞ |ϕ| dx = 1 gilt Z ∞ 1 2.3 Harmonische Oszillatoren |a− ϕ|2 dx = E − ~ω 2 −∞ • In der Umgebung eines lokalen Extremums lässt Lösungen sich jede Funktion Näherungsweise als Parabel mω 2 ϕn (x) = An (a+ )n e− 2~ x auffassen. 1 • Harmonische Oszillatoren in klassischer Mechanik En = n+ ~ω 2 1 V (x) = kx2 Iterative Lösung 2 √ a− ϕn = −i n~ωϕn−1 p 2.3.1 Potential a+ ϕn = i (n + 1) ~ωϕn+1 V (x) = 1 mω 2 x2 2 • die Phase von ±i ist eigentlich irrelevant, ist aber so in der Konvention • hat Lösung i Ψ (x, t) = ϕ (x) e− ~ Et • Lösungsansatz " # 2 ~ d 1 2 + (mωx) ϕ (x) = Eϕ (x) 2m i dx • a+ a− ϕn = n~ωϕn a− a+ ϕn = (n + 1) ~ωϕn q √ √ ~ ( mδn,m−1 + nδm,n−1 ) • hn|x|mi = 2mω Viralsatz besagt (nur beim harmonischen Oszillator) 1 hEi = hT i = hV i 2 5 2.5 Delta 2.3.3 Geschwindigkeit der Welle ist Analytische Lösung Phasengeschwindigkeit vp = Lösung ϕn (ξ) ξ (x) En mω 41 = ξ2 1 √ Hn (ξ) e− 2 2n n! π~ r mω x = ~ 1 = n+ ~ω 2 2.5 = = 1 2x H2 (x) = Hn (x) = 4x2 − 2 n X aj xn ~k m Delta • Entspricht Einem unendlich hohen Spike im Potential am Punkt x = 0 2.5.1 j=0 • aj+2 = ~k 2m Gruppengeschwindigkeit vg = dω dk k=K0 = Potential V (x) = −αδ (x) H0 (x) H1 (x) = = Dirac Delta δ (x) Definition siehe mein Skript für die theoretische Physik 1 Hermite Polynome = ω k dn − x2 e 2 dxn xHn−1 (x) − nHn−2 (x) (−1)n e x2 2 Gebundene Zustände Bedingung E < 0, α > 0 Lösung ϕ (x) 2j+2n (j+1)(j+2) aj • an = 2 n E √ mα − mα e ~2 |x| ~ mα2 = − 2 2~ = • Es kommen je nachdem ob n gerade oder ungerade ist nur gerade oder ungerade Potenzen in Hn (x) 2.5.2 freier Zustand vor. Beschreibung Es wird angenommen, das hier Teil• Bilden ein Orthogonalsystem chen von −∞ in die Anordnung kommen und Z ∞ 2 √ durch das Potential gestreut werden. − x2 ∗ dx = n! 2πδnm Hn (x) Hm (x) e −∞ • Lösen die DGL mit n ∈ N y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0 2.4 Das “freie” Teilchen • Die Lösung in der Vorlesung hat einiges an Beweisen ausgespart, und ist nur Oberflächlich korrekt. Es würde aber ein Korrekter Beweis das gleiche Liefern Reflexionskoeffizient R = Potential V (x) = 0 Lösung mit k = √ 2mE ~ 1 Ψ (x, t) = √ 2π • β= Z ∞ dk φ (k) e “ ” 2 i kx− ~k 2m t −∞ • k= β2 1−β 2 = 1 2E 1+ 2~ mα2 mα ~2 k √ 2mE ~ • Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen reflektiert wird • Bestimmung von φ (k) durch Fouriertransformation der Anfangsbedingung • man hat Reflexion, obwohl der Spike weit unter Z ∞ dem Potential liegt 1 dk φ (k) eikx Ψ (x, 0) = √ 2π −∞ Z ∞ 1 1 Transmissionskoeffizient T = 1+β 2 = 1 mα2 1+ 2~ 2E dx Ψ (x, 0) e−ikx φ (k) = √ 2π −∞ • Vorraussetzung ist, das die folgenden Integrale existieren Z ∞ dx |Ψ (x, 0)|2 < ∞ −∞ Z ∞ 2 dk |φ (x0)| < ∞ −∞ • Wahrscheinlichkeit, das ein Teilchen passieren kann • R+T =1 • Unabhängig vom Vorzeichen von α bzw. der Richtung des Potential-Spikes (±). Das heißt, das ein Teilchen durch eine Barriere Durchtunneln kann 6 3 2.6 Endlicher Potentialtopf Potential V (x) = ( −V0 0 −a ≤ x ≤ a sonst • V0 > 0 2.6.1 2.6.2 Streulösung Transmissionskoeffizient T mit 2a p V02 2m (E + V0 ) T −1 = 1 + sin2 ~ 4E (E + V0 ) • Bei bestimmten Energieen 2a p 2m (E + V0 ) = nπ ~ Gebundener Zustand • κ= • l= FORMALISIERUNG DER QUANTENMECHANIK √ −2mE ~ erhält man vollständige Transmission √ 2m(V0 +E) ~ ∈R Reflexionskoeffizient R = 1 − T gerade Lösungen −κx F e ϕ (x) = D cos (lx) ϕ (−a) 3 x>a 0≤x≤a sonst • F e−κa = D cos (la) • κ = l tan (la) 2 2 • (κa) + (la) = 2mV0 2 ~2 a Formalisierung der Quantenmechanik 3.1 Funktionenräume Vektoren |αi entspricht einer Funktionen α (x). Diese Funktionen bilden einen C Vektorraum. Lineare Abbildungen Sind lineare Operatoren X̂. Diese sind im endlichdimensionalen mit Matrizen vergleichbar • Es gibt immer mindestens eine gerade Lösung! • Anzahl der Lösungen ist größtes n das die Gleichung √ (n − 1) π ≤ mV0 ~a erfüllt • Im Grenzfall mV0 a2 → ∞ ergibt sich la = π2 , 32 π, . . . , n + 12 π, . . . ungerade Lösungen −κx x>a F e ϕ (x) = D sin (lx) 0 ≤ x ≤ a −ϕ (−a) sonst • F e−κa = D sin (la) • κ = −l cot (la) 2 2 • (κa) + (la) = 2mV0 2 ~2 a • Anzahl der Lösungen ist größtes n das die Gleichung √ n + 21 π ≤ mV0 ~a erfüllt • Im Grenzfall mV0 a2 → ∞ ergibt sich la = π, 2π, . . . , nπ, . . . Insgesamt haben wir im Grenzfall den Unendlichen Potentialtopf um V0 nach unten verschoben. d̂ • Bsp: dx in Polynomen vom Grad N , x̂ im formaten Potenzreihen Eigenfunktion T̂ |αi = λ |αi α heißt Eigenfunktion zum Eigenwert λ von T̂ R Skalarprodukt hα|βi = α∗ (x) β (x)dx • Die Grenzen müssen Passend zu Problem definiert werden • Funktionen müssen Quadratintegrable sein ⇔ hα|βi < ∞ D E D E α|T̂ β = T̂ α|β für hermitesche Operatoren alle |αi , |βi • ~ ˆd i dx ist hermitesch, falls → α (a) = α (b) für alle |αi (a, b sind Integrationsgrenzen) → oder bei quadrat-integrable Funktionen in [−∞, ∞] Eigenschaften einer T̂ † = T̂ hermiteschen → Alle Eigenwerte sind reel Operation → Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal 7 3.1 Funktionenräume → Für endlich dimensionale Vektorräume span- 3.1.3 Vorgehen nen die Eigenvektoren den ganzen Raum auf D E 1. Q̂ |ψλ i = λ |ψλ i bestimmen des Eigenspektrum P 2 → T̂ = i |ci | λi Erwartungswert der Mes(Menge der Eigenwerte) mit den zugehörigen Eisung genvektoren → Eigenwerte von T̂ =Mögliche Messwer2. Bilden einer Orthonormalbasis aus den |ψλ i te jeweils mit Wahrscheinlichkeit 2 |hEigenvektori |ψi| 3. Ein belibiger Zustand linear komP ist aus aus Basis 2 binierbar |ψi = λ aλ |ψλ i, |aλ | ist die Wahrscheinlichkeit λ bei einer Messung von Q̂ in |ψi zu 3.1.1 Hilbertraum finden. In der QM sind wir an Fkt. interressiert, die quadrat3.1.4 Projektor / Basiswechsel integrabel sind Z ∞ P Einsoperator 1 = n |en i hen | Ψ∗ (x) Ψ (x) dx < ∞ −∞ Der Raum der von solchen Funktionen aufgespannt wird, wird mit L2 (−∞, ∞) bezeichnet. Ein Vektorraum H mit einem inneren Produckt, h·|·i heißt Hilbertraum, falls alle Konvergenten Reihen in H gegen einen Vektor in H konvergieren (Vollständig). • Falls {|en i} eine Vollständige, orthonormierte Basis bilden Projektor ist ein Operator, für den gilt P |βi = P 2 |βi • Eigenwerte 0, 1 Zerlegung Q̂ = 3.1.2 Verallgemeinerte statistische Interpretation 1. Ein Teilchen wird repräsentiert durch eine Wellenfunktion Ψ (x, t) 2 2. |Ψ (x, t)| dx ist die Warscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [x, x + dx] zur Zeit t zu finden 3. RDie ∞ Normierung 2 |Ψ (x, t)| dx −∞ muss erfüllt sein: Dann haben wir Ψ (x,Rt) ∈ L2 (−∞, ∞) mit dem inne∞ ren Produkt hα|βi = −∞ α∗ β dx P n λn |en i hen | • Jeder hermitesche Operator lässt sich auf “Diagonalgestalt” bringen 3.1.5 diskretes Spektrum P Vollständigkeit |ψi = n cn |en i hek |ψi = ck Wahrscheinlichkeit dass λn Auftritt 2 2 |cn | = |hen |ψi| 3.1.6 kontinuierliches Spektrum 1. Wir Identifizieren ein Teilchen mit einem Vektor ′ in L2 und bezeichnen es als |Ψi. Die Normierung Eigenzustände ex′ = δ (x − x ) Z ∞ fordert hΨ|Ψi = 1 |Ψi = dk ck |ek i 2. Meßgrößen sind hermitesche Operatoren Q̂. Der −∞ Erwartungswert von Q̂ ist Eigenwertgleichung Q̂ |en i = λn |en i mit n kontinuD E D E Q̂ = Ψ|Q̂Ψ ierlich und −∞ ≤ λn ≤ ∞ 3. Messungen von Observablen liefern die Eigenwerte (reellen) von Q̂ und zwingen das System einen Eigenzustand anzunehmen Othogonale Basis hen |ek i = δ (n − k) ∗ • hx|ψi = ψ (x) = hψ|xi • hp|ψi = ψ (p) = hψ|pi∗ 2 = 4. Die Varianz der Messung ist σQ̂ D E2 R∞ Q̂ − Q̂ = 0 genau dann , wenn sich das Vollständigkeit 1 = −∞ dk |ek i hek | System in einem Eigenzustand von Q̂ befindet. Wahrscheinlichkeitsdichte |ck |2 dk = |hek |ψi|2 dk 8 4 QM IN 3 DIMENSIONEN 3.1.9 Fourier Transformation 1 i ≡ hx|pi = √ e ~ px 2π Ψx (p) ≡ hp|xi Ψp (x) iE d D E i Dh Q̂ = Ĥ, Q̂ + dt ~ ∗ = hx|pi 1 i = √ e− ~ px 2π damit gilt Ψ (x) Z = dp Ψp (x) Ψ (p) Z ∞ i 1 √ dp e ~ px Ψ (p) 2π −∞ Z ∞ i 1 √ dx e− ~ px Ψ (x) 2π −∞ −∞ = Ψ (p) = Mittelwerte von Kontinuierlichen Spektren (R d Ψ∗ Q̂(x, ~i dx ,t)Ψdx im Ortsraum hQ (x, p, t)i = R ∗ ~ d Ψ Q̂(− i dp ,p,t)Ψdp im Impulsraum 3.1.7 Heisenberg’s Unschärfe 2 2 σ σB̂ ≥ 4 iE2 1 Dh Â, B̂ 2i * ∂ Q̂ ∂t + QM in 3 Dimensionen 4.1 ∞ Zeitverhalten von Observablen Verallgemeinerungen Kinetische Energie T = • klassisch → qm: qi → p ~2 2m = 1 2m p2x + p2y + p2z ~ d i dxi Schrödinger Gleichung ∂Ψ (~r) i~ = HΨ (~r) = ∂t ~2 − △ +V (~r) Ψ (~r) 2m Statistische Interpretation Z 2 |Ψ (~r)| d~r = 1 Für zeitunabhängige Potentiale vereinfacht sich dies zu i Ψ (~r) = ϕn (~r) · e− ~ En t • Mit  = x̂ und B̂ = p̂ folgt die Heisenbergsche Unschärfe ~2 △ +V (~r) ϕn (~r) = En ϕn (~r) − • Falls 2m h die i beiden Observablen  und B̂ vertauschen ( Â, B̂ = 0) und Hermitesch sind, gibt es eine Z Basis in der  und B̂ gleichzeitig diagonal werden |ϕn (~r)|2 d~r = 1 (scharf gemessen werden können). h i • Wenn Â, B̂ 6= 0 dann existiert keine Basis in der Kommutatoren zwischen Ort und Impuls  und B̂ gleichzeitig diagonal werden • Bei einer Transformation S die H invariant läßt S −1 HS = H • [ri , pi ] = i~δij • [ri , rj ] = [pi , pj ] = 0 (entspr. [H, S] = 0). Ist |ni ist Eigenzustand von Ehrenfest Theorem H mit Eigenwert En , dann ist auch S |ni Eigend zustand von H mit gleichen Eigenwert En . h~ri = dt d → entweder |ni und S |ni sind die gleichen Zuh~ pi = dt stände oder das Spektrum von H ist entartet. 3.1.8 Energie-Zeit Unschärfe ∆t · ∆E ≥ ~ 2 • nicht vom gleichen Typ wie x, p Unschärfe, weil t keine Observable ist. 4.1.1 1 h~ pi m D E ~ −∇V Harmonische Oszillator in 3d ϕn (~r) = ϕnx (x) · ϕny (y) · ϕnz (z) Entartete Zustände liegen vor, wenn es zu einem Energiewert mehrere Eigenzustände existieren. 9 4.2 Drehimpuls 4.2 Drehimpuls • für festes λ gibt es Maximum und Minimum für µ p ~2 2m ∂ r2 ∂r Transformation 2 1 ∂ r 2 ∂r ~ − 2m + → ~2 L 2mr 2 2 ~ − 2m △ = • [Li , rj ] = εijk i~rk [Li , pj ] = εijk i~pk i h • Ĥ, Li = 0 falls V nur von r abhängt 4.2.1 + + Bahndrehimpuls L̃ = • Bilden eine SU (2) Algebra (Li Algebra) Betrag L = µ2min − ~µmin • zu jedem l gibt es 2l + 1 verschiedene Werte von m • mit i, j, k ∈ {x, y, z} L2y = • 2 · l ∈ N (also l halbzahlig) Kommutator [Li , Lj ] = i~εijk Lk L2x µ2max + ~µmax • −l ≤ m ≤ l in ganzzahligen Schritten. • in Kugelkoordinaten 2 λ = L2z ~ ~ ~r × ∇ i • entspricht ~r × ~p • L2 |l, mi = l (l + 1) ~ |l, mi • m muss ganzzahlig sein ⇒ l auch • L2 , Li = 0 • Dies ist der einzige Operator der mit Li vertauscht • gleichzeitig Diagonalisierbar sind also L2 und eine Komponente von L • |l, mi = Yl,m (ϑ, ϕ) q (l−m)! m i·m·ϕ • Yl,m (ϑ, ϕ) = 2l+1 4π (l+m)! Pl (cos ϑ) · e • Plm (x) = • Pl (x) = → Konvention: dies sind L2 , Lz ±Operatoren 4.2.2 L+ = Lx + iLy L− = Lx − iLy (−1)m 2l l! 1 ∂l 2l l! ∂xl 1 − x2 x2 − 1 m2 ∂ l+m P ∂xl+m l (x) l Spin Ist ein innerer Freiheitsgerad von Elementarteilchen. Er entspricht ebenfalls einem Drehimpuls. • (L+ ) = L− † (L− ) = L+ ~ entspricht dem L ~ beim Bahndrehimpuls • S • L+ , L− sind nicht hermitesch • L2 , L± = 0 • Alle vom Bahndrehimpuls bekannten Beziehungen gelten analog auch für den Spin † • s entspricht dem l beim Bahndrehimpuls • s ist für eine Teilchenart fest • [Lz , L+ ] = ~L+ [Lz , L− ] = −~L− → s = 21 für: Elektronen, Proton, Neutron, . . . (Fermionen, da s halbzahlig) 2 • L |l, mi = l (l + 1) ~ |l, mi Lz |l, mi = m~ |l, mi p • L+ |l, mi = pl (l + 1) − m (m + 1)~ |l, m + 1i L− |l, mi = l (l + 1) − m (m − 1)~ |l, m − 1i • Lx = Ly = 1 2 (L+ + L− ) 1 2i (L+ − L− ) → s =ganzzahlig für Bosonen 4.2.3 Spin beim Elektron Elektron Spin s = 1 2 Eigenzustände 2 Eigenwerte Falls f Eigenfunktion von L mit Eigenwert λ = l (l + 1) ~ und zu Lz mit Eigenwert µ = m~ • dann ist auch L± f Eigenfunktion von L2 und Lz zu Eigenwerten λ, µ ± ~. • λ ≥ µ2 χ+ = χ− = • Spin up: χ+ Spin down: χ− 1 1 |smi1 = , 2 2 1 1 |smi2 = , − 2 2 10 4 QM IN 3 DIMENSIONEN 4.3.1 Operatoren in Basis aus Eigenzuständen 3 2 1 0 ˆ 2 S = ~ 0 1 4 ~ Ŝi = σi 2 0 1 Ŝ+ = ~ 0 0 0 0 Ŝ− = ~ 1 0 • βn,l = ka = nπ • En,l = • sphärische Bessel Funktion l d l sin(x) jl (x) = (−x) x1 dx x • sphärische von Neumann Funktion l d l cos(x) ul (x) = − (−x) x1 dx x Pauli Matrizen sind = σx = σy = σz 0 1 1 0 0 −i i 0 1 0 0 −1 4.4 • Masse Proton ∞ • Schwerpunkt im Proton 2 e Potential V (r) = − 4πε 0r Eigenwertgleichung • trace (σi ) = 0 • E<0 • λ1/2 = ±1 • = 1 0 0 1 • ̺0 = = = = 1− ̺0 ̺ + l(l+1) ̺2 u (̺) r an me2 2πε0 ~2 κ • u (̺) = P ̺l+1 e−̺ v (̺) v (̺) = j=0 aj ̺j =E 2(l+j+1)−̺0 aj aj+1 = (j+1)(j+2l+2) ajmax +1 = 0 • n = jmax + l + 1 2 2 1 e m • E = − 2~ 2 4πε0 n2 a (z) (z) = aχ+ + bχ− b a + b (x) a − b (x) √ χ+ + √ χ− 2 2 E1 n2 E= E1 = 4.3 d2 u d̺2 −2mE ~ • ̺ = κr = Zustand χ √ • κ= • Eigenvektoren für σx (z) (z) (x) 1 √ χ+ = 2 χ+ + χ− (x) (z) (z) χ− = √12 χ+ − χ− Wasserstoff Atom Annahmen zur vereinfachten Rechnung • det (σi ) = −1 σi2 ~2 2 2ma2 βn,l • u (r) = A · r · jl (k · r) • Eigenwerte von Ŝi = ± ~2 ∞ kugelsymmetrisches Potential ( 0 r<a V (r) = ∞ r≥a Radiale Schrödingergleichung ~2 ∂ 2 ul (r) l (l + 1) ~2 − + V (r) + − E ul (r) = 0 2m ∂r2 2mr2 • ul (0) = 0 da Ψ (~r) sonst in 0 singulär wird totale Lösung Ψ (~r) = ul (r) r Yl,m (ϑ, ϕ) = 1 a·n 4πε0 ~2 me2 e2 4πε0 2 = −13, 59 eV = 0, 529 · 10−10 m Bohr Radius • v (̺) = L2l+1 n−l−1 (̺) p d p p Lq−p (x) = (−1) dx L (x) −x q q x d q Lq (x) = e dx (e x ) Laquerre Polynome • 0≤l ≤n−1 • Die Parität (ob es eine gerade oder ungerade Funkl tion ist) der Funktionen ist (−) • für festes m, l verschiedene Eigenwerte die mit n durchnummeriert sind R∞ 2 Normierung 0 |ul (r)| dr R 2 |Ψ (~r)| d~r = 1 • κ= a= m 2~2 1 ⇒ • Die Entartung des Zustandes mit Energie E = ist n2 • Eγ = h λc = Ei − Ef = R n12 − n12 f i 1 Rydberg-Konstante R = 1, 097 · 107 m E1 n2 11 5 Identische Teilchen Pauli Prinzip da Determinante für zwei gleiche Zustände mit = 0 reagiert sind solche zustände nicht mehr normierbar und damit Verboten In der QM sind identische Teilchen ununterscheidbar Austauschoperator • dieses ϕ ist antisymmetrisch P ϕ (~r1 , ~r2 ) = ϕ (~r2 , ~r1 ) unterscheidbare Bosonen gleiche formel wie bei Fermionen, blos das alle Terme der Determinante positiv abgeändert werden. • lässt sich auch Erweitern auf eine Wellenfunktion von mehr als 2 Teilchen • dieses ϕ ist symmetrisch • Eigenwerte ±1 • Die Grundzustandsenergie eines Bosonen Systems ist immer kleinergleich der eines Fermionensystems E0B ≤ E0F • Eigenfunktionen ±ϕ (~r1 , ~r2 ) = ϕ (~r2 , ~r1 ) • H und P sind simultan diagonalisierbar Symmetrische Wellenfunktionen ϕ (~r1 , ~r2 ) = ϕ (~r2 , ~r1 ) System aus zwei Teilchen. gesucht ist bei einem System mit D 2 (x1 − x2 ) E ϕ (x1 , x2 ) = ϕa (x1 ) · ϕb (x2 ) • ident. Teilchen, die gegen Vertauschung symmetrisch sind, heißen Bosonen unterscheidbare Teilchen E D (x1 − x2 )2 = x2 a + x2 b − 2 hxia hxib • dies sind genau die Teilchen mit ganzzahligen Spin • Wechselwirkungsteilchen: Photonenm, W,Z Boson, Gluonen identische Bosonen 2 h(x1 −x2 )2 i=hx2 ia +hx2 ib −2hxia hxib −2|hxiab | R • hxiab = dx ϕ∗a (x) · x · ϕb (x) Antisymmetrische Wellenfunktion ϕ (~r1 , ~r2 ) = −ϕ (~r2 , ~r1 ) • Bosonen rücken durch Wechselwirkungstherm also näher zusammen→ spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle • Fermionen • dies sind genau die Teilchen mit halbzahligen Spin identische Fermionen • Bausteine der Natur Neutrinos, Elektronen, Protonen, Neutronen, Quarks 5.1 h(x1 −x2 )2 i=hx2 ia +hx2 ib −2hxia hxib +2|hxiab |2 • Fermionen entfernen sich also durch Wechselwirkungstherm → spielt nur bei sehr nahe Benachbarten Teilchen eine Rolle System unabhängiger Teilchen Potential läss sich hier schreiben als V (r1 , . . . , rn ) = n X 6 Vi (ri ) Zeitunabhängige theorie Störungs- i=1 Lösung der Schrödingergleichung über Trennung der Variablen unterscheidbare Teilchen ϕ (r1 , . . . , rn ) = 6.1 Nicht-entarteter Fall H = H0 + H′ mit n Y ϕi (ri ) i=1 ununterscheidbare Fermionen i = 1, . . . , n 1 ϕ (r1 , . . . , rn ) = √ det {ϕi (rj )} j = 1, . . . , n n! 1. H 0 ϕ0n = En0 ϕ0n bekannt 2. ϕ0n |ϕ0m = δnm 3. H ′ ≪ H 0 “kleine” Störung Energieskala von H ′ ist 0 0 En − Em klein gegenüber 12 7 Entwickeln mit λ ∈ [0, 1] Entwicklungsparameter Löse das Eigenwertproblem Ŵ (αi ) = E 1 (αi ) H ′ → λH ′ H 0 + λH ′ ϕn VARIATIONSVERFAHREN mit Ŵ = = En ϕn ϕn = ϕ0n + λϕ1n + λ2 ϕ2n + . . . En = En0 + λEn1 + λ2 En2 + . . . 0 ′ 0 ϕi |H |ϕj i,j • Sei α̃ = (α̃i ) Eigenvektor zum Eigenwert Ẽ 1 n X ϕ0 = Einsetzen in Schrödingergleichung und sortieren nach Koeffizienten ergibt folgendes Gleichungssystem α̃i ϕ0αi i=1 ist Eigenfunktion von H + H ′ zur Energie E 0 + Ẽ 1 H 0 ϕ0n = En0 ϕ0n H 0 ϕ1n + H ′ ϕ0n H 0 ϕ2n + H ′ ϕ1n = = .. . En0 ϕ1n + En1 ϕ0n En0 ϕ2n + En1 ϕ1n + En2 ϕ0n 7 Variationsverfahren 7.1 Obere Schranke Falls man nur an En1 interessiert ist, und danach die Gegeben Entwicklung abbricht erhält man Störungstheorie 1.ter Ordnung En1 = ϕ0n |H ′ |ϕ0n • En ≈ En0 + En1 Hϕn = Eϕn • Nähern ϕn durch normierte parameterisierte Wellenfunktion φ [ai ] mit ai als Parameter • Entwickele φ in der ϕn Basis X φ [ai ] = ck ϕk k • ϕn ≈ ϕ0n Erwartungswert der Energie ist Störungstheorie 2.ter Ordnung En2 = ϕ0n |H ′ |ϕ1n X ϕ0n |H ′ |ϕ0m 2 = 0 En0 − Em m6=n 0 X ϕm |H ′ |ϕ0n 1 ϕ0m ϕn = 0 En0 − Em m6=n E [φ] = hφ|H|φi hφ|φi Es gilt E [φ] − E0 = P k 2 |ck | (Ek − E0 ) ≥0 P 2 k |ck | • dies ist genau dann = 0, wenn φ = ϕ0 ist. • wir haben also eine obere Schranke für die Energie. • En ≈ En0 + En1 + En2 • ϕn ≈ ϕ0n + ϕ1n 7.2 Spin / Drehimpuls Kopplung • Allgemein: Für Störungstheorie n-ter Ordnung in der Ener- Kopplung von 2 beliebigen Drehimpulsen (j1 , j2 ) gie benötigt man Störungstheorie (n − 1)-ter OrdJ~ = J~(1) + J~(2) nung in den Eigenfunktionen ist wieder ein Drehimpuls. Es gilt 6.2 J 2 |jmi = j (j + 1) ~2 |jmi Entartete Störungstheorie Jz |jmi = mj ~ |jmi gegeben ϕ0 = n X αi ϕ0αi i=1 ist Eigenfunktion für alle αi zu Eigenwert E 0 0 0 0 0 H ϕ =E ϕ • Es gelte das die ϕαi orthonormal sind hϕαi |ϕαι i = δαi αj mit j = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2 | und wie gehabt j ≤ mj ≤ j • Addition von n Spins in gleicher Richtung ⇒ immer symmetrisch gegen index Vertauschung • Addition von 2 gleichen entgegengesetzten Spins ⇒ antisymmetrisch gegen index Vertauschung 13 8 Zeitabhängige rie wir betrachten stem mit Störungstheo- ein betrachten ein 2 ZustandssyH0 ψa = Ea ψa H0 ψb = Eb ψb mit othonormalen zeitunabhängigen ψa , ψb . Ein beliebiger Zustand ist also gegeben durch i i Ψ (t) = ca ψa e− ~ Ea t + cb ψb e− ~ Eb t 2 2 mit zeitunabhängigen ca , cb für die gilt |ca | + |cb | = 1 Schalten zeiabhängige Störung ein H = H0 + H ′ (t) Annahme ψa , ψb spannen den Hilbert-Raum von H auf. Das bedeutet das die Wirkung von H ′ ca , cb zeitabhängig macht. Lösen des Gleichungssystems i ′ ′ ca (t) Haa (t) + cb (t) Hab (t) e−iω0 t ~ i ′ ′ c˙b = − cb (t) Hbb (t) + ca (t) Hba (t) e+iω0 t ~ mit der Bohrfrequenz c˙a = − ω0 = Eb − Ea ~ und ′ hψi |H ′ (t) |ψj i = Hij (t) ′ ′ ∗ Es gilt Hij = Hji Lösen durch Iteration (Picard Lindelöf ) liefert kann bei der Randbedingung ′ ′ Haa = Hbb =0 bei Annahme c(0) a (t) = 1 (0) cb 0 (t) = zu den folgenden ersten Iterationsgliedern c(1) a (t) = 1 (1) cb (t) = − c(2) a (2) (t) = cb (t) = i ~ Z 0 t ′ ′ Hba (t) eiω0 t dt′ Z Z ′ 1 t ′ ′ −iω0 t′ t ′ ′′ iω0 t′′ ′′ ′ H (t ) e Hba (t ) e dt dt 1− ~ 0 ab 0 Z ′ i t ′ Hba (t) eiω0 t dt′ − ~ 0 Index Angeregte Zustände, 3 Antisymmetrische Wellenfunktion, 11 Austauschoperator, 11 Bahndrehimpuls, 9 Basiswechsel, 7 Bosonen, 9, 11 Broglie, de, 2 de Broglie, 2 diskretes-Spektrum, 7 Drehimpuls, 9 Ehrenfest Theorem, 8 Eigenfunktion, 6 Einsoperator, 7 Ereigniss, 2 Erwartungswert, 2 Fermionen, 9, 11 Fourier Basis, 4 Fourier-Transformation, 8 freie Teilchen, 5 Funktionenräume, 6 sphärische Bessel Funktion, 10 sphärische von Neumann Funktion, 10 Spin, 9 Spin Kopplung, 12 Störungstheorie, 11, 12 Standardabweichung, 2 Symmetrische Wellenfunktion, 11 Transmissionskoeffizient, 5 Unschärfe, 8 Unschärferelation, 3 Varianz, 2 Variationsverfahren, 12 Verteilung, 2 Wahrscheinlichkeit, 2 Wahrscheinlichkeitsdichte, 2 Wahrscheinlichkeitsdichten, 2 Wahrscheinlichkeitsverteilung, 2 Wasserstoff Atom, 10 Wellenfunktion, 2 Zeitunabhängige Schrödingergleichung, 3 gebundener Zustand, 3 Grundzustand, 3 Hermite Polynome, 5 hermitesche Operatoren, 6 Hilbertraum, 7 Identische Teilchen, 11 Impuls, 2 Kastenpotential, 4 Kinetische Energie, 3 Kollabiert, 2 kontinuierlich, 2 kontinuierliches Spektrum, 7 Laquerre Polynome, 10 Mittelwert, 2 Normierung, 2 Normierungsbedingung, 2 Operatoren, 6 Orthonormalsystem, 4 Pauli Matrizen, 10 Pauli Prinzip, 11 Potentialtopf, 6 Projektor, 7 Reflexionskoeffizient, 5 Rydberg-Konstante, 10 Schrödinger Gleichung, 2 Skalarprodukt, 6 14