Übungsblatt 9

Quantenmechanik I
Übungsblatt
9:
Drehimpulse und Drehoperatoren II
JProf. J. Sirker
Fällig: Montag
Abbildung 1: Zur Addition der Drehimpulse
j1 =
04.
5
2 und
Juli, 13:00 Uhr
j2 = 4.
1. Addition zweier Drehimpulse (15 Punkte) Es seien zwei Drehimpul-
se
~J1
und
~J2
mit den Quantenzahlen
nearkombinationen von
~J1 und ~J2
j1 und j2
gegeben. Unter allen Li-
hat nur die Summe
~J = ~J1 + ~J2
die
Eigenschaften eines Drehimpulsoperators (warum?). Um die möglichen
Quantenzahlen von
~J
zu nden, überlegen wir uns die Konstruktion der
2
J , Jz -Eigenzustände. Diese liegen im Produktraum der J21 , J1z - und der
J22 , J2z -Eigenzustände. Das oben stehende Diagramm veranschaulicht die5
se (2j1 + 1) × (2j2 + 1) Eigenzustände für den Fall j1 =
2 und j2 = 4.
Allgemein setzen wir im folgenden oBdA j2 ≥ j1 voraus.
|j1 m1 i|j2 m2 i des Produktraums
Jz = J1z + J2z (mit Eigenwerten ~(m1 + m2 ))
2
Eigenzustände zu J sind (bis auf zwei Ausnahmen,
a) Begründe, dass die Basiszustände
Eigenzustände zu
sind, nicht aber
siehe b).
1
b) Zeige, dass der Zustand
genzustand von
j = j1 + j2
J2
|j1 j1 i|j2 j2 i (ganz oben im Diagramm) Ei~2 j(j + 1) mit der Quantenzahl
zum Eigenwert
ist. Wie wir aus der allgemeinen Behandlung des Dre-
himpulses wissen, erzeugt die sukzessive Anwendung des Absteige-
J− = J1− + J2− auf |j1 j1 i|j2 j2 i alle 2j + 1 simultanen
J2 und Jz zu dieser Quantenzahl j = j1 + j2 . Im
Diagramm führt die Anwendung von J− jeweils eine Zeile tiefer. Was
operators
Eigenzustände von
läÿt sich über den untersten Zustand im Diagramm sagen?
c) Bei der Konstruktion des Multipletts zu
j = j1 + j2
in b) wurde
genau eine Linearkombination der zwei Basisvektoren in der zweiten
Zeile des Diagramms verbraucht. Zeige, dass die verbleibende, dazu
orthogonale Linearkombination Eigenzustand von
2
~ j(j + 1)
mit der Quantenzahl
j = j1 + j2 − 1
J2
zum Eigenwert
ist. Sukzessive An-
wendung des Absteigeoperators erzeugt die weiteren Zustände dieses
Multipletts.
d) Nach Konstruktion des zweiten Multipletts in c) sind in der dritten Zeile schon 2 Linearkombinationen verbraucht. Zeige nochmal,
dass die verbliebene, zu beiden orthogonale Linearkombination Eigenzustand von
j = j1 + j2 − 2
J2
zum Eigenwert
~2 j(j + 1)
mit der Quantenzahl
ist.
e) Das Verfahren endet oensichtlich, wenn beim Erreichen der Zeile
m = j2 − j1
ein Multiplett zur Quantenzahl
j = j2 − j1
konstruiert
wird. Danach sind alle Linearkombinationen verbraucht. Es wurde
insgesamt aus der
J21 , J1z , J22 , J2z -
J2 , Jz -Basis
Basis eine
konstru-
iert. Zur Kontrolle prüfen Sie noch einmal die Dimensionsgleichheit
beider Basissätze.
2. Drehimpulsrelationen (10 Punkte)
a)
~J
sei der Drehimpuls,
~v
ein Vektoroperator. Beweise die Identität
[~v, J2 ] =
b) Es sei
r± := x ± iy
und
~
(~v × ~J − ~J × ~v)
i
p± := px ± ipy
sowie
L± := Lx ± iLy . Beweise
die Kommutatorrelationen
[Lz , r± ] = ±~r±
[L2z , r± ] = ~r± (~ ± 2Lz )
[L+ , r+ ] = [L− , r− ] = 0
[L− , r+ ] = [r− , L+ ] = −2~z
[L2 , r+ ] = 2~r+ (~ + Lz ) + [L− , r+ ]L+
und analoge Beziehungen mit
p±
anstelle von
r± .
c) Begründe mit Hilfe von b), dass die l-fache Anwendung des Operators
r+
aus dem (radialsymmetrischen) l=0 Zustand
|00i den Zustand |lli
erzeugt, also
l
r+ |lli ∝ |l + 1, l + 1i und |lmi ∝ Ll−m
− r+ |00i.
2
Was lässt sich in den einfachsten Fällen (l
über die
θ-Abhängigkeit
der Wellenfunktion
= 0 , l = 1 , m = l > 1)
h~r|lmi schlieÿen?
3. Drehimpulse und Eulerwinkel (10 Punkte) Eine beliebige Drehung
im Raum lässt sich durch die drei Eulerwinkel
erst wird um den Winkel
φ
θ, ψ, φ
beschreiben. Zu-
θ um die
ψ um die neue z'-Achse. Der Operator
D(ψ, θ, φ) = e−iΛz0 ψ e−iΛx0 θ e−iΛz φ =:
um die z-Achse gedreht, dann um
(neue!) x'-Achse und schlieÿlich um
für die gesamte Drehung ist damit
Dz0 (ψ)Dx0 (θ)Dz (φ).
D in folgender Form durch die
Λz und Λx bezüglich der alten Achsen
a) Zeige, dass sich der Drehoperator
(dimensionslosen) Drehimpulse
ausdrücken lässt:
D(ψ, θ, φ) = e−iΛz φ e−iΛx θ e−iΛz ψ = Dz (φ)Dx (θ)Dz (ψ).
Die Winkel treten auf der rechten Seite also genau in der umgekehrten
Reihenfolge auf und die Drehimpulskomponenten beziehen sich auf
die alten Achsen. Wie lautet der Operator für die inverse Drehung?
b) Betrachte die mit den Eigenzuständen
ten Matrizen
0
0
hj, m|D(ψ, θ, φ)|j , m i.
|j, mi von Λ2
und
Λz
gebilde-
Warum sind diese Matrizen in
j, j 0 diagonal? Zeige, dass die Matrizen in den Fällen j = j 0 =
j = j 0 = 1 gegeben sind durch
− i (φ+ψ)
i
e 2
cos θ2 −ie 2 (ψ−φ) sin θ2
i
i
−ie 2 (φ−ψ) sin θ2 e 2 (φ+ψ) cos θ2
1
2 und
und

e−i(φ+ψ) cos2 θ2 − √i2 e−iφ sin θ −e−i(φ−ψ) sin2 θ2
 − √i e−iψ sin θ 1 − 2 sin2 θ
− √i2 eiψ sin θ 


2
2
2
θ
i
−ei(φ−ψ) sin 2 − √2 eiφ sin θ ei(φ+ψ) cos2 θ2

Hinweis: Zur Berechnung der Matrixelemente zerlege zunächst
θ
e−iΛx θ = cos(θΛx ) − i sin(θΛx ) = 1 − 2 sin2 ( Λx ) − i sin(θΛx )
2
und nde die Wirkung der geraden und ungeraden Potenzen von
θΛx auf
die Zustände
|j 0 , m0 i
mit Hilfe der Leiteroperatoren
Λ± .
4. Parität der Kugelfunktionen und Radialimpuls (5 Punkte) In der
Vorlesung sind die folgenden Beweise noch oen geblieben:
a) (IV.C.17): Es sei
gen Sie, daÿ mit
Π der Paritätsoperator, d.h., ΠΨ(r) = Ψ(−r).
Ψlm (r, θ, φ) = fl (r)Ylm (θ, φ) die Relation
Zei-
ΠYlm (θ, φ) = (−1)l Ylm (θ, φ)
gilt. Die Parität der Kugelfunktionen
Ylm (θ, φ) ist also gegeben durch
(−1)l .
b) Beweisen Sie den Satz (IV.D.5),
p2 = p2r + L2 /r2 ,
des in der Vorlesung angegebenen Ansatzes.
3
unter Benutzung